34358539 matematika xi ipa bse

394
 ..........Nugroho Soedyarto  ..........Maryanto Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA 2 Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Upload: raynald-osmond-untono

Post on 20-Jul-2015

362 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 1/394

 

 ..........Nugroho Soedyarto ..........MaryantoMatematika

Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA

2

Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 2/394

 

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-Undang

Matematika

Jilid 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA

Penulis : Nugroho Soedyarto

MaryantoIlustrasi, Tata Letak : Tim Dept. GrafisPerancang Kulit : Alfi S.

Ukuran Buku : 17,5 × 25 cm

Sumber Gambar Sampul :http://www.dfrc.gov/gallery/photo

510.07SOE SOEDYARTO, Nugrohom Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPANugroho Soedyarto, Maryanto Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2008.vii, 272 hlm.: ilus.; 25 Cm.Bibliografi: hlm.271-272ISBN 979-462-586-8

1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Matematika 2II. MaryantoDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan NasionalTahun 2008

Diperbanyak oleh ...

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 3/394

 

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepadamasyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.

Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dantelah

ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakandalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34Tahun

2008.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbityang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan

Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada DepartemenPendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan,atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial hargapenjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkanbahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan

sumberbelajar ini.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kamiharapkan.

Jakarta, Juli 2008

Kepala Pusat Perbukuan

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 4/394

 

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atasberkah, rahmat, dan karunia-Nya, penyusunan buku Matematika untuk SMA danMA kelas XI Program IPA dapat diselesaikan.

Buku ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatanbelajar mengajar mata pelajaran Matematika di sekolah.

Dalam buku ini disajikan materi pembelajaran matematika secara sederhana,efektif, dan mudah dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Simbol, tabel,diagram, dan grafik disajikan untuk mempermudah kamu dalam memahami materiyang sedang dipelajari. Buku ini juga dilengkapi contoh soal dan tugas-tugas disetiapsubbab dan akhir bab.

Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran Matematika, kamu diharapkan dapatmemahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep, danmengaplikasikannya untuk memecahkan masalah.

Kamu juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikangagasan dengan berbagai perangkat matematika, serta memiliki sikap menghargaimatematika dalam kehidupan.

Akhirnya kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telahmembantu penerbitan buku ini.

Surakarta, Mei 2008

Penyusun

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 5/394

 

Buku Matematika ini disusun untuk membantu siswa SMA memahami Matematika.Buku Matematika ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru dalam membimbingsiswa mempelajari Matematika.

Bab-bab dalam buku ini disusun dengan sistematika yang unik, sehingga mempermuda

hsiswa dalam mempelajari materi yang disajikan. Sistematika buku ini adalah sebagai berikut.

1.Awal bab, setiap bab diawali dengan ilustrasi berupa gambar dan aktivitas yang relevandengan isi bab yang akan dipelajari. Selain ilustrasi, juga dipaparkan tujuan pembelajaransesuai dengan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar yang harus dicapai siswa.2.Peta konsep, berisi konsep-konsep dari materi yang akan dipelajari serta hubunga

nantarkonsep.3.Kata kunci,berisi kata-kata penting yang menjadi kunci pembahasan dalam bab tersebut.4.Uraian materi, materi pembelajaran dalam buku Matematika ini disajikan dengan kalimatyang sederhana sehingga mudah dipahami siswa.5.Contoh soal, setiap pembahasan suatu materi dilengkapi dengan contoh soal untukmemperjelas konsep yang dipelajari.6.

Latihan, berisi soal-soal untuk menguji kemampuan siswa dalam memahami materiyang telah dipelajari.7.Rangkuman, berisi pokok-pokok pembicaraan di dalam bab yang telah selesai dipelajari.8.Evaluasi, berisi soal-soal untuk melatih kemampuan siswa dalam menguasai materidalam bab yang telah dipelajari.9.Glosarium, berisi daftar kata-kata sulit yang dijumpai di dalam buku. Glosariumdapatkamu gunakan sebagai pegangan atau semacam kamus dalam mempelajari materi.

10. Indeks, berisi kata-kata atau istilah penting yang disertai dengan nomor halaman tempatkata atau istilah tersebut muncul. Melalui indeks, kamu dapat dengan cepat menemukanhal-hal yang sedang dicari.11. Notasi atau Simbol, berisi kumpulan simbol atau notasi beserta penjelasannya.12. Kunci Jawaban, berupa jawaban dari beberapa soal terpilih.Berikut langkah-langkah yang disarankan bagi siswa dalam menggunakan bukuMatematika ini.

