1

METODE NUMERIK

Pendahuluan

Metode numeric adalah salah satu teknik penyelesaian yang

diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan/aritmatik

dan dilakukan secara berulang-ulang dengan bantuan computer atau secara

manual.

Dalam menganalisis suatu masalah yang didekati dengan

menggunakan metode numeric, umumnya melibatkan angka - angka dalam

jumlah banyak dan melewati proses perhitungan metematika yang cukup

rumit. Perhitungan secara manual akan memakan waktu yang cukup

panjang dan lama. Akan tetapi dengan munculnya berbagai software,

masalah tersebut kini menjadi semakin mudah untuk diatasi. Selain itu,

dengan munculnya berbagai macam bahasa pemrograman seperti Turbo

Pascal, C++, C#,VB, dan Fortran permasalahan yang berkaitan dengan

metode numeric menjadi semakin mudah diatasi dengan memanfaatkan

bahasa pemrograman tersebut sesuai dengan kemampuan kita.

Pengertian

Metode numeric adalah salah satu teknik penyelesaian yang

diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan/aritmatik

dan dilakukan secara berulang-ulang dengan bantuan computer atau secara

manual.

2

Mengapa Kita Harus Mempelajari Metode Numerik

Ada beberapa hal mengapa kita harus mempelajari metode numeric saat

ini, diantara sebabnya yaitu :

Seiring dengan perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, saat ini diperlukan

suatu metode untuk dapat menangani suatu masalah dengan ketelitian dan akurasi

yang tinggi, baik dalam menangani masalah yang ringan maupun masalah yang

rumit sekalipun yang mana dalam prakteknya seringkali tidak mungkin dipecahkan

secara analitik.

Dengan mempelajari dan memahami metode numeric, maka kita akan dapat

menemukan suatu solusi yang lebih singkat dalam melakukan perhitungan, misal

dengan membuat suatu aplikasi numerik tanpa harus membelinya sehingga ketika

kita hendak melakukan suatu perhitungannya akan menjadi lebih mudah dan cepat.

Metode numeric menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman

matematika. Karena, metode numeric ditemukan dengan menyederhanakan

matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Dengan mempelajari metode numeric, maka sedikit demi sedikit kita akan dapat

menangani suatu masalah yang cukup berat yang berhubungan dengan angka

meskipun hasil yang diperoleh tidak 100% tepat, akan tetapi setidaknya sudah

mendekati pada nilai yang benar.

Pokok Bahasan Pada Metode Numerik

Pada metode numeric kali ini, ada 6 pokok bahasan yang akan dibahas

Solusi system persamaan nirlanjar

Solusi system persmaan lanjar

Interpolasi polinom

Turunan numeric

Integrasi numeric

Solusi persamaan differensial biasa dengan nilai awal

3

1. Solusi System Persamaan Nirlanjar

System persamaan nirlanjar merupakan suatu persamaan matematika yang lebih dari

satu sehingga membentuk sebuah system. Mungkin kita sudah mengenal rumus abc,

yaitu :

𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Untuk menyelesaikan persamaan

f(x)= 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 = 0

Salah satu metode penyelesaian pada Solusi Sistem Persamaan Nirlanjar ini yaitu

dengan Metode Secant.

Metode Secant

Kita bisa menggunakan metode ini untuk menyelesaikan masalah persamaan

nirlanjar tersebut, salah satunya dengan memanfaatkan persamaan dari segitiga

sebangun :

𝑥0−𝑥2

𝑓(𝑥0) =

(𝑥0−𝑥1)

𝑓(𝑥0)−𝑓(𝑥1)

Atau bisa diselesaikan untuk 𝑥2 akan didapatkan bentuk :

𝑥2 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0).(𝑥0 − 𝑥1)

𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥1)

Dan seterusnya hingga 𝑥𝑛

Contoh Soal :

Hitung kembali akar dari persamaan :

𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟑

Dengan menggunakan metode secant, disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif

𝜀𝑎 < 0,01%

Hasil :

Iterasi 𝒙𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟎) 𝒇(𝒙𝟏) 𝜺𝒂(%)

1 1 2 1,571429 -4 3

2 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304

4

3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119

4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126

5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137

6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06

2. Solusi System Persamaan Lanjar

Persamaan lanjar (linier) adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya

mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan

ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis

lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Persamaan lanjar(linier) secara umum dapat dituliskan sebagai :

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

… … … …𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

𝑥1

𝑥2

…𝑥𝑏

=

𝑐1

𝑐2

…𝑐𝑛

Ada beberapa metode untuk mencari nilai 𝑥1, 𝑥2, …𝑥𝑛 , namun yang akan digunakan

disini yaitu Metode Eliminasi Gauss.

Metode Eliminasi Gauss

Prinsip penyelelesaian system persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss

adalah dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang ada dengan menghilangkan

salah satu variable dari persamaan-persamaan tersebut sehingga pada akhirnya hanya

tertinggal satu persamaan dengan satu variable. Akibatnya, persamaan yang terakhir

ini akan dapat diseelesaikan dan kemudian hasilnya disubtitusikan kepersamaan lain

untuk memperoleh penyelesaian.

Contoh :

Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan :

3. 𝑥1 − 0,1. 𝑥2 − 0,2. 𝑥3 = 7,85 (i)

0,1. 𝑥1 + 7. 𝑥2 − 0,3. 𝑥3 = −19,3 (ii)

0,3. 𝑥1 − 0,2. 𝑥2 + 10. 𝑥3 = 71,4 (iii)

5

Langkah pertama adalah kalikan persamaan (i) dengan (0,1)/3 dan kurangkan

hasilnya dari persamaan (ii) sehingga didapat :

7,003. 𝑥2 − 0,29333.𝑥3 = 19,5617

Selanjutnya kalikan persamaan (i) dengan (0,3)/3 dan kurangkan hasilnya dari

persamaan (iii) untuk memberikan hasil :

−0,19. 𝑥2 + 10,02. 𝑥3 = 10,6150

Setelah langkah kedua ini, maka SPL akan berubah menjadi :

3. 𝑥1 − 0,1. 𝑥2 − 0,2. 𝑥3 = 7,85

7,003. 𝑥2 − 0,29333.𝑥3 = −19,5617

−0,19. 𝑥2 + 10,02. 𝑥3 = 10,6150

Langkah berikutnya, kalikan persamaan (ii.a) dengan (-0,19) /7,0033, lalu kurangkan

hasilnya dari persamaan (iii.a). Bila telah dilaksanakan, maka SPL akan menjadi

suatu bentuk segituga atassebagai berikut :

3. 𝑥1 − 0,1. 𝑥2 − 0,2. 𝑥3 = 7,85

7,003. 𝑥2 − 0,29333.𝑥3 = −19,5617

10,0120.𝑥3 = 70,0843

Selanjutnya dengan subtitusi mundur diperoleh

𝑥3

70,0843

10,012= 7,00003

𝑥2

−19,5617 + (0,293333 𝑥 7,00003)

7,0033= −2,5

𝑥1

7,85 + 0,2 𝑥 7,00003 + (0,1 𝑥 − 2,5)

3= 3

𝒙𝟏 = 𝟑, 𝒙𝟐 = −𝟐, 𝟓, 𝒙𝟑 = 𝟕, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑

3. Interpolasi Polinom

Interpolasi polinom merupakan suatu metode numeric yang mana pada metode ini

dilakukan suatu perhitungan terhadap sekumpulan data yang berupa angka yang

6

kemudian dari hasil perhitungan angka-angka tersebut didapatkan suatu informasi

mengenai suatu masalah.

Misalkan terdapat pasangan dua buah titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)), maka

secara sederhana

dari kedua titik tersebut dapat dibentuk sebuah garis dengan persamaan

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)=

𝑥−𝑥0

𝑥1−𝑥0

atau dapat ditulis sebagai berikut

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)

𝑥1−𝑥0 (𝑥 − 𝑥0) (7)

Ini adalah rumus interpolasi linear.

Contoh:

Tentukan interpolasi linear jika diberikan data sebagai berikut :

x 1.4 1.25

y 3.7 3.9

Solusi: Gunakan persamaan (7) untuk memperoleh

𝑝 𝑥 = 3.7 + 3.9−3.7

1.25−1.4 (𝑥 − 1.4)

= 3.7 −4

3(𝑥 − 1.4)

Dari sini dapat dihitung nilai y apabila x = 1.3, yaitu :

𝑝 1,3 = 3.7 −4

3 1,3 − 1.4

= 3.8333333

7

4. Turunan Numerik

Turunan numerik adalah teknik analisis numerik untuk menghasilkan perkiraan dari

turunan dari fungsi matematika atau fungsi subrutin menggunakan nilai dari fungsi dan

mungkin pengetahuan lainnya tentang fungsi. Pada turunan numeric, terdapat beberapa

rumus yang dapat digunakan sesuai dengan masalah yang dihadapi. Beberapa rumus-

rumus tersebut yaitu :

1) Rumus untuk turunan pertama

𝑓0′ =

𝑓1−𝑓0

ℎ+ 𝑂(ℎ)

(selisih - maju)

𝑓0′ =

𝑓0 − 𝑓−1

ℎ+ 𝑂(ℎ) (selisih - mundur)

𝑓0′ =

𝑓1−𝑓−1

2ℎ+ 𝑂(ℎ2) (selisih - pusat)

