MATEMATIKA TEKNIK IMATEMATIKA TEKNIK I

ZULFATRI AINI, ST., MTZULFATRI AINI, ST., MT19721021 200604 2 00119721021 200604 2 001

SATUAN ACARA PENGAJARANSATUAN ACARA PENGAJARAN

Mata KuliahMata Kuliah : Matematika Teknik I: Matematika Teknik I

Kode Mata KuliahKode Mata Kuliah : TEL 2207: TEL 2207

SKSSKS : 2 SKS: 2 SKS

Waktu PertemuanWaktu Pertemuan : 100: 100

Pertemuan kePertemuan ke : 1: 1

A. Tujuan A. Tujuan

1. TIU : Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat menguasai 1. TIU : Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat menguasai konsep aljabar linier dan aplikasinyakonsep aljabar linier dan aplikasinya

2. TIK2. TIK : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa akan mengenali aljabar : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa akan mengenali aljabar linier dan aplikasinyalinier dan aplikasinya

B. Pokok BahasanB. Pokok Bahasan : Pengenalan Matematika Teknik I: Pengenalan Matematika Teknik I

C. Sub Pokok BahasanC. Sub Pokok Bahasan : 1. Pengertian Aljabar Linier: 1. Pengertian Aljabar Linier

2. Aplikasi Aljabar Linier2. Aplikasi Aljabar Linier

Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks). khusus ruang vektor (termasuk matriks).

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

ILUSTRASI GRAFIKILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel:SPL 2 persamaan 2 variabel:

Masing-masing pers berupa garis lurus. Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. ini.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKSPENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPLSPL BENTUK MATRIKS BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPLPENYELESAIAN SPL

SPL1. Mengalikan suatu

persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

CONTOHCONTOH

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (iii)dengan (-2).

kalikan brs (iii) dengan (-2).

LANJUTAN CONTOHLANJUTAN CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).

kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOHLanjutan CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.

BENTUK ECHELON-BARISBENTUK ECHELON-BARIS

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Matriks ini disebut bentuk Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksiechelon-baris tereduksi. .

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.bawah.

3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leadingleading

1 baris berikut.1 baris berikut.

4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksitereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebutMatriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk bentuk echelon-barisechelon-baris. .

CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk umum echelon-barisBentuk umum echelon-baris

dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

Bentuk umum echelon-baris Bentuk umum echelon-baris tereduksitereduksi

dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

Penyelesaian SPL melalui bentuk Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-barisechelon-baris

Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

METODA GAUSS-JORDANMETODA GAUSS-JORDAN

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubahmengubah

matriks ke dalam bentuk matriks ke dalam bentuk echelon-baris echelon-baris tereduksitereduksi..

CONTOH: Diberikan SPL berikut.CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2

5B2+B3 B3

6 18 0 8 4 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1- 3- 0 2- 1- 0 0

0 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2

B3 ⇄ B4 B3 B3/3

-3B3+B2B2

2B2+B1B1

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperolehpenyelesaian:

dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai takberhingga banyak penyelesaian.

METODA SUBSTITUSI MUNDURMETODA SUBSTITUSI MUNDURMisalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Eliminasi GaussianEliminasi GaussianMengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: