bab 3 bagian 3 - physics education 2012 3. jumlahkan, 4. ambil limitnya 5. nyatakan dalam integral...
TRANSCRIPT
Bab 3
Bagian 3VOLUME BENDA PUTAR
INTRODUCTION
•Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda putar
jika kurva di atasnya diputar
menurut garis horisontal.
•Pada pokok bahasan ini akan
dipelajari juga penggunaan
integral untuk menghitung volume
benda putar.
Suatu daerah jika di putar mengelilingi
garis tertentu sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar. Kegiatan
pokok dalam menghitung volume
benda putar dengan integral adalah:
1. Partisi,
2. Aproksimasi,
3. Jumlahkan,
4. Ambil limitnya
5. Nyatakan dalam integral tentu.Gb. 4
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi
jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka
metode yang digunakan untuk menentukan volume
benda putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume mentimun dengan memotong-
motongnya sehingga tiap potongan
berbentuk cakram.
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V r2h atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume
partisi yang diputar,
jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan
dalam bentuk integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
Jawab
y
h=x
x
x
12 xr
V r2h
V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2 x
dxxV 2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y =
x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 8.
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
y
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
Jawab
V r2h
V (y)2 y
V y y
V = lim y y
dyyV 2
0
20
2
21 yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV
2
0
2V
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di
samping, yaitu V= (R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
Jawab
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V (4x2 – x4) x
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)(532
332 V
)(15
96160 V
1564V
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
Jawab
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = x
x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
2
0
4412 xV
8V
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi
secara horisontal dan sebuah partisi diputar
mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut
dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2-2 -1
y
1
2
3
4
V (R2 – r2)y
V (4 - x2)y
V (4 – y)y
V = lim (4 – y)y
dxyV 4
0
4
4
0
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy
y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
Exercise
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
0X
Y 2xy
2
4
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
Soal 1.
A
B
C
D
E
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan
dalam bentuk integral sebagai ....
Soal 1.
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
0X
Y 2xy
2
4
x
x
4 - x2
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
2-2
x
x
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
2
2
3
314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
2
L (8 – x2 -2x) x
dxxx )28(L2
0
2 ( Jawaban D )
319L
3
28
2
0
23
318L xxx
416L 38
Jawaban
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,42
9L
1
2
3
312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
0X
Y
2yx
yx 2
-2
1
Jawaban
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
Soal 5.
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0X
Y
Xy
4
2
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral
yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
Soal 5.
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0X
Y
Xy
4
2
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Jawaban
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0X
Y
Xy
4
2
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0X
Y
Xy
4
2
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
4
0
2
21V x
8V
Jawaban