1.Baca tujuan pembelajaran yang ada di awal bab.

2. Pelajari peta konsep terlebih dahulu dan perhatikan kata kunci yang akan menjadikunci pembahasan materi dalam bab itu.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 6/394

 

3. Pahami uraian materi dengan saksama dan perhatikan contoh soal yang diberikan dengan sebaik-baiknya.4. Bila menemukan kata-kata yang sukar di mengerti atau notasi yang belum dipahami,carilah arti kata itu dalam Glosarium yang ditempatkan di akhir buku, sedangkanarti

notasi dapat kamu temukan dalam Notasi Matematika, juga diletakkan di akhir buku.5. Kerjakan latihan soal yang ada di setiap subbabnya.6. Baca kembali rangkuman yang ada di akhir bab.7. Kerjakan soal-soal yang ada di akhir bab.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 7/394

 

Sambutan ........ ........................................................................................................... iiiKata Pengantar........................................................................................................... ivPetunjuk Penggunaan ............................................................................................... v

Daftar Isi ................ ................................................................................................... vi

Semester I

Bab 1 Statistika

AMenyajikan Data dalam Bentuk Diagram ............................................... 5

BPenyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi ...................... 11 

CMenghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, dan Ukuran

Penyebaran Data .................................................................................... 20

Rangkuman ...................................................................................................... 46

Evaluasi ........................................................................................................... 49

Bab 2 Peluang

AAturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan

Masalah ................................................................................................... 57

B.Ruang Sampel Suatu Percobaan ............................................................. 70

C. Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya ........................................... 72Rangkuman ...................................................................................................... 81Evaluasi .......................................................................

.................................... 82

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 8/394

 

Bab 3 Trigonometri

APenggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut,

Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda ....................................................... 89

BPenurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ....................... 98

CMenggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ................. 106

Rangkuman ...................................................................................................... 108

Evaluasi ........................................................................................................... 110

Bab 4 Lingkaran

APersamaan Lingkaran ............................................................................. 117

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran .................................................... 127Rangkuman ...................................................................................................... 136Evaluasi ........................................................................................................... 137

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 9/394

 

Semester II

Bab 5 Suku Banyak

A Algoritma Pembagian Suku Banyak ....................................................... 145

B Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor .................................... 154

C. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak ...............................162

Rangkuman ...................................................................................................... 165Evaluasi ........................................................................................................... 167

Bab 6 Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

A Relasi dan Fungsi .................................................................................... 173B Aljabar Fungsi ......................................................................................... 180C Fungsi Komposisi .................................................................................... 181D Fungsi Invers ........................................................................................... 187Rangkuman ...................................................................................................... 193Evaluasi .......................................................................

.................................... 194

Bab 7 Limit Fungsi

A Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ...................... 199B Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu FungsiAljabar dan Trigonometri ......................................................................... 205Rangkuman ...................................................................................................... 216

Evaluasi ........................................................................................................... 217

Bab 8 Turunan Fungsi

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan .............................................. 223B Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik SuatuFungsi ...................................................................................................... 237C Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan denganEkstrim Fungsi .................................................................

........................ 248D Penyelesaian Model Matematika dari Masalah yang Berkaitandengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya ........................................

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 10/394

 

..... 251E Teorema LHopital .................................................................................. 254Rangkuman ...................................................................................................... 255Evaluasi ........................................................................................................... 257

Glosarium ................................................................................................................ 261Notasi Matematika .................................................................................................... 264Kunci Jawaban ........................................................................................................... 266Daftar Pustaka ............................................................................................................ 271Indeks .......... .............................................................................................................. 272

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 11/394

 

viiiviii

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 12/394

 

1Statistika

Menyajikan Data dalam Bentuk Diagram  

Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi  Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, dan Ukuran  Penyebaran Data

Kalau kamu ke kantor kelurahan, kantor pajak, kantor sekolah, atau kantor instansipemerintahan, apakah yang dapat kamu lihat di papan informasi? Biasanya di papan informasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis, batang, atau balok-balok. Grafikgrafikitu merupakan gambaran mengenai pencacahan penduduk, perhitungan pajak,dan perkembangan kemajuan sekolah. Contoh-contoh tersebut merupakan salah satu

aplikasi dari konsep statistika.

