matematika i. poliban2012/2013

BAB I

MATRIKS

1.1. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat

menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,

menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan

dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.

1.2. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan

mahasiswa akan dapat:

1. Menyebutkan pengertian matriks dengan benar.

2. Menyelesaikan operasi penjumlahan pada matriks dengan benar.

3. Menyelesaikan operasi pengurangan pada matriks dengan benar.

4. Menyelesaikan operasi perkalian scalar dengan matriks dengan benar.

5. Menyelesaikan operasi perkalian matriks dengan matriks dengan benar.

6. Menjelaskan aturan ilmu hitung matriks dengan benar.

7. Menjelaskan jenis-jenis matriks dengan benar.

1

1.3. Pengertian Matriks.

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat

persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks. Jika matrik

mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk () atau [ ] dan bentuk lain ‖‖. Matriks

biasa ditulis dengan huruf besar, misalnya A,B dan seterusnya, dan elemen–

elemennya dengan huruf kecil, misalnya a, b dan seterusnya.

Bentuk umum matriks:

atau

A=[aij ]

i = 1,2, … m

j= 1, 2, …., n

aij disebut elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.

1.4. Operasi Matriks.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.

Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila

keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A=[aij ] dan

B=[b ij ]

2

A=[a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.am 1 am 2 .. . amn

]

adalah sebuah matriks baru C=[c ij ] yang beorde sama, yang unsur–unsurnya

merupakan jumlah atau selisih unsur–unsur A dan B.

A±B=C dimana c ij=aij±bij

Contoh:

[5 2 3−1 4 2 ]+[ 2 3 1

4 1 3 ]=[7 5 43 5 5 ]

[5 2 3−1 4 2 ]−[2 3 1

4 1 3 ]=[3 −1 2−5 3 −1 ]

Contoh:

Tinjaulah matriks–matriks:

A=[3 2 1 05 2 1 25 3 2 4 ] ,B=[ 3 2 1 0

−4 0 −1 −25 3 2 4 ] ,C=[2 1

5 0 ]Maka,

A+B=[3 2 1 05 2 1 25 3 2 4 ]+[3 2 1 0

−4 0 −1 −25 3 2 4 ]

=[6 4 2 01 2 0 010 6 4 8 ]

Sedangkan A+C dan B+C tidak didefinisikan.

Karena penjumlahan antar bilangan bersifat komutatif dan asosiatif,

padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka untuk penjumlahan antar

matriks berlaku pula kaidah kaidah komutatif dan kaidah asosiatif.

Kaidah komutatif : A+B=B+A

Kaidah asosiatif :A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C.

3

2. Perkalian Matriks dengan skalar.

Hasil kali sebuah matriks A =[a ij ] dengan suatu skalar atau bilangan

nyata λ

Adalah sebuah matriks baru B =[ bij ] yang berorde sama dan unsur–unsur λ kali

unsur–unsur matriks semula (b ij= λaij )

λA=B dimana b ij=λaij

Contoh:

A=[ a11 a12 a13

a21 a22 a23]=[2 1 2

3 −1 4 ] λ=3

maka:

λA=3 A=B=3 .[2 1 23 −1 4 ]=[6 3 6

9 −3 12 ]Contoh:

Jika A adalah matriks,

A=[2 42 3

−1 03 15 2

]Maka

2 . A=2 .[2 42 3

−1 03 15 2

]=[4 84 6

−2 06 2

10 4]

dan

(−1) . A=−.[2 42 3

−1 03 15 2

]=[−2 −4−2 −31 0

−3 −1−5 −2

]4

Jika B adalah sebarang matriks, maka-B akan menyatakan hasil kali (- 1).B. Jika

A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B didefinisikan

sebagai jumlah A+ (- B) =A +(–1).B.

Contoh:

Tinjaulah matriks–matriks

A=[ 3 1 2 4 3−1 2 −2 5 30 −4 2 3 −5 ]

dan

B=[ 5 −1 2 0 3−1 2 2 −4 00 1 −2 0 2 ]

Dari definisi di atas maka

−B=[−5 1 −2 0 −31 −2 −2 4 00 −1 2 0 −2 ]

Dan

A−B=[3 1 2 4 3−1 2 −2 5 30 −4 2 3 −5 ]+[−5 1 −2 0 −3

1 −2 −2 4 00 −1 2 0 −2 ]

=[−2 2 0 4 00 0 −4 9 30 −5 4 3 −7 ]

Perhatikan bahwa A-B dapat diperoleh secara langsung dengan entri B dari entri

A yang bersangkutan.

3. Perkalian antar matriks.

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks

yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua

matriks Amxn dengan Bnxp adalah sebuah matriks baru Cmxp , yang unsure-

5

unsurnya merupakan perkalian silang unsur - unsur baris matriks A dengan

unsur–unsur kolom matriks B.

Amxn X Bnxp = Cmxp

Contoh:

Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks

7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7, CA didefinisikan sebagai

matriks 7x4, BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasil kali AC, CB, dan BA

semuanya tidak didefinisikan.

Contoh:

Misalkan A adalah matriks m x r yang umum dan B adalah matriks r x n yang

umum, maka seperti yang disarankan, entri dalam baris i dan kolom j dari AB,

A . B=[a11 a12 ⋯ a1 r

a21 a22 ⋯ a2 r

⋮ ⋮ ⋮ai1 ai2 ⋯ air

⋮ ⋮ ⋮am1 am2 ⋯ amr

] .[b11 b12 ⋯ b1 j ⋯ b1n

b21 b22 ⋯ b2 j ⋯ b2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮br 1 br 2 ⋯ brj ⋯ brn

]Perkalian matriks mempunyai penerapan penting terhadap system

persamaan linier. Tinjaulah suatu system persamaan yang terdiri dari m

persamaan linier dalam n bilangan tak deketahui.

a11 x1+a12 x2+⋯+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+⋯+a2 n xn=b2

⋮am1 x1+am2 x2+⋯+amn xn=bn

6

karena dua matriks dinyatakan sama jika dan hanya jika entri-entri yang

bersesuaian sama, maka kita dapat menggantikan persamaan m dalam sistem ini

dengan persamaan matriks tunggal

[ a11 x1+ a12 x2+ ⋯+ a1 n xn

a21 x1+ a22 x2+ ⋯+ a2 n xn

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 x1+ am2 x2+ ⋯+ amn xn

][b1

b2

⋮bm

] .Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai hasil

kali yang memberikan

[ a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 am2 ⋯ amn

] .[ x1

x2

⋮xn

]=[b1

b2

⋮bm

] .Jika kita matriks–matriks ini berturut-turut dengan A, X, dan B maka m

persamaan asli dalam n bilangan tak diketahui telah digantikan oleh persamaan

tunggal

AX = B

Contoh:

A2 x 3=[2 −3 58 2 4 ] dan B3×2=[3 5

6 −72 9 ]

maka A2 x3×B3×2=C2×2=[c11 c12

c21 c22 ]c11=a11b11+a12 b21+a13b31=2. 3+(−3 ) . 6+5 .2=−2

c12=a11b12+a12 b22+a13 b32=2 . 5+(−3 ) . (−7 )+5. 9=76c21=a21b11+a22 b21+a23b31=8 .3+2 . 6+4 .2=44

c22=a21b12+a22b22+a23 b32=8 . 5+2. (−7 )+4 . 9=62

Jadi, AB=C=[−2 7644 62 ]

7

Penyelesaian langsung dapat dilakukan sebagai berikut:

AB=[2 −3 58 2 4 ] .[3 5

6 −72 9 ]

=[2.3+(−3 ) . 6+5 .2 2.5+(−3 ) . (−7 )+5 . 98 .3+2 . 6+4 .2 8.5+2 . (−7 )+4 .9 ]

=[−2 7644 62 ]

1.5. Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku

juga untuk matriks, namun terdapat beberapa kekecualian. Salah satu dari

kekecualian yang terpenting terjadi pada perkalian matriks. Untuk bagian–bagian

riil a dan b kita selalu mempunyai ab = ba yang sering disebut hukum komutatif

untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks–matriks, maka AB dan BA tidak

perlu sama. Kesamaan dapat gagal terpenuhi karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi,

misalnya AB didefinisikan sedangkan BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus

kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4. Juga dapat terjadi AB

dan BA kedua–duanya didefinisikan tetapi mempunyai ukuran yang berbeda-

beda. Hal ini terjadi kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x2..

Akhirnya, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikutnya, maka mungkin

untuk memperoleh AB≠BA walaupun AB dan BA didefinisikan dan

mempunyai ukuran yang sama.

Contoh:

Tinjaulah matriks –matriks

8

A=[−1 02 3 ] ,B=[1 2

3 0 ]Dengan mengalikannya maka akan memberikan

AB=[−1 −211 4 ] BA=[ 3 6

−3 0 ]Jadi, AB≠BA .

Walaupun hukum komutatif untuk perkalian tidak berlaku dalam ilmu

hitung matriks, namun banyak hukum–hukum ilmu hitung yang sudah biasa

dikenal akan berlaku untuk matriks. Beberapa diantara hukum yang paling

penting dan nama–namanya diikhtisarkan dalam teorema berikut,

Teorema

Dengan mengganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian

sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-

aturan ilmu hitung matrriks berikut akan sahih.

a. A+B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)

b. A+ (B+C) = (A+B)+C (Hukum asosiatif untuk penambahan)

c. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

d. A(B+C)=AB+AC (Hukum distributif)

e. (B+C)A=BA+CA (Hukum distributif)

f. A(B-C)=AB-AC

g. (B-C)A=BA-CA

h. a(B+C)=aB+aC

i. a(B-C)=aB-aC

j. (a+b)C=aC+bC

9

k. (a-b)C=aC-bC

l. (ab)C=a(bC)

m. a(BC)=(aB)C=B(aC)

Walaupun operasi penambahan matriks dan operasi perkalian matriks

didefinisikan untuk pasangan matriks, namun hukum hukum asosiatif (b) dan

(c) memungkinkan kita untuk jumlah dan hasil kali tiga matriks seperti

A+B+C dan ABC tanpa menyisipkan tanda kurung. Hal ini dibenarkan oleh

kenyatan bahwa bagaimanapun, tersebut disisipkan, hukum asosiatif

menjamin bahwa hasil akhir yang sama akan kita peroleh.

Contoh:

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

A=[1 23 40 1 ] B=[4 3

2 1 ] C=[1 02 3 ]

Kemudian

AB=[1 23 40 1 ] .[4 3

2 1 ]=[8 5

20 132 1 ]

Sehingga

10

( AB)C=[8 520 132 1 ] .[1 0

2 3 ]=[18 15

46 394 3 ]

Sebaliknya

BC=[4 32 1 ] .[1 0

2 3 ]=[10 9

4 3 ]Maka

A( BC )=[1 23 40 1 ] .[10 9

4 3 ]=[18 15

46 394 3 ]

Jadi, (AB)C=A(BC),

1.6. Jenis-Jenis Matriks.

1. Matriks Bujur Sangkar.

Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama

disebut matriks bujur sangkar.

Contoh:

P=[12 2 33 −5 45 6 1 ]

Jumlah baris = 3, jumlah kolom = 3.

11

2. Matriks Diagonal.

Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ¿ 0 dan

selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal.

Contoh:

A=[2 00 3 ] , B=[3 0 0

0 6 00 0 5 ] , C=[2 0 0 0

0 2 0 00 0 2 00 0 0 2

] , D=[1 0 00 1 00 0 1 ]

3. Matriks Satuan.

Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya

1 disebut matriks satuan. Matriks satuan ini biasanya ditulis dengan notasi I.

Matriks satuan yang berdimensi n x n ditulis dengan notasi In.

I n=[1 0 .. . 00 1 .. . 0...0 0 .. . 1

]atauI n=‖δ ij‖, δ ij=¿ {1 , i= j ¿ ¿¿¿

¿

Contoh:

Matriks satuan 3 x 3:

I 3=[1 0 00 1 00 0 1 ]

12

Jika A matriks bujursangkar bertipe n x n dan I matriks satuan bertipe n x n maka:

IA=AI=A.

4. Matriks Nol.

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol

dan ditulis dengan notasi 0. Matriks nol tidak selalu berbentuk bujur sangkar.

Contoh:

O= [0 0 0 ] ,ber dim ensi . 1 x3

O=[0 0 00 0 00 0 0 ] , ber dim ensi. 3 x3

Pada matriks nol berlaku operasi berikut:

A + 0 = 0 + A = A.

A-A = 0.

A0 =0A= 0.

Dalam hal ini A dan 0 adalah matriks bujursangkar yang bertipe

sama.Pada bilangan riil berlaku a.b = 0, artinya a=0, b = 0, akan tetapi pada

matriks hal ini tidak berlaku.

Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut:

A=[1 40 0 ] , B=[4 0

−1 0 ]AB=[1 4

0 0 ] x [4 0−1 0 ]

AB=[0 00 0 ]

Dari hasil di atas juga dapat dilihat bahwa hasil kalinya adalah matriks nol, tetapi

A dan B bukan matriks nol.

13

5. Matriks Transpose.

Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A

dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.

Matriks transpose dinotasikan dengan A’ atau AT.

Jika A=‖a ji‖

' maka . A'=‖a ji‖'

Jika A bertipe m x n maka A’ bertipe n x m.

Sifat–sifat matriks transpose adalah sebagai berikut:

a. Jika A dan B bertipe sama, maka:

b. Pada matriks satuan I berlaku I’ = I.

c. Transpose suatu matriks A’ adalah matriks A atau (A’)’ = A.

Contoh:

Hitunglah (AB)’, jika:

A=[1 23 2 ] , B=[1 0

2 1 ]Jawab :

AB=[1 23 2 ] x [1 0

2 1 ]AB=[5 2

7 2 ]( AB ) '=[5 7

2 2 ]

14

Contoh:

Buktikan ( AB ) '=B ' A ', jika:

A=[ 2 1 ] ,B=[32 ]Bukti:

AB=[ 2 1 ] x [32 ]AB=[ 8 ]( AB ) '=[ 8 ]

A '=[21 ] , B '=[3 2 ]

B' A '=[ 8 ]

Maka terbukti bahwa (AB)’ = B’A’.

6. Matriks Simetris.

Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’. Dalam

hal ini jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Elemen baris

ke-i dan kolom ke-j dari matriks A = elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i dari

matriks A’, atau aij untuk semua i dan j.

Contoh:

Matriks simetris berdimensi 3 x 3:

A=[4 1 51 7 65 6 6 ] , A '=[4 1 5

1 7 65 6 6 ]

15

7. Matriks Simetris Miring.

Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = - aij ,

aii= 0.

Contoh:

Matriks simetris miring berdimensi 3 x 3:

A=[0 2 4−2 0 −5−4 5 0 ] , A '=[ 0 −2 −4

2 0 54 −5 0 ]

−A '=[0 2 4−2 0 −5−4 5 0 ]

8. Matriks Invers.

Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila

dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika

A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan

notasi A-1

Dan AA-1 = I.

Sifat–sifat invers matriks:

a. Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A-

1.

b. Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.

c. Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I.

d. Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.

16

Contoh:

Tentukanlah matriks invers dari A=[8 4

5 3 ]Penyelesaian:

|A|=|8 45 3

|=4, bearti A non singular dan A-1 ada.

b11=a22

|A|=3

4=0 .75 , b12=

−a12

|A|=−4

4=1

b21=−a21

|A|=−5

4=−1 .25 , b22=

a11

|A|=8

4=2

Jadi

A−1=B=[0 .75 1−1.25 2 ]

Tentukan invers dari matriks A=[8 4

6 3 ]Penyelesaian:

|A|=|8 46 3

|=0, berarti A singular dan A-1 tidak ada.

9. Matriks Skalar, Ortogonal, Singular, dan Non Singular.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau

seragam (λ ). Dalam hal λ =1, matriks yang bersangkutan sekaligus juga

merupakan matriks satuan. Matriks skalar juga merupakan hasil kali sebuah skalar

dengan matriks satuan, λ I = matriks skalar λ .

17

Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.

Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama

dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Sedangkan matriks

nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks

semacam ini mempunyai balikan.

1.7. Rangkuman

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat

persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks . Jika matrik

mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk () atau [ ] dan bentuk lain ‖‖. Matriks

biasa ditulis dengan huruf besar dan elemen–elemennya dengan huruf kecil.

Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila

keduanya berorde sama.

Hasil kali sebuah matriks A =[a ij ] dengan suatu skalar atau bilangan

nyata λ adalah sebuah matriks baru B =[ bij ] yang berorde sama dan unsur–unsur

λ kali unsur–unsur matriks semula (b ij= λaij ) .

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks

yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya.

Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama

disebut matriks bujur sangkar

18

Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ¿ 0 dan

selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal

Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya

1 disebut matriks satuan.

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol

dan ditulis dengan notasi 0.

Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A

dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.

Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’

Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = -

aij , aii= 0.

Matriks Invers atau matriks balikan adalah adalah matriks yang apabila

dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau

seragam (λ ).

Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.

Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama

dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan.

Matriks nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya

tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.

19

1.8. Latihan

1. Diketahui matriks sebagai berikut:

A3 X 2=[3 52 31 4 ] , B3 X 2=[2 4

5 30 −5 ] ,C3 X 3=[5 4 5

0 2 35 1 2 ] , D3 X 3=[2 0 −1

2 5 45 4 1 ]

E2 X 3=[2 5 11 2 1 ] , F2 X 2=[2 0

2 1 ]Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+2B

b. 5A-2B

c. A.B

d. A.F

e. E.B

f. A.F.E

2. Diketahui matriks sebagai berikut:

A3 X 3=[2 5 0−4 1 23 2 1 ] , B3 X 2=[ 3 2

1 34 5 ] , C3 X 3=[2 1 2

0 2 30 1 2 ] , D3 X 3=[2 0 0

2 −2 2−3 0 1 ]

E2 X 3=[2 3 11 2 1 ] , F2 X 2=[1 3

2 1 ]Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+5C

b. 5A-B

c. A.B

d. A.C

20

e. E.B

f. A.B.F

3. Tinjaulah Matriks–matriks

A=[ 3 0−1 21 1 ] ,B=[4 −1

0 2 ] ,C=[1 4 23 1 5 ] , D=[ 1 5 2

−1 0 13 2 4 ] ,E=[ 6 1 3

−1 1 24 1 3 ]

Hitunglah:

a. A.B

b. D+E

c. D-E

d. D.E

e. E.D

f. – 7D

4. Dengan menggunakan matriks–matriks di latihan no.3 , hitunglah operasi-

operasi yang berkaitan dengan (di mana mungkin)

a. 3C-D

b. (3E)D

c. (AB) C

d. A(BC)

e. D + E2

5. Apakah yang dimaksud dengan matriks bujur sangkar?

6. Apakah yang dimaksud dengan matriks diagonal?

7. Apakah yang dimaksud dengan matriks satuan ?

8. Apakah yang dimaksud dengan matriks transpose?

21

9. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris?

10. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris miring?

11. Apakah yang dimaksud dengan matriks invers?

12. Apakah yang dimaksud dengan matriks Skalar?

13. Apakah yang dimaksud dengan matriks Ortogonal ?

14. Apakah yang dimaksud dengan matriks Singular ?

15. Apakah yang dimaksud dengan matriks Non Singular?

1.9. Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan

Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan

Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.

22

BAB II

DETERMINAN

2.1 Tujuan Instruksional Umum





2.2 Tujuan Instruksional Khusus



1. Menyebutkan pengertian determinan dengan benar.

2. Menyebutkan sifat–sifat determinan dengan benar.

3. Menentukan determinan dengan metode Sarrus dengan benar.

4. Menentukan minor dan kofaktor suatu matriks dengan benar.

5. Menentukan matriks kofaktor dengan benar.

6. Menentukan determinan dengan metode ekspansi kofaktor dengan benar.

7. Menentukan determinan dengan metode reduksi baris dengan benar.

23

2.3 Pengertian Determinan.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah

matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis

tegak atau ||. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi |A| atau

DA. Determinan dengan matriks dalam tiga hal:

1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak,

sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.

2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah

kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.

3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya

dengan matriks.

Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan

cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.

Matriks

A=[ a11 a12

a21 a22] ,det er min annya ;|A|=|a11 a12

a21 a22

|

Nilai numeriknya:

|A|=|a11 a12

a21 a22

|=a11a22−a21a12

Contoh:

24

A=[1 22 3 ] , B=[2 4

3 1 ]maka

det A=|1 22 3

|=1. 3−2 . 2=−1

det B=|2 43 1

|=2. 1−3 . 4=−10

Untuk determinan berdimensi 3.

A=[ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A

adalah;

|A|=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|a11 a12

a21 a22

a31 a32

|A|=a11a22 a33+a12 a23 a31+a13a21a32−a31 a22 a13−a32a23 a11−a33a21a12

Contoh:

A=[1 2 42 3 11 2 1 ]

maka

det A=|1 2 42 3 11 2 1

|1 22 31 2

=1. 3 .1+2 .1. 1+4 . 2 .2−1. 3 . 4−2. 1 .1−1. 2. 2=3

2.4 Sifat–sifat Determinan.

25

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai

numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.

Contoh:

|A|=|3 3 33 3 33 3 3

|=27+27+27−27−27−27=0

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang

unsur–unsurnya sama.

Contoh:

|A|=|2 4 13 2 22 4 1

|=4+16+12−4−16−12=0


unsur–unsurnya sebanding.

Contoh:

|A|=|2 1 32 5 24 2 6

|=60+8+12−60−8−12=0

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau

kolom semuanya nol.

Contoh:

26

|A|=|2 3 52 1 40 0 0

|=0+0+0−0−0−0=0

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling

bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; |A|=|A '|.

Contoh:

|A|=|2 3 14 2 12 5 3

|=12+6+20−4−10−36=−12

|A '|=|2 4 23 2 51 1 3

|=12+20+6−4−10−36=−12

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris

atau dua kolom bertukar letak.

Contoh:

|A|=|2 4 24 2 12 5 3

|=12+8+40−8−10−48=−6

|B|=|4 2 22 4 15 2 3

|=48+10+8−40−8−12=6

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur

diagonalnya.

27

Contoh:

|A|=|2 0 00 4 00 0 3

|=24

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu

bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

bilangan tersebut.

Contoh:

|A|=|2 4 24 2 12 5 3

|=12+8+40−8−10−48=−6 jika.baris . . kedua ..dikali . 3

¿¿¿

¿

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,

determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan

atau lebih.

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|=0 , A

merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|≠0 , A

merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

28

12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama

dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris

atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris

atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

2.5 Minor dan Kofaktor.

Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku

umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan

kofaktor dari determinan yang bersangkutan.

Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,

|A|=a11a22 a33+a12 a23 a31+a13a21a32−a31 a22 a13−a32a23 a11−a33a21a12

Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:

|A|=(a11a22a33−a11 a23a32)+ (a12 a23 a31−a21 a12a33 )+(a13a32a21−a31 a22 a13 )|A|=a11 (a22a33−a23 a32 )+a12 (a23 a31−a21a33 )+a13 (a32 a21−a31 a22 )|A|=a11 (a22a33−a23 a32 )−a12 (a21 a33−a23 a31 )+a13 (a32a21−a31 a22 )

|A|=a11|a22 a23

a32 a33

|−a12|a21 a23

a31 a33

|+a13|a21 a22

a31 a32

|

|A|=a11 M11−a12 M 12+a13 M 13

Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu,

determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan).

Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum

dilambangkan dengan notasi Mij.

M11 adalah minor dari unsur a11 , diperoleh dengan jalan menutup

baris ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan |A|.

29





Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam

penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan |A| untuk minor tertentu M11

dilambangkan dengan Aij.

Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij=(−1 )i+ j M ij

Mij adalah minor dari unsur aij , diperoleh dengan jalan menutup baris

ke -i dan kolom ke-j dari determinan |A|.

Aij adalah kofaktor dari unsur aij.

Dengan demikian,

A11=(−1 )1+1 M 11=(−1 )2 M 11=+ M 11

A12=(−1 )1+2 M 12=(−1 )3 M 12=−M 12

A13= (−1 )1+3 M 13= (−1 )4 M 13=+ M 13

Kofaktor Aij praktis adalah sama dengan minor Mij itu sendiri, jika i + j

menghasilkan bilangan genap, dan Aij negatif dari Mij apabila i + j menghasilkan

bilangan ganjil.

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks

berdimensi 3 adalah sebagai berikut;

30

|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13

¿a21 A21+a22 A22+a23 A23

¿a31 A31+a32 A32+a33 A33

¿a11 A11+a21 A21+a31 A31

¿a12 A12+a22 A22+a32 A32

¿a13 A13+a32 A32+a33 A33

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor

|A|=a11 M11−a12 M 12+a13 M 13= ∑i , j=1

n

a ij M ij

dalam notasi kofaktor menjadi:

|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13= ∑i , j=1

n

aij A ij

atau:

|A|=∑j=1

n

aij M ij untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.

|A|=∑i=1

n

aij Mijuntuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.

