1

MAKALAH

MODEL-MODEL LEBIH RUMIT

DISUSUN OLEH :

SRI SISKA WIRDANIYATI – 12611125

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

2014

2

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sejauh ini telah membahas secara rinci model linear ordo-pertama

dengan satu peubah peramal. Selain dari itu juga sudah membahas tentang

gagasan model yang memadai, uji ketidakpasan model, dan analisis

matematis. Analisis matematis diucapkan dalam notasi matriks sehingga

perluasan dari model-model ordo-pertama dengan satu peubah peramal ke

model umum yang linear dalam parameter dan mengandung beberapa peubah

peramal, dapat dilakukan secara efisien. Beberapa kriteria untuk pemeriksaan

persamaan regresi berganda juga telah dibahas, dan rumus untuk selang

kepercayaan bagi 𝛽 dan nilai ramalan bagi 𝑌 telah ditunjukkan.

Dalam makalah ini akan membahas berbagai ilustrasi model-model

yang rumit. Sebagian model itu mengharuskan transformasi terhadap satu

atau lebih peubahnya dan adapula yang menggunakan peubah boneka

(dummy variable).

1.2 Rumusan Masalah

1. Apakah kegunaan polinom ortogonal?

2. Bagaimanakah persamaan regresi polinom ortogonal?

1.3 Tujuan

1. Menjelaskan model polinom ortogonal untuk berbagai ordo

2. Memberikan informasi mengenai kegunaan polinom ortogonal

3. Menjelaskan pentransformasian matriks X untuk memperoleh kolom-

kolom ortogonal

4. Menjelaskan persamaan regresi polinom ortogonal

3

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Model Polinom Berbagai Ordo

Model linear yang paling umum dalam peubah-peubah 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑘

dapat dituliskan dalam bentuk:

𝑌 = 𝛽0𝑍0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 +⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 (2.1.1)

𝑍0 = 1 merupakan dummy variable yang selalu bernilai satu dan

biasanya tidak dituliskan. Model-model polinom dapat terdiri dari ordo yang

lebih dari dua. Berikut ini model polinom untuk berbagai ordo:

1. Model ordo-pertama

Jika p = k dan 𝑍𝑗 = 𝑋𝐽 , diperoleh model ordo-pertama dengan k

peubah peramal :

𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝜀 (2.1.2)

2. Model ordo-kedua

Jika diketahui p = 5, 𝑍1 = 𝑋1, 𝑍2 = 𝑋2, 𝑍3 = 𝑋12 , 𝑍4 = 𝑋2

2 , 𝑍5 =

𝑋1𝑋2 ,𝛽3 = 𝛽11 , 𝛽4 = 𝛽22 , dan 𝛽5 = 𝛽12 diperoleh model ordo kedua

dengan peubah peramal:

𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽11𝑋1 + 𝛽22𝑋2 + 𝛽12𝑋𝑘 + 𝜀 (2.1.3)

3. Model ordo-ketiga

Jika p = 9 dan identifikasi yang tepat dilakukan terhadap dan

diperoleh model ordo-ordo ketiga dengan peubah peramal:

𝑌 = 𝛽0𝑋0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽11𝑋12 + 𝛽12𝑋1𝑋2 + 𝛽22𝑋2

2 + 𝛽111𝑋3 +

𝛽112𝑋12𝑋2 + 𝛽122𝑋1𝑋2

2 + 𝛽222𝑋23 + 𝜀 (2.1.4)

Jika model ordo-kedua tidak memadai, model ordo-ketiga dicoba.

Namun sebaiknya membiasakan menambahkan suku-suku berordo lebih

tinggi.

2.2 Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Tentang 𝑿𝒋 Saja

4

Model polinom yang terdapat pasal 2.1 melibatkan pangkat dan hasil

kali pangkat pada peubah peramal 𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑘 berikut akan dikemukakan

beberapa jenis transformasi lain yang berguna di dalam pembentukan model.