𝑓0′ =

−3𝑓0 + 4𝑓1 − 𝑓2

2ℎ+ 𝑂(ℎ2) (selisih - maju)

𝑓0′ =

−𝑓2 + 8𝑓1 − 8𝑓−1 + 𝑓−2

12ℎ+ 𝑂(ℎ4) (selisih - pusat)

2) Rumus untuk turunan kedua

𝑓0′′ =

𝑓1 − 2𝑓0 − 𝑓−1

ℎ2+ 𝑂(ℎ2) (selisih - pusat)

𝑓0′′ =

𝑓−2 − 2𝑓−1 + 𝑓0

ℎ2+ 𝑂(ℎ) (selisih - mundur)

𝑓0′′ =

𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0

ℎ2+ 𝑂(ℎ) (selisih - maju)

𝑓0′′ =

−𝑓3 + 4𝑓2 − 5𝑓−1 + 2𝑓0

12ℎ2+ 𝑂(ℎ2) (selisih - maju)

𝑓0′′ =

−𝑓2 + 16𝑓1 − 30𝑓0 + 16𝑓−1 − 𝑓−2

12ℎ2+ 𝑂(ℎ2) (selisih - pusat)

8

3) Rumus untuk turunan kedua

𝑓0′′′ =

𝑓3 − 3𝑓2 + 3𝑓1 − 𝑓0

ℎ3+ 𝑂(ℎ) (selisih - maju)

𝑓0′′′ =

𝑓2 − 2𝑓1 + 2𝑓−1 − 𝑓−2

2ℎ3+ 𝑂(ℎ2) (selisih - pusat)

4) Rumus untuk turunan keempat

𝑓0𝑖𝑣 =

𝑓4 − 4𝑓3 + 6𝑓2 − 4𝑓1 + 𝑓0

ℎ4+ 𝑂(ℎ) (selisih - maju)

𝑓0𝑖𝑣 =

𝑓2 − 4𝑓1 + 6𝑓0 − 4𝑓−1 + 𝑓−2

ℎ4+ 𝑂(ℎ2) (selisih - pusat)

Contoh :

Terdapat beberapa data dalam table berikut :

x f(x)

1.3 3.669

1.5 4.482

1.7 5.474

1.9 6.686

2.1 8.166

2.3 9.974

2.5 12.182

Hitunglah f '(1.4)dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2)

Penyelesaian :

Orde O(h 2) :

Ambil titik-titik x-1 = 1.3 dan x1 = 1.5, yang dalam hal ini x0 = 1.4 terletak di

tengahnya dan h = 0.1.

𝑓 ′ 1.4 = 4.482−3.669

2(0.1)= 4.065 (4 angka bena)

9

5. Integrasi Numerik

Integrasi berasal dari bahasa inggris "integration" yang berarti kesempurnaan atau

keseluruhan. Integrasi numerik dimaknai sebagai proses penyesuaian di antara beberapa

data berupa angka yang berbeda-beda dalam suatu masalah sehingga menghasilkan pola

yang memilki keserasian fungsi. Pada integrasi numeric terdapat beberapa metode

untuk menyelesaikan permasalahan integral, salah satunya yaitu dengan Aturan

Trapesium.

Aturan trapesium adalah rumusan integrasi Newton-Cotes yang pertama.

𝐼 = 𝑏 − 𝑎 .𝑓 𝑎 +𝑓(𝑏)

2 (1)

Error Aturan Trapesium

Error yang terjadi pada aturan trapezium dinyatakan sebagai :

𝐸𝑎 = −1

2 . 𝑓′′ 𝜀 . (𝑏 − 𝑎)3 (2)

Untuk fungsi berderajat dua atau lebih maka akan muncul truncation error.

Contoh :

Lakukan integrasi numeric untuk :

𝑓 𝑥 = 0,2 + 25. 𝑥 − 200.𝑥2 + 675.𝑥3 − 900.𝑥4 + 400. 𝑥5

Dari a = 0 hingga b = 0,8. Nilai eksak integrasi adalah 1,64053334.

Nilai fungsi :

f(0) = 0,2 f(0,8) = 0,232

Subtitusikan persamaan ini ke persamaan (1)

𝐼 ≅ 0,8.0,2 + 0,232

2= 0,1728

Dengan error 𝐸1 = 1,64053334 − 0,1728 = 1,46773334,

dan kesalahan relatif

𝜀1 =1,46773334

1,64053334 x 100% = 89,5 %

Jika nilai eksak tak diketahui, maka error dapat diperkirakan dari persamaan (2) dengan

𝑓′′ 𝑥 = −400 + 4050. 𝑥 − 10800. 𝑥2 + 8000.𝑥3

Nilai rerata dari turunan kedua dihitung dengan :

10

𝑓 ′′ = (−400 + 4050. 𝑥 − 10800.𝑥2 + 8000.𝑥3)𝑑𝑥

0,8

0

0,8 − 0= −60

Sehingga

𝐸𝑎 = −1

12 −60 (0,8)3 = 2,56

6. Solusi Persamaan Differensial Biasa Dengan Nilai Awal

Persamaan diferensial biasa dengan nilai awal adalah sebuah persamaan diferensial

yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel

itu sendiri. Bentuk umum pada persamaan diferensial biasa yaitu :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)

Metode Euler

Pada gambar, tampak bahwa turunan pertama memberikan estimasi langsung

kemiringan pada 𝑥𝑖

∅ = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 (1)

Dengan 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 adalah evaluasi dari persamaan diverensial di titik 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 .

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∅. ℎ (2)

Persamaan (2) di subtitusikan kepersamaan (1) maka akan menjadi

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑖). ℎ (3)

Contoh :

Dengan metode Euler, kerjakan soal berikut untuk mengintegrasi numeric

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20. 𝑥 + 8,5

}

x

y

𝑥𝑖 𝑥𝑖+1

error prediksi

asli

11

Penyelesaian :

y(0,5 ) = y(0) + f(0;1).0,5

f(0;1) = −2 0 3 + 12 0 2 − 20 0 + 8,5 = 8,5

y(0,5) = 1,0 + 8,5(0,5) = 5,25

Untuk x = 1,0 maka :

y(1,0) = y(0,5) + f(0,5;5,25).0,5

= 5,25 + −2(0,5)3 + 12(0,5)2 − 20 0,5 + 8,5 0,5 = 5,875

Solusi eksak dari 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20. 𝑥 + 8,5 adalah

𝑦 = −0,5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8,5𝑥 + 1

HUBUNGAN ANTARA METODE NUMERIK DENGAN KOMPUTER

Seperti yang kita ketahui,perkembangan komputer kian hari kian meningkat

mulai dari kecepatan dalam membaca suatu perintah yang diberika user sampai pada

bentuknya yang saat ini sudah semakin praktis dan mudah dibawa kemanapun

kapanpun karena ukurannya yang sangat kecil hingga bisa kita masukan kedalam saku.

Namun selain itu, komputer zaman sekarang pun kecepatannya dalam membaca suatu

perintah sudah semakin cepat, ini tidak lain dikarenakan rumus dasar dari

permasalahan-permasalahan komputer kian hari kian bertambah.

Maka dari itu tidak aneh apabila kian hari komputer semakin berkembang.

Dengan semakin berkembangnya suatu komputer, maka itu berarti kita dapat

melakukan suatu kegiatan yang biasanya rumit menjadi mudah, salah satunnya yaitu

dalam melakukan proses perhitungan. Zaman dulu mungkin untuk melakukan suatu

perhitungan mengenai perbankan, jumlah penduduk, dan lain sebagainya memerlukan

waktu yang cukup lama, hal ini dikarenakan kurangnya fasilitas yang memadai. Namun

dengan berkembangnya komputer dan juga dengan adanya bahasa pemrograman seperti

VB, C++, C#, PASCAL, dan bahasa pemrograman lainnya kita dapat memanfaatkan itu

semua untuk membuat suatu perhitungan dengan menggunakan bahasa sesuai dengan

kemampuan kita.

12

Selain itu, hubungan antara komputer dengan metode numeric pun ada

kaitannya dengan perangkat hardware pada komputer. Dengan semakin berkembangnya

komputer, maka dari sini pun kita dapat mengambil suatu kesimpulan mengenai

perangkat hardware komputer tersebut mana yang lebih cepat ataupun yang lambat.

Metode yang digunakan disini yaitu dengan mengumpukan beberapa sampel komputer

yang memiliki kemampuan yang berbeda-beda dan dari sini dicari suatu rumus dari

hardware tersebut agar didapatkan rumus dari suatu perangkat hardware. Jika tersebut

telah ditemukan, maka akan dengan mudah suatu komputer dubuat dengan ukuran yang

kita inginkan sekalipun ukurannya sangat kecil namun memiliki kemampuan yang

tinggi seperti yang saat ini kita biasa gunakan.

Akan tetapi solusi yang kita peroleh hanyalah solusi yang menghampiri atau

mendekati solusi sejati sehingga solusi numeric dinamakan juga solusi hampiran

(approxomation) atau solusi pendekatan. Ini bisa kita lihat ketika kita membeli suatu

perangkat komputer, misal flashdisk. Pada keterangan dituliskan besaran kapasitasnya

yaitu 4GB, namun ternyata setelah diperiksa besaran kapasitasnya hanya sekitar

3,75GB. Ini berarti flashdisk tersebut tidaklah 100% tepat 4GB namun hanya 3,75GB

yang mendekati 4GB saja.

Akan tetapi solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi

hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara

keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error)