Dalam perkembangannya, statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalamberbagai bidang seperti bidang ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya.Penelitian jenis manapun dirasa kurang lengkap apabila tidak memanfaatkanperhitungan-perhitungan statistika. Dalam bab ini kamu akan belajar menggunakanaturan statistika, sehingga dapat membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel dan berbagai diagram serta menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data beserta penafsirannya.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 13/394

 

diagram lingkaran diagram batang ogive histogram rataan modus

median kuartil desil persentil jangkauan simpangan kuartil variansi simpangan bakuSTATISTIKAMembaca data dalambentuk tabel dandiagram batang, garis,

lingkaran, dan ogiveMenyajikan data dalambentuk tabel dan diagrambatang, garis, lingkaran, danogive serta penafsirannyaMenghitung ukuranpemusatan, ukuran letak,dan ukuran penyebarandata serta penafsirannyaSajian data dalambentuk diagramgaris, diagramlingkaran, dan

diagram batangMengidentifikasinilai suatu datayang ditampilkanpada tabel daridiagramData dalam bentukdiagram batang, garis,lingkaran, dan ogiveserta penafsirannyaMenafsirkan datadalam bentuk diagram

batang, garis,lingkaran, dan ogiveUkuranpemusatanrataan, modus,medianUkuran penyebaran,jangkauan,simpangan,kuartil, variansi,dan simpanganUkuran letakkuartil, desil

Ukuran penyebaran,jangkauan,simpangan, kuartil,

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 14/394

 

variansi, dansimpangan baku diagram lingkaran diagram batang ogive histogram rataan

modus median kuartil desil persentil jangkauan simpangan kuartil variansi simpangan bakuSTATISTIKAMembaca data dalambentuk tabel dan

diagram batang, garis,lingkaran, dan ogiveMenyajikan data dalambentuk tabel dan diagrambatang, garis, lingkaran, danogive serta penafsirannyaMenghitung ukuranpemusatan, ukuran letak,dan ukuran penyebarandata serta penafsirannyaSajian data dalambentuk diagramgaris, diagram

lingkaran, dandiagram batangMengidentifikasinilai suatu datayang ditampilkanpada tabel daridiagramData dalam bentukdiagram batang, garis,lingkaran, dan ogiveserta penafsirannyaMenafsirkan data

dalam bentuk diagrambatang, garis,lingkaran, dan ogiveUkuranpemusatanrataan, modus,medianUkuran penyebaran,jangkauan,simpangan,kuartil, variansi,dan simpanganUkuran letak

kuartil, desilUkuran penyebaran,jangkauan,

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 15/394

 

simpangan, kuartil,variansi, dansimpangan bakuMatematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

4

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 16/394

 

Statistika 5A Menyajikan Data dalam Bentuk DiagramStatistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnyamengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data,

serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkanparameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistikjumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewatisuatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya. 1. Diagram GarisPenyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebutdiagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk

menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktusecara berurutan.Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkannilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatanmembentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yangberdekatan

tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafikgaris. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh soalFluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari 2008 sampai

dengan tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan oleh tabel sebagai berikut.Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram garis.PenyelesaianJika digambar dengan menggunakan diagram garis adalah sebagai berikut.Tanggal 18/2 19/2 20/2 21/2 22/2Kurs Beli Rp. 9.091 Rp. 9.093 Rp. 9.128 Rp. 9.123 Rp. 9.129Kurs Jual Rp. 9.181 Rp. 9.185 Rp. 9.220 Rp. 9.215 Rp. 9.2219.5009.4009.3009.2009.100

18/2 19/2 20/2 21/2 22/2Kurs Jual9.091 9.093 Kurs Beli9.128 9.123 9.1299.183 9.1859.220 9.215 9.221Fluktuasi nilai tukar rupiah terhadap dolar AS

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 17/394

 

6 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA2. Diagram LingkaranDiagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambaryang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagianatau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu

ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini.Contoh soalRanah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkanseperti tabel berikut.Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.PenyelesaianSebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahuluditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.

