materi matematika pembinaan siswa dan guru · web viewauthor: setijo created date: 03/27/2013...
TRANSCRIPT
MATERI MATEMATIKA PEMBINAAN SISWA DAN GURU
Aritmatika:Bilangan Berpangkat dan Logaritma
Definisi 1:
Bila a adalah bilangan riel dan n bilangan bulat positip, maka didefinisikan :
yaitu a ada n kali(n factor).Jika a,b bilangan riel dan m,n bilangan bulat positip,maka berlaku:
a. e.
b. f.
c. g.
d.
Keempat rumus diatas juga berlaku untuk bilangan rasional.Karena itu perlu ditambah satu rumus lagi,yaitu
h.
Karena juga berlaku untuk m,n bilangan rasional,maka sering disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.Pada rumus diatas bilangan a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar.
Coba bagaimana rumus dari: .
Persamaan eksponen :
Contoh:
Penyelesaian persamaan adalah:
Definisi 2:
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a adalah bilangan x yang memangkatkan a sehingga menjadi b.Dengan demikian ada hubungan antara bilangan berpangkat dengan logaritma,yaitu
berarti
dalam hal ini: a>0, dan b>0.
Contoh:
1.,sebab
2. , sebab
Sifat-sifat logaritma:
a. d.
b. e.
c. f.
Bilangan a dalam logaritma disebut bilangan pokok logaritma.Jika bilangan pokok tidak ditulis,berarti bilangan pokoknya adalah 10.
SOAL LATIHAN
No
Soal
1
Sederhanakan bentuk berikut:
a.
b.
c.
2
Tentukan himpunan penyelesaian dari
a.
b.
c.
d.
3
Tentukan himpunan penyelesaian dari
a.
b.
c.
d.
4
Hitunglah nilai logaritma berikut
a.
b.
c.
d. log0,01=……..
e.
f.
5
Tentukan nilai x,jika:
a.
b.
c.
d.
e.
6
Diketahui dan ,tentukan
a.
b.
7
Selesaikan.
a.
b.
8
Selesaikan persamaan logaritma berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
9
Selesaikan persamaan logaritma berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Aljabar : Bilangan Berpangkat dan Logaritma 2
Soal Latihan
No
Soal
1
Mana yang benar atau
2
Nilai terletak diantara dua bilangan bulat.Tentukan bilangan-bilangan bulat tersebut.
3
Jika x,y,z bilangan bulat, tentukan semua triples (x,y,z) sehingga
4
Tentukan jumlah semua angka dari:
a.
b.,dengan n bilangan asli.
5
Jika dan ,tentukan nilai dari
6
Tentukan dari:
7
Sederhanakan bentuk berikut:
a.
b.
c.
8
Jika ,tentukan nilai x
9
Jika
Maka tentukan nilai
10
Jika p adalah penyelesaian terkecil dari
Maka tentukan nilai
11
Jika ,tentukan nilai a+b
12
Tentukan nilai x ,jika
a.
b.
13
Sederhanakan
14
Jika ,tentukan nilai dari
15
Diketahui tiga bilangan bulat A,B,C yang tidak mempunyai factor sekutu lebih besar dari 1,sehingga
tentukan A+B+C
Aljabar :Persamaan dan Sistem persamaan.
Beberapa rumus atau identitas yang sudah dipelajari dan perlu diingat kembali adalah:
a.Pemfaktoran,diantaranya adalah:
b.Perpangkatan jumlah atau selisih dua bilangan dengan menggunakan segitiga Pascal:
Misalnya:
c.Beberapa identitas yang sering digunakan dalam menyelasaikan soal:
Misal:4
Coba dicari bagaimana pemfaktoran dari , dan yang lainnya.
LATIHAN SOAL_SOAL
No
Soal
1
Jika a dan b bilangan bulat positip,maka tentukan semua pasangan (a,b) yang memenuhi
2
Jika ,tentukan nilai dari
3
Jika dan ,tentukan
4
Jika a+b=7,b+c=9 dan a+c=8,tentukan a.b.c
5
Jika x+y=4 dan xy=-12,tentukan nilai dari
6
Tentukan penyelesaian yang real dari
7
Jika ab=12,bc=20 dan ac=15,tentukan abc
8
Tentukan semua pasangan (a,b).bila a dan b
memenuhi:
9
Jika ,tentukan nilai a+b
10
Tentukan semua tripel(x,y,z) yang memenuhi
11
Tentukan nilai x-y,bila diketahui
12
Jika T= ,tentukan nilai a,b,c,sehingga
13
Bilangan real x memenuhi ,tentukan
14
Jika ,tentukan nilai dari
15
Bilangan real a,b,c memenuhi persamaan:
,tentukan nilai dari
16
Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi:
a.
b.
c.
17
Diketahui
Tentukan nilai A+B+C+D
18
Jika 2x+3y+z=48 dan 4x+3y+3z=69,tentukan 6x+3y+3z
19
x,y,z adalah bilangan real dari system
tentukan nilai 3x-2y-z
20
Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi:
a.x+y+xy=120
b.
21
Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi:
Aljabar :Persamaan Kuadrat dan Persamaan Derajat Tinggi
Hal-hal yang perlu diingat kembali adalah:
a.Persamaan Kuadrat (PK): ,,dengan akar-akar
mempunyai sifat:
b.Persamaan Derajat Tiga:, dengan akar-akar mempunyai sifat:
c.Persamaan Derajat Empat:dengan akar-akar mempunyai sifat
Perhatikan baik-baik sifat-sifat akar tersebut.Coba turunkan sifat-sifat akar untuk Persamaan Derajat Lima.
LATIHAN SOAL-SOAL
No
Soal
1
adalah akar dari persamaan kuadrat
Tentukan nilai
2
a dan b akar-akar real dari dari persamaan .Tentukan nilan a.b
3
akar-akar persamaan .Jika ,tentukan nilai m.
4
akar-akar persamaan
dengan .Tentukan nilai k
5
a,b,c adalah akar-akar dari .Tentukan persamaan yang akar-akarnya
6
akar-akar dari 0.Tentukan nilai
7
a,b,c adalah penyelesaian dari ,tentukan nilai dari
8
Tentukan bilangan bulat m sehingga
a.
b.
merupakan kuadrat sempurna.
9
adalah akar dari .Tentukan nilai
10
Tentukan semua penyelesaian dari
11
Tentukan nilai x dan y dari:
12
akar-akar persamaan
Jika
maka tentukan p/q.
13
Jika x,y bilangan bulat positip,tentukan semua pasangan (x,y) bila:
14
Carilah semua akar (real atau kompleks) dari:
Aritmatika : Barisan dan Deret
Definisi :
Suatu barisan berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah definisi adalah n bilangan asli pertama.
Suatu barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan definisi semua bilangan asli.
