MATEMATIKA INFORMATIKA 2

FENI ANDRIANI

TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS GUNADARMA

SAP (1)Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik

• Vektor– Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor– Susunan Koordinat Ruang Rn

– Vektor di dalam Rn

– Persamaan garis lurus dan bidang rata

• Ruang Vektor– Field– Ruang Vektor di atas suatu Field– Ruang Vektor Bagian– Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier– Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur.– Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier.– Dimensi dan Basis.

SAP (2)• Matriks

– Definisi dan Notasi Matriks– Operasi pada Matriks– Transpose dari suatu matriks– Beberapa Jenis Matriks khusus– Transformasi Elementer pada Baris & Kolom– Matriks Ekivalen– Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks– Rank Matriks

• Determinan– Pendahuluan (Permutasi)– Sifat-sifat Determinan– Minor dan Kofaktor– Ekspansi secara Baris dan Kolom– Menghitung nilai Determinan dgn sifat-sifat Determinan

SAP (3)

• Matriks Invers– Definisi matriks invers– Matriks Singular, Non-singular– Matriks Adjoint dan Invers– Mencari Matriks Invers dgn Transformasi Elementer dan Partisi– Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar

• Persamaan-persamaan Linier– Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier.– Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya.– Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya

SAP (4)• Transformasi Linier

– Pengertian Transformasi– Pergantian Basis– Transformasi Vektor Linier– Ruang Peta dan Ruang Nol– Produk Transformasi– Transformasi Invers– Transformasi Similaritas– Eigenvalue dan Eigenvector– Diagonalisasi– Transformasi ortogonal– Rotasi– Transformasi Simetris

•

Vektor adalah Besaran yangmemiliki besar dan arah,bila dijumlahkan akanmenghasilkan :

( ) ( ) 0b b

VEKTOR

Komponen vektor• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada

sumbu sistem koordinatKomponen vektor : cos dan sinx ya a a a

Besar vektor

2 2 dan tan xx y

y

aa a a

a

• Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada

Vektor satuan:

Vektor satuan pada arah positif sumbu x, ydan z diberi tanda : ˆˆ ˆ, d a ni j k

Perkalian vektor :

• Perkalian vektor dengan skalar :Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akanmenghasilkan vektor baru dengan besar nilaiabsolute s dengan arah a jika s positif, danberlawanan arah jika s negatif. Vektordibagi dengan s berarti kita mengkalikandengan 1/s.

• Perkalian vektor dengan vektor :Menghasilkan skalar : Scalar Product

Dikenal sebagai : Dot product

a

. c o sa b a b

Dot Product

RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR

SUBRUANG

RUANG VEKTOR – KOMBINASI LINIER

RUANG VEKTOR – BEBAS LINIER

RUANG VEKTOR – BASIS & DIMENSI

MATRIKS

Definisi:Matriks adalah sekumpulan bilangan yangdisusun dalam sebuah empat persegi panjang,secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.

mna......m2

am1

a........................... 2na......

22a

21a

1na......

12a

11a

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

Operasi Matriks

1. Operasi KesamaanDua matriks A dan B disebut sama, jika:

a) A dan B sejenisb) Setiap unsur yang seletak sama.

1321C,

1321B,

1321A

A = B, A ≠ C, B ≠ C

2. Penjumlahan dua matriks

Definisi:Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalahsebuah matriks C yang sejenis pula denganunsur-unsur , dimana terdapat hubungan:

.ij

c

ijb

ija

ijc

ij

cC,ij

bB,ij

aA

9152C,

5142B,

4210A

13362-

9152

4210CA

9152-

5142

4210BA

Sifat-sifat penjumlahan:

Komutatif : A + B = B + A

Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C

3.Perkalian dengan skalar ( )Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( )maka setiap unsur matriks tersebut terkalikandengan skalar ( ).

, maka A = .

ij

aA

ija

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar

1. (A + B) = A + B2. ( + β ) A = A + β A3. (β A) = β A

4. Perkalian dua matriks

Definisi:

Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikanhasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalahmatriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

n

1k kjb

ika

ijc

njb

ina.......

j3b

3ia

j2b

2ia

j1b

1ia

ijc

Catatan:• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika

banyaknya kolom matriks A = banyaknya barismatriks B.

• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriksdengan banyaknya baris = banyaknya baris matriksAdan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.

• Pada umumnya AB ≠ BAContoh:

20C,432

B,321A

BxA

1 x 3 3 x 1 1 x 1

iterdefinistdkBxAC

954100532

10532

954100532

B,10532A

2 x 2 3 x 3

Macam-macam matriks

1. Matriks bujursangkar

Definisi: matriks bujursangkar adalah matriksdimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik satuan/ matriks identitas

• Matriks bujur sangkar

• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

954

100

532

B,105

32A

Contoh :

100

010

001

3I,

10

01

2I

A.I = I.A

I.I = I

3. Matriks segitiga

• Matriks bujursangkar

• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh :

87

01B,

900

740

321

A

4.Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

172

054B~,

10

75

24

B

321A~,

3

2

1

A

Sifat-sifat matriks transfose

TTT

TT

TT

TTT

AB4.(AB)A)(A3.

A)2.(ABAB)1.(A

λλ

Contoh

TTT

TT

TT

T

AB(AB)

34120132

021AB

021B,120132

A

34(AB)34

AB

021

B,103212

A

5. Matriks simetris

Matriks A disebut simetris apabila

• Matriks Bujur sangkar

Contoh

A~A

870

732

021

32

21,

6. Matriks skew simetris

Matriks A disebut matriks skew simetri jika

• Bujur sangkar

Contoh

A~A

070

702

020

,02

20

Matriks Skew simetris , maka

Untuk I = j maka

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

A~A ji

aij

a

iia

iia 0

ii2a

7. Matriks Diagonal

• Matriks bujursangkar

• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

500

030

001

9. Matriks Nol• Tidak perlu matriks bujur sangkar• Semua unsurnya nol

000

000

A.0 = 0

A + 0 = A

A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-duanya nol

Transformasi (operasi) Elementer pada Barisdan Kolom Matriks

Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan

baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i

dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis

H (A) Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis

H (A)

ij

ij

i)(

i)(

ij)(

Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis

K (A)

Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalamsatu langkah : Menambah kali baris ke i dengan

kali baris ke j, ditulis H (A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)

Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasibaris elementer (OBE)

)(

ij

1

2

i)(

1

j)(

2

Contoh:

2-4-22-4413

12028

02-22-12134028

02-22-40281213

103120141213

tersebut.BCarilah.

elementersitransformasederetan

dihasilkan yangBmatrikcarilah103120141213

A

(1)41K

(2)3K

HH

H

(2)3

K,(1)41

K

,12

H,(2)2

H,(-1)31

H

121

31

22

)(

)(

,

Invers Suatu Transformasi Linier

Jika suatu transformasi elementer adalah:• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)

)(

ij ij

ij

-1

ij

i

-1

i1/-1

i)( -1

i1/

ij)( -1

ij)(

ij)( -1

ij)(

A110222112604

110226042211

111326042211

131124062112

132124062122

A..CarilahK,K,H,H:turut-berturutelementersitransforma

sederetandengan Adaridiperoleh,132124062122

B

12H1)(31H

13K(1/2)2K

(2)

213

(1)

3112

Contoh

Penggunaan OBE

• Mencari Rank Matriks

Adalah jumlah maksimum baris/kolom yangbebas linier ( tidak semua unsur dalam suatubaris/kolom nol)

• Mecari invers matriks

( A:I ) ( I:A )-1OBE

Contoh

344212132

Adarimatriksrank1.Cari2)(

31

1)(21

H

H

31022-0132 )1(

2)2(

3H

40022-0132

)2(2

)1(3H

00022-0132

Maka rank matriks A = 2

• Misalkan

• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian

minor dan kofaktor.

• Ilustrasi:

• Minor komponen adalah

• Kofaktor komponen adalah

DETERMINAN MATRIKS

det A = | A | := ad-bc

Dengan cara yang sama diperoleh

Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikanskema berikut :

Diperoleh

Definisi determinan matriks 3 x 3:

Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.

• Secara umum untuk matriks n x n:

• Atau dalam bentuk

• Atau dalam bentuk

• Contoh :

• Cara cerdas: pilih kolom kedua

• Pilih lagi kolom kedua

Adjoint matriks

• Misalkan A matriks n x n dengan kofaktoraij adalah Cij maka matriks

• Contoh:

disebut matriks kofaktor dari A, dantransposenya disebut adjoint A, ditulisadj(A).

Kofaktor A :

Invers matriks

• Invers matiks A adalah

• Contoh: diperhatikan kembali matriks Asebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64,jadi

Metoda Cramer untuk SPL

• Misalkan SPL Ax = b maka

dimana Aj adalah matriks yang diperoleh denganmengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b.

• Contoh:

• Diperoleh Penyelesaiannya

Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willeyand Sons, Inc., New York.

Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to ErrorCorrecting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers,Massachusetts, USA.

REFERENSI