1. CPNS/Honda/GTT = 1005 × 360° = 18°2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 1009 × 360° = 32,4°3. Masalah lingkungan/kebersihan = 1006 × 360° = 21,6°4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 1003 × 360° = 10,8°5. Lalu lintas/penertiban jalan = 1006 × 360° = 21,6°6. Revitalisasi/budaya Jawa = 10020 × 360° = 72°No Ranah Privat Persentase

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.

13.14.CPNS/Honda/GTTPerbaikan/pembangunan/gangguan jalanMasalah lingkungan/ kebersihanKesehatan/PKMS/AskeskinLalu lintas/penertiban jalanRevitalisasi/budaya JawaParkirPekat/penipuan/premanPersis/olahragaPKL/bangunan liarPLN dan PDAM

Provider HPTayangan TV/radio/koranLain-lain

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 18/394

 

5 %9 %6 %3 %6 %20 %3 %

7 %10 %2 %2 %7 %3 %17 %Jumlah 100 %1005 × 360° = 18°2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 1009 × 360° = 32,4°

3. Masalah lingkungan/kebersihan = 1006 × 360° = 21,6°4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 1003 × 360° = 10,8°5. Lalu lintas/penertiban jalan = 1006 × 360° = 21,6°6. Revitalisasi/budaya Jawa = 10020 × 360° = 72°No Ranah Privat Persentase1.2.3.4.

5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.CPNS/Honda/GTTPerbaikan/pembangunan/gangguan jalan

Masalah lingkungan/ kebersihanKesehatan/PKMS/AskeskinLalu lintas/penertiban jalanRevitalisasi/budaya JawaParkirPekat/penipuan/premanPersis/olahragaPKL/bangunan liarPLN dan PDAMProvider HPTayangan TV/radio/koranLain-lain5 %

9 %6 %3 %

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 19/394

 

6 %20 %3 %7 %10 %2 %2 %

7 %3 %17 %Jumlah 100 %

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 20/394

 

3

7.Parkir = 100 × 360° = 10,8°78.

Pekat/penipuan/preman = 100 × 360° = 25,2°109.Persis/olahraga = 100 × 360° = 36°210.PKL/Bangunan liar = 100 × 360o = 7,2°211.PLN dan PDAM = 100 × 360° = 7,2°712.

Provider HP = 100 × 360° = 25,2°313.Tayangan TV/radio/koran = 100 × 360° = 10,8°1714. Lain-lain = 100 × 360° = 61,2°Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.Ranah Privat

CPNS/Honda/GTT5%Lain-lain

17%Kesehatan/PKMS/Askeskin3%Revitalisasi/budayaJawa20%Parkir3%Persis/olah raga10%PKL/Bangunan liar

2%PLN dan PDAM2%Provider HP7%TayanganTV/radio/koran3%Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan9%Masalah lingkungan/kebersihan6%

Lalu lintas/penertiban jalan6%Pekat/penipuan/preman

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 21/394

 

7%3. Diagram BatangDiagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilaisuatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkanketerangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebardengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.

Statistika

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 22/394

 

Contoh soal

Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalahsebagai berikut.

Tahun Jumlah

2000 202001 402002 502003 702004 100

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.

Penyelesaian

Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

Lulusan SMA X Tahun 2001 -2004

120

100

80

60

40

20

0

Tahun

4. Diagram Batang DaunDiagram batang daun dapat diajukan sebagai contoh penyebaran data. Dalamdiagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan lebih dulu dari data ukuran terkecilsampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batangdan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan

.

Perhatikan contoh soal berikut, agar kamu dapat segera memahami.

Contoh soal

Buatlah diagram batang-daun dari data berikut.451020314820292711 825 21 42 24 22 36 33 22 23 1334 29 25 39 32 38 50 5

Banyak lulusan

2000 2001 2002 2003 2004

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 23/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 24/394

 

9StatistikaPenyelesaianMula-mula kita buat diagram batang-daun di sebelah kiri kemudian membuat diagram batang-daun di sebelah kanan agar data terurut.Dari diagram batang-daun di atas dapat dibaca beberapa ukuran tertentu, antara l

ain:a. ukuran terkecil adalah 5;b. ukuran terbesar adalah 50;c. ukuran ke-1 sampai ukuran ke-10 berturut-turut adalah 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22,22 dan 23;d. ukuran ke-16 adalah: 29.5. Diagram Kotak GarisData statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalahstatistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan dataterbesar),

Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soalDiketahui data sebagai berikut:41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47a. Tentukan statistik Lima Serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.Penyelesaiana. Setelah data diurutkan menjadi:41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100Diperoleh: xmin = 41 merupakan data yang nilainya terendahxmaks = 100 merupakan data yang nilainya tertinggiQ1 = 53 merupakan kuartil bawah

Q2 = 67,5 merupakan kuartil tengah atau medianQ3 = 87 merupakan kuartil atasBatang Daun54321002 5 81 2 3 4 6 8 9

Batang Daun54321005 8 21 6 3 4 9 2 80 0 9 7 1 4 2 2 3 9 50 18 5

0 0 1 2 2 3 4 5 5 7 9 90 15 8

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 25/394

 

StatistikaPenyelesaianMula-mula kita buat diagram batang-daun di sebelah kiri kemudian membuat diagram batang-daun di sebelah kanan agar data terurut.Dari diagram batang-daun di atas dapat dibaca beberapa ukuran tertentu, antara lain:

a. ukuran terkecil adalah 5;b. ukuran terbesar adalah 50;c. ukuran ke-1 sampai ukuran ke-10 berturut-turut adalah 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22,22 dan 23;d. ukuran ke-16 adalah: 29.5. Diagram Kotak GarisData statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalahstatistik Lima Serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan dataterbesar),

Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soal

Diketahui data sebagai berikut:41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47a. Tentukan statistik Lima Serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.Penyelesaiana. Setelah data diurutkan menjadi:41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100Diperoleh: xmin = 41 merupakan data yang nilainya terendahxmaks = 100 merupakan data yang nilainya tertinggiQ1 = 53 merupakan kuartil bawahQ2 = 67,5 merupakan kuartil tengah atau median

Q3 = 87 merupakan kuartil atasBatang Daun54321002 5 81 2 3 4 6 8 9Batang Daun

54321005 8 21 6 3 4 9 2 80 0 9 7 1 4 2 2 3 9 50 18 50 0 1 2 2 3 4 5 5 7 9 9

0 15 8

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 26/394

 

Atau ditulis menjadi:

Q2 = 67,5Q1 = 53 Q3 = 87xmin = 41 xmax = 100

b. Diagram kotak garisnya sebagai berikut.Q1Q2+Q330 40 50 60 70 80 90 100

1.1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Suhu badan Budi selama 10 hari ditunjukkan oleh tabel berikut.Hari ke: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Suhu (oC) 35 36 37 36 37,5 38 37 38 38,5 37

a. Buatlah diagram garisnya.b. Hari ke berapakah suhu terendah Budi.c. Hari ke berapakah suhu tertinggi Budi.

2. Jumlah penduduk dari suatu kelurahan sebanyak 3.600 orang, dengan berbagaitingkat pendidikannya ditunjukkan seperti pada gambar berikut.Pendidikan JumlahSD

SMPSMA/SMKPerguruan Tinggi100 orang500 orang2.100 orang900 orangJumlah penduduk 3.600 orang

Jika data tersebut dibuat diagram lingkaran, maka tentukan:

a.

besarnya sudut sektor lingkaran untuk pendidikan SD, SMP, SMA/SMKdan Perguruan Tinggi;b.diagram lingkarannya.10Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 27/394

 

11StatistikaSelain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusifrekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.1. Distribusi Frekuensi Tunggal

Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkaladinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggalmerupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh databerikut.5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 68, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 63. Dari hasil tes matematika kelas XI IPA sebanyak 20 siswa diperoleh hasil sebagaiberikut.85 52 47 35 39 62 83 52 75 95

72 65 80 78 76 56 68 85 92 43a. Buatlah diagram batang daun dari data di atas.b. Berapakah nilai terendah dan tertinggi yang dicapai siswa kelas XI IPA4. Jumlah lulusan SD X dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005 ditunjukkanoleh tabel sebagai berikut.a. Buatlah diagram batangnya.b. Pada tahun berapakah jumlah lulusannya mencapai 175 siswa?c. Dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005, tahun berapakah jumlahlulusannya terendah?5. Di bawah ini adalah daftar berat badan (kg) dari siswa di sebuah kelas.28 33 36 28 35 31 34 25 37 3539 38 36 31 35 37 30 33 26 3439 40 29 32 35 36 33 27 36 41

36 35 36 41 36 27 33 36 35 33a. Tentukan statistik lima serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.Tahun 2001 2002 2003 2004 2005Jumlah 125 175 150 165 170B Penyajian Data dalam Bentuk Tabel DistribusiFrekuensiStatistikaSelain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusifrekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.

