PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SURYAKANCANA

TEGANGAN

Bahan Kuliah 6

Elisabeth Yuniarti, Ir, MT

2

6.1 PENDAHULUAN

Suatu keruntuhan sebuah struktur seringkali diawali oleh keretakan kecil pada sambungan dan

membesar secara cepat melampaui kekuatan material struktur yang bersangkutan. Jadi, apa

sebenarnya kekuatan material itu? Bagaimana kita menganalisanya? Untuk menjawab pertanyaan

ini, kita perlu mengenal konsep tentang tegangan (stress). Terdefinisikannya variabel ini merupakan

langkah pertama menuju formula yang dapat digunakan untuk analisa kekuatan elemen struktur dan

merancang elemen tersebut.

Vable, M (2011) saat menulis Mechanics of Material : Stress (sumber : http://www.me.mtu.edu/

~mavable/MoM2end) menggambarkan suatu logika statika struktur, di mana analisis akan lebih

sederhana jika gaya terdistribusi sembarang pada diagram benda bebas (free body diagram/FBD)

dapat digantikan oleh suatu gaya ekivalen dan momen sebelum menuliskan persamaan

keseimbangan. Formula yang dikembangkan dalam mekanika bahan menghubungkan tegangan-

tegangan dengan gaya-gaya internal dan momen. FBD digunakan untuk menghubungkan gaya-gaya

internal dan momen dengan gaya-gaya eksternal dan momen.

6.2 TEGANGAN PADA PERMUKAAN BENDA

Tegangan–tegamgan pada permukaan adalah sistem gaya internal terdistribusi yang dapat

dipecahkan kembali menjadi dua komponen yaitu gaya normal (tegak lurus) pada permukaan irisan

imaginer. Tegangan ini disebut sebagai tegangan normal dan tegangan yang bersinggungan (paralel)

dengan permukaan irisan disebut tegangan geser.

Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang

merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan

bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok

Tegangan-

tegangan

Gaya-gaya

internal dan

momen

Gaya-gaya

eksternal dan

momen

Keseimbangan Ekivalensi

statis

Gambar 6.1.

Poses dua langkah berkaitan dengan menghubungkan tegangan gaya-gaya dalam dan momen eksternal

3

6.2.1 Definisi Tegangan

“Tarikan” internal dalam benda padat, atau TEGANGAN, dapat didefinisikan

dengan cara yang serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya.

Bayangkan irisan melintang sembarang dibuat pada benda padat sehingga

membentuk free- body seperti terlihat pada gambar.

Perhatikan suatu “tarikan” eksternal V yang menunjukkan gaya per satuan luas dan bekerja pada

permukaan benda. “Tarikan” V adalah vektor terikat, artinya V tidak dapat

bergeser sepanjang garis kerjanya sambil tetap mempertahankan makna

keberadaannya.

Dengan kata lain, vektor tarik tidak dapat digambarkan sebagaimana adanya

kecuali jika baik gaya maupun permukaan dimana gaya bekerja telah

ditetapkan. Dengan ditentukannya ∆F dan ∆s, tarikan V didefinisikan sbb :

Tarikan permukaan akan muncul pada permukaan yang terekspose, serupa dengan tarikan eksternal

yang bekerja pada permukaan luar benda padat. Tegangan pada titik P dapat didefinisikan

menggunakan persamaan yang sama sebagaimana persamaan V sebelumnya. Oleh karena itu,

tegangan dapat diinterpretasikan sebagai “tarikan” internal yang berkerja pada bidang acuan

internal yang didefinisikan. Kita tidak dapat mengukur tegangan tanpa sebelumnya menetapkan

terlebih dahulu bidang acuannya.

6.2.2 Tensor Tegangan (Matriks Tegangan)

“Tarikan” permukaan atau TEGANGAN yang bekerja pada bidang acuan secara tipikal diuraikan

menjadi 3 komponen ortogonal mutual. Satu komponen bekerja secara normal (tegak lurus)

terhadap permukaan penampang dan merepresentasikan TEGANGAN LANGSUNG (direct stress). Dua

komponen lainnya bekerja secara tangensial permukaan dan merepresentasikan TEGANGAN-

TEGANGAN GESER (shear stresses).

Perbedaan tegangan langsung dan tegangan geser dapat dilihat pada tabel berikut :

Tegangan Langsung (Direct Stress) Tegangan Geser (Shear Stress)

Cenderung untuk merubah volume material (contoh : tekanan hidrostatis)

Cenderung untuk merubah bentuk benda tanpa merubah

volumenya

Tertahan oleh modulus volume (bulk modulus) benda yang tergantung pada Modulus Young dan Poisson Ratio

Tertahan oleh modulus geser (shear modulus) benda

ds

dF

s

FV s

lim0

4

Pendefinisian satu set bidang acuan internal dengan sistem koordinat Cartesian memungkinkan

tegangan digambarkan pada titik internal P dalam arah koordinat x, y, dan z. Sebagai contoh, status

tegangan pada titik P dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubus yang sangat kecil (infinitesimal)

dengan 3 komponen tegangan pada setiap sisi dari enam sisi kubus (satu tegangan langsung dan dua

tegangan geser).

Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen

tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P. Setiap

titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen

tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P.

Kesembilan komponen tegangan tersebut adalah :

Dimana tegangan-tegangan yang melintasi diagonal matriks adalah identik, (yaitu σxy = σyx , σyz = σzy ,

σxz = σyz)

Bidang Tegangan

Karena 2 tegangan utama lainnya berada pada sebuah bidang, permasalahan

2 D yang dipermudah ini disebut persoalan tegangan bidang. Asumsikan

bahwa tegangan utama yang diabaikan berorientasi kearah z, maka matriks

tegangan pada bidang 2D menjadi :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

5

9 Komponen tegangan

Kelompok dari sembilan komponen tegangan ini dikenal sebagai tensor tegangan (atau matriks

tegangan). Notasi subskrip yang digunakan untuk kesembilan komponen tegangan mempunyai arti

berikut :

σξη = tegangan pada bidang ξ sepanjang arah η

ξ adalah arah normal permukaan dimana tegangan bekerja

η adalah arah komponen tegangan

Kaji keseimbangan statis dari benda yang dikenai area vektor gaya b. Dengan menggunakan hukum

Newton Pertama tentang gerak dihasilkan satu set persamaan diferensial yang mengarah pada

distribusi tegangan dalam benda padat berikut :

Dalam kasus 2 tegangan dimensi, persamaan di atas menjadi :

Dalam permasalahan teknik sipil yang menyangkut tegangan pada pelat tipis atau pada permukaan

bebas dari elemen struktur, seperti permukaan tekan tipis, bejana tipis di bawah tekanan eksternal

dan internal, terdapat satu tegangan utama, yang jauh lebih kecil dari dua tegangan lainnya.

Dengan mengasumsikan bahwa tegangan utama yang kecil ini sama dengan nol, tegangan 3 dimensi

dapat dikurangi menjadi tegangan 2 dimensi.

6.2.3 Transformasi Koordinat

Arah koordinat terpilih untuk menganalisa struktur biasanya didasarkan pada bentuk struktur.

Sebagai hasilnya, komponen tegangan langsung dan tegangan geser dapat diasosiasikan dengan

arah-arah ini. Sebagai contoh, untuk menganalisa suatu batang seseorang hampir selalu

mengarahkan satu arah koordinat sejajar/sepanjang sumbu batang.

6

Bagaimanapun, tegangan dalam arah yang tidak sejajar dengan satu set koordinat asli dapat saja

menjadi penting. Sebagai contoh, kegagalan bidang pada balok silang yang mudah retak akibat torsi

biasanya membuat 450 dari sumbu balok .

Transformasi tegangan terhadap koordinat {x, y, z} menjadi tegangan terhadap koordinat{x’, y’, z’}

dapat dirumuskan dalam persamaan berikut :

Dimana sudut θ adalah sudut rotasi antara 2 koordinat (positif dalam arah berlawanan jarum jam),

lihat gambar di atas.

Arah sumbu utama dan Tegangan Utama

Pertama, ada sudut θp dimana tegangan geser τx’y’ menjadi nol. Sudut itu ditemukan dengan

menyusun/menetapkan τx’y’ = nol diatas persamaan transformasi dan diperoleh nilai :

Sudut ini didefinisikan sebagai arah sumbu utama dimana hanya ada tegangan normal saja.

Tegangan ini disebut tegangan utama dan ditemukan dari tegangan-tegangan aslinya (diekspresikan

dalam arah x, y , dan z) melalui :

7

Tegangan normal (σx’ dan σy’) dan tegangan geser (τx’y’) bervasiasi terhadap putaran sudut secara

halus, berkaitan dengan persamaan transformasi koordinat. Akan dapat terjadi pasangan sudut

dimana tegangan-tegangan berada pada nilai yang spesifik/khusus.

Arah Tegangan Geser Maksimum

Tegangan geser maksimum adalah sama dengan setengah dari selisih 2 tegangan utama.

