Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap

Kesehatan dan Perkembangan Sosial

STUDI LITERATUR

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur

di Jurusan Matematika

Oleh :

LUKMANUL HAKIM

208 700 542

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2013

MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH

ALKOHOL TERHADAP KESEHATAN DAN

PERKEMBANGAN SOSIAL

STUDI LITERATUR

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur

di Jurusan Matematika

Oleh :

LUKMANUL HAKIM

208 700 542

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2013

HALAMAN PENGESAHAN

Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap

Kesehatan dan Perkembangan Sosial

STUDI LITERATUR

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah studi literatur

di Jurusan Matematika

Oleh :

Lukmanul Hakim

208700542

Telah Diperiksa dan Disetujui oleh

Pembimbing Pada Tanggal 28 Maret 2013

Dosen Pembimbing

Siti Julaeha, M.Si.

NIP.198301202006042002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si, MT,

NIP. 197301122000032001

ABSTRAK

Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap Kesehatan dan

Perkembangan Sosial

Lukmanul Hakim

208700542

Sebuah model matematika deterministik dianalisis untuk mengetahui

pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial. model ini

menceritakan tentang fenomena penyebaran pengaruh alkohol didalam suatu

populasi manusia. Dimana pada model ini, populasi yang rentan akan terpengaruh

oleh alkohol sehingga mengakibatkan peminum alkohol semakin bertambah.

Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap model ini diperoleh sebuah dua

titik equilibrium yang stabil asimtotik lokal dan tidak stabil asimtotik lokal.

Kata kunci : Model Matematika, Alkohol, Titik Equilibrium, Basic Reproductive

Rasio, Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi.

ABSTRACT

The Mathematic Model About Effect of Alcohol On Health and Social

Development

Lukmanul Hakim

208700542

A deterministic mathematical model was analyzed to determine the effect of

alcohol on health and social development. the model is about the phenomenon of

the spread of the influence of alcohol in the human population. Where on this

model, vulnerable populations will be affected by alcohol, resulting in increasing

alcohol drinkers. The results of the analysis has been done on this model obtained

an equilibrium point which is local asymptotic stabily and not local asymptotic

stabily.

Keywords: Mathematical Models, Alcohol, Equilibrium Point, Basic Reproductive

Ratio, nature of roots high degree polynomial.

i

KATA PENGANTAR

Assalumu’alaikum Wr.Wb.

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT. Yang senantiasa memberikan nikmat,

karunia, dan hidayah-Nya kepada hamba-hamba-Nya. Shalawat serta salam selalu

tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat, serta seluruh

umatnya yang senantiasa memberikan suri tauladan yang baik kepada umatnya.

Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya hanya

Allah yang menentukan. Begitupun dalam penyusunan studi literatur ini tidaklah

terlepas dari hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan syukur

atas terselesaikan studi literatur yang berjudul “model matematika tentang

pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial”.

Dalam penyusunan studi literatur ini, penulis banyak mendapatkan bantuan

dari berbagai pihak. Sehingga sudah semestinya penulis mengucapkan terima

kasih kepada :

1. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., Mp., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung.

2. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati

Bandung

3. Ibu Siti Julaeha, M.Si, selaku Pembimbing Studi Literatur yang telah

banyak memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam

menyelesaikan studi literatur ini.

4. Bapak Diny Zulkarnain M.Si, yang telah banyak memberikan bimbingan

untuk menyelsaikan BAB III studi literatur ini.

5. Dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmu

pengetahuannya, serta staf Fakultas Sains dan Teknologi yang tidak dapat

disebutkan satu persatu.

ii

6. Ayahanda (Wanta) dan Ibunda (Satimen), kerta adik-adik dan keluarga

besar yang telah member dukungan moril dan materil serta doa dan kasih

sayang yang dapat memberikan semangat dan menjadi inspirator dalam

penyelesaian studi literatur ini.

7. Teman-teman MAPAN (Matematika Dua Ribu Delapan) yang selalu

memberikan dukungan dan hiburannya, The Copec yang telah menjadi

rumah kedua dalam hidup penulis, Fahmi Azis, Beben, Angga Hasim, yang

telah meminjamkan komputernya dan mau menjadi sahabat terbaik.

8. Semua pihak yang telah memberikan bantuan yang tidak bisa disebutkan

satu-persatu.

Tidak ada yang dapat penulis persembahkan kepada semua pihak yang telah

berperan aktif membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan studi

literatur ini. Hanya sebatas rangkaian doa dan ucapan terima kasih yang dapat

penulis berikan. Semoga segala kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan

dari Allah SWT. Amiin.

Dengan segala kerendahan hati penulis berharap studi literatur ini dapat

bermanfaat bagi pembaca dikemudian hari.

Wassalamu’alaikum Wr.Wb

Bandung, 09 April 2013

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGESAHAN

ABSTRAK

ABSTRACT

KATA PENGANTAR ......................................................................................... i

DAFTAR ISI ......................................................................................................... iii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ v

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................................ 3

1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 3

1.3 Batasan Masalah .................................................................................... 3

1.4 Tujuan Penelitian ................................................................................... 3

1.5 Metode Penelitian .................................................................................. 4

1.6 Sistematika Penulisan ............................................................................ 4

1.7 Kerangka Berfikir .................................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial ................................................................ 6

2.2 Titik Equilibrium ................................................................................... 8

2.3 Basic Reproduction Ratio ...................................................................... 8

2.4 Pelinearan ............................................................................................... 9

2.5 Stabilitas ................................................................................................. 10

2.6 Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi ........................................... 11

iv

BAB III MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH ALKOHOL

TERHADAP KESEHATAN DAN PERKEMBANGAN SOSILAL

3.1 Hal-hal yang Mempengaruhi Model ...................................................... 12

3.2 Formulasi Model .................................................................................... 13

3.3 Menentukan Titik Equilibrium .............................................................. 15

3.3.1. Titik Equilibrium Bebas Alkohol ............................................... 15

3.3.2. Titik Equilibrium Endemik ........................................................ 16

3.4 Parameter Reproduktif Rasio ................................................................. 19

3.5 Kestabilan Titikl Equilibrium ................................................................ 20

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan ............................................................................................ 28

4.2 Saran ...................................................................................................... 29

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 30

v

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir ........................................................ 5

Gambar 3.1 Diagram Proses Penyebaran Pengaruh Alkohol Terhadap

Lingkungan .................................................................................. 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam ilmu kedokteran alkohol digunakan untuk kepentingan pengobatan,

namun telah banyak ditemukan bahwa alkohol juga dikonsumsi dan diperjual

belikan secara ilegal oleh suatu kalangan individu. Tetapi menurut pandangan

agama dan kesehatan, alkohol adalah zat cair yang bila dikonsumsi dapat

memabukan dan merusak sistem saraf pada tubuh. Q.S. Al-Baqarah ayat 219 yang

berbunyi :

Artinya : mereka bertanya kepadamu tentang khamar (segala yang memabukkan,

termasuk minuman keras) dan judi. Katakanlah: “Pada keduanya terdapat dosa

yang besar dan beberapa manfaat bagi manusia, tetapi dosa keduanya lebih

besar dari manfaatnya”. dan mereka bertanya kepadamu apa yang mereka

nafkahkan. Katakanlah: “yang lebih dari keperluan”. Demikianlah Allah

menerangkan ayat-ayat-Nya kepadamu supaya kamu berfikir. ( al-Baqarah ayat

219 )

Dari ayat diatas dapat disimpulkan sindiran halus bagi umat islam pada saat

itu. Sebuah pandangan umum dimana tersebut dalam ayat itu “Pada keduanya

terdapat dosa yang besar dan beberapa manfaat” mengenai alkohol. Sebuah tahap

awal sekaligus strategi jitu dalam menyelesaikan permasalahan minuman keras

dan pengaruhnya terhadap lingkungan sosial.

2

Pengaruh alkohol, juga dikenal sebagai “ketergantungan alkohol ” adalah

penyakit kecanduan alkohol yang meminum alkohol secara terus menerus. Seperti

kecanduaan obat lain, penyalahgunaan alkohol adalah penyakit yang dapat

diobati. Menurut Organisasi kesehatan dunia (WHO) sekitar 140 juta orang di

seluruh dunia menderita ketergantungan alkohol yang mengakibatkan masalah-

masalah, seperti sakit, kehilangan pekerjaan dan lain sebagainya. Pengaruh

alkohol memiliki kecenderungan yang lebih tinggi pada pria, meskipun dalam

beberapa dekade terakhir, perbandingan pecandu alkohol perempuan telah

bertambah [8].

Efek samping yang diakibatkan oleh alkohol terjadi di hampir setiap bagian

tubuh dan berkontribusi untuk sejumlah penyakit manusia termasuk sirosis hati,

pankreatitis, penyakit jantung, disfungsi seksual yang akhirnya dapat berakibat

fatal yaitu kematian. Kerusakan pada sistem saraf pusat dan sistem saraf yang lain

dapat terjadi dari konsumsi alkohol yang berkelanjutan. Selain itu, pecandu

alkohol pada wanita telah ditemukan memiliki efek negatif pada fungsi reproduksi

[3].