Contoh:
Suatu barisan didefinisikan sebagai ,maka
, , , , ……………..
Perhatikan bahwa : 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ………..mempunyai pola tertentu dan bilangan-bilangan itu diperoleh dengan mensubtitusikan bilangan asli 1,2,3,4,5,6,……..pada .Jika n tak hingga,maka barisan 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ………..dinamakan barisan tak hingga.,masing-masing disebut suku pertama,suku kedua, suku ketiga , suku keempat,…………..,suku ke-n.
Pada bagian ini akan dibahas dua barisan khusus,yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri.Disamping itu untuk juga akan diulas bentuk-bentuk barisan dan deret yang lain untuk memberi pengkayaan.
1.Barisan dan Deret Aritmatika.
Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda (selisih) antara dua suku berurutan tetap.
Berdasarkan definisi tersebut,bentuk umum dari barisan aritmetika adalah:
a , (a+b) , (a+2b) , (a+3b) , (a+3b) , …………, (a+(n-1)b)
dengan a= adalah suku pertama , b disebut beda , (a+(n-1)b)=adalah suku ke-n dan n adalah banyaknya suku.
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika.Jika adalah jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika , maka
Karena ,maka
Jelas bahwa
2.Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan yang ratio (perbandingan) antara dua suku berurutan adalah tetap.Secara umum barisan geometri mempunyai bentuk:
dengan a= adalah suku pertama,adalah ratio, adalah suku ke-n dan n adalah banyaknya suku.Untuk barisan geometri,jumlah n suku pertama adalah:
atau
dengan .
Jika ,maka diperoleh deret geometri tak hingga dengan jumlah tak hingga suku adalah
Dalam hal ini juga berlaku
SOAL LATIHAN
No
Soal
1
Dari suatu barisan aritmatika diketahui,suku kedelapan adalah 20 dan suku kesepuluh adalah 12.Carilah jumlah duapuluh suku yang pertama.
2
Suatu deret aritmatika mempunyai 21 suku dengan suku tengah 13.Jika jumlah suku-suku setelah suku tengah sama dengan 12 kali jumlah suku-suku sebelumnya ,maka tentukan deretnya.
3
Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk sebuah deret aritmatika.Jika panjang sisi siku-siku terpendek adalah 60 cm ,tentukan panjang sisi-sisi yang lain.
4
Dari suatu deret geometri diketahui, dan .Tentukan jumlah limabelas suku pertama dari deret tersebut.
5
Diketahui dari suatu deret aritmatika membentuk deret geometri.Carilah jumlah enam suku pertama dari deret aritmatika dan deret geometri.
6
Pada suatu deret geometri dengan n buah suku,diketahui dan .Tentukan suku pertama dan rationya.
7
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika.Jika bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2 ,maka terbentuk barisan geometri.Carilah keempat bilangan tersebut.
8
Dari suatu deret geometri diketahui .Tentukan suku pertama dan ratio dari deret tersebut.
9
Tentukan jumlah semua bilangan yang kurang dari 500 dan jika bilangan itu dibagi 7 sisanya 6.
10
Tentukan jumlah semua bilangan dari 1 sampai 1000 yang bukan kelipatan 3 atau 5.
11
Tentukan nilai dari
a.1-2+3-4+5-……………..+999-1000.
b.
12
Tentukan bilangan bulat n sehingga
merupakan bilangan bulat.
13
Tentukan nilai dari
a.
b.
14
Carilah jumlah 10 suku pertama dari barisan:
15
Bila , tentukan nilai dari
16
Tunjukkan bahwa:
a.
b.
17
Tunjukkan bahwa:
a.
b.
18
Diketahui :
A=
B=
Tentukan nilai
19
PERTIDAKSAMAAN:
Pertidaksamaan Aljabar,Eksponen dan Logaritma
1.Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ketidaksamaan,yaitu >,<,≥ atau ≤ .
Sifat-sifat Dasar Pertidaksamaan
1. a < b a-b < 0.
2. a < b a c < b c ,untuk setiap bilangan real c.
3. Jika a < b dan c > 0,maka ac < bc.
4. Jika a < b dan c< 0,maka ac > bc.
5. 0 < a < b,maka <
6. a < b < 0,maka >
7.
Sifat-sifat tersebut juga berlaku untuk tanda >.
Garis Bilangan
Garis bilangan digunakan untuk menentukan tanda (positip,negatip atau nol ) dari suatu titik.Untuk membuat garis bilangan,pertidaksamaan diuraikan dulu atas factor-faktor linearnya.Selanjutnya titik pembuat nol dari pertidaksamaan diletakkan pada garis bilangan,sehingga dapat ditentukan tanda dari titik-titik diantara titik-titik pembuat nol.
Contoh
Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari
Mula-mula ruas kanan dinolkan dulu, kemudian difaktorkan diperoleh:
(3-x)(x +1)=0
Pada garis bilangan,diantara titik x=-1,x=3,disebelah kiri x= -1 dan disebelah kanan x = 3 ditentukan tanda positip atau negatip dengan mencoba titik x = -2 (< -1),titik x = 2 (titik diantara -1 dan 3) dan titik x = 4(> 3) sehingga pada garis bilangan dapat ditulis :
Yang berarti HP adalah .
Perhatikan bahwa pertidaksamaan- pertidaksamaan :
mempunyai penyelesaian yang sama.
Grafik H P dari adalah
(-13)
Cara lain untuk menentukan tanda pada garis bilangan adalah memperhatikan koefisien x dari setiap factor linearnya dan pangkat dari pangkat factor linearnya.
Contoh
Tentukan H P dari pertidaksamaan
Langkah-langkahnya adalah:
a.Akar-akar dari setiap factor linearnya adalah 1,-2,3/2 dan -1.
b.Koefisien dari factor-faktor linearnya adalah 1,1,2 dan 1
c.Pangkat dari setiap factor-faktor linearnya adalah 6,7,4 dan 5.
d.Jika koefisien dari factor-faktor linearnya dipangkatkan dengan pangkat dari setiap factor-faktor linearnya,maka diperoleh tanda positip,sehingga tanda pada ujung yang paling kanan dari garis bilangan juga positip.
e.Letakkan akar-akar dari setiap factor linearnya pada garis bilangan.Karena tanda pada ujung kanan sudah ditentukan,maka tinggal menentukan tanda yang lain sebagai berikut.Jika pangkat dari factor linearnya genap,maka tanda berikutnya sama dengan tanda sebelumnya dan jika pangkat dari factor linearnya ganjil,maka tanda berikutnya berlawanan tanda dengan sebelumnya.
Untuk contoh diatas garis bilangannya adalah:
(+ + ++ + ++ + ++ + +-2-113/2-2 berasal dari (x+2)7 yang pangkatnya ganjil-1 berasal dari (x+1)5 yang pangkatnya ganjil1 berasal dari (x-1)6 yang pangkatnya genap3/2 berasal dari (2x-3)4 yang pangkatnya genap)
sehingga
2.Pertidaksamaan Irrasional
Yang perlu diperhatikan adalah
a.
