mekanika kelompok 5

7/26/2019 MEKANIKA KELOMPOK 5

1/40

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda yang sedang

bergerak. Banyak aspek fisika yang dapat digali dari keadaan gerak benda

tersebut. Bagian gerak benda disebut mekanika. Mekanika terbagi menjadi dua

yaitu kinematika dan dinamika.

Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak

tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut. Partikel

adalah benda dengan ukuran yang sangat kecil. Partikel merupakan suatu

pendekatan/model dari benda yang diamati. Pendekatan benda sebagai partikel

dapat dilakukan bila benda melakukan gerak translasimurni.

Gerak disebut gerak translasi bila selama bergerak sumbu kerangka acuan

yang melekat pada benda (x,y,z) selalu sejajar dengan keranggka acuannya

sendiri (x,y,z). Menganai analisis gerak partikel dalm tiga dimensi memiliki

cakupan yang lebih luas dibandingkan dengan partikel yang bergerak pada satu

atau dua dimensi. Pembelajaran dinamika partikel dalam tiga dimensi akan lebih

membahas terkait dengan sifat-sifat dari gaya konservatif, syaratsyarat dari

sebuah gaya konservatif dan pengaruhnya terhadap hukum-hukum kekekalan daribesaran fisika yang berlaku pada dinamika gerak partikel itu sendiri, termasuk

juga mengetahui gaya sentral, konsep medan gaya kuadratik terbalik, serta Hukum

Kepler pada Gerak Planet yang memang berhubungan dengan gerak partikel

dalam tiga dimensi.

Berdasarkan hal tersebut, maka melalui penulisan makalah yang berjudul

Gerak Partikel dalam Tiga Dimensi, penulis mencoba menguraikan secara jelas

terkait dengan gerak partikel tersebut.

1.2

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan beberapa masalah

yaitu sebagai berikut.

1.2.1

Bagaimana konsep gaya konservatif ?

1.2.2

Bagaimana konsep gaya sentral pada benda tunggal ?


2/40

2

1.2.3Bagaimana keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya sentral ?

1.2.4

Bagaimana lintasan medan gaya sentral dan potensial efektif ?

1.2.5

Bagaimana konsep medan gaya kuadratik terbalik ?

1.2.6

Bagaimana hukum kepler pada gerak planet ?

1.3

Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah tersebut tujuan yang ingin dicapai dalam

penulisan makalah ini adalah sebagai berikut.

1.3.1

Untuk menjelaskan konsep gaya konservatif.

1.3.2

Untuk menjelaskan konsep gaya sentral pada benda tunggal.

1.3.3Untuk menjelaskan keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya

sentral.

1.3.4

Untuk menjelaskan lintasan medan gaya sentral dan potensial efektif.

1.3.5

Untuk menjelaskan konsep medan gaya kuadratik terbalik.

1.3.6Untuk menjelaskan hukum kepler pada gerak planet.

1.4

Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang didapat dalam penulisan makalah ini adalah sebagai

berikut.

1.4.1

Bagi Penulis

Melalui penulisan makalah yang berjudul Gerak Partikel dalam Tiga

Dimensi, penulis mendapatkan manfaat yakni penulis lebih memahami

materi terkait dan mendapatkan pengalaman tambahan seperti pengalaman

dalam mengumpulkan bahan, memahami dan menganilisis materi-materi

serta mendapat pengalaman mengenai teknik penulisan makalah,

penggabungan materi dari berbagai sumber.

1.4.2Bagi Pembaca

Melalui penulisan makalah yang berjudul Gerak Partikel dalam Tiga

Dimensi, penulis mengharapkan mahasiswa yang membaca makalah ini

akan lebih dapat memahami materi terkait sehingga dapat dijadikan dasar

untuk memahami materi mekanika selanjutnya.


3/40

3

1.5Metode Penulisan

Di dalam penulisan makalah ini, adapun metode yang digunakan adalah

metode kajian pustaka, yakni dengan mengkaji buku-buku yang relevan dengan

materi serta literatur lain seperti internet.


4/40

4

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Konsep Gaya Konservatif

Gaya konservatif bukanlah nama sebuah gaya, melainkan menjelaskan sifat

sebuah gaya. Apabila usaha total yang dilakukan suatu gaya pada sebuah benda,

selama benda berpindah menjauhi posisinya semula hingga benda tersebut

kembali lagi ke posisi semula, sama dengan nol, maka gaya tersebut termasuk ke

dalam gaya konservatif. Suatu gaya disebut konservatif jika usaha yang dilakukan

oleh gaya tersebut pada suatu benda tidak bergantung pada lintasan yang dilalui

benda, tetapi hanya bergantung pada perubahan posisi awal dan posisi akhir

benda. Berikut merupakan contoh gaya yang termasuk ke dalam gaya konservatif:

1.

Gaya gravitasi (tarik) digambarkan dengan gerak planet.

2.

Gaya coulomb/ gaya elektrostatis (tarik dan tolak).

3. Gaya tarik dalam molekul (intermolekuler) atau gaya Van Der Walls yang

dituliskan sebagai berikut:

() = Dalam hal ini

dan

adalah konstan. Persamaan diatas disebut persamaan

Lennard-Jones.

4.

Atom dalam kubik Kristal yang berosilasi harmonik ditentukan dengan gaya

central.

5.

Gaya inti yang ditampilkan oleh Yukawa dituliskan sebagai berikut:

() = Dalam hal ini dan adalah konstan.Misalkan sebuah partikel dengan massa

mendapat gaya luar

() yang

merupakan sebuah fungsi kedudukan, sehingga partikel tersebut berpindah dari

kedudukan ke kedudukan , seperti yang ditunjukkan pada gambar 1.

pers. 1

pers. 2


5/40

5

Gambar 1. Kerja yang dilakukan oleh gaya Kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya terhadap partikel selama

bergerak darike dapat didefinisikan dalam persamaan berikut:= .

atau dapat juga dituliskan sebagai berikut:

= . dengan merupakan komponen gaya sepanjang garis singgung lintasan. Karenaitu, apabila gaya sejajar dengan sumbu X dan benda bergerak sepanjang sumbuX tersebut, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut dapat dituliskan dalam

persamaan berikut:

= . Grafik dapat digambarkan sebagai fungsi jarak (s), seperti pada gambar 2

berikut:

pers. 3

pers. 4

pers. 5


6/40

6

Gambar 2. Kerja yang dilakukan pada partikel yang bergerak dari A ke B samadengan luas daerah di bawah kurva yang diarsir

Kerja = . yang dilakukan gaya sepanjang pergeseran kecil sama dengan luas persegi panjang kecil, dengan alas dan tinggi . Olehkarena itu, kerja total yang dilakukan terhadap partikel selama bergerak dari kesama dengan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh komponen gaya ketika partikel di titik dan .

Laju kerja yang dilakukan terhadap suatu benda yaitu kerja setiap satuan

waktu, disebut daya. Secara sistematis daya (P) dapat ditulis sebagai berikut:

= Karena = ., maka

= . = . dengan merupakan kecepatan partikel. Jika massa partikel konstan, integraldalam persamaan (3) tereduksi menjadi:

. = . .

= .

= .

pers. 6

pers. 7


7/40

7

= 12 [] = ( )sehingga,

( ) merupakan energi kinetik partikel, yang ditulis dengan sehinggapersamaan (9), dapat juga ditulis sebagai berikut:

= Energi kinetik sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dalam ruang

tiga dimensi didefinisikan.

= . = ( + + )Laju perubahan energi kinetik partikel adalah: = . ( .+ .+. ) = = . Laju perubahan tenaga kinetik dalam selang waktu partikel bergerak sejauh dapat dinyatakan: = dengan

= . = + + Persamaan (14) menyatakan kerja yang dilakukan gaya F dalam tiga dimensi,dalam arah perpindahan . Usaha ini sama dengan jarak perpindahan ||dikalikan dengan nilai komponen gayaFdalam arah perpindahan.

Berdasarkan persamaan (10) kerja yang dilakukan oleh gaya terhadap

partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Apabila besar dan arah

gaya konstan, maka kerja yang dilakukan gaya tersebut, selama partikelberpindah dariAkeBadalah:

= . = = ( )

pers. 8

pers. 9

pers. 10

pers. 11

pers. 12

pers. 13

pers. 14


8/40

8

= . . Persamaan (15) menunjukkan bahwa kerja yang dilakukan tidak bergantung pada

lintasan yang menghubungkan titikA danB.

Pada gambar 1, ditunjukkan bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya F tetap

sama apabila partikel melalui lintasan (1) atau lintasan (2) karena ( )tetapsama.

Salah satu contoh penerapan persamaan (13) adalah kerja yang dilakukan

oleh gaya gravitasi bumi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3:

Gambar 3. Kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif

Dalam hal ini:

= =

( )=( ) + ( ),Sehingga:

=( )[( ) + ( )]= ( )

= Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukanlain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut,

maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan

bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja ., tidak

pers. 15

pers. 16


9/40

9

tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial

sebagai berikut:

() = () = () dan keterkaitannya dengan gayaF(x)yaitu sebagai berikut:

()= () Jika suatu partikel berada di (,,) di bawah gaya yang bekerja dari ke ,maka kerja yang dilakukan yakni:

= (). Fungsi energi potensial ()= (, ,)sebagai kerja yang dilakukan oleh gayaketika partikel dari titik ke dalam hal ini:

()= (). = (). Jika kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup seperti pada gambar(4), maka:

= . = 0

Gambar 4. Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup dari titik P ke Q dan

kembali ke P

Secara fisis jelas bahwa suatu sistem tidak mungkin konservatif jika dipengaruhi

oleh gaya gesekan atau gaya-gaya disipatif lainnya.

Perubahan fungsi energi potensial ketika partikel yang bergerak dari posisi ke + yakni:

= .

pers. 17

pers. 18

pers. 19

pers. 20

pers. 21

pers. 22


10/40

10

Bila dibandingkan dengan definisi gradient, yaitu = ., dapatdinyatakan:

= . sehingga,

= = ()dengan () merupakan energi potensial. Dimana energi potensial () inimerupakan sebuah fungsi dari posisi r. Laju perubahan energi potensial

dinyatakan sebagai berikut:

()= + +

+

dalam bentuk gradient dari Vdapat dinyatakan sebagai berikut:

()=

+

+

dengan menggabungkan persamaan (25) dan (26), maka diperoleh hubungan

berikut:

= . ()Secara matematika gradien sebuah fungsi adalah sebuah vektor, yang

menyatakan turunan parsial maksimum dalam arah dan besaran dari fungsi

tersebut.Secara fisika gradien negatif dari fungsi energi potensial menyatakan

besar dan arah dari gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang berada dalam

sebuah medan yang dihasilkan oleh partikel lain. Tanda negatip menyatakan

partikel yang dipengaruhi oleh medan gaya didorong untuk bergerak ke arah

penurunan energi potensial. Keadaan ini dapat diilustrasikan seperti gambar

berikut:

Gambar 5. Arah gerak partikel dalam medan potensial

Persamaan (24) menyatakan hubungan antara gaya F yang bersifat

konservatif dengan energi potensial dari sistem gerak partikel yang dipengaruhi

oleh gaya konservatif tersebut. Persamaan (24) menyatakan bahwa untuk sebuah

sistem gerak yang dipengaruhi oleh gaya konservatif berlaku hubungan bahwa

gaya tersebut merupakan gradient negatif dari energi potensial sistem gerak

Vtinggiv

Vrendah

pers. 23

pers. 24

pers. 25

pers. 26

pers. 27


11/40

11

partikel tersebut. Dalam suku-suku komponen arah sumbu tiga dimensi dari gaya

dapat dinyatakan:

= ; =

; =

Persamaan (30), menyatakan bahwa jika gaya yang bekerja pada sebuah partikel

bersifat konservatif maka komponen-komponen gaya dinyatakan oleh negatip

dari turunan parsial dari fungsi energi potensialnya.

