MATEMATIKA INDUSTRI I

APLIKASI INTEGRAL DALAM EKONOMI DAN KETEKNIKAN

Disusun oleh:

Nama : Faisal Hernawan

NIM : 125100301111064

No. Absen : 20

Kelas : P

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2012

I. Pengertian Integral

Integral merupakan kebalikan dari turunan (differensial) oleh karena itu

integral disebut juga anti differensial/antiderivative. Integral dibagi menjadi 2

jenis yaitu, integral tentu dan integral tak tentu.

a. Integral tentu adalah integral yang mempunyai batas atau nilai tertentu,

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan

pada [a,b] jika

lim|P|→0

∑i=1

n

f ( x i) Δxi ada, selanjutnya

∫a

b

f ( x )dx disebut

Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

∫a

b

f ( x )dx =

lim|P|→0

∑i=1

n

f ( x i) Δxi.

Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung

Integral Tentu, sebagai berikut :

Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

∫a

b

f ( x )dx = F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x ) ]a

b

b. Integral tak tentu adalah integral yang belum memiliki nilai pasti (dalam

bentuk variabel). integral tak tentu juga biasa dikatakan sebagai invers dari

turunan umumnya.

Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) =

f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) = ∫ f(x) dx

Aplikasi hitung integral dalam bidang ekonomi diantaranya mencari fungsi

asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya). Seperti mencari fungsi

penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi biaya total dari biaya

marginal. Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsimarginal, fungsi

tabungan dari fungsi tabungan marginal dan fungsi kapital dari fungsi

investasi. Penentuan fungsi asal dari fungsi marjinalnya yang dikemukakan di atas

merupakan aplikasi integral yang tak tentu dalam bidang ekonomi.

II. Aplikasi Integral Dalam Ekonomi

Integral tak tentu digunakan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu

variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi

marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses

sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi

total).

Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :

A.      Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :

Dan Biaya

rata-rata (AC) :

Contoh:

Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka

carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana  c ( konstanta ) sebesar 4 ?

TC       = ∫ MC dQ

F(Q) = ∫ f (Q) dQ

TC   = ∫ MC dQ

AC = TC / Q

= ∫ 12Q – 9Q2 dQ

= 6Q2 – 3Q3 + c

Jika c   = 4

TC       = 6Q2 – 3Q3 + 4

AC       = TC / Q

= 6Q – 3Q2 + 4/Q

Analisa : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total

adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q –

3Q2 + 4/Q.

B.     Fungsi Penerimaan

Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

Contoh :

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan

totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR       = ∫ MR dQ

= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ

= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c

jika c    = 0

TR       = 5Q3 + 5Q2 – 5Q

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

TR = ∫ MR dQ

C.     Fungsi Produksi

1. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan  Q = masukan

2. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)

3. Produk Total adalah integral dari produk marginal.

Contoh :

Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?

P          = ∫ MP dQ

= ∫ 2Q2 + 4

= 2/3 Q3 + 4Q + c

jika c    = 0

P          = 2/3 Q3 + 4Q

Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi

adalah P = 2/3 Q3 + 4Q.

D. Fungsi Utilitas

Utilitas total : U = f(Q)

Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal

U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ

Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:

Utilitas total: U = ∫ MU dQ

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ

= ∫ (90 – 10Q) dQ

= 90Q – 5Q2

Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab

tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang

dikonsumsi.

E.     Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam

fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari

MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

1. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan

besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

2. k = a =  Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya

tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).

3. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya

perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y)

yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

4. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya

perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang

mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan :

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c

S = ∫ MPS dY = G(Y) + c

MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan

digunakan  untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu

sejumlah  kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan

untuk  konsumsi.

MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh :

Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi

autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan

Nasionalnya adalah…

Jawab :

C         = ∫ MPC dY

= ∫½ dY

= ½Y + 50

S          = Y – ( ½ Y + 50 )

= Y – 50 – ½Y

S          = ½ Y – 50

Atau

S          = Y – C

S          = ∫ MPS dY

= ∫ ½ dY

= ½Y – 50

Y          = C + S

Y          = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 )

Analisa : Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi

adalah C = ½Y + 50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan

nasionalnya adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ).

III. Aplikasi Integral Dalam Keteknikan

Penerapan integral dalam keteknikan diantaranya yakni teknik sipil, dalam

menentukan luas daerah, volume benda putar dan pusat massa.

A. Luas Daerah Bidang Rata

Terdapat dua cara menghitung luas daerah bidang rata ini, yaitu dengan

mempartisi daerah secara vertikal atau secara horisontal. Jika mempartisi secara

vertikal, bentuk integralnya dalam dx dan mempartisi secara horisontal bentuk

integralnya dy. Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva pertama di bagian atas

dan kurva kedua di bagian bawah akan lebih mudah jika diselesaiakan dengan

cara mempartisi secara vertikal. Demikian juga untuk daerah yang dibatasi oleh

kurva pertama di sebelah kanan dan kurva kedua di sebelah kiri lebih mudah

diselesaikan dengan cara mempartisi secara horisontal.

y

xi y = f(x)

f(xi)-g(xi) y = g(x)

a b

x

xi

Gambar.1 Penghitungan Luas dengan Partisi Vertikal

Pada gambar Gambar.1 diperlihatkan sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva f(x)

di bagian atas dan kurva g(x) di bagian bawah, sedangkan sebelah kiri dibatasi

oleh garis x = a dan sebelah kanan dibatasi oleh garis x = b. Karena kurva yang

membatasinya di bagian atas dan bawah, digunakan cara yang pertama, yaitu

mempartisi secara vertikal.

Daerah yang berwarna gelap adalah partisi ke-i. Misalnya daerah yang dibatasi

oleh kurva f(x), kurva g(x), garis x = a, dan garis x = b disebut L. Maka, luas

partisi ke-i adalah ∆ Li sehingga

L=∑i=1

n

∆ Li=∑i=1

n

( f ( x i )−g(x i))∆ x i

Jika n → ∞, ∆ x i →0. Jadi,

L= lim∆x i →0

∑i=1

n

( f ( x i )−g (x i))∆ x i=∫a

b

( f ( x )−g(x )) dx

Contoh 1. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan

persamaan y=x3−3 x2−x+3, sumbu x, garis x = -1, dan garis x = 2!

y x = 2

xi

y = x3−3 x2−x+3

-1 3 x

-y

xi

Gambar.2 Penggunaan Partisi Vertikal

Berdasarkan gambar Gambar.2, penghitungan luas daerah digunakan cara pertama

yaitu mempartisi secara vertikal. Penghitungannya dibagi dua bagian berdasarkan

perbedaan rumus luas partisi, yaitu bagian pertama luas daerah pada nilai x antara

−1 ≤ x ≤1 dan bagian kedua luas daerah pada 1 ≤ x ≤2 . Bagian pertama, luas

partisinya adalah yx dan bagian kedua, luas partisinya adalah - yx. Jadi, luas

seluruh daerah di atas adalah

L=∫−1

1

( x3−3 x2−x+3 ) dx+∫1

2

− ( x3−3 x2−x+3 ) dx=234

Contoh 2. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan

persamaan y=x 4 dan y=2 x−x2 !

Sketsa daerah ini pada bidang xy, sebagai berikut

y

y2 = x4

xi

y1 – y2

x

y1 = 2 x−x2

Gambar.3 Contoh Penggunaan Partisi Vertikal

Titik potong kedua kurva di titik (0, 0) dan titik (1, 1). Jadi, batas integralnya

adalah 0 dan 1. Berdasarkan gambar G.3 penghitungan luas daerah digunakan

cara pertama yaitu mempartisi secara vertikal, dengan 1uas partisi (y1 – y2) x

sehingga luas seluruh daerah di atas adalah

L=∫0

1

(2 x−x2−x4 ) dx= 715

Contoh 3. Tentukan luas daerah bidang rata yang dibatasi oleh kurva dengan

persamaan y2=4 x dan 4 x−3 y=4 !

y

4 x−3 y=4

x1 – x2 y2=4 x

yi

x

Gambar.4 Contoh Penggunaan Partisi Horisontal

Titik potong kedua kurva di titik (1/4, -1) dan titik (4, 4). Pada gambar G.4,

penghitungan luas daerah digunakan cara kedua yaitu mempartisi secara

horisontal sehingga batas integralnya adalah -1 dan 4. Luas partisinya adalah (x1

– x2) y sehingga luas seluruh daerah di atas adalah

L=∫−1

4

( x1−x2 ) dy=∫−1

4

( 3 y+44

− y2

4 )dy=12524

B. Volume Benda Putar

Terdapat tiga bagian bahasan dalam integral ini, yaitu metode cakram, metode

cincin, dan metode kulit tabung. Seperti ketika menghitung luas daerah,

menghitung volume juga menggunakan pendekatan partisi. Untuk bagian pertama

dan kedua digunakan pendekatan rumus volume tabung atau cakram sebagai

berikut.