1. Distribusi Frekuensi TunggalData tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkaladinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggalmerupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh databerikut.5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 68, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 63. Dari hasil tes matematika kelas XI IPA sebanyak 20 siswa diperoleh hasil sebagaiberikut.85 52 47 35 39 62 83 52 75 95

72 65 80 78 76 56 68 85 92 43a. Buatlah diagram batang daun dari data di atas.b. Berapakah nilai terendah dan tertinggi yang dicapai siswa kelas XI IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 28/394

 

4. Jumlah lulusan SD X dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005 ditunjukkanoleh tabel sebagai berikut.a. Buatlah diagram batangnya.b. Pada tahun berapakah jumlah lulusannya mencapai 175 siswa?c. Dari tahun 2001 sampai dengan tahun 2005, tahun berapakah jumlahlulusannya terendah?5. Di bawah ini adalah daftar berat badan (kg) dari siswa di sebuah kelas.

28 33 36 28 35 31 34 25 37 3539 38 36 31 35 37 30 33 26 3439 40 29 32 35 36 33 27 36 4136 35 36 41 36 27 33 36 35 33a. Tentukan statistik lima serangkai.b. Buatlah diagram kotak garis.Tahun 2001 2002 2003 2004 2005Jumlah 125 175 150 165 170B Penyajian Data dalam Bentuk Tabel DistribusiFrekuensi

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 29/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 12Dari data di atas tidak tampak adanya pola yang tertentu maka agar mudah dianalisisdata tersebut disajikan dalam tabel seperti di bawah ini.Daftar di atas sering disebut sebagai distribusi frekuensi dan karena datanyatunggal maka disebut distribusi frekuensi tunggal.2. Distribusi Frekuensi Bergolong

Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yangmemiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelasyang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematikadari 40 siswa kelas XI berikut ini.66 75 74 72 79 78 75 75 79 7175 76 74 73 71 72 74 74 71 7074 77 73 73 70 74 72 72 80 7073 67 72 72 75 74 74 68 69 80Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal,

maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Oleh karena itu dibuat tabel distribusifrekuensi bergolong dengan langkah-langkah sebagai berikut.a. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya65 67, 68 70, , 80 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 67.b. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelasyang mana.c. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknyaturus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi.d. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.Nilai Tally (Turus) Frekuensi

34567891017610

8611 Nilai Tally (Turus) Frekuensi

345

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 30/394

 

67891017

6108611

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 31/394

 

13StatistikaIstilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensibergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.a. Interval KelasTiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas

saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.65 67 . Interval kelas pertama68 70 . Interval kelas kedua71 73 . Interval kelas ketiga74 76 . Interval kelas keempat77 79 . Interval kelas kelima80 82 . Interval kelas keenamb. Batas KelasBerdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.

c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.Tepi bawah = batas bawah 0,5Tepi atas = batas atas + 0,5Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepibawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.d. Lebar kelasUntuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:Lebar kelas = tepi atas tepi bawahJadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 64,5 = 3.Hasil Tugas Titik Tengah Turus Frekuensi65 67

68 7071 7374 7677 7980 826669727578812

5131442Jumlah 40 Statistika

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensibergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.a. Interval Kelas

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 32/394

 

Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelassaja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.65 67 . Interval kelas pertama68 70 . Interval kelas kedua71 73 . Interval kelas ketiga74 76 . Interval kelas keempat

77 79 . Interval kelas kelima80 82 . Interval kelas keenamb. Batas KelasBerdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.Tepi bawah = batas bawah 0,5Tepi atas = batas atas + 0,5Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tep

ibawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.d. Lebar kelasUntuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:Lebar kelas = tepi atas tepi bawahJadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 64,5 = 3.Hasil Tugas Titik Tengah Turus Frekuensi65 6768 7071 7374 7677 7980 82

66697275788125131442

Jumlah 40

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 33/394

 

e. Titik TengahUntuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:

Titik tengah = 21 (batas atas + batas bawah)Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 12 (67 + 65) = 66

titik tengah kedua = 1 (70 + 68) = 69

2

dan seterusnya.

