model antrian

Model Antrian- Eko Hartanto 1

Model AntrianBeberapa contoh berikut ini menunjukkan bahwa penggunaan sistem antrian sangat membantu dalammelancarkan pelayanan kepada pelanggan atau konsumen seperti :1. Pelanggan menunggu pelayanan di depan kasir.2. Mahasiswa menunggu untuk konsultasi dengan dosen pembimbing.3. Mahasiswa menunggu untuk registrasi dan pembayaran uang kuliah.4. Para penumpang kereta api menunggu pelayanan loket penjualan karcis.5. Para pengendara kendaraan menunggu untuk mendapatkan pelayanan pengisian BBM.6. Pelanggan menunggu pelayanan di KFC.7. Pesawat terbang menunggu pelayanan menara pengawas untuk take off maupun landing.

Beberapa contoh diatas, sebenarnya dapat didesain lebih efisien dengan menggunakan teori antrian.

Gambar 1

Gambar diatas menunjukkan struktur umum dari model antrian yang memiliki dua komponen utamayaitu : (1) Garis tunggu atau sering disebut antrian (queue), dan (2) Fasilitas pelayanan (servicefacility). Pelanggan atau konsumen menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan. Setiap pelangganmenunggu giliran untuk memasuki fasilitas pelayanan, menerima pelayanan, dan akhirnya keluar darisistem pelayanan.Contoh yang tepat untuk menggambarkan keadaan ini adalah pelayanan pengisian BBM di SPBU.Seandainya sebuah SPBU memiliki 3 pompa dan 1 garis tunggu seperti gambar 2, dengan asumsibahwa setiap pelanggan yang datang lebih awal dilayanani lebih dulu (first come-first out / FIFO).Pemilihan bagaimana model sebuah sistem antrian adalah sangat penting dalam mencapaikeberhasilan aplikasi model antrian. Dalam contoh SPBU pada gambar 2, mungkin kita akanmengatakan bahwa akan lebih realistis apabila garis tunggu dilakukan untuk setiap pompa bensin.Disamping itu untuk meningkatkan kapasitas pelayanan, mungkin lebih baik menggunakan satupompa untuk premium, satu pompa untuk pertamax dan satu pompa untuk solar.

1

2

s

FasilitasPelayanan

Garis tungguatau antrian

Pelanggan masukke dalam sistemantrian

Pelanggan keluardari sistem antrian

Sistem Antrian


Gambar 2

Langkah-langkah dalam Analisa AntrianSecara umum prosedur dalam mengerjakan teknik antrian adalah sebagai berikut :Langkah 1. Tentukan sistem antrian apa yang harus dipelajari.Langkah 2. Tentukan model antrian yang cocok dalam menggambarkan sistem. Dalam kasus

pompa bensin paling sedikit ada tiga model yang dapat digunakan yaitu : (a) tigapompa untuk premium dengan satu garis tunggu, (b) tiga pompa untuk premiumdengan masing-masing memiliki satu garis tunggu, (c) satu pompa untuk premium,satu pompa untuk pertamax dan satu pompa untuk solar yang masing-masingmemiliki satu garis tunggu.

Langkah 3. Gunakan formula matematik atau metode simulasi untuk menganalisa model antrian.

Sistem antrian memiliki beberapa komponen seperti berikut :1. Populasi masukan (input population). Berapa banyak pelanggan potensial yang dapat

memasuki sistem antrian.2. Distribusi kedatangan. Menggambarkan bagaimana distribusi pelanggan memasuki sistem.

Para pelanggan mungkin datang setiap lima menit (constant arrival distribution), atau mungkindatang secara acak (arrival pattern random). Dengan demikian terdapat dua pola kedatangan(arrival pattern) yaitu : (1) menggambarkan tingkat kedatangan per unit waktu, atau (2)menggambarkan jumlah kedatangan dalam periode waktu tertentu secara berturut-turut dalamwaktu yang berbeda.

3. Disiplin pelayanan. Menggambarkan pelanggan mana yang harus dilayani lebih dulu. Pedomanumum yang digunakan dalam disiplin pelayanan adalah first come-first served, dan last come-firstserved. Disamping itu pelanggan mungkin dilayani secara acak dan bahkan mungkin dilayaniberdasarkan prioritas.

4. Fasilitas pelayanan. Pengelompokan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia. Sistemsingle-channel merupakan sistem yang terdiri dari satu saluran untuk memasuki sistempelayanan dengan satu fasilitas pelayanan. Atau menggunakan sistem multiple-channel yangterdiri dari satu antrian dengan beberapa fasilitas pelayanan.