Sudut penting lainnya adalah θs, dimana terjadi tegangan geser maksimum. Hal ini dapat ditemukan

dengan mencari nilai maksimum tegangan geser pada persamaan transformasi, dan mendapatkan

nilai θnya. Hasilnya adalah :

Transformasi arah tegangan geser maksimum dapat diilustrasikan dengan gambar berikut :

6.2.4 Lingkaran Mohr (Otto Mohr, 1882)

Lingkaran Mohr menggambarkan tegangan utama dan transformasi tegangan melalui format grafis.

Dua tegangan utama ditunjukkan dengan warna merah, dan tegangan geser maksimum dalam

warna orange.

8

Ingat, tegangan normal sama dengan tegangan utama

jika elemen tegangan searah dengan arah sumbu

utama, dan tegangan geser sama dengan tegangan

geser maksimum jika elemen tegangan diputar 450

dari arah sumbu utama.Jika elemen tegangan diputar

dari arah sumbu utama (atau geser maksimum),

komponen tegangan normal akan selalu berada pada

lingkaran Mohr.

Perumusan Lingkaran Mohr

Diketahui formula transformasi untuk tegangan bidang pada lokasi yang diberikan sebagaimana

ekspresi yang sudah dikaji sebelumnya :

Dengan menggunakan hubungan trigonometri dasar (cos²2θ+sin²2θ=1), diperoleh :

Persamaan ini adalah persamaan lingkaran

Persamaan di atas merupakan cara yang mudah untuk menginterpretasikan σx dan σy sebagai dua

tegangan utama, dan τxy sebagai tegangan geser maksimum.

Dapat didefiniskan bahwa tegangan rata-rata σave dan suatu “radius” R (yang sama dengan tegangan

geser maksimum), adalah sebagai berikut :

Dengan substitusi ekspresi di atas pada persamaan sebelumnya, maka persamaan lingkaran di atas

sekarang dapat diekspresikan dalam bentuk yang sudah biasa dikenal:

9

Lingkaran ini berpusat pada nilai tegangan rata-rata, dan mempunyai radius R yang sama dengan

tegangan geser maksimum, sebagaimana digambarkan di bawah ini.

Tegangan-tegangan Utama dari Lingkaran Mohr

Keuntungan utama dari penggunaan Lingkaran Mohr untuk tegangan adalah bahwa tegangan utama

σ1 dan σ2 serta tegangan maksimum τmax didapat langsung melalui gambar lingkaran.

di mana :

Lingkaran Mohr dapat digunakan untuk mencari arah tegangan utama. Pertama, misalkan bahwa

tegangan normal dan geser σx, σy, τxy diperoleh pada titik O pada benda yang diekspresikan relatif

terhadap koordinat XY, sebagaimana ditunjukkan pada elemen tegangan berikut. Lingkaran Mohr

untuk status tegangan secara umum diperlihatkan pada gambar sebelah kiri.

τmax

10

Dari gambar lingkaran Mohr terlihat bahwa lingkaran berpusat pada σave dan mempunyai radius R,

dan kedua titik {σx, τxy} dan {σy, -τxy} yang terletak pada sisi yang berlawanan dari lingkaran.

Garis yang menghubungkan σx dan σy didefinisikan sebagai Lxy.

Sudut antara sumbu-X dan Y dengan sumbu utama didefisnikan sebagai θp, dan sama dengan

setengah sudut antara garis Lxy dengan sumbu σ seperti digambarkan secara skematik berikut :

Sudut rotasi koordinat θp adalah positif jika rotasi dimulai dari koordinat XY dan menuju ke

koordinat XpYp. Sebaliknya pada lingkaran Mohr θp didefinisikan positif jika rotasi dimulai dari garis

tegangan utama (yaitu sumbu σ) dan menuju ke garis tegangan XY (yaitu garis Lxy). Sudut θp

mempunyai kondisi yang berlawanan diantara dua gambar tersebut, karena pada salah satu

konsepnya rotasi dimulai dari koordinat XY, dan pada konsep lainnya rotasi dimulai dari koordinat

utama.

Beberapa buku menghindari dikotomi antara θp di lingkaran Mohr dan θp di elemen tegangan

dengan menggunakan (σx, -τxy ) sebagai ganti (σx, τxy) pada lingkaran Mohr. Hal ini akan memutar

polaritas dari θp pada lingkaran. Metoda apapun yang diambil, pada dasarnya sebuah tanda

berlawanan dibutuhkan baik pada interpretasi atau pada saat memplot untuk membuat lingkaran

Mohr secara fisik dapat berarti.

Lingkaran Mohr dapat digunakan mentransformasikan tegangan-tegangan dari satu koordinat ke

koordinat lainnya, serupa dengan yang digambarkan pada penjelasan bidang tegangan.

Misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxy didapat pada titik O pada benda, dan

diekspresikan terhadap sumu koordinat XY. Diharapkan untuk mencari tegangan-tegangan yang

diekspresikan dengan koordinat X’Y’, yang diputar sebesar θ dari XY, sebagaimana gambar di bawah.

11

Gambarkan lingkaran Mohr untuk status tegangan yang diberikan, (σx, σy, dan τxy yang ditunjukkan

di bawah)

Gambarkan garis Lxy melintang lingkaran dari (σx, τxy ) ke (σy, -τxy ).

Putar garis Lxy oleh 2 x θ (dua kali sudut antar XY dan X’Y’) dan dalam arah yang berlawanan dengan

θ. (arah panah berputarnya garis Lxy dengan sudut 2θ dalam gambar merupakan arah sebaliknya dari

perputaran yang terjadi). Tegangan –tegangan dalam koordinat baru (σx’, σy’, danτx’y’ ) dapat dibaca

pada lingkaran.

Kasus 1 : τxy > 0 danσx >σy

Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy > 0) dan tidak lebih dari

450 (karena σx > σy)

12

Kasus 2 : τxy < 0 danσx >σy

Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy < 0) dan tidak lebih dari 450 (karena

σx > σy)

Kasus 3 : τxy > 0 dan σx < σy

Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy > 0) dan antara 450

sampai 900 (karena σx < σy)

13

Kasus 4 : τxy < 0 dan σx < σy

Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy < 0) dan antara 450 sampai 900

(karena σx < σy)

Kasus 5 : τxy = 0 dan σx > σy

Sumbu utama satu garis dengan sumbu sekarang (karena σx > σy dan τxy = 0)

14

Kasus 6 : τxy = 0 dan σx < σy

Sumbu utama tepat 900 dari sumbu sekarang (karena σx < σy dan τxy = 0)

6.2.5 Tegangan Pada Balok

Tipe-tipe beban yang bekerja pada balok

Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang

merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan

bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok.

Efek-efek gaya dan momen yang bekerja pada balok adalah :

1. memberikan lendutan (deflection) tegaklurus sumbu longitudinal batang,

2. menghasilkan tegangan normal maupun geser pada setiap penampang melintang batang

yang tegaklurus sumbu batang.

Tarikan pada sebuah bidang dapat dibagi menjadi komponen tegaklurus dan sejajar terhadap setiap

bidang.

15

Komponen yang tegak lurus setiap bidang disebut sebagai tegangan normal (σn) dan komponen

yang sejajar dengan setiap bidang adalah tegangan geser (τ).

Gambar di bawah ini mengilustrasikan hubungan antara tarikan (σ) dan tegangan normal (σn) dan

komponen tegangan geser (τ) bekerja pada bidang tunggal yang diproyeksikan dalam 2 dimensi

pada segmen garis AB.

Proyeksi dua dimensi dari prisma segitiga kanan dengan tegangan normal (σn) dan geser (τ) yang

bekerja pada bidang yang didefinisikan oleh garis AB. Gaya normal dan geser merupakan

komponen dari tarikan σ .

Tipe lenturan (bending)

Jika kopel (couples) diberikan pada ujung-ujung balok dan tidak ada gaya yang bekerja pada batang,

maka tekukan disebut lenturan murni (pure bending).

16

Misalnya, pada gambar di bawah ini balok diantara dua gaya dengan arah ke bawah merupakan

sasaran atau subjek lenturan murni.

Lentur yang dihasilkan oleh gaya-gaya yang tidak membentuk kopel (momen) disebut lenturan

biasa (ordinary bending). Batang yang dikenai lenturan murni hanya mempunyai tegangan normal

dan tidak terjadi tegangan geser pada batang. Batang yang dikenai lenturan biasa mempunyai baik

tegangan normal maupun geser yang bekerja pada batang.

Sifat aksi balok

Suatu balok dapat dibayangkan sebagai susunan sejumlah tak terhingga serat atau batang tipis

memanjang (longitudinal). Setiap serat diasumsikan beraksi secara independen terhadap yang lain,

yaitu, tidak ada tekanan lateral atau tegangan geser diantara serat.

Balok seperti ditunjukkan pada gambar, misalnya, akan melentur kebawah dan serat-serat pada

bagian bawah akan mengalami pemanjangan sedang pada bagian atas akan mengalami

pemendekan.

