Materi 7 : Statistika Inferensia

Pengujian Hipotesis

Metode Statistika

Perbandingan Nilai Tengah Dua

Populasi

Kasus Dua Contoh Saling Bebas Setiap populasi diambil contoh

acak berukuran tertentu (bisasama, bisa juga tidak sama)

Pengambilan kedua contoh salingbebas

Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2

Populasi I

X~N(1,12)

Contoh I

(n1)

Populasi II

X~N(2,22)

Contoh II

(n2)

Acak dan

saling bebas

1 ??? 2

Hipotesis Hipotesis satu arah:

H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 <0

H0: 1- 2 = 0 vs H1: 1- 2 >0

Hipotesis dua arah:

H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0

Statistik uji:

Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 12 dan

22 :

Jika ragam kedua populasi tidak diketahui:

)(

021

21

)(

xx

h

xxz

)(

021

21

)(

xx

h

s

xxt

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

21

;

;11

21

n

s

n

s

nn

s

s

g

xx

2

2

2

1

2

2

2

1

;

;221

efektifdb

nn

db

Daerah kritis pada taraf nyata ()

Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh, dimana daerah

penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif

(H1) dan statistik uji

H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika zh < -z (tabel) atau th < -t(; db)(tabel)

H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika zh > z;(tabel) atau th > t(; db)(tabel)

H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2(tabel) atau

|th | > t(/2; db)(tabel)

Teladan Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri

kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebihbaik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untukmengetahui apakah kedua produk sebenarnya sama, dilakukanpengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dandiukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusakkarton. Datanya adalah :

Ujilah apakah karton produksi kedua perusahaan berbedadengan asumsi ragam kedua populasi berbeda dan pop asalmenyebar normal, gunakan taraf nyata 10%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40

Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

Jawab:

Rata-rata dan ragam kedua contoh:

Perbandingan kekuatan karton

Hipotesis:

H0: 1= 2 vs H1: 12

66.94

10(9)

(565)-32525)(10

)1(

5,56

10

556050

106.94

10(9)

(425)-19025)(10

)1(

5,42

10

403530

22

2

22

22

22

2

12

11

nn

xxn

sx

nn

xxn

sx

i

i

L

L

Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan 12 2

2 )

Daerah kritis pada taraf nyata 10%:

Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740

Kesimpulan:

Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf

nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat

daripada karton A

36,3

10/94,10610/94,66

05,425,56

)/()/(

)()(

1

2

12

2

2

1212

nsns

xxt

h

1710,17

9/)10/8.18(9/)10/10.34(

)10/8.1810/10.34(

)1/()/()1/()/(

)//(

2222

222

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

nnsnns

nsnsdb

Perbandingan Nilai Tengah Dua

Populasi Berpasangan

Kasus Dua contoh Saling Berpasangan Setiap populasi diambil contoh

acak berukuran n (wajib sama) Pengambilan kedua contoh

berpasangan, ada pengkait antarkedua contoh (bisa waktu, objek, tempat, dll)

Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2

Populasi I

X~N(1,12)

contoh I

(n)

Populasi II

X~N(2,22)

contoh II

(n)

Acak dan

berpasangan

1 ??? 2

Pasangan 1

Pasangan …

Pasangan n

Apabila D=X1-X2, maka hipotesis statistika:

Hipotesis satu arah:H0: D =0 vs H1: D<0

H0: D = 0 vs H1: D>0

Hipotesis dua arah:H0: D = 0 vs H1: D0

Statistik uji:

Dimana adalah rata-rata simpangan antar pengamatan pada contohpertama dengan contoh kedua

Daerah Kritis: (lihat kasus satu contoh)

Pasangan 1 2 3 … n

contoh 1 (X1) x11 x12 x13 x1n

contoh 2 (X2) x21 x22 x23 x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn

ns

dt

d

h

/

0

Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian

dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut

selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah

program diet dilaksanakan, yaitu:

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg?

Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

Berat Badan Peserta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91

Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86

D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5

Jawab:

Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka:

Hipotesis:

H0 : D = 5 vs H1 : D > 5 Deskripsi:

Statistik uji:

1,5

10

51

n

d

di

43,1

)9(10

)51()273(10

)1(

22

2

2

nn

ddn

sii

d

20,143,1 d

s

26,0

10/20,1

51,500

n

s

d

s

dt

dd

Daerah kritis pada =5%

Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9)= 1.833

Kesimpulan:

Terima H0, artinya data belum mendukung program diet

tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg

Pengujian Proporsi

Satu Populasi

Bentuk Hipotesis:

H0 : π = p0

H1 : π < p0 | H1 : π > p0 | H1 : π ≠ p0 ;

Jika n besar sebaran Z

Statistik-uji : Zh =

n

)(1σ

2

p̂

Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0

Daerah Kritik :

H1: π < p0 Zh < - Z

H1: π > p0 Zh > Z

H1: π ≠ p0 |Zh| > Z/2

Teladan

Seorang produsen mengklaim bahwa paling tidak 95%

produknya bebas-rusak. Pemeriksaan terhadap contoh

acak produknya dengan n = 600 menunjukkan bahwa 39 di

antaranya rusak. Uji pernyataan produsen tersebut.

Pengujian Proporsi

Dua Populasi

Bentuk Hipotesis:

H0 : π 1 - π 2 = p0

H1 : π 1 - π 2 < p0 | H1 : π 1 - π 2 > p0 | H1 : π 1 - π 2 ≠ p0

Jika n besar sebaran Z

Statistik-uji : Zh =

dimana π diduga oleh :

)n1n1)((1

p)p̂p̂(

21

021

21

21

nn

XXp̂

Daerah Kritik :

H1: π 1 < π 2 Zh < - Z

H1: π 1 > π 2 Zh > Z

H1: π 1 ≠ π 2 |Zh| > Z/2

Teladan

Suatu Obat penenang diduga hanya 60% efektif. Hasil

percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa

menunjukkan 70% obat tersebut efektif. Apakah ini bukti

bahwa obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang?

Gunakan taraf nyata 5%.

Pengujian Ragam

Satu populasi

Bentuk Hipotesis:

Satu Arah:

H0:2 0

2 H0 : 2 02

H1:2 > 0

2 H1 : 2 < 02

Dua Arah:

H0: 2 = 02

H1: 2 02

Statistik uji : 2

1)n(db2

0

2

2

hitχ ~

σ

s1nχ

Teladan

Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki

mobil yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0.9

tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan

baku s = 1.2 tahun, apakah menurut Anda > 0.9 tahun?

Pengujian Ragam

Dua populasi

Bentuk Hipotesis:

H0: 12 = 2

2

Satu Arah:

H1:12 > 2

2 H1 : 12 < 2

2

Dua Arah:

H1: 12 2

2

Statistik uji :

1ndb1;ndb2

2

2

1

2

2

2

1

hit2211

f~

)s,min(s

)s,max(sf

Teladan

SELESAI …