bab vii matematika i

BAB VII

DIMENSI TIGA

1. Mengenal Kubus dan Balok

2. Mengenal Prisma

3. Mengenal Limas

4. Memahami kedudukan titik terhadap garis dan bidang

5. Memahami kedudukan antara garis dan garis terhadap bidang

6. Memahami kedudukan antara bidang dan bidang lain

7. Menggambar Bangun Ruang

8. Menggambar Irisan Bangun Ruang

166

LEMBAR KERJA SISWA 1

Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Mengenal Kubus dan BalokKompetensi Dasar : Memahami komponen benda ruang, menggambar

dan menghitung volume benda ruangKelas : XSemester : 2Waktu : 90 menit

MATERI :

1. Kubus adalah benda ruang yang dibatasi oleh 6 bidang sisi yang kongruen,

masing-masing sisi berbentuk bujur sangkar.

2. Kubus diberi nama menurut titik sudutnya yang beraturan mulai dari bidang

alas.

3. Unsur-unsur kubus adalah bidang sisi, rusuk, titik sudut, diagonal sisi,

diagonal kubus dan bidang diagonal.

- Sisi kubus disebut : bidang alas, bidang atas, sisi depan, sisi belakang, sisi

kiri dan sisi kiri.

- Rusuk kubus semua sama panjang, disebut rusuk alas, rusuk atas dan

rusuk tegak.

- Titik sudut merupakan pertemuan tiga bidang sisi.

- Diagonal sisi kubus adalah garis yang menghubungkan dua titik yang

berhadapan pada satu bidang sisi.

- Diagonal kubus adalah garis yang menghubungkan dua buah titik yang

berhadapan ruang pada kubus.

- Bidang diagonal kubus adalah bidang yang melalui dua rusuk yang

berhadapan pada kubus.

4. Balok adalah bangun yang dibatasi oleh 6 bidang sisi berbentuk persegi

panjang yang sepasang-sepasang saling berhadapan dan kongruen.

Pengertian-pengertian : bidang sisi, rusuk, diagonal sisi, diagonal ruang dan

bidang diagonal sama seperti pada kubus.

167

TUGAS :

Pada kubus ABCD.EFGH lihat gambar

AB mewakili garis g

BC mewakili garis h

DE mewakili garis l

1 a. Sebutkan semua sisi kubus.

b. Sebutkan semua rusuk kubus, ada berapa buah?

c. Sebutkan semua diagonal sisi kubus, ada berapa buah?

d. Sebutkan semua diagonal kubus, ada berapa buah?

e. Sebutkan semua rusuk tegak kubus.

f. Sebutkan titik sudut yang berhadapan dengan titik A.

2. Pada kubus gambar no 1

a. Berbentuk apakah bidang diagonal itu?

b. Jika rusuk kubus 6 cm, berapakah luas bidang diagonal ABGH.?

c. Hitunglah luas permukaan kubus.

d. Hitung volume kubus.

3. Pada balok ABCD.EFGH , lihat gambar

168

G H

A B

EF

C

D

E F

D C

A B

HG

a. Berapa banyaknya :

1.rusuk pada balok (R) ?

2.titik sudut pada blok (T) ?

3.bidang sisi (S) ?

4.Apakah rumus EULER, S + T = R + 2 berlaku pada balok?

4. Diketahui balok ABCD.EFGH (Lihat soal no 3)

Panjang rusuk AB, BC, AC berturut-turut 4cm, 3 cm, dan 12 cm.Tentukanlah:

a. Luas balok

b. Volume balok

c. Sebutkan tiga pasang rusuk balok yang sejajar

d. Sebutkan semua diagonal ruangnya, dan hitunglah panjangnya

169


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Mengenal PrismaKompetensi Dasar : Memahami komponen benda ruang, menggambar


MATERI :

Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar

dan beberapa bidang lain yang saling berpotongan menurut garis yang sejajar.

Dua bidang yang sejajar adalah bidang alas dan bidang atas.

Bidang yang lain disebut bidang sisi prisma yang membentuk selubung prisma.

Rusuk-rusuk tegak prisma saling sejajar dan panjangnya sama.

Suatu prisma diberi nama menurut bentuk bidang alas dan posisi rusuk

tegaknya. Contoh Prisma segi lima tegak, alasnya berbentuk segi lima dan

rusuk alasnya tegak lurus bidang alas. Jika rusuk alasnya tidak tegak lurus

dengan bidang alas maka dinamakan Prisma segi lima miring atau condong.

Prisma segi-n beraturan adalah prisma yang alasnya segi-n beraturan. Contoh

kubus adalah prisma segi empat beraturan.

Luas permukaan prisma tegak adalah jumlah antara luas alas, luas atas dan

jumlah luas semua bidang sisi tegaknya. Lihat gambar prisma segi tiga tegak

ABC.DEF

D F

Luas permukaan prisma =LABC + LDEF + LABCD +LBCFE + LACFD

Volume prisma = LABC × t

170

E

B

CA

t

TUGAS :

1. Panjang rusuk rusuk alas suatu prisma tegak segitiga adalah 12, 9, dan 15

cm, sedang panjang rusuk tegaknya 10 cm, hitunglah :

a. Luas prisma

b. Volume prisma

c. Buat bukaan atau jaring jaringnya

2. Hitung luas dan volume prisma segitiga beraturan yang semua sisinya 6 cm.

3. Sebuah prisma tegak bersisi tiga ditentukan luas sisi tegaknya berturut 39, 42

dan 45 cm. Hitunglah :

a. rusuk - rusuknya.

b. volume prisma.

171


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Mengenal LimasKomptensi Dasar : Memahami komponen benda ruang, menggambar


MATERI :

Limas adalah suatu benda ruang yang dibatasi oleh segitiga- segitiga yang

bertemu pada sebuah titik dan sebuah segi banyak yang disebut bidang alas.

Limas teratur adalah limas yang alasnya berbentuk segi banyak beraturan dan

proyeksi titik puncaknya berimpit dengan titik pusat lingkaran luar bidang

alasnya.

Aphotema limas teratur adalah garis tinggi sisi tegaknya yang melalui titik

puncaknya.

Luas permukaan prisma teratur adalah keliling alas × ½ aphotema.

Volume limas = 1/3 t x A (A adalah luas alas)

TUGAS :

1. Diketahui limas segiempat T.ABCD. AB = 6 cm. TA = 3 cm, Tentukan :

a. tinggi limas

b. luas sisi limas

c. volume limas.

2. Diketahui limas teratur T.ABCDEF , AB = 3 cm, TA = 5cm, tentukan :

a. hitung tinggi limas.

b. luas sisi limas.

c. volume

172

3. Ditentukan sebuah limas teratur T.ABCD tingginya 4 cm, sedangkan luasnya

96 cm2 , hitunglah :

a. panjang rusuk tegaknya.

b. panjang aphotemanya.

T

A B

173

D C


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Memahami Kedudukan Titik terhadap Garis dan

BidangKelas : XSemester : 2Waktu : 45 menit

MATERI :

1. Jika titik A dapat dilalui oleh garis g , maka titik A terletak pada garis g

2. Panjang sebuah garis itu tak hingga

3. Jika titik A dapat dilalui oleh bidang

4. Luas sebuah bidang adalah tak terbatas.

TUGAS :

Gambar kubus ABCD.EFGH

( Tunjukkan pada gurumu sebuah kubus ABCD.EFGH )

AB mewakili garis g

BC mewakili garis h

DE mewakili garis l

1 a. Sebutkan titik sudut kubus yang terletak pada garis g

b. Sebutkan titik sudut kubus yang terletak pada garis g

c. Sebutkan titik sudut kubus yang terletak pada garis g

d. Sebutkan titik sudut kubus yang terletak pada garis g

174

EF

D C

GH

A B

2. Jika titik M pada pertengahan AB dan DM mewakili garis k, sedangkan titik N

perpotongan antara garis h dan k.

a. Apakah titk N terletak pada garis h?

b. Apakah titk N terletak pada garis k?

c. Apakah titk N dan titik C terletak pada garis h?

d. Apakah titk M dan titik N terletak pada garis k?

3. Jika bidang ABCD mewakili bidang , bidang BCGF mewakili bidang , dan

bidang BDHF mewakili bidang .

a. Apakah titik M terletak pada bidang

b. Apakah titik N terletak pada bidang

c. Apakah titik M terletak pada bidang

d. Apakah titik M terletak pada bidang

e. Apakah titik M terletak pada bidang

175


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Memahami Kedudukan Garis terhadap Garis dan

Garis terhadap BidangKompetensi Dasar : Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar

dan menghitung jarak dan sudut antaraKelas : XSemester : 2Waktu : 45 menit

MATERI :

1. Kedudukan garis terhadap garis lain

Berpotongan

Sejajar

2. Kedudukan garis terhadap bidang

Memotong / menembus

Sejajar

Terletak

TUGAS :

Pada kubus ABCD.EFGH (Bisa dikerjakan di luar kelas)

DP : PH = 1 : 1

AQ : QE = 1 : 3

BR : RC = 1 : 1

176

C

G

E F

DQ

P

R

H

A B

1. Tentukan kedudukan antara :

a. Garis AB dan garis BC

b. Garis AC dan garis EG

c. Garis AD dan GH

d. Garis PR dan AC

e. PQ dan BC

2. Tentukan kedudukan antara:

a. Garis PQ dan bidang ADHE

b. Garis PQ dan bidang BCGF

c. Garis PR dan bidang ABCD

d. Garis QR dan bidang ADHE

177


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Memahami Kedudukan antara Bidang dengan

Bidang LainKompetensi Dasar : Menggambar abstraksi ruang untuk menggambar

Dan menghitung jarak dan sudut antaraKelas : XSemester : 2Waktu : 45 menit

MATERI :

Kedudukan antara bidang dengan bidang lain

a. Sejajar

b. Berpotongan

c. Berimpit

a. Bidang sejajar

Dalil :

g // h

k // l

g dan k berpotongan pada bidang

k dan l berpotongan pada bidang

g dan k berpotongan pada bidang

h dan l berpotongan pada bidang

maka bidang // bidang

Contoh :

178

E F

D C

H G

A B

Pada kubus ABCD.EFGH

Jika bidang ADHE mewakili bidang dan bidang BCGF mewakili bidang

AD // BC

AE // BF

AD dan AE berpotongan pada bidang ADHE (di titik A)

BC dan BF berpotongan pad bidang BCGF (di titik B)

Maka bidang ADHE // bidang BCGF atau bidang //

b. Bidang dan Bidang Berpotongan

T

Bidang dan bidang berpotongan

apabila kedua bidang itu tepat memiliki

sebuah garis persekutuan

A B

Contoh :

Pada limas T.ABCD

Bidang TAB dan bidang ABCD berpotongan pada garis AB

Bidang TAB dan bidang TBC berpotongan pada garis TB

Bidang TAB, bidang TBC dan bidang TAD berpotongan di titik T

c. Bidang dan bidang berimpit

Bidang dan bidang berimpit jika tiap titik pada bidang terletak pada

bidang atau sebaliknya.

TUGAS :

1. a.

179

D C

S

R

P

Q

EF

D C

GH

A B


Titik P, Q, R dan S masing-masing

pertengahan rusuk AD, AB, EF dan EH.

Tunjukkan bahwa bidang PQRS // bidang

DBFH

b.


Tunjukkan bahwa bidang ACH // bidang

EGB

2. Pada kubus ABCD.EFGH

a. Tentukan kedudukan antara :

i) Bidang ADHE dan bidang BCGF

ii) Bidang DCGH dan bidang ADHE

iii) Bidang ABD dan bidang ABCD

b.Tentukan garis persekutuan (garis

potong), jika ada antara :

i) Bidang EFGH dan bidang DCGH

ii) Bidang ABGH dan bidang ABDC

iii) Bidang ACH dan bidang EFGH

d. Jika titik potong diagonal sisi ADHE adalah titik M dan titik potong diagonal

sisi BCGF adalah titik N, maka :

i) Tentukan garis potong antara bidang ABGH dan bidang BCFE.