1. Model yang Diperoleh Melalui Transformasi Selain Pangkat Bulat

a. Transformasi resiprokal, dengan mengambi p = 2, 𝑍1 = 1/𝑋1,𝑍2 =

1/𝑋2, maka diperoleh model:

(2.2.1)

b. Transformasi logaritma, dengan mengambil p = 2, 𝑍1 = 𝑙𝑛 𝑋1,𝑍2 =

𝑙𝑛 𝑋2, maka diperoleh model:

(2.2.2)

c. Transformasi akar

Misalnya . (2.2.3)

Tujuan transformasi semacam ini adalah agar dapat menggunakan

model regresi yang bentuknya sederhana dalam peubah yang

ditransformasikan, bukan model yang jauh lebih rumit dalam peubah

asalnya.

2. Model Nonlinear yang Secara Intrinsik Linear

Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat

dinyatakan melalui transformasi yang tepat terhadap peubahnya ke dalam

model linear baku.

a. Model Eksponensial

𝑌 = 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋1 +𝛽2𝑋2 . 𝜀 dengan melogaritmakan kedua ruas

persamaan, maka diperoleh:

(2.2.4)

b. Model Resiprokal

𝑌 =1

𝛽0 +𝛽1𝑋1+𝛽2𝑋2+𝜀 dengan membalik persamaan, maka diperoleh:

1

𝑌= 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝜀 (2.2.5)

c. Model Eksponensial yang lebih rumit

)/1()/1( 22110 XXY

22110 lnln XXY

2/1

22

2/1

110 XXY

lnln 22110 XXY

5

𝑌 =1

1+𝑒𝛽0+𝛽1𝑋1+𝛽2𝑋2+𝜀 dengan membalik dan mengurangi 1 dan

kemudian melogaritmakan (dengan basis e) kedua ruas itu, maka

diperoleh:

(2.2.6)

Tujuan transformasi teriterasi terhadap peubah tidak bebas untuk

mengubah model nonlinear yang rumit menjadi model linear. Harus

diingat bahwa analisis kuadrat terkecil diterapkan pada model yang

telah ditransformasikan, sehingga keofisien regresinya merupakan

“nilai kuadrat terkecil” hanya dalam kaitan dengan model yang telah

ditransformasi.

2.3 Famili Transformasi

1. Transformasi pada Peubah Respons

Suatu famili transformasi pada peubah respon Y (positif) diberikan

oleh transformasi kuasa (power transformation)

𝑊 = 𝑌𝜆 − 1/𝜆, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 ≠ 0

ln𝑌, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 = 0 (2.3.1)

Famili transformasi yang kontinu bergantung pada satu parameter,

untuk menduga parameter ini maupun vektor paramater, model yang

digunakan adalah sebagai berikut:

𝑊 = 𝑋𝛽 + 𝜀 (2.3.2)

Ada 2 cara menduga 𝜆, salah satunya dengan metode kemungkinan

maksimum dengan asumsi 𝜀~𝑁(0, 𝐼𝜎2).

2. Metode Kemungkinan Maksimum untuk Penduga 𝜆

1. Pilih dari kisaran yang ditetapkan, biasanya berkisar (-2,2) atau (-

1,1) dan kemudian memperlebar kisaran bila diperlukan.

2. Untuk 𝜆 yang terpilih, hitunglah dengan rumus sebagai berikut:

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 = −1

2𝑛 ln𝜎 2 𝜆 + ln 𝐽(𝜆,𝑌) (2.3.4)

3. Untuk menggunakan 𝜆 dalam perhitungan dengan menggunakan

salah satu nilai dalam barisan yang telah ditentukan pada metode I

221101

1ln XX

Y

6

yansg paling dekat dengan kemungkinan maksimum dengan

memeriksa nilai yang ada dalam kisaran tersebut.

