Tugas Kelompok

Disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata kuliah : FISMAT I

Dosen: Adila, S.Pd

Disusun oleh :

Kelompok : V

Muhammad Sukma Rohim(0801130133)

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)PALANGKARAYA

JURUSAN TARBIYAH PRODI FISIKATAHUN 2009

BAB I

PEMBAHASAN

A. PENGERTIAN MATRIKS

Teori tentang matriks pertama kali dikembangkan oleh Arthur Cayley (1821–

1895) pada 1857. Sekarang, matriks telah menjadi alat yang berguna di berbagai

bidang. Adapun metode determinan ditemukan oleh Seki Kowa (1642–1708) pada

1683 di Jepang dan ditemukan pula oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (1646–

1716) di Jerman. Keduanya hanya menggunakan matriks dalam persamaan linear.

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan

kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau

sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek

matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah

matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang

terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam

jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut

kolom.

Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi a 1j, dengan i menyatakan baris

dan j menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen a 1j

dinyatakan sebagai berikut :

a11 a12 a13 . . . a 1n

a21 a22 a23 . . . a 2n

A = : : : :

am1 am2 am3 . . . amn

m = jumlah baris n = jumlah kolom

i = 1, 2, 3, …. M j = 1, 2, 3, ….n

matriks A dengan elemen a i j dapat dituliskan dengan bentuk

A = ( a ij ) = [ a 1j ] . . . . . . . . . . . . ( i )

Matriks A yang mempunyai baris m dan kolom m dikatakan matriks A

dengan ordo m x n atau ditulus sebagai A m x n . Contoh : A = 3 - 1 0

2 5 7

Matriks diatas adalah matriks dengan m = 2 dan n = 3 atau ordo A 2 x 3. jika kita ingin

mengetahui elemen a 23 kita harus melihat elemen yang terdapat pada baris 2 dan

kolom 3. dalam contoh ini a 23 = 7

Matriks berordo 2 x 1 karena kolomnya hanya satu maka matriks ini disebut

kolom secara umum matriks kolom disebut matriks ordo n x 1. Sedangkan matriks 1

x 3, karena hanya terdiri dari satu baris, maka matriks ini dinamakan matriks baris

secara umum disebut matriks ordo 1 x n. Matriks yang mempunyai m = n disebut

matriks bujur sangkar.

B. JENIS-JENIS MATRIKS

Matriks terdiri atas berbagai jenis antara lain, matriks nol, matriks baris, matriks

kolom, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks

diagonal, dan matriks identitas.

a. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol, contohnya

A = B = C =

Semua unsur pada matriks A, B, dan C adalah angka 0, sehingga disebut

sebagai matriks nol.

b. matriks baris.Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja,

contohnya

P = Q =

Matriks P berordo 1 × 3, Q berordo 1 × 2, Matriks P an Q di atas hanya memiliki satu baris saja sehingga disebut sebaai matriks baris.

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

5 3 10 0 0 0 0

3 -1 0 0

c. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom, contohnya

K = L =

Matriks K berordo 2 × 1, matriks L beordo 3 × 1. Matriks K, dan L di atas hanya memiliki satu kolom saja sehingga disebut sebagai matriks kolom.

d. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya

sama, contohnya

N = M =

Matriks N berordo 2 × 2 dan matriks M berordo 3 × 3. Karena banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks N dan M disebut sebagai matriks

persegi.

e. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol, sebagai contohnya.

N =

f. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal

utamanya bernilai nol, contohnya

g. Matriks Diagonal

Ialah suatu matrix dimana semua elemen di luar diaogonal pokok mempunyai

nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok 0,biasanya diberi

simbol D.

5 2 0

5 23 0

2 3 0 -1

2 3 50 -1 73 4 4

2 3 50 -1 73 4 4

a 0 0 b c 0 d e f

a b c0 d e0 0 f

a b c0 d e0 0 f

Contoh:

D =

h. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya

bernilai 1.

Contoh:

1. n = 2

I2 =

2. n = 3

I3 =

i. Matriks skalar

Ialah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil k.I

dinamakan scalar matrix.

k.I3 = k =

Contoh:

K = 4

4.I3 = 4 =

A. Operasi Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama yaitu A=B, apabila A dan B

mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen

pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama artinya aij = bij untuk semua

nilai I dan j, dimana:

aij = elemen matrix A dari baris i dan kolom j

bij = elemen matrix B dari baris i dan kolom j

1 0 00 1 00 0 1

4 0 00 4 00 0 4

k 0 00 k 00 0 k

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 2 00 0 5

1 00 1

1 0 00 1 00 0 1

contoh:

1.