180

EF

D C

A B

H G

E F

D C

H G

A B

ii) Hitunglah ruas prisma ABM.BCH jika panjang rusuk kubus a satuan.

181


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Memahami Kedudukan antara Bidang dengan

Bidang LainKompetensi Dasar : Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar

dan menghitung jarak dan sudut antaraKelas : XSemester : 2Waktu : 45 menit

MATERI :

1. Bidang frontal

Bidang yang sejajar dengan bidang gambar, panjang semua gambar dibuat

dengan ukuran dan bentuk yang sebenarnya.

2. Bidang orthogonal

Bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal.

3. Garis frontal

Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal atau sejajar

dengan bidang frontal. Jenisnya ada dua, yaitu garis frontal horizontal dan

garis frontal vertikal.

4. Garis orthogonal

Garis yang tegak lurus dengan bidang frontal.

5. Sudut surut

Sudut yang dibentuk oleh garis frontal horizontal arah kekanan dan garis

orthogonal arah ke belakang. Sudut aslinya 90 digambar lebih kecil atau

lebih besar. Misalnya dibuat 60 .

6. Perbandingan orthogonal atau perbandingan proyeksi

Perbandingan antara garis orthogonal pada gambar dan garis orthogonal

sebenarnya. Misalnya garis orthogonal sebenarnya 10cm, dengan pp =

dibuat gambar dengan ukuran 5cm.

7. Sebelum membuat gambar hendaknya dibuat terlebih dahulu gambar

persiapan.

182

Contoh :

1. Gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4cm, bidang ABFE

frontal, dan AB horizontal, sudut surut 30 , perbandingan proyeksi

Gambar Persiapan Kubus ABCE.EFGH

Langkah-langkah

1. Buat garis AB frontal horizontal, ukur

AB =4cm.

2. Melalui titik A buat sudut surut 30

terhadap AB ke arah belakang.

3. Ukur panjang AD=2cm, sebab ukuran

sebenarnya 4cm, ( × 4cm).

4. Buat BC // AD dan AE AB, dengan

AE = 4cm.

5. dan DH // AB.

2. Buatlah balok ABCD.EFGH dengan panjang AB 8cm, BC = 6cm dan AE =

5cm. Bidang diagonal ACGE frontal dan AC horizontal. Sudut surut 45 dan

perbandingan proyeksi .

Gambar Persiapan Balok ABCD.EFGHH Langkah-langkah :

1. Tentukan AC frontal horizontal

AC = 2 + 62) = 10cm.

2. Buat garis g melalui T1 dengan sudut

45 terhadap garis AC.

3. Tentukan titik D dan B sehingga T1D

= × 10 cm, T1B sama dengan

× 10 cm.

183

F

E

F

G

A

B

C

D

T

T1

45º

E

C

D

A B

H G

30

2cm

4cm

4. Hubungkan titik A, B, C, dan D

sehingga membentuk jajaran genjang

5. Buat garis AE = 5 cm vertikal dari A.

6. Buat garis BF, CG, dan DH sejajar

AE

7. Hubungkan titik-titik ABCD.EFGH.

3. Gambar Limas T.ABCD dengan alas ABCD persegi panjang dan AB = 8 cm,

BC = 6cm. Tinggi limas 6 cm. Bidang TAC frontal, AC horizontal.

Perbandingan proyeksi , sudut surut 45

Langkah-langkah :

1. Buat garis AC frontal horizontal. AC = 2 + 62) = 10cm.

2. Melalui titik tengah AC dibuat garis g dengan sudut 30 terhadap AC.

3. Tentukan panjang BD = × 10 cm = 5 cm

4. Hubungkan AB dan CD.

5. Tentukan titik T melalui titik tengah AC, terhadap AC setinggi 6 cm.

6. Hubungkan TA, TB, TC, dan TB.

T

A

184

D

C

0

B

g

30

TUGAS :

1. Gambarkah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 5 cm, jika :

a. ABFE frontal, AB horizontal, sudut surut 60 dan perbandingan ortogonal

b. ACGE frontal, AC horizontal, sudut surut 30 dan perbandingan ortogonal

2. Gambarlah balok ABCE.EFGH. AB = 5 cm, AD = 4 cm, dan AE = 3 cm, jika:

a. ABFE frontal, AB horizontal, sudut surut 30 dan perbandingan ortogonal

b. BCGF frontal, BC horizontal, sudut surut 60 dan perbandingan ortogonal

3. Gambarlah limas segi empat T.ABCD dengan diagonal bidang alas AC=8cm

dan tinggi limas TQ = 6 cm. Sudut surut 45 dan perbandingan proyeksi .