3. Selang Kepercayaan Hampiran bagi 𝜆

Suatu 𝜆 selang kepercayaan hampiran bagi 𝜆 terdiri atas nilai-nilai

yang memenuhi pertidaksamaan:

𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 − 𝐿𝑚𝑎𝑘𝑠 𝜆 ≤1

2≤ 𝜒1

2(1− 𝛼) (2.3.5)

Dimana 1

2≤ 𝜒1

2(1− 𝛼) adalah titik persentase sebaran khi-kuadrat

dengan satu derajat bebas yang luas wilayah di sebelah kanan sebesar 𝛼.

4. Pentingnya Pemeriksaan Sisaan

Transformasi terhadap peubah respons mempengaruhi galat.

Asumsi bahwa setelah transformasi, galat pada respons yang telah

ditransformasi mengikuti sebaran 𝑁(0, 𝐼𝜎2), maka sangat penting

memeriksa sisaan model yang digunakan terkahir untuk melihat apakah

ada gejala asumsi-asumsi yang dilanggar.

2.4 Penggunaan Peubah “Boneka” dalam Regresi Berganda

Peubah boneka (dummy variable) adalah variabel yang digunakan

untuk mengkuantitatifkan variabel yang bersifat kualitatif yang bersifat

kategonal yang diduga mempunyai pengaruh terhadap variabel yang bersifat

kontinu.

Untuk ilustrasi khusus dengan mempunyai dua gagasan data peubah

repsons Y dan satu perubah peramal X dengan menggunakan model yang

sama 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽11𝑋2 + 𝜀. Dengan menentukan koefisien-koefisien

salah satunya dengan cara menerapkan pada kedua gugus data, seperti model

berikut:

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽11𝑋2 + 𝛼0𝑍 + 𝛼1𝑋𝑍 + 𝛼11𝑋

2𝑍 + 𝜀 (2.4.1)

Dimana Z adalah peubah boneka dengan taraf 0 untuk gugus data yang

satu dan 1 untuk gugus data yang lain.

Uji kuadrat ekstra dengan memeriksa berbagai kemungkinan dengan

cara sebagai berikut:

7

1. 𝐻0:𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1, setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama

dengan nol. Jika 𝐻0 ditolak maka model kedua gugus data tidak sama,

jika ditolak anggap model untuk keduanya sama.

2. Jika 𝐻0 ditolak (1) dengan menguji 𝐻0:𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼11 = 0 lawan 𝐻1,

setidaknya ada satu 𝛼 tidak sama dengan nol. Disimpulkan bahwa kedua

gugus data hanya menunjukkan perbedaan taraf respons, namun

mempunyai kemiringan yang sama.

3. Jika 𝐻0 ditolak (2) dengan menguji 𝐻0:𝛼11 = 0 lawan 𝐻1:𝛼11 ≠ 0

dengan mengindikasikan tidak ditolaknya 𝐻0 pada suku-suku ordo kenol

dan pertama.

2.5 Pemusatan dan Penyekalaan: Regresi dalam Bentuk Korelasi

Bila dalam suatu model regresi hanya ada satu atau dua peubah

peramal, perhitungan langsung 𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑌, biasanya tidak

menimbulkan kesulitan asalkan angka-angka di belakang titik desimalnya

tidak banyak yang dipotong selama proses perhitungannya. Ada dua

penyebab kesalahan pembulatan sebagai berikut:

1. Bilangan-bilangan yang terkait dalam proses perhitungan regresi sangat

besar bedanya.

2. Bila determinan suatu matriks kecil dibandingkan dengan bilangan-

bilangan lain dalam perhitungan itu, dikatakan berkondisi buruk (iil or

badly conditioned).

Bila diantara kolom-kolom matriks X terdapat ketidakbebasan, artinya

bila satu (atau lebih) kolom dapat diucapkan sebagai kombinasi linear kolom-

kolom lainnya, maka det 𝑋′𝑋 = 0.