Ketergantungan gaya konservatif F terhadap vektor kedudukan r tidak

konstan sehingga kerja yang dilakukan gaya dari titik awalA ke titik akhirBdapat dinyatakan sebagai perbedaan energi potensial pada titik awal dan titik

akhir. Oleh karena itu, jika gayaF merupakan gaya konservatif, maka:

= . = Jika medan gaya yang bekerja pada suatu partikel merupakan medankonservatif, maka persamaan (10) dan persamaan (29) dapat digabungkan seperti

pada persamaan berikut:

= atau

+ = +

Besar + disebut energi mekanik total atau energi total partikel danbiasanya diberi lambangE. Jadi energi mekanik total partikel sama dengan jumlah

energi kinetik dan energi potensial, yaitu: = + = + Berdasarkan persamaan (30) dan (31) dapat dituliskan: = yang menunjukkan bahwa energi total partikel adalah konstan yaitu:

= + = Persamaan (34) dikenal sebagai hukum kekekalan energi mekanik, yang

menyatakan bahwa energi total partikel (E) adalah kekal jika gaya-gaya yang

bekerja pada partikel itu merupakan medan gaya konservatif.

pers. 28

pers. 29

pers. 31

pers. 32

pers. 34

pers. 30

pers. 33


12/40

12

2.2 Konsep Gaya Sentral pada Benda Tunggal

Gaya Sentral ditunjukan oleh sebuah partikel yang selalu menunjukan arah

tertentu yang disebut pusat gaya. Selanjutnya dengan mengambil pusat gaya

sebagai pusat koordinat, gaya sentral oleh partikel ini tergantung dengan jarak r

dari pusat gaya yang dapat ditampilkan sebagai berikut:

F(r) = F(r)Dalam hal ini r merupakan vektor satuan arah radial. Gaya sentral bersifat

konservatif, oleh karena itu energi mekanik dari partikel konstan dan vektor

satuan dapat ditulis = / ||, sehingga persamaan diatas dapat ditulis:F(r) = F(r)/ ||Untuk mendapatkan fungsi energi potensial maka gaya sentral pada posisi

dan gaya konservatif dapat dinyatakan sebagai:Curl = x = 0

Persamaan tersebut ditulis dalam komponen yakni:

F = Fx +Fy+ Fz= () (x+y + z)Dan diperoleh:

Fx=F(r) ; Fy= F(r) ; Fz= F(r)

Sehingga persamaan (40) dapat dituliskan sebagai berikut:

x = + + Persamaan tersebut akan benar apabila ketiga komponen tersebut sama dengan 0,sebagai contoh:

(x )x = Harus sama dengan nol, sehingga persamaan (39) akan menjadi: = ()= z () = z () Dengan cara yang sama,

= y () Substitusikan persamaan (42) dan (43) ke persamaan (41) sehingga menghasilkan:

(x )x = z y ()

pers. 35

pers. 36

pers. 37

pers. 38

pers. 39

pers. 40

pers. 41

pers. 43

pers. 42

pers. 44


13/40

13

Dari hubungan r = (x2+ y2+ z2)1/2

= dan = Disubstitusikan dengan persamaan (44) sehingga diperoleh:

(x )x = 0Dengan cara yang sama dapat diperoleh(x )y = 0 dan (x )x = 0

Jadi gaya sentral F adalah (x )x = 0, dalam hal ini implikasi gaya sentral adalahkonservatif sehingga fungsi energi potensial adalah:

F(r) = - grad V (r) = - V (r)Dalam koordinat bola, operator gradien mempunyai persamaan,

=

+

+

Oleh karena fungsi energi potensial (V) merupakan fungsi jarak r, maka V = V(r)

dan besaran dan tidak memberikan pengaruh pada persamaan (48) tersebutsehingga:

F = - V= Besar gaya F diberikan oleh:

F = -

Sehingga diperoleh hubungan:

V = V (r) = - () drJika dua benda terpisah dengan jarak r = ||dan keduanya berinteraksi dengangaya sentral F (r). Benda tersebut sebagai titik massa, sehingga sebagai:

pers. 45

pers. 46

pers. 47

pers. 48

pers. 49

pers. 50

pers. 51

pers. 52


14/40

14

Gambar 6. Partikel m1dan m2pada posisi r1dan r2

Sistem yang terdiri dari dua partikel dan didiskripsikan dalam enam

koordinat. Jika r1 dan r2 adalah dua buah vektor posisi dari partikel m1 dan m2

(gambar 5.) maka persamaan untuk dua partikel tersebut yakni:

m1 = F(r)...........(a) ; m2 = - F(r)...........(b)dalam hal ini r = r1 r2

gaya diantara dua buah partikel saling menarik jika F(r) < 0 dan menolak

jika F(r) > 0. Deskripsi dari 6 koordinat r1 dan r2merupakan dasar yang cocok

untuk sistem dengan alternatif koordinat tersebut, dimana 3 koordinat di pusat

massa R dan 3 koordinat posisi relatif dengan r, yaitu:

(m1+ m2) = m11 + m22 = 1 - 2

adalah gerak pusat massa dan gerak relatif satu partikel dengan partikel lain.Gaya eksternal terjadi jika = 0, gerak pusat massa adalah gerak:

pers. 53

pers. 54

pers. 55


15/40

15

Gambar 7. Posisi Pusat Massa Dua Buah partikel m1dan m2

Pembagian persamaan (53a) sengan m1dan persamaan (53b) dengan m2

diperoleh:

- = +

F(r)Sehingga dapat disusun:

( - ) = F(r)

Atau,

= F(r)= atau=

+

Dalam hal ini merupakan pengurangan massa. Dengan menggunakanpersamaan (58) untuk mendapatkan = (t) dan kemudian untuk menyelesaikan1 dan 2 dengan menggunakan persamaan (54) dan (55) diperoleh:

