Bagian 3

Analisis Galat Dan Deret Taylor

Contoh 13

Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3. 333. hitunglah galat, galat mutlak, galat

relatif, dan galat relatif hampiran.

Penyelesaian

Galat = 3

10 – 3.333 =

3

10 –

1000

3333 =

3000

1 = 0. 000333…

Galat mutlak = 3

10 –

1000

3333 = 0. 000333…

Galat relatif =

3

10

...000333.0 =

1000

1 = 0. 0001.

Galat Relatif Hampiran = 333.3

...000333.0 =

9999

1

Pendekatan Lain dari Galat Relatif Hampiran

Dalam praktek sulit mengetahui nilai sejati a, maka pendekatan iterasi, eRA dihitung dengan

cara,

eRA =

1ra

aa r1r (2.2.6)

Proses iterasi dihentikan jika

RAe < eS (2.2.7)

Contoh 14

Misalkan fungsi dengan prosedur iterasi sebagai berikut

xr+1 = (–xr3 + 3)/6, r = 0, 1, 2, 3, …

iterasi dihentikan jika kondisi RAe < eS, dengan eS adalah toleransi galat yang diinginkan.

Misalkan x0 = 0. 5 dan eS = 0. 00001 diperoleh iterasi urutan, sebagai berikut:

x0 = 0, 5

x1 = 0, 4791667 101RA x/)xx(e = 0.043478 > eS

x2 = 0, 4816638 212RA x/)xx(e = 0.0051843 > eS

x3 = 0, 4813757 323RA x/)xx(e = 0.0005984 > eS

x4 = 0, 4814091 434RA x/)xx(e = 0.0000693 > eS

X5 = 0, 4814052 545RA x/)xx(e = 0.0000081 < eS

(Hentikan iterasi)

Pada iterasi ke – 5, RAe < eS, sudah terpenuhi maka iterasi dapat dihentikan.

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik :

1. Galat Pemotongan (truncation of error)

2. Galat Pembulatan (round of error)

Selain kedua galat ini, dikenal juga sumber galat lain :

a. Galat eksperimen, yaitu galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena

kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya.

b. Galat pemrograman, yaitu galat yang terdapat di dalam program sering juga

dinamakan dengan kutu (bug), dan proses penghilangan galat ini dinamakan

penirkutuan (debugging).

2. 1 Galat Pemotongan (truncation error)

Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran

sebagai pengganti formula eksak, dikenal juga sebagai galat numerik. Misalnya turunan pertama

fungsi f di xi dihampiri dengan rumus,

f (xi) = h

)x(f)x(f i1i ,

dengan h lebar absis xi+1 dengan xi. galat yang ditimbulkan dari hampiran turunan tersebut

merupakan galat pemotongan. Seperti pada kasus Deret Taylor.

Definisi Deret Taylor :

Suatu fungsi f dan semua turunannya, f , f , f , …, dalam selang [a, b]. Misalkan x0

[a, b], maka untuk nilai – nilai x di sekitar x0 dan x [a, b], f(x) dapat diperuas ke dalam deret

Taylor :

f(x) = f(x0) + )x(f!2

)xx()x(f

!1

)xx(

0

20

00

...)x()(

f!m

)xx(... 0

mm

0 (2.2.8)

Persamaan (2.2.8) merupakan penjumlahan dari suku – suku, yang disebut seret Taylor.

Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai :

f(x) = f(x0) + )x(f!2

h)x(f

!1

h0

2

0 ...)x()(

f!m

h... 0

mm

(2.2.9)

dengan x - x0 = h atau x = h + x0.

2.2 Galat Pembulatan (round of error)

Karena keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil maka penyajiannya juga

terbatas, yang menghasilkan galat disebut Galat Pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0, 166667…

tidak dapat dinyatakan dengan tepat oleh komputer, pengabaian bilangan ini menimbulkan galat

pembulatan.

Dua cara penyajian bilangan riil dalam komputer digital yaitu bilangan titik-tetap (fixed

point) yaitu penulisan bilangan jumlah tempat desimal tetap misalnya, 62.358, 0.013, 1.000 dan

bilangan titik-kambang (floating point) yaitu format penulisan disajikan dengan jumlah digit

berarti yang sudah tetap yaitu : 0, 6238 x 103 (sering ditulis juga sebagai 0.6238E+03).

Angka Nyata atau angka Bena (significant figure) atau angka berarti adalah angka

penting yang dapat digunakan dengan pasti.

4. 3123 x 101 mempunyai 5 angka bena

1. 2 x 10 -6

mempunyai 2 angka bena

Galat Total

Yaitu galat pada solusi numerik yang merupakan jumlah galat pemotongan dan galat

pembulatan.