185


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pokok : Menggambar Irisan Bangun RuangKompetensi Dasar : Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar

dan menghitung jarak dan sudut antaraKelas : XSemester : 2Waktu : 2 X 45 menit

MATERI :

1. Irisan antara bidang datar dan bangun ruang adalah sebuah bangun datar

yang dibatasi oleh garis-garis potong antara bangun itu dengan sisi dari

bangun itu.

2. Sumbu afinitas atau garis kolinasi adalah garis potong antar bidang dengan

bidang alas.

3. Untuk melukis irisan suatu bidang dengan benda ruang dapat dilakukan

menggunakan sumbu afinitas atau menggunakan sifat titik potong diagonal

bidang iris.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH Titik K pada rusuk CG sehingga CK = ¼ × CG.

Titik L pada rusuk DH sehingga DL = ¼ × DH , titik Q pada pertengahan rusuk

BC. Bidang melalui titik K, L dan O. Gambarlah irisan bidang dengan

kubus.

1. Menggunakan sumbu afinitas

Langkah-langkah :

i). Hubungkan dua titik yang sebidang, yaitu L dan K sehingga memotong

DC di titik Q titik Q ini merupakan titik tembus garis LK dengan bidang

alas.

186

ii) Oleh karena titik Q dan N sebidang, maka hubungkan titik Q dan N

sehingga memotong perpanjangan DA di titik P.

iii) Garis PQ adalah garis potong bidang dengan bidang alas yang disebut

sumbu afinitas.

iv) Oleh karena titik P dan L sebidang, maka hubungkan titik P dan L. Titik M

adalah titik potong antara PL dengan AE.

Irisan bidang dengan kubus adalah bidang segi lima KLMNO.

2. Menggunakan Sifat Titik Potong Diagonal bidang iris.

Langkah-langkah :

i) Hubungkan titik LK dan KO

ii) Pada bidang ADHE melalui L ditarik garis sejajar KO. Diperoleh titik M,

yaitu titik tembus garis melalui L terhadap bidang ABFE.

iii) Hubungkan KM dan melalui O pada bidang ABCD tarik garis sejajar KM

dan diperoleh titik N, yaitu titik tembus garis melalui O terhadap bidang

ABFE.

Bidang segi lima KLMNO adalah bidang irisan antara bidang dengan

kubus.

187

EF

D C

A

B

H G

L

K

Q

N

M

O

EF

DC

A

B

L

K

M

O

H G

N

TUGAS :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik K pada rusuk AD sehingga AK = ¼ AD,

titik L pada rusuk DH sehingga DL : DH = 3:1, dan titik M pada rusuk CG

sehingga CM : MG = 1:3. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M. Gunakan

sumbu afinitas untuk melukis bidang irisan antara bidang dan kubus.

Gambar :

2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, AD = 5 cm, dan

AE = 4 cm. Titik K pada pertengahan rusuk AE, titik L pada BF sehingga

BL = ¼ BF. Bidang melalui titik-titik H, K, dan L. Gunakan sumbu afinitas

untuk melukis irisan bidang dengan balok.

H G

A B

188

N

H G

E F

D C

A B

L

K

M

E F

D C

L

K

3. Diketahui prisma segi tiga tegak ABC.DEF. Titik K, L, dan M pada rusuk-

rusuk AD, AB, dan BF. Buatlah irisan bidang yang melalui K, L, dan, M

dengan prisma.

D F

A C

4. Diketahui limas T.ABCD. Titik K pada rusuk TA, L pada rusuk TB, dan M

pada rusuk TD. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik K, L, dan M

dengan limas.

189

E

B

K

L

M

K

L

M

T

A

B C

D

bab vii matematika i

Documents