Perubahan panjang serat ini menghasilkan tegangan dalam serat. Bagian yang mengalami

pemanjangan mempunyai tegangan tarik dengan arah sumbu memanjang, sedang bagian yang

mengalami pemendekan terjadi tegangan tekan.

Didalam balok, yang tersusun atas kumpulan serat, terdapat permukaan serat yang tidak mengalami

pemanjangan maupun pemendekan, sehingga tidak terkena tarikan maupun tekanan. Permukaan ini

disebut permukaan netral (neutral surface).

Titik potong permukaan netral dengan penampang melintang balok yang tegaklurus terhadap sumbu

memanjangnya disebut sumbu netral (neutral axis). Semua serat yang terletak di sebelah sumbu

netral dalam kondisi tarik dan di sebelah lainnya dalam kondisi tekan.

P P

a a

17

Lentur elastis balok

Perhatikan gambar potongan balok pada kondisi tanpa

pembebanan seperti pada gambar.

Setelah menerima pembebanan, balok yang melendut

akan membentuk radius of curvature ( = ρ) seperti

pada gambar.

Perhatikan juga sistem koordinat : x – y

Regangan memanjang (longitudinal strain)yang terjadi

dapat diformulasikan sebagai berikut :

Sementara itu, balok dengan gaya dalam momen menimbulkan tegangan normal sebagaimana

ditunjukkan pada gambar di bawah ini

Tegangan maksimum yang terjadi dapat diformulasikan sebagaimana hukum Hooke berikut :

Sumbu netral pada balok dapat dihitung dengan formulasi berikut :

'x

L x x

L x

y y

0 0 0

0 0

x x

A A

c

A

EyF dA dA

ydA y

18

Berdasarkan keseimbangan momen :

Tegangan normal dalam balok

Untuk setiap balok yang mempunyai suatu bidang simetri memanjang

dan dikenai momen lentur M pada suatu penampang melintangnya,

tegangan normal yang bekerja pada serat memanjang pada jarak y dari

sumbu netral balok diberikan dengan :

di mana I menyatakan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral

Tegangannya bervariasi dari nol pada sumbu netral balok sampai

maksimum pada serat terluar balok. Tegangan ini juga disebut

lenturan (flexural/ bending), atau tegangan serat (fiber stresses).

Ketika aksi dalam balok masih dalam batas elastis, sumbu netral

melewati centroid atau pusat penampang melintang. Dengan

demikian, momen inersia I yang muncul dalam persamaan diatas

untuk tegangan normal adalah momen inersia luasan penampang-

melintang terhadap sumbu yang melewati centroid penampang

melintang balok.

Pada serat terluar balok nilai koordinat y sering dinyatakan dengan simbol c. Dalam kasus ini

tegangan tekuk dapat dinyatakan dengan :

atau

M M

22 1

x

A A

y E MdM dA y M E dA y dA

EI

2 : second moment of inertial (with respect to the neutral axis)A

I y dA

x x

EyE

I

My

I

Mcσ

cI

M

/

19

Rasio I/c disebut modulus penampang dan biasanya dinyatakan dengan simbol Z. Satuannya adalah

m3. Dengan demikian tegangan lentur maksimum dapat dinyatakan dengan :

Sementara, Jumlah aljabar gaya-gaya vertikal pada satu sisi penampang melintang balok disebut

gaya geser pada penampang tersebut.

Untuk suatu balok yang dikenai gaya geser V pada penampang melintang tertentu, terjadi tegangan

geser τ baik horisontal maupun vertikal. Besarnya tegangan geser vertikal pada suatu penampang

melintang adalah sedemikian sehingga tegangan-tegangan ini mempunyai resultan gaya sebesar V.

Pada penampang melintang balok seperti ditunjukkan pada gambar, simetri bidang vertikal

mempunyai gaya-gaya dan sumbu netral yang melalui pusat penampang.

Koordinat y diukur dari sumbu netral. Momen inersia luasan penampang melintang terhadap sumbu

netral dinyatakan dengan I.

Tegangan geser pada seluruh serat dengan jarak y0 dari sumbu netral dinyatakan dengan formula :

dimana b menyatakan lebar balok pada lokasi dimana tegangan dihitung

Dari persamaan di atas dapat dibuktikan bahwa tegangan geser maksimum selalu terjadi pada

sumbu netral balok, dimana tegangan geser pada serat terluar selalu nol. Sebaliknya, tegangan

normal bervariasi dari nol pada sumbu netral menuju maksimum pada serat terluar.

Z

M

c

yyda

Ib

V

0