Sistem single channel

serviceFasilitasPelayanan

Garis tungguatau antrian

Kedatangan Selesai dilayani

1

2

s

Tiga pompabensin

Konsumen antridalam garis tunggu

Kendaraan masuk Kendaraan keluar

Sistem Antrian


5. Distribusi pelayanan. Dapat ditetapkan berdasarkan salah satu dari dua cara berikut : (a) berapabanyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu. Atau (b) Berapa lama pelanggan dapatdilayani. Dalam kasus yang lain, suatu distribusi probabilitas mungkin digunakan untukmenentukan rata-rata waktu pelayanan.

6. Kapasitas sistem pelayanan. Memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masukdalam sistem. Kapasitas sistem mungkin terbatas atau mungkin berlebih.

7. Karakteristik sistem lainnya. Dalam praktek sistem antrian mungkin pelanggan tidak akanmemasuki sistem antrian jika mengetahui sudah banyak pelanggan yang menunggu, dengan katalain mungkin pelanggan meninggalkan antrian.

Notasi dalam Sistem Antrian.Notasi yang digunakan dalam menggambarkan sistem antrian yaitu :n = Jumlah pelanggan dalam sistem.Pn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem. = Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu. = Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu.Po = Probabiltas tidak ada pelanggan dalam sistem.P = Tingkat intensitas fasilitas pelanggan.L = Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem.Lq = Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian.W = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem.Wq = Waktu yang diharapkan pelanggan selama menunggu dalam antrian.1/ = Waktu rata-rata pelayanan.1/ = Waktu rata-rata antar kedatangan.S = Jumlah fasilitas pelayanan.

Single Channel Model (M/M/1)Salah satu model paling sederhana adalah model saluran tunggal (single-channel model) yangditulis dengan notasi sistem M/M/1. Komponen dari sistem ini adalah :1. Populasi input tak terbatas yaitu jumlah kedatangan pelanggan potensial tak terbatas.2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson. Rata-rata kedatangan

pelanggan per satuan waktu adalah variabel random suatu distribusi probabilitas Poisson. Dalamnotasi (M/M/1), tanda M pertama menunjukkan rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusiprobabilitas Poisson. Sedangkan arti M kedua adalah tingkat pelayanan yang mengikuti distribusiprobabilitas Poisson. Angka satu menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satusaluran (one channel).

3. Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS.4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal.5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson. Diasumsikan bahwa lamda lebih kecil dari miu

( < ) yaitu rata-rata jumlah kedatangan pelanggan per satuan waktu lebih kecil dari rata-ratajumlah pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu dalam sistem.

6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas.7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran.

Persamaan yang digunakan dalam sistem (M/M/1) adalah sebagai berikut :

p (1)

p1pp nn (2)


p1pL (3)

p1p

Lq

22

(4)

1W (5)

Wq (6)

Contoh (1) : Model (M/M/1) kasus pompa bensin (SPBU)PT. SGT mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang operator yang bernama John,seperti diperlihatkan gambar berikut :

Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan per jam.John dapat melayani rata-rata 25 kendaraan per jam, dengan waktu pelayanan setiap kendaraanmengikutu distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yangdigunakan John adalah (M/M/1), hitung :

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p).2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem.3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian.4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan).5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian.

Kedatangan 15mobil / jam

Mobil keluar

PompaFasilitas pelayanan 1buah pompa dapat

melayani 20 mobil per jamMobil antri menunggu

pelayanan


Penyelesaian :Dari kasus diatas, kita memiliki = 20 dan = 25

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan atau p :

80,02520

p

Angka 0,80 tersebut menunjukkan bahwa John akan sibuk melayani mobil selama 80% dariwaktunya. Sedangkan 20% dari waktunya atau (1 p) atau (1 0,80) yang sering disebut idletime akan digunakan John untuk istirahat, membersihkan pompa dan lain-lain.

2. 4202520

L , atau

480,0180,0

p1pL (lihat persamaan (3)

Angka 4 menunjukkan bahwa John dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem.

3. 20,3125

400202525

20

Lq22

Angka tersebut menunjukkan bahwa, mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrianadalah 3,20 mobil.

4. menit12ataujam0,2051

20251

1W

Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata mobil menunggu dalam sistem selama 12menit.