V ≈∑i=1

n

A (x i)∆ x i , xi−1 ≤ x i ≤ x i

A(x i) adalah luas penampang benda pada partisi ke-i dan ∆ x i adalah lebar partisi

ke-i. Jika sebelah kiri dibatasi oleh garis x = a dan sebelah kanan dibatasi oleh

garis x = b dan n → ∞ , diperoleh

V= lim∆x i →0

∑i=1

n

A (x i)∆ x i=∫a

b

A( x)dx

Rumus di atas diperoleh jika mempartisi secara vertikal. Namun jika mempartisi

secara horisontal maka bentuk integralnya dalam dy.

a. Metode Cakram

Contoh 1.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh

kurva y=√x, sumbu x, dan garis x = 4 jika R diputar mengelilingi sumbu x !

Sketsa daerah R pada bidang xy, sebagai berikut

y

xi y=√x

0 x 4 x

Gambar.5 Daerah R

Daerah R diputar mengelilingi sumbu x, diperoleh benda putar

x y=√x

0 4 x

x

Gambar.5 Daerah R diputar mengelilingi sumbu x

Gambar G.5 menunjukan daerah dengan sebuah jalur pemotongan (partisi). Jika

daerah ini diputar mengelilingi sumbu x, daerah ini membentuk sebuah benda

putar (gambar G.6) dan jalur ini membentuk sebuah cakram yang volumenya

didekati (diaproksimasi) oleh volume tabung dengan tinggi tabung ∆ x dan jari-

jari alas tabung √ x. Jadi, volume tabung ini adalah ∆ V ≈ π (√x )2 ∆ x . Jika volume

tabung-tabung ini dijumlahkan dan diintegralkan, diperoleh volume benda putar

V=π∫0

4

x dx=π [ x2

2 ]0

4

=8 π ≈ 25,13.

Contoh 2.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D yang dibatasi oleh

kurva y=x3, sumbu y, dan garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu y !

y y = x3

3

3√ y

y

y

0 x

x

y

y

x

Gambar.6 Daerah D diputar mengelilingi sumbu y

Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variabel pengintegralan atau

mempartisi benda secara horisontal. Volume partisi adalah volume tabung dengan

tinggi ∆ y dan jari-jari alas tabung 3√ y . Jadi, volume tabung ini adalah

∆ V ≈ π ( 3√ y )2 ∆ y

maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah D adalah

V=π∫0

3

y23 dy=π [ 3

5y

53 ]

0

3

=π9

3√95

≈ 11,76.

b. Metode Cincin

Metode ini digunakan jika partisi volumenya berupa cakram yang di tengahnya

terdapat lubang atau berupa cincin.

Contoh 3.

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A yang dibatasi oleh

kurva y=x2, dan y2=8 x diputar mengelilingi sumbu x!

y y = x2

4 y=√8 x

x

√8 x

x x2

0 x

Gambar.7 Daerah A

x

Gambar.8 Daerah A diputar mengelilingi sumbu x

Seperti sebelumnya, dalam proses penghitungan volume benda putar ini

digunakan metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi dan

diintegralkan. Volume cincin dengan tebal x, jari-jari luar √8 x dan jari-jari

dalam x2 adalah

∆ V ≈ π [ (√8 x )2−( x2 )2 ] ∆ x

maka volume benda putar yang dibentuk oleh daerah A dengan sumbu putar

sumbu x adalah

V=π∫0

2

(8 x−x4 ) dx=π [ 8 x2

2−

x5

5 ]0

2

=48 π

5≈ 30,16

c. Metode Kulit Tabung

Untuk beberapa kondisi, metode ini lebih mudah digunakan dari pada metode

cakram atau metode cincin. Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang

dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. Jika

jari-jari tabung dalam adalah r1 dan jari-jari tabung dalam adalah r2 , sedangkan

tinggi tabung h maka volume tabung adalah

V=π (r22−r1

2 )h

¿ π (r2+r1 ) (r2−r1 ) h

¿2π ( r2+r

2 )h (r2−r1 )

Jadi, V = 2 . (rata-rata jari-jari).(tinggi).(tebal) = 2 rh r.