= -x, x < 0
= 0, x = 0
b.
c. hanya jika a > 0 dan b > 0
Contoh
Tentukan HP dari:
Dari ,maka
2x-1 x+1
x 2.
Karena ,maka
2x-1x
x +1 x -1
Penyelesaian pertidaksamaan adalah irisan dari : x 2 , x dan x -1
Jadi HP adalah {x │x 2 }.
3.Pertidaksamaan Eksponen
Diketahui a bilangan pokok.Jika a > 1,maka
dan jika 0 < a < 1,maka
4.Pertidaksamaan logaritma
Didalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, yang perlu diingat adalah syarat-syarat dari bilangan pokok dan bilangan yang diambil logaritmanya.
Contoh
Selesaikan
Pertidaksamaan dapat ditulis
Syarat yang harus dipenuhi adalah
Dengan demikian HP adalah {x│1< x <2 atau 3< x <4}.
Soal Latihan.
No
Soal
1
P,Q, dan R memancing ikan disuatu kolam pancing.Jika hasil Q lebih sedikit dari R,sedangkan jumlah hasil P dan Q dua kali lebih banyak dari pada hasil R,maka tentukan yang terbanyak mendapat ikan.
2
Tentukan HP penyelesaian dari pertidaksamaan:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
3
a. Tentukan nilai k yang memenuhi:
b.Tentukan nilai x agar bentuk berikut terdefinisi:
c.Tentukan nilai x jika diketahui
dengan
4
Tentukan HP penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
a.
b.
c.
d.
5
Tentukan himpunan penyelesaian dari
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
6
Buktikan bahwa berikut ini benar:
a.
b.
c.
d.
7
Diketahui a,b adalah bilangan real positip.
Buktikan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
8
Jika a,b,c bilangan real positip,buktikan
a.
b.
ALJABAR : Perbandingan ,Persamaan dan Aplikasinya.
Soal Latihan
No
Soal
1
Sebuah balok mempunyai perbandingan ukuran p:l:t=6:3:2 dengan p panjang,l lebar dan t tinggi balok.Jika panjang diagonal ruangnya adalah 28 cm,maka tentukan volume balok tersebut.
2
Jika ,tentukan nilai y.
3
Tentukan semua bilangan bulat positip n sehingga juga merupakan bilangan bulat.
4
p dan q bilangan real yang memenuhi dan .Tentukan nilai p+q.
5
Perbandingan siswa laki-laki dan siswa perempuan disuatu sekolah adalah 2:3.Perbandingan siswa perempuan dengan guru adalah 8:1. Tentukan perbandingan siswa laki-laki dengan guru.
6
Tentukan nilai x+2y+3z,jika x:y:z=2:3:5 dan x+y+z=70.
7
Diketahui tiga bilangan a,b,c dengan
Tentukan
a.jumlah kebalikan tiga bilangan tersebut.
b.jumlah kuadrat tiga bilangan tersebut.
8
a.Jika ,tentukan nilai
b.Jika ,tentukan nilai
9
a.Jika dengan a>b>0,maka tentukan nilai
b.a,b bilangan real yang memenuhi ,maka tentukan nilai terbesar dari 3ab.
10
Tujuh tahun yang lalu umur A adalah 1/3 umur B,dan lima tahun yang akan datang umur A adalah ½ umur B.Tentukan jumlah umur A dan B sekarang
11
A dan B dua bilangan berurutan dengan A= dan B= .Tentukan nilai x.
12
Selesaikan system persamaan berikut:
a.
b.
13
Selesaikan system persamaan berikut:
a.
b.
14
Bilangan 52 dibagi menjadi tiga bagian sehingga yang terkecil ditambah 1/3 dari yang tengah dan 1/6 dari yang terbesar menjadi 22.Sedangkan selisih yang terbesar dengan yang tengah 1 kurangnya dari 2/3 bagian yang tengah.Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
15
Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi :
a.3x + y =100 dengan 0
b.42x – 76y =50.
c.
16
A dan B bermain kelereng.Pada permainan pertama,A kehilangan ½ dari kelerengnya.Pada permainan kedua,B kehilangan ½ dari kelerengnya dan pada permainan ketiga A kehilangan 10 kelereng.Sekarang A mempunyai 105 kelereng dan B mempunyai 75 kelereng.Tentukan banyaknya kelereng A dan B mula-mula.
17
x,y,z memenuhi system persamaan:
Tentukan nilai
18
Diketahui :
.Buktikan m+n=p.
19
Amin mempunyai sejumlah perangko seharga Rp51.000,- yang terdiri dari perangko seharga Rp5000,- ,Rp2000,- ,Rp1000,- dan Rp500,-.dalam jumlah yang sama.Tentukan banyaknya perangko seharga Rp5000,-.
20
Hasan ,Ali dan Rahmat membelanjakan uang sakunya.Hasan membelanjakan 5/7 dari uang sakunya ,Ali membelanjakan 9/10 dari yang dibelanjakan Hasan dan Rahmat membelanjakan 4/3 dari yang dibelanjakan Ali.Setelah berbelanja,uang Rahmat tersisa ¼ dari uangnya semula , uang Ali tersisa ¾ dari sisa uang Rahmat,dan sisa uang Hasan sama dengan sisa uang Rahmat .Tentukan uang saku Hasan dan Ali,jika uang saku Rahmat adalah Rp8000,-.
21
Jika ,tentukan nilai
22
Diketahui dua bilangan a dan b dengan sifat a+b,ab,a/b adalah sama semua.Tentukan kedua bilangan tersebut.
23
Jika ,buktikan
ARITMATIKA : Fungsi,Barisan dan Deret
Soal Latihan
No
Soal
1
Sederhanakan deret berikut:
11+22+33+44+55+66+77+88+99
2
Diketahui fungsi F didefinisikan:
dengan n bilangan bulat.Tentukan
3
Jika
dengan m,n bilangan bulat positip yang tidak mempunyai factor persekutuan.Tentukan m+n.
4
Fungsi F memenuhi :
dan
Tentukan
5
Jika
= A
maka tentukan nilai A.
6
Suatu barisan bilangan didefinisikan dengan relasi:
, .Tentukan
7
f adalah fungsi yang memenuhi:
f(2005) = 2008 dan f(x+1) = 2f(x)-2002
dengan x bilangan bulat.Tentukan f(2004).
8
Tentukan nilai dari
a.2003 – 2001 + 1999 - ………- 5 +3 – 1
b.
9
n bilangan asli yang memenuhi
tentukan nilai n terbesar.
10
Fungsi F memenuhi syarat:
(i).f(1) =1
(ii).f(x+y) = f(x) + f(y) +xy
dengan x,y bilangan asli.