5. menit9,6ataujam0,1612520

20252520

Wq

Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrianselama 9,6 menit.

Untuk menggunakan persamaan (2) yaitu probabilitas kepastian jumlah mobil yang ada dalam sistem,dihitung dengan menjumlahkan p0 + p1 + p2 + p3 + p4, dimana pn = pn(1 p) ataupn = (0,80)n (1 0,80)

= (0,80)n (0,20)


Hasil perhitungan pn adalah sebagai berikut :n Pn =(0,80)n (0,20)0 [(0,80)0] (0,20) = 0,2001 [(0,80)1] (0,20) = 0,1602 [(0,80)2] (0,20) = 0,1283 [(0,80)3] (0,20) = 0,1024 [(0,80)4] (0,20) = 0,082

Jumlah = 0,672

Perhitungan tersebut menunjukkan bahwa, tingkat probabilitas 4 mobil berada dalam sistempelayanan adalah sebesar 67,20%.Dalam setiap sistem antrian distribusi Poisson, akan selalu terjadi hubungan yang berkait antara L, Lq,W dan Wq. Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

L = W (7)Lq = Wq (8)W = Wq + 1/ (9)

Persamaan diatas dapat dicek dengan persamaan yang terdapat dalam sistem (M/M/1). Misalnyapersamaan (7). Jika persamaan (5) dikalikan dengan lamda (), maka akan diperoleh hasil berikut :

1W persamaan (5)

L

1W

Dari hasil pengecekan tersebut, apakah kita akan menggunakan persamaan (7), (8) maupun (9)diatas ? Jika kita mengetahui salah satu nilai dari keempat parameter L, Lq, W dan Wq, maka kitadapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan ketiga persamaan tersebut.Misalnya, kita mempunyai sistem (M/M/1) dengan = 20 dan = 25 (lihat contoh (1)). Daripersamaan (5) kita dapat menghitung W sebagai berikut :

20,020251

1W

Disamping itu, kita juga dapat menghitung L, Lq, W dan Wq dengan menggunakan persamaan (3), (4)dan (6) seperti dalam contoh (1), atau kita dapat memakai persamaan (8) dan (9) untuk menghitungketiga parameter tersebut.Jika kita telah mengetahui nilai W, maka kita dapat mencari nilai Wq dengan persamaan (9) :

jam0,1604,020,025120,0

1WWq

Dengan diketahuinya nilai Wq, kita dapat menggunakan persamaan (7) untuk menemukan nilai Lq.Lq = Wq = 20(0,16) = 3,20 mobil


Jika persamaan (9) dimasukkan dalam persamaan (7) maka diperoleh persamaan sebagai berikut

pLqWq

1WqWL

(10)

dimana Wq = Lq dan / = p.

Jika L = Jumlah pelanggan yang diharapkan dalam sistem, maka :

Sedangkan jumlah yang diharapkan dalam pelayanan dapat ditulis dengan persamaan sebagaiberikut :

= p(1) + (1 p)(0) = pdari perhitungan tersebut, akan diperoleh persamaan sebagai berikut :

L = Lq + p (11)

Multiple Channel Model (M/M/s)Perbedaan dengan single channel model terletak pada jumlah pelayanan. Fasilitas pelayanan yangdimiliki model (M/M/s) lebih dari satu. Huruf (s) yang terdapat pada (M/M/s) menyatakan jumlahfasilitas pelayanan.Contoh (2) : Ruang UGD rumah sakitSebuah rumah sakit memiliki sebuah ruang unit gawat darurat (UGD) yang berisikan tiga bagianruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiap ruangan mimiliki satu orang dokter dansatu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasienper jam. Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapat melayani rata-rata 12pasien per jam. Laporan pihak statistik pasien menunjukkan bahwa kedatangan dan penyelesaianpelayanan mengikuti distribusi Poisson.Analisa kasus seperti diatas, dapat menggunakan multiple-channel model dengan sistem antrian(M/M/3) seperti gambar dibawah ini.

L = jumlah pelanggan yangdiharapkan dalam antrianjumlah pelanggan yang

diharapkan dalam pelayanan+

Probabilitas tingkatintensitas pelayanan 1 pelanggan +

Probabilitasidle time 0 pelanggan


Notasi yang digunakan dalam multiple-channel model, pada dasarnya sama dengan single-channelmodel, kecuali untuk dua persamaan berikut ini : = rata-rata tingkat pelayanan untuk setiap fasilitas pelayanan

sp (12)

Jika, = 12 = 5s = 3

maka 80,01512

3512p

Kondisi yang harus dipenuhi untuk kasus UGD tersebut adalah

1pataus (13)jika s , maka jumlah pelanggan dalam sistem akan menjadi tak terbatas.Oleh karena itu, jika kita berpegang pada persamaan (13), maka persamaan yang digunakan dalamsistem (M/M/s) adalah sebagai berikut :

1s

0n sn

sn

sn0

s

s!

n!

1p (13.a)

1s

0n

sn0

s1

1s!

n!

1p (13.b)

Tiga saluranpelayanan.Setiap tim dokterdapat mengobatirata-rata 5 pasienper jam.

Pasien datang rata-rata 12 pasien perjam

Pasien pergisetelah menerimapengobatanPasien menunggudalam antrian untuk

berobat

Sistem : (M/M/3) = 12 = 5p = 12/3(5) = 0,80


11s

0n

sn0 /s1

1s!

/n!

/p

(14.a)

sn0jika,pn!

0

n

pn = (14.b)

snjika,pss!

0s-n

n

2s

0

q p-1s!p

pL

(14.c)

LW qq (14.d)

1WW q (14.e)

LWL q (14.f)

Dalam persamaan (14.b) dan (14.c) membutuhkan nilai po yaitu probabilitas sistem dalam keadaanidle atau dalam keadaan tidak ada pelanggan. Untuk menghitung nilai Lq digunakan persamaan(14.c), sedangkan persamaan (14.d), (14.e) dan (14.f) masing-masing digunakan untuk menghitungnilai Wq, W dan L.Jika kasus UGD dengan sistem (M/M/3) diselesaikan, akan diperoleh hasil seperti berikut :

2

5

q

1512-13!

1512

51220,0

L

pasien9,2160,24

2,211840,046

80,0824,1320,0


menit46ataujam0,768129,216

LW qq

menit58ataujam0,968510,768

1WW q

11,6212(0,968)WL

Contoh 3 : Registrasi MahasiswaBagian registrasi sebuah perguruan tinggi telah menggunakan sistem komputer dengan 4 orangoperator dan setiap operator melakukan pekerjaan yang sama. Rata-rata kedatangan mahasiswayang mengikuti distribusi Poisson adalah 100 mahasiswa per jam. Setiap operator dapat memproses40 registrasi mahasiswa per jam dengan waktu pelayanan per mahasiswa mengikuti distribusieksponensial.

a) Berapa prosentase waktu mahasiswa tidak dalam pusat registrasi ? (p0)b) Berapa lama rata-rata mahasiswa menghabiskan waktunya di pusat registrasi ? (W)c) Atas dasar rata-rata tersebut, berapa lama mahasiswa menunggu untuk mendapatkan

pelayanan registrasi ? (Lq)d) Berapa lama rata-rata mahasiswa menunggu dalam garis antrian ? (Wq)e) Jika ruang tunggu pusat registrasi mahasiswa hanya mampu menampung 5 mahasiswa,

berapa prosentase waktu setiap mahasiswa berada dalam garis antrian di luar ruangan ?

Penyelesaian.Kasus ini dapat diselesaikan dengan model (M/M/4). Rata-rata kedatangan mahasiswa = 100, danrata-rata setiap operator dapat melayani mahasiswa = 40.

a) 625,0160100

)40(4100

sp

11s

0n

sn0 /s1

1s!

/n!

/p

1432100 )40.4/(100(1

1!4

)40/100(!3

)40/100(!2

)40/100(!1

)40/100(0!

)40/100(p

1

0 625,011

240625,39

6625,15

225,65,21p

07370)66672(62761604121253521p 10 ,,,,,,


Hasil perhitungan tersebut menunjukkan bahwa probabilitas mahasiswa tidak dalam kondisimendatangi pusat registrasi sebesar 0,0737 atau 7,37%.

b) Untuk menghitung waktu rata-rata yang dihabiskan mahasiswa di pusat registrasi, pertama yangharus dihitung adalah Lq.

)140625,0(247993216406,1

)625,01(24)625,0)(0625,39)(0737,0(

)625,01(!4625,0)40

100(0737,0)1(!