Definisi

Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka

matriks

[ A11 A12 ⋯ A1 n

A21 A22 ⋯ A2 n

⋮ ⋮ ⋮An 1 An 2 ⋯ Amn

]Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A

dan dinyatakan dengan adj(A)

31

3. Diketahui matriks A sebagai berikut:

A=[1 2 34 5 67 8 9 ]

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.

Penyelesaian:

32

M 11=|5 68 9

|=−3⇒ A11=(−1 )2 (−3 )=−3

M 12=|4 67 9

|=−6⇒ A12=(−1 )3 (−6 )=6

M 13=|4 57 8

|=−3⇒ A13=(−1 )4 (−3 )=−3

M 21=|2 38 9

|=−6⇒ A21=(−1 )3 (−6 )=6

M 22=|1 37 9

|=−12⇒ A22=(−1 )4 (−12 )=−12

M 23=|1 27 8

|=−6⇒ A23=(−1 )5 (−6 )=6

M 31=|2 35 6

|=−3⇒ A31= (−1 )4 (−3 )=−3

M 32=|1 34 6

|=−6⇒ A32=(−1 )5 (−6 )=6

M 33=|1 24 5

|=−3⇒ A33=(−1 )6 (−3 )=−3

Maka matriks kofaktornya adalah

[−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]Sedangkan matriks adjoinnya adalah

Adj( A )=[−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3 ]4. Diketahui matriks B sebagai berikut:

B=[ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya

33

Penyelesaiannya:

M 11=|−4 34 −2

|=−4⇒ A11=(−1 )2 (−4 )=−4

M 21=|1 04 −2

|=−2⇒ A21= (−1 )3 (−2 )=2

M 31=|1 0−4 3

|=3⇒ A31=(−1 )4 (3 )=3

M 12=|−2 35 −2

|=−11⇒ A12=(−1 )3 (−11)=11

M 22=|3 05 −2

|=−6⇒ A22=(−1 )4 (−6 )=−6

M 32=|3 0−2 3

|=9⇒ A32= (−1 )5 (9 )=−9

M 13=|−2 −45 4

|=12⇒ A13=(−1 )4 (12 )=12

M 23=|3 15 4

|=7⇒ A22=(−1 )57=−7

M 33=|3 1−2 −4

|=−10⇒ A32= (−1 )6 (−10 )=−10

Maka matriks kofaktornya adalah

[−4 11 122 −6 −73 −9 −10 ]

Sedangkan matriks adjoinnya adalah

Adj( B )=[−4 2 311 −6 −912 −7 −10 ]

34

Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan

menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi

dengan kofaktor.

5. Diketahui matriks A sebagai berikut:

A=[1 2 34 5 67 8 9 ]

Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang:

a.baris pertama

b. baris kedua

c. baris ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)

|A|=|1 2 34 5 67 8 9

|

M 11=|5 68 9

|=−3⇒ A11=(−1 )2 (−3 )=−3

M 12=|4 67 9

|=−6⇒ A12=(−1 )3 (−6 )=6

M 13=|4 57 8

|=−3⇒ A13=(−1 )4 (−3 )=−3

|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13=1(−3 )+2(6)+3 (−3 )=0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)

35

|A|=|1 2 34 5 67 8 9

|

M 21=|2 38 9

|=−6⇒ A21=(−1 )3 (−6 )=6

M 22=|1 37 9

|=−12⇒ A22=(−1 )4 (−12 )=−12

M 23=|1 27 8

|=−6⇒ A23=(−1 )5 (−6 )=6

|A|=a21 A21+a22 A22+a23 A23=4 (6)+5 (−12 )+6(6 )=0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga)

|A|=|1 2 34 5 67 8 9

|

M 31=|2 35 6

|=−3⇒ A31= (−1 )4 (−3 )=−3

M 32=|1 34 6

|=−6⇒ A32=(−1 )5 (−6 )=6

M 33=|1 24 5

|=−3⇒ A33=(−1 )6 (−3 )=−3

|A|=a31 A31+a32 A32+a33 A33=7 (−3 )+8(6 )+9 (−3 )=0

6. Diketahui matriks B sebagai berikut:

B=[ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]

Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang:

a. kolom pertama

b. kolom kedua

36

c. kolom ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama)

|B|=|3 1 0−2 −4 35 4 −2

|

M 11=|−4 34 −2

|=−4⇒ A11=(−1 )2 (−4 )=−4

M 21=|1 04 −2

|=−2⇒ A21= (−1 )3 (−2 )=2

M 31=|1 0−4 3

|=3⇒ A31=(−1 )4 (3 )=3

|B|=a11 A11+a21 A21+a31 A31=3(−4 )+(−2 )(2)+5(3 )=−1

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)

|B|=|3 1 0−2 −4 35 4 −2

|

M 12=|−2 35 −2

|=−11⇒ A12=(−1 )3 (−11)=11

M 22=|3 05 −2

|=−6⇒ A22=(−1 )4 (−6 )=−6

M 32=|3 0−2 3

|=9⇒ A32= (−1 )5 (9 )=−9

|B|=a12 A12+a22 A22+a23 A23=1(11)+(−4 )(−6 )+4 (−9)=−1

7. Diketahui matriks C sebagai berikut:

C=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6

]37

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor

Penyelesaian:

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,

|C|=|

4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6

|

Karena a13 dan a23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang dicari

hanya M33 dan M43.

Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

M 33=|4 4 41 1 −16 14 6

|

¿1 .(−1 )2+1 .|4 414 6

|+1.(−1)2+2 .|4 46 6

|+(−1) .(−1 )2+3 .|4 46 14

|

¿1 .(−(24−56))+1.(24−24 )+(−1 ).(−(56−24 ))¿32+0+32¿64

Sehingga diperoleh kofaktor A33=(−1)3+3 . 64=64


ketiga

M 43=|4 4 41 1 −13 0 1

|

¿3 .(−1 )3+1 .|4 41 −1

|+(1 ).(−1)3+3 .|4 41 1

|

¿3 .(−4−4 )+1 .(4−4 )¿−24

38

Sehingga diperoleh kofaktor A43=(−1)4+3 .(−24 )=24

Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah

|C|=(−3) .64+3 .24=−120

8. Diketahui matriks D sebagai berikut:

D=[2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3

]Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor

a. sepanjang kolom keempat.

b. Sepanjang baris pertama.

Penyelesaian:

a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,

|D|=|

2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3

|

Maka minor yang dicari adalah M14, M24, M34, M44


kedua

39

M 14=|3 2 84 1 32 6 1

|

¿4 .(−1 )2+1 .|2 86 1

|+1.(−1)2+2 .|3 82 1

|+3 .(−1)2+3 .|3 22 6

|

¿4 .(−(2−48))+1 .(3−16)+3 .(−(18−4 ))¿4 . 46+(−13 )+3. (−14 )¿184−13−42¿129

Sehingga diperoleh kofaktor A14=(−1)1+4 .129=−129


kedua

M 24=|2 5 44 1 32 6 1

|

¿4 .(−1 )2+1 .|5 46 1

|+1 .(−1 )2+2.|2 42 1

|+3 .(−1 )2+3 .|2 52 6

|

¿4 .(−(5−24 ))+1.(2−8)+3 .(−(12−10 ))¿4 .19+(−6)+3 .(−2)¿76−6−6¿64

Sehingga diperoleh kofaktor A24=(−1)2+4 .64=64

Pada minor M34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

40

M 34=|2 5 43 2 82 6 1

|

¿3 .(−1 )2+1.|5 46 1

|+2 .(−1)2+2 .|2 42 1

|+8 .(−1)2+3 .|2 52 6

|

¿3 .(−(5−24 ))+2.(2−8 )+8.(−(12−10))¿3 .19+2.(−6 )+8 .(−2 )¿57−12−16¿29



kedua

M 44=|2 5 43 2 84 1 3

|

¿3 .(−1 )2+1.|5 41 3

|+2 .(−1 )2+2 .|2 44 3

|+8 .(−1)2+3 .|2 54 1

|

¿3 .(−(15−4 ))+2 .(6−16)+8 .(−(2−20))¿3 .(−11 )+2 .(−10)+8 .18¿−33−20+144¿91

Sehingga diperoleh kofaktor A44=(−1 )4+4 .91=91

|D|=1. (−129 )+1.64+2.(−29 )+3. 91=150

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,

|D|=|

2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3

|

Maka minor yang dicari adalah M11, M12, M13, M14

41


kedua

M 11=|2 8 11 3 26 1 3

|

¿1 .(−1 )2+1 .|8 11 3

|+3. (−1 )2+2 .|2 16 3

|+2.(−1)2+3 .|2 86 1

|

¿1 .(−(24−1))+3 .(6−6 )+2.(−(2−48 ))¿(−23 )+92¿69

Sehingga diperoleh kofaktor A11=(−1)1+1 . 69=69


kedua

M 12=|3 8 14 3 22 1 3

|

¿4 .(−1 )2+1 .|8 11 3

|+3 .(−1 )2+2 .|3 12 3

|+2.(−1)2+3 .|3 82 1

|

¿4 .(−(24−1))+3 .(9−2)+2 .(−(3−16))¿4 .(−23 )+21+26¿−45

Sehingga diperoleh kofaktor A12=(−1 )1+2. (−45)=45

Pada minor M13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

42

M 13=|3 2 14 1 22 6 3

|

¿4 .(−1 )2+1 .|2 16 3

|+1.(−1)2+2 .|3 12 3

|+2 .(−1)2+3 .|3 22 6

|

¿4 .(−(6−6))+1.(9−2)+2 .(−(18−4 ))¿7−28¿−21

Sehingga diperoleh kofaktor A13=(−1)1+3 .(−21 )=−21


kedua

M 14=|3 2 84 1 32 6 1

|

¿4 .(−1 )2+1 .|2 86 1

|+1.(−1)2+2 .|3 82 1

|+3 .(−1)2+3 .|3 22 6

|

¿4 .(−(2−48))+1 .(3−16)+3 .(−(18−4 ))¿4 . 46+(−13 )+3. (−14 )¿184−13−42¿129


|D|=2 .69+5 . 45+4 .(−21)+1 .(−129 )=138+225−84−129=150

2.8 Reduksi Baris.

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks

tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari

perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara

langsung.

43

Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya

dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks

tersebut.

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua

entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita

namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal

utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun

yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

[a11 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 0 a44]

Maka nilai determinan det A=a .11a22 .a33 a44

Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

[a11 0 0 0a21 a22 0 0

a31 a32 a33 0

a41 a42 a43 a44]

Maka nilai determinan det A=a .11a22 .a33 a44

Teorema

44

Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali

entri –entri pada diagonal utama, yakni det A=a .11a22 .a33 a44

Contoh:

|A|=|

2 5 4 10 2 8 10 0 3 20 0 0 3

|

=2 . 2. 3 .3=36

|B|=|

1 3 1 5 30 −7 0 −4 20 0 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 1

|

=1 .(−7 ). 1. 1.1=−7

Teorema

Misalkan A adalah sebarang matriks n x n

1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh

konstanta k, maka det(A) =k.det(A)

2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,

maka det(A’) = - det(A)

3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A

ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)

Contoh:

Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:

45

A=[1 2 30 1 41 2 1 ]

A1=[4 8 120 1 41 2 1 ]

A2=[0 1 41 2 31 2 1 ]

A3=[1 2 3−2 −3 21 2 1 ]

Penyelesaian:

|A|=|1 2 30 1 41 2 1

|

=|1 2 30 1 40 0 −2

| ( baris 3 dikurang pada baris 1)

=1 . 1.(−2)=−2

|A1|=|4 8 120 1 41 2 1

|

¿|4 8 120 1 40 0 -2

| ( baris ke-3 dikurang 14

x baris ke-1 )

¿4 .1 .(-2 )¿ -8

Matriks A1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:

46

|A1|=|4 8 120 1 41 2 1

|

¿4 .|1 2 30 1 41 2 1

| ( faktor bersama baris ke-1 terlebih dahulu diambil )

¿4 .|1 2 30 1 40 0 -2

| ( baris ke-3 dikurang baris ke -1)

¿4 .(1.1.(-2 ))¿ -8

|A2|=|0 1 41 2 31 2 1

|

¿−|1 2 30 1 41 2 1

| ( tukarkan baris ke-1 dg baris ke-2 )

¿−|1 2 30 1 40 0 −2

| ( baris ke-3 dikurang baris ke -1 )

¿−{1.1 .(−2 )}¿2

|A3|=|1 2 3−2 −3 21 2 1

|

¿|1 2 3−2 −3 21 2 1

| ( baris ke-2 ditambah 2 kali baris ke -1 , baris ke-3 dikurang baris ke -1 )

¿|1 2 30 1 80 0 −2

|

¿1 .1 .(−2)¿−2

47

Contoh;

Hitunglah determinan A, dimana:

A=[1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

]Penyelesaian:

|A|=|

1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

|

=|

1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

| (baris ke -2 ditambah (-2 )dikali baris ke -1 )

=0 ( kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena sesuai sifat determinan )

Contoh;

Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan

sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.

[ 2 5−4 −10 ] ,[1 2 4

1 3 13 6 12 ] ,[3 2 5 3

4 3 1 00 3 2 18 6 2 0

]9. Diketahui matriks C sebagai berikut:

C=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6

]Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris.

Penyelesaian:

48

|C|=|

4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6

|

=−|

1 1 0 −14 4 0 43 0 −3 16 14 3 6

| ( tukarkan b1 dg b2 )

¿−|

1 1 0 −10 0 0 80 −3 −3 20 8 3 12

| ( b2−4 b1 , b3−3 b1 ,b4−6 b1 )

¿|

1 1 0 −10 8 3 120 −3 −3 20 0 0 8

|( tukarkan b2 dg b4 )

¿8|

1 1 0 −10 1 3

8128

0 −3 −3 20 0 0 8

|( faktor bersama baris ke - 2 dikeluarkan )

¿8 .|

1 1 0 −10 1 3

8128

0 0 −158

528

0 0 0 8

| (b3+3b2 )

¿8 .1.1. (−158 ). 8

¿−120

2.9 Rangkuman.

49

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks

bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau

||. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi |A| atau DA

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai

numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.


unsur–unsurnya sama.


unsur–unsurnya sebanding.

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau

kolom semuanya nol.

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling

bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; |A|=|A '|.

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris

atau dua kolom bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur

diagonalnya.

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu

bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

bilangan tersebut.

50

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,

determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan

atau lebih.

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|=0 ,

A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|≠0 ,

A merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama

dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur

baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu

baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu

sendiri.

Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas

beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini

dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi Mij.

Kofaktor dari determinan |A| untuk minor tertentu M11 dilambangkan dengan

Aij. Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij=(−1 )i+ j M ij

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut

pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan

panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

51

13. Latihan.

1. Hitunglah determinan dari:

a.| 1 2−1 3

|

b.|6 43 2

|

c.|−1 7−8 −3

|

d.| 1 2−1 3

|

e.

|1 −2 73 5 14 3 8

|

f.

|8 2 −1

−3 4 −61 7 2

|

g.

|1 0 34 0 −12 8 6

|

h.

|k −3 92 4 k+11 k2 3

|

2. Hitunglah determinan matriks yang diberikan dengan mereduksi matriks

tersebut pada bentuk eselon baris.

a.[2 3 70 0 −31 −2 7 ]

52

b.[2 1 14 2 31 3 0 ]

c.[ 1 −2 0−3 5 14 −3 2 ]

d.[ 2 −4 8−2 7 −20 1 5 ]

e.[ 3 6 9 3−1 0 1 01 3 2 −1

−1 −2 −2 1]

f.[2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3

]

g.

[1 3 1 5 3

−2 −7 0 −4 20 0 1 0 10 0 2 1 10 0 0 1 1

]3. Misalkan

A=[ 1 6 −3−2 7 13 −1 4 ]

a. Carilah semua minor.

b. Carilah semua kofaktor.

53

4. Misalkan

A=[ 4 0 4 4−1 0 1 11 −3 0 36 3 14 2

]Carilah:

a. M13 dan C13

b. M23 dan C23

c. M22 dan C22

d. M21 dan C21

5. Hitunglah determinan dari matriks dalam latihan no. 3 (di atas)

dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

a. baris pertama

b. kolom pertama

c. baris kedua

d. kolom kedua

e. baris ketiga

f. kolom ketiga

6. Dalam soal di bawah ini hitunglah determinan dengan menggunakan

ekspansi kofaktor sepanjang sebuah baris atau kolom pilihan anda:

a.

A=[0 6 08 6 83 2 2 ]

b.

A=[ 1 3 72 0 −8

−1 −3 4 ]

54

c.

A=[ 1 1 1k k kk2 k2 k2 ]

d.

A=[k−1 2 32 k−3 43 4 k−4 ]

e.

A=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6

]

f.