Contoh 18 :

Gunakan deret Maclaurin orde ke 4 di sekitar x0 = 0, 2 untuk menghampiri cos (0,2) dan berikan

taksiran untuk galat pemotongan dan galat pembulatan.

Penyelesaian

Cos(0.2) 1 – 0.22/2 + 0.2

4/24 0.9800667

Galat Pemotongan Galat Pembulatan

2. 3 Tingkat Hampiran (Orde Penghampiran) :

Misalkan f(h) dihampiri oleh fungsi p(h), jika

)h(p)h(f n

hM , dengan M adalah konstanta riil > 0, p(h) menghampiri f(h)

dengan orde O(hn).

f(h) = p(h) + O(hn)

O(hn) dibaca “O–besar” diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena nilai h <

1, sehingga semakin tinggi nilai n semakin kecil galatnya.

Misalkan untuk kasus Deret Taylor dengan penghampiran fungsi. Seperti, xi+1 = xi + h, i = 0, 1,

2, … :

sehingga pers. (2.2.9) menjadi :

f(xi+1) = f(xi) + )x(f!2

)xx()x(f

!1

)xx(

i

2

i1ii

i1i

)1i

x(n

R)i

x()n(

f!n

n)

ix

1ix(

...

dengan,

Rn(xi+1) = )t()1n(

f)!1n(

1n)h(

= O(hn+1

), xi < t < xi+1 (2.2.11)

Sehingga dapat dituliskan sebagai,

f(xi+1) = )1n

h(On

0k)

ix(

)k(f

!k

kh

(2.2.12)

Contoh 18 :

Tunjukkan Deret Taylor dari fungsi berikut sampai orde 5.

a. eh

b. ln (x+1)

c. sin (h)

d. cos (h)

Penyelesaian

a. h

e = 1 +h + h2/2! + h

3/3! + h

4/4! + O(h

5)

b. ln (x+1) = x – x2/2 + x

3/3 – x

4/4 + x

5/4 + O(h

5)

c. sin (h) = h – h3/3! + x

5/5! + O(h

6)

d. cos (h) = 1 – h2/4! + h

4/6! – h

6/6! + O(h

8)

2. 4 Bilangan Titik Kambang

Format Bilangan Riil dalam komputer ditampilkan sebagai :

a = m x B p = 0. d1d2d3d4d5d6 … dn x B

p

m = mantisa (bilangan riil), B = basis bilangan yang dipakai

(2, 8, 10, 16, 32 …)

d1d2d3d4d5d6 = digit atau bit mantisa

p = pangkat (berupa bilangan bulat),

nilainya dari – Pmin sampai +Pmaks

Contoh 19:

Bilangan 156,78 dapat dinyatakan sebagai 0. 15678 x 103 dalam sistem bilangan titik –

kambang dengan basis 10.

Bilangan titik kambang ternormalisasi, merupakan penyajian bilangan mantisa tidak

boleh nol pada digit pertama.

Contoh 20:

Bilangan 0.0563 x 10 -3

dinormalisasi menjadi 0.563 x 10-4

dan 0.00023270 x 106

dinormalisasi

menjadi 0.23270 x 10-3

atau dapat ditulis secara umum sebagai :

(a = m x B p = 0. d1d2d3d4d5d6 … dn x B

p-1).

2.4.1 Epsilon Mesin

Ukuran yang digunakan untuk membedakan suatu bilangan riil dengan bilangan riil

berikutnya disebut epsilon mesin ( ).

Standarisasi dilakukan dengan menemukan bilangan titik kambang terkecil jika ditambahkan

dengan satu memberikan hasil yang lebih besar dari 1, sehingga

1 + < 1.

Epsilon mesin pada sistem bilangan riil yang ditunjukkan pada gambar tersebut di atas adalah :

= 1. 0000000119 – 1.0 = 0. 119 x 10 - 6

Gap ( x) atau jarak antara sebuah bilangan titik kambang dengan bilangan titik kambang

berikutnya adalah

x = x R,

dengan R adalah bilangan titik kambang sekarang.

Contoh, gap antara bilangan positif terkecil antara 0. 29 x 10-38

dengan bilangan titik kambang

terkecil kedua adalah :

x = x R = 0. 119 x 10 – 6

x 0. 29 x 10-38

= 0.345 x 10-45

sehingga bilangan titik kambang terkecil kedua sesduah 0.29 x 10-38

adalah

0.29 x 10-38

+ 0.345 x 10

-45, sehingga gap akan bertambah besar dengan semakin besarnya

bilangan titik kambang.

Underflow terjadi jika suatu bilangan titik kambang tidak dapat dinyatakan diantara 0 dan

bilangan positif terkecil (atau antara 0 dan bilangan negatif terbesar.