)(22

4

2

0 ps

ppLq

s

533,0375,37993216406,1

Setelah Lq ditemukan, langkah selanjutnya adalah menghitung Wq dengan menggunakanpersamaan Wq = Lq / .Wq = 0,533/100 = 0,00533 jam atau 0,3198 menit.Akhirnya kita dapat menghitung nilai W dengan menggunakan persamaan W = Wq + 1/.W = 0,00533 + 1/40 = 0,03 jam atau 1,8 menit, artinya, waktu rata-rata yang digunakanmahasiswa dipusat registrasi adalah 1,8 menit.

c) Lq = 0,533, maksudnya adalah waktu menunggu mahasiswa untuk mendapatkan pelayananregistrasi adalah 0,533 jam atau 31,98 menit.

d) Wq = 0,00533, maksudnya adalah waktu menungg mahasiswa selama dalam proses antrianadalah 0,00533 jam atau 0,03 menit

e) Untuk menentukan berapa lama mahasiwa berada di luar ruangan tunggu, dilakukan denganmenghitung Pn yaitu menjumlahkan P0+P1+P2+P3+P4+P5 = 0,0737 + 0,1852 + 0,2303 + 0,1919 +0,1200 + 0,0750 = 0,8751, sama dengan proporsi waktu yang digunakan mahasiswa menunggu didalam ruangan registrasi. Persentase waktu yang digunakan mahasiswa untuk menunggu di luarruangan adalah : 1 0,8751 = 0,1249 atau 12,49% dari waktu mahasiswa. Jika mahasiswaberada dalam sistem selama 1,8 menit, maka 87,51% dari waktu tersebut mahasiswa beradadalam ruang tunggu, dan 12,49% atau 0,225 menit mahasiswa berada di luar ruangan tunggu.

APLIKASI SINGLE DAN MULTIPLE CHANNEL MODELBagaimana dua model antrian (M/M/1) dan (M/M/s) digunakan dalam mendisain fasilitas pelayanan ?.Untuk mempermudah memahami dapat kita lihat seperti contoh berikut :PT. Bank Bagus sedang mempertimbangkan jumlah kasir yang diperlukan untuk melayani nasabahyang ada diruang lobby, dengan menggunakan sistem (M/M/s). Tingkat kedatangan nasabah di bankrata-rata 40 orang per jam. Setiap kasir bank rata-rata dapat melayani 10 nasabah per jam. Berapabanyak kasir bank yang harus disediakan, agar rata-rata waktu nasabah menunggu dalam antriantidak lebih dari 1,5 menit.Penyelesaian.Waktu 1,5 menit sama dengan 0,0025 jam, berarti kita harus menemukan Wq 0,0025 jam.Disamping itu kita juga memiliki = 40 dan = 10. Jika p = /(s) = 40/(s)(10) hasilnya harus kurangdari 1. Oleh karena itu kita harus menyediakan paling sedikit 5 orang kasir atau s 5. Jika ditetapkanjumlah kasir sebanyak 5 orang, apakah bank tersebut dapat memenuhi keinginannya, bahwa waktutunggu nasabah tidak lebih dari 1,5 menit atau 0,0025 jam ? Untuk itu kita kita harus menghitung nilaiP0 dengan menggunakan rumus 13.a atau mengunakan tabel P0 untuk multiple channel pada s = 5


dan /s = 0,80. Nilai P0 = 0,0130. Dari nilai P0 kita dapat menghitung Lq dengan menggunakanpersamaan 14.c sebagai berikut :

2,2194,810,6496

0,80)(15!0,80)10

40(0,0130p)(1s!p)

(pLq 2

5

2

s0

Langkah selanjutnya adalah menghitung Wq :

40219,2

LqWq = 0,0555 jam atau sama dengan 3,33 menit

Ternyata rata-rata nasabah menunggu dalam antrian selama 0,0555 jam atau 3,33 menit, lebih lamadari waktu yang ditetapkan yaitu 1,5 menit atau 0,025 jam.Dengan cara yang sama, kita coba untuk menaikkan jumlah kasir hingga waktu rata-rata nasabahmenunggu atau Wq maksimum 1,5 menit atau 0,025 jam. Perhitungan tersebut dapat dilihat padatabel berikut :

Kasir (s) P0 Lq Wq5 0,0130 2,219 0,05556 0,0163 0,556 0,01407 0,0180 0,182 0,0046

Dari tabel diatas menunjukkan bahwa PT Bank Bagus harus menyediakan paling sedikit 6 orang kasiragar waktu rata-rata nasabah menunggu dalam antrian (Wq) tidak lebih dari 1,5 menit atau 0,025 jam.

model antrian

Documents