Saat ini belum banyak penelitian yang dilakukan dalam pemodelan

matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan

sosial. Meskipun beberapa studi menawarkan pendekatan matematika untuk

memahami pengaruh alkohol. Model yang akan dibahas dalam studi literatur ini

adalah model yang realistis yaitu dengan membagi orang yang minum alkohol

menjadi 4 kelompok dalam sebuah populasi yaitu :

1) Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol

2) Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol

3) Oarang yang sudah menjadi konsumen alkohol

4) Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol

Sehingga bisa dibandingkan kontrol alkohol dari populasi peminum

alkohol yang berbeda. Mengingat beberapa penyakit lain yang disebabkan

oleh alkohol yang dapat membunuh orang seperti sirosis hati, pankreatitis, dan

lain-lain, sehingga akan dibuktikan seberapa besar penyebaran pengaruh alkohol

terhadap kesehatan dan perkembangan sosial itu sendiri.

3

Dalam literatur ini penulis merasa tertarik untuk membahas mengenai

peengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial yang terjadi pada

populasi manusia yang dipresentasikan dalam sebuah model matematika.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam studi literatur ini dapat diuraikan sebagai

berikut.

1. Bagaimana model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap

kesehatan dan perkembangan sosial ?

2. Bagaimana mencari titik equilibrium dari model matematika tentang

pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial ?

1.3 Batasan Masalah

Studi literatur ini hanya memodelkan dan mencari titik equilibrium dari

pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial, dimana hanya ada empat kelompok

orang yang meminum alkohol yaitu orang yang tidak mengkonsumsi alkohol dan

tidak pernah mengkonsumsinya, orang yang mengkonsumsi alkohol tetapi belum

ketergantungan, pecandu alkohol dan ketergantungan, dan orang yang sembuh

dari pengaruh alkohol.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan studi literatur ini dapat diuraikan sebagai berikut.

1. Mempelajari model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap

kesehatan dan perkembangan sosial.

2. Mencari titik equilibrium dari model matematika tentang pengaruh

alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial.

4

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini hanya melalui pendekatan teoritis atau studi literatur

dari buku-buku yang berkaitan, jurnal sampai artikel-artikel yang ada di website

untuk menunjang penulisan literatur ini.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan literatur ini hanya memuat 4 bab. Dengan perincian

sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dipaparkan tentang latar belakang masalah, rumusan

masalah, tujuan penelitian, metode penelitian, sistematika

penulisan dan kerangka berfikir dari masalah yang dikaji.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini penulis akan memaparkan tentang landasan teori

yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri

dari sistem persamaan diferensial, titik equilibrium, basic

reproduction ratio, pelinearan, stabilitas, sifat akar-akar polinom

berpangkat tinggi.

BAB III KAJIAN PENELITIAN

Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis

model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan

dan perkembangan sosial, yang terdiri dari hal-hal yang

mempengaruhi model, formulasi model, menentukan titik

equilibrium, parameter reproduktif rasio, serta kesetabilan titik

equilibrium.

BAB IV PENUTUP

Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari

rumusan permasalahan yang diajukan serta saran untuk

pengembangan tulisan yang berbeda dimasa yang akan datang.

DAFTAR PUSTAKA

5

1.7 Kerangka Berfikir

Pengaruh alkohol, juga dikenal sebagai “ketergantungan alkohol ” adalah

penyakit kecanduan alkohol yang meminum alkohol secara terus menerus

meskipun pengaruh alkohol tersebut sangat negatif terhadap kesehatan individu,

hubungan dan kedudukan sosial [5]. Walaupun demikian, kecanduan alkohol juga

sebagai salah satu penyakit yang dapat diobati.

Dari fenomena yang terjadi, maka penulis akan mempelajari sebuah model

yang nantinya akan dicari titik equilibriumnya untuk mengetahui darimana model

yang telah ada. Langkah pertama adalah mengidentifikasi titik equilibrium dari

model tersebut dengan cara me-nol-kan turunan pertamanya. Sehingga dari model

tersebut akan didapat titik equilibrium yang terpengaruh oleh alkohol dan titik

equilibrium bebas dari pengaruh alkohol. Langkah selanjutnya adalah

menganalisis titik equilibrium dengan menggunakan atau basic reproduction

ratio untuk mengetahui penyebaran pengaruh alkohol dalam model itu. Dan

langkah terakhir mencari nilai eigen dari model tersebut untuk mengetahui apakah

model tersebut itu stabil atau tidak.

Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih

turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk

mempresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi dikehidupan sehari-hari pada

interval waktu kontinu dalam suatu model matematika.

Persamaan diferensial terbagi atas persamaan diferensial biasa dan sistem

persamaan diferensial parsial. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah

tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Tetapi jika

persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak bebas, maka

persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Sebagai contoh :

1. (2.1)

2. ( )( ) (2.2)

3.

(2.3)

Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan

dengan dan dianggap sebagai satu peubah bebas yaitu ( ). Lambang

dan dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan

pertama dan kedua dari fungsi ( ) terhadap . persamaan (2.1) dan (2.2)

memuat turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa.