A = dan B =

A =B

2.

A = dan B =

A B; jumlah kolom tidak sama.

1) Penjumlahan matrix

Kalau matrix A = (bij), dengan m = baris dan n = kolom dan matrix B

= (bij), dengan m = baris dan n = kolom, dijumlahkan (dikurangi) maka

diperoleh matrix yang ketiga, yaitu matrix c = (cij), dengan m = baris dan n=

kolom. Dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan

(mengurangkan) elemen-elemen matrix A dan B yaitu bahwa: cij = aij + bij.

A + B = + =

C =

A= dan B = A + B = C

Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan

B, kedua matrix ters3ebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang

sama.

2 43 5

2 43 5

1 0 00 1 0

1 00 1

a11…a12...a1j…a1n

a21…a22…a2j…a2n

ai1…..ai2…aij….ain

am1…am2..amj...amn

b11…b12…b1j…b1n

b21…b22…b2j…b2n

bi1….bi2….bij….bin

bm1..bm2..bmj…bmn

c11…c12…c1j…c1n

c21…c22…c2j….c2n

ci1….c12…cij…..cin

cm1…cm2..cmj..cmn

4 2 53 1 6

1 3 23 1 4

5 5 76 2 10

2) Pengurangan matrix

A – B = A + (-1) B

Contoh:

A = dan B =

A – B = A + (-1) B = - =

Untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matrix A dan B kedua

matrix tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.

Hukum bagi penjumlahan matrix:

a. A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A

b. A + B + C = (aij + bij ) + c = (A + B) + C = aij + (bij + cij) = A + (B+C)

3) Perkalian matriks

a. Perkalian dengan scalar

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan atau mengalikan masing-

masing elemennya dengan bilangan tersebut.

Apabila matrix A harus dikalikan dengan scalar k ini berarti bahwa

semua elemen dari matrix A harus dikalilan dengan k, jadi apabila A =

(aij), maka kA = k(aij) = (aij) k = Ak.

Contoh:

4 x =

Yaitu secara umum k[aij] = [k aij]

b. Perkalian 2 buah matrix

Dua buah matrix dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya jika

banyaknya kolom dalam matrix yang pertama sama dengan banyaknya

baris dalam matrix yang ke dua.

A = (a11) = B = (bij) =

4 32 5

4 21 3

4 32 5

-4 -2-1 -3

0 11 2

3 2 56 1 7

12 8 2024 4 28

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b1

b2

b3

Maka A . B = . =

Contoh:

1.

A = B =

A .B = = =

2.

A = B =

A . B = .

=

=

4). Perpangkatan Matriks

Sifat perpangkatan pada matriks sama halnya seperti sifat perpangkatan pada

bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, berlaku :

a2 = a x a

a3 = a x a x a

:

an = a x a x . . . x a ( sebanyak n faktor )

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b1

b2

b3

a11b1 + a12b2 + a13b3

a21b1 + a22b2 + a23b3

4 7 62 3 1

859

4.8 + 7.5 + 6.92.8 + 3.5 + 1.9

32 35 5416 15 9

12140

574

8 4 3 12 5 8 6

1 52 73 4

8 4 3 12 5 8 6

1.8 + 5.2 1.4 + 5.5 1.3 + 5.8 1.1 + 5.62.8 + 7.2 2.4 + 7.5 2.3 + 7.8 2.1 + 7.63.8 + 4.2 3.4 + 4.5 3.3 + 4.8 3.1 + 4.6

8+10 4+25 3+40 1+3016+14 8+35 6+56 2+4228+8 12+20 9+32 3+42

18 29 43 3130 43 62 4436 32 41 27

contoh :

diketahui matriks A =

Tentukan :

a. A2 dan A3

b. 3A2 - 2A3

Penyelesaian :

a. A2 = A X A = =

A3 = A X A2 = =

b. 3A2 - 2A3 = 3 - 2

=

=

D. Matrik Transpose

Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen

baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi

elemen baris.

Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai AT,

misalnya :

maka matriks transpose AT adalah : AT=

-1 1 2 0

-1 1 2 0

-1 1 2 0

3 -1-2 2

-1 1 2 0

3 -1-2 2

-5 3 6 -2

3 -1-2 2

-5 3 6 -2

9 6-6 6

-10 612 -4

19 -9-18 10

E. Matriks invers A-1

Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang bila

diperkalikan dengan matrik A memberikan matriks satuan I, yakni :

AB=I

Selanjutnya, notasi matriks invers A dinyatakan dengan A-1 dapat dibuktikan

bahwa

AB-1=A-1A=I

Cara mencari matriks invers

Sebuah matrik yang dikalikan matriks inversnya akan menghasilkan matrik

satuan.

A A-1 = I

Contoh

Jika , hitunglah A-1

Penyelesaian ,

Misalkan A-1=

Gunakan persamaan

AB-1=A-1A=I

Metode matriks kofaktor

A-1=

Dengan K adalah matrik kofaktor dari matrik A

Contoh

Hitunglah invers dari matrik

Penyelesaian

det = 5 + 6 = 11

matrik kofaktor K yang diperoleh dari persamaan adalah:

K = dan

KT

Dengan menggunakan persamaan (5.4) diperoleh :

A-1=

Catatan

1. jika matrik A adalah matrik ordo n x n dan det A 0 maka matrik tersebut

mempuyai matrik invers A-1 matrik A disebut matrik nonsingular

2. jika det A = 0 maka matriks A disebut matriks singular matriks singular tidak

mempunyai matrik invers.

Determinan

Pada Sub bab A telah dikenalkan pada matriks persegi, yaitu matriks yang

jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Pada bagian ini, akan dikenalkan pada

determinan dari suatu matriks persegi.

a. Determinan Matriks 2 × 2

Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 berikut.

A =

Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali

elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal

sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau A. Berdasarkan

definisi determinan, diperoleh determinan dari matriks A sebagai berikut.

Det A = │A│ = = ( a x d ) - ( b x c )

= ad - bc

Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks berikut :

A =

Penyelesaian :

a bc d

- 4 -3 2 -1

a bc d

Det A = - 4 - 3 = (-4x( - 1)) – ( - 3 x 2 )

2 - 1

= 4 + 6 = 10

b. Determinan Matriks 3 × 3

Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka det A = D1 – D2

Det A = a b c a b

d e f d e

g h i g h

= (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) – (g)(e)(c) – (h)(f)(a) – (i)(d)(b)

= D1 – D2

Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis yaitu

matriks singular dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang

determinannya nol, sedangkan matriks non singular adalah matiks yang

determinannya tidak sama dengan nol.

cara menentukan invers dari suatu matriks :

a. Adjoin Matriks Berordo 2 × 2

Adjoin dari matriks berordo 2 × 2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada

diagonal utama dan elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (–1).

Misalkan, jika A = a b maka, adjoin A = d - b

c d - c a

b. Minor, Kofaktor, dan Adjoin matriks

1) Minor

Misalkan matriks A berordo 3 × 3 sebagai berikut:

A =

Contoh :

M22 = 2 3 = - 4 – 9 = -13

a11---a12--- a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33

3 -2

Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan maka akan

diperoleh matriks baru dengan ordo 2 × 2, determinan dari matriksnya dinamakan

minor. Karena kita menghilangkan baris kesatu dan kolom kedua maka minor

tersebut dinamakan minor dari baris ke-1 kolom ke-2 yang dilambangkan oleh M12.

2) Kofaktor

Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor adalah hasil perkalian

elemen minor Mij dengan (–1) I + j. Dengan demikian, Kij = (–1) I + j Mij Sehingga

diperoleh matriks kofaktor dari matriks A adalah :

K11 K12 K13

K = K21 K22 K23

K31 K32 K33

Contoh :

K21 = (–1)2 + 1 · M21 = (–1)(–1) = 1

3) Adjoin Matriks

Matriks adjoint

Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri

dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor.

Contoh 1

Carilah matriks adjoint A=kT dari;

A =

Penyelesaian :

Kofaktor baris 1: + 4 -2

Kofaktor baris 2:-3 +1

Jadi,

1 32 4

K= dan kT=

Catatan :

Untuk matriks k, elemenya terdiri dari kofaktor matriks A, yakni(-1)i+j Mij, dan

kT sering dinyatakan juga dengan A.

KESIMPULAN

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan

kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau

sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek

matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah

matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang

terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam

jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut

kolom.

Operasi yang yang ada pada matriks meliputi: penjumlahan matriks,

pengurangan matriks ,perkalian matriks , dan determinan.

Fungsi determinan dinotasikan dengan detA sebagai jumlah hasil kali

elementer bertanda dari A. angka detA disebut determinan dari A atau

determinant of A

Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen

baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi

elemen baris.

Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai AT,

misalnya :

maka matriks transpose AT adalah : AT=

Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri

dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor.

-2

-3 1

-3

-2 1