Bila kebergantungan atau ketidakbebasan itu tidak berlaku sepenuhnya,

pengkondisian buruk terjadi pada 𝑋′𝑋 dan kedua pilihan di atas harus tetap

diambil atau diterapkan teknik regresi gulud. Maka untuk memperbaiki

bentuk perhitungan tersebut harus dilakukan suatu langkah-langkah yang bisa

diambil. Langkah-langkah yang dimaksud adalah pemusatan data dan

penggunaan matrisk korelasi alih-alih matriks 𝑋′𝑋.

8

1. Pemusatan

Misalkan mempunyai matriks data berbentuk di bawah ini, berikut

dengan nilai tengah kolomnya:

𝑍0 𝑍1 𝑍2 … 𝑍𝑃 𝑌

1 𝑍11 𝑍21 … 𝑍𝑃1 𝑌1

1 𝑍12 𝑍22 … 𝑍𝑃1 𝑌2

… … … … … …

1 𝑍1𝑛 𝑍2𝑛 … 𝑍𝑃𝑛 𝑌𝑛

Jumlah Kolom 𝑍1𝑖 𝑍2𝑖 … 𝑍𝑃𝑖 𝑌𝑖

Nilai Tengah 𝑍 1 𝑍 2 … 𝑍 𝑃 𝑌

Sehingga model diperoleh sebagai berikut:

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 + ⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 (2.5.1)

Selanjutnya model ini dituliskan dalam bentuk lain:

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑍1 + 𝛽2𝑍2 +⋯+ 𝛽𝑃𝑍𝑃 + 𝜀 + 𝛽1 𝑍1 − 𝑍 1 +

𝛽2 𝑍2 − 𝑍 2 +⋯+ 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍 𝑃 + 𝜀 (2.5.2)

Dimana 𝑍 1,𝑍 2,… ,𝑍 𝑃 adalah nilai tengah yang dihitung dari data.

Karena ini selalu benar dan karena 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 = 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌

suku ekstranya menjadi 𝑌 𝑧 𝑗 = 0, dapat menduga model:

𝑌 − 𝑌 = 𝛽1 𝑍1 − 𝑍 1 + 𝛽2 𝑍2 − 𝑍 2 + ⋯+ 𝛽𝑃 𝑍𝑃 − 𝑍 𝑃 + 𝜀′ (2.5.3)

2. Matriks Korelasi

Korelasi antara 𝑍1 dan 𝑍2 adalah 𝑟𝑗𝑦 =𝑆12

𝑆𝑗𝑗 𝑆𝑦𝑦 12

dengan

𝑠𝑗𝑦 = 𝑍𝑗𝑖 − 𝑍 𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑛𝑗=1 sebagai korelasi 𝑍𝑗 dengan 𝑌, maka

persamaan baru model ini menjadi:

1 𝑟12

𝑟21 1 𝑎1

𝑎2 =

𝑟1𝑦𝑟2𝑦 (2.5.4)

Dimana 𝑎1 = (𝑟1𝑦 -𝑟12𝑟2𝑦)/𝐷, 𝑎2 = (𝑟2𝑦 -𝑟12𝑟1𝑦)/𝐷, dan 𝐷 = 1 − 𝑟122 .

2.6 Polinom Ortogonal

9

Polinom ortogonal digunakan untuk menduga model polinom ordo

berapa pun di dalam satu peubah. Gagasan yang mendasarinya adalah sebagai

berikut. Misalkan mempunyai n amatan (𝑋𝑖 ,𝑌𝑖), 𝑖 = 1,2,… , 𝑛, dengan X

sebagai peubah peramal dan Y sebagai peubah respons. Misalkan pula kita

menduga model

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑝𝑋

𝑃 + 𝜀 (2.6.1)

Besar kemungkinan kolom-kolom matriks-X yang dihasilkan tidak

ortogonal. Jika kemudian menambahkan suku 𝛽𝑝+1𝑋𝑃+1 ke dalam model

semula, nilai-nilai dugaan bagi koefisien regresi lainnya juga akan berubah.

Akan tetapi jika membentuk polinom-polinom yang berbentuk

𝜓0 𝑋𝑖 = 1 polinom ordo-kenol

𝜓1 𝑋𝑖 = 𝑃1𝑋𝑖 + 𝑄1 polinom ordo-pertama

𝜓2 𝑋𝑖 = 𝑃2𝑋𝑖2 + 𝑄2𝑋𝑖 + 𝑅2 polinom ordo-kedua

.

.

.

𝜓𝑟 𝑋𝑖 = 𝑃𝑟𝑋𝑖𝑟 + 𝑄𝑟𝑋𝑖

𝑟−1 +⋯+ 𝑇𝑟 polinom ordo ke-r

Dengan sifat bahwa polinom-polinom itu ortogonal, artinya

𝜓𝑗 𝑋𝑖 𝜓𝑙 𝑋𝑖 =𝑛𝑖=1 0 𝑗 ≠ 𝑙 , (2.6.2)

Untuk semua 𝑗, 𝑙 < 𝑛 − 1, maka dapat menuliskan model semula

menjadi

𝑌 = 𝛼0𝜓0 𝑋 + 𝛼1𝜓1 𝑋 + ⋯+ 𝛼𝑝𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀. (2.6.3)

Dengan demikian matriks-X nya adalah

𝑋 =

1 𝜓1 𝑋1 𝜓2 𝑋1 … 𝜓𝑝 𝑋1

1⋮1

𝜓1 𝑋2

𝜓1 𝑋𝑛

𝜓2 𝑋2

𝜓2 𝑋𝑛

………

𝜓𝑝 𝑋2

𝜓𝑝 𝑋𝑛

(2.6.4)

Sehingga

𝑋′𝑋 =

𝐴00 0

𝐴11

0

𝐴22

⋱𝐴𝑝𝑝

(2.6.5)

10

Dimana 𝐴𝑗𝑗 = 𝜓𝑗 𝑋𝑖 2𝑛

𝑗=1 karena semua suku di luar diagonal

menurut persamaan (2.6.2) karena matriks kebalikan (𝑋′𝑋)−1 juga diagonal

dan diperoleh dengan cara membalik setiap unsur diagonal matriks (𝑋′𝑋),

maka melalu metode kuadrat terkecil diperoleh nilai dugaan bagi 𝛼𝑗 , yaitu

𝛼𝑗 = 𝑌𝑖𝜓 𝑗 𝑋𝑖 𝑛𝑖=1

𝜓 𝑗 𝑋𝑖 2𝑛

𝑖=1

, 𝑗 = 0,1, 2,… , 𝑝

=𝐴𝑗𝑌

𝐴𝑗𝑗 (2.6.6)

Dengan notasi yang maksudnya jelas. Karena 𝑉 𝑏 = (𝑋′𝑋)−1𝜎2 untuk

model regresi secara umum maka jelaslah bahwa ragam bagi 𝑎𝑗 adalah

𝑉 𝑎𝑗 =𝜎2

𝐴𝑗𝑗 (2.6.7)

Dan seperti biasanya 𝜎2 diduga dari tabel analisis ragamnya. Jumlah

kuadrat untuk 𝑎𝑗 dihitung menurut rumus

𝐽𝐾 𝑎𝑗 =𝐴𝑗𝑟

2

𝐴𝑗𝑗 (2.6.8)

Sehingga disusun tabel analisis ragam sebagai berikut:

Tabel 2.1 Analisis Ragam

Sumber Db JK KT

𝑎0 (nilai tengah) 1 𝐽𝐾𝑎0 -

𝑎1 1 𝐽𝐾𝑎1 𝐽𝐾𝑎1

𝑎2 1 𝐽𝐾𝑎2 𝐽𝐾𝑎2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑝 1 𝐽𝐾𝑎𝑝 𝐽𝐾𝑎𝑝

Sisa n-p-1 Melalui pengurangan 𝑠2

Total N 𝑌𝑗2𝑛

𝑖=1

Sumber: Analisis Regresi Terapan Norman Draper Harry Smith

11

2.7 Pentransformasian Matriks X untuk Memperoleh Kolom-kolom

Ortogonal

Matriks X dalam masalah regresi haruslah memiliki kolom-kolom yang

tidak saling berkombinasi, begitu juga dengan barisnya. Banyaknya baris

yang tidak saling tergantung sama banyaknya dengan parameter yang harus

diduga.