1 = + Dan

2 = - Dengan kata lain gerak pusat massa dengan kecepatan yang seragam maka:

= 0

pers. 56

pers. 60

pers. 58

pers. 59

pers. 53

pers. 61

pers. 62


16/40

16

Dalam hal ini sebagai penyelesainnya:

= V0 + 0Dengan kondisi awal t = 0; V0= 0; R0= 0, maka origin bertepatan dengan pusat

massa dan persamaan (60) dan (61) diperoleh:

1 = Dan

2 = - Dalam hal ini 1 dan 2 diukur dari pusat massa. Jika m2>> m1, maka:

=

+

Dan persamaan (58) akan menjadi:

m1= F(r) sedangkan = 1- 2 1. Dalam hal ini dapat dianggap sebagai persoalan gerakgaya sentral pada benda tunggal.

2.3 Keadaan Gerak Partikel karena Pengaruh Gaya Sentral

Pada persamaan = () Mendiskripsikan dengan dan dapat ditentukan ()jikadiketahui bentuk gaya sebtralnya ().

Gambar 8 . Sistem dua benda yang ekivalen dengan persoalan suatu benda Gaya sentral () bekerja searah , oleh karena itu tidak dapat menghasilkantorsi pada pengurangan massa . Ini berarti momentum angular untuk massa terhadap sumbu yang melalui pusat gaya adalah konstan. Jika merupakanmomentum linier untuk

pers. 63

pers. 64

pers. 65

pers. 66


17/40

17

partikel bermassa , maka torsinya adalah : = =

( )=

( )

=

+ tetapi,

= = = 0 Oleh karena itu

= = mengingat bahwa, | |=|||| 0= 0 = = 0dan momentum sudutnya adalah = = konstan.Jika momentum anguler dari massa adalah konstan, maka besar dan arahnyatertentu dalam ruang sehingga vector dan harus berada pada bidang yangtegak lurus dengan , dan gerak partikel dengan massa terbatas pada bidangyang tegak lurus seperti gambar 4.

Gambar 9. Gerak partikel dibawah pengaruh gaya sentral

Penggunaan bidang kordinat polar

(,), maka persamaan gerak partikel

= () dapat dinyatakan sebagai, + + 2= () atau, = ()

+ 2 = 0

pers. 67

pers. 68

pers. 69

pers. 70

pers. 71

pers. 72

pers. 73


18/40

18

Untuk menentukan energi gerak partikel maka ditinjau momentum sudut

dari suatu partikel bermassa yang berada pada , sehingga = = =()

, oleh karena

konstan maka

= =Bila system tidak disipatif dan gaya sentral adalah konservatif, energi total adalah

konstan yaitu, = + () =Dalam hal ini energi potensialnya () = (), dan E di dapat dalamkondisi awal, = + () = + + ()Substitusi untuk = akan didapatkan, = + +()Teorema energi dapat dijelaskan sebagai berikut,oleh karena =()dan mengalikan pada kedua sisi dengan didapatkan, =()

persamaan sebelah kiri dapat dinyatakan sebagai,

+

Sedangkan sebelah kanan ditulis dengan,() = () = () Dengan demikian persamaan (47) dapat dinyatakan sebagai

+ +() = 0atau,

+ + () ==seperti persamaan (45) dengan suku pertama sebagaienergi kinetic dan suku kedua

merupakan energi potensial.

Untuk menentukan luas sapuan maka ditinjau gaya sentral F(r) yang gayutdan momentum angular konstan dalam besar dan arah.Ditinjau partikel bermassa pada posisi (), pada waktu t dari gaya O, seperti

pada gambar 5. Selama interval waktu dt, partikel bergerak dari P ke Q dan pada

pers. 74

pers. 75

pers. 76

pers. 77

pers. 78

pers. 79

pers. 80

pers. 81

pers. 82


19/40

19

titik Q berada pada posisi ( + ). Luas daerah dA yang disapu oleh vectorposisi sama dengan luas segitiga OPQ yaitu = ()=

atau = = Substitusikan = ,=

=

yang berarti kelajuan luasnya konstan.

Gambar 10. Luasan dA yang disapu oleh vector posisi dalam waktu dtPersamaan (73) merupakan Hukum II Kepler dari gerak planet dan juga dikenal

sebagai hukum persamaan luasan. Jika gerak partikel periodic dengan T, maka

dapat diintegralkan persamaan (73) dan dihasilkan,

=

atau =

Oleh karena momentum sudut konstan maka dapat dinyatakan,= = Gambar 6. Menunjukan benda bermass m bergerak dalam orbit mengelilingi

benda bermassa M, sehingga momentum liniernya = , dengan merupakankecepatan singgung.

pers. 83

pers. 74

pers. 75


20/40

20

Gambar 11. Hukum II Kepler atau Hukum Kesamaan Luasan= = maka,

= =

dalam hal ini luasan kecepatan adalah konstan, sehingga jika rbertambah, maka v

dan= = .Kembali pada persamaan (43) dan persamaan kekekalan energi (46) yakni bahwa

= = , dan = + + ()

Untuk = ( + ) dan ; ,Persamaan (41) dapat dinyatakan sebagai = ()+ ,dan dapat dibuat

dalam kasus satu dimensi jika dapat diganti dengan

, dinamakan gayaefektif (Feff) yakni,

()= () += ()+ (57)

Dalam hal ini = yang merupakan gaya sentrifugalFcent, sehingga

= = (58)

Dan dihasilkan, = () (59)Yang dapat diperlakukan sebagai suatu persamaan dalam satu dimensi.

