02 matematika 11a ipa 2013.pdf

1Matematika Kelas XI Program IPA

IndikatorNilai

Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter

IndikatorStandar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai

1. Menggunakan aturan

statistika, kaidah

pencacahan, dan

sifat-sifat peluang

dalam masalah.

1.1 Membaca data dalam

bentuk tabel dan dia-

gram batang, garis,

lingkaran, dan ogive.

1.2 Menyajikan data

dalam bentuk tabel

dan diagram batang,

garis, lingkaran, ogive,

serta penafsirannya.

1.3 Menghitung ukuran

pemusatan, ukuran

letak, dan ukuran pe-

nyebaran data, serta

penafsirannya.

Kritis

Cermat

Membaca data dalam bentuk tabel dan dia-

gram secara kritis sehingga cepat memahami

makna dari data.

Melakukan penghitungan ukuran pemusatan,

letak, dan penyebaran data secara cermat

dan teliti sehingga diperoleh penafsiran yang

tepat.

Pada bab ini akan dipelajari:1. Data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram pastel, histogram, poligon frekuensi, dan

ogive2. Rata-rata, modus, dan median3. Kuartil, desil, dan persentil4. Jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku5. Penyelesaian masalah sehari-hari yang berkaitan dengan statistika

Statistika

Membaca dan menyajikan data

Siswa dapat membaca dan menyajikan data, menghitung nilai ukuran pemusatan

data, nilai ukuran letak data, dan nilai ukuran penyebaran data

Menghitung ukuran pemusatan

data dan penafsirannya

Menghitung ukuran letak data

dan penafsirannya

Menghitung ukuran penyebaran

data dan penafsirannya

• Memahami istilah-istilah dalam

statistika

• Memahami cara mengumpulkan

data

• Membaca data dalam bentuk

tabel dan diagram

• Menyajikan data dalam bentuk

tabel dan diagram

• Memahami arti mean, median,

dan modus

• Menghitung nilai mean, median,

dan modus data tunggal

• Menghitung nilai, mean, median,

dan modus data berkelompok

• Menghitung nilai kuartil data

tunggal

• Menghitung nilai kuartil data

berkelompok

• Menghitung nilai persentil data

tunggal

• Menghitung nilai persentil data

berkelompok

• Menghitung jangkauan,

jangkauan antarkuartil, dan

simpangan kuartil data tunggal

dan data berkelompok

• Menghitung simpangan rata-

rata, ragam, dan simpangan

baku data tunggal dan data

berkelompok

Siswa mampu membaca dan

menyajikan data dalam bentuk

tabel dan diagram

Siswa mampu menghitung nilai

mean, median, dan modus

suatu data

Siswa mampu menghitung

jangkauan, jangkauan antarkuartil,

simpangan kuartil, simpangan rata-

rata, ragam, dan simpangan baku

suatu data

Siswa mampu menghitung nilai

kuartil dan persentil suatu

data

2 Statistika

Banyak Pengunjung

18

10

12

14

13

67

Usia (Tahun)

10–13

14–17

18–21

22–25

26–29

Jumlah

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Titik tengah kelas interval IV

= �

� (61 + 67)

= �

� × 128 = 64

2. Jawaban: b

Kelas interval II adalah 47–53.

Kelas interval III adalah 54–60.

Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53,5.

Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 53,5.

Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi atas

kelas interval II dan sekaligus sebagai tepi bawah

kelas interval III.

3. Jawaban: a

Jumlah siswa = 9 + 9 + 7 + 7 + 4 = 36

Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60

= 7 + 4 = 11.

Persentase banyak siswa yang memiliki berat

badan lebih dari 60 kg = ��

�� × 100%

= 30,555. . .%

≈ 30,56%

4. Jawaban: d

Jumlah telur yang dihasilkan pada periode IV, V,

dan VI = 12 + 20 + 18

= 50 kuintal

5. Jawaban: c

Banyak telur pada periode III = 8 kuintal.

Banyak telur pada periode IV = 12 kuintal.

Persentase kenaikan banyak telur yang dihasilkan

periode III–IV = ��

�

− × 100%

= �

� × 100%

= 50%

6. Jawaban: b

Misalkan Burhan memasukkan bola ke dalam ring

sebanyak n kali.

Jumlah frekuensi bola masuk ke dalam ring = 130.

⇔ 15 + 18 + 19 + 15 + n + 15 + 14 + 16 = 130

⇔ 112 + n = 130

⇔ n = 18

Jadi, Burhan memasukkan bola ke dalam ring

sebanyak 18 kali.

7. Jawaban: c

Persentase juring bulu tangkis

= 100% – (25% + 28% + 9% + 22%)

= 100% – 84%

= 16%

��

�� =

� ��

� ��

⇔ ��

��=

�

��

⇔ n = ��

�� × 50 = 32

Jadi, banyak siswa yang hobi bulu tangkis 32 anak.

8. Jawaban: c

Jadi, banyak pengunjung yang berusia kurang dari

30 tahun 67 orang.

9. Jawaban: e

Poligon frekuensi merupakan diagram yang

menyajikan titik-titik tengah nilai data.

Titik tengah 152–157 = �

�(152 + 157) = 154,5

Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6.

Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan

152–157 cm ada 6 anak.

10. Jawaban: e

Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari).

Banyak siswa yang berat badannya kurang dari

55,5 kg ada 7 anak.

Banyak siswa yang berat badannya kurang dari

60,5 kg ada 13 anak.

55,5 merupakan tepi bawah dan 60,5 merupakan

tepi atas. Dengan demikian kelas intervalnya

56–60.

Banyak siswa yang berat badannya 56–60 kg =

13 – 7 = 6 anak.

B. Uraian

1. a.

Dari tabel kenaikan penjualan buku di atas,

terlihat kenaikan penjualan tertinggi terjadi

pada bulan Mei–Juni sebanyak 25 eksemplar.

b. Banyak penjualan buku pada bulan April = 110

eksemplar.

Banyak penjualan buku pada bulan Mei = 80.

Jumlah Kenaikan Penjualan

(Eksemplar)

120 –100 = 20

110 – 95 = 15

105 – 80 = 25

Bulan

Januari–Februari

Maret–April

Mei–Juni


Persentase penurunan penjualan buku pada bulan

April–Mei

= ��

��

− × 100% =

��

�� × 100% ≈ 27,27%

2. Misal

Banyak hasil ternak ikan dan kolam III = 3n.

Banyak hasil ternak ikan dari kolam VI = 5n.

Jumlah hasil ternak ikan dari keenam kolam = 72

kuintal.

⇔ 8 + 6 + 3n + 16 + 10 + 5n = 72

⇔ 40 + 8n = 72

⇔ 8n = 32

⇔ n = 4

Hasil ternak ikan dari kolam III

= 3n = 3 × 4 = 12 kuintal

Hasil ternak ikan dari kolam VI

= 5n = 5 × 4 = 20 kuintal

Jadi, banyak hasil ternak ikan dari kolam III dan

VI berturut-turut 12 kuintal dan 20 kuintal.

3. Persentase juring 1 dan 4

= 100% – (18% + 20% + 30%) = 32%

Persentase juring 1 = persentase juring 4

= ��

�

= 16%

��

�� =

��

��

⇔ ��

��=

�

��

⇔ n = ��

�� × 63 = 56

Jadi, populasi gajah di daerah 1 adalah 56 ekor.

4.

5.

Tabel distribusi frekuensi:

Histogram:

Frekuensi

Panjang Bambu (m)

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

3,15 4,55 5,95 7,35 17,5

Titik Tengah

3,15

4,55

5,95

7,35

17,5

Panjang Bambu (m)

2,5–3,8

3,9–5,2

5,3–6,6

6,7–8,0

8,1–9,4

Frekuensi

12

16

11

15

20

fi

19 – 17 = 2

17 – 14 = 3

14 – 9 = 5

9 – 7 = 2

7 – 0 = 7

Nilai

41–45

46–50

51–55

56–60

61–65

fk

19

17

14

9

7

Skor

41–45

46–50

51–55

56–60

61–65

fi

2

3

5

2

7

f

7

5

3

2

Nilai

40,5 45,5 50,5 55,5 60,6 65,6

4 Statistika

fi

7

8

3

5

4

3

Usia

Tahun

5

6

7

8

9

10

fk

7

15

18

23

27

30

fi

2

8

12

7

3

32

fk

2

10

22

29

32

Nilai

10–19

20–29

30–39

40–49

50–59

Jumlah

← ��

�!

5. Jawaban: d

Me

= nilai data ke-��

�

+

= nilai data ke-16,5

Nilai data ke-16,5 terletak pada kelas interval

30–39.

Me

= L + ��

��

��

� !

!

⋅ −

· p

= 29,5 +

��

��

��

−

· 10

= 29,5 + ��

��

− · 10

6. Jawaban: c

Modus data terletak pada kelas interval 21–25

karena frekuensi data pada kelas tersebut paling

banyak.

d1 = 25 – 22 = 3

d2 = 25 – 21 = 4

Mo

= L + �

� �

�

� �

+

· p

= 20,5 + �

� �

+

· 5

= 20,5 + �

" · 5

7. Jawaban: d

Kelas interval yang mempunyai frekuensi paling

banyak adalah 50–59 sehingga kelas modus adalah

50–59.

Frekuensi kelas modus = 12

d1

= 12 – 8 = 4

d2

= 12 – 9 = 3

p = 59,5 – 49,5 = 10

L = 49,5

Mo= L +

�

� �

�

� �

+

· p

= 49,5 + �

� �

+

· 10

= 49,5 + ��

"

Jadi, nilai modus data 49,5 + ��

".

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

Modus pada diagram batang adalah nilai data yang

mempunyai batang paling tinggi.

Nilai 6 mempunyai batang paling tinggi, maka

modus data = 6.

2. Jawaban: c

Banyak data = 30.

Oleh karena banyak data genap maka:

Median = �

�(nilai data ke-

��

� + nilai data ke-(

��

�+ 1))

= �

�(nilai data ke-15 + nilai data ke-16)

= �

�(6 + 7) = 6,5 tahun

Jadi, median usia anak 6,5 tahun.

3. Jawaban: c

Rata-rata usia

= � �

�

! #

!

∑∑

= " � � � � " � � � $ � ��

��

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ��

��

+ + + + + =

��

�� = 7 tahun

Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis di

sanggar tersebut 7 tahun.

4. Jawaban: d

Rata-rata hasil panen teh = 75.000

⇔ &"�� $�� "�� $��' ��

�

+ + + + + ⋅= 75.000

⇔ �*��

�

+= 750

⇔ 3.300 + 2n = 4.500

⇔ n = 1.200

⇔ n = 600

Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton.

Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton.

Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008

= $�*�� *��

��*��

− × 100%

= ��*��

��*�� × 100%

≈ 58,3%


10. Jawaban: e

Rata-rata usia karyawan bagian produksi�

� ��

�

��

! #

!

=

=

⋅∑

∑ =

�*��

�� = 35,5 tahun

B. Uraian

1. Misal banyak siswa yang memerlukan waktu

5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukan

waktu 20 menit = n.

Rata-rata waktu = 11,9

⇔ ��

� � ��

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ + + + + = 11,9

⇔ ��

��

+ + + ++ = 11,9

⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38)

⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2

⇔ 1,2 n = 7,2

⇔ n = 6

Jumlah siswa = 50

Median = �

�(nilai data ke-

��

� + nilai data ke-(

��

� + 1))

= �

�(nilai data ke-25 + nilai data ke-26)

= �

�(12 + 12)

= 12 menit

Jadi, median waktu yang diperlukan siswa dari

rumah ke sekolah 12 menit.

8. Jawaban: d

Selisih terbesar antara dua fk yang berdekatan

= 20 – 8 = 12 sehingga frekuensi kelas modus = 12.

Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mem-

punyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5.

Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus

= 8 – 5 = 3.

Frekuensi kelas interval setelah kelas modus

= 26 – 20 = 6.

Dengan demikian diperoleh:

L = 13,5

p = 16,5 – 13,5 = 3

d1

= 12 – 3 = 9

d2

= 12 – 6 = 6

Mo

= L + �

� �

�

� �

+

· p

= 13,5 + $

$ �

+

· 3

= 13,5 + $

�

= 13,5 + 1,8 = 15,3

Jadi, modus panjang ikan 15,3 cm.

9. Jawaban: c

Banyak data = 72

Median = nilai data ke-�

�(72 + 1)


Nilai data ke-36,5 terletak pada kelas interval yang

memuat titik tengah 37.

Tepi bawah kelas median L = �

�(34 +37) = 35,5

Tepi atas kelas median = �

�(37 + 40) = 38,5

p = 38,5 –35,5 = 3

��! = 18

��! = 12 + 15 = 27

Me

= L + ��

�

�

��

�

� !

!

−

· p

= 35,5 + �

�"� �"

��

⋅ −

· 3

= 35,5 + �

� = 35,5 + 1,5 = 37

Jadi, median volume benda 37 cm3.

fi

12

15

18

8

6

13

fk

12

27

45

53

59

72

xi

31

34

37

40

43

46

← Kelas Me

fi

6

8

9

18

13

6

�

�� / �

! / ��∑

fi x

i

132

216

288

666

546

282

�

� �� /�

!# / �*��∑

Titik Tengah (xi)

�

�(19,5 + 24,5) = 22

�

�(24,5 + 29,5) = 27

�

�(29,5 + 34,5) = 32

�

�(34,5 + 39,5) = 37

�

�(39,5 + 44,5) = 42

�

�(44,5 + 49,5) = 47

fi

fk

Waktu

(Menit)

← Letak median

5

8

10

12

15

20

6

5

12

10

11

6

6

11

23

33

44

50

6 Statistika

fi

3

5

3

2

4

5

fk

3

8

11

13

17

22

xi

202

207

212

217

222

227

← Kelas Me

2. Kelas modus adalah 82–98.

L = 81,5

d1

= 22 – (3n + 1) = 21 – 3n

d2

= 22 – (2n + 1) = 21 – 2n

p = 98,5 – 81,5 = 17

Mo

= L + �

� �

�

� �

+

· p

⇔ 85,75 = 81,5 + ��

��

− − + −

· 17

⇔ 4,25 = ��

��

− −

· 17

⇔ 0,25 = ��

��

−−

⇔ 0,25(42 – 5n) = 21 – 3n

⇔ 10,5 – 1,25n = 21 – 3n

⇔ 1,75n = 10,5

⇔ n = 6

Banyak data = 100


�(100 + 1)



82–98.

L = 81,5

��! = 22

��! = 20 + 19 = 39

Me

= L + ��

�

��

�

� !

!

−

· p

= 81,5 +

�

�� $

��

⋅ −

· 17

= 81,5 + ��

�� · 17

= 81,5 + 8,5

= 90

Jadi, median tebal buku 90.

3. Kelas modus pada histogram adalah kelas interval

yang mempunyai batang tertinggi.

Kelas interval dengan tepi bawah 80,5 dan tepi atas

90,5 mempunyai batang tertinggi, maka kelas

modus adalah 81–90.

L = 80,5

d1

= 10 – 2 = 8

d2

= 10 – 6 = 4

p = 90,5 – 80,5 = 10

Mo

= L + �

� �

�

� �

+

· p

= 80,5 + �

� �

+

· 10

= 80,5 + �

� · 10

≈ 80,5 + 6,67

= 87,17

Jadi, modus data 87,17.

4.

Banyak data n = 22


�(22 + 1)



memuat titik tengah 217 gram.

L = �

�(212 + 217) = 214,5

��! = 2

��! = 3 + 5 + 3 = 11

p = �

�(217 + 222) – 214,5

= 219,5 – 214,5

= 5

Me

= L + ��

�

��

�

� !

!

−

· p

= 214,5 +

�

��

�

⋅ −

· 5

= 214,5 + 0

= 214,5

Jadi, median berat apel 214,5 kg.

fi

fk

Tebal Buku

(Halaman)

← Kelas Me

48–64

65–81

82–98

99–115

116–132

133–149

20

19

22

13

15

11

20

39

61

74

89

100


5.fi

100 – 85 = 15

85 – 68 = 17

68 – 47 = 21

47 – 27 = 20

27 – 11 = 16

11 – 0 = 11

�

�� / �

! / ��∑

fix

i

180

289

462

540

512

407

�

� �� /�

!# / �*�$�∑

Titik Tengah (xi)

�

�(9,5 + 14,5) = 12

�

�(14,5 + 19,5) = 17

�

�(19,5 + 24,5) = 22

�

�(24,5 + 29,5) = 27

�

�(29,5 + 34,5) = 32

�

�(34,5 + 39,5) = 37

Rata-rata usia karyawan bagian produksi

�

� ��

�

��

! #

!

=

=

⋅∑

∑ =

�*�$�

�� = 23,9 cm

Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota

tersebut 23,9 cm.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

Data yang telah diurutkan sebagai berikut.

60 65 66 68 72 78 80 83 86 88 90

n = 11

Q1

= nilai data ke-� �

�

+


�

+

= nilai data ke-3

Nilai data ke-3 = 66.

Jadi, kuartil bawah data tersebut 66.

2. Jawaban: e

n = 74

D9

= nilai data ke-$

��(74 + 1)


= x67

+ 0,5(x68

– x67

)

= 40 + 0,5 (41 – 40)

= 40 + 0,5 = 40,5

Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5.

3. Jawaban: d

# = " " � � "

�

+ + + + =

��

� = 7

S =

��

� �&# #'

�

=∑ −

= � � � � �&" "' &" "' &� "' &� "' &" "'

�

− + − + − + − + −

= � � � � �

�

+ + + +

= �

� ×

�

�

= �

��

Jadi, simpangan bakunya �

�� .

4. Jawaban: c

Q1

= nilai data ke-��;<;�

�

= nilai data ke-8

fi

3

7

10

12

16

19

7

Ukuran Sepatu

35

36

37

38

39

40

41

fk

3

10

20

32

48

67

74

fi

6

4

8

6

3

4

Tinggi Badan (cm)

160–163

164–167

168–171

172–175

176–179

180–183

fk

6

10

18

24

27

31

8 Statistika

Nilai data ke-8 terletak di kelas interval 164–167.

Q1

= L1 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 163,5 +

��

��

�

−

· 4

= 163,5 + (7,75 – 6)

= 163,5 + 1,75

= 165,25

Jadi, kuartil pertama data tersebut 165,25.

5. Jawaban: d

n = 47

Q1


�

= nilai data ke-12


Q1

= L1 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 87,5 +

�

��

�

−

· 4

= 87,5 + ��

�

− · 4

= 87,5 + 0,75

= 88,25

Q3

= nilai data ke-� � ��

�

= nilai data ke-36


Q3

= L3 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 99,5 +

��

��

�

−

· 4

= 99,5 + ��

�

− · 4

= 99,5 + 2,25

= 101,75

Jangkauan antarkuartil:

H = Q3 – Q

1

= 101,75 – 88,25

= 13,5

Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5

6. Jawaban: a

D6

= nilai data ke-�

��(39 + 1)

= nilai data ke-�

�� × 40

= nilai data ke-24


D6

= L6

+ ��

�

�

�

��

��

�

⋅ −

· p

= 16,5 + �

��

��

⋅ −

· 8

= 16,5 + ��

��

· 8

= 16,5 + 4,7 = 21,2


7. Jawaban: a

P35


��(20 + 1)


Nilai data ke-7,35 terletak di kelas interval yang

mempunyai tepi bawah 30,5 dan tepi atas 40,5.

n = 20

�� = 5

�� = 9 – 5 = 4

p = 40,5 – 30,5 = 10

P35

= L35

+ ��

��

�

�

��

��

�

⋅ −

· p

= 30,5 +

��

��

�

⋅ −

· 10

= 30,5 + 0,5 · 10

= 30,5 + 5

= 35,5

Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5.

fi

3

11

16

6

1

2

Banyak Pengunjung

1–8

9–16

17–24

25–32

33–40

41–48

fk

3

14

30

36

37

39fk

5

11

15

25

33

37

47

Nilai

80–83

84–87

88–91

92–95

96–99

100–103

104–107

fi

5

6

4

10

8

4

10


Simpangan kuartil:

Qd =

�

�(Q

3 – Q

1) =

�

�(29,39 – 12,17)

= �

�(17,22) = 8,61

9. Jawaban: a

x– =

�

� ��

�

��

��

�

=

=

∑

∑ =

��

��= 21

�

� ��

� � � � �=∑ − = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| +

4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21|

= 8 · 13 + 6 · 8 + 5 · 3 + 4 · 2 + 9 · 7

+ 8 · 12

= 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96

= 334

SR =

�

� ��

�

��

� � � � �

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 8,35

10. Jawaban: d

�

� ��

� � ��=∑ − 2 = 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18 – 21)2

+ 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2

= 8 (–13)2 + 6(–8)2 + 5(–3)2 + 4 · 22

+ 9 · 72 + 8 · 122

= 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152

= 3.390

Ragam:

S2 =

��

� ��

�

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 84,75

B. Uraian

1.

8. Jawaban: c

Banyak data n =40

Q1

= nilai data ke-�

�(40 + 1)




L1 =

�

�(8 + 13) = 10,5

�� = 8

�� = 6

p = �

�(13 + 18) –

�

�(8 + 13)

= 15,5 – 10,5 = 5

Q1

= L1 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 10,5 +

�

��

�

⋅ −

· 5

= 10,5 + �

� · 5

≈ 10,5 + 1,67 = 12,17

Q3

= nilai data ke-�

�(40 + 1)




L3

= �

�(23 + 28) = 25,5

�� = 8 + 6 + 5 + 4 = 23

�� = 9

Q3

= L3 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 25,5 +

�

��

�

⋅ −

· 5

= 25,5 +

� · 5

≈ 25,5 + 3,89 = 29,39

← Kelas Q1

← Kelas Q3

fk

8

14

19

23

32

40

fi

8

6

5

4

9

6

xi

8

13

18

23

28

33x

i

8

13

18

23

28

33

�

� �=∑

fi

8

6

5

4

9

8

40

fix

i

64

78

90

92

252

264

840

xk

7

10

12

13

17

20

21

23

Usia (Tahun)

10

11

12

13

14

15

16

17

Jumlah

fi

7

3

2

1

4

3

1

2

23

10 Statistika

fi

2

2

3

4

3

4

2

20

Panjang (cm)

45–54

55–64

65–74

75–84

85–94

95–104

105–114

� �=∑

xi

49,5

59,5

69,5

79,5

89,5

99,5

109,5

fi · x

i

99

119

208,5

318

268,5

398

219

1.630

S =

��

� ��

�

��

� � � � �

�

=

=

−∑

∑

= ��

�� = �� = � �⋅ = � �

Jadi, simpangan baku data � � .

3.

a. � =

� ��

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑

= ��

�� = 81,5

S2=

�

� ��

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑

= ��

�� = 326

Jadi, variansi data tersebut 326.

b. S = �� = �� ≈ 18,1

Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1.

4. a.

D8 = nilai data ke-

�

��(60 + 1)


Nilai data ke-48,8 terletak di kelas interval

22–25.

Q1


�

+


�

= nilai data ke-6

= 10

Q3

= nilai data ke-� � ��

�

+


�

= nilai data ke-18

= 15

H = Q3 – Q

1 = 15 – 10 = 5

Jadi, jangkauan antarkuartil data 5.

2.

a. x– =

�

� ��

�

��

��

�

=

=

∑

∑ =

��

��= 21

�

� ��

� � � � �=∑ − = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21|

+ 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21|

= 8 · 6 + 5 · 3 + 3 · 1 + 5 · 3 + 6 · 4

+ 3 · 9

= 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27

= 132

SR =

�

� ��

�

��

� � � � �

�

=

=

−∑

∑

= ��

�� = 3,3

Jadi, simpangan rata-rata data 3,3.

b.� �

� ��

� � ��=∑ − = 8(15 – 21)2 + 5(18 – 21)2

+ 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2

+ 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2

= 8(–6)2 + 5(–3)2 + 3(–1)2 + 5 · 32

+ 6 · 42 + 3 · 92

= 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243

= 720

fi

8

5

3

5

6

3

30

Banyak Pengunjung (xi)

15

18

20

24

25

30

�

� �=∑

fix

i

120

90

60

120

150

90

630

xi – xx–

–32

–22

–12

–2

8

18

28

fi(x

i – xx–)2

2.048

968

432

1 6

192

1.296

1.568

6.520

← Kelas P39

fi

9

6

7

21

9

8

fk

9

15

22

43

52

60

Tinggi (m)

6–9

10–13

14–17

18–21

22–25

26–29

← Kelas D8


D8 = L

8 +

��

�

�

�

�

��

�

⋅ −

· p

= 21,5 + ��

�

− · 4

= 21,5 + �

� · 4

≈ 21,5 + 2,2 = 23,7

Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm.

b. P79


��(60 + 1)



18–21.

L39

= 17,5

�� = 22

�� = 21

P39

= L39

+ ��

��

�

�

��

��

�

⋅ −

· p

= 17,5 + ��

��

��

⋅ −

· 4

= 17,5 + ��

�� · 4

≈ 17,5 + 0,27 = 17,77

Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77.

xi

12

17

22

27

32

37

Nilai

10–14

15–19

20–24

25–29

30–34

35–39�

� �=∑

fi

3

6

2

1

5

3

20

fi · x

i

36

102

44

27

160

111

480

fi

3

6

2

1

5

3

20

Nilai

10–14

15–19

20–24

25–29

30–34

35–39�

� �=∑

xi

12

17

22

27

32

37

xi – �

–12

–7

–2

3

8

13

fi(x

i – � )2

432

294

8

9

320

507

1.570

Penurunan hasil panen terendah terjadi pada tahun

2006–2007.

Persentase penurunan hasil panen tahun 2006–2007

= ��

��

− × 100%

= ��

�� × 100% = 12,5%

3. Jawaban: c

Misalkan banyak angkatan kerja di provinsi

Sumatra Selatan = x

23.370.000 = (2,07 + 6,41 + 2,28 + 2,59 + 1,53 +

x + 0,89 + 3,85) × 1.000.000

⇔ 23,37 = 19,62 + x

⇔ x = 3,75

Jadi, banyak angkatan kerja di Provinsi Sumatra

Selatan 3,75 juta atau 3.750.000 orang.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

Penurunan hasil panen tertinggi terjadi pada bulan

VI–VIII.

Banyak penurunan = 15 – 10 = 5 ton.

2. Jawaban: c

Kenaikan hasil panen tertinggi terjadi pada tahun

2008–2009.

Persentase kenaikan hasil panen tahun 2008–2009

= ��

��

− × 100%

= ��

�� × 100%

= 312,5%

5. a.

� =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑ =

��

�� = 24

Jadi, rata-rata data 24.

b.

S2 =

��

� ��

�

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 78,5

Jadi, variansi data tersebut 78,5.

12 Statistika

fi

3

6

5

7

9

Tinggi Tanaman (cm)

10–13

14–17

18–21

22–25

26–29

fk

3

9

14

21

30– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Tinggi

tanaman

kurang

dari 26 cm

4. Jawaban: d

Jumlah nilai ekspor

= (2.615 + 11.991,2) + (2.612,5 + 11.802,8)

+ (3.061,9 + 13.304,1) + (x + 12.925,9)

+ (4.072,8 + 14.214,6)

⇔ 80.229,1 = 76.600,8 + x

⇔ x = 3.628,3

Jadi, nilai ekspor migas pada bulan April 3.628,3

juta dolar Amerika.

5. Jawaban: a

Misalkan seluruh alat yang digunakan = y.

Persentase juring laptop = 25%.

Pengguna laptop = 25 orang sehingga:

25 = 25% × y

⇔ 25 = ��

�� × y

⇔ y = 100

Perentase juring tablet

= 100° – (15% + 25% + 45% + 10%)

= 100% – 95%

= 5%

Banyak pengguna tablet = 5% × 100

= 5 orang

6. Jawaban: c

Juring dusun D dan dusun C menempati �

� lingkaran,

besar sudut juring dusun D dan dusun C = 180°.Besar sudut juring dusun D= 180° – 80°= 100°Juring dusun A, dusun B, dan dusun E menempati

�

� lingkaran, besar sudut juring dusun A, dusun B,

dan dusun E = 180°.

Besar sudut juring dusun A

= 180° – (60° + 50°)

= 180° – 110° = 70°

��!� �"#"$ &"��' #"�"��

��!� �"#"$ &"��' #"�"� * =

�!�/!��!;��#��#"�"��

�!�/!��!;��#��#"�"��*

⇔ ��

�

°°

= ��

�

⇔ n = �

��

°°

× 50

⇔ n = 35

Jadi, banyak sapi di dusun A ada 35 ekor.

7. Jawaban: d

Misal N = hasil penjualan seluruh barang

Persentase juring minyak

= 100% – (6% + 39% + 21% + 14%)

= 100% – 80%

= 20%

fi

8

12

20

11

9

Jarak per Liter Bensin

40–45

46–51

52–57

58–63

64–69

fk

8

20

40

51

60

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Tidak irit

Irit

Penjualan minyak = 1.260.000 + penjualan beras

⇔ 20% × N = 1.260.000 + 6% × N

⇔ (20% – 6%) N = 1.260.000

⇔ 14% N = 1.260.000

⇔ N = ��

�� × 1.260.000

= Rp9.000.000,00

Penjualan alat tulis = 21% × N

= ��

�� × 9.000.000

= Rp1.890.000,00

Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyak

Rp1.890.000,00.

8. Jawaban: c

Sepeda motor yang tidak tergolong irit mengguna-

kan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurang

dari 58 km.

Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada

40 unit.

Persentase banyak sepeda motor yang tidak tergolong

irit = ��

�� × 100%

= 66,67%

9. Jawaban: c

Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai

berikut.

Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurang

dari 26 cm adalah 21.

Persentase = ��

�� × 100%

= 70%

10. Jawaban: c

Frekuensi kumulatif kurang dari 164,5 = 65.

Frekuensi kumulatif kurang dari 159,5 = 25.

Dari grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatif

ini paling besar, yaitu 65–25 = 40.

Jadi, tinggi badan siswa terbanyak adalah

160–164 cm.


11. Jawaban: b

Oleh karena banyak data genap, nilai median:

Me

= #!$! ��<�� #!$! ��<��

�

+

= � �

�

+ = 27

Jadi, median data tersebut 27.

12. Jawaban: c

� = ��

�

+ +

= ��

� = 242

Jadi, rata-rata hasil susu kambing etawa pada

3 periode terakhir 242 liter.

13. Jawaban: c

Sumbangan kelompok I:

x1

= 6 × 5.000

= Rp30.000,00

Sumbangan kelompok II:

x2

= 8 × 4.500

= Rp36.000,00

Sumbangan kelompok III:

x3

= 10 × 3.500

= Rp35.000,00

Sumbangan kelompok IV:

x4

= 11 × 4.000

= Rp44.000,00

Sumbangan kelompok V:

x5

= 15 × 2.000

= Rp30.000,00

Rata-rata sumbangan seluruh kelompok:

� = � � � � ��

� � ��

+ + + ++ + + +

= ��

��

+ + + +

= ��

�� = 3.500

Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok

Rp3.500,00.

14. Jawaban: a

Banyak siswa di kelas A = nA = 15

Banyak siswa di kelas B = nB = 10

Banyak siswa di kelas C = nC = 25

Rata-rata nilai gabungan = � = 58,6

Rata-rata nilai di kelas A = �A = 62

Rata-rata nilai di kelas C = �C = 60

� = * * � � > >

* � >

� � � � � �

� � �

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

⇔ 58,6 = ��

��

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

⇔ 58,6 = ��

��

+ ⋅

⇔ 2.930 = �� + 2.430

⇔ �� = 500

⇔ �B

= 50

Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50.

15. Jawaban: c

Me


�

+


Nilai data ke-15,5 terletak di kelas interval 11–15.

Me

= L + ?�

�

�

?

�

��

�

−

· p

= 10,5 + �

��

��

⋅ −

· 5

= 10,5 + �

�� · 5

= 10,5 + 3 = 13,5

Jadi, mediannya adalah 13,5.

16. Jawaban: e

� =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑

= ��

�� = 12,5

Jadi, rata-rata poin pemain tersebut 12,5.

fi

20

14

21

30

6

9

Data

25

26

27

28

29

30

fk

20

34

55

85

91

100

fi

4

5

10

6

5

30

fk

4

9

19

25

30

→ Kelas Median

Nilai

1–5

6–10

11–15

16–20

21–25

Jumlah

xi

6

9

12

15

18

21

Poin

5–7

8–10

11–13

14–16

17–19

20–22�

� �=∑

fi

6

5

4

10

3

2

30

fi · x

i

36

45

48

150

54

42

375

14 Statistika

17. Jawaban: b

Mo terletak di kelas interval 58–63 karena

frekuensinya paling besar.

Mo

= L + �

� �

#

# #

+

· p

= 57,5 + ��

��

− − + −

· 6

= 57,5 + �

� �

+

· 6

= 57,5 + ��

�

Jadi, modus dari data pada tabel adalah 57,5 + ��

� kg.

18. Jawaban: d

Median = nilai data ke-��

�



Me

= L + ?�

�

�

?

�

��

�

−

· p

= 44,5 + ��

�

− · 5

= 44,5 + 1

= 45,5

Jadi, median data tersebut 45,5 cm.

19. Jawaban: e

� =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑ =

��

�� = 9,15

Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15.

20. Jawaban: c

Mo terletak pada kelas interval yang memuat titik

tengah 114,5.

Tepi bawah kelas modus L = �

�(104,5 + 114,5)

= �

�(219) = 109,5

Tepi atas kelas modus = �

�(114,5 + 124,5)

= �

�(239) = 119,5

p = 119,5 – 109,5 = 10

Mo

= L + �

� �

#

# #

+

· p

= 109,5 + ��

��

− − + −

· 10

= 109,5 + ��

�� · 10

= 109,5 + 6

= 115,5

Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak

115,5 kg.

21. Jawaban: d

Rata-rata berat badan siswa:

x– =

�

� ��

�

��

��

�

=

=

∑

∑

= ��

�� = 65 kg

22. Jawaban: b

Banyak data n = 5 + 11 + 10 + 6 + 8 = 38


�(38 + 1)



mempunyai titik tengah 32,5.

xi

3

6

9

12

15

Skor

2–4

5–7

8–10

11–13

14–16

�

� �=∑

fi · x

i

6

30

54

48

45

183

fi

2

5

6

4

3

20

fi

4

6

8

10

8

4

40

fix

i

208

342

496

670

576

308

2.600

xi

�

�(49,5 + 54,5) = 52

�

�(44,5 + 59,5) = 57

�

�(59,5 + 64,5) = 62

�

�(64,5 + 69,5) = 67

�

�(69,5 + 74,5) = 72

�

�(74,5 + 79,5) = 77

�

� @ �∑

xi

3

9

14

19

26

30

Tinggi (cm)

30–34

35–39

40–44

45–49

50–54

55–59

fi

3

6

5

5

7

4


L = �

�(28,5 + 32,5) = 30,5

?�� = 5 + 11 = 16

�?� = 10

p = �

�(32,5 + 36,5) –

�

�(28,5 + 32,5)

= 34,5 – 30,5

= 4

Me

= L + ?�

�

��

?

� �

�

−

· p

= 30,5 +

�

��

��

⋅ −

· 4

= 30,5 + �

�� · 4

= 30,5 + 1,6 = 32,1

Jadi, median data 32,1.

23. Jawaban: b

Data setelah diurutkan:

2 2 4 5 5 5 6 6 7 7 8

Q1


�

= nilai data ke-3 = 4

Q3

= nilai data ke-� ��

�

= nilai data ke-9 = 7

Jadi, kuartil atas dan kuartil bawah berturut-turut

7 dan 4.

24. Jawaban: c

Data setelah diurutkan:

5 6 7 7 9 9 10 10

11 12 12 15 18 18 21 21

Q1


�


= x4 + 0,25(x

5 – x

4) = 7 + 0,25(9 – 7)

= 7 + 0,5 = 7,5

Q3


�


= x12

+ 0,75(x13

– x12

) = 15 + 0,75(18 – 15)

= 15 + 2,25 = 17,25

Simpangan kuartil = �

�(Q

3 – Q

1)

= �

�(17,25 – 7,5)

= �

�(9,75) = 4,875

Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875.

25. Jawaban: a

n = 23

Q1


�

= nilai data ke-6


Q1 = L

1 +

��

�

�

�

�

��

�

−

· p

= 6,5 + ��

��

�

−

· 5

= 6,5 + ��

�

−

· 5

= 6,5 + 3,75 = 10,25

Jadi, kuartil bawah data tersebut 10,25 tahun.

26. Jawaban: c

Q3


�

+



70–79.

Q3

= L3 + ��

�

�

�

�

��

�

⋅ −

· p

= 69,5 +

�

��

�

⋅ −

· 10

= 69,5 +

� · 10 = 69,5 + 8,75 = 78,25

Jadi, kuartil atas dari data pada tabel adalah 78,25.

27. Jawaban: d

← Kelas Q1

fk

2

7

10

14

16

17

23

Usia (Tahun)

2–6

7–11

12–16

17–21

22–26

27–31

32–36

fi

2

5

3

4

2

1

6

Nilai

40–49

50–59

60–69

70–79

80–89

Frekuensi

7

6

10

8

9

fk

7

13

23

31

40

← Kelas kuartil atas

← Kelas D3

fk

4

7

9

15

18

20

Nilai

15–17

18–20

21–23

24–26

27–29

30–32

fi

4

3

2

6

3

2

16 Statistika

D3

= nilai data ke-�

��(20 + 1)

= nilai data ke-6,3

Nilai data ke-6,3 terletak pada kelas interval 18–20.

D3

= L3 + ��

�

�

�

�

��

�

⋅ −

· p

= 17,5 + � �

�

−

· 3

= 17,5 + 2

= 19,5


28. Jawaban: a

P30


��(30 + 1)

= nilai data ke-9,3


P30

= L30

+ ��

��

�

�

��

��

�

⋅ −

· p

= 27,5 +

��

��

�

−

· 4

= 27,5 + 2

= 29,5

Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5.

29. Jawaban: d

� =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑ =

��

�� = 23

S2 =

��

� ��

�

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 9,9

Jadi, ragam data tersebut 9,9.

30. Jawaban: c

x– =

�

� ��

�

��

��

�

=

=

∑

∑ =

��

��= 23

�

� ��

� � � � �=∑ − = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23|

+ 12|27 – 23| + 18|32 – 23|

= 15 · 11 + 6 · 6 + 9 · 1 + 12 · 4 + 18 · 9

= 165 + 36 + 9 + 48 + 162

= 420

Simpangan rata-rata:

SR =

�

� ��

�

��

� � � � �

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 7

B. Uraian

1. Diagram batang:

Diagram lingkaran:

fi

9

4

5

2

20

Tinggi (meter)

19–21

22–24

25–27

28–30

�

� �=∑

xi

20

23

26

29

fi · x

i

180

92

130

58

460

xi – x–

–3

0

3

6

fi(x

i – x–)2

81

0

45

72

198

fi

15

6

9

12

18

60

fix

i

180

102

198

324

576

1.380

xi

�

�(9,5 + 14,5) = 12

�

�(14,5 + 19,5) = 17

�

�(19,5 + 24,5) = 22

�

�(24,5 + 29,5) = 27

�

�(39,5 + 34,5) = 32

�

� @ �∑

Ba

ny

ak

S

isw

a

Sa

str

a

Fis

ip

Eko

no

mi

Te

kn

ik

Pera

nia

n

50

40

10

30

20

0

Fakultas

PertanianFakultas

Sastra

Fakultas

Fisip

Fakultas

Ekonomi

Fakultas

Teknik

60° 70°

80°100°

50°

Fakultas

← Kelas P30

fk

3

7

11

21

23

30

Usia (Tahun)

20–23

24–27

28–31

32–35

36–39

40–43

fi

3

4

4

10

2

7


2.

� =

� ��

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑

= ��

�� = 7,5

Benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas

rata-rata berat benda adalah benda yang

mempunyai berat minimal 8,5 kg.

Banyak benda yang mempunyai berat minimal

8,5 kg = 4 + 8 = 12.

Jadi, terdapat 12 benda yang mempunyai berat

minimal 1 kg di atas rata-rata berat.

3. a.

x– =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑

= ��

�� = 4

Jadi, rata-rata data tersebut 4.

b.

Ragam:

S2 =

��

� ��

�

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 1,5

Jadi, ragam data tersebut 1,5.

4. a.

� =

�

� ��

�

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑

⇔ 168,4 = ��

��

++

⇔10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x

⇔ 100,8 = 5,6x

⇔ x = 18

Jadi, banyak orang bertinggi badan antara

171 cm dan 177 cm ada 18 orang.

b. Orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm

adalah orang yang bertinggi badan 164–170 cm,

171–177 cm, dan 178–184 cm.

Banyak orang yang bertinggi badan lebih dari

163 cm = 16 + 18 + 20 = 54 orang.

Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebih

dari 163.

5. Me


�

+

= nilai data ke-18

Nilai data ke-18 terletak pada kelas interval yang

mempunyai tepi bawah 64,5 dan tepi atas 69,5.

L = 64,5

p = 69,5 – 64,5

= 5

?�� = 13

�?� = 23 – 13

= 10

Me

= L + ?�

�

�

?

�

��

�

−

· p

= 64,5 +

��

��

��

−

· 5

= 64,5 +

�

�

�� · 5

= 64,5 + 2,25 = 66,75

Jadi, median data di atas adalah 66,75 cm.

xi

4

5

6

7

8

9

10

� �=∑

fi

2

6

4

1

5

4

8

30

fi · x

i

8

30

24

7

40

36

80

225

Nilai (xi)

2

3

4

5

6

�

� �=∑

fi

3

4

5

6

2

20

fi · x

i

6

12

20

30

12

80

fi

3

4

5

6

2

20

Nilai (xi)

2

3

4

5

6

�

� �=∑

xi – x

–

–2

–1

0

1

2

fi (x

i – x

–)2

12

4

0

6

8

30

xi

153

160

167

174

181

Tinggi Badan (cm)

150–156

157–163

164–170

171–177

178–184

�

� �=∑

fi · x

i

2.448

1.600

2.672

174x

3.620

10.340 + 174x

fi

16

10

16

x

20

62 + x

18 Statistika

6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak

adalah 28. Berarti modus data terletak di kelas

interval yang memuat titik tengah 28.

Tepi bawah kelas modus L = �

�(23 + 28) = 25,5

Tepi atas kelas modus = �

�(28 + 33) = 30,5

p = 30,5 – 25,5 = 5

d1 = 13 – 4 = 9

d2 = 13 – 7 = 6

Mo

= L + �

� �

#

# #

+

· p

= 25,5 + �

� �

+ · 5

= 25,5 + 3

= 28,5

Jadi, modus data 28,5.

7.

Q1 = nilai data ke-

�

�(80 + 1)



Q1

= L1 +

��

�

��

�

� �

�

−

· p

= 148,5 + �

��

��

⋅ −

· 4

= 148,5 + �

�� · 4

= 148,5 + 1

= 149,5

Q3

= nilai data ke-�

�(80 + 1)



Q3

= L3

��

�

��

�

� �

�

−

· p

= 156,5 + �

��

��

⋅ −

· 4

= 156,5 +

�� · 4

= 156,5 + 2

= 158,5

Simpangan kuartil:

Qd

= �

�(Q

3 – Q

1)

= �

�(158,5 – 149,5)

= �

�(9) = 4,5

Jadi, simpangan kuartil tinggi siswa putri 4,5 cm.

8.

D7

= nilai data ke-

��(70 + 1)


Nilai data ke-49,7 terletak pada kelas interval 37–41.

D7

= L7 +

�

�

�

��

�

⋅ −

· p

= 36,5 +

��

��

⋅ −

· 5

= 36,5 + �

��

· 5

= 36,5 + 1 = 37,5

Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5.

9.

P30


��(40 + 1)



105–109.

P30

= L30

+ ��

��

�

�

��

��

�

⋅ −

· p

= 104,5 + ��

��

�

⋅ −

· 5

= 104,5 + ��

�

− · 5 = 104,5 + 4 = 108,5

Jadi, nilai persentil ke-30 data tersebut 108,5.

← Kelas D7

fi

10

5

8

6

18

10

13

Nilai

12–16

17–21

22–26

27–31

32–36

37–41

42–46

fk

10

15

23

29

47

57

70

← Kelas Me

fi

8

5

3

10

1

6

7

Berat (gram)

100–104

105–109

110–114

115–119

120–124

125–129

130–134

fk

8

13

16

26

27

33

40

← Kelas Q1

← Kelas Q3

f

15

20

18

14

8

5

Tinggi Badan (cm)

145–148

149–152

153–156

157–160

161–164

165–168

fk

15

35

53

67

75

80


fi

6

10

5

15

20

5

9

70

Panjang (cm)

10–14

15–19

20–24

25–29

30–34

35–39

40–44

� �=∑

xi

12

17

22

27

32

37

42

fi · x

i

72

170

110

405

640

185

378

1.960

10. a.

� =

� ��

��

� �

�

=

=

⋅∑

∑ =

��

� = 28

Jadi, rata-rata panjang potongan bambu

28 cm.

b. �

� ��

� � ��=∑ − = 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2

+ 5(22 – 28)2 + 15(27 – 28)2

+ 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2

+ 9(42 – 28)2

= 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2

+ 15(–1)2 + 20(4)2 + 5(9)2

+ 9(14)2

= 1.536 + 1.210 + 180 + 15

+ 320 + 405 + 1.764

= 5.430

Variansi:

S2 =

�

� ��

��

� � ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

� = 77

�

Jadi, variansi panjang potongan bambu 77�

cm.

20 Peluang

1. Menggunakan aturan

statistika, kaidah

pencacahan dan sifat-

sifat peluang dalam

pemecahan masalah.

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

Jujur Menunjukkan perilaku jujur dalam

percobaan menentukan ruang

sampel.

Pada bab ini akan dipelajari:1. Aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi2. Ruang sampel suatu percobaan3. Peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian4. Frekuensi harapan suatu kejadian5. Peluang gabungan dua kejadian6. Peluang dua kejadian yang saling asing7. Peluang dua kejadian yang saling bebas8. Peluang kejadian bersyarat9. Penafsiran peluang suatu kejadian


1.4 Menggunakan aturan perkalian,

permutasi, dan kombinasi dalam pe-

mecahan masalah.

1.5 Menentukan ruang sampel suatu per-

cobaan.

1.6 Menentukan peluang suatu kejadian

dan penafsirannya.

Peluang

Menggunakan aturan

perkalian, permutasi, dan

kombinasi

Menentukan ruang sampel

suatu percobaan

Menentukan peluang suatu

kejadian dan penafsirannya

Menyelesaikan permasalahan

yang berkaitan dengan aturan

perkalian, permutasi,

kombinasi, dan peluang

• Mendefinisikan pengertian

aturan perkalian

• Menggunakan aturan

perkalian


permutasi

• Menggunakan permutasi


kombinasi

• Menggunakan kombinasi


ruang sampel suatu

percobaan

• Menentukan ruang sampel

suatu percobaan


peluang suatu kejadian

• Menentukan peluang

suatu kejadian

• Menentukan kisaran nilai

peluang

• Menentukan frekuensi

harapan


kejadian majemuk

• Menentukan peluang

kejadian majemuk

• Menyelesaikan perma-

salahan yang berkaitan

dengan aturan perkalian



dengan permutasi



dengan kombinasi



dengan peluang

Siswa mampu menyelesaikan

permasalahan yang berkaitan

dengan aturan perkalian,

permutasi, kombinasi, dan

peluang

Siswa mampu menentukan

peluang suatu kejadian

Siswa mampu menentukan

ruang sampel suatu

percobaan

Siswa mampu menggunakan

aturan perkalian, permutasi,

dan kombinasi

Siswa dapat menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan (aturan perkalian,

permutasi, kombinasi) dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

��

�� +

��

��=

��

��

× × ×× × × × +

� � � ��

��

× × ×× ×

= ��

� � �

× ×× × × +

� � �

� �

× ×× ×

= 30 + 20

= 50

2. Jawaban: b

n + 1P

3= 9 ×

nP

2

⇔��

��

++ − = 9 ×

��

�� −

⇔��

��

+− = 9 ×

��

�� −

⇔ ��

��

+−

× �� −

��= 9

⇔ ��

��

+= 9

⇔ n + 1 = 9

⇔ n = 8

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8.

3. Jawaban: e

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan

menggunakan aturan perkalian.

Banyak pasangan menu makanan dan minuman

= banyak menu makanan × banyak menu minuman

= 6 × 10

= 60

4. Jawaban: e

Angka yang tersedia 1, 2, 3, 5, 6, dan 7.

Akan disusun bilangan terdiri atas 4 angka dengan

angka-angka yang berlainan.

Angka I dapat diisi oleh 6 angka yang tersedia.

Setelah satu angka digunakan untuk mengisi

angka I, tersisa 5 angka. Angka II dapat diisi oleh

5 angka yang tersisa.

Setelah dua angka digunakan untuk mengisi angka

I dan II, tersisa 4 angka. Angka III dapat diisi oleh 4

angka yang tersisa.

Setelah tiga angka digunakan untuk mengisi angka

I, II, dan III, tersisa 3 angka. Angka IV dapat diisi

oleh 3 angka yang tersisa.

Banyak susunan bilangan 4 angka yang tersusun

= 6 × 5 × 4 × 3

= 360

Cara lain:

Bilangan 1.235 berbeda dengan bilangan

2.531.Artinya penyusunan bilangan tersebut

memperhatikan urutan (permutasi).

Banyak bilangan 4 angka yang dapat disusun dari

6 angka yang tersedia

= permutasi 4 dari 6

= 6P

4 =

��

� =

� � � � �

�

× × × × = 6 × 5 × 4 × 3 = 360

5. Jawaban: d

Segitiga dapat dibentuk dengan menghubungkan

3 titik yang tidak segaris.

Pemilihan 3 titik tidak memerhatikan urutan

sehingga digunakan kombinasi.

Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 7 titik

= 7C

3 =

��

�� =

� � � ��

��

× × ×× × × = 35 buah.

6. Jawaban: c

Akan dipilih 5 anak sebagai ketua, wakil ketua,

sekretaris, bendahara, dan humas.

Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris,

bendahara, dan humas merupakan pemilihan yang

memperhatikan urutan (permutasi).

Banyak cara memilih 5 pengurus dari 7 pengurus

= permutasi 5 dari 7

= 7P

5

= ��

�

= � � � � � �

�

× × × × ×

= 7 × 6 × 5 × 4 × 3

= 2.520

Jadi, banyak cara memilih pengurus 2.520 cara.

7. Jawaban: a

Resa selalu ada di salah satu ujung sehingga ada

2 cara. Sisanya ada 4 anak yang dapat diatur

dengan 4P

4 cara. Sehingga banyak urutannya

= 2 × 4P

4

= 2 × 4!

= 2 × 4 × 3 × 2 × 1

= 48 urutan

8. Jawaban: a

Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari

kata WIYATA

= permutasi 6 elemen dengan 2 elemen sama

= ��

�

= � � � � �

�

× × × × = 360

Jadi, ada 360 kata yang dapat dibentuk.

Angka I Angka II Angka III Angka IV

6 cara 5 cara 4 cara 3 cara

22 Peluang

9. Jawaban: b

Ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 anggota

dewan akan duduk melingkar.

Ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipandang

sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi

permutasi siklis dari 1 + 3 = 4 unsur.

Banyak susunan duduk ketua, wakil ketua, dan

sekretaris di tengah = 2!

Banyak susunan duduk dari ketujuh anggota DPRD

= (4 – 1)! × 2!

= 3! × 2!

= 6 × 2

= 12

Jadi, banyak cara duduk dalam rapat tersebut ada

12 cara.

10. Jawaban: b

Soal nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan

sehingga tersisa 10 – 4 = 6 soal yang dapat dipilih.

Siswa memilih 8 – 4 = 4 soal.

Banyak pilihan yang diambil siswa

= memilih 4 soal dari 6 soal

= kombinasi 4 dari 6

= 6C

4

= ��

��

= � � ��

� ��

× ×× ×

= � �

× = 15

Jadi, banyak pilihan yang dapat diambil siswa

15 cara.

11. Jawaban: c

Banyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidup

ada 5C

3.

Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada

10C

3.

Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yang

sudah terpilih ada 6P

6 = 6!.

Banyak kata sandi yang dapat disusun

= 5C

3 ×

10C

3 × 6!

12. Jawaban: d

Banyak cara menyusun ketiga merek motor = 3!

Banyak cara menyusun motor Honda = 4!

Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3!

Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2!

Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek

tidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728

13. Jawaban: e

n1

= banyak cara mengambil 2 potongan kue dari

8 potongan kue


=8C

2

= �

��

= � ��

��

× ×

= �

�

×× = 28

n2

= banyak cara mengambil 3 potongan

semangka dari 10 potongan semangka


= 10

C3

= ��

��

= ��

��

× × ×× × ×

= 120

Banyak cara Andi mengambil 2 potongan kue dan

3 potongan semangka adalah

= n1 × n

2

= 28 × 120

= 3.360

14. Jawaban: b

Kemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1

putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri),

(1 putra dan 2 putri), atau (3 putri).

n1

= banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan

1 putri

= memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih

1 putri dari 6 putri

= 5C

2 ×

6C

1

= ��

�� ×

��

��

= 10 × 6

= 60

n2

= banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan

2 putri

= memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih

2 putri dari 6 putri

= 5C

1 ×

6C

2

= ��

�� ×

��

��

= 5 × 15

= 75

n3

= banyak kemungkinan anggota tim 3 putri

= memlih 3 putri dari 6 putri

= 6C

3

= ��

��

= 20

Banyak cara memilih anggota tim

= n1 + n

2 + n

3

= 60 + 75 + 20

= 155






15. Jawaban: a

n1

= banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka

(boleh berulang) yang dapat dibuat dari

5 angka

= 5 × 5 × 5 × 5

= 625

n2

= banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka

(boleh berulang) dengan angka terakhir 0 dan

angka pertama 0

= 1 × 5 × 5 × 1

= 25

Banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka

dengan angka pertama atau terakhir tidak nol

= n1 – n

2

= 625 – 25

= 600

B. Uraian

1. a. 2 · 2n + 1

C2 = 3! ·

nP

2

⇔ ��

��

⋅ ++ − =

��

�� −

⇔ ��

��

+ + − + −+ − =

��

��

− −−

⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1)

⇔ 2n + 1 = 3(n – 1)

⇔ 2n + 1 = 3n – 3

⇔ n = 4

Jadi, nilai n = 4.

b. n · 6P

2 =

nP

3

⇔ � ��

��

⋅=

��

�� −

⇔ 30n = ��

��

− − −−

⇔ 30 = (n – 1)(n – 2)

⇔ n2 – 3n + 2 = 30

⇔ n2 – 3n– 28 = 0

⇔ (n – 7)(n + 4) = 0

⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 0

⇔ n = 7 atau n = –4

nP

3 mempunyai syarat n ≥ 3.

Jadi, nilai n yang memenuhi 7.

c. � �

��

�

� + =

�

��

⇔ 10 · 9C

n= 3 ·

10C

n + 1

⇔��

��

⋅− =

� ��

��

⋅+ − −

⇔��

�� − = � ��

��

⋅+ −

⇔ �

�=

�

� �+⇔ n + 1 = 3

⇔ n = 2

Jadi, nilai n = 2.

2. Bilangan terdiri atas 3 angka yang dapat disusun

dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 tanpa berulang.

Banyak bilangan 3 angka yang nilainya di antara

520 dan 600 disusun dari ke-8 angka tersebut

= 1 × 5 × 6

= 30 bilangan

Bilangan 520 tidak termasuk karena syaratnya

lebih dari 520.

n1

= banyak bilangan yang lebih dari 520 dan

kurang dari 600

= 30 – 1

= 29

n2

= banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebih

besar dari 599

= 2 × 7 × 6

= 84

Banyak bilangan 3 angka yang bernilai lebih besar

dari 520 dan tidak boleh berulang

= n1 + n

2

= 29 + 84

= 113

Jadi, ada 113 bilangan yang dapat disusun.

Angka 5 dan sebuah angka

sudah digunakan.

Jadi, tersisa 8 – 2 = 6 cara.

Dapat diisi angka 2, 3, 4, 6, atau 7.

Jadi, ada 5 cara.

Angka I Angka II Angka III

1 cara 5 cara 6 cara

Diisi angka 5.

Jadi, ada 1 cara.

Dua angka sudah digunakan.

Jadi, tersisa 6 cara.

Dapat diisi angka selain 6 atau 7.

Jadi, ada 7 cara.



Dapat diisi angka 6 atau 7.

Jadi, ada 2 cara.

24 Peluang

3. a. Bola merah ada 9 buah.

Banyak cara pengambilan tiga bola merah


= 9C

3

= ��

��

= � � ��

��

× × ×× × = 84

b. Bola biru ada 5 buah.

Banyak cara pengambilan 3 bola biru

= 5C

3

= ��

��

= � � ��

� ��

× ×× × = 10

c. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola

biru. Artinya, bola yang terambil 2 bola biru

dan 1 bola merah.

Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan

1 bola merah

= 5C

2 ×

9C

1

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

� ��

× ×× × ×

� �

� �

××

= 10 × 9 = 90

d. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bola

merah. Artinya bola yang terambil 2 bola

merah dan 1 bola biru.

Banyak cara pengambilan 2 bola merah dan

1 bola biru

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

Banyaknya hasil yang mungkin:

Jadi, hasil yang mungkin ada 63 = 216.

2. Jawaban: a

Pengambilan bola merupakan pengambilan tanpa

memerhatikan urutan sehingga dalam pengambilan

bola digunakan kombinasi.

Banyak ruang sampel pengambilan 2 bola dari 8

bola

= 8C

2 =

�

�� =

� ��

��

× × = 28

Jadi, banyak ruang sampel percobaan tersebut ada

28.

3. Jawaban: e

Frekuensi muncul gambar = 9.

Frekuensi relatif muncul gambar = �

�� = 0,3.

4. Jawaban: e

S = kejadian pelemparan 2 dadu

n(S) = 6 × 6 = 36

A = kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya 6

A = {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}

n(A) = 4

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluangmuncul mata dadu yang hasil kalinya

6 adalah �

�.

Lemparan I Lemparan II Lemparan III


= 9C

2 ×

5C

1

= ��

�� ×

��

��

= � ��

��

× × ×

� ��

��

××

= 36 × 5

= 180

4. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkar

dengan (4 – 1)! = 3! = 6 cara.

3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara.

2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara.

4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara.

2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara.

Jadi, seluruhnya = 3! 3! 2! 4! 2! = 3.456 cara.

5. Banyak huruf konsonan yang dapat dipilih

= 5C

3 =

��

�� =

� � ��

��

× ××

= 10 cara

Banyak huruf vokal yang berbeda yang dapat dipilih

= 3C

2 =

��

�� =

� �

� �

××

= 3 cara

Banyak 5 huruf yang berbeda yang dapat disusun

= 5P

5

= 5! = 120 cara

Banyak 5 huruf berbeda dengan 3 huruf konsonan

dan 2 huruf vokal yang terbentuk

= 5C

3 ×

3C

2 ×

5P

5

= 10 × 3 × 120

= 3.600 cara


n(S) = 10

C3 =

��

�� =

��

��

× × ×× × × = 120

A = kejadian terambil 3 kelereng merah dari

7 kelereng merah

n(A) = 7C

3 = 35

P(A) = ��

�� =

��

�� =

�

�

Jadi, peluang terambil ketiga kelereng berwarna

merah adalah �

�.

10. Jawaban: e

Jumlah siswa seluruhnya = 11 orang.

S = kejadian dipilih 3 siswa untuk lomba cerdas

cermat

n(S) = 11

C3 =

��

� �� = 165

A = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dan 2 siswa

perempuan

n(A) = 5C

1 ×

6C

2

= ��

�� ×

��

��

= 5 × 15 = 75

P(A) = ��

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih tim terdiri atas 1 siswa laki-

laki dan 2 siswa perempuan adalah ��

��.

11. Jawaban: d

S = kejadian pelemparan 2 dadu secara bersamaan

n(S) = 36

A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu

merupakan bilangan prima

= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),

(3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1),

(6, 5)}

n(A) = 15

P(A) = ��

�� =

��

��

Fh(A) = P(A) × n

= ��

�� × 180 = 75 kali

Jadi, frekuensi harapan muncul jumlah kedua mata

dadu merupakan bilangan prima adalah 75 kali.

12. Jawaban: c

S = percobaan melempar empat mata uang

logam

n(S) = 2 × 2 × 2 × 2

A = kejadian muncul 3 angka dan 1 gambar

= {(A, A, A, G), (A, A, G, A), (A, G, A, A),

(G, A, A, A)}

n(A) = 4

5. Jawaban: d

S = kejadian pelemparan 3 uang logam secara

bersamaan

= {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}

n(S) = 8

Misal A = kejadian muncul sisi yang sama

= {GGG, AAA}

n(A) = 2

P(A) = ��

�� =

=

�

�

Jadi, peluang muncul ketiga sisi mata uang sama

adalah �

�.

6. Jawaban: d

S = kejadian pelemparan 2 dadu bersama-sama

n(S) = 6 × 6 = 36

A = kejadian jumlah mata kedua dadu yang

muncul habis dibagi 5

= kejadian jumlah mata kedua dadu yang

muncul adalah 5 atau 10

= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}

n(A) = 7

P(A) = ��

�� =

�

��

Jadi, peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul

habis dibagi 5 adalah �

��.

7. Jawaban: b

Jumlah ikan = 21 + 12 + 27 = 60

S = kejadian terambil 1 ikan dari jumlah ikan

n(S) = 60

C1 = 60

A = kejadian terambil 1 ikan mas dari 12 ikan mas

n(A) = 12

C1 = 12

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluang mendapatkan ikan mas pada hasil

pancingan pertama kali adalah �

�.

8. Jawaban: a

S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartu

n(S) = 52

C2 = 1.326

A = kejadian terambil dua kartu king

n(A) = 4C

2 = 6

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluang terambil dua kartu King �

�.

9. Jawaban: c

Jumlah kelereng = 10 kelereng

S = kejadian pengambilan 3 kelereng secara

acak dari 10 kelereng

26 Peluang

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Fh(A) = P(A) × N

= �

� × 60

= 15 kali

Jadi, frekuensi harapan muncul 3 angka dan

1 gambar adalah 15 kali.

13. Jawaban: c

Bibit yang hidup = 75 – 4 = 71

A = kejadian bibit yang disemai hidup

P(A) = ��

��

Fh(A) = n × P(A)

= 4.500 × ��

�� = 4.260

Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup.

14. Jawaban: a

S = kejadian terbentuknya susunan 3 angka

berbeda dari 6 angka

n(S) = 6P

3 = 120

A = kejadian terbentuknya angka genap kurang

dari 500

Untuk menyusun angka kurang dari 500, angka I

yang dapat dipilih 1, 2, atau 4.

Untuk angka I adalah 1 ada 1 cara. Angka III dapat

dipilih dan 2, 4, 6, 8, = 4 cara

Banyak cara = 1 × 4 × 4 = 16 cara.

Untuk angka I adalah 2 atau 4 ada 2 cara.

Angka III dapat dipilih 2, 4, 6, 8, = 4 cara (dikurangi

1 karena telah dipakai di angka I). Jadi, ada 3 cara.

Banyak cara = 2 × 4 × 3 = 24 cara.

n(A) = 16 + 24 = 40 cara

P(A) = ��

�� =

��

�� =

�

�

Jadi, peluang muncul angka genap kurang dari 500

adalah �

�.

15. Jawaban: c

Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas angka

ganjil-ganjil atau genap-genap.

Banyak angka berjumlah genap

= banyak angka ganjil-ganjil + banyak angka

genap-genap

=5C

2 +

4C

2

= 10 + 6 = 16

Diperoleh n(S) = 16

A = kejadian terpilih kedua angka ganjil

n(A) = 5C

2 = 10

P(A) = ��

�� =

��

�� =

�

Jadi, peluang kedua angka bilangan ganjil �

.

B. Uraian

1. Tabel berikut ini menunjukkan ruang sampel untuk

kejadian pelemparan sebuah dadu dan sekeping

uang logam.

n(S) = 12

a. A = kejadian muncul mata dadu kelipatan 3

= {(A, 3), (A, 6), (G, 3), (G, 6)}

n(A) = 4

P(A) = ��

�� =

�

� =

�

�

Jadi, peluang muncul mata dadu bilangan

kelipatan 3 adalah �

�.

b. B = kejadian muncul gambar dan mata dadu

bilangan kuadrat

= {(G, 1), (G, 4)}

n(B) = 2

P(B) = ��

�� =

� =

�

�

Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu

bilangan kuadrat adalah �

�.

c. C = kejadian muncul mata dadu bilangan

komposit

= {(A, 4), (A, 6), (G, 4), (G, 6)}

n(C) = 4

P(C) = ��

�� =

�

� =

�

�

Jadi, peluang kejadian muncul mata dadu

bilangan komposit adalah �

�.


2 4 cara 3


1 cara 6 – 2 = 4 cara 4 cara

1

A

G

(A, 1)

(G, 1)

2

(A, 2)

(G, 2)

3

(A, 3)

(G, 3)

4

(A, 4)

(G, 4)

5

(A, 5)

(G, 5)

6

(A, 6)

(G, 6)

Dadu

Ma

ta U

an

g


P(A) = ��

�� =

��

�� =

�

�

Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih

besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat

berulang adalah �

�.

b. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari

angka 1, 2, 3, 4, dan angka tidak boleh

berulang

n(S) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

B = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari

angka 1, 2, 3, 4, angka tidak boleh

berulang dan bilangan bernilai lebih dari

2.000

n(B) = 3 × 3 × 2 × 1 = 18

P(B) = ��

�� =

�

� =

�

�

Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebih

besar daripada 2.000 dan angka-angka dapat

berulang adalah �

�.

4. S = kejadian terambil 4 huruf dari 13 huruf

n(S) = 13

C4 =

��

�� =

��

��

× × × ×× × × ×

= 715

a. Banyak huruf vokal = 7

Banyak huruf konsonan = 6

A = kejadian terambil 1 huruf vokal dan

3 huruf konsonan

n(A) = 7C

1 ×

6C

3

= ��

�� ×

��

��

= � ��

��

×× ×

� � � ��

��

× × ×× × ×

= 7 × 20

= 140

P(A) = ��

�� =

��

�� =

��

Jadi, peluang terambil 1 huruf vokal dan

3 huruf konsonan adalah

��.

b. Banyak huruf konsonan = 6

Banyak huruf A = 3

B = kejadian terambil 2 huruf konsonan dan

2 huruf A

2. Dadu bermata 8 dilempar sebanyak 2 kali

n(S) = 8 × 8 = 64

a. A = kejadian muncul angka lemparan pertama

lebih kecil dari lima

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(1, 7), (1, 8), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

(2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 1), (3, 2),

(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(4, 7), (4, 8)}

= 32

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

Jadi, peluang muncul angka lemparan pertama

lebih kecil dari lima adalah �

.

b. B = kejadian muncul angka lemparan pertama

lebih kecil dari angka lemparan kedua

= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7),

(1, 8), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7),

(2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),

(4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 6), (5, 7),

(5, 8), (6, 7, (6, 8), (7, 8)}

= 28

P(B) = ��

�� =

�� =

�

��

Jadi, pelang muncul angka lemparan pertama

lebih kecil angka lemparan kedua adalah �

��.

3. a. S = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari

angka 1, 2, 3, 4, dan boleh berulang

n(S) = 4 × 4 × 4 × 4 = 256

A = kejadian terbentuk bilangan 4 angka dari

angka 1, 2, 3, 4, angka boleh berulang

dan bilangan bernilai lebih dari 2.000

n(A) = 3 × 4 × 4 × 4 = 192









Lemparan

I

Lemparan

II

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

(4, 1)

(5, 1)

(6, 1)

(7, 1)

(8, 1)

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(4, 2)

(5, 2)

(6, 2)

(7, 2)

(8, 2)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(4, 3)

(5, 3)

(6, 3)

(7, 3)

(8, 3)

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(4, 4)

(5, 4)

(6, 4)

(7, 4)

(8, 4)

(1, 5)

(2, 5)

(3, 5)

(4, 5)

(5, 5)

(6, 5)

(7, 5)

(8, 5)

(1, 6)

(2, 6)

(3, 6)

(4, 6)

(5, 6)

(6, 6)

(7, 6)

(8, 6)

(1, 7)

(2, 7)

(3, 7)

(4, 7)

(5, 7)

(6, 7)

(7, 7)

(8, 7)

(1, 8)

(2, 8)

(3, 8)

(4, 8)

(5, 8)

(6, 8)

(7, 8)

(8, 8)

28 Peluang

n(B) = 6C

2 ×

3C

2

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

��

× ×× ×

� �

� �

××

= 15 × 3 = 45

P(B) = ��

�� =

��

�� =

�

��

Jadi, peluang terambil 2 huruf konsonan dan

2 huruf A adalah �

��.

c. Banyak huruf vokal = 7

C = kejadian terambil keempatnya huruf vokal

n(C) = 7C

4

= ��

��

= � � � ��

� � ��

× × ×× × × = 35

P(C) = ��

�� =

��

��

C′ =kejadian keempatnya bukan huruf vokal

P(C′) = 1 – P(C)

= 1 – ��

��

= ��

�� =

��

��

Jadi, peluang terambil keempat kartu bukan

huruf vokal adalah ��

��.

5. Jumlah bendera = 7 + 4 + 6 = 17

S = kejadian terambil 3 bendera dari 17 bendera

n(S) = 17

C3 =

��

�� =

��

��

× × ×× × × = 680

a. A = kejadian terambil 3 bendera kuning

n(A) = 4C

3 =

��

�� =

� ��

� ��

×× = 4

P(A) = ��

�� =

�

��

Fh(A) = P(A) × n =

�

�� × 680 = 4

Jadi, frekuensi harapan terambil 3 bendera

kuning adalah 4 kali.

b. B = kejadian terambil 1 bendera hijau dan

2 bendera merah

n(B) = 7C

1 ×

6C

2

= ��

�� ×

��

��

= � ��

��

× ×

� � ��

��

× ×× ×

= 7 × 15 = 105

P(B) = ��

�� =

��

��

Fh(B) = P(B) × n =

��

�� × 680 = 105

Jadi, frekuensi harapan terambil 1 bendera

hijau dan 2 bendera merah adalah 105 kali.

c. C = kejadian terambil semua bendera

berwarna berbeda

Hal ini berarti terambil 1 bendera hijau,

1 bendera kuning, dan 1 bendera merah.

n(C) = 7C

1 ×

4C

1 ×

6C

1

= ��

�� ×

��

�� ×

��

��

= � ��

��

× ×

� ��

��

× ×

� ��

��

×

= 7 × 4 × 6 = 168

P(C) = ��

�� =

��

��

Fh(C) = P(C) × n =

��

�� × 680 = 168

Jadi, frekuensi harapan terambil semua

bendera berwarna berbeda adalah 168.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e

A = kejadian muncul angka genap pada dadu

pertama

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),

(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),

(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian muncul angka ganjil pada dadu kedua

= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (1, 3),

(2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5),

(3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

P(B) = ��

�� =

�

��

A ∩ B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5),

(6, 1), (6, 3), (6, 5)}


P(A ∩ B) = ��

��

∩ =

�

�� =

�

�

P(A) × P(B) = �

�� ×

�

�� =

�

�

Oleh karena P(A ∩ B) = P(A) × P(B) maka A dan

B merupakan dua kejadian saling bebas.

Jadi, dua kejadian pada pilihan e merupakan dua

kejadian saling bebas.

2. Jawaban: b

Jumlah bola = 4 + 3 + 3 = 10 bola

S = kejadian terambil 1 bola dari 10 bola

n(S) = 10

C1 = 10

A = kejadian terambil 1 bola merah dari 4 bola

merah

n(A) = 4C

1 = 4

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian terambil 1 bola hitam dari 3 bola hitam

n(B) = 3C

1 = 3

P(B) = ��

�� =

�

��

A dan B merupakan dua kejadian saling asing.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

= �

�� +

�

�� =

�

��

Jadi, peluang terambil bola merah atau hitam

adalah �

��.

3. Jawaban: c

S = kejadian melempar dua dadu sebanyak

satu kali

n(S) = 6 × 6 = 36

A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5

= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

n(A) = 4

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 9

= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}

n(B) = 4

P(B) = ��

�� =

�

��

A ∩ B = kejadian muncul mata dadu berjumlah 5

dan 9

= { } = 0

P(A ∩ B) = ��

��

∩ =

�

��

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= �

�� +

�

�� –

�

�� =

��

Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 5 atau

9 adalah

��.

4. Jawaban: e

S = kejadian terambil 1 kartu bernomor

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

n(S) = 10

A = kejadian muncul bilangan komposit

= {4, 6, 8, 9, 10}

n(A) = 5

B = kejadian muncul bilangan ganjil

= {1, 3, 5, 7, 9}

n(B) = 5

A ∩ B = [9]

n(A ∩ B) = 1

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= �

�� +

�

�� –

�

��

= �

�� = 0,9

Jadi, peluang muncul bilangan komposit atau

bilangan ganjil adalah 0,9.

5. Jawaban: e

n(S) = 32

Banyak anak lulus ujian Matematika = n(M) = 17

Banyak anak lulus ujian Fisika = n(F) = 19

Banyak anak yang tidak lulus keduanya

= n(M ∪ F)′ = 4

Anak yang lulus keduanya

= n(M ∩ F)

= n(M) + n(F) + n(M ∪ F) – n(S)

= 17 + 19 + 4 – 32 = 8

P(M ∩ F) = ��

��

∩ =

� =

�

�

Jadi, peluang siswa yang terpilih lulus Matematika

dan Fisika adalah �

�.

6. Jawaban: c

Misalkan:

A = himpunan murid yang mengikuti IMO

B = himpunan murid yang mengikuti IBO

C = himpunan murid yang mengikuti IChO

x = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO,

maupun IChO

n(S) = 40

n(A) = 22

n(B) = 17

n(C) = 20

n(A ∩ B) = 12

n(A ∩ C) = 9

n(B ∩ C) = 8

n(A ∩ B ∩ C) = 5

n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x

⇔ 40 = 35 + x

⇔ x = 40 – 35 = 5

ASB

C

67

54

2

8 x3

30 Peluang

D = himpunan murid yang tidak mengikuti IMO,

IBO, maupun IChO

n(D) = x = 5

P(D) = ��

�� =

�

��

Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak

mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah �

��.

7. Jawaban: e

S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 murid

n(S) = 30

C1 = 30

A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid

laki-laki

n(A) = 10

C1 = 10

P(A) = ��

�� =

��

��

B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari

15 murid berambut keriting

n(B) = 15

C1 = 15

P(B) = ��

�� =

��

��

A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki

berambut keriting dari 5 murid laki-laki

berambut keriting

n(A ∩ B) = 5C

1 = 5

P(A ∩ B) = ��

��

∩ =

�

��

A ∪ B = kejadian terpilih 1 murid itu laki-laki atau

berambut keriting

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

�

��

= �

��

Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau

berambut keriting adalah �

��.

8. Jawaban: b

S1

= kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di

kotak A

K = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola

merah di kotak A

P(K) = �

��

�� = �

� �

�

� =

�

S2

= kejadian terambil 1 bola dari 8 bola di

kotak B

L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putih

di kotak B

P(L) =

��

�� = � �

�

�

� =

�

K dan L merupakan dua kejadian yang saling

bebas.

P(K ∩ L) = P(K) × P(L) =

� ×

�

=

�

�

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A

dan 1 bola biru dari kotak B adalah �

�.

9. Jawaban: e

Jumlah buku = 4 + 7 + 5 = 16

n(S) = kejadian terambil 3 buku dari 16 buku

= 16

C3

= ��

��

= ��

��

× × ×× × ×

= 560

Kemungkinan pasangan yang terambil adalah

(buku komik, buku komik, buku novel) atau (buku

komik, buku komik, buku dongeng).

A = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku novel

n(A) = 7C

2 ×

4C

1

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

��

× ×× × ×

��

��

××

= 21 × 4 = 84

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku

dongeng

n(B) = 7C

2 ×

5C

1

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

��

× ×× × ×

��

��

××

= 21 × 5 = 105

P(B) = ��

�� =

��

��

Peluang terambil 2 buku komik

= P(A) + P(B)

= �

�� +

��

��

= ��

��

Jadi, peluang terambil 2 buku komik adalah ��

��.

Berambut keriting

Berambut tidak

keriting

Jumlah

JumlahMurid

Laki-Laki

Murid

Perempuan

10

10

20

5

5

10

15

15

30


10. Jawaban: e

Jumlah kelereng = 3 + 4 = 7

S = kejadian pengambilan 3 kelereng sekaligus

secara acak

= kejadian pengambilan 3 kelereng dari

7 kelereng

n(S) = 7C

3 =

��

�� = 35

Kemungkinan terambil paling sedikit 2 kelereng

putih adalah (2 kelereng putih, 1 kelereng merah)

dan (3 kelereng putih).

A = kejadian terambil 2 kelereng putih dan

1 kelereng merah

= kejadian terambil 2 dari 4 kelereng putih dan

1 dari 3 kelereng merah

n(A) = 4C

2 ×

3C

1

= 6 × 3 = 18

P(A)= ��

�� =

�

��

B = kejadian terambil 3 kelereng putih

= kejadian terambil 3 dari 4 kelereng putih

n(B) = 4C

3 = 4

P(B) = ��

�� =

�

��

Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih

= P(A) + P(B)

= �

�� +

�

�� =

��

Jadi, peluang terambil paling sedikit 2 kelereng

putih adalah

��.

11. Jawaban: c

Jumlah bola = 3 + 6 = 9

S1 = kejadian terambil 1 bola

n(S1) =

9C

1 = 9

A = kejadian terambil 1 bola kuning pada

pengambilan pertama

n(A) = 6C

1 = 6

P(A) = ��

�� =

�

� =

�

Jumlah bola di kotak sekarang = 9 – 1 = 8

S2= kejadian terambil 1 bola setelah terambil 1 bola

n(S2) =

8C

1 = 8

B = kejadian terambil 1 bola merah pada

pengambilan kedua

P(B) =

��

�� =

�

A ∩ B = kejadian terambil bola kuning pada

pengambilan pertama dan bola merah

pada pengambilan kedua

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) =

� ×

�

=

�

�

Jadi, peluang terambil bola kuning kemudian merah

adalah �

�.

12. Jawaban: d

P(G) = P(gol) = �

�

P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – �

� =

�

A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penalti

dengan 2 tendangan gol

= {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)}

Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakan

kejadian saling bebas.

P(G, G, T) = �

� ×

�

� ×

� =

�

��

P(G, T, G) = �

� ×

� ×

�

� =

�

��

P(T, G, G) =

� ×

�

� ×

�

� =

�

��

Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol

= P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G)

= �

�� +

�

�� +

�

�� =

��

��

Jadi, peluang Ali untuk membuat 2 gol dalam

3 kali tendangan penalti adalah ��

��.

13. Jawaban: b

Banyak kartu kuning = n(K) = 2

Banyak kartu merah = n(M) = 4

Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 6

Kemungkinan kartu yang terambil M1K

2K

3,

K1M

2K

3, atau K

1K

2M

3.

M1K

2K

3= kejadian terambil pertama kartu merah,

kedua kartu kuning, ketiga kartu kuning

P(M1K

2K

3) = P(M

1) × P(K

2) × P(K

3)

= ��

�� ×

��

�� ×

��

��

= �

� ×

� ×

� =

�

K1M

2K

3= kejadian terambil pertama kartu kuning,

kedua kartu merah, ketiga kartu kuning

P(K1M

2K

3) = P(K

1) × P(M

2) × P(K

3)

= ��

�� ×

��

�� ×

��

��

=

� ×

�

� ×

� =

�

K1K

2M

3= kejadian terambil pertama kartu kuning,

kedua kartu kuning, ketiga kartu merah

P(K1K

2M

3) = P(K

1) × P(K

2) × P(M

3)

= ��

�� ×

��

�� ×

��

��

=

� ×

� ×

�

� =

�

Peluang terambil satu kartu merah:

P = P(M1K

2K

3) + P(K

1M

2K

3) + P(K

1K

2M

3)

=

� +

� +

� =

�

32 Peluang

14. Jawaban: c

S = kejadian Ari, Beta, Cika, Devi, dan Erna duduk

secara acak pada 5 kursi

n(S) = 5P

5 = 120

A = kejadian Ari duduk di pinggir

n(A) = 2 × 4P

4 = 48

B = kejadian Erna duduk di pinggir

n(B) = 2 × 4P

4 = 48

A ∩ B = kejadian Erna dan Ari duduk di pinggir

= 2 × 3P

3 = 12

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= �

�� +

�

�� –

�

��

= �

��

= �

��

Jadi, peluang Ari atau Erna duduk di kursi paling

pinggir adalah �

��.

15. Jawaban: d

S = kejadian penyusunan ketua, sekretaris, dan

bendahara

n(S) = 10

P3 = 720

A = kejadian terpilih ketua laki-laki

n(A) = 6 × 9 × 8 = 432

B = kejadian terpilih sekretaris wanita

n(B) = 9 × 4 × 8 = 288

A ∩ B = kejadian terpilih ketua laki-laki dan

sekretaris wanita

n(A ∩ B) = 6 × 4 × 8 = 192

A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepas

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= ��

�� +

�� –

��

�� =

�

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris

wanita adalah ��

��.

B. Uraian

1. a. Misalkan dadu pertama = dadu merah dan

dadu kedua = dadu putih

A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu

merah

= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

n(A) = 6

P(A) = ��

�� =

�

��

4P

4

↑Ari

4P

4

↑Ari

4P

4

↑Erna

4P

4

↑Erna

P3

↑Ari

↑Erna

P3

↑Erna

↑Ari

2 orang telah terpilih.

Sisa 8 orang.

Ketua Sekretaris Bendahara


Dipilih dari 4 wanita

1 orang telah terpilih sebagai sekretaris.

Sisa 9 orang.


Sisa 8 orang.



1 orang telah terpilih sebagai ketua.

Sisa 9 orang.

Dipilih dari 6 laki-laki


Sisa 8 orang.



Dipilih dari 4 wanita

Dipilih dari 6 lelaki


B = kejadian muncul mata dadu 5 pada dadu

putih

= 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}

A ∩ B = {(3, 5)}

n(A ∩ B) = 1

P(A ∩ B) = ��

��

∩ =

�

��

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= �

�� +

�

�� –

�

�� =

��

��

Jadi, peluang muncul mata dadu 3 pada dadu

merah atau muncul mata dadu 5 pada dadu

putih adalah ��

��.

b. Misal:

A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 6

= {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}

n(A) = 5

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian muncul jumlah mata dadu 10

= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}

n(B) = 3

P(B) = ��

�� =

�

��

A ∩ B = { } → P(A ∩ B) = 0

A dan B dua kejadian yang saling asing

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = �

�� +

�

�� =

�� =

�

Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu

6 atau 10 adalah

�.

c. Misal:

A = muncul mata dadu genap pada dadu

merah

B = muncul mata dadu genap pada dadu

putih

A ∩ B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4),

(4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

n(A ∩ B) = 9

P(A ∩ B) = �

�� =

�

�

Jadi, peluang muncul kedua mata dadu genap

adalah �

�.

d. Misal:

A = kejadian muncul mata dadu 3 pada dadu

merah

= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

P(A) = �

�� =

�

�

B = Kejadian muncul jumlah mata dadu 7

= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

A ∩ B = B ∩ A = {(3, 4)}

P(A ∩ B) = �

��

P(B | A) = ��

��

∩ =

��

��

∩ =

�

��

�

= �

�

Jadi, peluang muncul jumlah mata dadu 7 jika

muncul 3 pada dadu merah adalah �

�.

2. a. P(A) = peluang terambil kubus dari kotak A

= �

� =

�

P(B) = peluang terambil kubus dari kotak B

=

� =

�

�

P(C) = peluang terambil kubus dari kotak C

= �

�

P(A ∩ B ∩ C) =

� ×

�

� ×

�

� =

��

�

Jadi, peluang terambil ketiganya kubus ��

�.

b. P(D) = peluang ketiganya kubus = ��

�

P(E) = peluang ketiganya kerucut

= �

� ×

�

� ×

�

=

��

�

P(F) = Peluang ketiganya limas

= �

×

�

� ×

�

� =

��

�

Peluang ketiganya bangun yang sama:

P(D ∪ E ∪ F) = P(3K) + P(3Kr) + P(3L)

= ��

� +

��

� +

��

� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluang terambil ketiganya bangun yang

sama �

�.

3. Diagram Venn:

Misal S = kejadian terpilih 1 siswa dari 36 siswa

n(S) = 36

C1 = 36

a. A = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga

voli dari 22 siswa gemar olahraga voli

n(A) = 22

C1 = 22

P(A) = ��

�� =

��

Jadi, peluang terpilih seorang siswa gemar

olahraga voli

��.

S V T

15 7 10

4

34 Peluang

b. B = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga

tenis dari 17 siswa gemar olahraga tenis

n(B) = 17

C1 = 17

P(B) = ��

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih 1 siswa gemar olahraga

tenis ��

��.

c. C = kejadian terpilih 1 siswa hanya gemar

olahraga voli dari 15 siswa hanya gemar

olahraga voli

n(C) = 15

C1 = 15

P(C) = ��

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih seorang siswa hanya

gemar olahraga tenis ��

��.

d. D = kejadian terpilih 1 siswa hanya gemar

olahraga tenis dari 10 siswa hanya gemar

olahraga tenis

n(D) = 10

C1 = 10

P(D) = ��

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih seorang siswa hanya

gemar olahraga tenis ��

��.

e. E = kejadian terpilih 1 siswa gemar olahraga

voli dan tenis dari 7 siswa

n(E) = 7C

1 = 7

P(E) = ��

�� =

�

��

Jadi, peluang terpilih 1 siswa gemar olahraga

tenis �

��.

4. a. Pengambilan dilakukan secara acak dua

sekaligus.

Banyak buah = 9 + 6 = 15 buah

A = kejadian terambil 2 jeruk

P(A) = ��

�� =

�

��

�

� = ��

��

B = kejadian terambil 2 apel

P(B) = ��

�� =

�

��

�

� = ��

��

Peluang terambil dua buah dengan jenis yang

sama

= P(A) + P(B) = ��

�� +

��

�� =

��

��

b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa

pengembalian.

Peluang terambil dua jeruk:

P(Q) = P (jeruk pada pengambilan I)

× P (jeruk pada pengambilan II)

= � �

��

�

� × �

��

�

� =

�

�� ×

�� =

�

��

Peluang terambil dua apel:

P(R) = P (apel pada pengambilan I) × P (apel

pada pengambilan II)

=� �

��

�

� × � �

��

�

� = �

�� ×

�

�� =

��

��

Peluang terambil dua buah dengan jenis yang

sama

= P(Q) + P(R) = ��

�� +

�

�� =

��

�� =

��

��

5. Kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin:

B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu

= kejadian selalu muncul mata uang

= {Gambar, Gambar, Gambar}

P(B) = �

×

�

×

�

=

�

Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu �

.

Uang logam I

Gambar

Uang logam II

Gambar

Uang logam II

Angka

Uang logam III

Gambar

Uang logam III

Angka

Dadu genap

Dadu ganjil

Dadu genap

Dadu ganjil

Dadu genap

Dadu ganjil

Dadu genap

Dadu ganjil

Dadu genap

Dadu ganjil

Uang logam I

AngkaDadu genap

Dadu ganjil


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

Banyak warna = 7

Banyak warna baru yang dapat dibuat = 7C

2 = 21

2. Jawaban: e

Banyak cara menempatkan bendera-bendera

tersebut

= 9P

7=

��

�� − = ��

�

= � � � � � � �

�

× × × × × × ×

= 181.440 cara

3. Jawaban: b

Tempat juara I sudah terisi, sehingga ada 2 tempat

yang tersisa.

Banyak cara menempatkan 4 anak pada 2 tempat

yang tersisa = 4P

2 = 12.

Jadi, ada 12 foto berbeda yang mungkin tercetak.

4. Jawaban: c

Anggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3

pemudi sebagai satu kelompok. Banyak cara

duduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P

4.

Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satu

kelompok adalah 3P

3.

Banyak cara duduk selang-seling pemuda dan

pemudi.

= 4P

4 ×

3P

3

= 4! × 3!

= 144

5. Jawaban: a

Banyak cara duduk 4 laki-laki mengelilingi meja

bundar (4 – 1)! = 3!

Banyak cara duduk 4 perempuan mengisi 4 tempat

di antara laki-laki = 4P

4 = 4!

Banyak cara duduk mengelilingi meja bundar

setiap perempuan duduk di antara dua laki-laki:

= 3! × 4!

= 6 × 24

= 144 cara

6. Jawaban: e

Banyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari

24 huruf = 24

P2

= 552.

Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari

10 angka = 10

P4.

Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10

P4.

= pemuda = 4! cara

= pemudi = 3! cara

P

L P

L

P

LP

L

7. Jawaban: c

1) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A

= 78

nC

2 = 78

⇔��

�� − = 78

⇔��

��

− −− = 78

⇔ n(n – 1) = 156

⇔ n2 – n – 156 = 0

⇔ (n + 12)(n – 13) = 0

n = –12 (tidak memenuhi)

n = 13

Banyak siswa sekolah A = 13 orang.

2) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B

= 105

nC

2 = 105

⇔��

�� − = 105

⇔��

��

− −− ⋅ = 105

⇔ n(n – 1) = 210

⇔ n2 – n – 210 = 0

⇔ (n – 15)(n + 14) = 0

n = 15 atau n = –14 (tidak memenuhi)

Banyak siswa sekolah A = 15 orang.

Banyak siswa seluruhnya = 13 + 15 = 28 orang

Banyak jabat tangan dari 28 orang

= 28

C2 =

�

�� = 378 cara.

8. Jawaban: c

n1

= banyak bilangan 35xx

= 1 × 1 × 3P

2

= 1 × 1 × 6 = 6

n2

= banyak bilangan di antara 3.600 dan 4.000

= 1 × 3 × 3P

2

= 1 × 3 × 6 = 18

n3

= banyak bilangan lebih dari 4.000

= 4 × 4P

3

= 4 × 24 = 96


1 cara 3P

2 cara1 cara


1 cara 3P

2 cara3 cara


4 cara 4P

3 cara

36 Peluang

Banyak bilangan bernilai lebih dari 3.500

= n1 + n

2 + n

3

= 6 + 18 + 96 = 120

9. Jawaban: d

Bilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angka

dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan

permutasi.

Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka:

a. 0, 0, dan 6 ada ��

��= 3 bilangan

b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilangan

c. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan

d. 0, 3, dan 3 ada ��

��= 3 bilangan

e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan

f. 1, 4, dan 1 ada ��

��= 3 bilangan

g. 2, 2, dan 2 ada ��

��= 1 bilangan

Banyak bilangan kurang dari 1.000 dengan jumlah

angka penyusunnya 6

= 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 28

Jadi, ada 28 bilangan.

10. Jawaban: d

Banyak cara mengambil 3 buku = 5C

3

Banyak cara meletakkan 3 buku secara berderet

= 3P

3

Banyak cara mengambil dan meletakkan buku

= 5C

3 ×

3P

3

= 10 × 6 = 60

Cara lain:

Permasalahan tersebut merupakan permutasi 3 dari 5.

Banyak cara mengambil dan meletakkan buku

= 5P

3 = 60

Jadi, ada 60 cara.

11. Jawaban: b

Kata ANALISIS terdiri atas 8 huruf.

Banyak huruf A = 2

Banyak huruf I = 2

Banyak huruf S = 2

Banyak kata yang dapat dibentuk

= �

�� =

��

= 5.040

Jadi, ada 5.040 kata yang dapat dibentuk.

12. Jawaban: b

Terdapat 3 kelas. Banyak susunan duduk

berdasarkan kelasnya ada 3! cara.

Wakil kelas XI IPA 1 dapat duduk dengan 4! cara.



Banyak cara mereka duduk

= 3! × 4! × 2! × 3!

= 6 × 24 × 2 × 6 = 1.728

13. Jawaban: e

Banyak cara mengambil 2 buah jeruk = 5C

2

Banyak cara mengambil 1 buah apel = 3C

1

Banyak cara mengambil 2 buah jeruk dan 1 buah

apel

= 5C

2 ×

3C

1

= 10 × 3

= 30

14. Jawaban: b

S = pelemparan dua dadu secara bersamaan

n(S) = 6 × 6 = 36

A = kejadian hasil kali mata dadu yang muncul 12

= {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}

n(A) = 4

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluang hasil kali mata dadu yang muncul

12 adalah �

�.

15. Jawaban: c

Ruang sampel urutan dua anak dengan satu anak

laki-laki

S = {LP, PL, LL} ⇒ n(S) = 3

A = kejadian 2 anak berjenis kelamin laki-laki

= {LL}

n(A) = 1

P(A) = ��

�� =

�

�

Jadi, peluang semuanya anak laki-laki �

�.

16. Jawaban: a

A = kejadian terpilih dua orang merupakan

suami istri

= kejadian terpilih 1 pasangan suami istri dari

6 pasang suami istri

n(A) =6C

1 = 6

n(S) = banyak kemungkinan terpilih dua orang

dari 6 pasangan (12 orang)

=12

C2 = 66

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

��

Peluang terpilih pasangan suami istri dari

6 pasangan yang ada �

��.

17. Jawaban: b

A = kejadian jumlah mata dadu yang muncul

kurang dari 10

= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3),

(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (5, 1), (4, 2),

(3, 3), (2, 4), (1, 5), (6, 1), (5, 2), (4, 3),

(3, 4), (2, 5), (1, 6), (6, 2), (5, 3), (4, 4),

(3, 5), (2, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)}


P(A) =��

�� =

��

��

B = kejadian jumlah mata dadu yang muncul

bilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11)

= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),

(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),

(1, 6), (6, 5), (5, 6)}

P(A) =��

�� =

��

��

A ∩ B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3),

(1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5),

(1, 6)}

P(A ∩ B) =��

��

∩ =

��

��

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

�� =

�

�� =

�

Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul

kurang dari 10 atau bilangan prima

�.

18. Jawaban: c

Jumlah bola = 3 + 2 = 5.


n(S) = 5C

2 = 10

Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau

2 hitam.

A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putih

n(A) = 3C

2 = 3

P(A) = ��

�� =

�

��

B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bola

hitam

n(B) = 2C

2 = 1

P(B) = ��

�� =

�

��

Peluang bola yang terambil berwarna sama

= P (2 putih) + P (2 hitam)

= P(A) + P(B)

= �

�� +

�

�� =

�

�� =

�

Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama

�.

19. Jawaban: d

Misal:

S1

= kejadian terambil 1 kelereng dari 8 kelereng

n(S1) =

8C

1 = 8

A = kejadian terambil 1 kelereng putih dari

2 kelereng putih

n(A) = 2C

1 = 2

P(A) =

=

�

�

Setelah terambil kelereng putih, kelereng putih

tidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalam

kotak ada 7.

S2

= kejadian terambil 1 kelereng dari 7 kelereng

yang tersisa

n(S2) =

7C

1 = 7

B = kejadian terambil 1 kelereng putih dari

1 kelereng putih yang tersisa

n(B) = 1C

1 = 1

P(B) = �

�

Peluang terambil 2 kelereng putih:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

=�

� ×

�

� =

�

Jadi, peluang terambil dua-duanya berwarna putih�

.

20. Jawaban: d

Kemungkinan panitia yang terbentuk (2 putri,

2 putra), (1 putri, 3 putra), atau 4 putra.

Jumlah siswa = 5 + 5 = 10.

Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 10

C4

P(A) = peluang panitia yang terbentuk 2 putri dan

2 putra

= � �

��

� �

�

×

= ��

��

× =

��

�

P(B) = peluang panitia yang terbentuk 1 putri dan

3 putra

= � � � �

��

� �

�

×

= � ��

��

× =

�

�

P(C) = peluang panitia yang terbentuk 4 putra

= � �

��

�

�

= �

�� =

�

�

Peluang panitia yang terbentuk terdiri paling banyak

2 siswa putri

= P(A) + P(B) + P(C) = ��

� +

�

� +

�

� =

��

�

21. Jawaban: d

Peluang terpilih dompet I = �

.

Dompet I berisi 5 keping uang logam lima ratusan

dan 2 keping ratusan rupiah.

Peluang terpilih uang ratusan =

�.

A = kejadian terpilih dompet I dan terpilih uang

ratusan rupiah

38 Peluang

P(A) = �

×

� =

�

�

Peluang terpilih dompet II = �

.

Dompet II berisi 1 keping lima ratusan dan 3 keping

ratusan rupiah.

Peluang terpilih uang ratusan = �

�.

B = kejadian terpilih dompet II dan terpilih uang

ratusan

P(B) = �

×

�

� =

�

Peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah

= P(A) + P(B)

= �

� +

�

=

�� +

�

�� =

�

��

Jadi, peluang mendapatkan uang logam ratusan

rupiah adalah �

��.

22. Jawaban: a

Lisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 elemen,

maka permasalahan menjadi permutasi siklis

dari 4 elemen. Adapun cara duduk Lisa, Tera, dan

Wisnu ada 3! cara.

A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

sebelahan

n(A) = 3! × permutasi siklis 4 elemen

= 3!(4 – 1)! = 36

n(S) = permutasi siklis 6 elemen

= (6 – 1)! = 5! = 120

P(A) =��

�� =

��

�� =

�

��

Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

sebelahan �

��.

23. Jawaban: c

Dalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan

16 bola lampu hidup.

A = kejadian pengambilan pertama mendapat dua

bola lampu mati

P(A) = ��

�� = �

�

�

� =

�

�� =

�

��

Dua bola lampu mati yang telah terambil tidak

dikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat

2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup.

B = kejadian pengambilan kedua mendapat dua

bola lampu hidup

P(B) = ��

�� =

��

�

�

� = ��

�� =

��

��

A ∩ B = kejadian pengambilan pertama mendapat

dua bola lampu mati dan pengambilan

kedua mendapat dua bola lampu hidup

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

= �

�� ×

��

��

=

��

Jadi, peluang pengembalian dengan kedua bola

lampu mati dan pengambilan kedua dengan kedua

bola lampu hidup adalah

��.

24. Jawaban: e

S = kejadian terpilih 3 orang dari 30 orang

n(S) = 30

C3 =

��

�� =

��

��

× × ×× × ×

= 4.060

A = kejadian terpilih 3 pria dari 10 pria

n(A) =10

C3

= ��

�� =

��

��

× × ×× × × = 120

B = kejadian terpilih 3 orang berambut keriting

dari 15 orang

N(B) = 15

C3 =

��

�� =

��

��

× × ×× × × = 455

A ∩ B = kejadian terpilih 3 orang pria dan berambut

keriting

n(A ∩ B) = 5C

3 =

��

� �� =

� � ��

� ��

× ×× × = 10

A ∪ B = kejadian terpilih ketiganya pria atau

berambut keriting:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= ��

�� +

��

�� –

��

�� =

��

��

Jadi, peluang terpilih ketiganya pria atau berambut

keriting adalah ��

��.

25. Jawaban: e

Misalkan x = banyak siswa tidak gemar basket

dan futsal

Berambut keriting

Berambut tidak keriting

Jumlah

JumlahWanitaPria

5

5

10

10

10

20

15

15

30

S A B

45 – 25 25 50 – 25

x


n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)′⇔ 100 = ((45 – 25) + 25 + (50 – 25)) + x

⇔ 100 = 70 + x

⇔ x = 30

C = kejadian terpanggil 1 siswa yang tidak gemar

basket dan futsal

n(C) = 30

C1 = 30

S = kejadian terpanggil 1 siswa dari 100 siswa

n(S) = 100

C1 = 100

P(C) = ��

�� =

��

�� =

�

��

Jadi, peluang siswa yang terpanggil tidak gemar

basket dan futsal adalah �

��.

26. Jawaban: b

P(B) = 1 – P(Bc) = 1 – 0,45 = 0,55

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

⇔ 0,85 = P(A) + 0,55 – 0,45

⇔ P(A) = 0,85 – 0,55 + 0,45 = 0,75

P(Ac) = 1 – P(A)

= 1 – 0,75

= 0,25

27. Jawaban: a

Banyak percobaan: N = 165

Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11

Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 11

C2 = 55

Kemungkinan uang logam yang terambil 2 uang

logam seribuan atau 1 uang logam seribuan dan

1 uang logam lima ratusan.

A = kejadian terambil 2 uang logam seribuan

n(A) = 8C

2 = 28

P(A) = ��

�� =

��

B =kejadian terambil 1 uang logam seribuan dan

1 uang logam lima ratusan

n(B) = 8C

1 ×

3C

1 = 8 × 3 = 24

P(B) = ��

�� =

�

��

Peluang terambil uang logam seribuan:

P = P(A) + P(B) =

�� +

�

�� =

�

��

Fh

= P × N = �

�� × 165 = 156

Jadi, frekuensi harapan selalu terambil uang logam

seribuan adalah 156 kali.

28. Jawaban: b

A = kejadian muncul mata dadu yang hasil kalinya

bilangan ganjil

= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1),

(5, 3), (5, 5)}

n(A) = 9

n(S) = 36

P(A) = ��

�� =

�

�� =

�

�

Fh(A) = P(A) × n =

�

� × 100 = 25 kali

Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu yang

hasil kalinya bilangan ganjil adalah 25 kali.

29. Jawaban: a

Jumlah bola = 5 + 4 = 9


n(S) = 9C

3

= �

��

= � � ��

��

× × ××

= 84

A = kejadian terambil sekurang-kurangnya 2 bola

putih

Kemungkinan bola yang terambil:

• 2 bola putih, 1 bola hitam

• 3 bola putih

A1 = kejadian terambil 2 bola putih, 1 bola hitam

n(A1) =

5C

2 ×

4C

1

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

��

× × ×

� ��

��

×

= 10 × 4 = 40

P(A1) =

��

�� =

��

�

A2 = kejadian terambil 3 bola putih

n(A2) =

5C

3

= � � ��

��

× ×

= 10

P(A2) =

��

�� =

��

�

P(A) = P(A1) + P(A

2)

= ��

� +

��

�

= ��

�

Fh(A) = n × P(A)

= 84 × ��

�

= 50 kali

Jadi, frekuensi harapan terambil sekurang-

kurangnya 2 bola putih adalah 50 kali.

40 Peluang

30. Jawaban: d

A = kejadian pelamar hanya lulus tes tertulis

P(A) = 0,4

Banyak pelamar yang hanya lulus tes tertulis

= Fh(A)

= P(A) × n

= 0,4 × 40

= 16 orang

B = kejadian pelamar hanya lulus tes wawancara

P(B) = 0,2

Banyak pelamar yang hanya lulus tes wawancara

= Fh(B)

= P(B) × n

= 0,2 × 40

= 8 orang

Banyak pelamar yang hanya lulus tes tertulis atau

wawancara = 16 + 8 = 24 orang.

B. Uraian

1. a. (n + 3)! = 6(n + 2)!

⇔ (n + 3) (n + 2)! = 6(n + 2)!

⇔ n + 3 = 6

⇔ n = 3


b. 7 · nP

2 = 4 ·

n + 2C

3

⇔ 7 · ��

�� − = 4 · ��

��

+−

⇔ 7 ·��

��

− −− = 4 ·

��

��

+ + −−

⇔ 7n(n – 1) =

�(n + 2)(n + 1)n

⇔ 21(n – 1) = 2(n2 + 3n +2)

⇔ 21n – 21 = 2n2 + 6n + 4

⇔ 2n2 – 15n + 25 = 0

⇔ (2n – 5)(n – 5) = 0

⇔ 2n – 5 = 0 atau n – 5 = 0

⇔ n = 2�

atau n = 5

Oleh karena n ∈ bilangan bulat maka n = 5.


2. a. 2 foto yang disusun selalu bersama-sama

dianggap sebagai 1 benda.

Permasalahan menjadi permutasi dari 6 – 1 =

5 benda yaitu ada 5P

5 cara.

Penyusunan 2 foto yang selalu bersama-

sama ada 2P

2 cara.

Banyak cara seluruhnya

= 2P

2 ×

5P

5

= 2! × 5!

= 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 240 cara

Jadi, banyak cara menyusun foto dengan

2 foto selalu bersama-sama ada 240 cara.

b. Banyak 6 foto dipasang dengan tidak ada

batasan cara = 6P

6

= 6!

= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 720 cara

Banyak foto dipasang dengan 2 foto selalu

bersama-sama = 2P

2 ×

5P

5

= 2! × 5!

= 2 · 1 × 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 240 cara

Jadi, banyak cara menyusun 6 foto

dengan 2 foto tidak pernah bersama-sama

= 720 – 240 = 480 cara.

3. a. Banyak cara membentuk kelompok

= banyak cara memilih 7 siswa dari 12 siswa

= 12

C7

= 792

b. n1

= banyak cara membentuk kelompok

beranggotakan 4 putra dan 3 putri

= 8C

4 ×

4C

3

= 70 × 4

= 280

n2



= 8C

5 ×

4C

2

= 56 × 6

= 336

n3



= 8C

6 ×

4C

1

= 28 × 4

= 112

n4


beranggotakan 7 putra

= 8C

7

= 8

Banyak cara membentuk kelompok dengan

anggota kelompok putra paling sedikit empat

= n1 + n

2 + n

3 + n

4

= 280 + 336 + 112 + 8

= 736

4. Bentuk taman yang diinginkan

Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)!

= 2!

= 2

Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)!

= 5!

= 120

I

II II

II II

I II II I


Banyak cara menanam pohon-pohon itu

= 2 × 120 = 240 cara.

5. Password terdiri atas 4 huruf. Huruf pertama diawali

dengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih dari

huruf p, q, r, t, u, dan v.

Banyak huruf yang dapat dipilih

= 6C

3

= ��

��

= � � � ��

��

× × ××

= 20 cara

Banyak angka yang dapat dipilih:

= 4C

2

= ��

� �

= � � �

�

× × ××

= 6 cara

Banyak susunan password yang dapat disusun

= 5

P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara.

Banyak password yang dapat dibentuk

= 20 × 6 × 120

= 14.400 cara

Jadi, banyak password yang dapat disusun ada

14.400 cara.

6. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartu

n(S) = 52

C13

R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack

= kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan

9 kartu sembarang dari 48 kartu selain Jack

n(R) = 4C

4 ×

48C

9

P(R) = ��

��=

� � � �

� ��

� �

�

×

=

��

��

��

��

�×

= ��

�� ×

��

��

= ��

��

× × ×× × × =

��

��

Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack ��

��.

7. Jumlah uang logam = 8 + 3 = 11

Kemungkinan uang logam yang terambil pertama

seribuan dan kedua lima ratusan, atau pertama

lima ratusan dan kedua seribuan.

P(A) = peluang terambil uang logam seribuan pada

pengambilan pertama dan uang logam lima

ratusan pada pengembalian kedua

P(A) =

�� ×

�

�� =

�

��

B = kejadian terambil uang logam lima ratusan

pada pengambilan pertama dan uang logam

seribuan pada pengambilan kedua

P(B) = �

�� ×

�� =

�

��

Peluang terambil uang logam seribuan satu kali:

P = P(A) + P(B)

= �

�� +

�

��

= �

��

= �

��

8. Jumlah bola = 6 + 4 + 8 = 18


n(S) = 18

C2

= ��

��

= � ��

��

× ××

= 153 kali

Kemungkinan bola yang terambil adalah

(1P, 1H), (1P, 1K), dan (1K, 1H)

A = kejadian bola yang terambil 1 putih dan 1 hijau

n(A) = 6C

1 ×

4C

1

= 6 × 4

= 24

B = kejadian bola yang terambil 1 putih dan

1 kuning

n(B) = 6C

1 ×

8C

1

= 6 × 8

= 48

C = kejadian bola yang terambil 1 kuning dan

1 hijau

n(C) = 8C

1 ×

4C

1

= 8 × 4

= 32

Peluang terambil bola berbeda warna:

P = P(A) + P(B) + P(C)

= ��

�� +

��

�� +

��

��

= �

�� +

�

�� +

�

��

= ��

��

Fh(P) = P × n

= ��

�� × 306

= 208

Jadi, frekuensi harapan terambil bola berbeda

warna 208.

42 Peluang

9. A = kejadian Ratna lulus ujian Matematika

P(A) = 0,82

B = kejadian Ratna lulus ujian Fisika

P(B) = 0,64

B′ = kejadian Ratna tidak lulus ujian Fisika

P(B′) = 1 – 0,64

= 0,36

a. Peluang Ratna lulus ujian Matematika atau

Fisika

= P(A) + P(B)

= 0,82 + 0,64

= 1,46

b. Peluang Ratna lulus ujian Matematika tetapi

tidak lulus ujian Fisika

= P(A ∩ B′)= P(A) × P(B′)= 0,82 × 0,36

= 0,2952

10. a. A = kejadian nasabah tidak bermasalah

dalam angsuran kreditnya

A′ = kejadian nasabah yang macet angsuran-

nya

P(A) = 0,82

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0,82 = 0,18

Jadi, peluang kejadian nasabah macet

angsurannya 0,18.

b. Fh(A) = n × P(A) = 20.000 × 0,82 = 16.400

Jadi, 16.400 nasabah akan tepat waktu dalam

membayar angsuran.


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

Banyak karyawan

= ��

�� × banyak karyawan SMA

= ��

�� × 24

= 5 × 24

= 120 orang

2. Jawaban: c

Persentase karyawan lulusan sarjana

= 100% – (20% + 25% + 10%)

= 100% – 55%

= 45%

Banyak karyawan lulusan sarjana

n = persentase sarjana × banyak karyawan

= 45% × 120

= 54 orang

3. Jawaban: b

Jumlah siswa ada 40.

Jumlah siswa yang memperoleh nilai 70 dan 80

= 40 – (2 + 7 + 4 + 2)

= 40 – 15 = 25

Perbandingan banyak siswa yang memperoleh nilai

70 dan 80 adalah 2 : 3.

Banyak siswa yang memperoleh nilai 70

= �

� �+ × 25

= �

� × 25

= 10

4. Jawaban: a

� = �

� �

��

� ��

⋅∑=Σ

= ��

��

× + × + × + × + × + × + ×

= ��

��

= 8,3

Jadi, rata-rata dari data tersebut 8,3.

5. Jawaban: b

Banyak data: n = 25

Median di kelas interval 20–23.

Me

= L + ��

��

��

� �

�

⋅ −

· p

= 19,5 +

�

��

�

⋅ −

· 4

= 19,5 + 3 = 22,5

Modus di kelas interval 16 – 19.

M0

= L + �

� �

�

� �

+

· P

= 15,5 + �

� �

+

· 4 ≈ 18,9

Jadi, median dan modus pendapatan tahunan

pekerja berturut-turut $22.500 dan $18.900.

6. Jawaban: b

x° + 3x° = 360° – (90° + 70°)

⇔ 4x° = 360° – 160°

⇔ 4x° = 200°

⇔ x = 50

Anak yang memilih sepak bola

3x° = 150°

��

�=

��

��

°°

⇔ y = ��

��

° ×° =

��

�� = 60

Jadi, jumlah anak yang memilih sepak bola

60 orang.

7. Jawaban: d

� = � � � � � � � � � � � ��

� � � � � �

× + × + × + × + × + ×+ + + + +

= ��

��

+ + + + +

= ��

�� = 7

Jadi, jumlah siswa yang nilainya di atas rata-rata

(nilai 7) adalah 6 + 1 + 1 = 8.

8. Jawaban: e

Banyak siswa laki-laki : banyak siswa perempuan

= 7 : 8

Banyak siswa laki-laki = n1 =

�

�� × 30 = 14 orang

44 Ulangan Tengah Semester

Banyak siswa perempuan = n2

= �

�� × 30

= 16 orang

Rata-rata nilai siswa laki-laki = �1 = 7,6

Rata-rata nilai siswa perempuan = �2 = 8

Nilai rata-rata siswa dalam kelas

= � � � �

� �

� � � �

� �

++

= ��

��

× + ×+

= ��

��

+

= ��

�� = 7,813

9. Jawaban: c

�� =

�

��

�

�

=Σ

⇔�

��

�=Σ = 8 × �� = 8 × 94

= 752 kg

�� =

�

� ��

� �

�

=Σ +

⇔ 92 = ��

�

+

⇔ x9

= 9 × 92 – 752

= 828 – 752 = 76

Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut

76 kg.

10. Jawaban: e

Modus di kelas interval 09.33–09.35.

Mo

= L + �

� �

�

� �

+

· p

= 09.32'.30'' + ��

��

+

· 3

= 09.32'.30'' + ��

��

= 09.32'.30'' + 2,25

= 09.32'.30'' + 2'.15''

= 09.34'.45''

Jadi, modus dari waktu kedatangan bus tersebut

09.34'.45''.

11. Jawaban: d

Banyak data: n = 25

Median di kelas interval ketiga (5 – 6).

Me

= L + ��

��

��

� �

�

⋅ −

· P

= 4,5 +

�

��

�

⋅ −

· 2

≈ 4,5 + 0,78 = 5,28

12. Jawaban: a

Diperoleh tabel berikut.

Q1


�

+


Q1 di kelas interval 21 – 30.

Q1

= L + �

�

��!�

!

��

�

⋅ −

· p

= 20,5 + ��

��

−

· 10

= 20,5 + ��

��

· 10

= 20,5 + 6,25 = 26,75

Jadi, kuartil bawah data tersebut 26,75.

13. Jawaban: e

Q1


�

+



Q1

= L + �

�

��!�

!

� �

�

−

· p

= 60,5 + ��

��

−

· 10

= 60,5 + 5 = 65,5

Q3


�

+



Q3

= L + �

�

��!�

!

� �

�

−

· p

= 80,5 + ��

��

−

· 10

= 80,5 + 1 = 81,5

Tinggi Tumbuhan

1 – 10

11 – 20

21 – 30

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

fk

29

75

155

263

395

458

500

fi

29

75 – 29 = 46

155 – 75 = 80

263 – 155 = 108

395 – 263 = 132

458 – 395 = 63

500 – 458 = 42

xi

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

101 – 110

Jumlah

fi

3

7

10

24

10

4

2

60

fk

3

10

20

44

54

58

60


Jangkauan antarkuartil

= Q3 – Q

1

= 81,5 – 65,5

= 16

14. Jawaban: d

Kuartil pertama (Q1)


Q1

= L + �

�

��!�

!

� �

�

−

· p

= 54,5 + �

��

�

× −

· 5

≈ 54,5 + 0,83

= 55,33

Kuartil atas (Q3) di kelas interval 65 – 69.

Q3

= L + �

�

��!�

!

� �

�

−

· p

= 64,5 + �

��

�

× −

· 5

= 64,5 + 2,5

= 67

Rataan kuartil:

Rk

= �

� (Q

1 + Q

3)

= �

� (55,33 + 67)

= 61,165

≈ 61,17

15. Jawaban: b

Desil ke-6 = D6 terletak di kelas 60–64.

L6

= 59,5

fD6

= 5

ΣfD6

= 15

D6

= L6 + �

�

�"��

"

� �

�

− Σ

· p

= 59,5 +

�#

��

�

−

· 5

= 59,5 + ��

�

−

· 5

= 59,5 + 3 = 62,5

16. Jawaban: b

� = � � � � � �

�

+ + + + +

= ��

� = 6

Simpangan rata-rata

= �& � �&

�

Σ −

= & � � & & � � & & � � & & � � & & � � & & � � &

�

− + − + − + − + − + −

= � � � � � �

�

+ + + + +

= �

� = 1

�

�

17. Jawaban: e

� = � � � � � � � � �

��

⋅ + ⋅ + + ⋅ + +

= ��

�� = 6

��

��

�� =

−∑ = 2(4 – 6)2 + 3(5 – 6)2 + (6 – 6)2 +

2(7 – 6)2 + (8 – 6)2 + (9 – 6)2

= 2 · 4 + 3 · 1 + 0 + 2 · 1 + 4 + 9

= 26

Simpangan baku:

s =

��

��

��

�

=−∑

= ��

��

= ��

�

18. Jawaban: d

� = � �

� ��

��

��

�

=

=

⋅∑

∑

= � ��

� � � � � �

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +

= ��

��

= 17

��

� ��

� �� =

−∑ = 6(15 – 17)2 + 3(16 – 17)2 + 3(17 – 17)2

+ 3(18 – 17)2 + 3(19 – 17)2

+ 2(20 – 17)2

= 6 · 4 + 3 · 1 + 3 · 0 + 3 · 1 + 3 · 4

+ 2 · 9

= 60

Variansi: s2 =

��

��

�

��

� ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 3


19. Jawaban: a

Simpangan rata-rata

=

�

� � ��

�

��

� & � � &

�

=

=

−∑

∑

= � & �� & � & �� & � & �� & � & �� & � & �� & � & �� &

� � � � � �

− + − + − + − + − + −+ + + + +

= � � � � � � � � � � � �

��

× + × + × + × + × + ×

= ��

��

+ + + + +

= ��

��

= �

�

= 1,5

20. Jawaban: d

�� = � � � ��

�

+ + + +

= 15

�� = � � � ��

�

− + − + − + + −

= � � � ��

�

+ + + + − − − − −

= � � � ��

�

+ + + + –

� �

�

= 15 – 2

= 13

21. Jawaban: c

Banyak kaos = 4

Banyak celana = 3

Banyak kaos kaki = 2

Banyak variasi kostum = 4 × 3 × 2 = 24

22. Jawaban: e

Banyak huruf = 12

Banyak huruf N = 2

Banyak huruf A = 2

Banyak huruf I = 2

Banyak huruf S = 2

Banyak susunan huruf = ��*

�* �*�*�*

= �� *

��

×

= �

� × 11!

23. Jawaban: e

Tiga orang yang selalu duduk berdampingan

dianggap 1 unsur sehingga permasalahan menjadi

permutasi siklis dari 6 unsur.

Banyak cara duduk 3 orang yang berdampingan =

3P

3 = 3!

Banyak cara duduk delapan orang

= 3! (6 – 1)!

= 3! 5!

= 720

24. Jawaban: c

n + 1P

3 = 7 ·

nP

2

⇔ �� *

�� *

++ −

= � �*

�� *

⋅−

⇔ �� *

�� *

+−

= ��*

�� *−⇔ n + 1 = 7

⇔ n = 6

25. Jawaban: d

Banyak bilangan yang dapat dibentuk

= 10 × 3P

2

= 10 × 6 = 60

26. Jawaban: b

Kemungkinan yang terpilih 2 anak laki-laki dan 3

anak perempuan, 1 anak laki-laki dan 4 anak

perempuan, dan 5 anak perempuan.

Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dan 3 anak

perempuan

= 10

C2 ×

5C

3

= ��*

�* �* ×

�*

�* �*

= �� *

�* � �

× ×× ×

× � � �*

�* � �

× ×× ×

= 45 × 10

= 450

2

2

2

3

3

4

4

4

5

5

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

1

3

5

1

5

1

3

5

1

3

3P

2

I II III IV

n suku



perempuan = 10

C1 ×

5C

4

= ��*

�* �* ×

�*

�*�*

= �� *

�*

× ×

� �*

�* �

××

= 10 × 5 = 50

Banyak cara memilih 5 anak perempuan

= 5C

5

= �*

�* �*

= 1

Jadi, banyaknya cara memilih paling banyak 2 anak

laki-laki disertakan adalah 450 + 50 + 1 = 501

cara.

27. Jawaban: b

Misal:

A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 2

B = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 3

C = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 5

D = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 7

E = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 11

A = {(1, 1)}

B = {(1, 2), (2, 1)}

C = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

D = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

E = {(5, 6), (6, 5)}

Peluang muncul jumlah kedua mata dadu prima

sebagai berikut.

P = �� ;� ��<� ��"� ��>�

��

+ + + +

= � � � � �

��

+ + + +

= ��

�� =

�

��

28. Jawaban: a

A = kejadian muncul angka genap pada dadu

pertama

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),

(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),

(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua

= {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)}

A ∩ B = {(2, 4), (4, 4), (6, 4)}

n(A) = 18, n(B) = 6, n(A ∩ B) = 3

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��;�

�� –

�� ;�

��

∩

= ��

�� +

�

�� –

�

��

= ��

�� =

�

��

29. Jawaban: c

M = kejadian muncul bilangan prima pada dadu

pertama dan bilangan ganjil pada dadu

kedua

= {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5),

(5, 1), (5, 3), (5, 5)}

n(M) = 9

P(M) = ��

�� =

�

�� =

�

�

30. Jawaban: d

Pada pengambilan pertama terambil kelereng biru,

sehingga tersisa 2 kelereng merah, 3 kelereng

putih, dan 4 kelereng hijau.

A = kejadian terambil kelereng hijau jika pada

pengambilan pertama terambil kelereng biru

P(A) = � �

� �

<

< = �

�

31. Jawaban: a

M = kejadian terambil bola putih pada pengambil-

an pertama

P(M) = � �

��

<

< = �

�� =

�

�

N = kejadian terambil bola kuning pada

pengambilan kedua setelah kejadian

pengambilan bola pertama

P(N) = � �

��

<

< = �

��

P(M ∩ N) = P(M) × P(N)

= �

� ×

�

�� =

�

��

32. Jawaban: e

n(S) = banyak cara mengambil 4 kelereng dari 12

kelereng

=12

C4

=��*

�* �*

=�� *

�* � � � �

× × × ×× × ×

= 11 × 5 × 9 = 495

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6,6)


A = kejadian terambil 3 kelereng merah dan

1 hijau

n(A) = banyak cara mengambil 3 kelereng merah

dan 1 hijau

n(A) =4C

3 ×

4C

1

=�*

�* �* × 4

=� �*

�*

× × 4

= 16

P(A) = ��

��

= ��

��

33. Jawaban: a

Banyak bola = 5 + 8 + 7 + 4 = 24

Banyak bola merah dan bola putih

= 5 + 8 = 13

A = kejadikan terambil baik bola merah atau bola

putih

P(A) = ��

��

<

< = ��

��

34. Jawaban: d

Banyak bola selain bola kuning

= 8 + 3 + 4 = 15

A = kejadikan terambil bola selain bola kuning

P(A) = ��

��

<

<

= ��

��

= ��

��

35. Jawaban: a

Misal B kejadian muncul mata dadu bilangan

komposit.

B = {4, 6} ⇒ n(B) = 2

Frekuensi harapan

= P(B) × n

= ��;�

�� × 72

= �

� × 72

= 24

36. Jawaban: d

A = {bilangan tidak ganjil maupun prima}

= {bilangan genap} – {2}

= {4, 6, 8, . . . , 50}

n(A) = 25 – 1 = 24

P(A) = ��

��

= ��

��

= ��

��

37. Jawaban: c

A = kejadian terambil kartu berwarna hitam

n(A) = 26

B = kejadian terambil kartu berangka 10

n(B) = 4

n(A ∩ B) = 2

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

�

�� –

�

��

= ��

��

= �

��

38. Jawaban: e

Pada pengambilan pertama terambil kartu 10.

Pada pengambilan kedua diperoleh:

n2 = n – 1 = 51

A = kejadian terambil kartu angka lebih dari 5 pada

pengambilan kedua

n(A) = 4 × 5 – 1 = 19

P(A) = �

��

� =

��

��

39. Jawaban: c

B = kejadian tidak muncul gambar atau angka pada

kedua uang logam

= {(A, A), (G, G)}

n(B) = 2

P(B) = ��;�

�

= �

� =

�

�

40. Jawaban: b

Misal:

A = kejadian muncul mata dadu bilangan prima

B = kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil

Diperoleh:

A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3

B = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3

A G

A (A, A) (A, G)

G (G, A) (G, G)


Peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima

atau ganjil:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��;�

�� –

�� ;�

��

∩

= �

� +

�

� –

�

�

= �

� =

�

�

Frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan

prima atau ganjil

= P(A ∪ B) × n

= �

� × 108

= 72

B. Uraian

1. Besar sudut pada merek D

= 360° – (25° + 30° + 15° + 75° + 60°)

= 360° – 315°

= 45°

Besar sudut pada merek E = 75°

;�� ?�� "

;�� ?�� >=

��

��

°°

Banyak merek D = ��

��

°° × banyak merek E

= �

� × 240

= 144

Jadi, komputer merek D terjual 144 unit.

2.

� = � �

�

��

�

ΣΣ

⇔ 20,5 = ��

��

++

⇔ 1.332,5 + 143,5n = 1.450 + 120n

⇔ 23,5 n = 117,5

⇔ n = 5

Banyak data = 65 + 7n = 65 + 7 · 5 = 100.

Me = nilai data ke-

�

�(100 + 1) = nilai data ke-50,5

Median di kelas interval 18 – 22.

Me

= L2 + �

�

��

�

�

�

−

· p

= 17,5 + ��

��

−

· 5

= 17,5 + ��

�� · 5

= 17,5 + 4 = 21,5

Jadi, median data tersebut 21,5.

3.

Kuartil atas terletak pada data urutan

ke-�

� (70 + 1) = 52,25, yaitu pada interval

150 – 154.

Q3

= L + �

�

�!

!

�

��

�

− × p

= 149,5 + ��

��

−

· 5

≈ 149,5 + 4,11 = 153,61

P30


�� (70 + 1) = nilai data

ke-21,3

P30

di kelas interval 145 – 149

P3

= L + ��

��

��

�

� �

�

−

= 144,5 +

��

��

��

⋅ −

· 5

= 144,5 + 0

= 144,5

4. � = @H?OU �

W��

⇔ q = ��

�

+ + + + +

⇔ 5q = 110 + 3p

�� =

� � � � �

� � � � ��

�

⋅ + + + + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

⇔ 20 = �

��

�

+ + + + + + ⋅

xi

5

10

15

20

25

30

Jumlah

5

2n

15

5n

30

15

65 + 7n

25

20n

225

100n

750

450

1.450 + 20n

fi

fix

i

Ukuran fk

135 – 139

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

9

21

41

55

64

70

fi

9

21 – 9 = 12

41 – 21 = 20

55 – 41 = 14

64 – 55 = 9

70 – 64 = 6


⇔ 20 = �

�

��

�

+ + + + + + 3

⇔ 20 = �

�q + 3

⇔ �

�q = 17

⇔ q = 34

Substitusi q = 34 ke 5q = 110 + 3p diperoleh:

5 · 34 = 110 + 3p

⇔ 3p = 60

⇔ p = 20

Jadi, nilai p = 20 dan q = 34.

5. � = 4

⇔ W � � W

�

− + + + += 4

⇔ 2a = 4

⇔ a = 2

Data menjadi: 2 – b, 4, 8, 2 + b

Variansi = 6,5

⇔��

�

Σ – ( � )2 = 6,5

⇔� � � �� W� � � �� W�

�

− + + + + – 42 = 6,5

⇔� �� W W �� W W

�

− + + + + + + = 22,5

⇔ 2b2 + 88 = 90

⇔ 2b2 = 2

⇔ b = ±1

Jadi, nilai a = 2 dan b = –1 atau b = 1.

6. Komite yang terbentuk kemungkinan terdiri atas 5

guru laki-laki dan 1 guru perempuan atau 4 guru

laki-laki dan 2 guru perempuan.

Banyak cara membentuk komite

= 7C

5 ×

5C

1 +

7C

4 ×

5C

2

= �*

�*�* ×

�*

�*�* +

�*

�*�* ×

�*

�*�*

= � �

� �

×× ×

�

� +

� � �

� � �

× ×× × ×

� �

� �

××

= 105 + 350

= 455

7. Jumlah kelereng dalam kotak = 20.

Pasangan kelereng yang mungkin terambil adalah

(putih, kuning), (putih, merah), (putih, biru), atau

(putih, putih).

Peluang terambil kelereng pertama putih dan

kelereng kedua kuning:

P (putih, kuning) = �

�� ×

�

�� =

��

��


kelereng kedua merah:

P (putih, merah) = �

�� ×

�

�� =

��

��


kelereng kedua biru:

P (putih, biru) = �

�� ×

�

�� =

�

��


kelereng kedua putih:

P (putih, putih) = �

�� ×

�

�� =

��

��

Peluang terambil kelereng pertama putih:

P = P (putih, kuning) + P (putih, merah)

+ P (putih, biru) + P (putih, putih)

= ��

�� +

��

�� +

�

�� +

��

��

= ��

�� =

�

�

8. Banyak percobaan: n = 170.

Banyak anggota ruang sampel: n(s) = 52

C2 = 1.326.

A = kejadian terambil 2 kartu bukan hati

n(A) = 39

C2 = 741

Frekuensi harapan terambil 2 kartu bukan hati:

Fh

= P(A) × n

= ��

�� × 170

= 95

9. Misal:

Q = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 5

R = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8

Q = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} → n(Q) = 4

R = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → n(R) = 5

Q dan R kejadian saling lepas, maka:

P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)

= ��!�

�� +

��X�

��

= �

�� +

�

�� =

�

�� =

�

�

Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah

5 atau 8 adalah �

�.

10. Kotak I = 5 merah, 3 biru

Kotak II = 7 merah, 4 putih

Peluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan

1 bola putih dari kotak II

= �

�

� × �

��

= �

��

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak I

dan 1 bola putih dari kotak II adalah �

��.


2. Menurunkan rumus

trigonometri dan

penggunaannya.

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

2.1 Menggunakan rumus sinus dan kosinus

jumlah dua sudut, selisih dua sudut,

dan sudut ganda untuk menghitung si-

nus dan kosinus sudut tertentu.

2.2 Menurunkan rumus jumlah dan selisih

sinus dan kosinus.

2.3 Menggunakan rumus jumlah dan

selisih sinus dan kosinus.

Pada bab ini akan dipelajari:1. Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut2. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap (ganda)3. Rumus yang menghubungkan bentuk jumlah dan selisih trigonometri dengan bentuk perkalian trigonometri

Rasa ingin

tahu

Pantang

Menyerah

Mengembangkan rasa ingin tahu

tentang cara menjabarkan rumus

sinus dan kosinus jumlah dua sudut

dan selisih dua sudut, serta

operasinya.

Pantang menyerah dalam me-

nyelesaikan soal dan membuktikan

identitas trigonometri.


Trigonometri

Menggunakan rumus sinus dan

kosinus jumlah dua sudut, selisih dua

sudut, dan sudut rangkap/ganda

untuk menghitung sinus dan kosinus

sudut tertentu

Menurunkan rumus jumlah dan

selisih sinus dan kosinus

Menggunakan rumus jumlah dan

selisih sinus dan kosinus

• Menurunkan rumus sinus, kosinus,

dan tangen jumlah dua sudut

• Menurunkan rumus sinus, kosinus,

dan tangen selisih dua sudut

• Mengubah bentuk a cos x + b sin x

menjadi bentuk k cos (x – a)

• Menentukan rumus sinus, kosinus,

dan tangen sudut rangkap/ganda

• Menentukan rumus sinus, kosinus,

dan tangen sudut pertengahan

• Menurunkan rumus penjumlahan

sinus dan kosinus

• Menurunkan rumus pengurangan

sinus dan kosinus

• Mengubah bentuk perkalian sinus

dan kosinus menjadi bentuk

penjumlahan

• Mengubah bentuk penjumlahan

atau pengurangan sinus dan

kosinus menjadi bentuk perkalian

• Menggunakan rumus jumlah dan

selisih sinus untuk memecahkan

masalah

• Menggunakan rumus jumlah dan

selisih kosinus untuk memecahkan

masalah

Siswa mampu menggunakan rumus

sinus dan kosinus jumlah dua sudut,

selisih dua sudut, dan sudut rangkap/

ganda untuk menghitung sinus dan

kosinus sudut tertentu

Siswa mampu menurunkan rumus

jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Siswa mampu menggunakan rumus

jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Siswa dapat menurunkan dan menggunakan rumus trigonometri

52 Trigonometri

�1

1

α

��

3

1

β

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

cos (p – q) = cos ((3x – y) – (2x + 3y))

= cos (x – 4y)

= cos x cos 4y + sin x sin 4y

2. Jawaban: e

2 cos (�

�π – 3A)

= 2(cos �

�π cos 3A + sin

�

�π sin 3A)

= 2(�

�� cos 3A +

�

� sin 3A)

= � cos 3A + sin 3A

3. Jawaban: b

tan (x + y) = 33

⇔��

� ��

+− = 33

⇔� ��

� � ��

+− = 33

⇔ 3 + tan y = 33 – 99 tan y

⇔ tan y + 99 tan y = 33 – 3

⇔ 100 tan y = 30

⇔ tan y = ��

��

⇔ tan y = �

��

Jadi, nilai tan y = �

��.

4. Jawaban: a

p = sin 105°

= sin (60° + 45°)

= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

= �

�� ×

�

� � + �

� ×

�

� �

= �

�� +

�

��

p – �

�� = (

�

�� +

�

�� ) –

�

��

= �

��

5. Jawaban: b

tan 315° = tan (360° – 45°)

= ��

� ��

° − °+ ° °

= � �

� � ��

−+ −

= �

�

− = –1

6. Jawaban: a

sin (–75°)

= sin ((–30°) + (–45°))

= sin (–30°) cos (–45°) + cos (–30°) sin (–45°)

= –sin 30° cos 45° – cos 30° sin 45°

= –�

� ×

�

�� –

�

�� ×

�

��

= –�

�� –

�

��

7. Jawaban: b

tan α = 1, α sudut lancip

sin α = �

�

cos α = �

�

tan β = �

�, β sudut lancip

sin β = �

��

cos β = �

��

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

= �

� ×

�

�� –

�

� ×

�

��

= �

�� –

�

��

= �

�� =

�

� � ×

�

� =

�

��

8. Jawaban: b

sin x = �

�, x sudut tumpul

cos x = –�

�

cos y = ��

��, y sudut lancip

sin y = �

��

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

= �

�

− × ��

�� +

�

� ×

�

��

= –��

�� +

��

��

= –��

��

3

4

5

x

5

12

13

y


9. Jawaban: d

sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q

⇔ sin 30° = sin p cos q – �

�

⇔ sin p cos q = sin 30° + �

�

= �

� +

�

� =

�

�

10. Jawaban: e

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

⇔ cos �

π= cos A cos B –

�

�

⇔ �

�= cos A cos B –

�

�

⇔ cos A cos B = �

�+

�

�=

�

�

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

= �

�+

�

� = 1

Jadi, nilai cos (A – B) = 1.

11. Jawaban: d

Dari sin C = �

��,

diperoleh cos C = �

��

dan tan C = �

�.

Pada segitiga berlaku:

A + B + C = 180°

⇔ A + B = 180° – C

tan (A + B) = ��

� ��

+−

⇒ tan (180° – C) = ��

� ��

+−

⇔ –tan C = ��

� ��

+−

⇔ tan A + tan B = –tan C (1 – tan A tan B)

= –�

�(1 – 13)

= –�

�(–12) = 8

Jadi, nilai tan A + tan B = 8.

12. Jawaban: d

Pada segitiga ABC berlaku:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇔ ∠A + ∠B = 180° – ∠C

⇔ ∠A + ∠B = 180° – 45°

⇔ ∠A + ∠B = 135°


⇔ cos 135° = cos A cos B – �

�

⇔ –cos 45° = cos A cos B – �

�

⇔ –�

�� = cos A cos B –

�

�


� –

�

��


= (�

� –

�

�� ) +

�

�

= �

� –

�

��

= �

� (2 – � )

13. Jawaban: e

sin A = �

�cotan B = 7

cos A = �

�cos B =

�

� �

sin B = �

� �

cos C = cos (180° – (A + B))

= –cos (A + B)

= –(cos A cos B – sin A sin B)

= –� � � �

� ��

× − ×

= –��

��

−

= –��

��

= –�

� = –

�

��

Oleh karena cos C negatif berarti sudut C me-

rupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.

14. Jawaban: c


⇔ cos �

π=

�

� – sin A sin B

⇔ �

�=

�

� – sin A sin B

⇔ sin A sin B = �

� –

�

�

⇔ sin A sin B = � �

�

−

⇔ sin A sin B = �

�

3

4

5

A B

1

7�� =

2

3

��

C

54 Trigonometri


= �

� +

�

� =

�

� =

�

�

15. Jawaban: e

tan A tan B = ��

��

⇔ cos A cos B = ��

�� =

�

��

�

= �

�

��

��

−+ =

��

��

+−

=

� �

� ��

� �

+

− =

�

��

�

= �

� = 2

16. Jawaban: a

∠ACB = 180° – (60° + 75°)

= 45°

sin 75° = sin (30° + 45°)

= sin 30° cos 45°

+ cos 30° sin 45°

=�

� ×

�

�� +

�

�� ×

�

��

=�

�� +

�

��

Ingat aturan sinus: �

�� =

�

�� =

�

�� .

��

�� ° = °��

�� ⇔ AC =

��

��

°° × AB

=

� �

� ��

�

� �

�

+ × 300

= (�

� +

�

�� ) × 300

= 150(1 + � ) cm

Jadi, panjang AC = 150(1 + � ) cm.

17. Jawaban: b

Bentuk � cos x – sin x mempunyai nilai a = �

dan b = –1.

k = � � �� + − = � �+ = � = 2

tan α = �

�⇒ tan α =

�

�

−

⇔ tan α = �

�− �

Oleh karena a positif dan b negatif maka α terletak

di kuadran IV sehingga:

tan α = –�

�� ⇔ α =

��

�π

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

⇔ � cos x – sin x = 2 cos (x – ��

�π)

18. Jawaban: c

–2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°) mempunyai nilai

a = –2 dan b = –2

k = � � �� − + − = � �+ = � = 2 �

Oleh karena a negatif dan b negatif maka αterletak di kuadran III

tan α = �

�⇔ tan α =

�

�

−−

⇔ tan α = 1

⇔ α = 225°

a cos x + b sin x = k cos (x – α)

–2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°)

= 2 � cos ((x + 30°) – 225°)

= 2 � cos (x – 195°)

Jadi, –2 cos (x + 30°) – 2 sin (x + 30°) dapat

disederhanakan menjadi 2 � cos (x – 195°).

19. Jawaban: c

cos x + sin x = �

�

a = 1 dan b = 1

k = � �� + = �

tan α = �

� = 1 = tan

�

π

⇔ α = �

π

cos x + sin x = �

�

⇔ � cos (x – �

π) =

�

�

⇔ cos (x – �

π) =

�

�

⇔ cos (x – �

π) = cos

�

π

1) x1 – �

π=

�

π + k · 2π

⇔ x1 = �

��π + k · 2π

k = 0 → x = �

��π

2) x – �

π= –

�

π + k · 2π

⇔ x = �

��π + k · 2π

k = 0 → x = �

��π

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi �

��π atau

�

��π.

20. Jawaban: d

� sin x – � cos x = –2

⇔ – � cos x + � sin x = –2

A B

M

60° 75°

300 cm


a = – � dan b = �

k = � � �� − +

= � �+

= � = 2 �

tan α = �

� =

�

�− = – � (α di kuadran II)

⇔ α = �

�π

⇔ – � cos x + � sin x = –2

⇔ 2 � cos (x – �

�π) = –2

⇔ cos (x – �

�π) = –

�

��

⇔ cos (x – �

�π) = cos

�

�π

1) x – �

�π =

�

�π + k · 2π

⇔ x = ��

��π + k · 2π

k = 0 → x = ��

��π

2) x – �

�π = –

�

�π + k · 2π

⇔ x = –�

��π + k · 2π

k = 1 → x = –�

��π + 2π =

��

��π

Jadi, nilai x yang memenuhi ��

��π dan

��

��π.

B. Uraian

1. a. cos A = –��

�� dan A di kuadran III sehingga:

p = � �� −

= �� −

= ��

= 16

sin A = –��

��

tan A = ��

��

sin B = �

� dan B di kuadran II sehingga:

q = � �� −

= �� −

= ��

= 4

cos B = –�

�

tan B = –�

�

tan (A + B) = ��

� ��

+−

=

��

��

��

�

� �

+ −

− × −

=

��

��

� �

−

+

= �

��

b. sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

= –��

�� × (–

�

�) – (–

��

��) ×

�

�

= ��

�� +

��

��

= ��

��

= 1

2. a. sin 75° + sin 195°

= sin (30° + 45°) + sin (240° – 45°)

= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

+ (sin 240° cos 45° – cos 240° sin 45°)

=�

�×

�

�� +

�

�� ×

�

��

+ (–�

�� ×

�

�� – (–

�

�) ×

�

�� )

=�

�� +

�

�� –

�

�� +

�

��

=�

�� +

�

��

=�

��

Jadi, nilai sin 75° + sin 195° = �

�� .

b. cos 165° – cos 15°

= cos (120° + 45°) + cos (45° – 30°)

= (cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°)

– (cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°)

= ((–�

�) ×

�

�� –

�

�� ×

�

�� )

– (�

�� ×

�

�� +

�

�� ×

�

�)

= (–�

�� –

�

�� ) – (

�

�� +

�

�� )

= –�

�� –

�

�� –

�

�� –

�

��

= –�

�� –

�

��

20

12

A

p

53

Bq

56 Trigonometri

3 2

α

� �� − = �

4

3

α

� �� − = �

c. tan 345° × tan 15°

= tan (300° + 45°) × tan (60° – 45°)

=��

� ��

° + °− ° ° ×

��

� ��

° − °+ ° °

= ��

� ��

− +− − ×

× � �

� � �

−+ ×

=� �

� �

− ++

× � �

� �

−+

= � � � �

� � � �

− + + −+ +

= � � �

� � �

− ++

× � � �

� � �

−−

= ��

��

− + + −−

= ��

�

− +

= –7 + � �

3. a.��

��

−−

= ��

��

−− −

= ��

��

−− =

��

��−

= ( )�

�

�

�

�

�− − = �

� =

�

��

b.��

��

° − °° °

= tan (25° – 85°)

= tan (–60°)

= –tan 60°

= – �

4. a. Diketahui sin α = �

�, cos β =

�

��, α dan β di

kuadran I

Oleh karena α di kuadran I maka cos α dan

tan α bernilai positif.

cos α = �

� dan tan α =

�

�

Oleh karena β di kuadran I maka cos β dan

tan β bernilai positif.

sin β = ��

�� dan tan β =

��

�

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= �

� ×

�

�� +

�

� ×

��

��

= ��

�� +

��

��

= ��

��

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

= �

� ×

�

�� –

�

� ×

��

��

= ��

�� –

��

��

= –��

��

tan (α – β) = ��

� ��

α − β+ α β

=

�

�

�

�

��

��

��

−

+ ×

=

��

��

��

��

��

��

�

−

+

=

��

��

��

−

= ��

��−

b. Diketahui sin α = �

�, cos β =

�

�, α di

kuadran II dan β di kuadran IV.

Oleh karena α di kuadran II maka cos α dan

tan α bernilai negatif.

cos α = –�

� dan tan α = –

�

�

Oleh karena β di kuadran IV maka sin β dan

tan β bernilai negatif.

sin β = –�

� dan tan β =

�

�−


= �

� ×

�

� + (–

�

�) × (–

�

�)

= � ��

��

+


= (–�

�) × (

�

�) – (

�

�) × (–

�

�)

= � � � �

��

− +

� �� − = � = 3

54

α

13

5

β

� �� − = ��

= 12


tan (α + β) = ��

� ��

α − β+ α β

=

� �

��

� �

��

� �

� � �

− − −

+ − −

=

� �

��

� �

� ��

− +

+ =

� ��

� �

� � � �

� �

− +

+

= � ��

� � � �

− ++

5. cos (A + B) = �

�

⇔ cos A cos B – sin A sin B = �

�. . . (1)

cos (A – B) = �

�

⇔ cos A cos B + sin A sin B = �

�. . . (2)

Tambahkan persamaan (1) ke persamaan (2):

cos A cos B – sin A sin B = �

�

cos A cos B + sin A sin B = �

�––––––––––––––––––––––––––– +

2 cos A cos B = �

�


��

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):

cos A cos B – sin A sin B =�

�

cos A cos B + sin A sin B = �

�––––––––––––––––––––––––––– –

–2 sin A sin B = �

�

⇔ sin A sin B = –�

��

tan A tan B = ��

��

=

�

��

�

��

− = –

�

�

Jadi, nilai tan A tan B = –�

�.

6. tan A = �

�

sin A = �

�

cos A = �

�

cos B = ��

��−

B di kuadran II

sin B = �

��

tan B = �

��−

a. tan (A – B) = ��

� ��

−+

=

� �

� ��

� �

� ��

�

� �

− −

+ × −

= � �

� ��

� ��

+

− ×

=

�

��

��

= ��

��

b. tan C = tan (180° – (A + B))

= –tan (A + B)

= –��

� ��

+ −

= –

� �

� ��

� ��

�

� �×

+ − − −

= –

�

��

��

= –��

��

7. a. sin (45° + θ) – sin (45° – θ)

= (sin 45° cos θ + cos 45° sin θ) – (sin 45° cos θ– cos 45° sin θ)

= (�

�� cos θ +

�

�� sin θ) – (

�

�� cos θ

– �

�� sin θ)

=�

�� cos θ +

�

�� sin θ –

�

�� cos θ

+ �

�� sin θ

=�

�� sin θ +

�

�� sin θ

= � sin θ (terbukti)

b. sin (30° + θ) + cos (60° + θ)

= (sin 30° cos θ + cos 30° sin θ)

+ (cos 60° cos θ – sin 60° sin θ)

= ( �

�cos θ +

�

�� sin θ) + ( �

�cos θ

– �

�� sin θ)

=�

�cos θ + �

�� sin θ +

�

�cos θ –

�

�� sin θ

=�

�cos θ +

�

�cos θ

= cos θ (terbukti)

1213

5

B

53

A

4

58 Trigonometri

c. tan (45° – θ)

= ��

� ��

° − θ+ ° θ

= � ��

� � ��

− θ+ × θ

= � ��

� ��

− θ+ θ

(terbukti)

d. tan (45° + θ)

= ��

� ��

° + θ− ° θ

= � ��

� � ��

+ θ− × θ

= � ��

� ��

+ θ− θ

=

��

��

��

��

�

�

θθθθ

+

−

=

��

��

��

��

θ + θθ

θ − θθ

= ��

��

θ + θθ − θ (terbukti)

8. a.��

��

+−

= ��

��

++

×

�

��

�

��

=

��

��

��

��

+

+

=

��

��

��

��

+

+ ⋅

= ��

� ��

++

(terbukti)

b.��

��

− − ++ + −

= ��

��

+ − −+ + −

= � ��

� ��

= ��

��

= tan B (terbukti)

9.

AD = � �� −

= �� −

= �

= 3 cm

DB = AB – AD

= 7 – 3

= 4 cm

BC = +� ��

= +��

= ⋅��

= 4 �

Diperoleh:

sin α = �

�, cos α =

�

�, tan α =

�

�, sin β =

�

� �

= �

�� , cos β =

�

� � =

�

�� , dan tan β = 1.


= �

� ×

�

�� +

�

� ×

�

��

= �

�� +

�

��

= �

��

tan (α – β) = ��

� ��

α − β+ α β

= �

��

�

�

� �

−

+ ×

=

�

��

�

= �

�

Jadi, nilai sin (α + β) + tan (α – β) = �

�� +

�

�.

10. a.�

�cos x +

�

�� sin x =

�

�

Diperoleh nilai a = �

� dan b =

�

�� .

k = � �� +

= � ��

� � � ��+

= � �

� �+

= ��

�

= �

A B

C

D

5 cm

4 cm

7 cm

α β


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

I. sin 2x = 2 sin x cos x

sin 38° = 2 sin 19° cos 19° (benar)

II. cos 2x = 1 – 2 sin2 x

cos 26° = 1 – 2 sin2 13° ≠ 2 sin2 13° – 1

cos 26° = 2 sin2 13° – 1 (salah)

III. cos 2x = 2 cos2 x – 1

cos 14° = 2 cos2 7° – 1 ≠ 2 cos2 14° – 1

cos 14° = 2 cos2 14° – 1 (salah)

IV. tan 2x = �

� ��

� �� −

tan 12° = �

� ��

� ��

°− °

(benar)

Jadi, pernyataan yang benar I dan IV.

2. Jawaban: d

Oleh karena tan 2x = �

� ��

� �� − maka berlaku:

�

� ��

� ��

°− °

= tan (2 × 15°)

= tan 30°

= �

� �

Jadi, �

� ��

� ��

°− °

= �

� � .

3. Jawaban: b

sin2 75° – cos2 75°

= –(cos2 75° – sin2 75°)

= –(cos 2 × 75°)

= –(cos 150°)

= –(cos (90° + 60°))

= –(–sin 60°) = sin 60° = �

��

Oleh karena a positif dan b positif maka αberada di kuadran I.

tan α = �

� =

�

�

�

�

� =

�

�

⇔ α = 30°

Diperoleh:

�

� cos x +

�

�� sin x = � cos (x – 30°)

Dengan demikian dapat ditulis:

�

� cos x +

�

�� sin x =

�

�

⇔ � cos (x – 30°) = �

�

⇔ cos (x – 30°) = �

�

⇔ cos (x – 30°) = cos 30°

1) x – 30° = 30° + k · 360°

⇔ x = 60° + k · 360°

k = 0 → x = 60°

2) x – 30° = –30° + k · 360°

⇔ x = 0° + k · 360°

k = 0 → x = 0°

k = 1 → x = 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 60°, 360°).

b. sin x – � cos x – � = 0

⇔ – � cos x + sin x = �

Diperoleh nilai a = – � dan b = 1

k = � �� +

= � � �� − +

= � = 2

Oleh karena a negatif dan b positif maka αberada di kuadran II.

tan α = �

�⇔ tan α = �

�−

⇔ tan α = –�

��

⇔ α = 150°

Diperoleh – � cos x + sin x = 2 cos (x – 150°)

– � cos x + sin x = �

⇔ 2 cos (x – 150°) = �

⇔ cos (x – 150°) = �

�

⇔ cos (x – 150°) = cos 45°

1) x – 150° = 45° + k · 360°

⇔ x = 195° + k · 360°

k = 0 → x = 195°

2) x – 150° = –45° + k · 360°

⇔ x = 105° + k · 360°

k = 0 → x = 105°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {105°, 195°).

60 Trigonometri

4. Jawaban: b

a. 2 sin 67,5° cos 67,5°

= sin (2 × 67,5°)

= sin 135°

= sin (90° + 45°)

= cos 45° = �

��

b. 2 sin 112,5° cos 112,5°

= sin (2 × 112,5°)

= sin 225°

= sin (180° + 45°)

= –sin 45° = –�

��

c. 2 cos2 22,5° – 1

= cos (2 × 22,5°)

= cos 45° = �

��

d. 1 – 2 sin2 157,5° = cos (2 × 157,5°)

= cos 315°

= cos (360° – 45°)

= cos 45°

= �

��

e. �

� ��

� ��

°− °

= tan 2 × 22,5°

= tan 45°

= 1

Jadi, bentuk trigonometri yang bernilai –�

��

adalah 2 sin 112,5° cos 112,5°.

5. Jawaban: d

sin α = �

�� =

��

�, α sudut lancip

cos 2α = 1 – 2 sin2 α

= 1 – 2 × �

��

�

= 1 – ��

��

= –�

��

6. Jawaban: e

cos α = 0,6 = �

�

Oleh karena α di

kuadran IV maka tan αbernilai negatif.

tan α = –�

�

tan 2α = �

� ��

� ��

α− α

=

�

��

�

� �

� �

−

− −

=

�

��

��

−

−

=

�

�

�

�

−

− =

�

�

− ×

�

�

−

= ��

� = 3

�

�

7. Jawaban: b

sin a – cos a = 2p

⇔ (sin a – cos a)2 = (2p)2

⇔ sin2 a – 2 sin a cos a + cos2 a = 4p2

⇔ sin2 a + cos2 a – 2 sin a cos a = 4p2

⇔ 1 – 2 sin a cos a = 4p2

⇔ 1 – 4p2 = 2 sin a cos a

⇔ 1 – 4p2 = sin 2a

Jadi, nilai sin 2a = 1 – 4p2.

8. Jawaban: b

1 – tan θ sin 2θ = –�

��

⇔ 1 – ��

��

θθ

· 2 sin θ cos θ= –�

��

⇔ 1 – 2 sin2 θ = –�

��

⇔ cos 2θ = –�

��

cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

= 2(�

��− )2 – 1

= 2(��

��) –

��

��

= –��

��

Jadi, nilai cos 4θ = –��

��.

9. Jawaban: c

tan 2a = –�

�

⇔�

� ��

� �� −= –

�

�

⇔ 8 tan a = –3 + 3 tan2 a

⇔ 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0

⇔ (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0

⇔ tan a = –�

� atau tan a = 3

α3

5� �� −

= �� = 4


Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi

tan a = 3.

tan (a – b) = �

�

⇔ ��

� ��

−+

= �

�

⇔ � ��

� � ��

−+ =

�

�

⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b

⇔ –5 tan b = –5

⇔ tan b = 1

Jadi, nilai tan2 a – tan2 b = (3)2 – (1)2 = 8.

10. Jawaban: d

cos 2x = 2 cos2 x – 1

⇔ cos x = ±��

�

+

Oleh karena �

�π berada di kuadran I maka cos

�

�π bernilai positif.

cos�

�π =

�

��

�

⋅ π +

= �

��

�

π +

= �

��

�

+

= � �

�

+ =

�

�� +

11. Jawaban: a

Diketahui tan θ = ��

�

Oleh karena �

�π < θ < 2π

(θ terletak di kuadran IV) maka sin θbernilai negatif dan cos θ bernilai

positif.

sin θ = –��

�� dan cos θ =

�

��

�

�π < θ < 2π

⇔ �

�(

�

�π) <

�

�θ<

�

� (2π)

⇔ �

�π <

�

�θ < π

Oleh karena �

�π <

�

�θ < π (θ terletak di kuadran II),

sin �

�θ bernilai positif.

17 15

8

θ

sin �

�θ = ±

� ��

�

− θ

⇔ sin �

�θ =

�

��

�

− =

�

��

� =

�

�� =

�

��

12. Jawaban: b

cos 2x – 3 cos x + 2 = 0

⇔ 2 cos2 x – 1 – 3 cos x + 2 = 0

⇔ 2 cos2 x – 3 cos x + 1 = 0

⇔ (2 cos x – 1)(cos x – 1) = 0

⇔ 2 cos x – 1 = 0 atau cos x – 1 = 0

Untuk 2 cos x – 1 = 0, diperoleh nilai x berikut.

2 cos x – 1 = 0

⇔ 2 cos x = 1

⇔ cos x = �

�

⇔ cos x = cos �

π

x = �

π + k · 2π

k = 0 ⇒ x = �

π

x = (2π – �

π) + k · 2π

= �

�π + k · 2π

k = 0 ⇒ x = �

�π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.

cos x – 1 = 0

⇔ cos x = 1

⇔ cos x = cos 0

x = 0 + 2kπk = 0 ⇒ x = 0

k = 1 ⇒ 0 + 2π = 2πx = (2π – 0) + k · 2π

= 2π + k · 2πk = 0 ⇒ x = 2π

Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x – 3 cos x

+ 2 = 0 adalah {0, �

π,

�

�π, 2π}.

13. Jawaban: a

cos 2x – 2 cos x = –1

⇔ 2 cos2 x – 1 – 2 cos x = –1

⇔ 2 cos2 x – 2 cos x = 0

⇔ 2 cos x (cos x – 1) = 0

⇔ 2 cos x = 0 atau cos x – 1 = 0

Untuk 2 cos x = 0 diperoleh nilai x berikut.

2 cos x = 0

⇔ cos x = 0

⇔ cos x = cos �

π

x = ±�

π + k2π

62 Trigonometri

Untuk k = 0 diperoleh:

x = �

π

Untuk k = 1 diperoleh:

x = –�

π + 2π

= �

�π

Untuk cos x – 1 = 0 diperoleh nilai x berikut.

cos x – 1 = 0

⇔ cos x = 1

⇔ cos x = cos 0

⇔ x = ± 0 + k2πUntuk k = 0 ⇒ x = 0

Untuk k = 1 ⇒ x = 2πJadi, himpunan penyelesaian persamaan

tersebut adalah {0, �

�π,

�

�π, 2π}.

14. Jawaban: d

sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0

⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0

⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0

⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2

sin 2x = 2 → tidak ada nilai x yang memenuhi

sin 2x = –1 = sin 270°

1) 2x = 270° + k · 360°

⇔ x = 135° + k · 180°

k = 0 → x = 135°

k = 1 → x = 315°

2) 2x = (180° – 270°) + k · 360°

⇔ 2x = –90° + k · 360°

⇔ x = –45° + k · 180°

k = 1 → x = 135°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.

15. Jawaban: b

cos 2x – sin x = 0

⇔ (1 – 2 sin2 x) – sin x = 0

⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0

⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0

⇔ sin x = �

� atau sin x = –1

Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π:

sin x = �

� berlaku untuk x =

�

π dan x =

�

�

π

sin x = –1 berlaku untuk x = �

�

π

Jadi, himpunan penyelesaiannya {�

π,

�

�

π,

�

�

π}.

B. Uraian

1. a. Diketahui sin θ = –�

� dan θ di kuadran IV.

Oleh karena θ di kuadran

IV maka tan θ bernilai

negatif dan cos θ bernilai

positif.

tan θ = –�

� dan cos θ =

�

�

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

= 2(–�

�)(

�

�)

= –�

�

cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ

= (�

�)2 – (–

�

�)2

= �

� –

�

� =

�

� =

�

�

tan 2θ = �

� ��

� ��

θ− θ

=

�

�

� �

�

� �

� �

−

− −

=

�

�

�

��

−

− =

�

�

�

�

−

= – �

b. Diketahui tan θ = –�

�dan θ di kuadran II.

Oleh karena θ di kuadran II maka sin θbernilai positif dan cos θ bernilai negatif.

sin θ = �

�� dan cos θ =

�

��

−


= 2(�

��)(

�

��

−)

= ��

��− =

�

��−


= (�

��− )2 – (

�

��)2

= ��

�� –

�

�� =

��

�� =

��

��

tan 2θ = �

� ��

� ��

θ− θ

=

�

��

�

� �

� �

−

− − =

�

��

��

− =

�

��−

c. Diketahui cos θ = –�

� dan θ di kuadran III.

Oleh karena θ di kuadran III maka sin θbernilai negatif dan tan θ bernilai positif.

sin θ = –�

� dan tan θ =

�

�

21

θ�

5

1θ

��



= 2(–�

�)(–

�

�)

= ��

��


= (–�

�)2 – (–

�

�)2

= �

�� –

��

��

= �

��−

tan 2θ = �

� ��

� ��

θ− θ

=

�

��

�

� �

� �− =

�

��

��−

=

�

��

�−

= �

� ×

�

�− =

��

�−

2. Diketahui sin α = �

�� dengan

�

π < α < π (α terletak

di kuadran II).

p = � �� −

= �� −

= �� = 8

α di kuadran II sehingga:

cos α = –�

��

sin �

α =

� ��

�

− α=

�

��

�

+

=

��

��

�

= ��

�� =

�

�

�

�

cos �

α =

� ��

�

+ α=

�

��

�

−

=

�

��

� =

�

��

sin �

α · cos

�

α=

�

�

�

� ×

�

��

= �

�

�

��

= �

� ×

�

��

= �

� ×

�

� =

�

��

3. a. 2 – 4 sin2 112,5° = 2(1 – 2 sin2 112,5°)

= 2(cos 2 × 112,5°)

= 2(cos 225°)

= 2(cos (180° + 45°))

= 2(–cos 45°)

= 2(–�

�� ) = – �

b.� ��

� ��

°− ° + °

= �

� ��

� ��

°− °

= tan 2 × 67,5°

= tan 135°

= tan (90° + 45°)

= –cotan 45° = –1

c. 10 sin 78,75° cos 78,75°

= 5 × 2 sin 78,75° cos 78,75°

= 5 sin 2 × 78,75°

= 5 sin 157,5°

Oleh karena sin 157,5° bernilai positif, bentuk

di atas dapat dinyatakan:

= 5(� ��

�

− ×)

= 5(� ��

�

−)

= 5(� ��

�

− ° − °)

= 5� ��

�

− °

= 5�

��

�

−

= 5� �

�

− =

�

�� −

4. a.� ��

� ��

−+ =

��

��

��

��

�

�

−

+

=

��

��

��

��

−

+

= ��

��

−+

× ��

��

−−

= � �

� �

��

��

− +−

= � �

� �

��

��

+ −−

= � ��

��

− (terbukti)

45

3

θ

106

pα

64 Trigonometri

b. Ingat a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Dengan demikian� ��

��

−−

= � � ��

��

− + +−

= sin2 x + cos2 x + sin x cos x

= 1 + sin x cos x

= 1 + �

� × 2 sin x cos x

= 1 + �

� sin 2x (terbukti)

c.� ��

� ��

+ α − α+ α + α

= �

�

� � ��

� � ��

+ α α − − α+ α α + α −

= �

�

� ��

� ��

α α + αα α + α

= � ��

� ��

α α + αα α + α

= ��

��

αα

= tan α (terbukti)

5. sin8 75° – cos8 75°

= (sin4 75°)2 – (cos4 75°)2

= (sin4 75° – cos4 75°)(sin4 75° + cos4 75°)

= (sin2 75° – cos2 75°)(sin2 75° + cos2 75°)

((sin2 75° + cos2 75°)2 – 2 sin2 75° cos2 75°)

= –(cos2 75° – sin2 75)(1)(12 – �

�(2 sin 75° cos 75°)2)

= –(cos 2 × 75°)(1 – �

�(sin 2 × 75°)2)

= – cos 150° (1 – �

�sin2 150°)

= –(–�

�� )(1 –

�

� ×

�

�)

= �

�� ×

�

�

= �

��

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

sin x cos y = �

�(sin (x + y) + sin (x – y))

Pernyataan I dan II salah

cos x cos y = �

�(cos (x + y) + cos (x – y))

Pernyataan III dan V salah.

Jadi, pernyataan yang benar adalah IV.

2. Jawaban: c

sin x sin y = –�

�(cos (x + y) + cos (x – y))

sin 37,5° sin 7,5°

= –�

�(cos (37,5° + 7,5°) – cos (37,5° – 7,5°))

= –�

�(cos 45° – cos 30°)

= –�

�(

�

�� –

�

�� )

= –�

�( � – � )

3. Jawaban: a

12 sin 75° cos 125°

= 12 × �

�(sin (75° + 195°) + sin (75° – 195°))

= 12 × �

�(sin 270° + sin (– 120°))

= 6(sin 270° – sin 120°)

= 6(–1 – �

�� ) = –6 – � �

4. Jawaban: c

sin 4p + sin 2p

= 2 sin �

� (4p + 2p) cos

�

� (4p – 2p)

= 2 sin �

� (6p) cos

�

� (2p)

= 2 sin 3p cos p

5. Jawaban: a

��

��

=

� �

� ��

� �

� ��

� ��

−

−

= � ��

� ��

−

= ��

��

=

�

��

�

�

− = – �


6. Jawaban: e

��

��

−−

=

� �

� ��

� �

� ��

� ��

− ° + ° ° − °

° + ° ° − °

= � ��

� ��

− ° °° °

= ��

��

− °°

= ��

��

− ° + °° + °

= ��

��

− °− °

=

�

�

�

�

�−

− = �

7. Jawaban: d

��

��

−−

=

� �

� ��

� �

��

��

− ° − − +

− ° ° − −

= ��

��

° −

=

�

��

�

��

�� = 1

8. Jawaban: d

sin 75° – sin 165°

= 2 cos �

� (75° + 165°) sin

�

� (75° – 165°)

= 2 cos 120° sin (–45°)

= –2 cos 120° sin 45°

= –2 × (–�

�) ×

�

��

= �

��

9. Jawaban: e

sin 20° sin 40° sin 80°

= (sin 20° sin 40°) sin 80°

= –�

�(cos (20° + 40°) – cos (20° – 40°)) sin 80°

= –�

�(cos 60° – cos (–20° )) sin 80°

= –�

�(

�

� – cos (–20°)) sin 80°

= –�

� sin 80° +

�

� cos (–20°) sin 80°

= –�

� sin 80° +

�

� × (

�

�(sin (–20° + 80°)

– sin (–20° – 80°))

= –�

� sin 80° +

�

� sin 60° –

�

� sin (–100°)

= –�

� sin 80° +

�

� ×

�

�� +

�

� sin 100°

= –�

� (sin 80°– sin 100°) +

�

� ×

�

��

= –�

�(2 cos 90° sin (–10°)) +

�

��

= –�

�(2 × 0 × sin (–10)) +

�

��

=�

��

10. Jawaban: e

cos 15° – sin 15°

= cos 15° – sin (90° – 75°)

= cos 15° – cos 75°

= –2 sin �

�(15° + 75°) sin

�

�(15° – 75°)

= –2 sin 45° sin (–30°)

= –2 sin 45° (–sin 30°)

= –2 × �

�� × (–

�

�)

= �

��

11. Jawaban: e

tan 195° + tan 105°

= ° + °

° + ° + ° − °� ��

��

= °

° + °� ��

��

= × −

+

�

��

�

� ��

� = –2 �

12. Jawaban: a

sin A = �

� ⇔ cos A =

�

�

tan (�

π + A) – tan (

�

π – A)

= tan (�

π + A) + tan (–(

�

π – A))

= � �

� � � �

� �� ! ! ��"

�� " �� ! ��"

π π

π π π π

+

+ − − + + +

= �

�

� ��

�� π+

= ( )� �

�

� � ��

� �� ! �� !

⋅

+

= ��

�

� ��

� �� +−

= × ×

+ × �

� �

� ��

� �

�

! � �

45

3

A

66 Trigonometri

=

��

��!� ��

� ��+

= ��

��

�� +−

= ��

��

��−

= –��

��

13. Jawaban: c

��

��

++ =

��

��

��

⇔( ) ( )( ) ( )� � � �

� �

� � � �

� �

� ��

� ��

+ −

+ − = �

�

⇔ ( )( )� �

�

� �

�

��

��

+

+ = �

�

⇔ tan � �

�

+ =

�

�

sin � �

�

+ =

�

�

cos � �

�

+ =

�

�

sin A + sin B = �

��

⇔ 2 sin � �

�

+ cos

� �

�

− =

�

��

⇔ 2 (�

�) cos

� �

�

− =

�

��

⇔ cos � �

�

− =

�

��

cos (A – B) = cos � �

��

−

= 2 cos2 � �

�

− – 1

= 2(�

�� )2 – 1

= 0

14. Jawaban: e

sin (2x + 110)° + sin (2x – 10)° = �

�

⇔ 2 sin �

�(4x + 100)° cos

�

�(120°) =

�

�

⇔ 2 sin (2x + 50)° × �

�=

�

�

⇔ sin (2x + 50)° = �

� = sin 30°

2x + 50 = 30 + k × 360

⇔ 2x = –20 + k × 360

⇔ x = –10 + k × 180

k = 1 → x = 170

k = 2 → x = 350

2x + 50 = (180 – 30) + k × 360

⇔ 2x = 100 + k × 360

⇔ x = 50 + k × 180

k = 0 → x = 50

k = 1 → x = 230

Jadi, himpunan penyelesaiannya {50, 170, 230,

350}.

15. Jawaban: a

cos (x + �

�π) – cos (x –

�

�π) =

�

��

⇔ –2 sin �

�(2x) sin

�

� (2 ×

�

�π) =

�

��

⇔ –2 sin x sin �

�π =

�

��

⇔ –2 sin x × �

�� =

�

��

⇔ sin x = –�

�

⇔ sin x = sin �

�

− π

1) x = –�

�π + k · 2π

k = 1 → x =

��

�π

2) x = (π – (–�

�π)) + k · 2π

⇔ x = �

�π + k · 2π

k = 0 → x = �

�π

Jadi, nilai x yang memenuhi �

�π dan

��

�π .

B. Uraian

1. a. –4 sin α sin β= 2(–2 sin α sin β)

= 2(cos (α + β) – cos (α – β))

= 2(cos (75° + 15°) – cos (75° – 15°))

= 2(cos 90° – cos 60°)

= 2(0 – �

�)

= –1

b. 2 cos α sin β= sin (α + β) – sin (α – β)

= sin (75° + 15°) – sin (75° – 15°)

= sin 90° – sin 60°

= 1 – �

��

�

� �

�

+

21


2. a. 4 sin 20° sin 40° sin 80°

= 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80°

= 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80°

= 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80°

= 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°

= (sin 100° + sin 60°) – 2 · �

� sin 80°

= sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80°

= sin 80° + �

�� – sin 80° =

�

��

b. 4 sin 10° sin 50° sin 70°

= 4 sin 70° sin 50° sin 10°

= 2 (2 sin 70° sin 50°) sin 10°

= 2(cos 20° – cos 120°) sin 10°

= 2 (cos 20° – (–�

�)) sin 10°

= 2 cos 20° sin 10° + sin 10°

= (sin 30° – sin 10°) + sin 10°

= sin 30° = �

�

3. a. (cos 165° + cos 465°)(sin 15° + sin 105°)

= (2 cos 315° cos (–150°))(2 sin 60° cos (–

45°))

= 2 × 2 cos 315° cos 150° sin 60° cos 45°

= 4 × cos (270° + 45°) cos (90° + 60°) sin

60° sin 45°

= 4 sin 45°(–sin 60°) sin 60° sin 45°

= 4 × �

�� ×

�

��

− ×

�

�� ×

�

��

= –�

� × 2 × 3 = –

�

�

b. cos 20° – cos 80° – cos 40°

= (cos 20° – cos 80°) – cos 40°

= (–2 sin 50° sin (–30°)) – cos 40°

= –2 sin 50°(–sin 30°) – cos 40°

= 2 sin 50° sin 30° – cos 40°

= 2 sin 50° × �

� – cos 40°

= sin 50° – cos 40°

= cos 40° – cos 50° = 0

4. a. sin 52° sin 68° – sin 47° cos 77°

– cos 65° cos 81°

= –�

�(cos 120° – cos (–16°)) –

�

� (sin 124°

+ sin (–30°)) – �

� (cos 146° + cos (–16°))

= –�

�(cos 120° – cos 16°) –

�

� (sin 124°

– sin 30°) – �

� (cos 146° + cos 16°)

= –�

�cos 120° +

�

� cos 16°

– �

� sin 124° +

�

� sin 30° –

�

�cos 146°

– �

� cos 16°

=�

�

− × �

�

− – �

� sin 124° +

�

� ×

�

�

– �

� cos 146

=�

� +

�

� –

�

� sin 124° –

�

� cos 146°

=�

� –

�

� sin (180° – 56°) –

�

� cos (90° + 56°)

=�

� –

�

� sin 56° –

�

� (–sin 56°)

=�

� –

�

� sin 56° +

�

�sin 56° =

�

�

b. sin2 195° sin 75° cos 75°

= (sin 195° sin 75°)(sin 195° cos 75°)

= –�

�(cos (195 + 75)° – cos (195 – 75)°)

× �

�(sin (195 + 75)° + sin (195 – 75)°)

= –�

�(cos 270° – cos 120°) (sin 270° + sin 120°)

= –�

�(0 – (–

�

�)) (–1 +

�

�� )

= –�

�(–1 +

�

�� )

= �

�(1 –

�

�� )

5. a.��

��

+−

=

� �

� �

� �

� �

� ��

��

+ −

+ −

=

� �

� �

� �

� �

��

��

+ −

+ −

= tan �

�(A + B) cotan

�

�(A – B)

=

�

�

�

�

��

��

+

−(terbukti)

b.��

��

+−

= � �

� ��

� �

� ��

� ��

+ −

− + −

= �

��

�

��

��

+

− + ×

�

��

�

��

��

−

−

= –cotan �

�(A + B) cotan

�

�(A – B) (terbukti)

68 Trigonometri

6. x = sin 3q + sin q

= 2 sin �

�(3θ + θ) cos

�

�(3θ – θ)

= 2 sin 2θ cos θy = cos 3θ + cos θ

= 2 cos �

�(3θ + θ) cos

�

�(3θ – θ)

= 2 cos 2θ cos θ

a. x + y = 2 sin 2θ cos θ + 2 cos 2θ cos θ

= 2 cos θ (sin 2θ + cos 2θ) (terbukti)

b.

=

��

��

θ θθ θ

= ��

��

θθ

= tan 2q (terbukti)

c. x2 + y2= (2 sin 2θ cos θ)2 + (2 cos 2θ cos θ)2

= 4 sin2 2θ cos2 θ + 4 cos2 2θ cos2 θ= 4 cos2 θ (sin2 2θ + cos2 2θ)

= 4 cos2 θ · 1

= 4 � ��

�

+ θ

= 2 + 2 cos 2θ (terbukti)

7. a. cos5 θ= cos θ cos θ cos3 θ

=�

�(cos 2θ + cos 0) cos3 θ

= �

�(cos 2θ + 1) cos3 θ

=�

�(cos 2θ cos θ + cos θ) cos2 θ

=�

�(

�

�(cos 3θ + cos θ) + cos θ) cos2 θ

=�

�(

�

� cos 3θ +

�

�cos θ) cos2 θ

=�

�(cos 3θ + 3 cos θ) cos2 θ

=�

�(cos 3θ cos θ + 3 cos θ cos θ) cos θ

=�

�(

�

�(cos 4θ + cos 2θ)

+ 3 × �

�(cos 2θ + cos 0)) cos θ

=�

�(cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ + 3) cos θ

=�

�(cos 4θ cos θ + 4 cos 2θ cos θ + 3 cos θ)

= �

�(

�

�(cos 5θ + cos 3θ)

+ 4 × �

�(cos 3θ + cos θ) + 3 cos θ)

=�

��(cos 5θ + cos 3θ + 4 cos 3θ

+ 4 cos θ + 6 cos θ)

=�

��(cos 5θ + 5 cos 3θ + 10 cos θ)

= �

��(10 cos θ + 5 cos 3θ + cos 5θ) (terbukti)

b. sin5 θ= sin θ sin θ sin3 θ

= –�

�(cos 2θ – cos 0) sin3 θ

= –�

� (cos 2θ – 1) sin3 θ

= –�

�(cos 2θ sin θ – sin θ) sin2 θ

= –�

�(

�

� (sin 3θ – sin θ) – sin θ) sin2

θ

= –�

�(

�

� sin 3θ –

�

� sin θ) sin2 θ

= –�

�(sin 3θ – 3 sin θ) sin2 θ

= –�

�(sin 3θ sin θ – 3 sin θ sin θ) sin θ

= –�

�(–

�

�(cos 4θ – cos 2θ) – 3 × (–

�

�)

(cos 2q – cos 0)) sin q

= –�

�(–cos 4θ + cos 2θ + 3 cos 2θ – 3) sin θ

= –�

�(–cos 4θ sin θ + cos 2θ sin θ

+ 3 cos 2θ sin θ – 2sin θ)

= –�

�(–

�

�(sin 5θ – sin 3θ) +

�

�(sin 3θ – sin θ)

+ 3 × �

�(sin 3θ – sin θ) – 3 sin θ)

= –�

��(–sin 5θ + sin 3θ + sin 3θ – sin θ

+ 3 sin 3θ – 3 sin θ – 6 sin θ)

= –�

��(–sin 5θ + 5 sin 3θ – 10 sin θ)

= �

��(10 sin θ – 5 sin 3θ + sin 5θ) (terbukti)

8. a.��

�� − = 1

⇔ cos 2x = sin 3x – sin x

⇔ cos 2x = 2 cos 2x sin x

⇔ 1 = 2 sin x

⇔ sin x = �

�

⇔ sin x = sin �

�π


1) x = �

�π + k × 2π

k = 0 → x = �

�π

2) x = (π – �

�π ) + k × 2π

= �

�π + k × 2π

k = 0 → x = �

�π


�π, �

�π}.

b. cos (x + �

π) – cos (x –

�

π) = �

⇔ –2 sin x sin �

π= �

⇔ –2 sin x × 1 = �

⇔ sin x = –�

��

⇔ sin x = sin (–�

�π)

x = –�

�π + k × 2π

k = 1 → x = �

�π

x = (π – (–�

�π)) + k × 2π

⇔ x = �

�π + k × 2π

k = 0 → x = �

�π


�π,

�

�π}.

9. Jumlah besar sudut segitiga = 180°

A + B + C = 180°

⇔ B + C = 180° – A

⇔ � �

�

+= 90° –

�

�

A + B + C = 180°

⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C

⇔ B – C = 180° – (A + 2C)

⇔ � �

�

−= 90° – (

�

� + C)

sin B + sin C = 2 sin A

⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C))

⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C)

⇔ 2 sin (� �

�

+) cos (

� �

�

−) = 2 sin 2(

� �

�

+)

⇔ 2 sin (� �

�

+) cos (

� �

�

−)

= 2 × 2 sin (� �

�

+) cos (

� �

�

+)

⇔ cos (� �

�

−) = 2 cos (

� �

�

+)

⇔ cos �

� cos

�

� + sin

�

�sin

�

�

= 2 (cos �

� cos

�

� – sin

�

� sin

�

�)

⇔ sin �

� sin

�

� + 2 sin

�

� sin

�

�

= 2 cos �

� cos

�

� – cos

�

� cos

�

�

⇔ 3 sin �

� sin

�

�= cos

�

�cos

�

�

⇔� �

� ��

� �

��

�� =

�

�

⇔ tan �

� tan

�

�=

�

�

Jadi, nilai tan �

� tan

�

� adalah

�

�.

10.��

��=

��

��

�

��

�

⇔� �

� ��

� �

��

��

−

−= �

⇔�

��

�

��

�� = �

⇔ cotan �

�(a + b) = cotan 30°

⇔ �

�(a + b) = 30°

⇔ a + b = 60°

Jadi, sin (a + b) = sin 60° = �

�� .

70 Trigonometri

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

8 (sin �

��π sin

�

��π + cos

�

��π cos

�

��π)

= 8 (cos �

��π cos

�

��π + sin

�

��π sin

�

��π)

= 8 (cos (�

��π –

�

��π))

= 8 (cos (�

��π))

= 8 (cos (�

�π))

= 8 × �

� = 4

2. Jawaban: b

cos 225° = cos (180° + 45°)

= cos 180° cos 45° – sin 180° cos 45°

= –1 × �

�� – 0 ×

�

�� = –

�

��

3. Jawaban: d

sin A = �

�sin B =

�

��

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = �

�.

B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = –��

��.


= �

� × (–

��

��) +

�

� ×

�

��

= –��

�� +

��

�� = –

��

��

4. Jawaban: b

sin α = ��

�� (α lancip) cos β = –

�

� (β tumpul)

cos α = �

��sin β =

�

�

54

3A

25

24

7

B

4

3

5

β

12

5

13

α

sin λ = sin (180° – (α + β))

= sin (α + β)

= sin α cos β + cos α sin β

= ��

�� × (–

�

�) +

�

�� ×

�

�

= –��

�� +

��

��

= –��

��

5. Jawaban: b

tan (α + β) = ��

� ��

α + β− α β

=

� �

� ��

� �

� ��

+

×−

=

��

��

�

��−

= ��

��

��

��

= 1

tan (α + β) = 1 ⇔ (α + β) = 45°

Jadi, besar sudut (α + β) adalah 45°.

6. Jawaban: e

tan α – tan β = �

�

⇔��

��

αα –

��

��

ββ =

�

�

⇔ ��

��

α β − β αα β

= �

�

⇔ ��

��

�� α β − α β=

�

�

⇔ sin α cos β – cos α sin β = �

� ×

��

��

⇔ sin (α – β) = ��

��

7. Jawaban: e

α – β = �

π

⇔ cos (α – β) = cos �

π

⇔ cos α cos β + sin α sin β = �

�

⇔ cos α cos β + �

�=

�

�

⇔ cos α cos β = �

�


= �

� –

�

�

= 0


8. Jawaban: c

sin (α – β) = �

�

⇔ sin α cos β – cos α sin β = �

�

⇔ �

� – cos α sin β =

�

�

⇔ –cos α sin β = �

�

⇔ cos α sin β = –�

�


= �

� –

�

�

= –�

�

9. Jawaban: e

Diketahui sin 3° = p.

Diperoleh cos 3° = �� #

�

− = �� #−

sin 276° = sin (270° + 6°)

= –cos 6°

= –cos (2 × 3°)

= –(cos2 3° – sin2 3°)

= –(( �� #− )2 – p2)

= –(1 – p2 – p2)

= –(1 – 2p2)

= 2p2 – 1

Jadi, nilai sin 276° = 2p2 – 1.

10. Jawaban: e

cos x = a

cos 2x = 2 cos2 x – 1

= 2a2 – 1

cos 4x = 2 cos2 2x – 1

= 2(2a2 – 1)2 – 1

= 2(4a4 – 4a2 + 1) – 1

= 8a4 – 8a2 + 2 – 1

= 8a4 – 8a2 + 1

11. Jawaban: c

sin2 62° – cos2 62°

= –(cos2 62° – sin2 62°)

= –(cos 2 × 62°)

= –(cos 124°)

= –(–0,6)

= 0,6

12. Jawaban: e

sin α = �

� � sehingga:

1 p

3°

�� #−

p = � �� −

= � �−

= � = 2

cos α = �

�

α adalah sudut lancip sehingga �

�α juga berupa

sudut lancip. Akibatnya, cos �

�α pasti berupa

bilangan positif.

cos �

�α =

� ��

�

+ α

= �

��

�

+

= �

� =

�

� ×

�

� =

�

� ��

13. Jawaban: d

2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ⇔ os 2θ = 2 sin 2θ

⇔ tan 2θ = �

�

Oleh karena 2θ sudut lancip maka diperoleh

sin 2θ = �

� dan cos 2θ =

�

�.

Oleh karena 2θ sudut lancip maka θ juga sudut

lancip sehingga tan θ bernilai positif.

tan θ = � ��

� ��

− θ+ θ

=

�

��

�

�

�

−

+

=

� �

�

� �

�

−

+

= � � � �

� � � �

− −×+ −

= � � ��

� �

−− = � � ��−

= � – 2

Jadi, nilai tan θ = � – 2.

�3

pα

2

�

2θ

1

72 Trigonometri

14. Jawaban: b

sin α + cos α = �

�

⇔ (sin α + cos α)2 = (�

�)2

⇔ sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = �

��

⇔ 1 + 2 sin α cos α = �

��

⇔ 2 sin α cos α = –�

��

⇔ sin 2α = –�

��

15. Jawaban: d

��

� ��

θ− θ = a

⇔� ��

� �

� � � ��

� � � �

��

��

θ − θ

θ + θ − θ θ= a

⇔� � � �

� � � ��

� � � �

��

��

θ + θ θ − θ

θ − θ θ − θ= a

⇔� �

� ��

� �

��

��

θ + θ

θ − θ ×

�

�

�

�

�

��

�

��

θ

θ

= a

⇔�

�

�

�

� ��

� ��

+ θ

− θ= a

⇔ 1 + tan �

�θ = a – a tan

�

�θ

⇔ a tan �

�θ + tan

�

�θ = a – 1

⇔ (a + 1) tan �

�θ = a – 1

⇔ tan �

�θ =

� �

� �

−+

16. Jawaban: d

cos 2α = 2 cos2 α – 1

⇔ cos α = ±��

�

α +

Oleh karena 157,5° berada di kuadran II maka

cos 157,5° bertanda negatif.

⇔ cos 157,5° = –��

�

° +

= –�

��

�

+

= –� �

�

+

= –�

� � �+

17. Jawaban: a

2 tan A + tan B = 4 × 1 2 tan A + tan B = 4

tan A – 3 tan B = –��

�× 2 2 tan A – 6 tan B = –17

––––––––––––––––– –7 tan B = 21

⇔ tan B = 3

2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4

⇔ 2 tan A = 1

⇔ tan A = �

�

tan 2A = �

��

� �� −

=

�

��

�

�

�

��

×

−

= �

�

�

�−

= ��

�

� =

�

�

tan (2A + B) = ��

� ��−

= �

��

�

�

��

�� − ×

=

��

�

� ��− = –��

�

18. Jawaban: a

6 sin 112,5° sin 22,5°

= –3(cos 135° – cos 90°)

= –3(cos (90 + 45°) – 0)

= –3(–sin 45°)

= –3(– �

�� )

= �

��

19. Jawaban: a

° + °° + °

��

��

= ° + ° ° − °

° + ° ° − °

� �

� ��

� �

� ��

� ��

= � ��

� ��

° °° °

= ��

��

°°

=

�

��

�

�

�

= 1


20. Jawaban: e

cos 195° – sin 15°= cos (270° – 75°) – sin 15°

= –sin 75° – sin 15°

= –(sin 75° + sin 15°)

= –(2 sin 45° cos 30°)

= –2 × �

�� +

�

��

= –�

��

21. Jawaban: a

Diketahui tan x = �

�.

Oleh karena x lancip maka

cos x = �

� dan sin x =

�

�.

cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x

= 2(2 cos2 x – 1) cos x

= 4 cos3 x – 2 cos x

= 4(�

�)3 – 2(

�

�)

= 4(��

��) – (

�

�)

= –��

��

22. Jawaban: b

cos 4x + 3 sin 2x = –1

⇔ (1 – 2 sin2 2x) + 3 sin 2x = –1

⇔ 2 sin2 2x – 3 sin 2x – 2 = 0

⇔ (2 sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0

⇔ 2 sin 2x + 1 = 0 atau sin 2x – 2 = 0

⇔ sin 2x = –�

�atau sin 2x = 2

sin 2x = –�

�

⇔ sin 2x = sin 210°

⇔ 2x = 210° + k · 360°

⇔ x = 105° + k · 180°

k = 0 ⇒ x = 105°

sin 2x = –�

�

⇔ sin 2x = (180° – 210°) + k · 360°

⇔ 2x = –30° + k · 360°

⇔ x = –15° + k · 180°

k = 1 ⇒ x = 165°

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105°,

165°}.

23. Jawaban: b

sin C = �

�⇔ sin (180° – (A + B)) =

�

�

⇔ sin (A + B) = �

�

sin (A – B) = sin 30° = �

�

sin A cos B = �

�(sin (A + B) + sin (A – B))

= �

�(

�

� +

�

�)

= �

� ×

�

� =

�

�

24. Jawaban: d

cos �

�(A + B) =

�

� maka sin

�

�(A + B) =

�

�

cos �

�(A – B) =

�

�� maka sin

�

�(A – B) =

�

�

cos A – cos B = –2 sin �

�(A + B) sin

�

�(A – B)

= –2 × �

� ×

�

� = –

�

�

25. Jawaban: c

Diketahui α + β = 90° maka sin α = cos β dan

cos α = sin β.

��

��

α − βα

= − α + β α − β

α α

� �

� ��

� ��

= − α + β α − β

α α� ��

� ��

= –��

��

° α − βα α

= � ��

��

− α β − α βα α

= ��

��

− α βα α

+ ��

��

α βα α

= ��

��

− βα

+ ��

��

βα

= ��

��

− αα

+ ��

��

ββ

= – tan α + tan β= tan β – tan α

26. Jawaban: b

��

��

− −− −

= ��

��

− −− −

= � ��

� ��

− − −−

= � ��

� ��

−−

= ��

��

−−

= ��

�� = tan 6x

74 Trigonometri

27. Jawaban: b

� cos x – 3 sin x

Diperoleh a = � dan b = –3

k = � � �� + −

= � �+

= ��

= 2 �

Oleh karena a positif dan b negatif maka α berada

di kuadran IV.

tan α = �

�

− = – � ⇔ α = 300°

� cos x – 3 sin x = �

⇔ 2 � cos (x – 300°) = �

⇔ cos (x – 300°) = �

�

⇔ cos (x – 300°) = cos 60°

x – 300° = 60° + k · 360°

⇔ x = 360° + k · 360°

k = –1 → x = 0°

k = 1 → x = 360°

x2 – 300° = –60° + k · 360°

⇔ x2 = 240° + k · 360°

k = 0 → x = 240°

Jadi, himpunan penyelesaiannya = {0°, 240°,

360°).

28. Jawaban: d

2 cos (x + �

π) = cos (x –

�

π)

⇔ 2(cos x cos �

π – sin x sin

�

π)

= cos x cos �

π + sin x sin

�

π

⇔ 2 cos x cos �

π – cos x cos

�

π

= sin x sin �

π + 2 sin x sin

�

π

⇔ cos x cos �

π= 3 sin x sin

�

π

⇔ cos x × �

�� = 3 sin x ×

�

��

⇔ 3 sin x = cos x

⇔��

�� =

�

�

⇔ tan x = �

�

29. Jawaban: a

3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0

⇔ 3(1 – 2 sin2 x) + 5 sin x + 1 = 0

⇔ 3 – 6 sin2 x + 5 sin x + 1 = 0

⇔ –6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0

⇔ (–3 sin x + 4)(2 sin x + 1) = 0

⇔ sin x = –�

� atau sin x = –

�

�

Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan

sin x = –�

� karena batas nilai minimum sin x

adalah –1.

sin x = –�

�

⇔ sin x = sin ( –�

�π)

x = –�

�π + k · 2π

k = 1 → x = ��

�π

x = (π – (–�

�π) + k · 2π

⇔ x = �

�π + k · 2π

k = 0 → x = �

�π


�π,

��

�π}.

30. Jawaban: d

cos 4x + cos 2x = 0

⇔ 2 cos 3x cos x = 0

⇔ cos 3x = 0 atau cos x= 0

a. Untuk cos 3x = 0

cos 3x = 0 ⇔ cos 3x = cos �

π

3x = �

π + k · 2π

⇔ x = �

π + k ·

�

�π

k = 0 → x = �

�π

k = 1 → x = �

�π

k = 2 → x = �

�π

3x = –�

π + k · 2π

⇔ x = –�

π + k ·

�

�π

k = 1 → x = �

�π

k = 2 → x = �

�π

k = 3 → x = ��

�π


b. Untuk cos x = 0

cos x = 0 ⇔ cos x = cos �

π

x = �

π + k · 2π

k = 0 → x = �

π

x = �

π + k · 2π

k = 1 → x = �

�π


�π,

�

�π,

�

�π,

�

�π,

�

�π,

��

�π}.

B. Uraian

1. a.��

��

° ° ° °° ° ° °

= ��

��

° − °° + °

= ��

��

°°

=

�

��

�

�

�−

= �

�− = –

�

� �

b.� �

�

��

� ��

° − °− °

= ��

� ��

° + ° ° − °− ° + ° °

= tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°)

= tan 240° tan 135°

= � (–1)

= – �

2. a.��

��

° − °° + °

= � ��

� ��

− ° − °° °

= � ��

� ��

° °° °

=

� �

� �

� �

� �

� �

� �

× ×

× × = 1

b.��

��

° − °° + °

= � ��

� ��

° °° °

= � ��

� ��

° °− ° °

=

� �

� �� × ×

� �

� � �� × ×−

= �

�− = –

�

��

3. a. sin (200° + a) cos (20° – a) – cos (200° + a)

sin (20° – a)

= sin ((200° + a) – (20° – a))

= sin (180° + 2a)

= –sin 2a

b. cos (200° – a) cos (70° – a) – sin (200° – a)

sin (70° – a)

= cos ((200° – a) + (70° – a))

= cos (270° – 2a)

= –sin 2a

4. a. tan 2θ = 3�

� =

��

�

90° < θ < 135° ⇔ 180° < 2θ < 270°

Oleh karena 180° < 2θ < 270° maka tan 2θbernilai positif, sin 2θ bernilai negatif, dan

cos 2θ bernilai negatif.

Diperoleh sin 2θ = –��

�� dan cos 2θ = –

�

��

sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ

= 2 × (–��

��) × (–

�

��)

= ��

��

cos 4θ = 2 cos2 2θ – 1

= 2(–�

��)2 – 1

= ��

�� – 1 = –

��

��

b. Oleh karena 90° < θ < 135° maka sin θ ber-

nilai positif, cos θ bernilai negatif, dan tan θbernilai negatif.

sin θ = � ��

�

− θ

= �

��

�

− −

= ��

�� =

�

�

2θ7

25 24

76 Trigonometri

cos θ = –� ��

�

+ θ

= –�

��

�

+ −

= �

��

= –�

�

5. a. tan x = ��

� sehingga:

p = � �� +

= �� +

= ��

= 13

sin x = ��

��

cos x = �

��

sin y = �

�� sehingga:

p = � �� −

= �� −

= ��

= 8

cos y = �

��

tan y = �

�

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

= �

�� ×

�

�� –

��

�� ×

�

��

= ��

�� –

��

��

= –��

�� = –

��

��

b. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

= ��

�� ×

�

�� +

�

�� ×

�

��

= ��

�� +

��

��

= ��

�� =

��

��

6. a.��

��

−+

= �

�

⇔ 5 cos (A – B) = 9 cos (A + B)

⇔ 5(cos A cos B + sin A sin B)

= 9(cos A cos B – sin A sin B)

⇔ 5 cos A cos B + 5 sin A sin B

= 9 cos A cos B – 9 sin A sin B

⇔ 14 sin A sin B = 4 cos A cos B

⇔ 14 ��

�� = 4

��

��

⇔ 7 tan A = 2 cotan B (dapat di-

tunjukkan)

b. tan B = 2

tan B = 2 ⇔ cotan B = �

�

7 tan A = 2 cotan B

⇔ 7 tan A = 2(�

�)

⇔ tan A = �

�

tan (A + B) = ��

� ��

+−

=

�

�

�

�

�

��

+

×−

= ��

�

�

�

= 3

7. A + B + C = 180°

⇔ A + B = 180° – C

⇔ C = 180° – (A + B)

sin 2A + sin 2B + sin 2C

= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C

= 2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C

12

5

p

106

p


= 2 sin (180° – C) cos (A – B) + 2 sin C cos C

= 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C

= 2 sin C (cos (A – B) + cos C)

= 2 sin C (cos (A – B) + cos (180° – (A + B)))

= 2 sin C (cos (A – B) – cos (A + B))

= 2 sin C (–2 sin A sin (–B))

= 2 sin C (2 sin A sin B)

= 4 sin A sin B sin C (terbukti)

8.

CD = � �� −

= � �� −

= ��

= 12 cm

sin α = ��

��

cos α = �

��

tan α = ��

�

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)

⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B)

⇔ ∠C = 180° – 2α

a. sin C = sin (180° – 2α)

= sin (2α)

= 2 sin α cos α

= 2 (��

��)(

�

��)

= ��

��

b. tan (180° – 2α)

= –tan 2α

= �

� ��

� ��

− α− α

=

( )( )�

��

�

��

�

�

�

−

− =

��

��

��

−

−

= ��

� ×

��

�� =

��

��

9. cos 2x = 2 cos2 x – 1

Oleh karena �

�π < 2x < 2π ⇔

�

�π< x < π maka

cos x bernilai negatif.

cos x = –��

�

+

= –

� �

� ��

�

−+

+

= –� � � �

� � ��

− + ++

= –�

� �+

= –�

� �+

sin x = �

� �+

tan x = ��

��

=

�

� �

�

� �

+

−+

= –�

�

= –�

��

10. a. sin x – � cos x = 1

⇔ – � cos x + sin x = 1

a = – � , b = 1, k = � � �� − + = 2

tan α = �

�,

�

�− = –�

�� (α di kuadran II)

⇔ α = 150°

sin x – � cos = 1

⇔ 2 cos (x – 150°) = 1

⇔ cos (x – 150°) = �

�

A 5 cm D 5 cm B

C

α α

13 cm13 cm

� �+ 1

�

x

78 Trigonometri

⇔ cos (x – 150°) = cos 60°

x – 150° = 60° + k · 360°

⇔ x = 210° + k · 360°

k = 0 → x = 210°

x – 150° = –60° + k · 360°

⇔ x = 90° + k · 360°

k = 0 → x = 90°


b. cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0

⇔ –2 sin �

�(90° – 2x) sin

�

�(60°) = 0

⇔ –2 sin (45° – x) sin 30° = 0

⇔ –2 sin (45° – x) × �

�= 0

⇔ sin (45° – x) = 0

⇔ sin (45° – x) = sin 0°

45° – x = 0° + k · 360°

⇔ –x = –45° + k · 360°

⇔ x = 45° – k · 360°

k = 0 → x = 45°

45° – x = 180° + k · 360°

⇔ –x = 135° + k · 360°

⇔ x = –135° – k · 360°

k = –1 → x = 225°



3. Menyusun persama-

an lingkaran dan garis

singgungnya.

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai

3.1 Menyusun persamaan

lingkaran yang me-

menuhi persyaratan

yang ditentukan.

3.2 Menentukan persama-

an garis singgung pada

lingkaran dalam ber-

bagai situasi.

Menghargai

perbedaan

Kreatif

Menentukan berbagai persamaan lingkaran ber-

dasarkan pusat dan jari-jarinya.

Mencoba berbagai cara untuk menentukan

persamaan garis singgung.

Pada bab ini akan dipelajari:1. Persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya2. Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran3. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran4. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran5. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu


Indikator

Persamaan Lingkaran dan Garis singgung Lngkaran

Menyelesaikan permasalahan berkaitan

dengan lingkaran dan persamaannya

Siswa dapat menyusun persamaan

lingkaran dan garis singgung lingkaran

Menentukan persamaan garis singgung

lingkaran

• Menentukan persamaan garis singgung

lingkaran di suatu titik pada lingkaran


lingkaran di suatu titik di luar lingkaran


lingkaran yang diketahui gradiennya

• Menentukan persamaan lingkaran yang

berpusat di O(0, 0) dan P(a, b)

• Menentukan unsur-unsur lingkaran

apabila diketahui persamaannya

• Menentukan kedudukan titik terhadap

lingkaran

• Menentukan kedudukan garis terhadap

lingkaran

Siswa mampu menyelesaikan

permasalahan berkaitan dengan lingkaran

dan persamaannya

Siswa mampu menentukan persamaan

garis singgung lingkaran

80 Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah

x2 + y2 = r2.

Lingkaran melalui titik (4, –2):

x2 + y2 = r2 ⇒ (4)2 + (–2)2 = r2

⇔ r2 = 16 + 4 = 20

Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20.

2. Jawaban: d

Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran

P(10, –6) dan jari-jarinya 10. Persamaan lingkarannya:

(x – 10)2 + (y – (–6))2 = 102

⇔ (x – 10)2 + (y + 6)2 = 100

3. Jawaban: b

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8):

(x – (–4))2 + (y – 8)2 = r2

⇔ (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2

Lingkaran melalui titik N(1, 5):

(x + 4)2 + (y – 8)2 = r2

⇔ (1 + 4)2 + (5 – 8)2 = r2

⇔ r2 = (5)2 + (–3)2

= 25 + 9 = 34

Diperoleh persamaan lingkaran:

(x + 4)2 + (y – 8)2 = 34

⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 – 34 = 0

⇔ x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0

4. Jawaban: a

Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,

koordinatnya:

��

�

− , ��

�

− = (1, –1)

Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2

Lingkaran melalui titik (6, 1), berarti:

(6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2

⇔ r2 = 25 + 4 = 29

Persamaan lingkaran:

(x – 1)2 + (y + 1)2 = r2

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29

⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0

5. Jawaban: a

x2 + y2 – 6x – 4x – 3 = 0

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 3 + 9 + 4

⇔ (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 16

Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (3, 2) dan

jari-jarinya 4. Grafik lingkaran yang sesuai ada

pada pilihan a.

6. Jawaban: d

Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik

(1, 4), berarti:

(1)2 + (4)2 + 6(1) – 2(4) + a = 0

⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0

⇔ a = –15

Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15

= 0.

Jari-jari lingkaran:

r = � ��

� �� − + − −

= � ��

� ��

−− + − − −

= � � � + += �

= 5

7. Jawaban: c

Lingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di

titik

–�

�p, –4

.

r = ( )� ��

�� − + −

= ��

�� + =

��

�� +

Lingkaran menyinggung sumbu X maka

r = |ordinat pusat|

Diperoleh:

��

�� + = |–4|

⇔�

��

��

+

= |–4|2

⇔�

�p2 + 7 = 16

⇔�

�p2 = 9

⇔ p2 = 36

⇔ p = ± 6

Jadi, pusat lingkaran adalah (3, –4) atau (–3, –4).

8. Jawaban: b

x – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2y

Substitusi x = 5 + 2y ke persamaan lingkaran

x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh:

(5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0

⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0

⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0

⇔ y2 + 4y + 3 = 0

⇔ (y + 3)(y + 1) = 0

⇔ y1 = –3 atau y

2= –1


Y

X

y = 2x

6r

P

30

-------

----

----

----

b. Persamaan lingkaran dengan pusat A(1, 3)

adalah (x – 1)2 + (y – 3)2 = r2.

Lingkaran melalui titik (–4, 7):

(x – 1)2 + (y – 3)2 = r2

⇔ (–4 – 1)2 + (7 – 3)2 = r2

⇔ r2 = 25 + 16 = 41

Jadi, persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y – 3)2

= 41.

2. a. L1 : x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5

Lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan

berjari-jari r = .

b. Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di

(2, –4) dan berjari-jari 2 adalah:

(x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 )2

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20

⇔ x2 + y2 – 4x + 8y = 0

3. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0

a. Lingkaran melalui titik (–1, 3) berarti:

(–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0

⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0

⇔ n = 18

b. x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0

Pusat: –

�

�(–8), –

�

�(–12)

= (4, 6)

Jari-jari: r = � �� −

= �� −

= ��

Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6).

d = � �� = �� = �

Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di

luar lingkaran.

c. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke

titik pusat lingkaran (4, 6) adalah:

s = � �

��

� ��

− −−

= � �

��

− − =

�

− =

�

×

=

�

Oleh karena s = �

≈ 1,34 < r = �� ≈ 5,83

maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran di

dua titik.

4. Pusat lingkaran = (2, –4).

a. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik

pusat (2, –4) ke garis 3x – 4y + 3 = 0, yaitu:

y1 = –3 ⇒ x

1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3)

y2 = –1 ⇒ x

2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1)

Panjang ruas garis AB

= � �� +

= � �� +

= �� +

= ��

= 2

9. Jawaban: e

Lingkaran L menying-

gung sumbu Y di titik

(0, 6) dan pusatnya di

garis y = 2x.

y = 6 ⇔ 2x = 6

⇔ x = 3

Pusat lingkaran P(3, 6)

dan jari-jari 3.

Jadi, persamaan ling-

karan L adalah

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 32

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9

⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0

10. Jawaban: b

Persamaan lingkaran L dengan pusat (–1, 3) dan

jari-jari r = 1:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 12

⇔ x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 . . . (1)

Garis g: ax + y = 0 ⇔ y = –ax . . . (2)

Substitusi (2) ke (1) diperoleh:

x2 + (–ax) 2 + 2x – 6(–ax) + 9 = 0

⇔ x2 + a2x2 + 2x + 6ax + 9 = 0

⇔ (a2 + 1)x2 + (2 + 6a)x + 9 = 0

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0.

(2 + 6a)2 – 4(a2 + 1) · 9 = 0

⇔ 4 + 24a + 36a2 – 36a2 – 36 = 0

⇔ 24a = 32

⇔ a = �

�

Jadi, syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung

lingkaran L adalah nilai a = �

� .

B. Uraian

1. a. Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan

menyinggung garis x = 8 berarti jari-jarinya r = 8.

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)

dan jari-jari r = 8 adalah:

x2 + y2 = 82

⇔ x2 + y2 = 64


r = � �

��

� � �

− − +

+ − =

� ��

�

+ + =

�

= 5

b. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –4) dan

jari-jari r = 5:

(x – 2)2 + (y + 4)2 = 52

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

5. Titik pusat lingkaran: P(–2, 1).

Jari-jari lingkaran: r = � �� − + + = 3

a. Jarak titik P(–2, 1) ke garis x + y – 8 = 0:

d = � �

� � �

� �

− + −

+ =

�

�

Oleh karena d1 =

�

� > r = 3 maka garis

x + y – 8 = 0 tidak berpotongan dengan

lingkaran L.

b. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x – y + 1 = 0:

d = � �

� � � � �

� � �

⋅ − − +

+ − =

�

Oleh karena d = �

< r = 3 maka garis

2x – y + 1 = 0 memotong lingkaran L.

c. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 3x – 4y – 5 = 0:

d = � �

� � � � �

� � �

⋅ − − ⋅ −

+ − =

�

− = 3

Oleh karena d = r = 3 maka garis 3x – 4y – 5 = 0

menyinggung lingkaran L.

d. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x + 2y – 1 = 0:

2x + 2y – 1 = 0:

d = � �

� � � � � �

� �

⋅ − + ⋅ −

+ =

�

� �

Oleh karena d = �

� � < r = 3 maka garis

2x + 2y – 1 = 0 memotong lingkaran L.

6. l: 2x + y = k Û y = k – 2x

Substitusi ke persamaan lingkaran L:

x2 + (k – 2x)2 = 4

⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4

⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0

Syarat garis tidak memotong lingkaran L di dua

titik yaitu D < 0.

(–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0

⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0

⇔ –4k2 + 80 < 0

⇔ k2 – 20 > 0

⇔ (k – �� )(k + �� ) > 0

⇔ (k – 2 )(k + 2 ) > 0

⇔ k < –2 atau k > 2

Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 atau

k > 2 .

7. Lingkaran menyinggung garis y = 10 di titik (5, 10)

berarti koordinat titik pusatnya (5, b) dan jari-jarinya

r = 10 – b. Persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2

+ (y – b)2 = (10 – b)2.

Lingkaran melalui titik (1, 2), berarti:

(1 – 5)2 + (2 – b)2 = (10 – b)2

⇔ 16 + 4 – 4b + b2 = 100 – 20b + b2

⇔ 20 – 4b = 100 – 20b

⇔ 16b = 80

⇔ b = 5

Jadi, persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2 + (y – 5)2

= 25.

8.

OB = OA = � �� + − = �� = � = 5

Titik pusat lingkaran: P(r, –5).

Panjang jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik

P ke garis 3x + 4y = 0, yaitu:

r = � �

��

� �

+ ⋅ −

+

⇔ r2 = �

��

−

⇔ r2 = ��

�

−

⇔ 25r2 = 9r2 – 120r + 400

⇔ 16r2 + 120 r – 400 = 0

⇔ 2r2 + 15r – 50 = 0

⇔ (2r – 5)(r + 10) = 0

⇔ r =

� atau r = –10

Oleh karena r > 0 maka r =

�.

+ – +

–2 2

X

Y

Pr

r

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

•3x + 4y = 0

8

A

B

O


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalah

x2 + y2 = r2.

Lingkaran melalui titik A(3, 1):

x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (1)2 = r2

⇔ r2 = 9 + 1 = 10

Persamaan lingkaran berpusat di P(

�, 5) dan

berjari-jari r =

�:

x – �

�

+ (y – 5)2 =

�

�

⇔ x2 – 5x + �

� + y2 – 10y + 25 =

�

�

⇔ x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0

Jadi, persamaan lingkarannya:

x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0.

9.

Titik pusat kedua lingkaran pada garis y = �

berarti ordinat titik pusat adalah � .

Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0),

maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).

Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, � ) dan per-

samaannya:

(x – r)2 + (y – � )2 = r2

Lingkaran juga menyinggung garis y = �

�x � .

Substitusi y = �

�x � ke persamaan lingkaran:

(x – r)2 +

�

�x � – �

2

= r2

⇔ x2 – 2rx + r2 + �

�x2 – 2x + 3 = r2

⇔ �

�x2 – (2r + 2)x + 3 = 0

Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka

diskriminan (D) = 0, yaitu:

b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · �

� · 3 = 0

⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0

⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0

⇔ r2 + 2r – 3 = 0

⇔ (r + 3)(r – 1) = 0

⇔ r = –3 atau r = 1

Diperoleh titik pusat P1(–3, �) dan P

2(1, �).

Jarak kedua titik pusat:

P1P

2= � �� − − + −

= � �� += 4

10. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang

melalui ketiga titik sudut segitiga. Diketahui segitiga

ABC dengan A(0, 0), B(6, 0), dan C(0, 12). Tentukan

persamaan lingkaran luar segitiga ABC.

Jawaban:

Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BC

merupakan diameter lingkaran.

Titik tengah diameter BC merupakan titik pusat

lingkaran, yaitu titik (3, 6).

Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu:

d = BC = � �� − + −

= �� +

= ��

Jari-jari: r = �

�d =

�

�� =

��

� = �

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dan jari-

jari r = � :

(x – 3)2 + (y – 6)2 = ( � )2

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 45

⇔ x2 + y2 – 6x – 12y = 0

Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalah

x2 + y2 – 6x – 12y = 0.

P1 P P

2

r1r

1

r2 r

2

T2

O

y = �

��

y = �

Y

X

Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 10.

Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(3, 1):

x1x + y

1y = r2 ⇒ (3)x + (1)y = 10

⇔ 3x + y = 10

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik

A adalah 3x + y = 10.


5. Jawaban: e

Titik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena

(0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4.

Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadap

lingkaran L:

(0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 4

⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4

⇔ –2x + 2y = –2

⇔ x – y = 1

⇔ y = x – 1

Substitusi y = x – 1 ke persamaan lingkaran L:

(x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4

⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0

⇔ 2x2 – 4x = 0

⇔ 2x(x – 2) = 0

⇔ x = 0 atau x = 2

Untuk x1 = 0 maka y

1 = 0 – 1 = –1.

Untuk x2 = 2 maka y

2 = 2 – 1 = 1.

Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1).

6. Jawaban: d

Diketahui lingkaran x2 + y2 = 4 berpusat di titik (0, 0)

dan berjari-jari r = 2.

Untuk x = 0 dan y = 4 diperoleh:

02 + 42 = 0 + 16 = 16 > 4

Titik (0, 4) berada di luar lingkaran.

Misalkan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4

bergradien m, persamaannya:

y = mx + 2 �� +Garis tersebut melalui titik (0, 4), maka:

4 = m · 0 + 2 �� +

⇔ 4 = 2�� +

⇔ �� + = 2

⇔ 1 + m2 = 4

⇔ m2 = 3

⇔ m = ± �

Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan

bergradien m = � adalah y = �x + 4.

Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan

bergradien m = – � adalah y = – �x + 4.

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya

y = – � x + 4.

7. Jawaban: c

x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0

⇔ x2 – 6x + y2 – 4y = 12

⇔ x2 – 6x + 32 + y2 – 4y + 22 = 12 + 32 + 22

⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25

Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5.

Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yang

tegak lurus dengan garis tersebut bergradien –1.

2. Jawaban: d

x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0


72 + 12 – 6(7) + 4(1) – 12

= 49 + 1 – 42 + 4 – 12

= 0

Diperoleh titik (7, 1) terletak pada lingkaran

sehingga persamaan garis singgungnya:

7x + 1y – �

�(x + 7) +

�

�(y + 1) – 12 = 0

⇔ 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0

⇔ 4x + 3y – 31 = 0

3. Jawaban: a

Lingkaran: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20

Memotong sumbu X berarti:

y = 0 ⇒ (x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20

⇔ (x + 4)2 + 4 = 20

⇔ (x + 4)2 = 16

⇔ x + 4 = ± 4

⇔ x = –4 ± 4

⇔ x = –8 atau x = 0

Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu X

adalah (–8, 0) dan (0, 0).

Persamaan garis singgung di titik (–8, 0):

(–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20

⇔ –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20

⇔ –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0

⇔ –4x – 2y – 32 = 0

⇔ 2x + y + 16 = 0

Persamaan garis singgung di titik (0, 0):

(0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20

⇔ 4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20

⇔ 4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0

⇔ 4x – 2y = 0

⇔ 2x – y = 0


2x + y + 16 = 0.

4. Jawaban: a

Garis y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m = 2.

Titik pusat lingkaran: P(3, –5).

Jari-jari lingkaran: r = ��

Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m1.

Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis

y – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2.

Persamaan garis singgung lingkaran:

y – yP

= m(x – xP) ± r �� +

⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± �� · �� +

⇔ y + 5 = 2x – 6 ± �� ⋅

⇔ y = 2x – 11 ± ��

⇔ y = 2x – 11 ± 20


Y

X

A

B1

B2

P

r

r

4

3

21

0–1–2

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–6

Persamaan garis singgung:

y – 2 = m(x – 3) ± 5 �� +

⇔ y – 2 = –1(x – 3) ± 5 �� + −

⇔ y – 2 = –x + 3 ± 5 �

⇔ y = –x + 5 ± 5 �


y = –x + 5 – 5 � .

8. Jawaban: d

L ≡ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9

y = 3 ⇒ (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9

⇔ (x + 1)2 = 9

⇔ x + 1 = ±3

⇔ x = –1 ± 3

⇔ x = 2 atau x = –4

Diperoleh titik potong (2, 3) dan (–4, 3).


(2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9

⇔ 3x + 3 + 0 = 9

⇔ x = 2


(–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9

⇔ –3x – 3 + 0 = 9

⇔ x = –4

Persamaan garis singgungnya x = 2 dan x = –4.

9. Jawaban: c

Misalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.

Titik pusat lingkaran L: P –

�

�, 2

.

Jari-jari lingkaran L: r = �

��

�� −

+ −

= �

��+

= �

� =

�

Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis AB

merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik

dari titik A.

Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran

L di titik B1 dan B

2.

Panjang garis AB1= AB

2 = s.

s = � �� −

= � � � � �� − + − −

= � �

�

� ��

+ − −

= �� = 4

Jadi, panjang garis AB adalah 4.

10. Jawaban: d

x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0

Garis melalui O(0, 0): y = mx

Substitusi ke persamaan lingkaran:

x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0

⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 6)x + 5 = 0

Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti:

D = 0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0

⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0

⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0

⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0

⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0

⇔ m = �

� atau m = –2

Jadi, gradiennya �

� dan –2.

B. Uraian

1. a. Persamaan: x2 + y2 = 34

Untuk x = –3 dan y = 5 diperoleh:

(–3)2 + (5)2 = 9 + 25 = 34

Titik (–3, 5) terletak pada lingkaran sehingga

persamaan garis singgungnya:

x1x + y

1y = 34 ⇒ –3x + 5y = 34

⇔ 3x – 5y + 34 = 0

b. Persamaan: x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0


(1)2 + (2)2 + 4(1) – 2(2) – 5

= 1 + 4 + 4 – 4 – 5 = 0

Titik (1, 2) terletak pada lingkaran sehingga


x1x + y

1y +

�

�(x + x

1) +

�

�

−(y + y

1) – 5 = 0

⇒ 1x + 2y + 2(x + 1) – 1(y + 2) – 5 = 0

⇔ x + 2y + 2x + 2 – y – 2 – 5 = 0

⇔ 3x + y – 5 = 0

2. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)

adalah x2 + y2 = r2.

Lingkaran melalui titik (–1, 2):

x2 + y2 = r2 ⇒ (–1)2 + (2)2 = r2

⇔ r2 = 1 + 4 = 5


Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 5.

Persamaan garis singgung lingkaran di titik

A(–1, 2):

x1x + y

1y = r2 ⇒ (–1)x + (2)y = 5

⇔ –x + 2y = 5

Jadi, persamaan lingkaran x2 + y2 = 5 dan

garis singgungnya di titik A adalah –x + 2y = 5.

b. Lingkaran dan garis singgungnya:

3. Misal titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2

= 13 adalah T(–1, b) maka:

(–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13

⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0

⇔ b2 + 2b – 3 = 0

⇔ (b + 3)(b – 1) = 0

⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0

⇔ b = –3 atau b = 1

Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T

2(–1, 1).

Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) pada

lingkaran L:

(–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13

⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13

⇔ –3x – 2y – 9 = 0

⇔ 3x + 2y + 9 = 0

Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) pada

lingkaran L:

(–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13

⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13

⇔ –3x + 2y – 5 = 0

⇔ 3x – 2y + 5 = 0

4. Titik T(–4, 1) terletak pada lingkaran L1 karena:

(–4)2 + 12 + 10(–4) + 4(1) + 19

= 16 + 1 – 40 + 4 + 19

= 0

Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik T:

g: –4x + y + 5(x – 4) + 2(y + 1) + 19 = 0

⇔ –4x + y + 5x – 20 + 2y + 2 + 19 = 0

⇔ x + 3y + 1 = 0

Jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titik

P(4, –1) ke garis singgung g.

Jari-jari lingkaran L2:

r2 =

� �

� � � � �

� � �

+ ⋅ − +

+ − =

�

��

Persamaan lingkaran L2:

(x – 4)2 + (y + 1)2 = �

�

��

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = �

⇔ 5x2 + 5y2 – 40x + 10y + 83 = 0

5. L: x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0

⇔ x2 – 8x + y2 – 8y = –24

⇔ x2 – 8x + 42 + y2 – 8y + 42 = –24 + 42 + 42

⇔ (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8

Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jari r

= � .

Garis y = x melalui titik pusat lingkaran, maka garis

singgung lingkaran yang melalui titik potong antara

lingkaran L dan garis y = x tegak lurus dengan

garis y = x.

Oleh karena garis y = x bergradien 1, garis singgung-

nya bergradien –1.

Persamaan garis singgungnya:

y – 4 = –1(x – 4) ± � �� + −

⇔ y – 4 = –x + 4 ± � �

⇔ y = –x + 8 ± 4

⇔ y = –x + 12 atau y = –x + 4

Jadi, persamaan garis singgungnya y = –x + 12

dan y = –x + 4.

6. a. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 80

yang bergradien m = –�

� adalah:

y = –�

�x ± ��

��

��

+

⇔ y = –�

�x ± ��

�

⇔ y = –�

�x ± 10

Diperoleh persamaan garis singgung

y = –�

�x + 10 dan y = –

�

�x – 10.

b. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0

⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9

⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100

Garis singgung dengan m = �

�

y + 3 = �

�(x – 5) ± ��

��

��

+

⇔ y + 3 = �

�(x – 5) ± 10

�

�

Y

X

A2,5

2

–5 –1 0


Y

X

P1

P2

Q

2

–2

–7

10

⇔ y + 3 = �

�x –

��

� ±

�

�

⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50

⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0

⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0

atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0

⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya 4x – 3y

+ 21 = 0 dan 4x – 3y – 7 = 0.

7. L: x2 + y2 + 2x – 6y = 0

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 1 + 9

⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 10

Diperoleh koordinat titik pusat (–1, 3) dan jari-jari r

= �� .

g: 2x + 6y – 5 = 0

⇔ y = –�

�x +

�

Diperoleh gradien garis g adalah –�

�.

Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien 3.

Persamaan garis singgung lingkaran L yang

bergradien m = 3 adalah:

y – 3 = 3(x + 1) ± �� +

⇔ y – 3 = 3x + 3 ± ��

⇔ 0 = 3x – y + 6 ± 10

Jadi, persamaan garis singgungnya 3x – y + 16

= 0 dan 3x – y – 4 = 0.

8. Titik pusat lingkaran L1: P

1(–2, 2).

Jari-jari lingkaran: r1 = � �� − + + = � = 5.

Titik pusat lingkaran L2: P

2(10, –7).

Jari-jari lingkaran: r2 = � �� + − − = ��

= 10.

Lingkaran L1 dan L

2 bersinggungan di titik Q.

Garis adalah garis singgung persekutuan

lingkaran L1 dan L

2.

Gradien garis P1P

2.

m1 = � �

� �

� �

� �

� �

� �

−−

= � � �

� ��

− −− −

= –�

�� = –

�

�

Misalkan gradien garis adalah m.

Garis tegak lurus garis P1P

2 maka

m1m = –1 ⇒ –

�

�m = –1 ⇔ m =

�

�

Menentukan koordinat titik Q.

L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0

L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0

––––––––––––––––––––––––– –24x – 18y – 66 = 0

⇔ 4x – 3y – 11 = 0

⇔ y = ��

�

−

Substitusi y = ��

�

− ke persamaan L

1:

x2 +

��

�

−

2 + 4x – 4

��

�

− – 17 = 0

⇔ x2 + ��

�

− + + 4x –

��

�x +

��

� – 17 = 0

⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132

– 153 = 0

⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0

⇔ x2 – 4x + 4 = 0

⇔ (x – 2)2 = 0

⇔ x = 2

Substitusi x = 2 ke y = ��

�

−:

y = � � ��

�

⋅ − = –1

Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).

Persamaan garis yang bergradien m dan melalui

titik (x1, y

1):

y – y1 = m(x – x

1)

Garis bergradien �

� dan melalui titik Q(2, –1)

maka persamaan garis :

y + 1 = �

�(x – 2)

⇔ 3y + 3 = 4x – 8

⇔ 4x – 3y – 11 = 0

Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung

lingkaran L1 dan L

2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.

9. Lingkaran: (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16

Titik pusat (2, 6) dan jari-jari r = 4.

Titik (–1, 2) berada di luar lingkaran.

Persamaan garis kutub dari titik (–1, 2):

(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 – 6)(y – 6) = 16

⇒ (–1 – 2)(x – 2) + (2 – 6)(y – 6) = 16

⇔ (–3)(x – 2) + (–4)(y – 6) = 16

⇔ –3x + 6 – 4y + 24 = 16

⇔ –4y = 3x – 14

⇔ y = ��

�

−−


Substitusi persamaan garis kutub ke persamaan

lingkaran:

(x – 2)2 + (y – 6)2 = 16

⇒ (x – 2)2 + (��

�

−− – 6)2 = 16

⇔ x2 – 4x + 4 + (��

�

− +− )2 – 16 = 0

⇔ x2 – 4x – 12 + (��

�

+− )2 = 0

⇔ x2 – 4x – 12 + ��

��

+ += 0

⇔ 16x2 – 64x – 192 + 9x2 + 60x + 100 = 0

⇔ 25x2 – 4x – 92 = 0

⇔ (x – 2)(25x + 46) = 0

⇔ x = 2 atau x = –��

�

x = 2 ⇒ y = ��

�

−−

= �

�

−− = 2

x = –��

� ⇒ y = –

��

� ��

�

− −−

= ��

��

− −−

= ��

��

−− =

��

�


(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 – 6)(y – 6) = 16

⇒ (2 – 2)(x – 2) + (2 – 6)(y – 6) = 16

⇔ (0)(x – 2) + (–4)(y – 6) = 16

⇔ –4y + 24 = 16

⇔ –4y = –8

⇔ y = 2

Persamaan garis singgung di titik (–��

� ,

��

� ):

(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 – 6)(y – 6) = 16

⇒(–��

� – 2)(x – 2) + (

��

� – 6)(y – 6)= 16

⇔(–��

� )(x – 2) + (–

��

� )(y – 6)= 16

⇔ (–96)(x – 2) + (–28)(y – 6) = 400

⇔ –96x + 192 – 28y + 168 = 400

⇔ –96x – 28y = 40

⇔ 24x + 7y = –10

Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2 dan

24x + 7y = –10.

10. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2

= r2 dengan gradien m = –�

�:

y = –�

�x ± r

��

�� − +

⇔ y = –�

�x ± r

��

�� +

⇔ y = –�

�x ± r

�

�

⇔ y = –�

�x ±

�

�

⇔ 3y = –4x ± 5r

Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung maka:

3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r

⇔ –12 = –36 ± 5r

⇔ 24 = ± 5r

⇔ r = ±��

= ±4,8

Oleh karena jari-jari (r) menyatakan panjang, r ber-

nilai positif.

Jadi, jari-jari lingkaran adalah r = 4,8.

A. Pilihlan Ganda

1. Jawaban: d


O(0, 0) dan jari-jarinya 4. Persamaan lingkaran:

x2 + y2 = 42

⇔ x2 + y2 = 16

2. Jawaban: e

y = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0

Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0)

ke garis 2x – y – 3 = 0, yaitu:

r = � �

��

� � �

− −

+ − =

�

− ⇔ r2 =

�

Persamaan lingkaran L:

x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = �

�

⇔ x2 + y2 = ��

�

⇔ 25x2 + 25y2 = 81

3. Jawaban: e

2x2 + 2y2 = 49

⇔ x2 + y2 = ��

�

r = ��

� =

�

� =

�

��

Jadi, jari-jari lingkaran r = �

�� .


4. Jawaban: b

Lingkaran berdiameter 12 berarti jari-jarinya r = 6.

Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 7) dan jari-

jari r = 6 adalah:

(x – 2)2 + (y – 7)2 = 62

⇔ (x – 2)2 + (y – 7)2 = 36

5. Jawaban: b

Lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan

menyinggung sumbu X sebagai berikut.


(2, –3) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran:

(x – 2)2 + (y – (–3))2 = 32

⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

6. Jawaban: c

x2 + y2 + 4x – 12y – 9 = 0

⇔ x2 + 4x + y2 – 12y = 9

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 9 + 4 + 36

⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 49

⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 72

Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 6) dan jari-jari 7.

7. Jawaban: a

Titik pusat lingkaran: 2, –

�

�p

.

Lingkaran menyinggung sumbu Y maka

r = |||||absis titik pusat|||||

⇒�

� �

�� −

+ − = 2

⇔��

�� + − = 2

⇔��

� – 21 = 22

⇔��

�= 25

⇔ p2 = 100

⇔ p = ± �� = ±10

Jadi, nilai p adalah ± 10.

8. Jawaban: a

Lingkaran x2 + y2 + nx – 8y – 64 = 0 melalui titik

(2, –6), berarti:

Y

X0 2

–3

r = 3

(2)2 + (–6)2 + n(2) – 8(–6) – 64 = 0

⇔ 4 + 36 + 2n + 48 – 64 = 0

⇔ 2n = –24

⇔ n = –12


x2 + y2 – 12x – 8y – 64 = 0

⇔ x2 – 12x + 36 + y2 – 8y + 16 = 64 + 36 + 16

⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 116

Diperoleh koordinat titik pusat (6, 4).

9. Jawaban: a

x2 + y2 – 6x + 2 = 0

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = –2 + 9

⇔ (x – 3)2 + y2 = 7

Diperoleh koordinat titik pusat (3, 0).

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 0)

dan berjari-jari 1 adalah:

(x – 3)2 + y2 = 12

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = 1

⇔ x2 + y2 – 6x + 8 = 0

10. Jawaban: c

x2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0

Titik (x1, y

1) berada di dalam lingkaran, berarti

x12 + y

12 – 8x

1 + 5y

1 – 17 < 0.

(0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0

(4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0

(–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0

(4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0

(–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0

Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2)

berada di dalam lingkaran, sedangkan titik (–4, 2)

di luar lingkaran.

11. Jawaban: c

Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3)

dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.

r = � �

��

� � �

− − +

+ − =

� ��

�

− − =

��

− = |–2| = 2

Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4.

12. Jawaban: d

Lingkaran x2 + y2 + 8x – 2y + a = 0 berpusat di

titik (–�

�, –

�

�

−) = (–4, 1).

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–4, 1)

dan berjari-jari 6 adalah

(x + 4)2 + (y – 1)2 = 62

⇔ x2 + 8x + 64 + y2 – 2y + 1 = 36

⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 64 + 1 – 36 = 0

⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 29 = 0

Jadi, nilai a = 29.

13. Jawaban: e

Lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y

berpusat di titik (a, a) atau (a, –a) dan berjari-jari a.


1) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis

4x – 2y = 8, maka:

4a – 2a = 8

⇔ 2a = 8

⇔ a = 4

Persamaan lingkaran dengan pusat (4, 4) dan

berjari-jari 4 adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42.

2) Misalkan titik pusatnya (a, –a) terletak pada

garis 4x – 2y = 8, maka:

4a – 2(–a) = 8

⇔ 4a + 2a = 8

⇔ 6a = 8

⇔ a = �

�

Persamaan lingkaran dengan pusat (�

�, –

�

�)

dan berjari-jari �

� adalah:

(x – �

�)2 + (y +

�

�)2 =

��

�

.

Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah

(x – 4)2 + (y – 4)2 = 42 dan (x – �

�)2 + (y +

�

�)2 =

��

�

.

14. Jawaban: c

Titik pusat L1: P

1(5, –1)

Jari-jari L1: r

1= � � � � ��+ − + = �� = 6

Titik pusat L2: P

2(–4, 11)

Jari-jari L2: r

2= � �� − + + = �� = 12

Jarak kedua titik pusat:

d = |P1P

2| =

� � � �

� �� − + −

= � �� − − + − −

= �� = 15

r1 + r

2 = 6 + 12 = 18

|r1 – r

2| = |6 – 12| = 6

Oleh karena r1 – r

2 < d < r

1 + r

2 maka kedua

lingkaran saling berpotongan.

15. Jawaban: d

Misalkan lingkaran L1 di kuadran I maka titik

pusatnya: P(2, 2).

Lingkaran L2 bersinggungan di dalam dengan L

1 di

titik A.

Jari-jari L2:

r2

= OP + PA = � �� − + − + r1

= � + 2 = 2 � + 2

Persamaan L2:

x2 + y2 = r22

⇔ x2 + y2 = (2 � + 2)2

⇔ x2 + y2 = 8 + 8 � + 4

⇔ x2 + y2 = 12 + 8 �

16. Jawaban: b

x2 + y2 = 13


(–3)2 + 22 = 9 + 4 = 13

Titik (–3, 2) terletak pada lingkaran, sehingga


x1x + y

1y = r2 ⇒ –3x + 2y = 13

Garis memotong sumbu Y, berarti:

x = 0 ⇒ –3(0) + 2y = 13

⇔ 2y = 13

⇔ y = ��

�

Jadi, garis singgung memotong sumbu Y di titik

(0, ��

�).

17. Jawaban: c

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26


(–3 + 2)2 + (6 – 1)2

= 1 + 25 = 26

Diperoleh titik (–3, 6) terletak pada lingkaran,


(x1 + 2)(x + 2) + (y

1 – 1)(y – 1) = 26

⇔ (–3 + 2)(x + 2) + (6 – 1)(y – 1) = 26

⇔ (–1)(x + 2) + (5)(y – 1) = 26

⇔ –x – 2 + 5y – 5 – 26 = 0

⇔ –x + 5y – 33 = 0

⇔ x – 5y + 33 = 0

18. Jawaban: a

Persamaan: x2 + y2 + 3x + 4y – 12 = 0


(0)2 + (2)2 + 3(0) + 4(2) – 4

= 0 + 4 + 0 + 8 – 12 = 0

Diperoleh titik (0, 2) terletak pada lingkaran,


x1x + y

1y +

�

�(x + x

1) +

�

�(y + y

1) – 12= 0

⇒ 0x + 2y + �

�(x + 0) + 2(y + 2) – 12 = 0

⇔ 2y + �

�x + 2y + 4 – 12 = 0

⇔ 4y + 3x + 4y – 16 = 0

⇔ 3x + 8y – 16 = 0

Y

X

A

P

O 2

r1r

1

r1

2

L1

L2


y = 0 ⇒ 3x + 8(0) – 16 = 0

⇔ 3x = 16

⇔ x = 5�

�

Jadi, garis singgung lingkaran berpotongan dengan

sumbu X di titik (5�

�, 0).

19. Jawaban: c

Misalkan titik singgung lingkaran L:

x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2) maka

a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15 = 0

⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0

⇔ a2 – 4a + 3 = 0

⇔ (a – 3)(a – 1) = 0

⇔ a = 3 atau a = 1

Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T

2(3, –2).

Persamaan garis singgung di T1 (1, –2):

x – 2y – �

�(x + 1) +

�

�(y – 2) + 15 = 0

⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0

⇔ –x + 2y + 5 = 0

⇔ x – 2y – 5 = 0

Persamaan garis singgung di T2 (3, –2):

3x – 2y – �

�(x + 3) +

�

�(y – 2) + 15 = 0

⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0

⇔ x + 2y + 1 = 0


x – 2y – 5 = 0.

20. Jawaban: b

Lingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu:

(x – 2)2 + (y + 2)2 = r2

Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti:

(3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2

⇔ r2 = 12 + 12 = 2

Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2.

Persamaan garis singgung di titik (3, –1):

(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 + 2)(y + 2) = 2

⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2

⇔ x – 2 + y + 2 – 2 = 0

⇔ x + y – 2 = 0

21. Jawaban: a

Lingkaran: x2 + y2 = 36

Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = �� = 6

3x + 4y – 20 = 0

⇔ y = –�

�x – 5

Diperoleh gradien m = –�

�.


y = –�

�x ± 6

��

�� −

+

⇔ y = –�

�x ± 6

� ��

�� +

⇔ y = –�

�x ± 6 ·

�

⇔ 4y = –3x ± 30

Salah satu persamaan garis singgungnya:

4y = –3x – 30

⇔ 3x + 4y + 30 = 0

22. Jawaban: c

Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 10

Persamaan garis singgung yang bergadien m = –3:

y – b = m(x – a) ± r �� +

⇒ y + 4 = –3(x – 2) ± �� + −

⇔ y + 4 = –3x + 6 ± ��

⇔ 3x + y = 2 ± 10

⇔ 3x + y = 2 + 10 dan 3x + y = 2 – 10

⇔ 3x + y = 12 dan 3x + y = –8

Jadi, persamaan garis singgungnya 3x + y = 12

dan 3x + y = –8.

23. Jawaban: e

Selidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran

L: x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0.

Substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L:

02 + 02 – 6 · 0 – 8 · 0 + 20

= 0 + 0 – 0 – 0 + 20

= 20 > 0

Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) ke

persamaan lingkaran L lebih dari nol maka titik

(0, 0) terletak di luar lingkaran L.

Persamaan garis kutub titik (0, 0) terhadap

lingkaran L:

0 · x + 0 · y – �

�(x + 0) –

�

�(y + 0) + 20 = 0

⇔ –3x – 4y + 20 = 0

⇔ y = ��

�

−

Substitusi y = ��

�

− ke persamaan lingkaran L:

x2 +

��

�

−

2

– 6x – 8

��

�

−

+ 20 = 0

⇔ x2 + ��

��

− + – 6x – 40 + 6x + 20 = 0

⇔ 16x2 + 400 – 120x + 9x2 – 320 = 0

⇔ 25x2 – 120x + 80 = 0

⇔ 5x2 – 24x + 16 = 0

⇔ (5x – 4)(x – 4) = 0

⇔ 5x – 4 = 0 atau x – 4 = 0

⇔ x = �

atau x = 4

Untuk x1 =

�

maka y

1=

�

��

�

− ⋅

= 5 – �

=

��


Untuk x2 = 4 maka y

2 =

��

�

− ⋅ = 2

Diperoleh titik singgung

�

,

��

dan (4, 2).

Persamaan garis singgung pada lingkaran L:

(i) Di titik

�

,

��

:

�

x +

��

y –

�

�

x +

�

–

�

�

y +

��

+ 20 = 0

⇔ �

x +

��

y – 3x –

��

– 4y –

��

+ 20 = 0

⇔ 4x + 22y – 15x – 20y = 0

⇔ –11x + 2y = 0

⇔ 11x – 2y = 0

(ii) Di titik (4, 2):

4x + 2y – �

�(x + 4) –

�

�(y + 2) + 20 = 0

⇔ 4x + 2y – 3x – 12 – 4y – 8 + 20 = 0

⇔ x – 2y = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran

x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 di titik (0, 0) adalah

11x – 2y = 0 atau x – 2y = 0.

24. Jawaban: c

Misalkan koordinat titik P(x1, y

1).

Titik P di luar lingkaran L.

Garis singgung di titik A melalui AP dan garis

singgung di titik B melalui BP.

Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub dari

titik P pada lingkaran L.

Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran

L: x1x + y

1y = 25. Sehingga diperoleh x

1 = 7 dan

y1 = –1.

Jadi, koordinat titik P(7, –1).

25. Jawaban: d

Garis singgung 1 tegak lurus PB

1 dan garis

singgung 2 tegak lurus PB

2.

Jarak PQ = � �

� �� +

� �� − + − = � �� +

⇔ � �� − − + − = �

⇔ (–7)2 + (5 – b)2 = 65

⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65

⇔ b2 – 10b + 9 = 0

⇔ (b – 1)(b – 9) = 0

⇔ b = 1 atau b = 9

Jadi, nilai b = 1 atau b = 9.

26. Jawaban: e

L: (x + 5)2 + (y – 6)2 = 9

Substitusi x = –5 ke L:

(–5 + 5)2 + (y – 6)2 = 9

⇔ (y – 6)2 = 9

⇔ y – 6 = ±3

⇔ y = 6 ± 3

⇔ y = 9 atau y = 3

Diperoleh titik potong (–5, 9) dan (–5, 3).


(–5 + 5)(x + 5) + (9 – 6)(y – 6) = 9

⇔ 0(x + 5) + 3(y – 6) = 9

⇔ y – 6 = 3

⇔ y = 9

Persamaan garis singgung melalui (–5, 3):

(–5 + 5)(x + 5) + (3 – 6)(y – 6) = 9

⇔ 0(x + 5) – 3(y – 6) = 9

⇔ y – 6 = –3

⇔ y = 3

Jadi, garis singgungnya y = 3 dan y = 9.

27. Jawaban: d

Titik pusat lingkaran: (3, –2).

Jari-jari lingkaran: r = � �� + − +

= �� = 3 � .

Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0.

02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0

⇔ y2 + 4y – 5 = 0

⇔ (y + 5)(y – 1) = 0

⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0

⇔ y = –5 atau y = 1

Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).

Persamaan garis singgung di titik A:

0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0

⇔ y – 3x + 2y + 2 – 5 = 0

⇔ –3x + 3y – 3 = 0

⇔ x – y + 1 = 0

Persamaan garis singgung di titik B:

0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0

⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0

⇔ –3x – 3y – 15 = 0

⇔ x + y + 5 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah

x – y + 1 = 0 dan x + y + 5 = 0.

28. Jawaban: d

Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0

diperoleh:

Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).

Jari-jari lingkaran: r = � �� − + − = 2.

Y

X

Q(–

2, 5

)

O

B1

B2

P(5, b)

r

1

2

47


Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan

x = a atau x – a = 0.

Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3)

ke garis x – a = 0.

r = �

� �

�

− − = |||||–1 – a |||||

⇔ r2 = |||||–1 – a |||||2

⇔ 22 = 1 + 2a + a2

⇔ a2 + 2a – 3 = 0

⇔ (a + 3)(a – 1) = 0

⇔ a + 3 = 0 atau a – 1 = 0

⇔ a = –3 atau a = 1

Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 atau

x = 1.

29. Jawaban: b

Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A

adalah g dan gradiennya mg = –

�

�.

OA merupakan jari-jari lingkaran L.

Persamaan garis yang melalui OA:

� �

� �

−− =

� �

� �

−−

⇔ �

�=

�

�

⇔ y = �

�x

Gradien garis yang melalui OA: m = �

�

Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka

mg · m = –1

⇒ –�

� ·

�

�= –1

⇔ a = 1

Jadi, nilai a = 1

30. Jawaban: d

L: x2 + y2 – 24x – 12y + 168 = 0

⇔ x2 – 24x + 144 + y2 – 12y + 36 = –168 + 144

+ 36

⇔ (x – 12)2 + (y – 6)2 = 12

Diperoleh koordinat titik pusat (2, 3) dan jari-jari r

= �� = 2 � .

Titik A dan B merupakan titik singgung dari dua

garis singgung yang sejajar sehingga panjang AB

sama dengan panjang diameter.

Jadi, panjang AB = d = 2r = 4 �.

B. Uraian

1. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)


Lingkaran melalui titik (3, –2):

x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (–2)2 = r2

⇔ r2 = 9 + 4 = 13

Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 13.

b. Lingkaran berdiameter 8 berarti jari-jarinya

r = 4.

Persamaan lingkaran dengan pusat P(–3, 1)

dan jari-jari r = 4 adalah:

(x – (–3))2 + (y – 1)2 = 42

⇔ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 16

⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 – 16 = 0

⇔ x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0

2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0

a. Pusat: –

�

�(6), –

�

�(–14)

= (–3, 7)

Jari-jari: r = − −� ��

= −�� = �� = 7

Jadi, pusat lingkaran L(–3, 7) dan jari-jarinya 7.

b. Persamaan lingkaran dengan pusat (–3, 7) dan

r = 5:

(x + 3)2 + (y – 7)2 = 52

⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0

⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0

Jadi, persamaan lingkarannya

x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0.

3. Titik pusat L1: P

1(0, –4).

Jari-jari L1: r

1 = � �� + − − = �� .

Titik pusat L2: P

2(4, 2).

Jari-jari L2: r

2 = � �� + − = �� .

Oleh karena jari-jari r1 = r

2 maka titik P

3 merupakan

titik tengah garis P1P

2.

Koordinat titik pusat: P3

� ��

�

+, � ��

�

+

= P3

� �

�

+,

� �

�

− +

= P3(2, –1)

Jari-jari L3: r

3 = 2r

1 = 2r

2 = 2 �� .


(x – xP3

)2 + (y – yP3

)2 = r32

⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 �� )2

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52

⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0

Jadi, persamaan lingkaran L3:

x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0

4. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0

a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti:

22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12 = 0

⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0

⇔ 3p = –3

⇔ p = –1


b. L: x2 + y2 – 2x – y – 12 = 0

B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12

= 16 + 0 + 8 – 12

= 12 > 0

Sehingga kedudukan titik B di luar lingkaran.

C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12

= 4 + 9 – 4 – 3 – 12

= –6 < 0

Sehingga kedudukan titik C di dalam lingkaran.

5. a. Pusat lingkaran: P(–2, 3)

Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat

ke garis x + y = 0, yaitu:

r = � �

� � �

� �

− + +

+ =

�

�

⇔ r2 = �

�


(x – (–2))2 + (y – 3)2 = �

�

⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = �

�

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = �

�

⇔ 2x2 + 8x + 8 + 2y2 – 12y + 18 = 1

⇔ 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0

b. 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0


2(–3)2 + 2(2)2 + 8(–3) – 12(2) + 25

= 18 + 8 – 24 – 24 + 25

= 3 > 0

Oleh karena hasilnya positif, maka titik Q di

luar lingkaran L.

6. a. Persamaan lingkaran L dengan pusat O(0, 0)


Lingkaran L melalui titik (1, –3):

x2 + y2 = r2 ⇒ (1)2 + (–3)2 = r2

⇔ r2 = 1 + 9 = 10

Jadi, persamaan lingkaran L: x2 + y2 = 10.

b. Persamaan garis singgung lingkaran L yang

bergadien 2:

y = mx ± r �� +

⇒ y = 2x ± �� +

⇔ y = 2x + �� +

⇔ y = 2x ± �

⇔ y = 2x ± 5 �

Jadi , persamaan gar is s inggungnya

y = 2x + 5 � dan y = 2x – 5 � .

7. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25

a. Untuk x = –2 dan y = –6 diperoleh:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = (–2 – 2)2 + (–6 + 3)2

= 16 + 9 = 25

Jadi, titik (–2, –6) terletak pada lingkaran.

b. Persamaan garis singgung lingkaran di titik

P(–2, –6) yaitu:

(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 + 3)(y + 3) = 25

⇔ (–2 – 2)(x – 2) + (–6 + 3)(y + 3) = 25

⇔ –4(x – 2) – 3(y + 3) = 25

⇔ –4x + 8 – 3y – 9 = 25

⇔ 4x + 3y + 26 = 0

8. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 15 + 4 + 1

⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 20

Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 1) dan jari-jari

r = �� .

g: 6x + 3y – 1 = 0

⇔ y = –2x + �

�

Diperoleh gradien garis g adalah –2.

a. Garis singgung yang sejajar garis garis g

bergradien m = –2.


bergradien m = –2 adalah:

y – 1 = –2(x + 2) ± �� + −

⇔ y – 1 = –2x – 4 ± ��

⇔ y = –2x – 3 ± 10

⇔ 2x + y = –3 ± 10

Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y

= –3 ± 10.

b. Garis singgung yang tegak lurus garis g

bergradien m = �

�.


bergradien m = �

� adalah:

y – 1 = �

�(x + 2) ± ��

� �

�� +

⇔ y – 1 = x + 1 ± ��

�

⇔ y = x + 2 ± 5

⇔ 2y = x + 4 ± 10

⇔ x – 2y = –4 ± 10

Jadi, persamaan garis singgungnya x – 2y

= –4 ± 10.

9. Ordinat titik pusat = 2.

Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2).

Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaran

berarti titik P(a, 2) terletak pada garis g.


Sehingga:

a – 3 · 2 + 5 = 0 ⇔ a = 1

Diperoleh titik pusat: P(1, 2).

Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2)

ke titik A(0, –1):

r = � �� − + −

= � �� − + − −

= � �� + = � �+ = ��

⇔ r2 = 10


(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10

Persamaan garis singgung di titik A(0, –1):

(0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10

⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10

⇔ –x – 3y – 3 = 0

⇔ x + 3y + 3 = 0

Jadi, persamaan garis singgung di titik A

x + 3y + 3 = 0.

10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

Titik pusat: P(2, –4)

a. : x – 2y + 6 = 0

⇔ 2y = x + 6

⇔ y = �

�x + 3

Gradien garis : m = �

�

Garis g tegak lurus garis maka gradien garis g

adalah m1 = –2.

Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0

karena memotong sumbu Y positif.

Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0.

Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah

2 maka:

2 = � �

� � � �

� �

⋅ − −

+⇔ (2 )2 =

��

−

⇔ 20 = ��

⇔ c2 = 100

⇔ c = ± 10

Oleh karena c > 0 maka c = 10.

Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0

⇔ y = –2x + 10

b. Mencari koordinat titik potong M dan N.

Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan L:

x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0

⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0

⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0

⇔ x2 – 12x + 35 = 0

⇔ (x – 7)(x – 5) = 0

⇔ x = 7 atau x = 5

Untuk x1 = 7 maka y

1 = –2 · 7 + 10 = –4

Untuk x2 = 5 maka y

2 = –2 · 5 + 10 = 0

Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0).

c. Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4):

7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0

⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0

⇔ 5x – 35 = 0

⇔ x = 7

Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0):

5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0

⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0

⇔ 3x + 4y – 15 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya x = 7 dan

3x + 4y – 15 = 0.

96 Ulangan Akhir Semester

3. Jawaban: e


L = 75,5; fme

= 15; fkme

= 11; n = 40; dan p = 5.

Me = L + ��

��

��

� �

�

−

· p

= 75,5 +

�

��

��

−

· 5

= 75,5 + �

��

· 5

= 75,5 + 3

= 78,5

Jadi, median data tersebut 78,5.

4. Jawaban: c

Σfi = 106 + n

Σfix

i = 7.242 + 57n

x– =

� �

�

ΣΣ ⇔ 67 =

��

��

++

⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n

⇔ 10n = 140

⇔ n = 14

Banyak mobil yang berkecepatan kurang dari

60 km/jam = 14 + 2 = 16.

A. Pilhan Ganda

1. Jawaban: b

n1 = 46 → �� = 6,5

n2 = 4

n = 46 + 4 = 50 → � = 6,5 + 0,04 = 6,54

� = � � � �

� �

� � � �

� �

++

⇔ 6,54 = ��

�

++

⇔ 6,54 = ��

�

+

⇔ 327 = 299 + ��

⇔ �� = 28

⇔ �� = 7

Jadi, nilai rata-rata ulangan susulan 4 siswa adalah 7.

2. Jawaban: c

�� = c

⇔ � � � � �

�

+ + + + += c

⇔ ��

�

+= c

⇔ 15 + 2a = 6c

⇔ 2a – 6c = –15 . . . (1)

�� = 2a

⇔ � � � � � �

�

+ + + + + += 2a

⇔ ��

�

+= 2a

⇔ 15 + 2c = 14a

⇔ 14a – 2c = 15 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan (2):

2a – 6c = –15 × 1 2a – 6c = –15

14a – 2c = 15 × 3 42a – 6c= 45

–––––––––––– –

–40a = –60

⇔ a = 1,5

Substitusikan a = 1,5 ke persamaan (1).

2a – 6c = –15

⇔ 2(1,5) – 6c = –15

⇔ 3 – 6c = –15

⇔ –6c = –18

⇔ c = 3

Jadi, nilai a + c = 1,5 + 3 = 4,5.

Nilai Frekuensi Kumulatif

61–65

66–70

71–75

76–80

81–85

86–90

91–95

1

6

11

26

34

38

40

Frekuensi

1

5

5

15

8

4

2

fi

2

n

30

36

18

14

6

fix

i

104

57n

1.860

2.412

1.296

1.078

492

xi

52

57

62

67

72

77

82

Kecepatan

50–54

55–59

60–64

65–69

70–74

75–79

80–84


Tinggi Badan (cm)

145–149

150–154

155–159

160–164

165–169

170–174

175–179

Banyak Siswa

7

13 – 7 = 6

21 – 13 = 8

27 – 21 = 6

32 – 27 = 5

38 – 32 = 6

41 – 38 = 3

5. Jawaban: c

Modus di kelas interval 155–159.

Lo = 154,5; d

1 = 2; d

2 = 2; dan p = 5.

Modus: Mo

= Lo +

�

� �

�

� �

+

· p

= 154,5 + �

� �

+

· 5

= 154,5 + 2,5 = 157

6. Jawaban: a

Kuartil atas (Q3) di kelas interval 24 – 25.

L3 = 23,5; fQ3 = 15; fkQ

3

= 40; p = 2; dan n = 60.

Q3 = L3 + ��

�

��

�

� �

�

−

· p

= 23,5 + �

�

��

⋅ −

· 2

= 23,5 + �

� = 24

�

�

7. Jawaban: c

Q1 di kelas interval 45–49.

L1 = 44,5; f

Q1 = 5; f

kQ1

= 6; dan p = 5.

Q1

= L1 +

��

�

��

�

� �

�

−

· p

= 44,5 + �

��

�

⋅ −

· 5

= 44,5 + 0,25 = 44,75

Q3 di kelas interval 55–59.

L3 = 54,5; f

Q3 = 3; f

kQ3

= 18; dan p = 5.

Q3

= L3 +

��

�

��

�

� �

�

−

· p

= 54,5 + �

��

�

⋅ −

· 5

= 54,5 + 1,25 = 55,75

Jangkauan semi antarkuartil:

Qd

= �

�(Q

3 – Q

1) =

�

�(55,75 – 44,75) = 5,5

8. Jawaban: d

Σfi = 25

Σfi · x

i = 145

� =

� � �

�

ΣΣ

= ��

��

= 5,8

Σ|xi – � | = |3 – 5,8| + |4 – 5,8| + |5 – 5,8|

+ |6 – 5,8| + |7 – 5,8| + |8 – 5,8|

+ |9 – 5,8|

= 2,8 + 1,8 + 0,8 + 0,2 + 1,2 + 2,2 + 3,2

= 12,2

SR = � �

�

Σ −Σ

= ��

��

= 0,488

Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 0,488.

9. Jawaban: c

� = 7

⇔ � � ��

�

− + − + + + − + += 7

⇔ ��

�

−= 7

⇔ 6n – 1 = 35

⇔ 6n = 36

⇔ n = 6

Data menjadi: 4, 9, 8, 5, 9

Σ(xi – � )2 = (4 – 6)2 + (9 – 6)2 + (8 – 6)2 + (5 – 6)2

+ (9 – 6)2

= (–2)2 + (3)2 + (2)2 + (–1)2 + (3)2

= 4 + 9 + 4 + 1 + 9

= 27

Panjang (cm) Frekuensi Kumulatif

16–17

18–19

20–21

22–23

24–25

26–27

5

18

25

40

55

60

Frekuensi

5

18–5 = 13

25–18 = 7

40–25 = 15

55–40 = 15

60–55 = 5

Berat Badan

(kg)

Frekuensi

Kumulatif

40–44

45–49

50–54

55–59

60–64

6

11

18

21

25

Banyak

Siswa

6

5

7

3

4

Nilai (x)

Frekuensi (f)

fx

3

4

12

4

3

12

5

3

15

6

5

30

7

5

35

8

4

32

9

1

9


S2 = �

��

�

Σ −

= ��

�

= 5,4

Jadi, variansi data tersebut 5,4.

10. Jawaban: b

Σfi = 30

Σfix

i = 1.920

� =

��

�

ΣΣ

= ��

�

= 64

Σfi (x

i – � )2 = 4(53 – 64)2 + 5(58 – 64)2

+ 9(63 – 64)2 + 5(68 – 64)2

+ 7(73 – 64)2

= 4(–11)2 + 5(–6)2 + 9(–1)2 + 5(4)2

+ 7(9)2

= 4(121) + 5(36) + 9(1) + 5(16) + 7(81)

= 484 + 180 + 9 + 80 + 567

= 1.320

S = ( )�

� � �

�

Σ −Σ

= ��

�

=

= 2 ��

Jadi, simpangan baku data tersebut 2 �� .

11. Jawaban: b

��

��

− −− = 1

⇔��

��

− − − −− = 1

⇔��

��

− − −− = 1

⇔��

��

− − −− − = 1

⇔ n2 – n – 1 = n – 1

⇔ n2 – 2n = 0

⇔ n(n – 2) = 0

⇔ n = 0 (tidak memenuhi) atau n = 2

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 2.

12. Jawaban: c

Angka = 4, 5, 6, 7, 8, 9

Banyak angka = 6

Bilangan tiga angka

Kolom I dapat diisi oleh dua angka, yaitu 4 dan 5.

Kolom II dapat diisi oleh lima angka, karena satu

angka sudah digunakan pada kolom I.

Kolom III dapat diisi oleh empat angka, karena dua

angka sudah digunakan pada kolom I dan kolom II.

Banyak bilangan = 2 × 5 × 4 = 40.

13. Jawaban: c

Susunan benda yang mungkin:

A x x x x x F = 5!

F x x x x x A = 5!

Cara mengatur bendera = 2 · 5!

= 2 · 120

= 240

14. Jawaban: a

Banyak anak yang masih harus dipilih

= 5 – (1 + 2) = 2 anak

Kemungkinan 2 anak yang terpilih 2 anak laki-laki

atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan atau 2

anak perempuan.

Banyak cara memilih 2 anak laki-laki

= 7C

2 =

��

�� =

� � ��

��

⋅ ⋅ = 21


perempuan = 7C

1 ×

4C

1 = 7 × 4 = 28

Banyak cara memilih 2 anak perempuan

= 4C

2 =

�

�� =

� ��

��

⋅ ⋅ = 6

Jadi, banyak cara memilih = 21 + 28 + 6 = 55

cara.

15. Jawaban: a

Banyak soal yang harus dikerjakan = 5.

Sisa soal yang harus dikerjakan adalah 3 dari 5

soal.

Banyak pilihan = 5C

3

= ��

��

= � � � ��

��

= 10

16. Jawaban: e

A = kejadian terambil kedua kartu bernomor prima

= {53, 59, 61, 67)

A′ = kejadian terambil kedua kartu tidak bernomor

prima

fi

fix

ix

iBerat (kg)

51–55

56–60

61–65

66–70

71–75

4

5

9

5

7

53

58

63

68

73

212

290

567

340

511

I II III


Banyak anggota ruang sampel:

n(S) = 20C2

= 190

P(A) = ��

��

= ��

��

= �

��

P(A′) = 1 – P(A)

= 1 – �

��

= ��

��

= ��

��

Jadi, peluang terambil kedua kartu tidak bernomor

prima ��

��.

17. Jawaban: b

Kemungkinan kelereng yang terambil (2 biru,

1 kuning) atau (2 biru, 1 merah).

Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12.