Tentukan f(1)+f(2)+f(3)+f(4).
11
Perhatikan pola barisan berikut:
a.1 = 1
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
15 = 1+2+3+4+5
.
.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,3,6,10,15,…….
b. 1 = 1 =
4 = 1+3 =
9 = 1+3+5 =
16 = 1+3+5+7 =
25 = 1+3+5+7+9 =
.
.
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,4,9,16,25,….
12
Diketahui:
= 100.Tentukan nilai n
13
Jika f(2x+1) = ,maka tentukan jumlah akar-akar dari f(x) = 0
14
a.Jika f(x) = dan f(-3) = 2,maka tentukan f(3).
b.Jika f(x,y) = xy+2x+y+1,tentukan
15
Jumlah 10 suku pertama dan jumlah 100 suku pertama dari suatu barisan aritmatika masing-masing adalah 100 dan 10.Tentukan jumlah 110 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut.
16
Perhatikan barisan berikut:
1,(1+2),, , ……………,.
Tentukan rumus suku ke-n.
17
Jika ,tentukan nilai 51.f(50).f(49)………..f(3).f(2)
18
Tentukan jumlah n suku pertama dari deret:
a.
b.
19
a.Tentukan nilai terkecil dari fungsi :
b.Tentukan nilai terbesar dari fungsi:
20
Diketahui fungsi f dan g didefinisikan
f(x) = cos x , 0≤ x ≤ 2dan
.
Jika ,tentukan nilai x.
ARITMATIKA : Jumlah n Suku Pertama Dari Suatu Barisan
Dua barisan yang sudah dikenal adalah barisan aritmatika dan barisan geometri.Barisan aritmatika yang mempunyai bentuk umum:
a , (a+b) , (a+2b) , (a+3b) , (a+3b) , …………, (a+(n-1)b)
mempunyai rumus jumlah n suku pertama:
atau
sedangkan barisan geometri dengan bentuk umum:
mempunyai rumus jumlah n suku pertama:
atau
dengan .
Jika ,maka diperoleh deret geometri tak hingga dengan jumlah tak hingga suku adalah
Sekarang akan dipelajari dua metode yang sangat bermanfaat untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari barisan-barisan yang lain.Mula-mula perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1:
Perhatikan bahwa:
1 = 1
3 = 1+2
6 = 1+2+3
10 = 1+2+3+4
.
.
maka barisan 1,3,6,10,15,…………mempunyai rumus suku n ,1/2n(n+1),sebab 1 adalah jumlah satu suku pertama dari barisan 1,2,3,4,5,……;3 adalah jumalah dua suku pertama dari barisan 1,2,3,4,5,……;6 adalah jumalah tiga suku pertama dari barisan 1,2,3,4,5,……dan seterusnya.
Contoh 2:
Perhatikan lagi Contoh 1.Sekarang bagaimana jumlah n suku pertama dari deret 1+3+6+10+15+………. Untuk menentukan rumus jumlah n suku pertama, didefinisikan perbandingan:
dan dibuat table berikut:
n
1
2
3
4
………..
1
4/3
10/6
20/10
……….
Barisan 1,4/3,10/6,15/10,…….dapat ditulis lagi menjadi 3/3,4/3,5/3,6/3,…….yang suku ke-n dirumuskan sebagai .Dengan demikian
=
Jadi
Silahkan dicoba dengan mensubtitusikan n=1(jumlah satu suku pertama),n=2(jumlah dua suku pertama),n=3(jumlah tiga suku pertama) dan seterusnya.
Ini adalah metode pertama.Selanjutnya perhatikan metode kedua berikut ini.
Contoh 3:
Tentukan jumlah n suku pertama dari barisan ,.Perhatikan
(1)
Karena deret tersebut adalah deret geometri dengan ratio 3,maka dibuat
(2)
Jika (1) dikurangi (2),maka diperoleh
=
Metode ini disebut metode kedua.Contoh berikut akan diselesaikan dengan metode kedua.
Contoh 4:
Tentukanjumlah n suku pertama dari barisan .Perhatikan
(3)
dan
(4)
Jika (3) dikurangi (4),maka diperoleh (setelah beberapa langkah penyederhanaan):
Silahkan dicoba dengan mensubtitusikan n=1,n=2 ,dan seterusnya.
Soal Latihan
Tentukan jumlah n suku pertama dari deret berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 1.3+3.5+5.7+…………+(2n-1)(2n+1).
9.
10.
11.
Soal Latihan Tahap III : Aljabar
No
Soal
1
Operasi didefinisikan dengan ab = 1-,b0.Tentukan nilai (12)(34)
2
Persamaan mempunyai dua penyelesaian dan .Tentukan nilai b/a jika jumlah penyelesaian sama dengan hasil kali penyelesaian.
3
tentukan nilai a+b+c.
4
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi
5
Tentukan penyelesaian yang bulat dari system
6
Selisih dari kuadrat dua bilangan berurutan adalah 1987.Tentukan hasil kali dua bilangan tersebut.
7
Selesaikan system berikut
a.
b.
c.
8
Seorang penjual minyak tanah hanya mempunyai takaran 4 literan dan 5 literan.Seseorang akan membeli minyak tanah 3 liter.Bagaimana caranya penjual menyak tanah tersebut menakar minyak 3 liter.
9
Tentukan nilai x dari
a.
b.
10
Jika ,maka tentukan
11
Tentukan penyelesaian dari
a.(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
b.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=8
c.
d.
12
Jumlah tiga suku pertama dari barisan geometri adalah 42.Jika suku tengah dikalikan 5/4,maka menghasilkan barisan aritmatika.Tentukan barisan geometrinya.
13
Selesaikan persamaan berikut
a.
b.
c.
14
Jika ,maka tentukan nilai
15
Akar-akar persamaan adalah bulat positip.Tentukan nilai k.
16
a.Bila dan ,tunjukkan dan akar-akar persamaan
b.Perbandingan akar-akar persamaan
adalah p:q,buktikan bahwa
17
Selesaikan system persamaan berikut
a.
b.
18
Untuk menentukan hasil kali bilangan 1493 dan 1507 ,seorang siswa mengurangkan bilangan 49 dari 2250000.Cara apa yang digunakan siswa tersebut.
19
Tentukan 7 bilangan antara 100 dan 122 yang dapat dinyatakan dengan 6x+9y.
20
Jika ,maka buktikan
Soal Latihan Tahap III : Aljabar II
1
Diketahui H = dengan B bilangan bulat.Tentukan banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H.
2
Tentukan nilai A,B dan C dari
a.
b.
c.
3
m,n,p dan q empat bilangan asli yang memenuhi
(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4
Tentukan nilai dari
a.m+n+p+q
b.mn+pq.
