PERMUTASI DAN KOMBINASI

Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar

a. Dapat menggunakan Permutasi dan kombinasi dan implikasinya dalam

memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik

kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah

Waktu : 2 x 50 Menit

Metode : - Ceramah

- Lat soal dan Tanya jawab

1. Prinsip Perkalian

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p x q) cara.

Contoh soal:

Dari kota A ke kota B dilayani oleh 3 bus dan dari B ke C oleh 2 bus. Seseorang berangkat dari kota Ake kota C melalui B, kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, tentukan banyak cara perjalanan orang tersebut!

Jawab:

Dari kota A ke B ada 3 bus

Kemudian dilanjutkan dari kota B ke C ada 2 bus

Saat kembali dari kota C ke B tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 1 bus yang tersedia.

Dari kota B ke A juga tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 2 bus yang tersedia.

Maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah: 3 x 2 x 1 x 2 = 12 cara

2. Faktorial

Rumus: n! = n (n - 1) (n - 2)........... 3-2-1

Contoh:

a. 4! = 4 x 3 x 2 x 1

= 24

b. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= 720

Permutasi

Adalah suatu susunan dari unsur-unsur dengan memerhatikan perubahan urutan atau cara penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutan (tempatnya).

Contoh : dari unsur-unsur bilangan 2, 3 dan 4 dapat kita susun 432, 234, 423,

342, 324, 243 adalah permutasi.

Macam-macam permutasi:

a. Permutasi sekumpulan n elemen yang berlainan diambil secara bersama-sama.

Rumus:

nPn = n!

Contoh soal:

Kata "SAPI" terdiri atas 4 huruf, berapa banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat?

Jawab:

4P4=4!= 4*3 * 2 *1= 24

Jadi, banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat adalah 24 macam.

b. Permutasi n elemen, diambil dari r sekaligus

Rumus:

n! "Pr = (n-r)!

Contoh soal:

1. Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E!

Jawab:

5 3 = 5!

(5-3)! = 5!

2!= 5x4x3x2x1 2x1

n r =

= 5x4x3= 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.

2. Dari 7 orang calon akan dipilih 3 orang untuk jabatan ketua, sekertaris dan

bendahara. Beberapa cara susunan dapat terjadi ?

Jawab : 7P3 = = = 7.6.5 = 210 cara

c. Permutasi n elemen dengan beberapa elemen yang sama.

• Jika diketahui ada k unsuryang sama, maka banyaknya permutasi adalah:

P =

Keterangan, k = unsur yang sama.

Contoh soal:

Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata "EMBER" !

Jawab:n = 5 huruf k =2 huruf

P =

=

= 5.4.3.2! 2!

= 5 - 4 - 3 = 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.

Jika diketahui ada n unsur yang sama, n unsur yang sama dan seterusnya sampai n berjenis k, maka

banyaknya permutasi adalah:

P =

Contoh soal:

Tentukan banyaknya permutasi pada kata "MANTAN"!

Jawab:

n = 6 huruf ;

n1 = A = 2hurufn2 = N = 2 huruf ;

P =

=

=

= 180 Jadi, banyaknya permutasi adalah 180

Berapa banyaknya berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata : MATEMATIKA ?

Jawab :

MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf dengan 3 huruf pertama sama (huruf A), 2

huruf kedua sama (huruf M), dan 2 huruf ketiga sama (huruf T) maka banyaknya

susunan.

P = = 151200 cara

Kata “SAYA”, dapat disusun dalam beberapa susunan?

Jawaban :

Dari kata SAYA, disusun seperti SAYA, SAAY, SYAA dan sebagainya adalah

permutasi terdiri dari 4 huruf dengan 2 buah huruf sama maka banyaknya susunan

adalah

=

=

=

= 4.3

= 12

d. Permutasi Siklis yaitu permutasi yang letak elemen-elemennya tidak segaris, tetapi melingkar.

Rumus: P = ( n – 1) !

Contoh soal:

Dengan beberapa cara 4 orang duduk pada 4 kursi di sebuah meja melingkar!

P = ( n – 1 ) !

= (4 – 1 ) !

= 3 !

= 3 . 2 . 1

= 6

Jadi ada 6 cara

4. Kombinasi

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsure yang berlainan adalah suatu

pilihandari n unsur tanpa memperhatikan urutannya (r < n). kombinasi r unsure

C(n,r) =

yang diambil dari r unsur yang berlainan dinyatakan dengan nCr, C(n.r), Cn.r atau

dan dapat ditentukan dengan rumus.

Contoh :

1. Suatu team bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 20 orang pemain.

Berapa macam susunan dapat dibentuk ?

Jawab :

Susunan di atas adalah suatu kombinasi sebab tidak memperhatikan urutan

pemain.

Banyaknya cara menyusun = C(20,5) =

=

=

= 15504 cara

2. Ada beberapa cara 3 orang dipilih dari 6 orang untuk menjadi anggota inti tim cerdas cermat!

Jawab:

Banyaknya Cara menyusun = C(6,3) =

=

=

= 20 cara

KEJADIAN DAN PELUANG

Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar

a. Dapat menggunakan Kejadian dan peluang dan implikasinya dalam

memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

Waktu : 2 x 50 Menit

Metode : - Ceramah

- Lat soal dan Tanya jawab

Pengertian Percobaan, Frekuensi Relatif, Kejadian dan Ruang Sampel.

Untuk mempelajari pengertian tentang kejadian dan peluang, maka terlebih

dahulu diadakan beberapa percobaan.

Contoh :

1. Percobaan : Melempar mata uang

Hasil yang mungkin : gambar atau angka.

Contoh :

2. Misalkan dari hasil percobaan pelemparan dadu sebanyak 100 kali didapat

data sebagai berikut :

Angka 1 muncul 15 kali, angka 2 muncul 20 kali dan angka 6 muncul 21

kali.

Jadi frekuensi relative muncul angka 1 =

Frekuensi relative muncul angka genap = =

Pada contoh no.1 di atas gambar maupun angka disebut titik sample dan

kumpulan dari semua titik sample disebut ruang sample atau biasa juga disebut

dengan hasil yang mungkin. Jika A merupakan himpunan bagian dari ruang

sample, maka A itu disebut kejadian atau sering juga disebut dengan hasil yang

dimaksud (diharapkan).

a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Yang dimaksud dengan peluang (Kemungkinan) suatu kejadian ialah

kemungkinan terjadinya kejadian tersebut.

Frekuensi relative muncul x =

Jika hasil yang mungkin dapat terjadi sebanyak n kali dan diantara n kali hasil

yang mungkin itu terjadi x kali kejadian A (yang dimaksud), maka kemungkinan

terjadinya kejadian A ialah atau :

Contoh :

1. Dalam pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada

pelemparan itu muncul angka yang merupakan bilangan prima.

Jawaban :

Hasil yang mungkin : 1,2,3,4,5,6 → n = 6

Hasil yang dimaksud : 2,3,5 → x = 3

P = =

Jika A adalah suatu kejadian, maka “bukan A” adalah suatu kejadian juga yang

mempunyai kemungkinan sama dengan satu dikurang kemungkinan A, atau :

P (A’) = 1 – P(A)Contoh :

1. Misalkan kemungkinan besok hujan adalah 2/5, maka kemungkinan besok

tidak hujan adalah 1-2/5 = 3/5

b. Besarnya Peluang Suatu Kejadian

Jika p menyatakan peluang sembarang kejadian, mka p terletak pada interval 0<

p<1. pada p bernilai 0 disebut kemustahilan dan pada p bernilai 1 disebut

kepastian.

Contoh :

1. Tentukanlah peluang bahwa si Anu sautu saat akan meninggal.

Jawaban :

Karena setiap manusia sutu saat akan meninggal, maka p = 1

Menggabungkan Hasil-hasil

P(A) =

P (bukan A) = 1 – P(A) atau

a) Hasil-hasil yang saling lepas

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas (mutually esclusive) jika kedua

kejadian itu tidak mungkin terjadi secara serentak atau A B =

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka :

P (A atau B) biasa juga ditulis sebagai P

Contoh :

1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bawl jumlah kedua

angka dadu sama dengan 4 atau 11.