A=[4 3 1 9 20 3 2 4 20 3 4 6 41 −1 2 2 20 0 3 3 3

]2.8 Daftar Pustaka.




Erlangga.



55

BAB III

INVERS MATRIKS

Tujuan Instruksional Umum





Tujuan Instruksional Khusus



1. Menyebutkan pengertian invers matriks dengan benar.

2. Menentukan invers matriks berordo 2 x 2 dengan benar.

3. Menentukan invers matriks berordo lebih tinggi dengan benar.

4. Menentukan Invers Matriks dengan Adjoint dan Determinan.

56

Pengertian Invers Matriks.




notasi A-1

Dan AA-1 = I.

Sifat–sifat invers matriks:

1. Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A-

1.

2. Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.

3. Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I.

4. Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.

Matriks Invers Berorde 2 x 2.

Misalkan B merupakan invers dari A , maka untuk dapat menentukan B

haruslah diperoleh lebih dahulu unsur–unsurnya atau bij . Nilai-nilai bij dapat

dihitung berdasarkan operasi seperti berikut ini:

Misal:

A=[ a11 a12

a21 a22]

dan inversnya dilambangkan dengan

A−1=B=[b11 b12

b21 b22]

Maka menurut definisi AB =I, yakni

[a11 a12

a21 a22] .[b11 b12

b21 b22]=[1 0

0 1 ]

57

atau

[a11 b11+a12 b21 a11 b12+a12b22

a21 b11+a22b21 a21 b12+a22 b22]=[1 0

0 1 ]a11 b11+a12 b21=1a21b11+a22b21=0a11 b12+a12b22=0a21b12+a22 b22=1

Dengan menyelesaikan keempat persamaan ini secara serempak untuk masing-

masing bij, diperoleh:

b11=a22

a11a22−a21 a12

, b12=−a12

a11 a22−a21 a12

b21=−a21

a11a22−a21 a12

, b22=a11

a11a22−a21a12

Dengan cara lain bij dapat pula dituliskan menjadi:

b11=a22

|A|,b12=

−a12

|A|

b21=−a21

|A|, b22=

a11

|A|

Ini berarti jika pembaginya nol atau |A|=0 maka bij tidak terdefinisi dan sebagai

konsekuensinya matriks invers B atau A-1 tidak dapat dibentuk. Itulah sebabnya

matriks A tidak memiliki invers jika |A|=0 .

Contoh:

Tentukanlah matriks invers dari A=[8 4

5 3 ]Penyelesaian:

|A|=|8 45 3

|=4, bearti A non singular dan A-1 ada.

58

b11=a22

|A|=3

4=0 .75 , b12=

−a12

|A|=−4

4=−1

b21=−a21

|A|=−5

4=−1 .25 , b22=

a11

|A|=8

4=2

Jadi

A−1=B=[0 .75 1−1.25 2 ]

Tentukan invers dari matriks A=[8 4

6 3 ]Penyelesaian:

|A|=|8 46 3

|=0, berarti A singular dan A-1 tidak ada.

Invers Matriks Berorde Lebih Tinggi.

Invers matriks yang berorde lebih tinggi pada prinsipnya sama seperti

menentukan invers matriks berorde 2 x 2 di atas.

Misal:

A=[a11 . . . a1 n

. .

. .

. .an1 . . . ann

]Dan inversnya A-1 =B, maka menurut definisi AB = I

59

[a11 . . . a1n

. .

. .

. .an 1 . . . ann

] .[b11 . . . b1 n

. .

. .

. .bn1 . . . bnn

]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1

].[a11 b11+.. .+a1n bn1 . .. a11b1 n+. ..+a1n bnn

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ..an 1 b11+ .. .+ann bn1 . .. an 1 b1 n+. . .+ann bnn

]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1

][c11 . . . c1n

. .

. .

. .cn1 . . . cnn

]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1

] c ik=∑i=1

n

aij b jk

cik=1 jika i=k cik=0 jika i≠k dimana i=1,2 , .. . , n ; k=1,2 , .. . ,n

Menentukan Invers Matriks dengan Adjoint dan Determinan.

Menentukan invers suatu matriks dapat pula dengan menggunakan adjoint

dan determinan dari matriks yang bersangkutan. Hubungan suatu matriks bujur

sangkar yang non singular dengan adjoint dan determinannya adalah:

A−1=adj . A|A|

Dari hubungan ini terlihat, A-1 ada atau dapat dibentuk jika dan hanya jika

|A|≠0 .

Contoh:

1. Tentukan kalau ada invers dari A=[8 4

5 3 ]

60

Penyelesaian:

|A|=|8 45 3

|=4 , berarti A−1 ada .

Minor-minornya: M11=3, M12=5,M21=4, M22=8.

Kofaktornya: Aij=(−1 )i+ j . M ij ; A11=3, A12= - 5, A21= - 4, A22 = 8

[ A IJ ]=[3 −5−4 8 ]

adj . A=[ Aij ]'=[3 −5

−4 8 ]'

=[3 −4−5 8 ]

maka :

A−1=adj . A|A|

=[3 −4−5 8 ]

4=[0 ,75 −1

−1 ,25 2 ]Jadi : [8 4

5 3 ]−1

=[0 ,75 −1−1 ,25 2 ]

2. Tentukan kalau ada invers matriks

B=[3 2 54 0 32 2 3 ]

Penyelesaian:

|3 2 54 0 32 2 3

|=10 , berarti B−1 ada .

61

M 11=|0 32 3

|=−6 , M 12=|4 32 3

|=6 , M13=|4 02 2

|=8

M 21=|2 52 3

|=−4 ,M 22=|3 52 3

|=−1 , M 23=|3 22 2

|=2

M 31=|2 50 3

|=1 , M32=|3 54 3

|=−11 , M 33=|3 24 0

|=−8

B11=−6 , B12=−6 ,B13=8 , B21=4 , B22=−4 , B23=−2, B31=6 , B32=11 , B33=−8

[ B IJ ]=[−6 −6 84 −4 −26 11 −8 ]

adj .B=[−6 −6 84 −4 −26 11 −8 ]

'

=[−6 4 6−6 −4 118 −2 −8 ]

B−1=adj . B|B|

=[−6 4 6−6 −4 118 −2 −8 ]

10=[−0,6 0,4 0,6

−0,6 −0,4 1,10,8 −0,2 −0,8 ]

Rangkuman.




notasi A-1

Misalkan B merupakan invers dari A , maka untuk dapat menentukan B

haruslah diperoleh lebih dahulu unsur–unsurnya atau bij . Nilai-nilai bij dapat

dihitung berdasarkan operasi seperti berikut ini:

A−1=B=[b11 b12

b21 b22]

62

b11=a22

|A|,b12=

−a12

|A|

b21=−a21

|A|, b22=

a11

|A|

Menentukan invers suatu matriks dapat pula dengan menggunakan adjoint

dan determinan dari matriks yang bersangkutan. Hubungan suatu matriks bujur

sangkar yang non singular dengan adjoint dan determinannya adalah:

A−1=adj . A|A|

Latihan.

Carilah nilai invers yang diberikan jika matriks yang tersebut di bawah ini

memiliki invers!

1.[1 23 5 ]

2.[−2 3

3 −5 ]

3.

4.[3 4 −11 0 32 5 −4 ]

5.[ 3 1 5

2 4 1−4 2 −9 ]

34

68

63

6.[1 0 10 1 11 1 0 ]

7.[2 6 62 7 62 7 7 ]

8.[ 1 0 1−1 1 10 1 0 ]

9.[1 0 0 01 2 0 01 2 4 01 2 4 8

]10.

[5 11 7 32 1 4 −53 −2 8 70 0 0 0

]Daftar Pustaka.




Erlangga.



64

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Tujuan Instruksional Umum



menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dapat

menyelesaikan operasi pada vector, dan dapat menginterpretasikannya dengan

baik dan benar.

Tujuan Instruksional Khusus



1. Menyebutkan pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan benar.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Determinan dan

adjoint dengan benar.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Kaidah Cramer

dengan benar.

4. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Operasi Baris

Elementer dengan benar.

65

5. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Eliminasi Gauss

dengan benar.

Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL)

Dalam bagian ini kita akan mengetahui istilah dasar dan kita bahas sebuah

metode untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear.

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh

persamaan berbentuk

a1x + a2y = b.

Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linear dalam peubah

(variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum kita mendefinisikan persamaan

linear dalam n peubah x1,x2, …, xn sebagai persamaan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk

a1x1 + a2x2 + … + an xn = b.

di mana a1,a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta riil.