Untuk mendeteksi keterkaitan pada masalah regresi sering kali sulit.

Jika terdapat ketergantungan maka matriks X’X-nya akan singular sehingga

tidak dapat balik. Bila kolom-kolom matriks X hampir saling tergantung,

matriks X’X-nya akan hampir singular sehingga kesalahan dalam pembalikan

dan pembulatannya akan menjadi sulit juga.

Salah satu prosedur yang dapat diprogramkan dan digunakan sebagai

pengecakan rutin terhadap matriks X (apakah untuk semua kasus atau kasus

yang dicurigai saja) adalah berupa pentransformasian berturut-turut kolom-

kolomnya sehingga setiap kolom yang baru ortogonal terhadap semua kolom

sebelumnya yang telah ditransformasi, sehingga dapat diketahui bahwa:

1. Kalau ada ketergantungan kolom, maka nilai kolom tersebut adalah 0.

2. Kalau kolom hampir tergantung, maka akan diperoleh kolom yang

unsurnya sangat kecil atau bahkan ada beberapa 0.

Transformasi kolom berlangsung sebagai berikut:

𝑍𝑖𝑇 = 𝑍𝑖 − 𝑍 𝑍′𝑍 −1 − 𝑍′𝑍𝑖 (2.7.1)

Dimana:

𝑍 = matriks vektor kolom yang telah ditransformasikan

𝑍𝑖 = vektor kolom yang akan ditransformasikan berikutnya

𝑍𝑖𝑇 = vektor yang telah ditransformasi yang ortogonal terhadap vektor-

vektor yang sudah ada dalam 𝑍

12

Untuk mengilustrasikan proses ini menggunakan kasus khusus yang

akan membawa memperoleh polinom ortogonal untuk 𝑛 = 5. Misalkan nilai-

nilai 𝑌 dicatat pada 𝑋 =1,2,3, dan 5 dan model yang dipostulatkan adalah

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋

3 + 𝜀 (2.7.2)

Matriks 𝑋 asalnya adalah

𝑋 =

1 1 1 11 2 4 8111

345

91625

2764

125

(2.7.3)

Kemudian pada tahap pertama ambil satu vektor kolom untuk

memprosesnya, sehingga

1. 𝑍1𝑇 =

11111

= 𝑍 (2.7.4)

2. 𝑍2 =

12345

(2.7.5)

3. Maka menurut persamaan (2.7.1), maka 𝑍2𝑇 =

12345

−

11111

(5)−1−(15)

=

12345

−

33333

=

−2−1012

(2.7.6)

Sehingga diperoleh 𝑍 = 𝑍1𝑇 , 𝑍2𝑇 =

1 − 21 − 11 01 11 2

(2.7.7)

13

Cara perhitungan untuk kolom ke-3 dan 4 juga sama, hingga

diperoleh hasil akhir

1 −2 2 −1.21 −1 −1 2.4111

012

−2−12

0

−2.41.2

(2.7.8)

Dari proses tersebut dapat diketahui bahwa:

1. Tiga kolom pertama adalah 𝜓0,𝜓1 ,𝜓2yakni polinom ortogonal ordo

kenol, pertama, dan kedua untuk 𝑛 = 5. Kolom keempat adalah 1.2

kali 𝜓3, polinom ortogonal ordo ketiga untuk 𝑛 = 5.

2. Proses ini berlaku umum. Ketergantungan kolom juga dapat

dideteksi dengan memperhatikan determinasi matriks 𝑋′𝑋-nya

(matriks korelasinya) adalah 0.

3. Kelebihan prosedur ini adalah bisa menunjukkan pada kolom-kolom

yang bersifat tergantung.