Untuk potensial efektif ()dapat dinyatakan sebagai,()= () = ()+

pers. 75


21/40

21

= () + Diasumsikan rstak terhingga, sehingga didapatkan

() = () + Dengan demikian potensial efektif merupakan jumlah potensial real dan potensialsentrifugal atau barier sentrifugal yang dinyatakan sebagai, = Dan dari persamaan kekekalan energi diperoleh,

= = () Serta hasil integrasinya didapatkan,

= () Sedangkan dari persamaan (74) dapat dinyatakan sebagai, = = Dan hasil integrasinya didapatkan = + Untuk mendapatkan hubungan ()atau ()dapat dilakukan cara sebagai

berikut,

= = = , = Substitusi untuk dan dari persamaan (78) dan (80) didapatkan, = () Dan hasil integrasinya,

=

(

)

Karena konstan terhadap waktu, maka akan bertambah teratur sesuai denganwaktu.Untuk gaya yang tergantung dan pangkat jarak radial yaitu,() =

pers. 76

pers. 77

pers. 78

pers. 79

pers. 80

pers. 81

pers. 82

pers. 83


22/40

22

Dan k adalah konstan, maka untuk n=1 gaya berkorespondensi dengan kasus

gerak osilasi harmonic, dan n=-2 gaya berkorespondensi dengan hukum kuadrat

terbalik, missal gaya gravitasi dan gaya coulomb.

Untuk nilai n tertentu sebagai penyelesaian umumnya dalam bentuk integral clips.

Kembali pada persamaan () = dan mensubstitusikan parameterbaru = sehingga, = = dan didapatkan dan yaitu,

= 1 = 1 = = Atau, = Sedangkan turunan keduanya,

= = = = Atau, = Substitusi untuk , dan dalam persamaan (41), didapatkan

1 =

Yang dapat ditulis sebagai, + = Atau,

= Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan (), sebaliknya jika orbit partikel yang diberikan dalamkoordinat polar () maka dapat diselesaikan untuk menentukan gaya ().Untuk

= 0persamaan di atas tidak ada, dan persamaan

= = 0, dalam

hal ini 0, 0 = 0 = , yang berarti jalan partikelmerupakan garis lurus menuju titik pusat koordinat.

pers. 84

pers. 85

pers. 86

pers. 87


23/40

23

2.4 Lintasan Medan Gaya Sentral dan Potensial Efektif

Sebuah gaya Fdikatakan sebagai sebuah gaya sentral jika garis kerja gaya

tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Jika titik tersebut

dipilih sebagai titik pusat maka F akan selalu sejajar terhadap vektor posisi r.

Karena hasil perkalian vektor antara dua buah vektor sejajar adalah nol maka hasil

ini dapat dipakai sebagai sebuah kondisi yang harus dipenuhi oleh sebuah gaya

sentral, yaitu:

0 Fr

Bila gaya F merupakan gaya sentral maka momentum anguler partikel

adalah tetap sesuai dengan persamaan berikut :

)(

.

rrxmL

rrxmL

rxpL

0

)(

).().(

L

rxFL

rrxmL

rrrrmL

Diperoleh hasil bahwa bila gaya Fmerupakan gaya sentral maka momentum

anguler partikel adalah tetap.

FrrrL x)xm(

Laju perubahan momentum angulernya merupakan (momen gaya)..

Dalam bentuk yang sederhana pernyataan ini mengandung dua konsep fisi yaitu :

-

Pertama, arah dari Ltetap dan besarnya Ljuga tetap.

-

Kedua, dengan pernyataan di atas berakibat bahwa r dan v haruslah

terletak dalam satu bidang tetap, dengan kata lain gerak partikel dibatasi

oleh bidang yang dibentuk oleh vektor posisi dan vektor kecepatan.

Potensial Energi

Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukan

lain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut,

maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan

bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja ., tidak

pers. 88

pers. 89


24/40

24

tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial

sebagai berikut:

() = () = ()

Bila kurva C dituliskan sebagai batas sepanjang pengintegrasian r - rs dan gaya F

yang bekerja bernilai nol, maka fungsi enegi potensial dapat dinyatakan dengan:

0).( C

drrF

Untuk memahami energi potensial dan menunjukkan besarnya energi potensial

pada suatu gaya yang bekerja, maka perhatikan contoh berikut.

Diketahui sebuah fungsi potensial energi V(x,y,z). Pada konversi yang

sama pada gaya F(x,y,z), kita dapat menghitung curl untuk menentukanbagaimana bentuk suatu fungsi potensial energi tersebut. Nilai curlF = 0, maka F

dapat menunjukkan fungsi potensial energi, yakni .V

Sebagai contoh:

a)

axyFx 2azFy

2axFz

b) )3( 22 zyayFx )(322 zyaxFy axyzFy 6

Dimana a adalah konstan, sehingga dapat dhitung besarnya curl pada kasus

pertama (a):

kaxaxiazxF

y

F

x

Fk

x

F

z

Fj

z

F

y

FixF x

yzxyz

)()2()2(

Besar gaya dikatakan konservatif jika , terlihat bahwa gaya-gaya

diatas tidak konservatif.

Pada kasus a) tidak terdapat potensial energi, sementara pada kasus b) terdapat

potensial energi yang saat ini kita akan menganalisisnya. Kita ambil dari r0= 0,

berawal dari komponen fungsi suatu gaya x,y,z, kemudian mengintegrasikan

(0,0,0) menjadi (x0,y0,z0) sepanjang melakukan pengintegralan pada persamaan:

0xF


25/40

25

32

000

1

....),,(

),,(

)0,0,0(

000

CC

zyx

C

drFdrFdrFdrFzyxV

Perhatikan gambar berikut.