Contoh:

Persamaan-persamaan linear:

x+4 y=10

y=12

x+2 z+5

x1−2 x2+3 x3+x 4=5x1+x2+. ..+xn=1

Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan suatu hasil kali atau

akar peubah. Semua peubah hanya terdapat sampai angka pertama dan tidak

66

muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau

untuk fungsi eksponensial. Berikut ini contoh yang bukan persamaan linear.

x+4 y2=10

y=12

sin x+2 z+5

√ x1−2 x2+3 x3+x4=5x1+x1 x2=1

Pemecahan persamaan linear a1x1 + a2x2 + … + an xn = b adalah urutan

dari n bilangan s1,s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita

mensubstitusikannya terhadap x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua

pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

Contoh:

Carilah himpunan pemecahan masing-masing persamaan berikut:

4x-2y = 1

x1-4x2 + 7x3 =5

Untuk mencari pemecahan (1), maka kita dapat menetapkan sebarang nilai untuk

x dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari y, atau kita dapat memilih

sebarang nilai untuk y dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari x.

Jika kita ikuti pendekatan pertama dan menetapkan nilai t untuk x, maka kita

dapatkan

x = t, y = 2t-1/2

Rumus-rumus ini menggambarkan himpunan pemacahan tersebut dalam

sebarang parameter t.Pemecahan numerik khusus dapat diperoleh dengan

mensubstitusikan nilai spesifik untuk t. Misalnya, t = 3 menghasilkan pemecahan

x=3, y=11/2 dan t = -1/2 menghasilkan pemecahan x=-1/2,y=-3/2.

67

Jika kita ikuti pendekatan kedua dan menetapkan nilai sebarang t tersebut

untuk y, maka kita dapatkan

x= 12

t + 14

, y=t

Walaupun rumus-rumus ini berbeda dari rumus-rumus yang kita peroleh di atas,

namun rumus-rumus ini menghasilkan himpunan pemecahan yang sama jika t

berubah pada semua bilangan riil yang mungkin.

Untuk mencari himpunan pemecahan persamaan (2) kita dapat

menetapkan sebarang nilai untuk setiap dua peubah dan memecahkan persamaan

tersebut untuk mencari peubah ketiga. Khususnya jika kita menetapkan nilai

sebarang s dan t berturut-turut untuk nilai x2 dan x3 dan memecahkan

persamaan tersebut untuk mencari x1, maka kita peroleh

x1 =5 + 4s -7t, x2 = s, x3 = t

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam

peubah

x1,x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear. Sebuah urutan bilangan-bilangan

s1,s2, …, sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2, …, xn

= sn adalah pemecahan masing-masing persamaan tersebut. Misalnya sistem

4x1-x2 + 3x3 =-1

3x1 + x2 + 9x3 =-4

Mempunyai pemecahan x1= 1, x2 = 2, x3 =-1 karena nilai-nilai ini memenuhi

kedua persamaan tersebut. Akan tetapi x1= 1, x2 = 8, x3 = 1 bukanlah sebuah

pemecahan karena nilai-nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama dari kedua

persamaan dalam sistem tersebut.

68

l1 l2

x

yl1 l2

y

x

l1,l2

y

x

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan

takkonsisten (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka

sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan

kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi dalam memecahkan sistem

persamaan linear, tinjaulah sistem umum dari dua persamaan linear dalam

bilangan-bilangan yang tak diketahui x dan y:

a1x + b1y = c1 (a1, b1 kedua-duanya tidak nol)

a2x + b2y = c2 (a2, b1 kedua-duanya tidak nol)

Grafik persamaan-persamaan ini merupakan garis-garis, kita beri nama

garis-garis tersebut l1 dan l2 . Karena titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika

dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan garis tersebut,

maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan titik

perpotongan dari garis l1 dan l2.. Ada tiga kemungkinan (gambar )

y

(1) (2) (3)

69

1. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2 , dalam kasus tidak ada

perpotongannya, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan

untuk sistem tersebut.

2. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dalam

kasus ini maka sistem tersebut hanya mempunyai satu pemecahan.

3. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dalam kasus ini tak terhingga

banyaknya titik perpotongan, maka sebagai konsekuensinya maka tak

terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut.

Walaupun kita di sini hanya meninjau dua persamaan dengan dua bilangan

yang tak diketahui, namun akan kita perhatikan kelak bahwa hasil yang sama ini

berlaku untuk sebarang sistem; yakni sistem persamaan linear tidak mempunyai

pemecahan, atau mempunyai persis satu pemacahan, atau mempunyai tak

terhingga banyaknya pemecahan.

Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n

bilangan tak diketahui akan ditulis sebagai:

a11 x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=b2

.

.

.am1 x1+am 2 x2+. . .+amn xn=bm

di mana x1,x2, …, xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan a dan b

menyatakan konstanta-konstanta.

Misalnya, sebuah sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan dengan

empat bilangan yang tidak diketahui akan kita tulis sebagai

70

a11x1+a12 x2+a13 x3+a14 x4=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+a24 x4=b2

. a31 x1+a32 x2+a33 x3+a34 x4=b 3

4.4 Sistem Persamaan Linear Homogen.

Sebuah sistem persamaan-persamaan linear dikatakan homogen jika

semua suku konstan sama dengan nol; yakni, sistem tersebut mempunyai bentuk

a11 x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=0a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=0...am1 x1+am2 x2+. . .+amn xn=0

Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena

x1=0 , x,=0, …, xn=0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan tersebut

dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain maka

pemecahan tersebut dinamakan pemecahan tak trivial (non trivial solution).

Karena sistem persamaan linear homogen harus konsisten, maka terdapat

pada pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu

diantara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat

pernyataan berikut.

Untuk sistem persamaan-persamaan linear homogen, maka persis salah

satu diantara pernyataaan berikut benar.

4.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)

71

1. Menggunakan Determinan dan adjoint

Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

berikut:

A=[a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.am1 am2 .. . amn

] , X=¿ [ x1 ¿ ] [ x2¿ ] [. ¿ ] [. ¿ ] [. ¿ ]¿¿

¿¿

sehingga:

[a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.am 1 am2 .. . amn

] .¿ [ x1 ¿ ] [ x2 ¿ ] [ .¿ ] [ .¿ ] [ .¿ ]¿¿

¿

¿

¿

Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan sebagai berikut:

A−1 AX=A−1 BIX=A−1 BX=A−1 B

Matriks A-1 dapat dicari dari invers matriks A. Matriks X dapat dicari,

apabila matriks A nonsingular.

Contoh:

Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:

x1+2 x3=6−3 x1+4 x2+6 x3=30.−x1−2 x2+3 x3=8

72

Penyelesaian:

Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

A=[ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ] , B=[ 6

308 ]

|A|=|1 0 2

−3 4 6−1 −2 3

|

Det (A)=12+0+12-(-8-12-0)=44

adjA=[24 −4 −83 5 −12

10 2 4 ]A−1=adjA

|A|

=[24 −4 −83 5 −1210 2 4 ]

44

=[24

44−4

44−8

443

445

44−12

4410

442

444

44]

Maka

X=[24

44−4

44−8

443

445

44−12

4410

442

444

44].[6

308 ]

=[40

4472

44152

44]

=[10

1118

1138

11]

73

x1=10

11,x2=

1811

,x3=38

11

Contoh:


2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6

.−2 x1+x2+x3=3

Penyelesaian:

A=[2 3 11 1 1−2 1 1 ] ,B=[11

63 ]

A−1=adjA|A|

|A|=|2 3 11 1 1−2 1 1

|=−6

adjA=[0 −2 2−3 4 −13 −8 −1 ]

A−1=[013

−13

12

−23

16

−12

43

16

]maka

X=[013

−13

1

2−2

3

16

−12

43

16

] x [1163 ]

X=[123 ]x1=1,x2=2,x3=3

74

2. Menggunakan Kaidah Cramer.

Teorema (Aturan cramer)

Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n

bilangan tak diketahui sehingga det (A)¿ 0, maka sistem tersebut mempunyai

pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah

x1=det ( A1 )det ( A )

, x2=det ( A2)det ( A )

,⋯, xn=det ( An )det ( A )

Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-

entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri matriks.

Misalkan; x1=

Δ1

Δ, x2=

Δ2

Δ, .. . xn=

Δn

Δ, Δ≠0

dimana:

Δ=|A| dan

Δi= determinan matriks dengan mengganti kolom ke-I matriks A

dengan kolom suku konstan.

Contoh:


2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6

.−2 x1+x2+x3=3

Penyelesaian:

75

A=[2 3 11 1 1−2 1 1 ] ,B=[11

63 ]

A1=[11 3 16 1 13 1 1 ]

A2=[2 11 11 6 1−2 3 1 ]

A3=[2 3 111 1 6−2 1 3 ]

Δ=|2 3 11 1 1−2 1 1

|=−6

Δ1=|11 3 16 1 13 1 1

|=−6

Δ2=|2 11 11 6 1−2 3 1

|=−12

Δ3=|2 3 111 1 6−2 1 1

|=−18

maka

x1=Δ1

Δ=

−6−6

=1 , x2=Δ2

Δ=

−12−6

=2, x3=Δ3

Δ=

−18−6

=3

3. Menggunakan Operasi Baris Elementer.

Sistem ini umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan

ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui

secara sistematis.

76

a. Kalikanlah persamaan dengan konstanta yang taksama dengan nol.

b. Pertukarkanlah dua persamaan tersebut.

c. Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi persamaan yang lainnya.

Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar bersesuaian

dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka

ketiga operasi ini bersesuaian operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.

a. Kalikanlah sebuah baris dengan konstanta yang taksama dengan nol.

b. Pertukarkanlah dua baris tersebut.

c. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris bagi baris yang lainnya.

Contoh:


2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6

.−2 x1+x2+x3=3

Penyelesaian:

[ 2 3 1 111 1 1 6

−2 1 1 3 ]Matriks yang diperbesar

[ 1 1 1 62 3 1 11

−2 1 1 3 ]Tukarkan baris kesatu dengan baris kedua,

[1 1 1 60 1 −1 −10 3 3 15 ]

Tambahkan baris kedua dengan -2 kali baris kesatu,

baris ketiga dengan 2 kali baris kesatu.

77

[1 1 1 60 1 −1 −10 0 6 18 ]

Tambahkan baris ketiga dengan -3 kali baris kedua,

[1 1 1 60 1 −1 −10 0 1 3 ]

Kalikan 1/6 * baris ketiga,

[1 0 2 70 1 −1 −10 0 1 3 ]

Baris kesatu dikurangkan dengan baris kedua,

[1 0 0 10 1 0 20 0 1 3 ]

Tambahkan baris kesatu dengan -2 kali baris ketiga,

baris kedua dengan baris ketiga.

Pemecahan tersebut adalah x1=1 , x2=2, x3=3

4. Menggunakan Eliminasi Gauss.

Prosedur tersebut didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang

diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga persamaaan tersebut

dapat kita pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.

Matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi ( reduced

row-echelon form) memiliki sifat–sifat:

78

a. Jika baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam

baris tersebut adalah 1. (Kita namakan ini 1 utama).

b. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris

seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

c. Dalam sebarang dua matriks yang berurutan yang seluruhnya tak terdiri

dari nol, maka satu utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih

jauh ke kanan dari satu utama dari baris yang lebih tinggi.

d. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di

tempat lain.

Contoh:

Matriks–matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.

[1 0 0 40 1 0 70 0 1 −1 ] ,[1 0 0

0 1 00 0 1 ] ,[0 1 −2 0 1

0 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0

] , [0 00 0 ]

Matriks–matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris,

[1 4 3 70 1 6 20 0 1 5 ] ,[1 1 0

0 1 00 0 0 ] , [0 1 2 6 0

0 0 1 −1 00 0 0 0 1 ]

Prosedur untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi

yang kita namakan eliminasi Gauss-Jordan. Prosedur untuk menghasilkan bentuk

eselon baris dinamakan eliminasi Gauss.

Contoh:


79

2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6

.−2 x1+x2+x3=3

Penyelesian:

[ 2 3 1 111 1 1 6

−2 1 1 3 ]Matriks yang diperbesar

Menjadi bentuk eselon baris

[1 1 1 60 1 −1 −10 0 1 3 ]

Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah:

x1+x2+x3=6x2−x3=−1x3=3

Dengan memecahkannya untuk peubah –peubah utama maka akan menghasilkan:

x1=6−x2−x3

x2=−1+ x3

x3=3

Dengan mensubstitusikan persamaan yang ada di bawahnya ke persamaan yang

ada diatasnya maka diperoleh:

x1=6−x2−x3

x2=2x3=3

Dan dengan mensubstitusikan persaman kedua dan ketiga pada persamaan yang

pertama maka diperoleh

80

x1=1x2=2x3=3

4.6 Rangkuman

Persamaan linear dalam n peubah x1,x2, …, xn sebagai persamaan yang

dapat dinyatakan dalam bentuk

a1x1 + a2x2 + … + an xn = b.

di mana a1,a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta riil.

Walaupun kita di sini hanya meninjau dua persamaan dengan dua bilangan

yang tak diketahui, namun akan kita perhatikan kelak bahwa hasil yang sama ini

berlaku untuk sebarang sistem; yakni sistem persamaan linear tidak mempunyai

pemecahan, atau mempunyai persis satu pemacahan, atau mempunyai tak

terhingga banyaknya pemecahan.

Menyelesaikan Menggunakan Determinan dan adjoint.Sistem

persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: AX=B

Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan sebagai berikut:

A−1 AX=A−1BIX=A−1BX=A−1B

Menyelesaikan Menggunakan Kaidah Cramer

Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n

bilangan tak diketahui sehingga det (A)¿ 0, maka sistem tersebut mempunyai

pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah

x1=det ( A1 )det ( A )

, x2=det ( A2)det ( A )

,⋯, xn=det ( An )det ( A )

81

Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-

entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri matriks.

Menyelesaikan Menggunakan Operasi Baris Elementer. Sistem ini

umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi

untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis. Karena

baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar bersesuaian dengan

persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga

operasi ini bersesuaian operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.

a. Kalikanlah sebuah baris dengan konstanta yang taksama dengan nol.

b. Pertukarkanlah dua baris tersebut.

c. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris bagi baris yang lainnya.

4.7 Latihan.

Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan determinan dan adjoint.

1.

x1+2 x2=72 x1+5 x2=−3

2.

3 x1−6 x2=82 x1+5 x2=1

3.

x1+2 x2+2 x3=−1x1+3 x2+x3=4x1+3 x2+2 x3=3

82

4.

2 x1+x2+x3=73 x1+2 x2+x3=−3x2+x3=5

5.

15

x+15

y+15

z=115

x+15

y−45

z=2

−25

x+110

y+110

z=0

6.

3 w+ x+7 y+9 z=4w+x+4 y+4 z=7−w−2 y−3 z=0−2w−x−4 y−6 z=4

Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan kaidah Cramer!

7.

3 x1−4 x2=52 x1+x2=4

8.

4 x+5 y=211 x+ y+2 z=3x+5 y+2 z=1

9.

x+ y−2 z=12 x− y+z=2x−2 y−4 z=−4

10.

x1−3 x2+x3=42 x1−x2=−24 x1−3 x3=0

11.

2 x1−x2+x3−4 x4=−327 x1+x2+9 x3−x4=143 x1−x2+x3+x4=11

x1+x2−4 x3−2 x4=−4

12.

2 x1−x2+x3=84 x1+3 x2+x3=76 x1+2 x2+2 x3=15

83

Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan matriks yang diperbesar (eliminasi

Gauss-Jordan)

13.

x1−3 x2=b1

4 x1−2 x2=b2

a. b1=1 , b2=4

b. b1=−2 , b2=5

14.

x1−3 x2−x3=b1

−2 x1+7 x2+2 x3=b2

3 x1+2 x2−4 x3=b3

a. b1=0 , b2=1 , b3=0

b. b1=−3 , b2=4 , b3=−5

15.

2 x1−5 x2=b1

x1+3 x2=b2

a. b1=0 , b2=1

b. b1=−4 , b2=6

c. b1=−1 , b2=3

d. b1=−5 , b2=1

16.

x1+2 x2−x3=b1

2 x1+5 x2+4 x3=b2

3 x1+7 x2+4 x3=b3

a. b1=1 , b2=0 , b3=−1

b. b1=0 , b2=1 , b3=1

c. b1=−1 , b2=−1 , b3=0

84

17. Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan metode matriks yang

diperbesar dengan memecahkan sistem dalam kedua bagian secara bersama.

a.

x1−2 x2+x3=−22 x1−5 x2+x3=13 x1−7 x2+2 x3=−1

b.

x1−2x2+x3=12 x1−5 x2+x3=−13 x1−7 x2+2 x3=0

4.8 Daftar Pustaka

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.



85

matematika i. poliban2012/2013

Documents