2.8 Analisis Regresi untuk Data Ringkasan

Misalkan mempunyai 𝑘 gugus amatan berulang

𝑌𝑖𝑢 , 𝑢 = 1,2,… , 𝑛𝑗 , 𝑖 = 1,2,… , 𝑘, namun karena datanya telah diringkaskan,

amatan aslinya tidak lagi diketahui melainkan 𝑘 rata-rata 𝑌 𝑖 dan 𝑘 ragam

contoh (yang merupakan dugaan bagi 𝜎2 adalah

𝑠𝑖2 = 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖

2/(𝑛𝑖 − 1)𝑛𝑖𝑢 (2.8.1)

Untuk tujuan memperoleh koefisien regresi, maka lanjutkan seolah-olah

𝑌𝑖𝑢 = 𝑌 𝑖 . Misalkan jika 𝑌 𝑖 adalah rataan antara seluruhnya, maka sumbangan

pada jumlah kuadrat terkoreksi (yang salah) menjadi 𝑌𝑖𝑢 −𝑛𝑖𝑢=1

𝑌 𝑖 2 =𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌

2, padahal sesungguhnya adalah 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 2𝑛𝑖

𝑢=1 .

Akan tetapi dapat ditunjukkan menjadi 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 2 =𝑛𝑖

𝑢=1

{ 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 𝑛𝑖𝑢=1 + 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖 } = 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖

2 =𝑛𝑖𝑢=1 𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌

2.

Karena suku hasil kali saling menghilangkan dalam proses penjumlahan

itu. Untuk memperoleh sumbangan yang benar maka harus menambahkan

𝑛𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 2 besaran 𝑌𝑖𝑢 − 𝑌 𝑖

2 =𝑛𝑖𝑢=1 (𝑛𝑖 − 1)/ 𝑠𝑖

2.

14

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Soal Studi Kasus

Diketahui data tahunan suatu perusahaan sebagai berikut:

Tabel 3.1 Data Tahunan

x (tahun) 1980 1981 1982 1983 1984 1985

y (hasil) 10,0 11,2 13,5 15,4 16,3 16,8

Sumber: Analisis Regresi RK Sembiring

Dengan menggunakan polinom ortogonal, tentukan persamaan polinom

ordo-ketiga dan tariklah kesimpulan yang memadai atau tidaknya model

tersebut?

3.2 Penyelesaian Studi Kasus

Tabel 3.2 Koefisien Polinom Ortogonal

n=5 n=6 n=7

𝑋𝑗 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓5 𝜓1 𝜓2 𝜓3 𝜓4 𝜓5 𝜓6

{𝜓1 (𝑋𝑗 )2

𝑛

𝑗=1

1 -2 2 -1 1 -5 5 -5 1 -1 -3 5 -1 3 -1 1

2 -1 -1 2 -4 -3 -1 7 -3 5 -2 0 1 -7 4 -6

3 0 -2 0 6 -1 -4 4 2 -10 -1 -3 1 1 -5 15

4 1 -1 -2 -4 1 -4 -4 2 10 0 -4 0 6 0 -20

5 2 2 1 1 3 -1 -7 -3 -5 1 -3 -1 1 5 15

6 5 5 5 1 1 2 0 -1 -7 -4 -6

7 3 5 1 3 1 1

10 14 10 70 70 84 180 28 252 28 84 6 154 84 924

𝜆 1 1 5

6

36

12 2

3

2

5

3

7

12

21

10 1 1

1

6

7

12

7

20

77

60

Sumber: Analisis regresi terapan Norman Draper Harry Smith

Pada tabel 3.2 untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca nilai polinom 𝜓1 ,𝜓2 ,𝜓3 ,𝜓4 ,

dan 𝜓5 pada masing-masing 𝑥1,… ,𝑥6 (setelah peubah bebas 𝑥

ditransformasikan), nilai 𝜓𝑖2(𝑥𝑗 )

𝑛𝑗=1 , dan nilai koefisien 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4, dan

𝜆5.