Gambar 12. sebuah jalan untuk mengintegralkan (0,0,0) hingga (x0,y0,z0)

Sepanjang C1, kita memiliki

y = z = 0 Fx,= Fy, = Fz= 0 dr = idx

jadi,

1

.C

drF = 0

0

0.

x

xdxF


x = x0 z= 03

22 )3(

ayF

zyayF

x

x

2

0

22

3

)(3

yaxF

zyaxF

y

y

dr = jdy

jadi,

2

.C

drF = 0

0

3

00.

y

y yaxdyF


x = x0, y= y0, )3( 2200 zyayFx )(322

00 zyaxFy axyzFy 6

dr = k dz

jadi,

3

.C

drF = 0

0

20003.

z

z zyaxdzF


26/40

26

Jadi energi potensial dengan besar r0= 0 diperoleh:

300000 ),,( yaxzyxV2

0003 zyax

Faktanya bahwa, salah satu jalan untuk menentukan potensial energi adalah

berdasarkan prosedur diatas, atau singkatnya mencoba untuk menemukan fungsiyang mana gradiennya akan memberikan fungsi dari gaya tersebut. Dan yang

paling penting pada kasus gaya konservatif adalah adanya gaya sentral, yakni

gaya yang secara langsung selalu mengarah pada pusatnya O.

Sesuai dengan prinsik gaya konservatif, telah dijelaskan bahwa untuk

sebuah gaya konservatif berlaku energi potensial hanya bergantung pada r. Pada

sistem gaya-gaya konservatif berlaku dua hukum kekekalan yaitu; pertama,

hukum kekekalan energi:

tetapEV(r)rm 221

dan kedua, hukum kekekalan momentum anguler:

tetapxm Lrr

Berdasarkan pada pembahasan sesion 4.3 pernyataan dari hukum kekekalan

momentum anguler berakibat bahwa gerakan partikel dibatasi pada sebuah

bidang, dengan demikian permasalahan secara efektif menjadi gerak dua dimensi.

Dengan membentuk persamaan dalam koordinat polar r,dalam bidang tersebut

maka kedua hukum kekekalan di atas dapat dinyatakan menjadi:

EV(r))rrm( 2222

1

dan

L2mr

Sebuah informasi penting tentang gerakan partikel secara langsung dapat

diperoleh tanpa memecahkan persamaan tersebut untuk memeproleh r dan

sebagai fungsi dari waktu. Besaran dapat dieleminasi untuk menghasilkan

sebuah persamaan yang hanya mengandung r dan r , yaitu;

EV(r)2mr

rm2

2

2

1 2

L

persamaan ini disebut persamaan energi radial. Untuk harga L tertentu yang

diberikan, maka persamaan akan memiliki bentuk yang sama dengan persamaan

energi satu dimensi dengan fungsi energi potensial:

pers. 90

pers. 91

pers. 92

pers. 93

pers. 94


27/40

27

V(r)2mr

U(r)2

2L

Dengan persamaan di atas mudah dimengerti bahwa suku22mr

2L

dalam hal ini

merupakan energi potensial efektif, yang berhubungan dengan sebuah gaya32mr

2L

.

Gaya ini merupakan gaya sentrifugal 2mr .

Persamaan 4.33 dapat digunakan hanya untuk penyelesaian gaya konservatif. Jika

2r berharga positip maka gerakan dibatasi untuk harga r pada mana

EV(r)2mr

U(r)2

2L

harga maksimum dan minimum dari jarak radial dinyatakan oleh harga r sesuai

dengan persamaan 96. Sebagai contoh tinjaulah sebuah ossilator isotropik yaitu

sebuah ossilator yang arah ossilasinya equivalen dalam setiap arah. energi

potensial ossilator adalah V( r ) = k.r2. Fungsi U(r ) ditunjukkan pada gambar di

bawah. Partikel memiliki keadaan setimbang pada posisi minimum sebesar:

r =

4/12

m.k

L

Gambar 13. Fungsi energi radial U(r ) terhadap r

pers. 95

pers. 96

pers. 97


28/40

28

Jika harga E sama dengan harga minimum U, maka r sama dengan nol dan r

memiliki harga tetap sebagai posisi dari minimum, dalam kasus ini partikel akan

bergerak dalam lintasan melingkar.

untuk harga E yang besar gerakan dibatasi pada daerah b r a yang

diberikan oleh penyelesaian dari persamaan . Jika partikel pada awalnya berada

pada posisi rodari titik awal dan bergerak dengan kecepatan awal vodalam arah

yang memebentuk sudut dengan arah radial maka harga dari E dan L adalah:

E = m 2ov k.2

or

Konservasi energi menurut persamaan:

)()(KV(r)2mr

rmE rad22

21 rVrVcent

2

L

Dalam hal ini )(Krad rVcent merupakan energi kinetic dan )(rV sebagai energi

potensial. angK)( rVcent merupakan energi kinetic untuk gerak angular. Dua suku

yang dikombinasikan bersama-sama sebagai energi potensial efektif sehingga,

(r)VrmE eff2

21

Dalam hal ini ).(

2mr

)()(V2

eff rVrVrVcent 2

L

Energi total E gayut dengan variabel r dan ryang serupa dengan gerak partikel

satu dimensi jika x diganti dengan r, x dengan rdan )(xV dengan (r)Veff maka

diperoleh metode diagram energi.

Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni energi (E)

dan momentum sudut (L). Disamping itu jarak radial r berubah terhadap waktu,

demikian pula berubah setiap waktu. Pada gerak melingkar, besaran r

dipertahankan konstan dan sama dengan 0r .

pers.98

pers. 99

pers. 100


29/40

29

Gambar 14. Grafik ,V,VV(r), effsent untuk suatu gaya harmonic isotropic (a), dan

(b) gerak partikel dengan energi E>E0, dibatasi r1(rmin) < r < r2(rmak).