Jawab :

Misalkan A kejadian jumlah angka keud dadu sama dengan 4, maka

A =

Jadi P(A) =

Misalkan B kejadian jumlah angka kedua dadu sama dengan 11, maka

B =

Jadi P(B) =

Karena A B = , maka

P (A atau B) = P(A) + P(B)

= +

=

Jadi kemungkinan bawl jumlah angka kedua dadu sama dengan 4 atau 11 adalah

5/36

b. Hasil-hasil Saling Bebas

Dua buah kejadian disebut “saling bebas” (independent) jika terjadianya salah

satu dari kejadian itu, atau tidak terjadinya, tidak akan mempengaruhi

terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua kejadian yang

saling bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya A tidak akan memperbesar

atau memperkecil kemungkinan terjadinya kejadian B.

Jika A dan B dua buah kejadian yang saling bebas, maka :

P (A atau B) = P(A) + P(B)

P(A dan B) biasa juga ditulis sebagai P(A B)

Contoh :

1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada dadu

pertama muncul angka 3 dan pada dadu kedua muncul angka 4.

Jawab :

Hasil-hasil yang mungkin diberikan oleh table di bawah ini :

Dadu I

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Misalkan A : kejadian muncul angka 3 pada dadu I, maka P(A) = 6/36

B : kejadian muncul angka 4 pada dadu II, maka P(B) = 6/36

Karena kejadian A dan B salng bebas, maka :

P(A B) = P(A).P(B)

= 6/36.6/36

= 1/36

c. Hasil-hasil Tak Bebas

Dua buah kejadian disebut “tak bebas” jika terjadinya salah satu dari kejadian itu,

atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jika A

dan B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya

A akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya B.

Jiak kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka

terjadinya kedua kejadian itu secara serentak mempunyai kemungkinan :

P(A dan B) = P(A) P(B)

Dadu II

P(A dan B) = P(A) P(B/A)

P(B/A) artinya kemungkinan terjadi B setelah kejadian A terjadi.

Contoh :

1. Sebuah kotakberisi 4 bola merah dan 6 bola putih, jika diambil dua bola

berturut-turut dengan tidak mengembalikan bola pertama ke dalam kotak,

maka berapakah peluang bawl kedua pengambilan itu mendapatkan

keduanya bola merah.

Jawab :

Jumlah semua bola = 10

Bola merah = 4

P(bola merah pertama) = P(A)

= 4/10

P(bola merah kedua) = P(B/A)

= 3/9

Jadi P(A dan B) = P(A).(P(B/A)

= 4/10.3/9

= 2/15

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95.Peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah ....

a. 0,019 b. 0,049 c. 0,074 d. 0,935 e. 0,978

Jawaban: B Pembahasan:

Peluang siswa A lulus =0,98Peluang siswa A tidak lulus =0,02

Peluang siswa B lulus =0,95 Peluang siswa B tidak lulus =0,05

- Peluang siswa A lulus dan B tidak lulus = 0,98 x 0,05 = 0,049

2. Pengurus suatu organisasi yang terdiri atas: ketua, wakil ketua, dansekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyaknya cara yang mungkinuntuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidakadajabatan rangkapadalah ....

a. 7 b. 10 c. 21 d. 35 e. 210

Jawaban: E

Pembahasan:

Jumlah pengurus organisasi = ketua + wakil ketua + sekretaris= 1 + 1 + 1

= 3

Dipilih dari 7 orang calon

Gunakan rumus permutasi:

n!__nPr=(n-r)!

Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi dengan tidakadajabatan rangkap:

7!__ 7Ps = (7-3)!

= 7 6 5 4 !

4! = 7 . 6 . 5

7P3=210

3. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua bola diambil dari dalam kantong satu persatu tanpa pengembalian, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah ....

1 1 1 1 _1 a. 72 b.2 7 c 16 d. 12 e. 6

.

Jawaban: EP e m b a h a s a n : Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Banyak pola dalam kantong adalah 9 buah. - Bola merah ada 4 buah

4 - Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) = — 9

Sekarang bola merah tinggal 3 buah dan banyaknya bola dalam kantong ada 8 buah bola.

3Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) = —

8

4 3 1 1 Peluang terambilnya kedua bola merah = --- x --- = --- x ---

9 8 3 2 = 1/6

4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ....

_5_ 7_ 8_ _9_ 11 _ a 36 i b. 36 c 36 : d 36 e 36

Jawaban: B

Pembahasan:Dadu l S = {(1,2,3,4,5,6)}

n(l) = 6Dadu II S = {(1,2,3,4,5,6)}

n(ll) = 6

55

Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 9: {(6,3), (3,6), (5,4), (4,5)}n (A) = 4

Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 10: {(6,4), (4,6), (5,5), }n (A) = 3

n(A) n(B)

p(AUB)= ------------ + ---------- n (I). n(II) n (I). n(II)

= 4/36 + 3/36 = 7 / 36

5. Dari 10 peserta kontes kecantikan yang masuk nominasi, akan dipilih 3 nominasi terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah ....

a. 10 b. 20 c. 40 d. 120 e. 720

Jawaban: D

Pembahasan: . , ,• •>

10!___

10C3 =3!(10-3)!

= __10!_

3! 7!

= 10.9.8.7! = 10.9.8

3.2.1.7! 3.2.1

= 720 6

= 120

LATIHAN

1. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata"SEKOLAH"adalah....a. 1260 b. 920 c. 840 d. 740 e. 240

2. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata"ACARA"ada....a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10

3. Dari 10 orang finalis lomba menyanyi akan dipilih juara 1,2 dan 3. Banyaknyacara memilih urutan ada .... cara.a. 960 b. 720 c. 580 d. 210 e. 94

56

4. Dari 5 orang pengurus suatu organisasi, akan dipilih seorang ketua, seorangbendahara, dan seorang sekretaris. Banyaknya susunan yang mungkindibentuk ada.... caraa. 20 b. 50 c. 90 d. 80 e. 60

5. Dari 10 bola yang terdiri atas 3 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih,2 bola berwarna biru, dan 2 bola berwarna hijau, akan disusun secaraberdampingan. Banyak cara untuk menyusun semua bola itu ada ... caraa. 120.000 c. 25.200 e. 956b. 38.620 d. 9800

6. Dalam suatu rapat, ada 8 peserta yang akan menempati 8 buah kursi yangmengelilingi meja bundar. Banyak susunan yang mungkin terjadi ada ...caraa. 2600 c. 10.800 e. 16.200b. 5040 d. 12.500

7. banyaknya cara yang dapat disusun yang terdiri atas 3 angka dari angka-angka 5,6, 7, 8,9jika boleh berulang ada .... caraa. 125 b. 200 c. 240 d. 300 e. 310

8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar sekali. Peluang munculnyaangka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu adalah ....

a. ½ b. 1/3 c. 2/3 d. 1/6 e. 1/5

9. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola biru dan 5 bola kuning. Jika diambilsecara acak dua bola sekaligus, dan dilakukan sebanyak 180 kali percobaan,maka besarnya frekuensi harapan terambilnya dua bola berlainan warnaadalah....a. 60 b. 80 c. 100 d. 120 e. 140

10. Dari 10 orang siswa akan dipilih dua orang untuk menjadi ketua kelas danwakil ketua kelas. Banyak susunan yang dapat dibentuk adalah ....a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

11.Dalam suatu acara silaturahmi terdapat 30 orang yang hadir. Jika setiaporang saling bersalaman, maka banyaknya salaman yang terjadi adalah ....a. 435 b. 525 c. 675 d. 715 e. 830

12.Peluang terambilnya sebuah kartu bukan As yang dilakukan secara acakpada tumpukan seperangkat kartu adalah ....

12 4 1 2 1a 13 b' 13 C' 52 d' 13 e' 13

13. Pada sebuah keranjang terdapat 10 buah telor yang baik dan 6 buah teloryang busuk. Akan diambil dua buah telor sekaligus secara acak. Makapeluang terambilnya dua telor yang semuanya baik adalah ....

57

a. 5/8 b. 4/15 c. 2/5 d. 1/8 e. 3/8

58