Sedangkan untuk persamaan (2.3) disebut persamaan diferensial parsial [6].

Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk :

( ( )) ( )

Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika linear dalam variabel-

variabel ( ). Definisi tersebut juga berlaku untuk persamasan diferensial

parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear ordo berbentuk :

7

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut

persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial

( ( )) merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah

satu dari bentuk dipenuhi oleh .

1. tidak berbentuk polinom dalam ( ).

2. berbentuk polinom berpangkat 2 atau lebih dalam ( ) [6].

Sebagai contoh :

1. merupakan persamaan diferensial tak linear karena

( ) polinom berpangkat dua dalam .

2.

(

) merupakan persamaan tak linear karena

tidak berbentuk polinom dalam

.

Jika berbicara dengan sistem, sistem adalah sejumlah tertentu sedangkan

yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang

didalamnya memuat buah persamaan diferensial, dengan buah fungsi yang

tidak diketahui, dimana merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama

dengan dua.

Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama

mempunyai bentuk sebagai berikut :

( )

( ) ( )

( )

Dengan adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat,

sehingga ( ) ( ) ( ) dimana

merupakan derevatif fungsi

8

terhadap , dan adalah fungsi yang tergantung pada variabel

dan

2.2 Titik Equilibrium

Misal suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )

Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vektor keadaan konstan. Maka titik

equilibrium dari persamaan (2.7) didapat

. Untuk lebih jelasnya, ditinjau

contoh dibawah ini.

Missal ( ) , maka umtuk mencari titik equilibriumnya

adalah dengan cara ( ) atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga

diperoleh

( )

( )( )

Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu atau .

2.3 Basic Reproduction Ratio

Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu pengaruh alkohol diperlukan

suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah bilangan

reproduksi dasar (Basic Reproduction Ratio). Bilangan reproduksi dasar adalah

bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu yang dipengaruhi alkohol

itu disebabkan oleh banyaknya individu yang rentan. Namun ada pula yang

mengartikan rasio atau perbandingan yang menunjukan jumlah individu yang

rentan untuk mengkonsumsi alkohol yang dipengaruhi oleh individu pecandu [7].

Model hanya mempunyai dua titik equilibrium yaitu titik equilibrium yang

tidak stabil dan titik equilibrium yang stabil. Jika maka stabil, dan jika

maka tidak stabil.

9

2.4 Pelinearan

Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan

melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial tak linear

sebagai berikut.

( ) ( )

Dengan menggunakan ekspansi taylor untuk suatu titik equilibrium, maka

persamaan (2.8) dapat ditulis sebagai berikut.

( ) ( ) ( )

Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial tak linear dengan

adalah matriks Jacobi,

( )

(

)

yaitu matriks yang berukuran . Matriks ini

sering juga ditulis sebagai matriks [

]

. Sedangkan ( ) suku berorde tinggi

yang bersifat ( ) selanjutnya ( ) pada persamaan (2.9) disebut

persamaan dari sistem tak linear persamaan (2.8) yang didapat dalam bentuk

( ).

Contoh sederhananya [4],

( ) (

)

Maka matriks jacobiannya adalah

[

]

[

]

10

2.5 Stabilitas

Titik equilibrium dikatakan stabil jika untuk sebarang syarat awal yang

cukup dekat dengan titik equilibrium maka trayektori (kurva yang memotong

tegak lurus kurva-kurva tersebut) dari penyelesaian tetap dekat dengan

penyelesaian di titik equilibriumnya [10].

Kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari akar karakteristik atau

nilai eigen dengan menyelesaikan | | dimana merupakan matriks dari

sistem persamaan diferensial yang linear dan berukuran . Sebagai contoh,

tinjau contoh berikut.

Sistem linear

Bisa ditulis dalam bentuk matriks sebagai

[

] [

] [

]

Didapat [

], dan [

]. Sehingga [

].

Maka | | |

|

( )( ) ( )( )

( )( )

Sehingga nilai eigen dari adalah dan .

Sifat stabilitas titik equilibrium berdasarkan tanda bagian real dibagi

menjadi 3 yaitu :

1. Stabil

Titik seimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristiknya

(nilai eigen ) adalah real negatif atau mempunyai bagian real tak positif.

11

2. Stabil Asimtotik

Titik equilibrium dikatakan stabil asimtotik jika hanya jika akar

karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian

real negatif. Asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan

asimtotik global. Kestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari

sistem linear atau kestabilan dari linearisasi sistem tak linear. Kestabilan

lokal pada titik equilibrium ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-

akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar

titik equilibrium [7]. Sedangkan titik equilibrium dikatakan stabil

asimtotik global jika sebaarang nilai awal yang diberikan, maka setiap

solusi pada sistem persamaan diferensial dengan sampai tak terhingga

menuju titik equilibrium.