Untuk F(r) = - Kr atau 2

2

1V(r) Kr maka potensial efektif menjadi:

2

2eff 2mr)()()(V KrrVrVr cent

2L

Grafik dari ,V,VV(r), effsent terhadap r, diperlihatkan pada gambar 7, dalam hal ini

effV mempunyai suatu nilai minimum pada 0r . Untuk memberikan energi total E (

E > E0= [ )(Veff r ], maka osilasi partikel diantara dua nilai ekstrim dari r yakni,

r1=rmin atau r1(rmin) < r < r2(rmak), dua titik tersebut merupakan titik balik dari

geraknya dan pada titik ini kecepatan radialnya sama dengan nol (r = 0), sehingga

persamaan energinya menjadi:

02mr

)(E2

2

LrV

Pada gambar 15 diperlihatkan suatu potensial atraktif V(r) terhadap r yang

dimulai dari r = 0, yang mempunyai potensial negative sangat besar, akan

pers. 101

pers. 102


30/40

30

bertambah dengan kenaikan r mempunyai dan mencapai nol ketika r tak

berhingga, sehingga -V(r) , pada r = 0, dan 0V(r) ketika r

Gambar 15. Grafik V(r) terhadap r untuk gaya atraktif invers kuadrat, 16 b. Veffterhadap r untuk nilai L berbeda.

Sedangkan gambar 16 menunjukkan grafik Veff (r)terhadap suatu nilai, jika energi

partikel kurang dari pada eneri minimum Em, maka tidak ada gerakan yang

mungkin karena hasil radalah imajiner. Untuk energi partikel, E = Em, tak ada

gerak radial, oleh karena itu partikel harus bergerak melingkar dengan radius r0.

Jika energi potensial lebih besar dari pada nol, E = E 4, maka gerak partikel adalah

terbatas, dalam hal ini partikel menuju ke pusat gaya dengan jarak r4 dan

kemudian memutar kembali ke tak terhingga, sehingga hanya ada satu titik balikpada r = r4.

Gambar 17. Grafik Veffterhadap r untuk suatu nilai L.


31/40

31

Untuk partikel dengan nergi antara E = 0 dan E = Em( missal E1) seperti gambar

9, maka gerak partikel akan dibatasi pada nilai r = r1= rmindan r = r1= rmak, dan

titik pada r1 & r2 merupakan titik balik atau gerak partikel dibatasi oleh 2

lingkaran dengan jejari r1& r2 seperti pada gambar 10.

Gambar 18. Gerak partikel dengan energi 0 > E > Em

2.5 Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik

Pada sebuah partikel vector gayakuadrat terbalik secara umum dapat

dituliskan:

rr

KF

2

sedangkan besarnya gaya tersebut dapat dituliskan:

2)(

r

KrF

Dari persamaan tersebut besar energi potensial yang diberikan oleh gaya tersebut

dapat ditentukan dengan mengintegralkan persamaan gaya diatas dari nilai hingga r, sehingga didapatkan:

r

rs

drrFrV )()(

r

rs

drrKrV

2)(

r

drr

KrV

2)(

pers. 103

pers. 104


32/40

32

r

KrV )(

Dari persamaan tersebut berlaku untuk nilai K0 adalah berupa gaya tolak.

Berbicara mengenai gaya kuadrat terbalik terdapat dua kasus yang bias

ditinjau yakni:

1)

Gaya gravitasi yang menyatakan bahwa setiap benda menarik benda lain

dengan gaya yang sebanding dengan perkalian massa-massanya, dan

berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang memisahkan kedua benda.

Secara matematis dapat dituliskan

22

21)(r

K

r

mmGrF

Dari persamaan tersebut, tanda - menyatakan bahwa gaya gravitasi

selalu berupa gaya tarik dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui

bahwa21mGmK dengan besar

2211 /1067,6 kgNmxG

2)

Gaya Coulomb yang menyatakan bahwa besar gaya yang bekerja pada

dua muatan sebanding dengan muatan-mutannya dan berbanding terbalik

dengan kuadrat jarak antar kedua muatan. Secara matematis dapat

dituliskan:

() = = dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa = dan besar =8,85x10C/ Berdasarkan nilai energi potensial diatas maka persamaan untuk nilai potensial

efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik dapat dituliskan:

2

2

2)()(

mr

LrVrVeff

2

2

2)(

mrL

rKrVeff

Berdasarkan persamaan tersebut hubungan antara nilai effV terhadap r untuk

masing-masing nilai K dan L dapat dilihat pada grafik berikut.

pers. 105

pers.106

pers. 107

pers. 108


33/40

33

Gambar 19. hubungan antara nilai effV terhadap r

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa nilai minimum pada energi potensial efektif

adalah saat2

2

2L

mKVeff . Hal ini karena energi potensial efektif akan bernilai

minimum ketika berada pada posisi setimbang yakni pada saat:

0dr

dVeffsehingga

0)(3

2

2

0

2

2

mr

L

r

K

mr

L

r

K

dr

dr

dr

dVeff

Dari persamaan tersebut didapatkan bahwamKLr

2

0

Selanjutnya dengan mennsubtitusikan nilai r0 untuk setiap r pada persamaan

umum energi potensial efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik maka diperoleh:

2

0

2

0

02

)(mr

L

r

KrVeff

22

2

222

2

20

)(22

)(

mK

Lm

L

mK

L

K

mK

Lm

L

mK

L

KrV

eff

2

2

02

)(L

mKrVeff

Pada suatu benda yang memiliki energi potensial efektif minimum maka benda

tersebut akan bergerak dalam suatu lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari-

pers. 109

pers. 110


34/40

34

jari sebesarmK

L2 . Sedangkan pada benda yang memiliki energi potensial efektif

yang kurang dari nol dan dan lebih besar dari nilai2

2

2L

mK maka benda tersebut

akan berosilasi pada dua titik balik seperti yang ditunjukan oleh grafik berikut.

Gambar 20. Titik Balik pada Gerak Partikel

Selain itu untuk benda yang memiliki energi potensial efektif yang besarnya

negatif dan untuk L0 maka lintasan gerak partikel tersebut adalah berbentukelip.

2.6 Hukum Kepler pada Gerak Planet

Berbicara mengenai gerak planet selalu diindentikan dengan tiga hukum

yang dinyatakan oleh Kepler yakni sebagai berikut.

1. Hukum I Kepler (hukum orbit/elips) yang menyatakan bahwa planet

bergerak dalam bidang datar berbentuk ellips dengan matahari berada pada

salah satu titik fokus tersebut.