Contoh 4. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B yang

dibatasi oleh kurva

y= 1

√ x, sumbu x, garis x = 1, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu y!

y

y= f(x)

x

y

x x

Gambar. 9 Daerah B

Tebal kulit tabung yang dihasilkan setelah daerah B diputar adalah x, jari-jarinya

x, sedangkan tingginya y. Karena y = f(x), diperoleh volume kulit tabung yaitu

∆ V ≈ 2 πxf (x)∆ x

Jadi, volume benda putar yang dibentuk oleh daerah B dengan sumbu putar

sumbu y adalah jumlah semua kulit-kulit tabung yang terbentuk dari x = 1 hingga

x = 4.

V=2 π∫1

4

x1√x

dx=2π∫1

4

x12 dx=2 π [ 2

3x

32 ]

1

4

=28 π3

≈ 29,32.

C. Pusat Massa (Centroid)

Pusat massa pada sebuah garis lurus adalah titik tengah garis lurus tersebut,

sedangkan pada bidang rata beraturan seperti segitiga, persegi, maupun jajaran

genjang adalah titik tengah bidang (untuk persegi dan jajaran genjang merupakan

titik perpotongan diagonal-diagonalnya). Secara khusus untuk lingkaran, pusat

massanya adalah titik pusat lingkaran.

Penentuan pusat massa seperti di atas adalah dengan asumsi garis atau bidang ini

memiliki massa yang homogen. Jadi, massa tidak menentukan atau memengaruhi

posisi pusat massa. Dengan kata lain, garis atau bidang yang memiliki massa

yang homogen, pusat massanya berimpit dengan pusat geometrinya (centroid-

nya).

Pembahasan pusat massa ini dikhususkan untuk bidang yang memiliki massa yang

homogen. Karena bidang-bidang yang beraturan tidak membutuhkan integral

untuk menentukan pusat massanya, pembahasan hanya untuk bidang yang tidak

beraturan.

Lamina homogen adalah lempeng tipis yang rata dengan kepadatan massa, ,

konstan. Jadi, lamina homogen merupakan bidang rata yang memiliki massa yang

homogen. Perhatikan ilustrasi dari sebuah lamina pada gambar berikut ini!

y y = f(x)

xi

y = g(x)

•

½( f(xi) + g(xi))

x

a b

xi

Gambar.10 Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal

Titik hitam di tengah-tengah partisi adalah pusat massa dari partisi. Pusat massa

partisi ke-i adalah (xi , ½( f(xi) + g(xi))). Pusat massa lamina adalah jumlah semua

momen dari partisi dibagi massa lamina. Misalnya m adalah massa sebuah

partisi maka m adalah massa lamina. Karena ∆ m=δ ( f (x )−g (x)) ∆ x , diperoleh

m=δ∫a

b

(f ( x )−g( x)) dx

Misalnya Mx dan My berturut-turut adalah momen sebuah partisi terhadap

sumbu x dan momen sebuah partisi terhadap sumbu y maka

∆ M y=xδ (f ( x )−g (x)) ∆ x

dan

∆ M x=12

(f ( x )+g(x )) δ (f ( x )−g( x)) ∆ x= δ2

( f 2 ( x )−g2(x ))∆ x .

Maka Mx dan My adalah momen lamina terhadap sumbu x dan momen lamina

terhadap sumbu y, yaitu

My=δ∫a

b

x ( f ( x )−g(x )) dxdan Mx=δ2∫a

b

( f 2 (x )−g2(x))dx

Jadi, pusat massa lamina adalah ( x , y ) dengan

x= Mym

dan y=Mxm

Karena konstan, dapat diabaikan dalam penghitungan.

Contoh: Tentukan pusat massa dari daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3 dan

y=√x !

Sketsa daerah ini pada bidang xy, sebagai berikut

y

y2 = x3

xi y1 = √ x

x

Gambar.11 Contoh Penentuan Pusat Massa dengan Partisi Vertikal

Dari gambar G.13 diperoleh y=12

( y1+ y2 )=12

(√ x+x3 ). Jadi,

x=∫

0

1

x (√ x−x3 ) dx

∫0

1

(√ x−x3 ) dx

=1225

dan

y =

x=∫

0

112

(√x+x3 ) (√ x−x3 ) dx

∫0

1

(√ x−x3 ) dx

=37

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy.1995. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta :

BPFE

Retsa.2006. Aplikasi Integral dalam Teknik Sipil. Jakarta : Universitas Indonesia