matematika integral volume benda putar
TRANSCRIPT
”APLIKASI INTEGRAL TERTENTU”
II. Menghitung Volume Benda Putar.
A. Metoda Cakram /disk
A.1 Sumbu putar merupakan batas dari luas bidang yang diputar.
4 p.p sumbu putar
Jika daerah A diputar mengelilingi sumbu - x maka volume benda putar yang terjadi
adalah.
V =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
A
a x bx
y = f (x)
Contoh soal :
1. Hitung volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2, y = 0, x = 0, x
= 5 diputar terhadap sb – x
2. Tentukan volume benda putar, jika daerah antara y = 4x2, x = 0,
y = 16 diputar terhadap sb – y
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
0 5
y = 2x2
x
y V =
=
=
=
= 2500
sat.
vol
Rumusnya :
V =
=
yaitu :
v =
=
= .
= 32 sat. vol
y
x
16
y
2
y = 4x2
3. Tentukan volume benda putar, jika daerah antara y = 4x2, x = 0, y = 16 diputar
terhadap garis y = 16
V =
=
=
=
=
=
= sat. vol
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
16
2
x
y = 4x2
y = 16 (sumbu putar)
4. Cari volume benda putar, jika daerah yang dibata oleh y = x3, y = 0, x = 2 diputar
terhadap garis x = 2
V =
=
=
=
=
= sat. vol
A.2 Sumbu putar bukan batas luas bidang yang diputar.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
8
A
y
u
y = x3
x = 2 (sumbu putar)
Jika daerah A diputar mengelilingi sb – x, maka volume benda putar yang
terjadi yaitu :
V =
Contoh soal
5. Hitung volume yang terbentuk karena perputaran terhadap sumbu x dari daerah
yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3
V =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
a b
x f (x)
g (x)
x
y n
A
2-1
P
Q
y = x2 + 1
y = x + 3
x
y P dan Q adalah titik potong
kedua kurva P (-1,2) dan
Q (2,5)
=
=
=
= …
= sat. vol
6. Carilah volume benda putar yang terbentuk oleh perputaran terhadap garis x = -4
dari daerah yang dibatasi oleh dua parabola x = y – y2 dan x = y2 – 3
Jawab :
Kurva I : x = y – y2
Memotong sb – x di (0,0) dan memotong sb – y di (0,0) dan (0,1) titik puncak (
)
Kurva II : x = y2 – 3
Memotong sb – x di (-3,0)
Memotong sb – y di (0, ) dan (0, - )
Titik potong kedua kurva :
y – y2 = y2 – 3
2y2 – y – 3 = 0
y2 - y - = 0
( y + 1 ) ( y - ) = 0
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
y1 = -1 x1 = - 2 ( -2, -1 ) = P
y2 = x2 = - ( - , ) = Q
Volume benda putar yang terjadi :
V =
= … =
B. Metoda Kulit berlapis (Shell Method)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
y
x = y2 - 3x = y – y2
Q
P
x = - 4
Kurva I disebelah kanan Kurva II
Jarak kurva I kesumbu putar :
(y – y2) – ( -4 )
= y – y2 + 4
Jarak kurva II kesumbu putar :
(y2 – 3) – ( - 4 )
= y2 + 1
y
x a b
y = f(x)
A
x
- Daerah A diputar mengelilingi sb – y dan
- 4. p.p dibuat sejajar dengan sumbu putar
- bila 4 p.p diatas diputar mengelilingi sb – y maka akan terbentuk kulit silinder :
tebalnya = x
jari-jari dalam = x
jari-jari luar = x + x
tingginya = y = f(x)
- Isi kulit silinder
= ( x + x )2 y - x2 y
= ( 2x x) y + x2 y
Jika kulit silinder dibuat tipis x2 0
Sehingga x2 y diabaikan
- Maka volume benda putar = jumlah semua volume kulit silinder adalah :
V = 2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
Ingat ! 2 x = keliling rata-rata
f(x) = y = tinggi
x = tebal
7. Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh
parabola y = x2, sumbu x dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu y.
Jawab :
V = 2
= 2
= 2
= 2
= 8 sat. vol
8. Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh y = -x2
– 3x + 6. dan garis x + y – 3 = 0 diputar mengelilingi garis x = 3
Jawab :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
dari kulit silinder
2x
y
A
y = x2
Kurva I : y = - x2 – 3x + 6
Titik potong terhadap sb – x pakai rumus ABC
Titik potong terhadap sb – y (0,6)
Titik puncak P (- , 8 ¼ )
Kurva II : x + y - 3 = 0
y = -x + 3 garis
titik potong kedua kurva :
- x2 – 3x + 6 = -x + 3
x2 + 2x – 3 = 0
(x + 3) (x – 1) = 0
x1 = -3 y1 = 6 (-3, 6) = P
x2 = 1 y2 = 2 (1, 2) = Q
Lihat grafik !
Isi kulit silinder
= 2 r. tinggi . tebal
= 2 (3 – x)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II
Q
P
y
x
= 2 (3 – x) ( -x2 – 2x + 3) x
Maka volume benda putar
= 2
= 2
= … =
Soal
1. Hitung volume benda putar karena perputaran luas bidang
4x2 + 9y2 = 36 terhadap sumbu x gunakan metoda cakram
16 satuan volume.
2. Hitung volume benda putar karena perputaran luas daerah yang dibatasi oleh :
x = 9 – y2 dan x – y – 7 = 0 terhadap garis x = 4
gunakan metoda cakram dan metoda shell
satuan volume.
3. Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah diantara kurva y = 2 – x2 dan
garis y = - x diputar mengelilingi garis x = -3 satuan volume
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS II