minggu10-sistem-persamaan-linear.pdf
TRANSCRIPT
-
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Pokok Bahasan : Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Sub Pokok Bahasan : A. Pendahuluan B. Aturan Cramer C. Solusi Persamaan Linier
Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa dapat memahami apa yang
dimaksud dengan sistem persamaan linier non homogen
Tujuan Instruksional Khusus : Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat
menyelesaikan masalah yang terkait dengan : A. Pendahuluan B. Aturan Cramer C. Solusi Persamaan Linier
Jumlah Pertemuan : 1 (satu)
-
2
Materi ke 10
Sistem Persamaan Linear Non Homogen
A. Sistem Persamaan Linear : Pendahuluan
Persamaan linear AX = B dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
nnmnmm
n
n
b
b
b
X
X
X
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Penyelesaian sistem persamaan diatas dapat dilakukan dengan menentukan
balikan dari A, sedemikian sehingga diperoleh :
AX = B (A-1A)X = A-1B ; X = A-1B
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
disebut matriks koefisien
(A,B) =
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
........
...........................
......
......
21
222221
111211
disebut matriks lengkap
X =
nX
X
X
....
2
1
disebut vector variable
-
3
B =
nb
b
b
....
2
1
disebut vector konstanta
contoh :
2X1 + 3X2 + X3 = 9
X1 + 2X2 + 3X3 = 6
3X1 + X2 + 2X3 = 8
carilah nilai X1, X2 dan X3 .
Jawab :
8
6
9
213
321
132
3
2
1
X
X
X
[ Xi] =
18
518
2918
35
8
6
9
18
1
18
7
18
518
5
18
1
18
718
7
18
5
18
1
Sehingga;
18
351X
18
292X
18
53X
-
4
B. Skema SPL
C. Solusi Persamaan Linear
Solusi Persamaan Linear :
Misalkan r(A) adalah rank matriks A, r(A,B) adalah rank matriks lengkap
(A,B) yang merepresentasikan sebanyak m persamaan linear yang terdiri
dari n variable.
i. Suatu persamaan linear bisa tidak mempunyai jawab dan bila
mempunyai jawab maka jawaban bisa tunggal (unik), atau bisa
lebih dari satu jawab (banyak jawab).
ii. Suatu persamaan linear tidak akan mempunyai jawab (tidak
konsisten) jika r(A) r (A,B). Jika r(A) = r(A,B) = r = n, maka
jawabnya tunggal. Bila r (A) = r (A, B) = r < n, maka jawabnya
banyak.
Contoh :
Sistem Persamaan Linier
Non Homogen AX = B, B 0
Homogen AX = 0 Hom
nnmnmm
n
n
b
b
b
X
X
X
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
ogen AX = 0
Selalu ada jawab Mempunyai jawab Tidak punya jawab r(A) r(A,B)
Jawab Trivial (nol) r = n
Selain Jawab Trivial, ada juga jawab non trivial, r < n (nol) r = n
Jawab Unik (tunggal) r = n CRAMER
Banyak Jawab r < n
-
5
1. 2 X1 + 3 X2 = 7
4 X1 + 6X2 = 13
A = 64
32
00
32)2(12H , r(A) =1
(A,B) = 1304
702
1364
732 )2
3(
2K , r(A,B) =2
Karena r(A) = 1 2 = r(A,B) maka persamaan tidak
mempunyai jawaban.
C. Aturan Cramer
Aturan Cramer memberikan suatu metode untuk menyelesaikan system
persamaan linear melalui pemakaian determinan.
A
Ax
i
i
Contoh :
X1 + 0 + 2X3 = 6
-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30
-X1 - 2X2 + 3X3 = 8
carilah nilai X1, X2 dan X3 dengan aturan Cramer
Jawab :
A =
321
643
201
; A1 =
328
6430
206
; A2 =
382
6303
261
; A3 =
821
3043
601
-
6
Det (A) = 44; Det (A1) = -40;
Det (A2) = 72; Det (A3) = 152
Maka ;
11
10
44
401X
11
18
44
722X
11
38
44
1523X