Banyak anggota ruang sampel:

n(S) = 12C3 = 220

P(A) = peluang terambil 2 kelereng biru dan

1 kelereng kuning

= � � ��

��

× =

� �

��

× =

��

��

P(B) = peluang terambil 2 kelereng biru dan

1 kelereng merah

= � � ��

��

× =

� �

��

× =

�

��

Peluang terambil 2 kelereng biru

= P(A) + P(B)

= ��

�� +

�

��

= �

�� =

��

��

18. Jawaban: a

Banyak kelereng = 7 + 5 = 12

n(S) = 12

C3

Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng

putih

= P(1p, 2m) + P(2p, 1m) + P(3p)

= � � � � � � �

��

� � � ��

�

+ +

= � � ��

��

+ +

= ��

��

+ +

= ��

�� =

��

19. Jawaban: a

Kemungkinan bola yang terambil (pertama kuning,

kedua kuning, ketiga kuning) atau (pertama

kuning, kedua kuning, ketiga merah).

P(A) = kejadian terambil bola pertama kuning,

kedua kuning, dan ketiga kuning

=

� ×

�

� ×

�

�

= �

��

P(B) = kejadian terambil bola pertama kuning,

kedua kuning, dan ketiga merah

=

� ×

�

� ×

�

�

= �

�

Peluang terambil bola pertama dan kedua kuning:

P = P(A) + P(B)

= �

�� +

�

�

= �

�

20. Jawaban: b

n(S) = 36

A = mata dadu berjumlah kelipatan 4

= {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),

(6, 2), (6, 6)}

n(A) = 9

P(A) = ��

��

= �

��

= �

Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah

kelipatan 4 adalah �

.

21. Jawaban: c

p = � �� −

= � �−

= �

tan (�

�π – α) + 3 cos α

= cotan α + 3 cos α

= �

� + 3(

�

�)

= � + �

= � + �

3

αp

�


22. Jawaban: c


= �

�

�

��

− +

�

��

��

= ��

��− +

�

�� =

��

��

23. Jawaban: a

Perhatikan ∆ABC siku-siku di B.

AB = � �� −

= � �� −

= �� −

= = 20

Perhatikan ∆ACD siku-siku di D.

AD = � �� "−

= � �� −

= �� −

= �� = 24

sin x° = ��

�� =

��

�� =

�

�

cos x° = ��

�� =

�

�� =

�

sin y° = �"

�� =

�

��

cos y° = �"

�� =

�

��

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

= �

�

�

��

+

�

�

��

= ��

�� +

��

��

= �

�� =

�

24. Jawaban: c

Jumlah besar sudut segitiga = 180°

⇔ A + B + C = 180°

⇔ C = 180° – (A + B)

tan C = tan (180° – (A + B))

= –tan (A + B)

= –#�� #��

� #�� #��

+ −

= –��

� ��

� ��

� �

� � �

+ − − −

= –

� �

��

��

− +

= –��

��

��

+

= –��

� ��

×

= –�

��

25. Jawaban: e

p = � �� +

= � �+

= �

sin x = �

$ =

�

�

cos x = �

$ =

�

�

sin 2x = 2 sin x cos x

= 2 · �

� ·

�

�

= �

�

= �

�

45

3A

sin A =

�

cos A = �

�

12 13

B5

cos B = –�

��

sin B = ��

��

25

7

15

x°

y°

D

B

C

A

1715

8A

tan A = ��

�tan B = –

�

��

13

12

5

B

x3

1p


26. Jawaban: d

� �%& ��

� �%& ��

+− =

�

�

� �� %& � ��

� �� & � ��

+ −− −

= �

�

� �%& �

� & � � = cotan2 x

27. Jawaban: b

��%& & � �

& � � �%& � �

θ + θθ + θ +

= �

��%& ' & � �

� & � �%& � �%& � �

θ θθ θ + θ − +

= ��& � ' �%& �

� �%& �& � �%& �

θ θθ θ + θ

= �

�%& θ = sec θ

28. Jawaban: d

Jumlah besar sudut segitiga = 180°

⇔ A + B + C = 180°

⇔ A + B = 180° – C

sin A cos B = �

� (sin (A + B) + sin (A – B))

= �

� (sin (180° – C) + sin (A – B))

= �

� (sin C + sin 30°)

= �

� (

�

� +

�

�)

= �

� (

�

�)

= �

�� =

�

�

29. Jawaban: e

& � �� & � �

�%& �� %& �

+− =

� �

� ��

� �

� & � �� %& ��

� & � �� & � ��

+ −

− + −

= � & � �� %& �

� & � �� & � �−= –cotan A

30. Jawaban: c

� cos x – sin x = k cos (x – α)

k = � �� + − = � �+ = 2

tan α = �

�

− = –

�

��

Oleh karena koefisien cos x positif dan koefisien

sin x negatif (di kuadran IV) maka α = 330°.

� cos x – sin x = 2 cos (x – 330°)

= 2 cos (x – 360° + 30°)

= 2 cos (–360° + x + 30°)

= 2 cos (–(360° – (x + 30°))

= 2 cos (x + 30°)

� cos x – sin x + � = 0

⇔ 2 cos (x + 30°) + � = 0

⇔ cos (x + 30°) = –�

�� = cos 150°

(i) x + 30° = 150° + k · 360°

⇔ x = 120° + k · 360°

k = –1 ⇒ x = 120° – 360° = –240° (TM)

k = 0 ⇒ x = 120° + 0° = 120°

k = 1 ⇒ x = 120° + 360° = 480° (TM)

(ii) x + 30° = –150° + k · 360°

⇔ x = –180° + k · 360°

k = 0 ⇒ x = –180° + 0° = –180° (TM)

k = 1 ⇒ x = –180° + 360° = 180°

k = 2 ⇒ x = –180° + 720° = 540° (TM)

Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360°, nilai x yang memenuhi

120° dan 180°. Jadi, himpunan penyelesaiannya

{120°, 180°}.

31. Jawaban: d

Persamaan umum lingkaran:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Melalui titik (4, 2):

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

⇔ 42 + 22 + A(4) + B(2) + C = 0

⇔ 16 + 4 + 4A + 2B + C = 0

⇔ 4A + 2B + C = –20 . . . (1)

Melalui titik (–3, –5):

x2 + y2 + Ax + By + C= 0

⇔ (–3)2 + (–5)2 + A(–3) + B(–5) + C = 0

⇔ 9 + 25 – 3A – 5B + C = 0

⇔ 3A + 5B – C = 34 . . . (2)

Melalui titik (1, 3):

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

⇔ 12 + 32 + A(1) + B(3) + C = 0

⇔ 1 + 9 + A + 3B + C = 0

⇔ A + 3B + C = –10 . . . (3)


4A + 2B + C = –20

3A + 5B – C = 34

––––––––––––––– +

7A + 7B = 14

⇔ A + B = 2 . . . (4)


3A + 5B – C = 34

A + 3B + C = –10

––––––––––––––– +

4A + 8B = 24

⇔ A + 2B = 6 . . . (5)


A + B = 2

A + 2B = 6

–––––––––– –

–B = –4

⇔ B = 4

Substitusikan B = 4 ke A + B = 2.

A + B = 2

⇔ A + 4 = 2

⇔ A = –2

Substitusikan A = –2 dan B = 4 ke persamaan (1).


4A + 2B+C = –20

⇔ 4(–2) + 2(4) + C = –20

⇔ –8 + 8 + C = –20

⇔ C = –20

Diperoleh persamaan lingkaran:

x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0

Panjang jari-jari lingkaran:

r = � ��

� �� − −

= � �� − + − −

= � �+ +

= �� = 5

Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 5.

32. Jawaban: a

Jarak titik pusat kedua lingkaran: d = 8

d2 = (p – 1)2 + (q + 4)2

⇔ 82 = p2 – 2p + 1 + q2 + 8q + 16

⇔ p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 . . . (1)

Panjang jari-jari lingkaran L2:

r = d – 5 = 8 – 5 = 3

r2 = (p – 6)2 + (q + 4)2

⇔ 32 = p2 – 12p + 36 + q2 + 8q + 16

⇔ p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 . . . (2)

Eliminasi p2, q2, dan q dari persamaan (1) dan (2).

p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0

p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0–––––––––––––––––––––– –

10p – 90 = 0

⇔ p = 9

Substitusi p = 9 ke persamaan (2).

p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0

⇔ 92 + q2 – 12 · 9 + 8q + 43 = 0

⇔ q2 + 8q + 16 = 0

⇔ (q + 4)2 = 0

⇔ q = –4

Diperoleh pusat lingkaran L2: (9, –4).


(x – 9)2 + (y + 4)2 = 32

⇔ x2 – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 9 = 0

⇔ x2 + y2 – 18x + 8y + 88 = 0

33. Jawaban: d

Jari-jari lingkaran L sama dengan AP atau BP.

r = AP

⇔ r = � �* � * �� < < �− + −

⇔ �� = � �� − + − −⇔ 17 = (a – 3)2 + 16

⇔ (a – 3)2 – 1 = 0

⇔ (a – 3 – 1)(a – 3 + 1) = 0

⇔ (a – 4)(a – 2) = 0

⇔ (a – 4) = 0 atau (a – 2)= 0

⇔ a = 4 atau a = 2

Diperoleh pusat lingkaran L:

P1(4, –2) atau P2(2, –2)

Persamaan lingkaran L berpusat di P1(4, –2):

(x – 4)2 + (y + 2)2 = 17

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0

⇔ x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0

Persamaan lingkaran L berpusat di P2(2, –2):

(x – 2)2 + (y + 2)2 = 17

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 – 17 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0

Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 8x

+ 4y + 3 = 0 atau x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0.

34. Jawaban: e

Garis : 2x + 3y – 31 = 0 mempunyai gradien

m = –�

�.

Garis g tegak lurus garis , maka mg = �

�.

Persamaan garis g:

y + 4 = mg(x – 2)

⇔ y + 4 = �

�(x – 2)

⇔ 2y + 8 = 3x – 6

⇔ 3x – 2y – 14 = 0

Jari-jari lingkaran r sama dengan jarak titik pusat

lingkaran ke garis g.

r = � �

� � � � �

� � ��

⋅ − ⋅ −

+ − =

��

��

− = ��


(x – 1)2 + (y – 1)2 = ( �� )2

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0

⇔ x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0

35. Jawaban: b

Lingkaran berpusat di (2, 3) dan r = 3.

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 32

⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9

Lingkaran memotong sumbu Y sehingga x = 0.

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9

⇔ (0 – 2)2 + (y – 3)2 = 9

⇔ (–2)2 + (y2 – 6y + 9) = 9

Y

XA

B

(2, 3)

(2, 0)

r = 3


⇔ 4 + y2 – 6y + 9 = 9

⇔ y2 – 6y + 4 = 0

Jarak AB = yB – y

A

yB – y

A=

"

=

��

�

− −

= �� −

= �

= 2 �

Jadi, jarak AB = 2 � .

36. Jawaban: c

x – y = 4 ⇔ y = x – 4

Substitusikan y = x – 4 ke persamaan lingkaran.

x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0

⇔ x2 + (x – 4)2 – 8x – 8(x – 4) + 24 = 0

⇔ x2 + (x2 – 8x + 16) – 8x – 8x + 32 + 24 = 0

⇔ 2x2 – 24x + 72 = 0

⇔ x2 – 12x + 36 = 0

⇔ (x – 6)2 = 0

⇔ x = 6

Substitusikan x = 6 ke y = x – 4.

y = x – 4

= 6 – 4

= 2

Jadi, titik singgungnya adalah (6, 2).

37. Jawaban: d

Pusat lingkaran L: P(–3, 1)

Jari-jari lingkaran L:

r = � �� − + + = � = 3 �

Garis y = –2x + p menyinggung lingkaran L, maka

jarak titik pusat P(–3, 1) ke garis y = –2x + p sama

dengan panjang jari-jari lingkaran L.

y = –2x + p ⇔ 2x + y – p = 0

d = r ⇔� �

� � �� $

� �

⋅ − + ⋅ −

+= 3 �

⇔ � $

�

− − = 3 �

⇔�

� $

�

− − = (3 � )2

⇔�� $�

�

+= 32 · 5

⇔ (5 + p)2 = 32 · 52

⇔ 5 + p = ±15

⇔ p = –5 ±15

⇔ p = –20 atau p = 10

38. Jawaban: d

Titik pusat lingkaran: P(1, 0)

Jari-jari lingkaran L: r = � �� + +

= �� = 6

Gradien garis g: m = –2

Garis singgung lingkaran sejajar garis g maka

gradiennya m1 = –2.


y – yP = m1(x – xP) ± r �� +

⇔ y – 0 = –2(x – 1) ± 6 �� + −

⇔ y = –2x + 2 ± 6 �

⇔ 2x + y – 2 ± 6 � = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya

2x + y – 2 + 6 � = 0 atau 2x + y – 2 – 6 � = 0

39. Jawaban: a

Panjang jari-jari lingkaran L:

r = |AB|

= � �

� � � �� < < �− + −

= � �� − + −

= � �+ = 3 �


(x – xA)2 + (y – y

A)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = (3 � )2

Persamaan garis singgung lingkaran L di titik

B(5, 0):

(xB – 2)(x – 2) + (y

B – 3)(y – 3) = (3 � )2

⇔ (5 – 2)(x – 2) + (0 – 3)(y – 3) = 18

⇔ 3(x – 2) – 3(y – 3) = 18

⇔ 3x – 6 – 3y + 9 = 18

⇔ 3x – 3y = 15

⇔ x – y = 5

40. Jawaban: d

Kedudukan titik A terhadap lingkaran:

x2 + (y – 1)2 = 12 + (4 – 1)2

= 1 + 9

= 10 > 2

Titik A berada di luar lingkaran.

Persamaan garis kutub di A(1, 4) sebagai berikut.

x1x + (y

1 – 1)(y – 1) = 2

⇔ 1 · x + (4 – 1)(y – 1) = 2

⇔ x + 3(y – 1) = 2

⇔ x + 3y – 3 = 2

⇔ x + 3y = 5

⇔ x = 5 – 3y


Substitusikan x = 5 – 3y ke persamaan lingkaran.

x2 + (y – 1)2 = 2

⇔ (5 – 3y)2 + (y – 1)2 = 2

⇔ 25 – 30y + 9y2 + y2 – 2y + 1 = 2

⇔ 10y2 – 32y + 24 = 0

⇔ 5y2 – 16y + 12 = 0

⇔ (5y – 6)(y – 2) = 0

⇔ y = �

� atau y =2

Untuk y = 2 ⇒ x = 5 – 3y

= 5 – 3(2)

= 5 – 6 = –1

Diperoleh titik singgung (–1, 2).


x1x + (y

1 – 1)(y – 1) = 2

⇔ –1 · x + (2 – 1)(y – 1) = 2

⇔ –x + y – 1 = 2

⇔ –x + y = 3

⇔ x – y = –3

Jadi, salah satu persamaan garis singgung

lingkaran adalah x – y = –3.

B. Uraian

1. a. Rata-rata

� =

��

�

ΣΣ

= ��

� = 59,7

Jadi, rata-rata data tersebut 59,7 kg.

b Median


L = 55,5; fme

= 20; fkme

= 13; n = 50; dan p = 7.

Me = L + ��

��

��

� �

�

−

· p

= 55,5 + �

��

�

⋅ −

· 7

= 55,5 + ��

�

−

· 7

= 55,5 + ��

� · 7

= 55,5 + 4,2 = 59,7

Jadi, median data tersebut 59,7 kg.

2. a. Sajian data dalam bentuk tabel


L1 = 21,5; fQ1 = 18; fkQ

1

= 0; dan p = 5.

Q1 = L1 + ��

�

��

�

� �

�

⋅ −

· p

= 21,5 + �

�

��

⋅ −

· 5

= 21,5 + 4�

�

= 25�

�


L3 = 36,5; fQ3 = 5; fkQ

3

= 42; dan p = 5.

Q3 = L3 + ��

�

��

�

� �

�

⋅ −

· p

= 36,5 + �

� �

�

⋅ −

· 5

= 36,5 + 3

= 39�

�

Jangkauan antarkuartil

= Q3 – Q1 = 39�

� – 25

�

� = 13

�

�

b.

� =

� �

�

ΣΣ =

��

� = 33

Ragam: S2 = �

� ��

�

Σ −Σ

= ��

� = 70

�

�

Jadi, jangkauan antarkuartil data 13�

� dan

ragam data 70�

�.

Berat Badan (kg)

42–48

49–55

56–62

63–69

70–76

fi

3

10

20

13

4

xi

45

52

59

66

73

fix

i

135

520

1.180

858

292

42–48

49–55

56–62

63–69

70–76

f

3

10

20

13

4

fk

3

13

33

46

50

Berat Badan (kg)

Nilai fk ≥≥≥≥≥ Kelas Interval f

≥ 21,5 6022 – 26 60 – 42 = 18≥ 26,5 4227 – 31 42 – 29 = 13≥ 31,5 2932 – 36 29 – 18 = 11≥ 36,5 1837 – 41 18 – 13 = 5≥ 41,5 1342 – 46 13 – 6 = 7≥ 46,5 647 – 51 6 – 0 = 6≥ 51,5 0

fi

xi

fix

i(x

i – � )2 f

i (x

i – � )2

18 24 432 81 1.458

13 29 377 16 208

11 34 374 1 11

5 39 195 36 180

7 44 308 121 847

6 49 294 256 1.536


�

Kotak A

3 M

4 K

Kotak B

3 M

5 K

Kotak B

2 M

6 K

K – (MK)

M – (KM)

M

K

�

�

�

�

�

�

Peluang pengambilan I Peluang pengambilan II

3. a. Cara pemilihan sekurang-kurangnya 1 wanita.

= (1 wanita, 2 pria) + (2 wanita, 1 pria)

+ (3 wanita)

=4C

1 ·

6C

2 +

4C

2 ·

6C

1 +

4C

3

= 4 · 15 + 6 · 6 + 4

= 60 + 36 + 4

= 100

Jadi, pemilihan sekurang-kurangnya 1 wanita

ada 100 cara.

b. Cara pemilihan 2 pria

= (2 pria, 1 wanita)

=6C

2 ·

4C

2

= 15 · 4 = 60

Jadi, pemilihan 2 orang pria ada 60 cara.

4.

P1 = peluang terambil bola merah dari kotak A dan

bola kuning dari kotak B

=�

� ×

�

� =

��

��

P2 = peluang terambil bola kuning dari kotak A dan

bola merah dari kotak B

=

� ×

�

� =

�

��

Peluang terambil satu bola kuning

= P1 + P2 = ��

�� +

�

�� =

��

��

5. � tan A tan B = tan A – tan B – �

⇔ � tan A tan B + � = tan A – tan B

⇔ � (1 + tan A tan B) = tan A – tan B

⇔ � = #�� #��

� #�� #��

−+

⇔ � = tan (A – B)

⇔ A – B = 60°

cos (A – B) = cos 60°

⇔ cos A cos B + sin A sin B = �

�

⇔ cos A cos B + �

=

�

�


� –

�

= –

�

cos (A + B)= cos A cos B – sin A sin B

= –�

–

�

= –1

Jadi, nilai cos (A + B) = –1.

6. Jumlah besar sudut segitiga = 180°

⇔ α° + β° + 90° = 180°

⇔ α° + β° = 90°

⇔ β = 90° – α

tan α = � sin β

⇔& �

�%&

αα = � sin (90 – α)

⇔& �

�%&

αα = � cos α

⇔ sin α = � cos2 α

⇔ sin α = � (1 – sin2 α)

⇔ sin α = � – � sin2 α

⇔ � sin α + sin α – � = 0

⇔ ( � sin α – 1)(sin α + � ) = 0

⇔ sin α = �

� atau sin α = – �

sin α = �

�=

�

��

sin α = – � (tidak me-

menuhi)

Jadi, nilai sin α = �

�� .

7. 2 cos x + 2 sin x = k cos (x – α)

k = � �� +

= +

= �

= 2 �

tan α = �

� = 1

⇔ α = 45° (α di kuadran I)

2 cos x + 2 sin x = �

⇔ 2 � cos (x – 45°) = �

⇔ cos (x – 45°) = �

� �

⇔ cos (x – 45°) = �

�

⇔ cos (x – 45°) = cos 60°


a. x1 – 45° = 60° + k · 360°

⇔ x1 = 105° + k · 360°

untuk k = 0 ⇒ x1 = 105°

k = 1 ⇒ x1 = 465° (tidak memenuhi)

b. x2 – 45° = –60° + k · 360°

⇔ x2 = –15° + k · 360°

untuk k = 0 ⇒ x2 = –15° (tidak memenuhi)

k = 1 ⇒ x2 = 345°


8. Persamaan garis :

�

� �

< <

< <

−−

= �

� �

� �

� �

−−

⇒ <

−− −

= �

�

++

⇔ <

−=

�

�

+

⇔ <

�−=

�

�

+

⇔ 3y = –2x – 8

⇔ 2x + 3y + 8 = 0

Panjang jari-jari lingkaran L sama dengan jarak

titik P(7, –3) ke garis l.

r = � �

� � � � ��

� �

⋅ + ⋅ − +

+ = ��

�� = ��


(x – 7)2 + (y + 3) = ( �� )2

⇔ (x – 7)2 + (y + 3)2 = 13

9. Kedudukan (7, –5) titik terhadap lingkaran:

x2 + y2 – 6x + 4y – 12

= 72 + (–5)2 – 6(7) + 4(–5) – 12

= 49 + 25 – 42 – 20 – 12

= 0

Titik (7, –5) terletak pada lingkaran.

x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

⇔ x2 – 6x + y2 + 4y – 12 = 0

⇔ (x – 3)2 – 9 + (y + 2)2 – 4 – 12 = 0

⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25

Persamaan garis singgung di titik (7, –5):

(x1 – 3)(x – 3) + (y

1 + 2)(y + 2) = 25

⇔ (7 – 3)(x – 3) + (–5 + 2)(y + 2) = 25

⇔ 4(x – 3) + (–3)(y + 2) = 25

⇔ 4x – 12 – 3y – 6 = 25

⇔ 4x – 3y – 18 = 25

⇔ 4x – 3y = 43

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

4x – 3y = 43.

10. (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40

Pusat lingkaran (4, –3)

r = = 2 �

Garis: x + 3y + 5 = 0

⇔ 3y = –x – 5

⇔ y = –�

�x –

�

�

Gradien garis = m1 = –

�

�.

Oleh karena tegak lurus, diperoleh:

m1 × m

2= –1

⇔ –�

� × m

2= –1

⇔ m2

= 3


(y – b) = m2(x – a) ± r �

�� +

⇔ y + 3 = 3(x – 4) ± 2 � �� +

⇔ y + 3 = 3x – 12 ± 2 � · �

⇔ y + 3 = 3x – 12 ± 20

⇔ y = 3x – 15 ± 20

Persamaan garis singgung pertama:

y = 3x – 15 + 20

⇔ y = 3x + 5

Persamaan garis singgung kedua:

y = 3x – 15 – 20

⇔ y = 3x – 35

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y = 3x + 5 dan y = 3x – 35.


Silab

us

Bab

I S

tati

sti

ka

Seko

lah

:. . . .

Kela

s/S

em

este

r:

XI/1 P

ro

gram

IP

A

Mata

Pela

jaran

:M

ate

mati

ka

Sta

nd

ar K

om

pete

nsi

:1.

Menggunakan a

tura

n s

tatistika, kaid

ah p

encacahan, dan s

ifat-

sifat pelu

ang d

ala

m p

em

ecahan m

asala

h.

1.1

Me

mb

aca

da

ta

da

lam

b

en

tuk

tab

el

da

n d

ia-

gra

m

ba

tan

g,

garis,

lingkara

n,

dan o

giv

e.

Sta

tistika

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

is

tila

h-

isti

lah

da

lam

sta

-

tistika

.

–M

em

baca d

ata

tung-

ga

l d

ala

m b

en

tuk

tabel.

–M

em

baca d

ata

tung-

ga

l d

ala

m b

en

tuk

dia

gra

m b

ata

ng.

–M

em

baca d

ata

tung-

ga

l d

ala

m b

en

tuk

dia

gra

m g

aris.

–M

em

baca d

ata

tung-

ga

l d

ala

m b

en

tuk

dia

gra

m l

ing

ka

ran

dan p

aste

l.

–M

em

baca d

ata

ber-

ke

lom

po

k

da

lam

bentu

k t

abel.

–M

em

baca d

ata

ber-

ke

lom

po

k

da

lam

be

ntu

k h

isto

gra

m.

–M

em

baca d

ata

ber-

kelo

mpok

dala

m b

en-

tuk

polig

on fre

kuensi

.

–M

em

baca d

ata

ber-

ke

lom

po

k

da

lam

be

ntu

k o

giv

e.

1.1

.1M

am

pu m

endefi-

nis

ikan s

tatis

tika.

1.1

.2M

am

pu

m

em

-

baca

data

tunggal

da

lam

b

en

tuk

tab

el

da

n

dia

-

gra

m.

1.1

.3M

am

pu

m

em

-

ba

ca

da

ta b

er-

kelo

mpok

dala

m

bentu

k ta

bel d

an

dia

gra

m.

Te

s

tert

ulis

Pili

han

ga

nd

a

Ura

ian

Ha

sil te

rna

k ik

an

P

ak

Nanang d

isajik

an d

ala

m

dia

gra

m b

eriku

t.

Pe

nin

gka

tan

ha

sil i

ka

n

terb

es

ar

terj

ad

i p

ad

a

periode . . .

a.

2d

.5

b.

3e

.6

c.

4

Dia

gra

m

be

rik

ut

me

-

nu

nju

kk

an

d

ata

h

as

il

perikanan d

i enam

kola

m

di

kelo

mpok M

inaja

ya.

Te

ntu

ka

n

pe

rse

nta

se

hasil

perikanan d

i kola

m

IV.

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–50

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–32

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

4 jp

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pe

nd

idik

an

ka

rakte

r

(*)

Kri

tis

222 Silabus

Te

s

tert

ulis

Pili

han

ga

nd

a

Ura

ian

1.

Dia

gra

m b

eri

ku

t m

e-

rup

ak

an

d

iag

ram

ba

tan

g

me

ng

en

ai

ba

ny

ak

g

ol

ya

ng

dic

eta

k

be

be

rap

a

pe

ma

in s

ep

ak b

ola

da

lam

2

0

pe

r-

tan

din

ga

n.

Jik

a j

um

lah g

ol

yang

dic

eta

k

8

pe

ma

in

ters

eb

ut

50

, b

an

ya

k

go

l y

an

g

dic

eta

k

Burh

an . . . .

a.

7d

.1

0

b.

8e

.1

1

c.

9

2.

Dik

eta

hui d

ata

panja

ng

ruas-r

uas b

am

bu s

e-

bagai

beriku

t.

Buatlah p

olig

on y

ang

menggam

bark

an d

ata

ters

eb

ut.

1.2

.1M

am

pu m

enya

ji-

kan d

ata

tunggal

dala

m t

abel

dan

dia

gra

m.

1.2

.2M

am

pu m

enya

ji-

ka

n

da

ta

be

r-

kelo

mpok

dala

m

tab

el

da

n d

ia-

gra

m.

1.2

.3M

am

pu

me

na

f-

sirk

an d

ata

tung-

gal

dala

m t

abel

dan d

iagra

m.

1.2

.4M

am

pu m

enafs

ir-

kan

da

ta

be

r-

kelo

mpok

dala

m

tab

el

da

n

dia

-

gra

m.

–M

enya

jikan d

ata

tung-

ga

l d

ala

m

be

ntu

k

tabel.

–M

enya

jikan d

ata

tung-

gal dala

m b

entu

k dia

-

gra

m b

ata

ng.

–M

enya

jikan d

ata

tung-

gal d

ala

m b

entu

k dia

-

gra

m g

aris.

–M

enya

jikan d

ata

tung-

gal d

ala

m b

entu

k dia

-

gra

m l

ingkara

n d

an

past

el.

–M

en

afs

irka

n

da

ta

tunggal dala

m t

abel.

–M

en

afs

irka

n

da

ta

tunggal d

ala

m b

entu

k

dia

gra

m b

ata

ng,

dia

-

gra

m g

aris,

dia

gra

m

lin

gka

ran

, d

an

dia

-

gra

m p

ast

el.

–M

en

ya

jik

an

d

ata

berk

elo

mpok d

ala

m

bentu

k t

abel.

–M

en

ya

jik

an

d

ata

berk

elo

mpok d

ala

m

be

ntu

k h

isto

gra

m.

–M

en

ya

jika

n

da

ta

berk

elo

mpok d

ala

m

be

ntu

k

po

lig

on

frekuensi.

–M

en

ya

jik

an

d

ata

berk

elo

mpok d

ala

m

be

ntu

k o

giv

e.

–M

en

afs

irk

an

d

ata

berk

elo

mpok d

ala

m

tabel.

–M

en

afs

irka

n

da

ta

berk

elo

mpok d

ala

m

be

ntu

k h

isto

gra

m,

po

lig

on

fre

ku

en

si,

dan o

giv

e.

Sta

tistika

1.2

Me

ny

aji

ka

n

da

ta

da

lam

be

ntu

k

tab

el

da

n

dia

gra

m

ba

tan

g,

ga

ris,

lingkara

n, ogiv

e,

se

rta

pe

na

fsir

-

annya.

1.

Buku

PG

M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–50

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–32

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Freku

en

si

12 16 11 15 20

Pan

jan

g R

uas

(cm

)

11–14

15–18

19–22

23–26

27–30

. . .

jp


–M

en

gh

itu

ng

ra

ta-

rata

, m

od

us,

da

n

me

dia

n d

ata

tu

ng

-

gal.

–M

en

gh

itu

ng

ra

ta-

rata

, m

od

us,

da

n

me

dia

n

da

ta

be

r-

kelo

mpok.

–M

en

gh

itu

ng

ku

art

il

(pertam

a,

kedua,

ke-

tiga), d

esil,

dan p

er-

sentil

data

tunggal.

–M

en

gh

itu

ng

ku

art

il

(pertam

a,

kedua,

ke-

tiga), d

esil,

dan p

er-

se

ntil

da

ta

be

r-

kelo

mpok.

–M

enghitu

ng jangka

u-

an,

jangka

uan a

nta

r-

ku

art

il,

sim

pa

ng

an

ku

art

il,

sim

pa

ng

an

rata

-rata

, ragam

, dan

sim

pa

ng

an

b

aku

data

tunggal.

–M

enghitu

ng jangka

u-

an,

jangka

uan a

nta

r-

ku

art

il,

sim

pa

ng

an

ku

art

il, s

imp

an

ga

n

rata

-rata

, ragam

, dan

sim

pa

ng

an

b

aku

data

berk

elo

mpok.

1.3

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n

uku

ran

pem

usa

tan d

ata

tun

gg

al

(ra

ta-

rata

, m

od

us,

dan m

edia

n).

1.3

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n

uku

ran

pem

usa

tan d

ata

be

rke

lom

po

k

(me

an

, m

od

us,

dan m

edia

n).

1.3

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n

uku

ran

leta

k data

tunggal

(kuartil,

desi

l, dan

pers

entil

).

1.3

.4M

am

pu m

enen-

tuka

n

uku

ran

leta

k

data

ber-

kelo

mpok

(kuar-

til,

d

esil,

da

n

pers

entil

).

1.3

.5M

am

pu m

enen-

tuk

an

u

ku

ran

pe

ny

eb

ara

n

data

tunggal.

1.3

.6M

am

pu m

enen-

tuka

n

uku

ran

penye

bara

n d

ata

berk

elo

mpok.

1.

Da

ta

be

rat

be

nd

a

dib

eri

ka

n p

ad

a t

ab

el

be

riku

t.

Rata

-rata

bera

t benda

. . . gra

m.

a.

16

,1d

.1

6,7

b.

16

,3e

.1

6,9

c.

16

,5

2.

Be

be

rap

a s

isw

a d

i-

min

ta u

ntu

k m

engerja-

kan 1

soal y

ang s

am

a.

Lam

a w

aktu

pengerja-

an s

etia

p a

nak d

isaji-

ka

n d

ala

m d

iag

ram

berikut.

a.

Te

ntu

ka

n

rata

-

rata

la

ma

wa

ktu

pengerjaan s

oal.

b.

Tentu

kan b

anyak

sis

wa y

ang m

em

-

bu

tuh

ka

n w

aktu

ku

ran

g d

ari r

ata

-

rata

la

ma

wa

ktu

pengerjaan.

1.

Buku

PG

M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–50

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

–32

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

Pili

han

ga

nd

a

Ura

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Te

s

tert

ulis

Sta

tistika

1.3

Me

ng

hit

un

g

uk

ura

n p

em

u-

sa

tan

, u

ku

ran

leta

k,

dan u

kur-

an

pe

nye

ba

ran

da

ta,

se

rta

pe

-

na

fsir

an

nya

.

8 jp

Freku

en

si

4 2 2 4 2 3 1 8 4

Berat

(gra

m)

12 13 14 15 16 17 18 19 20

Pe

nd

idik

an

ka

rakte

r

(*)

Ce

rma

t

224 Silabus

Bab

II

Pelu

an

g

Seko

lah

:. . . .

Kela

s/S

em

este

r:

XI/1 P

ro

gram

IP

A

Mata

Pela

jaran

:M

ate

mati

ka

Sta

nd

ar K

om

pete

nsi

:1.

Menggunakan a

tura

n s

tatistika,

kaid

ah p

encacahan,

dan s

ifat-

sifat

pelu

ang d

ala

m p

em

ecahan m

asala

h.

1.4

Me

ng

gu

na

ka

n

atu

ran

pe

rka

li-

an

p

erm

uta

si

da

n k

om

bin

asi

da

lam

p

em

e-

cahan m

asala

h.

Pelu

ang

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngert

ian a

tura

n p

er-

kalia

n.

–M

enye

butk

an r

um

us

atu

ran p

erk

alia

n.

–M

enyele

saik

an s

oal

yang b

erh

ubungan

dengan a

tura

n p

er-

kalia

n.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ngert

ian f

akto

rial.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngert

ian p

erm

uta

si.

–M

em

bukt

ikan r

um

us

pe

rmu

tasi

me

ng

-

gunaka

n a

tura

n p

er-

kalia

n.

–M

en

jela

ska

n p

en

-

ge

rtia

n p

erm

uta

si

de

ng

an

be

be

rap

a

ele

men y

ang s

am

a.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngert

ian p

erm

uta

si

sik

lis.

–M

enyele

saik

an s

oal

yang b

erh

ubungan

dengan p

erm

uta

si.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngertia

n k

om

bin

asi

.

–M

em

bukt

ikan r

um

us

kom

bin

asi.

–M

enyele

saik

an s

oal

yang b

erh

ubungan

dengan k

om

bin

asi.

1.4

.1M

am

pu m

enen

-

tuka

n

ba

nya

k

ke

mu

ng

kin

an

/

cara

mengguna-

ka

n a

tura

n p

er-

ka

lian

.

1.4

.2M

am

pu m

enen

-

tuka

n

ba

nya

k

ke

mu

ng

kin

an

/

cara

mengguna-

ka

n p

erm

uta

si.

1.4

.3M

am

pu m

enen

-

tuka

n

ba

nya

k

ke

mu

ng

kin

an

/

cara

mengguna-

ka

n k

om

bin

asi.

Te

s

tert

ulis

Pili

han

ga

nd

a

Ura

ian

1.

Du

a o

ran

g p

era

wa

t

aka

n m

em

erik

sa p

asi

en

yang b

era

da d

i 6 ruang

be

rbe

da

. B

an

ya

k

pa

sa

ng

an

p

era

wa

t

de

ng

an

pa

sie

n y

an

g

dip

eriksa a

dala

h . . . .

a.

8d

.3

0

b.

12

e.

36

c.

24

2.

Ba

ny

ak

s

us

un

an

an

gk

a y

an

g d

ap

at

dib

en

tuk d

ari

an

gka

3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, dan

1 a

dala

h . . . .

a.

1.8

60

b.

1.8

40

c.

1.7

80

d.

1.6

80

e.

1.4

70

Dala

m s

ebuah p

ert

em

uan

inte

rna

sio

na

l, 1

1 o

ran

g

pe

se

rta

te

rlib

at

da

lam

dis

ku

si. 3

ora

ng

pe

se

rta

be

rasa

l d

ari

Am

eri

ka

, 2

ora

ng

pe

se

rta

be

rasa

l

da

ri Ir

lan

dia

, 4

o

ran

g

pe

se

rta

b

era

sa

l d

ari

Ko

rea

, d

an

2

o

ran

g

pe

se

rta

b

era

sa

l d

ari

Filip

ina

. B

era

pa

ba

nya

k

ca

ra m

en

ga

tur

me

reka

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

ha

lam

an

51

–

94

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

ha

lam

an

33

–

53

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

4 jp

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an


–M

enentu

kan b

anya

k

ke

mu

ng

kin

an

/ca

ra

menggunakan a

tur-

an

pe

rka

lia

n,

pe

r-

mu

tasi, a

tau

ko

m-

bin

asi

.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

pe

rco

ba

-

an

.

–M

enje

lask

an p

enger-

tian r

uang s

am

pel.

–M

enentu

kan r

uang

sam

pel

su

atu

pe

r-

co

ba

an

.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngertia

n ti

tik s

am

pel.

–M

enentu

kan b

anya

k

titik s

am

pe

l su

atu

pe

rco

ba

an

.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ngert

ian k

eja

dia

n.

–M

en

en

tuka

n a

ng

-

go

ta

him

pu

na

n

suatu

keja

dia

n.

–M

enghitu

ng b

anyak

kem

ungkin

an m

un-

cul

suatu

keja

dia

n.

–M

enghitu

ng b

anyak

perc

obaan y

ang d

i-

laku

ka

n.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ng

ert

ian

fre

ku

en

si

rela

tif s

uatu

keja

dia

n.

–M

en

en

tuka

n

fre

-

kuensi

rela

tif m

uncu

l

suatu

keja

dia

n.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

p

elu

an

g

suatu

keja

dia

n.

–M

enghitu

ng p

elu

ang

suatu

keja

dia

n d

e-

ng

an

me

ng

hit

un

g

ba

nya

k

an

gg

ota

1.5

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n

rua

ng

sa

mp

el

su

atu

pe

rco

ba

an

.

1.5

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n b

anya

k tit

ik

sa

mp

el

su

atu

perc

obaan.

1.5

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n a

ng

go

ta

him

punan s

uatu

keja

dia

n.

1.6

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n p

elu

an

g

suatu

keja

dia

n.

1.6

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n

pe

lua

ng

ko

mp

lem

en

suatu

keja

dia

n.

1.6

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n

kis

ara

n

nila

i pelu

ang.

1.6

.4M

am

pu m

enen-

tukan f

reku

en

si

ha

rap

an

su

atu

ke

jad

ian

.

1.6

.5M

am

pu m

enen-

tuka

n p

elu

an

g

ga

bu

ng

an

du

a

ke

jad

ian

.

Te

s

tert

ulis

Te

s

tert

ulis

Pili

han

ga

nd

a

Pili

han

ga

nd

a

duduk m

elin

gkar sehin

gga

pese

rta b

era

sal d

ari

negara

ya

ng

sa

ma

du

du

k b

er-

de

ka

tan

?

Se

bu

ah

da

du

dile

mp

ar

tiga k

ali.

Banyaknya h

asil

yang m

ungkin

terjadi p

ada

perc

obaan ini ada . . . .

a.

18

d.

14

4

b.

36

e.

21

6

c.

72

1.

Sekepin

g u

ang lo

gam

dil

em

pa

r 3

0

ka

li.

Fre

ku

en

si

mu

nc

ul

angka 2

1.

Fre

kuensi

rela

tif m

uncul g

am

bar

. . . .

a.

0,9

d.

0,4

b.

0,7

e.

0,3

c.

0,6

2.

Dari 5

sis

wa laki-la

ki

dan 6

sis

wa p

ere

mpuan

aka

n d

ipili

h 3

sis

wa

untu

k m

engik

uti

lom

ba

cerd

as

cerm

at.

Pelu

ang

terp

ilihnya t

im t

erd

iri

ata

s 1

sis

wa laki-la

ki

dan 2

sis

wa p

ere

mpuan

adala

h . . . .

1.5

Me

ne

ntu

ka

n

rua

ng

s

am

pe

l

su

atu

pe

rco

ba

-

an

.

1.6

Me

ne

ntu

ka

n

pe

lua

ng

su

atu

ke

jad

ian

d

an

pe

na

fsir

an

nya

.

Pelu

ang

Pelu

ang

2 jp

4 jp

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 5

1–94

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 3

3–53

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

ha

lam

an

5

1–

94

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 3

3–53

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsite

ya

ng

rele

van

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pe

nd

idik

an

ka

rakte

r

(*)

Ju

jur

226 Silabus

ke

jad

ian

te

rse

bu

t

da

n b

an

ya

k a

ng

-

gota

-anggota

ruang

sa

mp

el

terl

eb

ih

dahulu

.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ng

ert

ian

p

elu

an

g

ko

mp

lem

en

su

atu

keja

dia

n.

–M

enentu

kan p

elu

ang

ko

mp

lem

en

su

atu

keja

dia

n.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

k

isa

ran

nila

i pelu

ang.

–M

en

ye

bu

tka

n ke

-

jadia

n y

ang m

usta

hil

terjadi.

–M

en

ye

bu

tka

n k

e-

jad

ian

ya

ng

pa

sti

terjadi.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

fre

ku

en

si

ha

rap

an

.

–M

en

gh

itu

ng

fr

e-

ku

en

si

ha

rap

an

suatu

keja

dia

n.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ng

ert

ian

ke

jad

ian

ma

jem

uk.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ngert

ian g

abungan

dua k

eja

dia

n.

–M

en

jela

sk

an

p

e-

ngert

ian i

risan d

ua

ke

jad

ian

.

–M

en

gh

itu

ng

p

e-

lua

ng

ir

isa

n

du

a

ke

jad

ian

.

–M

em

bukt

ikan r

um

us

pe

lua

ng

ga

bu

ng

an

dua k

eja

dia

n d

engan

dia

gra

m V

enn.

a.

�

��

d.

��

��

b.

��

��

e.

��

��

c.

��

��

1.

Dala

m s

ebuah k

ota

k

terd

ap

at

7 b

en

de

ra

hij

au

, 4

b

en

de

ra

ku

nin

g,

da

n 6

be

n-

dera

mera

h.

Dia

mbil

se

ca

ra

ac

ak

3

bendera

secara

ber-

sa

ma

an

s

eb

an

ya

k

68

0 k

ali.

Te

ntu

ka

n

fre

ku

en

si

ha

rap

an

tera

mb

ilnya

:

a.

ketig

anya

bendera

ku

nin

g;

b.

1 b

en

de

ra h

ija

u

da

n 2

b

en

de

ra

mera

h;

dan

c.

se

mu

a b

en

de

ra

be

rwa

rna

b

er-

be

da

.

2.

Se

bu

ah

ko

tak b

eri

si

7 k

art

u y

an

g d

ibe

ri

no

mo

r 1

sa

mp

ai

7.

Jik

a 4

ka

rtu

dia

mb

il

se

ka

lig

us,

ten

tuka

n

pe

lua

ng

te

ram

bil

ke

em

pa

t ka

rtu

be

r-

nom

or

ganjil

, genap,

ganjil

, ganjil

.

Ura

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

1.6

.6M

am

pu m

enen-

tuka

n p

elu

an

g

du

a

ke

jad

ian

salin

g a

sin

g.

1.6

.7M

am

pu m

enen-

tuka

n p

elu

an

g

du

a

ke

jad

ian

salin

g b

ebas.

1.6

.8M

am

pu m

enen-

tuka

n p

elu

an

g

ke

jad

ian

b

er-

sya

rat.


Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

–M

enghitu

ng p

elu

ang

ga

bu

ng

an

du

a k

e-

jadia

n.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ng

ert

ian

ke

jad

ian

salin

g a

sin

g.

–M

enghitu

ng p

elu

ang

ke

jad

ian

sa

lin

g

asin

g.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ng

ert

ian

ke

jad

ian

salin

g b

ebas.

–M

enghitu

ng p

elu

ang

ke

jad

ian

sa

lin

g

bebas.

–M

en

jela

ska

n

pe

-

ng

ert

ian

ke

jad

ian

be

rsya

rat.

–M

enghitu

ng p

elu

ang

keja

dia

n b

ers

yara

t.

228 Silabus

Bab

III

Trig

on

om

etr

i

Seko

lah

:. . . .

Kela

s/S

em

este

r:

XI/1 P

ro

gram

IP

A

Mata

Pela

jaran

:M

ate

mati

ka

Sta

nd

ar K

om

pete

nsi

:2.

Menuru

nkan rum

us tr

igonom

etr

i dan p

enggunaannya.

8 jp

2.1

Me

ng

gu

na

ka

n

rum

us

s

inu

s

da

n

ko

sin

us

jum

lah

du

a s

u-

du

t, s

elis

ih d

ua

su

du

t, d

an

su

-

dut ganda u

ntu

k

me

ng

hitu

ng

si-

nus d

an k

osin

us

sudut

tert

entu

.

Tri

go

no

me

tri

–M

enuru

nkan r

um

us

kosin

us j

um

lah d

an

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

kosin

us j

um

lah d

an

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n ca

ra

menggunaka

n rum

us

kosin

us j

um

lah d

an

se

lisih

d

ua

s

ud

ut

un

tuk m

en

gh

itu

ng

nila

i ko

sin

us s

ud

ut

tert

en

tu.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

kosi

nus

sudut t

ertentu

menggunaka

n rum

us

kosin

us j

um

lah d

an

selis

ih d

ua s

udut.

–M

enuru

nkan r

um

us

sin

us ju

mla

h

da

n

selis

ih d

ua s

udut.

–M

enghitung n

ilai si-

nu

s

jum

lah

d

an

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

menggunaka

n rum

us

sin

us

ju

mla

h d

an

se

lis

ih d

ua

s

ud

ut

un

tuk m

en

gh

itu

ng

nil

ai

sin

us

s

ud

ut

tert

en

tu.

–M

enghitung n

ilai si-

nu

s s

ud

ut

tert

en

tu

menggunaka

n r

um

us

sin

us ju

mla

h d

an

selis

ih d

ua s

udut.

2.1

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n n

ila

i ko

-

sin

us s

udut

ter-

ten

tu

me

ng

-

gunakan r

um

us

ko

sin

us j

um

lah

dan s

elis

ih d

ua

su

du

t.

2.1

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n n

ilai sin

us

su

du

t te

rte

ntu

me

ng

gu

na

ka

n

rum

us

sinus

jum

-

lah

da

n s

elisih

dua s

udut.

2.1

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n n

ila

i ta

-

ngen s

udut

ter-

ten

tu

me

ng

-

gunakan r

um

us

tan

ge

n j

um

lah

dan s

elis

ih d

ua

su

du

t.

2.1

.4M

am

pu m

enen-

tuka

n h

impunan

pe

ny

ele

sa

ian

dari p

ers

am

aan

a s

in x

+ b

cos

x =

c.

2.1

.5M

am

pu m

enen-

tuka

n n

ilai sin

us

su

du

t te

rte

ntu

me

ng

gu

na

ka

n

rum

us

s

inu

s

su

du

t ra

ng

ka

p.

Te

s

tert

ulis

Pili

han

ga

nd

a

1.

Nila

i d

ari

ta

n 3

15

°

adala

h . . . .

a.

–�

d.

1

b.

–1

e.

�

c.

0

2.

Jik

a tan α

= 1

dan tan

β =

� �

dengan α

dan

β sudut

lancip

maka

sin

(α

– β

) =

. .

. .

a.

� ��

d.

� �

b.

� ��

e.

� �

c.

� �

3.

Dik

eta

hui

tan A

=

� �

dan t

an B

=

� �.

Nila

i

�

��

�

�

��

�

+ − a

dala

h . . . .

a.

1d

.6

b.

� �e

.7

c.

��

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

21–

17

2

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

ha

lam

an

59

–

80

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

Website-w

ebsite

ya

ng

re

leva

n

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pendid

ikan

Ka

rakte

r

(•)

Rasa

Ingin

Tahu


–M

enuru

nkan r

um

us

tan

ge

n j

um

lah

da

n

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

tan

ge

n j

um

lah

da

n

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

menggunaka

n r

um

us

tan

ge

n j

um

lah

da

n

se

lisih

d

ua

s

ud

ut

un

tuk m

en

gh

itu

ng

nila

i ta

ng

en

su

du

t

tert

en

tu.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

tangen s

udut t

ertentu

menggunaka

n r

um

us

tan

ge

n j

um

lah

da

n

selis

ih d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ng

ub

ah

be

ntu

k

a c

os x

+ b

sin

x

me

nja

di

be

ntu

k k

cos (

x –

α).

–M

en

gu

ba

h b

en

tuk

a c

os x

+ b

sin

x

me

nja

di

be

ntu

k k

cos (

x –

α).

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ny

ele

sa

ika

n

pers

am

aan a

cos x

+ b

sin

x =

c.

–M

en

en

tuka

n h

im-

punan p

enyele

saia

n

ya

ng

m

em

en

uh

i

a c

os x

+ b

sin

x =

c.

–M

en

je

la

sk

an

pe

ng

ert

ian

s

ud

ut

ran

gka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

sinus

sudut ra

ngka

p.

–M

enghitung n

ilai si-

nus s

udut

rangkap.

2.1

.6M

am

pu

m

e-

ne

ntu

ka

n n

ila

i

ko

sin

us s

ud

ut

tert

en

tu m

en

g-

gunakan r

um

us

ko

sin

us s

ud

ut

ran

gka

p.

2.1

.7M

am

pu

m

e-

nentu

kan n

ilai t

a-

ng

en

su

du

t

tert

en

tu m

en

g-

gunakan r

um

us

tan

ge

n

su

du

t

ran

gka

p.

Ura

ian

1.

Te

ntu

ka

n n

ila

i d

ari

be

ntu

k t

rig

on

om

etr

i

be

riku

t.

a.

sin

75°

+ s

in 1

95°

b.

co

s 1

65

° –

co

s

15°

c.

tan 3

45°

× ta

n 1

5°

2.

Carila

h n

ilai s

in (α

+ β

),

cos (α

+ β

), d

an t

an

(α –

β)

jika d

iketa

hui:

a.

sin

α =

� �

, cos β

=

� ��

, α

dan β

di

ku

ad

ran

I;

b.

sin

α =

� �

, cos β

= � �

, α d

i kuadra

n II

dan β

di k

uadra

n IV

.

3.

Te

ntu

ka

n h

imp

un

an

pe

ny

ele

sa

ian

p

er-

sa

ma

an

tri

go

no

me

tri

berikut

untu

k 0

≤ x

≤360°.

a.

� �co

s x

+

� ��

sin

x =

� �

b.

sin

x –

�

cos x

–

� =

0

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

230 Silabus

–M

enghitung n

ilai si-

nu

s s

ud

ut

tert

en

tu

menggunaka

n r

um

us

sinus

sudut ra

ngka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

kosinus

sudut r

angka

p.

–M

enghitung n

ilai k

o-

sinus

sudut ra

ngka

p.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

kosi

nus

sudut t

ertentu

menggunaka

n r

um

us

kosinus

sudut r

angka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

tangen s

udut r

angka

p.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

tangen s

udut r

angka

p.

–M

en

gh

itu

ng

n

ila

i

tangen s

udut te

rtentu

menggunaka

n r

um

us

tangen s

udut r

angka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

sin

us j

ika d

iketa

hui

rum

us s

inu

s s

ud

ut

ran

gka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

kosi

nus

jika d

iketa

hui

rum

us

kosi

nus

sudut

ran

gka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

tangen ji

ka d

iketa

hui

rum

us

kosi

nus

sudut

ran

gka

p.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

be

ntu

k

pe

rka

lia

n

ko

sin

us

d

an

k

o-

sin

us d

apat

diu

bah

me

nja

di

be

ntu

k

pe

nju

mla

ha

n

ko

sin

us.

2.2

.1M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an

be

ntu

k p

er-

ka

lia

n k

osin

us

da

n k

osin

us.

2.2

.2M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an

be

ntu

k p

er-

kalia

n s

inus d

an

sin

us.

1.

Nila

i 1

2 s

in 7

5°

co

s

195°

adala

h . . . .

a.

–6 –

3�

b.

–6 –

�

c.

–6 +

3�

d.

6 –

3�

e.

6 +

3�

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

21–

17

2

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 5

9–80

2.2

Me

nu

run

ka

n

rum

us ju

mla

h

da

n s

elisih

si-

nu

s d

an

ko

si-

nus.

Tri

go

no

me

tri

Pili

han

ga

nd

a

4 jp

Te

s

tert

ulis

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pendid

ikan

Ka

rakte

r

(*)

Pa

nta

ng

Me

nye

rah


Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

bentu

k p

erk

alia

n s

i-

nus d

an s

inus m

en-

jad

i b

en

tuk s

elisih

ko

sin

us.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

bentu

k p

erk

alia

n s

i-

nu

s

da

n

ko

sin

us

menja

di b

entu

k p

en-

jum

lahan s

inus.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

be

ntu

k

pe

rka

lia

n

ko

sin

us d

an

sin

us

me

nja

di

be

ntu

k

se

lisih

sin

us.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

be

ntu

k p

en

jum

lah

-

an k

osin

us m

enja

di

be

ntu

k

pe

rka

lia

n

ko

sin

us.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

me

ng

ub

ah

be

ntu

k s

elisih

ko

-

sinus

menja

di b

entu

k

perk

alia

n s

inus.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

m

en

gu

ba

h

bentu

k p

enju

mla

han

sinus

menja

di b

entu

k

perk

alia

n s

inus d

an

ko

sin

us.

–M

enuru

nkan r

um

us

un

tuk

me

ng

ub

ah

bentu

k s

elis

ih s

inus

menja

di bentu

k p

er-

ka

lian

ko

sin

us d

an

sin

us.

2.2

.3M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an

be

ntu

k p

er-

ka

lia

n

sin

us

da

n k

osin

us.

2.2

.4M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an

be

ntu

k p

er-

ka

lia

n k

osin

us

dan s

inus.

2.2

.5M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an b

entu

k p

en-

jum

lah

an

k

o-

sin

us.

2.2

.6M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an b

entu

k s

elis

ih

ko

sin

us.

2.2

.7M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an b

entu

k p

en-

jum

lahan s

inus.

2.2

.8M

am

pu m

enen-

tukan p

eru

ba

h-

an b

entu

k s

elis

ih

sin

us.

2.

cos 1

5°

– s

in 1

5°

= . . .

a.

–� �

�

b.

–� �

c.

0

d.

� �

e.

� ��

1.

Tu

nju

kka

n b

ah

wa

:

a.

sin

52

° sin

68

°

– s

in 4

7°

cos 7

7°

–

co

s

65

° c

os

81°

=

� �

b.

sin

2 1

95°

sin

75°

cos 7

5°

=

� �(1

–

� ��

)

2.

Te

ntu

ka

n h

imp

un

an

pe

ny

ele

sa

ian

d

ari

pe

rsa

ma

an

tri

go

no

-

me

tri

be

riku

t u

ntu

k

0 ≤

x ≤

2p.

a.

��

��

��

��

��

�−

= 1

b.

co

s (x

+

�π

) –

cos (

x –

�π)

=�

3.

Jik

a x

= s

in 3θ

+ s

in θ

dan y

= c

os

3θ

+ c

os θ,

bu

kti

ka

n

ide

nti

tas

be

riku

t.

a.

x +

y =

2 c

os θ

(sin

2θ

+ c

os 2θ)

b.

� � =

tan 2θ

c.

x2 +

y2 =

2 +

2

co

s 2θ

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

Ura

ian

232 Silabus

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

perk

alia

n k

osi

nus

dan

kosin

us d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

er-

ka

lian

ko

sin

us d

an

kosin

us d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

perk

alia

n s

inus d

an

sin

us d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

er-

kalia

n s

inus d

an s

i-

nus d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

perk

alia

n s

inus d

an

kosin

us d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

er-

ka

lia

n s

inu

s d

an

kosin

us d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

pe

rka

lia

n k

osin

us

dan s

inus

dua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

er-

ka

lian

ko

sin

us d

an

sin

us d

ua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

pe

nju

mla

ha

n

kosin

us d

ua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

en

-

jum

lah

an

ko

sin

us

dua s

udut.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

selis

ih k

osin

us d

ua

su

du

t.

–M

en

gh

itu

ng

se

lisih

kosin

us d

ua s

udut.

2.3

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

per-

ka

lia

n k

osin

us

da

n k

osin

us.

2.3

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

per-

kalia

n s

inus d

an

sin

us.

2.3

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

per-

kalia

n s

inus d

an

ko

sin

us.

2.3

.4M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

per-

ka

lia

n k

osin

us

dan s

inus.

2.3

.5M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

pen-

jum

lahan k

osi

nus

dua s

udut.

2.3

.6M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asi

l selis

ih

kosinus

dua s

udut.

2.3

.7M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asil

pen-

jum

lahan s

inus

dua s

udut.

2.3

.8M

am

pu m

enen-

tuka

n h

asi

l selis

ih

dua s

udut.

1.

Nila

i cos 1

30°

+ c

os

110°

+ c

os 1

0°

adala

h

. . . .

a.

–1

b.

–� �

c.

0

d.

� �

e.

� ��

2.

sin

20°

sin

40°

sin

80°

a.

–� � –

� �

�

b.

–� � –

� �

�

c.

–� �

�

d.

–� � +

� �

�

e.

� ��

1.

Ta

np

a

ka

lku

lato

r,

hitu

ngla

h h

asil

opera

si

trig

on

om

etr

i b

eri

ku

t.

a.

4 s

in 2

0°

sin

40°

sin

80°

b.

4 s

in 1

0°

sin

50°

sin

70°

2.

Tentu

kan n

ilai bentu

k

trig

on

om

etr

i b

eri

ku

t.

a.

4 s

in 6

7� �°

sin

22

� �°

–

2

co

s

187

� �°

cos 5

2� �°

b.

sin

105°

cos 1

5°

+ 8

co

s 7

5°

sin

195°

2.3

Me

ng

gu

na

ka

n

rum

us

ju

mla

h

da

n s

elisih

si-

nus

dan k

osi

nus.

Tri

go

no

me

tri

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

21–

17

2

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 5

9–80

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsit

e y

an

g

rele

va

n

Pili

han

ga

nd

a

Ura

ian

Te

s

tert

ulis

4 jp

Pendid

ikan

Ka

rakte

r

(*)

Pa

nta

ng

Me

nye

rah


Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

pe

nju

mla

ha

n s

inu

s

dua s

udut.

–M

en

gh

itu

ng

p

en

-

jum

lahan s

inus d

ua

su

du

t.

–M

en

jela

ska

n c

ara

me

ne

ntu

ka

n h

asil

se

lis

ih s

inu

s d

ua

su

du

t.

–M

en

gh

itu

ng

se

lisih

sin

us d

ua s

udut.

234 Silabus

Ba

b IV

P

ers

am

aa

n L

ing

ka

ra

n d

an

G

aris

S

ing

gu

ng

L

ing

ka

ra

n

Seko

lah

:. . . .

Kela

s/S

em

este

r:

XI/1 P

ro

gram

IP

A

Mata

Pela

jaran

:M

ate

mati

ka

Sta

nd

ar K

om

pete

nsi

:3.

Menyusun p

ers

am

aan li

ngkara

n d

an g

aris s

inggungnya.

3.1

Me

ny

us

un

pe

rs

am

aa

n

lin

gka

ran

ya

ng

me

me

nu

hi

pe

r-

sya

rata

n y

an

g

dite

ntu

ka

n.

Pe

rsa

ma

an

Lin

gka

ran

–M

en

en

tuka

n

pe

r-

sa

ma

an

lin

gka

ran

ya

ng

b

erp

us

at

di

titi

k

O(0

, 0

) d

an

berjari-jari r

.

–M

en

en

tu

ka

n

pers

am

aan l

ingkar-

an y

ang b

erp

usat di

titi

k

P(a

, b

) d

an

berjari-jari r

.

–M

enentu

kan b

entu

k

um

um

pe

rsa

ma

an

ling

ka

ran

.

–M

en

en

tuk

an

ti

tik

pu

sa

t d

an

ja

ri-j

ari

lingkara

n j

ika d

ike-

tah

ui

pe

rsa

ma

an

ling

ka

ran

nya

.

–M

en

ye

bu

tk

an

syara

t suatu

titik

di

da

lam

lin

gka

ran

,

pada lin

gkara

n, dan

di

luar

lingkara

n.

–M

en

gh

itu

ng

ja

rak

suatu

titik

terh

adap

titik p

usat lin

gkara

n.

–M

em

ba

nd

ing

ka

n

jara

k

su

atu

ti

tik

terh

adap t

itik

pusat

lin

gka

ran

d

en

ga

n

jari-jari l

ingkara

n.

3.1

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n

pe

rsa

-

maan l

ingkara

n

ya

ng

dik

eta

hu

i

titi

k p

usa

t d

an

jari-jarinya.

3.1

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n k

eduduka

n

titi

k

terh

ad

ap

ling

ka

ran

.

3.1

.3M

am

pu m

enen-

tuka

n k

eduduka

n

ga

ris t

erh

ad

ap

ling

ka

ran

.

Te

s

tert

ulis

1.

Pe

rsa

ma

an

lin

gka

r-

an

pa

da

ga

mb

ar

di

ata

s a

dala

h . . . .

a.

x2 +

y2 =

3

b.

x2 +

y2 =

9

c.

x2 +

y2 =

18

d.

x2 +

y2 =

36

e.

x2 +

y2 =

81

2.

Pers

am

aan lin

gkara

n

de

ng

an

k

oo

rdin

at

uju

ng

-uju

ng

s

ala

h

sa

tu d

iam

ete

rny

a

(–4

, –

3)

da

n (

6,

1)

adala

h . . . .

a.

x2 +

y2 –

2x +

2y

– 2

7 =

0

b.

x2 +

y2 +

2x –

2y

– 2

7 =

0

c.

x2 +

y2 –

2x +

2y

+ 2

9 =

0

d.

x2 +

y2 –

2x +

2y

+ 3

1 =

0

e.

x2 +

y2 +

2x –

2y

+ 3

1 =

0

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

73–

20

2

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

ha

lam

an

81

–

94

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsit

e y

an

g

rele

va

n

4 jp

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pili

han

ga

nd

a

Y

X

9

–90

9

–9

Pe

nd

idik

an

ka

rakte

r

(*)M

engharg

ai

Perb

edaan


3.2

Me

ne

ntu

ka

n

pers

am

an g

aris

sin

gg

un

g p

ad

a

lingkara

n d

ala

m

berb

agai s

ituasi.

Pe

rsa

ma

an

Ga

ris

Sin

gg

un

g

Lin

gka

ran

–M

en

ye

bu

tk

an

sya

rat

su

atu

ga

ris

me

mo

ton

g,

me

-

ny

ing

gu

ng

, d

an

tid

ak

m

em

oto

ng

ling

ka

ran

.

–M

en

gh

itu

ng

ja

rak

titik p

usat lin

gkara

n

terh

ad

ap

s

ua

tu

ga

ris.

–M

em

ba

nd

ing

ka

n

jara

k

titi

k

pu

sa

t

ling

ka

ran

te

rha

da

p

suatu

garis d

engan

jari-jari l

ingkara

n.

–M

en

en

tu

ka

n

pe

rsa

ma

an

g

ari

s

sin

ggung l

ingkara

n

di

su

atu

titik

pa

da

lingkara

n y

ang b

er-

pusat

di

O(0

, 0).

–M

en

en

tu

ka

n

pe

rsa

ma

an

g

ari

s

sin

gg

un

g l

ing

ka

ran

di

su

atu

titik

pa

da

lingkara

n y

ang b

er-

pusat

di

P(a

, b).

–M

en

en

tu

ka

n

pe

rsa

ma

an

g

ari

s

ku

tub

s

ua

tu

titi

k

terh

ad

ap

lin

gka

ran

ya

ng

b

erp

us

at

di

titik O

(0,

0).

–M

en

en

tuk

an

ti

tik

po

ton

g g

ari

s k

utu

b

de

ng

an

lin

gka

ran

-

nya b

erp

usat

di titik

O(0

, 0

).

3.2

.1M

am

pu m

enen-

tuka

n pers

am

aan

ga

ris s

ing

gu

ng

lingka

ran d

i suatu

titik

pada lingka

r-

an

.

3.2

.2M

am

pu m

enen-

tuka

n pers

am

aan

ga

ris s

ing

gu

ng

lingka

ran d

i suatu

titik

di luar l

ingka

r-

an

.

3.2

.3M

am

pu

me

ne

ntu

ka

n

pe

rs

am

aa

n

ga

ris s

ing

gu

ng

li

ng

ka

ra

n

dengan g

radie

n

tert

en

tu.

Te

ntu

ka

n

pe

rsa

ma

an

ling

ka

ran

be

riku

t.

a.

Berp

usa

t di t

itik

O(0

, 0)

dan m

ela

lui t

itik

(3, –

2).

b.

Be

rpu

sa

t d

i ti

tik

P(–

3,

1)

da

n b

er-

dia

mete

r 8.

1.

Pe

rsa

ma

an

g

ari

s

sin

gg

un

g l

ing

ka

ran

x2 +

y

2 –

6

x +

4y

– 1

2 =

0 d

i titik (

7,

1)

adala

h . . . .

a.

3x –

4y –

41 =

0

b.

4x +

3y –

55 =

0

c.

4x –

5y –

53 =

0

d.

4x +

3y –

31 =

0

e.

4x –

3y –

40 =

0

2.

Sala

h s

atu

pers

am

aan

ga

ris s

ing

gu

ng

lin

g-

kara

n (x

+ 4

)2 +

(y

– 2

)2

= 2

0 d

i titi

k p

oto

ngnya

de

ng

an

su

mb

u

X

adala

h .

. . .

a.

2x +

y +

16 =

0

b.

x +

2y +

16 =

0

c.

2x –

y +

16 =

0

d.

2x +

y =

0

e.

x –

2y =

0

1.

Buku

PG

Mate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IP

A,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 1

73–

20

2

2.

Buku P

R M

ate

-

ma

tika

K

ela

s

XI P

rogra

m IPA

,

Inta

n P

ariw

ara

,

hala

man 8

1–94

3.

BS

E M

ate

ma

-

tika u

ntu

k S

MA

/

MA

K

ela

s X

I

Pro

gra

m IP

A,

De

pd

ikn

as

4.

We

bs

it

e-

we

bsit

e y

an

g

rele

va

n

8 jp

Ura

ian

Pili

han

ga

nd

a

Te

s

tert

ulis

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

Pendid

ikan

Ka

rakte

r

(*)

Kre

atif

236 Silabus

–M

enentu

kan p

ers

a-

maan g

aris s

inggung

lin

gk

ara

n

di

titi

k

po

ton

g g

ari

s k

utu

b

de

ng

an

li

ng

ka

ran

ya

ng

b

erp

us

at

di

titik O

(0,

0).

–M

enentu

kan p

ers

a-

ma

an

ga

ris k

utu

b

suatu

titik

terh

adap

lingkara

n y

ang b

er-

pusat di titik P

(a, b).

–M

en

en

tuk

an

ti

tik

po

ton

g g

ari

s k

utu

b

de

ng

an

li

ng

ka

ran

ya

ng

b

erp

us

at

di

titik P

(a,

b).

–M

enentu

kan p

ers

a-

maan g

aris s

inggung

lin

gk

ara

n

di

titi

k

po

ton

g g

ari

s k

utu

b

de

ng

an

li

ng

ka

ran

ya

ng

b

erp

us

at

di

titik P

(a,

b).

–M

enentu

kan p

ers

a-

maan g

aris s

inggung

lingkara

n y

ang b

er-

gra

die

n

m

pa

da

lingkara

n y

ang b

er-

pusat di t

itik

O(0

, 0).

–M

enentu

kan p

ers

a-

maan g

aris s

inggung

lingka

ran y

ang s

eja

jar

ata

u

teg

ak

lu

rus

su

atu

g

ari

s p

ad

a

lingkara

n y

ang b

er-

pusat di t

itik

O(0

, 0).

3.

Pe

rsa

ma

an

g

ari

s

sin

gg

un

g l

ing

ka

ran

x2

+

y2

=

4

ya

ng

me

lalu

i ti

tik

(0

, 4

)

adala

h . . . .

a.

y =

–3x +

4

b.

y =

–�

x +

4

c.

y =

–�

x –

4

d.

y =

–�

x +

4

e.

y =

–�

x –

4

4.

Ga

ris

y

an

g d

ita

rik

da

ri

titi

k

A(1

, –

2)

me

nyin

gg

un

g lin

g-

ka

ran

x2 +

y2 +

3x

– 4

y =

0 d

i ti

tik B

.

Pa

nja

ng

ru

as g

ari

s

AB

adala

h . . . .

a.

3

b.

2�

c.

4

d.

2�

e.

4,5

1.

Se

bu

ah

li

ng

ka

ran

berp

usa

t di t

itik

O(0

, 0)

mela

lui titik A

(–1,

2).

a.

Te

ntu

ka

n p

ers

a-

ma

an

lin

gka

ran

dan g

aris

sin

ggung-

nya d

i titik A

.

b.

Luki

slah li

ngka

ran

dan g

aris

sin

ggung-

nya d

i titik A

.

2.

Tentu

kan p

ers

am

aan

ga

ris s

ing

gu

ng

lin

g-

ka

ran

(x

–

2

)2 +

(y +

1)2

= 1

3 d

i titik

yang b

era

bsis

–1.

Ura

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an


Ko

mp

ete

ns

i

Da

sa

r

Ma

teri

Po

ko

k/

Pe

mb

ela

jara

n

Ke

gia

ta

n

Pe

mb

ela

jara

n

Ind

ika

tor P

en

ca

pa

ian

Ko

mp

ete

ns

i

Pe

nil

aia

n

Te

kn

ikB

en

tu

k

Instr

um

en

Co

nto

h In

str

um

en

Alo

ka

si

Wa

ktu

Ala

t d

an

S

um

be

r

Be

laja

r

Nil

ai

da

n

Ma

teri

ya

ng

Dii

nte

gra

sik

an

–M

en

en

tuka

n p

ers

a-

maan g

aris s

inggung

ling

ka

ran

ya

ng

be

r-

gra

die

n

m

pa

da

ling

ka

ran

ya

ng

be

r-

pusat

di titik P

(a,

b).

–M

en

en

tuka

n p

ers

a-

maan g

aris

singgung

lin

gka

ran

ya

ng

se

-

jaja

r ata

u tegak lu

rus

su

atu

g

ari

s

pa

da

ling

ka

ran

ya

ng

be

r-

pusat

di titik P

(a,

b).

–M

enentu

kan g

radie

n

garis s

inggung l

ing-

ka

ran

di

su

atu

titik

pada s

uatu

lingkara

n.

3.

Tentu

kan p

ers

am

aan

ga

ris s

ing

gu

ng

lin

g-

ka

ran

(x

–

2

)2 +

(y –

6)2

= 1

6 y

an

g

mela

lui titik (

–1,

2).

238 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Bab I Statistika

Sekolah : . . . . . . . . . .

Kelas/Semester : XI/1 Program IPA

Mata Pelajaran : Matematika

Alokasi Waktu : 12 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam

pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan dan

ogive.

1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive,

serta penafsirannya.

1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta

penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

1.1.1 Mampu mendefinisikan statistika.

1.1.2 Mampu membaca data tunggal dalam bentuk tabel dan diagram.

1.1.3 Mampu membaca data berkelompok dalam bentuk tabel dan diagram.

1.2.1 Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram.

1.2.2 Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

1.2.3 Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram.

1.2.4 Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

1.3.1 Mampu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (rata-rata, modus, dan median).

1.3.2 Mampu menentukan ukuran pemusatan data berkelompok (mean, modus, dan median).

1.3.3 Mampu menentukan ukuran letak data tunggal (kuartil, desil, dan persentil).

1.3.4 Mampu menentukan ukuran letak data berkelompok (kuartil, desil, dan persentil).

1.3.5 Mampu menentukan ukuran penyebaran data tunggal.

1.3.6 Mampu menentukan ukuran penyebaran data berkelompok.

Tujuan Pembelajaran

Peserta didik mampu:

1. menjelaskan cara mencari suatu data;

2. menjelaskan dan menafsirkan data yang disajikan;

3. menyajikan data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran;

4. menentukan nilai rata-rata (mean) suatu data;

5. menentukan nilai median suatu data;

6. menentukan nilai modus suatu data;

7. menentukan kuartil suatu data;

8. menentukan desil suatu data;

9. menentukan persentil suatu data;

10. menentukan simpangan baku suatu data;

11. menentukan varian suatu data.

Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Kritis dan Cermat

Materi Pembelajaran

Statistika

Metode Pembelajaran

1. Model Pembelajaran

a. Cooperative Learning (CL)

b. Direct Instruction (DI)

2. Metode

a. Tanya jawab

b. Diskusi

c. Tugas


Langkah-Langkah Kegiatan

Pertemuan Pertama

1. Kegiatan Pendahuluan (5 menit)

a. Motivasi

Menyajikan beberapa data dalam bentuk gambar/diagram, kemudian siswa disuruh membaca dan

memberikan deskripsi diagram tersebut.

b. Prasyarat Pengetahuan

Siswa mengetahui tentang data dan cara membaca data.

2. Kegiatan Inti (75 menit)

a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang arti data dan jenis-jenis data.

• Guru menjelaskan tentang statistik dan statistika.

• Guru menjelaskan sampel dan populasi.

• Guru menjelaskan tentang cara mengumpulkan data.

• Guru dan siswa melakukan cara menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram

garis, dan diagram lingkaran.

• Guru memberikan penafsiran suatu data tunggal yang telah disajikan.

b. Elaborasi

Guru dan siswa membuat data dalam bentuk diagram dari data yang berbentuk tabel kemudian

menafsirkannya.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan tentang hasil yang dibuat siswa dalam membuat diagram.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)

Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.

Pertemuan Kedua


a. Motivasi

Guru memberikan permasalahan baru tentang data kumulatif dari suatu data berkelompok.


Siswa memahami cara membaca data dan menyajikan data dalam bentuk ogive.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang tabel distribusi frekuensi data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang histogram dan poligon frekuensi.

• Guru menjelaskan tentang penyajian data.

b. Elaborasi

Guru bersama siswa mendemonstrasikan cara membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon

frekuensi, dan ogive. Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan hasil yang diperoleh siswa dari menggambar diagram-diagram tersebut.


• Guru meminta siswa untuk membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive.

• Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan.

Pertemuan Ketiga


a. Motivasi

Guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari ukuran pemusatan data (mean, median, modus) dalam

suatu penelitian.



Siswa mengetahui tentang data tunggal dan data berkelompok.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang rata-rata (rataan) data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang median data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang modus data tunggal.

• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data tunggal.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan dan menentukan mean, median, dan modus dari

suatu data tunggal.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan tentang hasil penghitungan yang telah dilakukan.


Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan sebagai evaluasi belajar.

Pertemuan Keempat


a. Motivasi

Guru memberikan manfaat dari mempelajari suatu data, terutama mean, median, dan modus pada data

berkelompok.


Siswa mengetahui tentang mean, median, dan modus suatu data tunggal.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang rata-rata (mean) dari data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang median dari data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang modus dari data berkelompok.

• Guru mendemonstrasikan cara menentukan rata-rata, median, dan modus pada data berkelompok.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa melakukan cara menghitung rata-rata, median, dan modus pada suatu data

berkelompok.

c. Konfirmasi

Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan

siswa.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.

Pertemuan Kelima


a. Motivasi

Guru memberikan contoh fakta/kejadian tentang pemanfaatan suatu ilmu statistik terutama ukuran letak.


Siswa mengetahui tentang urutan data dan cara mengurutkan data.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang arti ukuran letak suatu data.

• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang kuartil suatu data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang desil suatu data tunggal dan data berkelompok.


• Guru menjelaskan tentang persentil suatu data tunggal dan data berkelompok.

• Guru mendemonstrasikan cara menghitung dan menentukan kuartil, desil, dan persentil.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menghitung nilai kuartil, desil, atau persentil secara tertuntun.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan tentang kepemahaman siswa terhadap materi yang diajarkan.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.

Pertemuan Keenam


a. Motivasi

Guru menjelaskan tentang ukuran penyebaran suatu data dan manfaat ukuran penyebaran data dalam

penelitian.


Siswa mengetahui tentang kuartil dan rata-rata.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang jangkauan pada data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil pada data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang langkah, pagar dalam, dan pagar luar pada data tunggal.

• Guru menjelaskan tentang simpangan rata-rata pada data tunggal dan data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang ragam pada data tunggal dan data berkelompok.

• Guru menjelaskan tentang simpangan baku pada data tunggal dan data berkelompok.

• Guru mendemonstrasikan cara menentukan nilai-nilai ukuran penyebaran pada data tunggal maupun

data berkelompok.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menghitung nilai-nilai ukuran penyebaran suatu data berbentuk diagram

secara tertuntun.

c. Konfirmasi

Guru mendiskusikan hasil yang diperoleh dari kegiatan tersebut.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa.

Alat Sumber Belajar

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013

2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013

3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdiknas, 2009

4. Website-website yang relevan

Penilaian Hasil Belajar

1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen

a. Teknik Penilaian

Tes tertulis

b. Bentuk Instrumen

1) Pilihan ganda

2) Uraian


2. Contoh Instrumen

a. Pilihan Ganda

1) Diagram berikut merupakan diagram batang mengenai banyak gol yang dicetak beberapa pemain

sepak bola dalam 20 pertandingan.

Jika jumlah gol yang dicetak 8 pemain tersebut 50, banyak gol

yang dicetak Burhan . . . .

a. 7 d. 10

b. 8 e. 11

c. 9

2) Data berat benda diberikan pada tabel berikut.

Rata-rata berat benda . . . gram.

a. 16,1 d. 16,7

b. 16,3 e. 16,9

c. 16,5

b. Uraian

1) Diketahui data panjang ruas-ruas bambu sebagai berikut.

Buatlah poligon yang menggambarkan data tersebut.

2) Beberapa siswa diminta untuk mengerjakan 1 soal yang sama. Lama

waktu pengerjaan setiap anak disajikan dalam diagram di samping.

a. Tentukan rata-rata lama waktu pengerjaan soal.

b. Tentukan banyak siswa yang membutuhkan waktu kurang dari

rata-rata lama waktu pengerjaan.

________, ______________

Mengetahui,

Kepala SMA ______________ Guru Mata Pelajaran

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

___________________________ ___________________________

NIP _______________________ NIP _______________________

Frekuensi

4

2

2

4

2

3

1

8

4

Berat (gram)

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Frekuensi

12

16

11

15

20

Panjang Ruas (cm)

11–14

15–18

19–22

23–26

27–30


Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Bab II Peluang

Sekolah : . . . . . . . . . .

Kelas/Semester : XI/1 Program IPA

Mata Pelajaran : Matematika

Alokasi Waktu : 8 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam

pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.

1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.

1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

1.4.1 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian.

1.4.2 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan permutasi.

1.4.3 Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan kombinasi.

1.5.1 Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan.

1.5.2 Mampu menentukan banyak titik sampel suatu percobaan.

1.5.3 Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian.

1.6.1 Mampu menentukan peluang suatu kejadian.

1.6.2 Mampu menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

1.6.3 Mampu menentukan kisaran nilai peluang.

1.6.4 Mampu menentukan frekuensi harapan suatu kejadian.

1.6.5 Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian.

1.6.6 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling asing.

1.6.7 Mampu menentukan peluang dua kejadian saling bebas.

1.6.8 Mampu menentukan peluang kejadian bersyarat.

Tujuan Pembelajaran

Peserta didik mampu:

1. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan perkalian;

2. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan permutasi;

3. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan kombinasi;

4. menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan;

5. menentukan peluang suatu kejadian;

6. menentukan kisaran nilai peluang;

7. menentukan frekuensi harapan;

8. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling asing;

9. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling bebas.

Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Jujur

Materi Pembelajaran

Peluang

Metode Pembelajaran

1. Model Pembelajaran

a. Cooperative Learning (CL)

b. Direct Instruction (DI)

2. Metode

a. Tanya jawab

b. Diskusi


Langkah-Langkah Kegiatan

Pertemuan Pertama


a. Motivasi

Guru memberikan contoh permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan aturan perkalian,

permutasi, dan kombinasi.


Siswa mengetahui dan menguasai konsep faktorial.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang konsep aturan perkalian.

• Guru menjelaskan tentang konsep faktorial.

• Guru menjelaskan tentang aturan permutasi dan memberikan contoh-contohnya.

• Guru menjelaskan tentang aturan kombinasi dan memberikan contoh-contohnya.

• Guru melakukan penghitungan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan aturan

perkalian, permutasi, dan kombinasi. Kejadian ini dilakukan secara tertuntun.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan yang telah dilakukan tersebut.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan latihan soal untuk dikerjakan siswa.

Pertemuan Kedua


a. Motivasi

Guru memberikan beberapa contoh kejadian, kemudian siswa ditunjuk untuk menentukan titik sampul

dan ruang sampul.


Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang percobaan statistika.

• Guru menjelaskan tentang pengertian ruang sampel.

• Guru menjelaskan tentang pengertian titik sampel.

• Guru melakukan penghitungan terhadap titik sampel suatu kejadian.

• Guru menentukan anggota himpunan suatu kejadian.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyebutkan titik sampel dari suatu kejadian.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan tentang hasil yang diperoleh dalam kegiatan tersebut.


Guru mengevaluasi tentang hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan.

Pertemuan Ketiga


a. Motivasi

Guru menjelaskan tentang gambaran peluang dalam kehidupan sehari-hari dan menyebutkan manfaat

mempelajari peluang.


Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian.



a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang kejadian dalam suatu percobaan.

• Guru menjelaskan tentang peluang kejadian.

• Guru menjelaskan tentang kisaran nilai peluang dan memberikan contoh-contohnya.

• Guru menjelaskan tentang hubungan frekuensi harapan dan peluang.

• Guru melakukan penghitungan cara menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyelesaikan masalah untuk menentukan nilai peluang.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang kepemahamannya dalam menentukan nilai peluang suatu

kejadian.


Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.

Pertemuan Keempat


a. Motivasi

Guru memberikan gambaran-gambaran atau contoh-contoh kejadian yang berkaitan dengan kejadian

majemuk. Kemudian guru memberi pertanyaan kepada siswa tentang cara menentukan peluang

kejadiannya.


Siswa mengetahui tentang peluang kejadian tunggal.


a. Eksplorasi

• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian.

• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling asing dan menjelaskan syarat-

syaratnya.

• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling bebas dan menjelaskan syarat-

syaratnya.

• Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian bersyarat.

• Guru melakukan penghitungan nilai peluang dua kejadian majemuk di berbagai situasi.

b. Elaborasi

Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan nilai peluang kejadian majemuk secara tertuntun.

c. Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan tersebut.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan.

Guru bisa memberi tugas kepada siswa.

Alat Sumber Belajar

1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013

2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA, Intan Pariwara, 2013

3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA, Depdikas, 2009

4. Website-website yang relevan

Penilaian Hasil Belajar

1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen

a. Teknik Penilaian

Tes tertulis

b. Bentuk Instrumen

1) Pilihan ganda

2) Uraian


2. Contoh Instrumen

a. Pilihan Ganda

1) Dua orang perawat akan memeriksa pasien yang berada di 6 ruang berbeda. Banyak pasangan

perawat dengan pasien yang diperiksa adalah . . . .

a. 8 d. 30

b. 12 e. 36

c. 24

2) Banyak susunan angka yang dapat dibentuk dari angka 3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, dan 1 adalah . . . .

a. 1.860 d. 1.680

b. 1.840 e. 1.470

c. 1.780

3) Sebuah dadu dilempar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan ini ada . . . .

a. 18 d. 144

b. 36 e. 216

c. 72

b. Uraian

1) Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut.

a. 2 · 2n + 1

C2 = 3! ·

nP

2

b. n · 6P

2 =

nP

3

c.� �

��

�

� + =

�

��

2) Dalam sebuah pertemuan internasional, 11 orang peserta terlibat dalam diskusi. 3 orang peserta

berasal dari Amerika, 2 orang peserta berasal dari Irlandia, 4 orang peserta berasal dari Korea, dan

2 orang peserta berasal dari Filipina. Berapa banyak cara mengatur mereka duduk melingkar sehingga

peserta berasal dari negara yang sama duduk berdekatan?

3) Dalam sebuah kotak terdapat 7 bendera hijau, 4 bendera kuning, dan 6 bendera merah. Diambil

secara acak 3 bendera secara bersamaan sebanyak 680 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya:

a. ketiganya bendera kuning;

b. 1 bendera hijau dan 2 bendera merah;

c. semua bendera berwarna berbeda.

4) Dari 32 siswa terdapat 22 siswa gemar voli, 17 siswa gemar tenis, dan 7 siswa gemar keduanya. Jika

tiga siswa dipilih secara acak, tentukan peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis.

________, ______________

Mengetahui,

Kepala SMA ______________ Guru Mata Pelajaran

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

___________________________ ___________________________

NIP _______________________ NIP _______________________

02 matematika 11a ipa 2013.pdf

Documents