Berikut diberikan kelima polinom ortogonal bila 𝑥 menyatakan rata-

rata 𝑥 yang semula dan 𝑑 jarak antara pengamatan 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2,… ,𝑛.

15

𝜓0 𝑥𝑖 = 1

𝜓1 𝑥𝑖 = 𝜆1 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

𝜓2 𝑥𝑖 = 𝜆2 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

2

− 𝑛2−1

12

𝜓3 𝑥𝑖 = 𝜆3 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

3

− 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

3𝑛2−7

20

𝜓4 𝑥𝑖 = 𝜆4 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

4

− 𝑥𝑖−𝑥

𝑑

2

3𝑛2−13

14 +

3(𝑛2−1)(𝑛2−9)

560

Misalkan dicobakan model:

𝑦 𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1𝜓1 𝑥𝑖 + 𝑏2𝜓2 𝑥𝑖 + 𝑏3𝜓2 𝑥𝑖

Dari tabel 3.1 untuk untuk 𝑛 = 6, dapat dibaca 𝜓𝑗2(𝑥𝑖)

𝑛𝑗=1 dan 𝜆𝑗

untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5. Jadi (lihat persamaan (2.6.5))

𝑋′𝑋 =

6 00 70

0 00 0

0 00 0

84 00 180

𝑋′𝑌 =

𝜓0(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓1(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓2(𝑥𝑖)𝑦𝑖 𝜓3(𝑥𝑖)𝑦𝑖

=

83,251,2−9,1−9,3

Sehingga diperoleh

𝑏 = 𝑋′𝑋 −1𝑋′𝑌 =

1

6 0 0 0

01

700 0

0 01

840

0 0 01

180

83,251,2−9,1−9,3

=

13,870,73−0,11−0,05

Jadi diperoleh persamaan

𝑦 𝑖 = 13,87 + 0,73𝜓1 𝑥𝑖 − 0,11𝜓2 𝑥𝑖 − 0,05𝜓2 𝑥𝑖

Tabel 3.3 Tabel Analisis Variansi

Sumber JK dk KT F 𝜓

Regresi 38,915 3 12,972 164,35 0,06

Sisa 0,158 2 0,079

Total 39,073 5

16

Tabel analisis variansi diberikan di tabel 3.3 kecocokan model polinom

derajat 3 terlihat sangat baik dengan data, tetapi dari segi kesederhanaan

model barangkali lebih baik menggunakan model polinom berderajat 2, atau

mungkin sebaiknya derajat satu saja. Hal ini mengingat ukurannya hanya

𝑛 = 6. Mengambil model derajat 3 berarti memberi kepercayaan yang nisbi

tinggi pada data yang dipinggir.

17

BAB IV

KESIMPULAN

Polinom ortogonal digunakan dalam menghampiri suatu kurva, artinya suatu

kurva selalu dapat dihampiri oleh suatu deret polinom. Melalui polinom ordo-

kedua dapat dibuat suatu garis lurus, melalui polinom ordo-ketiga dapat dibuat

suatu parabol, dan seterusnya atau melalui n titik dapat dibuat suatu polinom

derajat n-1.

Persamaan regresi polinom ortogonal menginginkan derajat serendah

mungkin tapi dengan kecocokan yang cukup tinggi. Kesederhanaan model akan

selalu merupakan pegangan umum dalam pembentukan suatu model, maka makin

sederhana suatu model makin baik model tersebut. Model polinom ortogonal

dituliskan 𝑌 = 𝛼0𝜓0 𝑋 + 𝛼1𝜓1 𝑋 + ⋯+ 𝛼𝑝𝜓𝑝 𝑋 + 𝜀.

18

DAFTAR PUSTAKA

Drapher, Norman and Smith, Harry. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua.

PT Gramedia Pustaka Utama: Jakarta

Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi Edisi Kedua. Penerbit ITB: Bandung