2. Hukum II Kepler (hukum kesamaan luas) bahwa luas (S) yang menyatakan

bahwa vektor posisi yang disapu oleh garis penghubung antara planet dan

Matahari dalam selang waktu (t) yang sama adalah sama.

3.

Hukum III (hukum periodik) yang menyatakan bahwa perbandingan kuadrat

periode revolusi (T2) terhadap pangkat tiga dari jarak rata-rata planet ke

Matahari (jari-jari elips = R3) adalah sama untuk semua planet.

Berdasarkan hukum I dan II Kepler diketahui bahwa persamaan luasan orbit

planet yang berbentuk elips secara matematis dapat dituliskan:


35/40

35

22 12

eaabLT

Dimana:

a Sumbu semi mayor ka

Leek

La

2

22

2

11

1

b sumbu semi minor

e eksentrisitas

massa reduksi)( mM

Mm

Dari persamaan diatas jika kedua ruas dikuadratkan dan dengan mensubtitusikan

nilaika

Le

221 maka didapatkan persamaan berikut:

ka

La

TL

242

2

22

4

ka

T

2

3

2 4

Dengan mensubtitusikan nilai GMmk dan nilai maka persamaan diatasmenjadi:

)(

4 2

3

2

mMGa

T

Dan persamaan Kepler tentang gerak planet pada akhirnya dapat ditulis:

32

2

)(

4a

mMGT

Pada beberapa kasus untuk massa m yang sangat kecil jika dibandingkan dengan

M maka persamaan tersebut biasanya ditulis:

32

2 4a

GMT

pers. 111

pers. 112

pers. 113

pers. 114

pers. 115


36/40

36

Contoh Soal

1.

Sebuah partikel bermassa konstan m bergerak dalam bidang XY karena

pengaruh gayaF, sehingga vektor kedudukannya dinyatakan sebagai berikut:

=+=cos+sin dengan , , dan adalah konstanta positif ( > ).a.

Tentukan gaya yang bekerja pada partikel!

b. Tunjukkan bahwa medan gaya tersebut adalah konservatif!

Penyelesaian:

a. Gaya yang bekerja pada partikel ditentukan sebagai berikut:

=

=

[( cos + sin )]

= (cossin)= (cossin)= =b.

Pertama-tama dicari curlF sebagai berikut:

=

0

= (0) ()+ () (0)+ () ()= 0

Karena

= 0, maka gaya tersebut adalah konservatif.

2.

Dari soal nomer 1, tentukanlah:

a.

Energi potensial potensial partikel pada kedudukan = dan = b.

Energi total partikel

c.

Kerja yang dilakukan gaya selama partikel bergerak dari kedudukan = sampai kedudukan =


37/40

37

Penyelesaian:

a.

Gaya yang bekerja pada partikel adalah: = Hubungan antara gaya dan energi potensial:

= + + Berdasarkan dua persamaan tersebut diperoleh = = = 0Dengan mengintegrasikan secara berturut-turut terhadap x, y, dan z, serta

menghilangkan konstanta-konstantanya, diperoleh:

= 12 + 12 = 12 ( + )= 12

Karena = + , maka energi potensial jugadapat dituliskan sebagai berikut: = 12 ( + )Untuk = = Untuk = : =

b.

Kecepatan partikel

= =sin+cos Sehingga, = . = +


38/40

38

Energi kinetik partikel

=12

= 12 ( + )Energi potensial partikel

= 12 ( + )Energi total partikel

= +

= 12 [( + ) + ( + )]= 12 [(+) + (+)]= 12 ( + )

Terlihat bahwa energi total partikel adalah konstan.

c.

Kerja yang dilakukan oleh gaya selama partikel bergerak dari kedudukan = ke kedudukan = adalah: = = 12 ( )


39/40

39

BAB III

PENUTUP

3.1Kesimpulan

3.1.1

Suatu gaya disebut konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya

tersebut tidak bergantung pada lintasan yang dilalui benda, melainkan

hanya bergantung pada posisi awal dan posisi akhir benda. = ( )3.1.2

Sebuah gaya dikatakan sebagai gaya sentral apabila garis kerja gaya

tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Dalam

persoalan gerak gaya sentral pada benda tunggal berlaku:

=

1-

2

1

3.1.3

Pendeskripsian karena pengaruh gaya sentral dapadilakukan melalui , ()dan gaya sebtralnya (). selain itugaya sentral () bekerja searah , oleh karena itu tidak dapatmenghasilkan torsi pada pengurangan massa . Ini berarti momentumangular untuk massa terhadap sumbu yang melalui pusat gayaadalah konstan yang secara metematis dapat dituliskan:

= = konstan.

3.1.4

Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni

energi (E) dan momentum sudut (L). Disamping itu jarak radial r

berubah terhadap waktu, demikian pula berubah setiap waktu. Pada

gerak melingkar, besaran r dipertahankan konstan dan sama dengan0r .

3.1.5 Persamaan potensial efektif dinyatakan dengan:

).(2mr

)()(V2eff

rVrVrVcent

2L

3.1.6Persamaan Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik dinyatakan

dengan:

2)(

r

KrF


40/40

3.1.7Persamaan Kepler tentang gerak planet, yaitu:

32

2

)(

4a

mMGT

3.2

SaranPengetahuan tentang gerak partikel dalam 3 dimensi yang dibahas

pada makalah ini diharapkaan dapat menambah wawasan dan memberikan

bekal yang sangat berguna baik untuk guru dan peserta didik yang

berkecimpung dalam dunia sains utamanya Fisika. Karena dengan

mempelajari gerak partikel dalam 3 dimensi, kita dapat mengetahui konsep

gaya konservatif, termasuk sifat-sifat gaya yang ada. selain itu juga dapat

mengetahui pengaruh gaya sentral dan energy potensial efektif, serta

keterkaitannya dengan konsep Hukum Keppler.

mekanika kelompok 5

Documents