4
a.Tentukan tiga bilangan bulat berurutan yang hasil kalinya adalah 5 kali hasil jumlahnya.
b.Ada tiga bilangan genap berurutan dimana hasil kali bilangan pertama dan bilangan ketiga adalah 320.Tentukan bilangan-bilangan itu.
c.Buktikan hasil kali dua bilangan ganjil berurutan ditambah satu adalah habis dibagi 4.
d.Buktikan jumlah dari kuadrat bilangan ganjil dan 7 selalu habis dibagi 8.
e.Luas persegi panjang adalah 48.Bila lebarnya ditambah 1 dan panjangnya dikurangi 1,maka diperoleh persegi.Tentukan kelilingnya.
5
Tentukan semua bilangan bulat x,y yang memenuhi
6
a.Jika ,maka tentukan nilai
b.Jika ,maka tantukan nilai dari
c.Jika ,maka tentukan nilai dari
7
Tentukan hubungan A,B dan C jika
8
,dan menyatakan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring 34.Jika m>n dan m,n bilangan bulat positip,tentukan luas segitiga tersebut.
9
Selesaikan persamaan berikut
a.
b.
10
Rata-rata dari dan adalah 6,tentukan nilai x
11
Diberikan lima bilangan bulat positip yang jumlah setiap pasangnya(jumlah dua-dua) adalah 7,10,11,13,13,14,16,17,19,20.tentukan bilangan
12
Anam mempunyai uang Rp1000,- yang akan dibelikan dua jenis permen yang masing-masing harga setiap permennya adalah Rp25,- dan Rp10,-.Tentukan kombinasi kedua jenis permen tersebut
13
Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi
14
a.Tentukan nilai dari
b.Jika ,tentukan nila
15
Suatu desa akan melakukan wisata bersama dengan menggunakan beberapa bus.Jika 1/5 orang dewasa didesa itu tidak ikut,maka perbandingan banyaknya orang dewasa dan anak-anak adalah 2:3.Jika 44 anak tidak ikut,maka perbandingan banyaknya anak-anak dan orang dewasa adalah 2:5.Tentukan banyaknya penduduk didesa itu.
16
Tentukan semua akar dari
17
Suatu mobil berjalan mendaki dengan kecepatan 30 km/jam dan turun menempuh jarak yang sama dengan kecepatan 60 km/jam.Tentukan kecepatan rata-rata mobil tersebut.
18
Tentukan penyelesaian (x,y,z) yang bulat positip yang memenuhi
19
Pada suatu pertemuan hadir beberapa orang wanita dan laki-laki.Jika seorang wanita meninggalkan pertemuan itu,maka 20% dari orang yang ada adalah wanita. Jika ada wanita lain datang menghadiri pertemuan itu,maka 25% orang yang ada adalah wanita.Tentukan banyaknya orang laki-laki yang hadir.
20
Jika dan ,maka tentukan nilai dari
16
4
/
1
100
log
-
=
x
a
=
3
log
2
b
=
5
log
2
...
50
log
6
=
...
45
log
15
=
......
81
log
1
81
log
1
18
2
/
1
=
+
...
)
5
/
1
log(
.
64
log
.
27
log
3
5
2
=
4
log
log
-
=
x
x
x
log
log
2
=
2
log
log
)
2
log(
+
=
+
x
x
)
3
log(
4
log
log
2
+
+
=
x
x
1
8
log
log
3
2
3
-
=
x
x
)
2
log(
1
log
2
2
2
+
+
=
x
x
1
5
5
log
log
log
+
=
x
2
log
1
log
log
+
=
x
m
m
m
b
a
b
a
.
)
.
(
=
0
3
log
.
2
log
2
2
2
=
-
-
x
x
0
1
log
.
3
log
.
2
2
=
+
-
x
x
{
}
4
log
2
)
4
3
log(
log
=
+
+
x
{
}
x
x
4
log
log
2
log
)
3
log(
log
=
+
-
3
)
6
log(
)
4
log(
2
2
=
-
+
-
x
x
81
log
)
2
log(
)
5
log(
9
2
2
=
-
+
-
x
x
14
11
17
31
>
14
11
17
31
<
39
log
4
(
)
64
=
z
y
x
n
m
n
m
a
a
a
-
=
(
)
2
2002
2002
10
+
(
)
2
8
4
1
10
2
+
+
n
2
2
10
+
=
x
2
2
10
-
=
y
3
2
2
3
y
xy
y
x
y
x
+
+
+
(
)
(
)
}
(
)
(
)
{
}
î
í
ì
-
-
+
-
-
+
+
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
n
n
n
n
2
2
3
2
2
3
2
12
17
+
+
-
+
-
9
log
3
log
5
log
25
2
3
5
16
27
-
+
3
2
3
)
3
1
(
2
2
+
+
m
m
m
b
a
b
a
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
1
1
4
5
+
-
=
x
x
128
127
...,
,.........
7
6
,
6
5
,
5
4
124
3
2
1
=
=
=
=
x
x
x
x
124
3
2
1
.........
.
.
x
x
x
x
8
2
15
2
=
+
x
x
p
4
..
..........
1
1
1
10
+
+
+
=
+
b
a
(
)
}
{
0
log
log
log
2
3
2
=
x
(
)
x
x
x
log
.
log
log
3
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
c
b
c
b
a
1
log
.
1
log
.
1
log
28
log
4
4
=
y
x
(
)
mn
n
m
a
a
=
7
log
x
y
C
B
A
=
+
2
log
.
5
log
.
200
200
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
+
+
+
=
+
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
-
+
-
=
-
)
)(
(
2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
+
+
-
=
-
)
)(
(
2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
+
-
+
=
+
5
5
b
a
-
7
7
b
a
+
45
2
2
=
-
b
a
m
m
a
a
1
=
-
3
1
=
+
x
x
3
3
1
x
x
+
1
=
+
b
a
2
2
2
=
+
b
a
4
4
b
a
+
2
2
5
y
xy
x
+
+
2
3
8
8
x
x
x
=
-
+
î
í
ì
=
-
+
=
-
22
3
2
1
2
2
b
ab
a
b
a
2
2
6
11
b
a
+
=
-
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
18
18
82
2
2
2
yz
zx
xy
z
yz
xy
zx
y
zx
xy
yz
x
1
0
=
a
ï
î
ï
í
ì
=
+
=
+
+
=
3
6
24
2
2
4
4
y
x
y
x
y
x
2
2
1
x
x
+
cT
bT
aT
x
x
+
+
=
+
2
3
6
6
1
5
2
1
3
3
=
+
x
x
2
2
1
x
x
+
3
3
1
x
x
-
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
=
+
+
28
1
1
1
26
c
b
a
c
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
+
+
+
+
+
1001
2
2
=
-
y
x
n
n
a
a
/
1
=
4
1
1
1
=
+
y
x
2
1
1
1
=
+
y
x
D
x
C
x
x
B
x
x
x
A
x
+
-
+
-
-
+
-
-
-
=
)
1
(
)
2
)(
1
(
)
3
)(
2
)(
1
(
3
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
72
)
)(
(
96
)
)(
(
120
)
)(
(
z
y
x
x
z
z
y
x
z
y
z
y
x
y
x
2
2
1576
)
1
(
x
x
y
+
=
+
100
=
+
y
x
xy
0
2
=
+
+
+
c
bx
ax
0
¹
a
2
1
danx
x
a
c
x
x
a
b
x
x
=
-
=
+
2
1
2
1
n
n
b
a
dan
b
a
.
/
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
0
,
0
2
3
¹
=
+
+
+
a
d
cx
bx
ax
3
2
1
,
,
danx
x
x
a
d
x
x
x
a
c
x
x
x
x
x
x
a
b
x
x
x
-
=
=
+
+
-
=
+
+
3
2
1
1
3
3
2
2
1
3
2
1
,
0
,
0
2
3
4
¹
=
+
+
+
+
a
e
dx
cx
bx
ax
,
,
,
,
4
3
2
1
danx
x
x
x
a
e
x
x
x
x
a
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
b
x
x
x
x
=
-
=
+
+
+
=
+
+
+
+
-
=
+
+
+
4
3
2
1
2
1
4
1
4
3
4
3
2
3
2
1
4
2
1
4
4
3
3
2
2
1
4
3
2
1
a
0
2
2
=
+
-
x
x
a
a
3
4
+
1
2
2
2
+
+
=
+
x
x
x
x
)
(
)
(
x
g
x
f
a
a
=
b
a
dan
0
5
3
2
=
+
+
m
x
x
5
2
2
=
+
b
a
2
1
danx
x
0
)
9
3
(
4
2
=
+
+
-
k
kx
x
2
2
1
+
=
x
x
0
5
3
2
2
3
=
-
-
+
x
x
x
c
b
a
1
,
1
,
1
3
2
1
,
,
x
x
x
=
+
-
-
1
3
2
2
3
x
x
x
1
2
5
3
5
5
2
-
-
+
+
=
x
x
x
3
2
1
1
1
1
x
x
x
+
+
0
8
5
2
2
3
=
+
-
-
x
x
x
ac
bc
ab
1
1
1
+
+
28
6
2
+
+
m
m
244
20
2
+
-
m
m
a
0
1
2
4
=
-
+
x
x
4
6
2
a
a
+
0
16
)
2
(
7
)
4
.(
0
20
)
1
4
)(
4
.(
0
56
)
12
(
5
)
12
.(
2
2
2
2
2
=
+
+
-
+
=
-
-
+
+
=
+
+
+
+
x
x
x
x
c
x
x
x
x
b
x
x
x
x
a
î
í
ì
=
+
=
+
10
15
2
2
y
xy
xy
x
3
2
0
6
5
1
2
5
3
2
2
-
=
-
=
=
+
+
-
-
=
+
+
ataux
x
x
x
x
x
x
.
0
)
(
2
2
2
=
+
+
-
pq
x
q
p
x
2
1
2
1
10
)
(
3
x
x
x
x
=
+
î
í
ì
-
=
+
=
+
+
30
1
2
2
xy
y
x
y
xy
x
0
1
5
=
+
x
2
3
-
=
n
u
n
1
1
=
u
4
2
=
u
7
3
=
u
10
4
=
u
x
b
a
=
log
n
u
u
u
u
u
,........
,
,
,
4
3
2
1
1
u
n
u
n
S
)
.(
2
1
)
)
1
(
(
.........
)
3
(
)
2
(
)
(
.
.
)
2
(
)
(
)
(
3
2
1
n
n
n
u
a
n
S
b
n
a
b
a
b
a
b
a
a
S
b
a
b
a
a
S
b
a
a
S
a
S
+
=
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
=
b
n
a
u
n
)
1
(
-
+
=
)
)
1
(
2
.(
2
1
b
n
a
n
S
n
-
+
=
n
n
n
u
S
S
=
-
-
1
1
4
3
2
.....,
,.........
,
,
,
,
-
n
ar
ar
ar
ar
ar
a
r
b
a
x
=
n
n
u
ar
=
-
1
r
r
a
S
n
n
-
-
=
1
)
1
.(
1
)
1
.(
-
-
=
r
r
a
S
n
n
1
¹
r
1
1
<
<
-
r
r
a
S
-
=
1
3
3
=
+
u
a
2
2
3
4
2
=
+
u
u
10
4
1
,
,
danu
u
u
1
¹
a
,
108
,
4
1
2
1
=
+
=
+
-
n
n
u
u
u
u
121
=
n
S
5
,
157
,
155
,
150
2
1
=
=
=
+
+
n
n
n
danS
S
S
99
98
...
..........
..........
3
2
1
98
97
..
..........
..........
4
3
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
n
1
1
...
..........
4
1
1
.
3
1
1
.
2
1
1
2025
2024
1
..........
4
3
1
3
2
1
2
1
1
-
+
-
-
+
-
-
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
64
32
16
8
4
2
+
+
+
+
+
+
,.....
3
,
2
,
3
2
a
x
a
x
a
x
+
+
+
)
1
(
2
1
+
=
n
n
t
n
2002
3
2
1
1
..
..........
..........
1
1
1
t
t
t
t
+
+
+
+
3
8
log
2
=
2
1
..........
..........
7
.
5
1
5
.
3
1
3
.
1
1
=
+
+
+
4
3
...
..........
6
.
4
1
5
.
3
1
4
.
2
1
3
.
1
1
=
+
+
+
+
å
¥
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
1
2
3
2
1
1
k
k
k
å
¥
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
1
2
1
1
k
k
k
k
k
....
..........
3
2
1
4
4
4
+
+
+
-
-
-
..........
5
3
1
4
4
4
+
+
+
-
-
-
B
A
..........
16
7
8
5
4
3
2
1
+
+
+
+
Û
Û
8
2
3
=
±
±
2
a
2
b
b
a
b
a
1
1
0
>
Þ
<
<
0
3
2
2
<
+
+
-
x
x
3
1
-
-
-
-
+
+
+
-
-
-
{
}
3
atau
1
:
>
-
<
x
x
x
P
H
(
)
(
)
0
1
3
<
+
-
x
x
4
81
log
3
=
0
3
1
<
-
+
x
x
0
1
3
<
+
-
x
x
(
)
(
)
0
1
3
1
<
+
-
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
3
2
2
1
5
4
7
6
>
+
-
+
-
x
x
x
x
þ
ý
ü
î
í
ì
¹
=
-
>
-
<
2
3
,
1
,
1
atau
2
:
x
x
x
x
x
P
H
0
,
2
>
=
x
x
x
0
³
Û
x
x
b
a
ab
×
=
1
1
2
+
³
-
x
x
81
3
4
=
b
a
£
£
0
Þ
2
2
b
a
£
³
Û
³
0
³
Û
x
x
Û
³
0
2
1
³
0
³
c
b
c
b
a
a
a
.
log
log
log
=
+
Û
³
³
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
a
a
x
g
x
f
£
Þ
£
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
a
a
x
g
x
f
³
Þ
£
1
)
6
5
log(
2
2
<
+
-
x
x
4
1
2
6
5
2
log
)
6
5
log(
2
2
2
2
<
<
Û
<
+
-
Û
<
+
-
x
x
x
x
x
3
2
0
)
6
5
(
2
>
<
Û
>
+
-
ataux
x
x
x
1
2
3
6
+
-
³
-
-
x
x
x
x
a
b
b
a
log
1
log
=
(
)
(
)
5
2
2
2
2
2
+
<
-
x
x
x
x
x
0
2
3
4
<
+
-
-
x
x
(
)
(
)
0
2
1
2
3
2
2
<
+
+
+
-
x
x
x
x
2
1
2
3
1
2
+
+
-
<
-
x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
0
5
4
3
2
5
2
3
2
<
-
+
-
+
x
x
x
x
x
1
4
9
2
3
11
5
2
2
<
+
-
+
-
x
x
x
x
2
1
1
0
2
2
<
+
+
+
+
<
x
x
kx
x
2
2
16
1
2
x
x
x
-
+
-
(
)
p
-
1
log
7
3
3
2
+
-
=
x
x
p
c
b
c
b
a
a
a
log
log
log
=
-
(
)
p
p
p
p
p
27
.
9
3
3
2
>
+
-
1
3
2
2
4
+
-
>
x
x
1
2
1
5
2
4
1
2
1
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
<
÷
ø
ö
ç
è
æ
x
x
(
)
2
2
2
81
27
9
1
-
>
x
x
x
3
log
4
log
5
6
<
+
+
x
x
2
log
2
log
2
)
3
log(
x
x
>
+
+
)
4
log(
)
3
log(
)
5
log(
2
2
2
x
x
x
-
<
-
+
+
3
log
)
3
2
log(
3
3
<
+
-
x
x
1
1
log
2
1
log
1
<
-
-
x
x
0
625
log
)
1
2
log(
1
2
5
>
-
-
-
x
x
0
1
log
=
a
3
2
log
3
64
2
2
x
x
>
+
0
5
4
2
>
+
-
x
x
0
6
4
2
<
-
+
-
x
x
0
2
2
2
3
4
³
+
-
x
x
x
(
)
(
)
0
10
6
.
3
2
2
2
<
-
+
-
+
-
x
x
x
x
2
³
+
a
b
b
a
ab
b
a
2
1
1
2
2
³
+
2
1
2
2
2
³
+
+
a
a
)
(
3
3
b
a
ab
b
a
+
³
+
b
n
b
a
n
a
log
.
log
=
b
a
a
b
b
a
+
³
+
2
2
b
a
a
b
b
a
1
1
2
2
+
³
+
ab
ca
bc
c
b
a
+
+
³
+
+
2
2
2
abc
c
b
a
3
3
3
3
³
+
+
5
3
5
24
5
8
=
+
+
=
x
y
y
x
5
2
25
3
-
+
n
n
(
)
2
12
17
2
1
4
+
=
+
p
p
q
q
=
-
+
1
1
ï
î
ï
í
ì
=
=
+
+
=
+
+
3
6
4
abc
ca
bc
ab
c
b
a
10
4
3
=
-
+
b
a
b
a
a
b
b
a
log
log
log
=
ab
b
a
6
2
+
3
2
3
4
7
=
+
+
a
b
a
3
3
b
a
ab
b
a
4
2
2
=
+
b
a
b
a
-
+
12
2
2
=
+
b
a
47
+
x
12
-
x
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
+
1
2
3
31
3
2
y
x
y
x
(
)
(
)
î
í
ì
=
-
=
+
100
144
2
2
y
x
y
x
5
/
2
5
3
/
2
4
/
3
3
/
2
4
2
8
2
16
27
-
-
+
-
+
î
í
ì
=
-
=
+
xy
y
x
xy
y
x
2
5
8
12
3
4
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
+
=
+
a
b
b
a
y
x
b
a
by
ax
î
í
ì
-
=
+
-
=
+
1
)
1
(
1
)
1
(
2
2
x
x
y
y
y
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
+
+
+
30
2
20
2
10
2
x
z
z
y
y
x
x
2
c
a
p
c
b
n
b
a
m
-
=
-
=
-
0
2
2
4
=
-
-
x
x
x
4
4
1
x
x
+
c
b
a
6
3
2
=
=
b
a
ab
c
+
=
1
)
1
(
)
4
(
)
2
(
25
4
0
3
2
/
1
-
-
-
-
+
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
î
í
ì
>
+
=
=
=
-
-
1
,
1
0
,
2
1
untukn
F
F
dann
untukn
n
F
n
n
n
10
F
n
m
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
20
...
3
2
1
1
.
..........
3
2
1
1
2
1
1
4
4
)
(
)
2
(
2
+
+
=
-
+
x
x
x
F
x
F
9
)
1
(
=
F
)
3
(
F
.........
40
1
30
1
20
1
+
+
+
.......)
8
1
4
1
2
1
(
+
+
+
)
(
n
a
2
1
-
-
+
=
n
n
n
a
a
a
{
}
(
)
3
5
2
2
2
/
1
2
/
1
.
2
/
1
.
25
,
0
.
125
,
0
.
2
.
4
-
-
1
2
1
=
=
a
a
13
a
2
2
2
2
2
2
1
2
......
97
98
99
100
-
+
+
-
+
-
200
)
9
(
........
)
2
(
)
1
(
<
+
+
+
+
+
+
+
n
n
n
n
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
1
2
1
2
1
....
7
5
1
5
3
1
3
1
1
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
n
n
2
1
2
9
3
-
+
=
x
x
x
x
14
4
2
+
5
2
4
+
+
-
x
bx
ax
(
)
(
)
5
,
)
4
,
3
(
,
2
f
f
f
)
2
2
1
(
2
+
+
)
2
2
2
1
(
3
2
+
+
+
)
2
........
2
2
2
2
1
(
1
4
3
2
-
+
+
+
+
+
+
n
1
)
(
2
2
-
=
x
x
x
f
.......
81
5
27
4
9
3
3
2
+
+
+
+
.
..........
16
10
8
6
4
3
2
1
+
+
+
+
6
12
3
)
(
2
-
+
=
x
x
x
f
4
5
3
8
4
+
+
=
x
x
12
6
4
)
(
2
+
+
=
x
x
x
g
p
1
2
)
(
2
-
+
=
x
x
x
g
(
)
0
)
(
=
x
f
g
)
.(
2
/
1
n
n
U
a
n
S
+
=
a
a
a
a
a
n
..