1.0 0.0 2.0 1. 0000000119

Underflow

000000011

9

Overflow

000000011

9

Overflow terjadi jika suatu bilangan titik kambang lebih besar dari bilangan positif terbesar (atau

lebih kecil dari bilangan negatif terkecil).

Epsilon mesin dapat dirumuskan sebagai :

= B1 – n

Dengan B adalah basis bilangan dan n adalah banyaknya digit (atau bit) bena didalam mantisa.

Misalkan pada komputer IBM PC 32 – bit (1 bit tanda, 8 bit pangkat, dan 24 bit mantisa),

= B1 – 24

= 0. 000000011920928955078125 = 0.119 x 10 - 6

2.4.2 Pembulatan Pada Bilangan Titik Kambang

Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai komputer, yaitu :

Pemenggalan (chopping),

a = 0. d1d2d3d4d5d6 … dn x B p menjadi flchop(a) = 0. d1d2d3 … dn -1dn x B

p

Misalkan, = 0.31459265358 … x 100 menjadi

flchop( ) = 0.3141592 x 100

dengan Galat sebesar 0. 00000065…

dan Pembulatan ke digit terdekat (in–rounding),

a = 0. d1d2d3d4d5d6 … dn x B p menjadi flchop(a) = 0. d1d2d3 …

nd x B

p

nd =

ganjilndan51n

djika1n

d

genapndan51n

dJikan

d

51n

dJika1nd

51n

dJika,nd

Misalkan, = 0.31459265358 … x 100 menjadi 7 digit mantis flchop( ) = 0.3141593 x 10

0

dengan Galat sebesar 0. 00000035…

Contoh 20 :

Misalkan a = 0. 5682785715287 x 10-4

hitunglah sampai 6 digit dan 9 digit ,

Penyelesaian:

Dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi

flround(a) = 0.568278 x 100

Dalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi

flround(a) = 0.568278572 x 100

Kebanyakan komputer menggunakan cara “pemenggalan”

2.4.3 Aritmetika Bilangan Titik Kambang

2.4.3.1 Operasi Penambahan dan Pengurangan

Contoh 21:

Misalkan digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10), hitunglah 1.557 + 0.04381 =

0.1557 x 101 + 0.4381 x 10

-1

Penyelesaian:

0.1557 x 101

= 0. 1557 x 101

0.4381 x 101

= 0. 004381 x 101 +

= 0.160081 x 101

in–rounding 0.1601 x 101

chopping 0.1600 x 101

Galat mutlak pembulatan = )1

10x1601.0()1

10x160081.0(

= 0.000019

Galat mutlak pemenggalan= )1

10x1600.0()1

10x160081.0(

= 0.000081

Contoh 22:

Misalkan digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10), hitunglah 3677 – 0.3283 =

0.3677 x 104 - 0.3283 x 10

0

Penyelesaian:

0.3677 x 104

= 0. 3677 x 104

0.3283 x 100

= 0. 00003283 x 104 +

= 0. 36766717 x 104

in–rounding 0.3677 x 104

chopping 0.3676 x 104

2.4.3.2 Operasi Perkalian dan Pembagian

Contoh 23:

Misalkan digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10), hitunglah, perkalian 0.4652 x

104 dengan 0.1456 x 10

-1

Penyelesaian:

Kalikan 0.4652 Jumlahkan pangkat : 4

0.1456 x -1 +

0.06773312 3

Gabungan mantis dengan pangkat : 0. 06773312 x 103

Normalisasi : 0. 6773312 x 102

in–rounding 0.6773 x 102

chopping 0.6773 x 102

Contoh 24:

Misalkan digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10), hitunglah (0.8675 x 10-4

)/

0.2543 x 10-2

.

Penyelesaian:

Bagi Mantis : 0.8675 Kurangi pangkat : - 4

0.2543: - 2 -

3.4113252 - 2

Gabungan mantis dengan pangkat : 3.4113252 x 103

Normalisasi : 0. 34113252 x 10-1

in–rounding 0.3411 x 10-1

chopping 0.3411 x 10-1

2.4.3.2 Perambatan Galat

Misalkan terdapat dua bilangan a dan b (nilai sejati) dan nilai hampirannya masing-

masing a dan b yang mengandung galat masing a dan b dapat ditulis,

a = a + a dan b = b + b

Penjumlahan kedua bilangan ini,

a + b = ( a + a) + ( b + b) = ( a + b ) + ( a + b)

dengan cara yang sama untuk proses pengurangan, perkalian dan pembagian maka galat

merambat pada masing masing hasil Operand.

2.5 Kondisi Buruk

Misalkan contoh berikut dari persamaan kuadrat 0cbxax2,

(i). x2 – 4x + 3. 999 = 0 akar – akarnya, x1 = 2. 032 dan

x2 = 1.968

(ii). x2 – 4x + 4. 000 = 0 akar – akarnya, x1= x2 = 2.000

(iii). x2 – 4x + 4. 001 = 0 akar – akarnya imajiner

Situasi persamaan di atas berkondisi buruk, karena perubahan sedikit saja, dalam hal ini

masukannya (konstanta c), ternyata nilai akar – akarnya berubah sangat besar.

2.5. Bilangan Kondisi

Bilangan kondisi dapat dihitung dengan bantuan deret Taylor. Misalkan fungsi f(x)

diuraikan disekitar x , sampai suku orde pertama :

f(x) = )x(f + )x(f )xx( (2.5.1)

dengan galat hampiran dari f(x) adalah

RA[f(x)] = )x(f

)x(f)x(f =

)x(f

)xx)(x(f (2.5.2)

Galat Hampiran dari x adalah,

RA[x] = x

xx (2.5.3)

Sehingga bilangan kondisi didefinisikan sebagai nisbah (ratio) antara (2.5.2) dan (2.5.3) :

Bilangan Kondisi = ]x[

RA

)x(fRA =

]x[f

)x(fx

Contoh 25 :

Misalkan f(x) = x . Tentukan bilangan kondisi dan perhitungan akar kuadrat x

Penyelesaian :

Diketahui, f (x) = x2

1

Bilangan Kondisi = ]x[

RA

)x(fRA =

]x[f

)x(fx

= x

)x2/(x =

2

1

Bilangan kondisinya cukup kecil sehingga penarikan akar kuadrat x merupakan proses yang

berkondisi baik. Misalkan 20.999 = 4.5824665 dan jika 21 = 4.5825756

Contoh 26 :

Hitung bilangan kondisi (f(x) = 2

x1

10

Penyelesaian :

Diketahui,

f (x) = 2

)2

x1(

x20

Bilangankondisi = ]x[f

)x(fx

= )x1/(10

)x1/(x20[x

2

22

Bilangan kondisi ini sangat besar untuk x =1.

Misalkan f(1.009) = – 55.306675, dan jika f(1.01) = – 497.51243.

Latihan : (lihat di buku soal latihan [2])

1. Hitung 10.1 - 10 secara langsung tetapi hasil setiap perhitungan antara hasil akhir

dibulatkan sampai 4 angka bena/nyata. Kemudian hitunglah 10.1 - 10 dengan cara

yang lebih sempuna [2].

2. Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 10.1x + 1 = 0 dengan rumus abc, yang setiap hasil

perhitungan antara maupun hasil perhitungan akhir dibulatkan dengan teknik :

(a). pembulatan kedalam (in – rounding)

(b). pemenggalan (chopping)

sampai empat angka nyata. Bandingkan hasilnya jika akar terbesar (x1) dihitung dengan

rumus abc dan akar terkecil (x2) dengan rumus x1x2 = c/a.

3. Diberikan beberapa bilangan titik kambang yang telah dinormalkan berikut ini :

a = 0. 4523123 x 10-4

b = 0. 2365401 x 101

c = 0. 4520156 x 10-4

d = 0.1234567 x 10-3

bila mesin yang digunkan untuk operasi aritmetika mempunyai tujuh angka bena/nyata,

hitung hasil komputasi yang diberikan oleh mesin tersebut (dalam bentuk biolangan titik

– kambang ternormalisasi) :

(i) a + b + c + d

(ii) a + c + d + b

(iii) a - c

(iv) ab – c

6. Misalkan digunakan mesin hipotetik dengan mantis empat angka bena. Lakukan operasi

aritmetika untuk bilangan titik kambang ternormalisasi berikut. Normalkan hasilnya

(a) 0. 3796 x 102 + 0. 9643 x 10

-2

(b) 0. 4561 x 10-2

– 0.6732 x 10 -2

(c) (0.1234 x 103) x (0.4321 x 10

-1)

7. Carilah cara yang lebih baik untuk menghitung :

(i) f(x) = (x – sin(x)/tan(x) untuk x mendekati nol

(ii) f(x) = x - (x2 – a) untuk x yang jauh lebih besar dari a

(iii) f(x) = cos2(x) – sin

2(x) untuk x di sekitar /4

(iv) f(x) = log(x + 1) – log (x) untuk x yang besar

8. Diketahui f(x) = cos (x). Tentukan f (x) dengan teorema dasar turunan :

h

)x(f)hx(f

0hlim = f (x)

Hitung f (x) dengan h = 0.1; 0.01; 0.0001; 0. 00001; 0. 000001.

untuk memperbaiki hasil perhitungan, hitunglah f (x) dengan

cara yang lebih teliti.