PENGANTAR

PROGRAM LINEARPertemuan 2 dan 3– Riset Operasional

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa dapat menjelaskan definisi program linear.

Mahasiswa dapat menganalisis persoalan program linear.

Mahasiswa dapat menganalisis system persamaan dan

pertidaksamaan dalam program linear

01

02

03

Sub Pembahasan

1 Definisi Program Linear

2 Syarat Utama Program Linear

3 Contoh Persoalan Program Linear

4 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan

Program Linear

DEFINISI PROGRAM LINEARSub Pembahasan 01

“Suatu metode matematis dalam mengalokasikan sumberdaya yang

terbatas atau langka untuk mencapai tujuan, misalnya

memaksimumkan keuntungan, meminumumkan biaya, jarak, waktu

dan lain-lain”

SYARAT UTAMA PROGRAM

LINEARSub Pembahasan 02

Syarat Utama Program Linear

Harus ada tujuan, dapat dalam

bentuk memaksimumkan 𝜋,

memininumkan biaya dll

TUJUAN

Tujuan dan kendala memiliki

hubungan matematis yang linear

HUBUNGAN MATEMATIS

Harus ada alternative untuk

menyelesaikan masalah

ALTERNATIF

Harus ada sumberdaya yang

terbatas

CONSTRAINT

B

D

C

A

CONTOH PERSOALAN PROGRAM

LINEARSub Pembahasan 03

Contoh:Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Dari

bahan tersebut akan membuat setelan jas dan tok untuk dijual.

• Satu jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun;

• satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun.

Berapa stel jas dan rok yang harus ia buat agar mendapatkan

keuntungan sebesar-besarnya bila satu stel jas harganya Rp 500.000

,- dan satu stel rok harganya Rp 100.000,-

Terjemahkan dalam model matematika:

a. Aktivitas (variabel)

b. Fungsi tujuan

c. Fungsi pembatas (constraint)

Penyelesaian

Dengan Cara

Grafis

Penyelesaian

Dengan Metode

Simplex

Sistem Persamaan Linear,

Sistem Pertidaksamaan Linear

Model Matematika

SISTEM PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN PROGRAM

LINEAR

Sub Pembahasan 04

1 2 3 4 5

ELIMINASI SUBTITUSI MATRIKS GRAFIS SIMPLEX

Persamaan Linear

Tuliskan matriks dari konstanta – 2 persamaan linear

Metode MatriksContoh Penyelesaian Linear Menggunakan Matriks

Misalkan persamaan:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Langkah – langkah penyelesaian:

01

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓

Baris

Kolom

Digunakan operasi hitung, sehingga matriks tersebut menjadi:02

1 0 𝑐0 1 𝑓

Sehingga dapat disimpulkan penyelesaian

persamaan tsb, adalah (c, f)

Contoh:

Diketahui persamaan linear sebagai berikut:3𝑥 + 4𝑦 = 22𝑥 − 3𝑦 = 7

3 4 22 −3 7

Matriks dari konstanta-konstanta01

Kalikan baris pertama dengan -2 kemudian tambahkan kepada

baris kedua

Kalikan baris pertama dengan 1/3:02

3

3

4

3

2

32 −3 7

= 14

3

2

32 −3 7

03

14

3

2

3

0 −17

3

17

3

Jadi penyelesaian sistem

Kalikan baris kedua dengan −4

3kemudian tambahkan kepada baris pertama

Kalikan baris kedua dengan −3

17:04

14

3

2

30 1 −1

05

1 0 20 1 −1

06

3𝑥 + 4𝑦 = 22𝑥 − 3𝑦 = 7

Nilai x dan y adalah (2, -1)

Latihan

Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan

matriks:

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟐𝟔

Maka dari system persamaan linear 3 variabel di atas perlu diusahakan

memperoleh matriks:

Persamaan Linear Dengan 3 Variabel

Misalkan persamaan:

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑦 = 𝑝𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑞𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑟

01

1 0 00 1 00 0 1

𝑝𝑞𝑟

Kalikan baris pertama dengan -2 kemudian tambahkan kepada baris kedua:

Contoh:𝒙 − 𝟒𝒛 = 𝟓𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟒𝒛 = −𝟑𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎

Matriks dari konstanta-konstanta adalah

1 0 −42 −1 46 −1 2

5−310

Langkah-langkah Penyelesaian:

01

1 0 −40 −1 126 −1 2

5−1310

Kalikan baris kedua dengan -1

Kalikan baris pertama dengan -6, kemudian tambahkan kepada baris

ketiga:02

03

1 0 −40 −1 120 −1 26

5−13−20

1 0 −40 1 −120 −1 26

513−20

Kalikan baris ketiga dengan 1/14

Tambahkan baris kedua kepada baris ketiga, sehingga menjadi:04

05

1 0 −40 1 −120 0 14

513−7

1 0 −40 1 −120 0 1

513

− ൗ1 2

Kalikan baris ketiga dengan 4, kemudian tambahkan hasilnya ke baris

pertama

Kalikan baris ketiga dengan 12, kemudian tambahkan hasilnya

kepada baris kedua06

07

1 0 −40 1 00 0 1

57

− ൗ1 2

1 0 00 1 00 0 1

37

− ൗ1 2

Maka diperoleh:

x = 3

y = 7

z = -1/2

Latihan

Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan

matriks:

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = −𝟏𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟒𝟒𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟒

Pertidaksamaan Linear

Contoh pertidaksamaan linear: 2𝑥 + 𝑦 ≥ 24𝑥 + 3𝑦 ≤ 12

Ditanyakan:

1. Gambar setiap persamaan tersebut.

2. Arsir daerah tiap pertidaksamaan.

3. Gambar dalam satu bidang xoy, kemudian arsir daerah yang memenuhi semua syarat di

atas.

Tanda ≥ dan ≤ menunjukkan satu set himpunan jawaban dari pertidaksamaan tersebut,

yang di dalam grafik dapat ditunjukkan pada satu daerah tertentu sesuai dengan batasannya.

Jawaban untuk pertidaksamaan 𝟐𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟐

𝟐𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟐Jika x = 0, maka y = 2

Jika y = 0, maka x = 1

(0,2)

(1,0)x

y

Jawaban untuk pertidaksamaan 4𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟐

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟐Jika x = 0, maka y = 4

Jika y = 0, maka x = 3

(0,4)

(3,0)x

y

Terima KasihSampai jumpa minggu depan