3. Tidak stabil

Titik setimbang dikatakan stabil jika hanya jika (nilai eigen ) adalah real

dan positif atau mempunyai paling sedikit satu nilai eigen dengan bagian

real positif [9].

2.6 Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi

Yang dimaksud polinom berderajat tinggi adalah polinom yang pangkat

variabelnya lebih dari dua. Secara umum fungsi polinom berderajat mempunyai

bentuk ( )

[1].

Untuk persamaan kubik , akar-akarnya dapat

diperoleh dengan rumus:

12

BAB III

MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH ALKOHOL

TERHADAP KESEHATAN DAN PERKEMBANGAN SOSIAL

Pada bab ini akan dibahas model matematika tentang pengaruh alkohol

terhadap kesehatan dan perkembangan sosial yaitu :

3.1 Hal-hal yang Mempengaruhi Model

Karena model ini memonitori populasi manusia dari semua parameter yang

terkait maka variabel ini adalah non-negatif untuk semua . Dalam literatur

ini populasi manusia yang rentan terpengaruh oleh alkohol dibagi menjadi

beberapa bagian yaitu : orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol ( ( ))

orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol ( ( )) orang yang sudah

menjadi konsumen alkohol ( ( )) dan orang yang sembuh dari pengaruh alkohol

( ( )) Dimana hal-hal yang mempengaruhi model ini adalah :

a. Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol ( )

1. Kelahiran murni

2. Tingkat kematian murni

3. Pengaruh dari lingkungan setempat

b. Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol ( )

1. Pengaruh dari lingkungan setempat

2. Tingkat kematian murni

3. Tingkat pertumbuhan peminum alkohol

4. Tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol

c. Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol ( )

1. Tingkat pertumbuhan peminum alkohol

2. Kematian yang dikarenakan penyakit dari alkohol

3. Tingkat kematian murni

4. Tingkat pemulihan dari peminum alkohol

5. Kembalinya peminum yang telah sembuh menjadi peminum alkohol

13

d. Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol ( )

1. Tingkat berhentinya peminum alkohol yang hanya sekedarnya

2. Kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum alkohol

3. Tingkat pemulihan dari tingkat peminum alkohol

4. Tingkat kematian murni

Dari fenomena itul dapat ditarik kesimpulan bahwa yang menjadi latar

belakang banyak orang yang cenderung mengkonsumsi alkohol adalah melalui

kontak sosial.

3.2 Formulasi Model

Model ini membagi populasi manusia yang rentan memperoleh kebiasaan

mengkonsumsi alkohol lewat kontak sosial.

( ) Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol

( ) Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol

( ) Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol

( ) Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol

Dari fenomena yang terjadi, dapat digambarkan proses penyebaran

pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial dalam sebuah diagram dibawah ini.

Gambar 3.1 diagram proses penyebaran pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial

14

Dari diagram diatas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika

pengaruh alkohol yang disajikan dalam suatu model matematika, yaitu :

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( ) (3.1)

Dengan total populasi penduduk sebagai berikut [2]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Kelahiran murni pada tingkat termasuk kedalam kelas yang rentan. Kelas

ini sangatlah rentan memperoleh kebiasaan mengkonsumsi alkohol lewat tekanan

dan pengaruh sosial pada tingkat dengan parameter berikut [2]:

( )

( )

dengan

adalah kemungkinan menjadi peminum setelah kontak lama

dengan peminum

adalah jumlah kontak antara peminum dan bukan peminum

adalah faktor peningkatan

adalah tingkat kelahiran yang rentan terpengaruhi

adalah pengaruh dari lingkungan setempat

adalah tingkat kematian murni

adalah tingkat pertumbuhan peminum alkohol

adalah tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol

adalah tingkat kematian yang disebabkan penyakit dari alkohol

adalah tingkat pemulihan dari peminum yang ketergantungan

adalah kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum

dimana

15

3.3 Menentukan Titik Equilibrium

Dalam menentukan titik equilibrium terlebih dahulu akan dicari titik

equilibrium bebas alkohol dan titik equilibrium endemik (mengandung pengaruh

alkohol).

3.3.1 Titik Equilibrium Bebas Alkohol

Titik equilibrium bebas alkohol diperoleh dengan mengasumsikan tidak

adanya orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol, dan tidak adanya

orang yang menjadi konsumen alkohol, dan tidak adanya orang yang sembuh dari

pengaruh alkohol ( ).