..........
.
.
=
.
..........
5
4
3
2
1
........
15
10
6
3
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n
x
3
4
1
5
2
27
3
-
-
=
x
x
n
x
3
2
+
n
3
2
.
..........
5
4
3
2
1
........
15
10
6
3
1
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n
x
n
3
2
)
1
(
2
1
.........
15
10
6
3
1
+
=
+
+
+
+
+
+
n
n
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
+
+
+
+
+
3
2
)
1
(
2
1
.......
15
10
6
3
1
n
n
n
)
2
)(
1
(
6
1
.......
15
10
6
3
1
+
+
=
+
+
+
+
+
n
n
n
,.........
3
,
3
,
3
,
3
4
3
2
n
3
n
n
S
3
........
3
3
3
3
4
3
2
+
+
+
+
+
=
1
4
3
2
3
....
..........
3
3
3
3
+
+
+
+
+
=
n
n
S
1
3
5
3
1
27
9
+
-
=
x
x
(
)
3
3
2
1
1
-
=
+
n
n
S
(
)
1
3
2
3
-
n
n
n
3
.
,......,
3
.
4
,
3
.
3
,
3
.
2
,
3
.
1
4
3
2
n
n
n
S
3
.
........
3
.
4
3
.
3
3
.
2
3
.
1
4
3
2
+
+
+
+
+
=
1
4
3
2
3
.
3
).
1
(
..
..........
3
.
3
3
.
2
3
.
1
3
+
+
-
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
S
(
)
þ
ý
ü
î
í
ì
-
-
=
1
3
2
1
3
.
2
3
n
n
n
n
S
2
2
2
2
.....
..........
3
2
1
n
+
+
+
+
3
3
3
3
......
..........
3
2
1
n
+
+
+
+
3
3
3
3
)
2
(
......
..........
6
4
2
n
+
+
+
+
n
n
3
).
1
2
(
..........
3
.
5
3
.
3
3
.
1
3
2
-
+
+
+
+
0
10
10
.
9
10
2
=
-
-
x
x
1
4
3
2
5
).
1
3
(
...
..........
5
.
8
5
.
5
5
.
2
+
-
+
+
+
+
n
n
n
n
n
5
).
1
(
2
/
1
......
..........
5
.
6
5
.
3
5
.
1
3
2
+
+
+
+
+
n
n
2
)
1
2
(
.......
..........
8
5
4
3
2
1
-
+
+
+
+
n
n
n
5
)
1
(
2
/
1
.......
..........
5
6
5
3
5
1
3
2
+
+
+
+
+
2
1
6
5
4
3
2
7
3
7
2
7
1
..
..........
7
3
7
2
7
1
7
3
7
2
7
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
n
n
n
n
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
5
1
2
1
3
...
..........
5
1
2
8
5
1
2
5
5
1
3
2
b
a
¹
a
ax
bx
bx
2
6
3
2
+
=
+
1
x
0
1
5
.
6
5
1
2
=
+
-
+
x
x
2
x
30
3
2
5
3
2
1
c
b
a
+
+
=
+
+
0
2
=
+
-
x
xy
y
î
í
ì
=
+
+
=
+
+
+
5
8
2
2
y
x
xy
y
x
y
x
î
í
ì
=
=
-
-
+
+
-
+
-
4
2
1
2
1
2
9
3
8
4
y
x
y
x
y
x
y
x
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
3
8
log
log
16
y
x
y
x
x
y
ï
î
ï
í
ì
+
=
=
-
-
+
1
8
4
1
2
4
x
y
Y
x
xy
1
1
1
=
+
x
x
x
x
x
3
27
27
3
=
7
4
4
=
+
-
x
x
0
36
3
3
5
2
2
=
-
+
+
-
x
x
x
x
-
+
8
8
72
)
9
2
)(
3
2
(
2
2
=
-
-
-
-
x
x
x
x
14
)
7
15
3
)(
2
5
(
2
2
=
+
+
+
+
x
x
x
x
3
10
4
4
4
4
=
+
-
+
-
+
t
t
t
t
6
13
1
1
=
-
+
-
x
x
x
x
9
)
1
(
)
1
(
2
4
2
2
4
=
+
+
+
-
x
x
x
x
2
2
2
y
xy
x
+
=
y
x
y
x
-
+
0
25
2
=
+
-
kx
x
3
=
+
b
a
8
7
7
2
1
=
+
-
-
x
x
27
3
3
=
+
b
a
a
b
0
20
27
9
2
=
+
-
x
x
0
2
=
+
+
n
nx
lx
l
n
p
q
q
p
=
+
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
+
=
+
=
+
7
1
3
1
2
1
z
x
xz
z
y
yz
y
x
xy
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
+
=
+
=
+
5
4
2
6
5
3
2
1
2
3
z
x
xz
z
y
yz
y
x
xy
d
c
c
b
b
a
=
=
)
)(
(
)
(
2
d
c
b
a
c
b
+
+
=
+
.....
64
log
4
=
{
}
2
1
,
10
2
p
-
£
Î
x
x
B
x
2
1
2
10
2
-
+
+
=
-
-
+
x
B
x
A
x
x
x
2
2
)
3
(
3
)
3
(
-
+
-
=
-
x
B
x
A
x
x
2
2
2
)
1
(
1
3
)
1
).(
3
(
13
8
3
+
+
+
+
+
=
-
+
+
-
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
1
2
2
3
3
2
+
+
-
=
+
x
y
y
x
1
)
1
(
2
=
-
a
a
1
2
3
4
+
-
+
a
a
a
x
x
5
1
2
=
+
4
4
1
x
x
+
1
2
2
=
+
x
x
.....
243
log
3
=
x
x
29
5
-
C
A
B
A
C
A
B
A
+
+
=
+
+
3
3
3
3
2
2
n
m
-
mn
2
2
2
n
m
+
{
}
{
}
3
1
log
log
log
2
/
1
4
/
1
8
/
1
=
x
11
log
log
log
27
9
3
=
+
+
x
x
x
x
4
x
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
£
£
£
£
.....
125
,
0
log
2
=
3
x
53
2
6
+
=
y
x
36
log
1
36
log
1
3
2
+
a
=
5
log
15
9
log
15
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
+
=
+
+
+
î
í
ì
=
-
+
=
-
+
124
100
2
2
z
y
x
z
y
x
3
60
=
a
5
60
=
b
)
1
(
2
1
12
b
b
a
-
-
-
.......
8
log
2
=
n
m
n
m
a
a
a
+
=
.
......
1
log
3
=
2
/
1
log
4
=
x
3
)
2
log(
2
=
+
x
2
/
1
4
log
-
=
x
10
/
1
4
/
1
log
5
=
x