Untuk dari persamaan (3.1) yang disubstitusikan

dengan persamaan ( ). Sehingga diperoleh :

( ) ( )

( ( )

)

( ( )

)

( ( )

)

( )

Sehingga diperoleh titik equilibrium bebas alkohol yaitu :

( ) (

* ( )

16

3.3.2 Titik Equilibrium Endemik

Untuk memecahkan masalah dari persamaan (3.1) pada keadaan pengaruh

alkohol secara terus menerus pada masa penyebaran yang kuat maka diberikan

tanda bintang (*) pada . Sehingga akan diperoleh nilai dalam titik

titik equlibrium endemik ( ).

Langkah awal untuk mengidentifikasi titik equilibrium adalah me-nol-kan

ruas kiri pada sistem (3.1) sehingga turunan pertamanya bernilai nol. Maka akan

didapat seperti yang tertera dibawah ini.

( )

( )

( )

( )

Langkah kedua, lakukan proses penyederhanaan sistem (3.1) dengan

menggunakan proses substitusi.

Dari ( ) bisa didapatkan

( ) . Adapun proses

pengerjaannya sebagai berikut.

( )

( )

( ) ( )

Dari ( ) bisa didapatkan

( )( ). Adapun

proses pengerjaanya sebagai berikut.

( )

( )

( )

17

( ) ( )

Substitusi persamaan (3.5) dan (3.6). Sehingga didapat

( )

( )

( )

( )( ) ( )

Dari ( ) bisa didapat ( )( )

( )( )( )

Adapun cara pegerjaannya sebagai berikut.

( )

( ) ( )

Substitusi persamaan (3.7) dan (3.8). Sehingga didapat

( )

( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

Dari ( ) bisa didapat

( ( ) )

( )( )( ( )( )) Adapun cara pengerjaannya sebagai berikut.

( )

( )

( ) ( )

Substitusi persamaan (3.6), (3.9) dan (3.10). Sehingga didapat

( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )

18

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ( ) ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ( ) )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )

( ( ) )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( ( ) )

( )( )( )

(( )( )

( ))

( ( ) )

( )( )( )

( ( ( ) )

( )( )) (

( )( ) *

( ( ( ) )

( )( )) (

*

( ( ( ) )

( )( )) (

( )( ) *

( ( ) )

( )( )( ( )( )) ( )

Dari persamaan (3.9) bisa didapatkan dengan menstubstusikan

persamaan (3.11). Adapun cara pengerjaannya sebagai berikut

( )( )

( )( )( )

(( )( )( )) ( ( )( ))

( ( )( )) ( ( ) )

( ( )( ))

( ( )( )) ( ( ) )

( ( )( ))( )( )( )

( )

( ( )( ))( )( )( )

19

( ( ) )( )

( ( )( ))( )( )( )

( ( ) )

( )( )( ( )( )) ( )

Sehingga dapat ditulis ulang nilai dalam berturut-turut adalah :

( )

( )( )

( ( ) )

( )( )( ( )( )) ( )

( ( ) )

( )( )( ( )( ))

3.4 Parameter Reproduktif Rasio

Parameter reproduktif rasio ini ( ) didefinisikan sebagai angka dari

banyaknya populasi yang baru saja masuk menjadi peminum akibat adanya

pengaruh dari lingkungan sosial. ini digunakan untuk menganalisis titik

equilibrium dari sistem (3.1).

Ilustrasi dari misal adanya populasi yang rentan dan tidak adanya

peminum non-alkohol. Kemudian ada peminum alkohol yang berinteraksi dengan

populasi yang rentan. Maka, jika , tidak akan terjadi endemik. Dalam

artian pengaruh alkohol didalam lingkungan sosial akan hilang dalam jangka

panjang. Sedangkan jika , akan terjadi endemik. Dalam artian, pengaruh

alkohol akan menyebar dalam sebuah populasi. Umumnya, semakin besar nilai

, maka semakin sulit untuk mengendalikan pengaruh dalam lingkungan sosial.

Penentuan nilai dapat diperoleh dengan beberapa cara, yaitu dengan

pencarian titik equilibrium endemik, dengan analisis kestabilan titik equilibrium

non endemik, dan melalui operator matriks pembangkit. Dengan menentukan nilai

20

, maka akan diketahui apakah pengaruh alkohol tersebut akan menyebar atau

tidak.

Pada model ini, telah didefinisikan

(

( ( ) )

( )( )), dimana

angka tersebut merupakan ambang batas kuantitas yang nantinya akan digunakan

untuk menganalisis kestabilan sistem (3.1) [2].

3.5 Kestabilan Titik Equilibrium

Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan

atau gangguan. Secara naluriah, sistem yang stabil adalah sistem yang tetap dalam

keadaan diam bila tidak dipengaruhi oleh sumber dari luar dan akan kembali diam

jika semua pengaruh dihilangkan. Jadi, sistem adalah stabil jika tanggapan

perilaku kurva sistem mendekati nol ketika waktu mendekati tak hingga.

Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya. Jika

semua nilai eigen positif, titik equlibrium tidak stabil dan jika semua nilai eigen

negatif, maka titik equilibrium stabil. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari

persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi.

Karena terdapat nilai dalam variabel , maka akan diperiksa terlebih dahulu

untuk mendapatkan nilai eigen dari .

Substitusikan persamaan (3.13) kedalam persamaan (3.3). Sehingga didapat:

( )

(

( )( )

( ( ) )

( )( )( ( )( )))

(

( )( )

( ( ) )

( )( )( ( )( )))

21

( )( )

( ( ( ) )

( ( )( )))

( )

( )

( ( ( ) )

( ( )( )))

( )

( )

Mencari nilai sebagai brikut :

( )

( )( )

( ( ) )

( )( )( ( )( ))

( ( ) )

( )( )( ( )( ))

( ) (

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ( )( )))

( )

( )

( ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ( )( )))

Misalkan ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ( )( )). Sehingga didapat :

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Substitusikan persamaan (3.14) dengan persamaan (3.15). Sehingga didapat :

( )

22

( )

( )( )

( ( )

*( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( )) ( )

Dari persamaan (3.16) didapat dua nilai eigen yaitu dan

berarti terdapat untuk yang merupakan equilibrium endemik. Untuk

mencari stabil asimtotik lokal dari equilibrium endemik maka dilakukan

pemisalan dengan merubah variabel demikian

juga dengan ∑ [2].

Teorema 1

Titik equilibrium yang bebas dari pengaruh alkohol, , akan stabil

asimtotik lokal jika , dan tidak stabil untuk sebaliknya [2].

Langkah pertama, lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks

jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada titik equilibrium bebas alkohol.

( ) adalah matriks jacobian dari sistem (3.1) dengan nilai

sama seperti persamaan (3.4).

23

Sistem (3.1)

1) ( ) ( )

( ) (

( )

)

( )

( )

∑

( )

( )

( )

2) ( ) ( )

( )

( )

∑

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

3) ( ) ( )

( ) ( )

4) ( ) ( )

( ) ( )

Matriks Jacobian

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

24

Sehingga didapat

( ) (

( )

( )

( )

)

Langkah kedua: mencari nilai eigen ( ).

( ( ) ) (

( )

( )

( )

) (

)

(

( )

( )

( )

) (

)

(

( )

( )

( )

)

( ( ) ) sehingga didapat

( ( ) ) |

( )

( )

( )

|

( ( ) ) ( ) | ( )

( )

( )

|

( )[( ( ) )(( ( ) )( ( ) ) ) ( ( ( ) ) )]

Maka didapat nilai eigennya ( ) dan didapat persamaan

karakteristiknya

( ) ( )

( ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) )

( ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( )( )))

Langkah berikutnya, cek kestabilan titik equilibrium dengan menggunakan nilai

.

25

Nilai eigen dari ( ) adalah dan persamaan karakteristiknya adalah

( ) (3.17)

Misal

( )

( ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) )

( ( ( ) ) ) ( ( ) ( )( ))

Untuk mendapatkan kestabilan dari persamaan karakteristik diatas maka

harus dicari nilai dengan memisalkan :

(

( ( ) )

( )( ))

(

( ( ) )

( )( ( )( )))

( ( )( )) ( ( ) )

( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( ) ( ( )( ))

( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( )

Dapat dilihat dari persamaan (3.17) mempunyai solusi unik untuk

dengan menggunakan sifat akar-akar polinom pangkat 3. Karena tujuan awal

pembuktian teorema ini adalah pengecekan kestabilan yang stabil asimtotik

lokal ketika , maka dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai

eigennya negatif. Maka, untuk mengetahui ( ) memiliki akar-akar yang negatif,

akan dibuktikan

1)

2)

3)

26

Pembuktian yang pertama yaitu ( )

Tulis

( )

( )

( ( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( ))

( ( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( ) ( ))

( ( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( )( ( )( ) ( ( ) ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( ))

( ( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( )( ( )( )) ( )( ( ) )

( ( )( ) ( ( ) )) ( ))

( ( )( ( ) )

( ( )( ) ( ( ) )) ( ))

Pembuktian yang kedua yaitu

( ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) )

( ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) )

( ( ) ( ( )) (( )( ) ( ) ))

( ( )( )( ( )( ))

( ( )( ) ( ( ) )) ( ) (( )( ) ( ) ))

(( )( )( ( )( )) ( )( ( )( ) ( ( ) ))

( ( )( ) ( ( ) ))

( ( )( ) ( ) ))

27

(( )( ) ( )( ( )( )) ( ) ( ( ) )

( ( )( ) ( ( ) ))

( ( )( ) ( ) ))

Pembuktian yang terakhir yaitu

( ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( )( ))

)

( ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( )( )))

(( )( ( )( ))( ( ( ) ) )

( ( )( ) ( ( ) )) ( ( ) ( )( )))

Maka terbukti ( ) memiliki akar-akar yang negatif sehingga stabil asimtotik

lokal.

28

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan

perkembangan sosial adalah :

1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( ) (3.1)

dengan

( ) Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol

( ) Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol

( ) Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol

( ) Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol

dengan

adalah kemungkinan menjadi peminum setelah kontak lama

dengan peminum

adalah jumlah kontak antara peminum dan bukan peminum

adalah faktor peningkatan

adalah tingkat kelahiran yang rentan terpengaruhi

adalah pengaruh dari lingkungan setempat

adalah tingkat kematian murni

adalah tingkat pertumbuhan peminum alkohol

adalah tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol

adalah tingkat kematian yang disebabkan penyakit dari alkohol

adalah tingkat pemulihan dari peminum yang ketergantungan

29

adalah kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum

dimana

Analisis matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan

perkembangan sosial diperoleh :

1. Titik Equilibrium

( ) (

)

2. Titik equilibrium diperoleh nilai eigen dari matriks ( ) yaitu

dan . Karena diketahui ( ) memiliki akar-

akar yang negatif, sehingga stabil asimtotik lokal.

3. Titik equilibrium ada jika dan terbukti dengan cara mencari

nilai eigen dari dengan substitusi antara persamaan (3.13) kedalam

persamaan (3.3) sehingga diperoleh dan

.

4.2 Saran

Pada literatur ini hanya mengkaji tentang fenomena pengaruh alkohol

terhadap kesehatan dan perkembangan sosial dengan cara memodelkan fenomena

yang ada dan mempelajari fenomena tersebut. Dimana didalam fenomena tersebut

hanya terdapat 4 kompartemen yaitu orang yang tidak pernah mengkonsumsi

alkohol, orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol, orang yang sudah

menjadi konsumen alkohol, orang yang sembuh dari pengaruh alkohol. Untuk

penulisan literatur selanjutnya dapat dilakukan dengan menambahkan komponen

yang baru atau mencari titik-titik equilibrium dari kasus yang berbeda.

30

DAFTAR PUSTAKA

1. Arjudin, Sifat Akar Polinom dan Penerapannya Pada Sistem Persamaan Non

Linear, Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Mataram,

Yogyakarta, 2011. (http://eprints.uny.ac.id/7270/1/a-5.pdf, diakses 02

Februari 2013)

2. Bhunu, C., A Mathematical Analysis of Alcoholism, World Journal of

Modelling and Simulation, 2011. (http://www.worldacademicunion.com/-

journal/-1746-7233WJMS/wjmsvol08no02paper05.pdf, diakses 16 Mei 2012)

3. Blume, L., Nielson N., dkk. Alcoholism and Alcohol Abuse Among Women:

Report Of The Council Of Scientific Affairs Journal Of Women’s Health,

1998. (http://europepmc.org/abstract/MED/9785312/reload=0;jsessionid=lx9-

bklGrYcukHh7S8XdJ.24, diakses 23 November 2012)

4. Budhi, W.S., Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut

Teknologi Bandung, 2001.

5. MedlinePlus, Alcoholism and Alcohol Abuse, Nasional Institute of Health,

2009. (http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/000944.htm, diakses

12 November 2012)

6. Sulistianaini, erik, Analisis Model Matematika Pada Kompetisi Dinamik Sel

Tumor dan Sistem Imun Akibat Perlambatan Waktu, Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim, Malang, 2010. (http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/-

fullchapter/06510005-erik-sulistianaini.ps, diakses 18 November 2012)

7. Rahmalia, Dinita, Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari

Penyebaran Penyakit Flu Burung (Mathematical Model and Stability Analysis

The Spread of Avian Influenza), Universitas Sumatra Utara, 2010.

(http://digilib.its.ac.id/ITS-Undergraduate-3100010041661/13409, diakses 23

November 2012)

31

8. Riley L, L., WHO to Meet Beverage Company Representatives To Discuss

Health-Related Alcohol Issues, Organization, 2003. (http://www.who.int-

/mediacentre/news/releases/2003/pr6/en/index.html, diakses 12 November

2012)

9. Winarni, Diny Tri, Analisis Stabilitas pada Model Epidemik Multi Grup

dengan Laju Penularan Tak Linear, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,

Surabaya, 2011. (http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-16262-

Presentation-1326506.pdf, diakses 22 November 2012)

10. Winaro, Analisis Model Dinamika Virus dalam Sel Tubuh, Universitas Negeri

Sudirman, Solo, 2009. (http://win.staff.uns.ac.id/files/2009/02/-sir_routhhur-

witz.pdf, diakses 14 Desember 2012)