3. Distribusi Frekuensi KumulatifDaftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.

a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

Data Frekuensi Tepi Bawah Tepi Atas41 45 3 40,5 45,546 50 6 45,5 50,551 55 10 50,5 55,556 60 12 55,5 60,561 65 5 60,5 65,566 70 4 65,5 70,5

Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari seperti berikut.

Data Frekuensi Kumulatif

Kurang Dari= 45,5= 50,5= 55,5= 60,5= 65,5= 70,539193136

40Data Frekuensi KumulatifLebih Dari= 40,5= 45,5= 50,5= 55,5= 60,5= 65,540373121

944. Histogram

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 34/394

 

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan

disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, 

gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya

14Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 35/394

 

15Statistikaberimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusifrekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan

sebagai berikut.Berdasarkan data diatas dapat dibentuk histogramnya seperti berikut dengan membuattabel distribusi frekuensi tunggal terlebih dahulu.5. Poligon FrekuensiApabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnyadihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atasdapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Hari 1 2 3 4 5 6 7 8Banyaknya siswa absen 5 15 10 15 20 25 15 10

Statistikaberimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusifrekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutansebagai berikut.Berdasarkan data diatas dapat dibentuk histogramnya seperti berikut dengan membuattabel distribusi frekuensi tunggal terlebih dahulu.5. Poligon FrekuensiApabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya

dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atasdapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Hari 1 2 3 4 5 6 7 8Banyaknya siswa absen 5 15 10 15 20 25 15 10

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 36/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 16berat badanfrekuensipoligon frekuensihistogramHasil Ulangan FrekuensiContoh soalHasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribu

sibergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.PenyelesaianHistogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.6. Poligon Frekuensi KumulatifDari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligonfrekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yangdisebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soalHasil tes ulangan Matematika terhadap40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalamtabel di samping.a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurangdari dan lebih dari.b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.Berat Badan (kg) Titik Tengah Frekuensi15 1920 2425 2930 3435 39

40 4445 4950 5455 5960 6417222732374247

525762210192716106532

10065 6768 70

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 37/394

 

71 7374 7677 7980 822513

144240berat badanfrekuensipoligon frekuensihistogramHasil Ulangan FrekuensiContoh soalHasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusibergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligo

n frekuensi.PenyelesaianHistogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.6. Poligon Frekuensi KumulatifDari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligonfrekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yangdisebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalHasil tes ulangan Matematika terhadap40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam

tabel di samping.a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurangdari dan lebih dari.b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.Berat Badan (kg) Titik Tengah Frekuensi15 1920 2425 2930 3435 3940 4445 49

50 5455 5960 6417222732374247525762

21019

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 38/394

 

2716106532

10065 6768 7071 7374 7677 7980 822513144

240

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 39/394

 

Penyelesaian

a.Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut.Data Frekuensi KumulatifKurang Dari

= 67,5= 70,5= 73,5= 76,5= 79,5= 82,52720343840

Data Frekuensi KumulatifLebih Dari= 64,5= 67,5= 70,5= 73,5= 76,5= 79,5403833206

2b.Ogive naik dan ogive turunDaftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidangCartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; ; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; ; 79,5)diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukandihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive,yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan

distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkandistribusi frekuensi kumulatif lebih dari.Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

Frekuensi kumulatifkurang dariFrekuensi kumulatiflebih dariOgive naik Ogive turunPoligon frekuensi kumulatif Poligon frekuensi kumulatif

Statistika 17

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 40/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 181.2Kerjakan soal-soal di bawah inidengan benar.1. Diketahui data sebagai berikut.80 66 74 74 70 71 78 74 72 6772 73 73 72 75 74 74 74 72 7266 75 74 73 74 72 79 71 75 75

78 69 71 70 79 80 75 76 68 68Nyatakan data tersebut ke dalam:a. distribusi frekuensi tunggal,b. Distribusi frekuensi bergolong dengan kelas 65 67, 68 70, 71 73,74 76, 77 79, 80 82.2. Diketahui daftar distribusi frekuensi sebagai berikut.Dari tabel di samping, tentukan:a. banyaknya kelas,b. batas bawah kelas ke lima,c. batas atas kelas ke enam,d. tepi bawah kelas ke tujuh,e. tepi atas kelas ke delapan,

f. titik tengah masing-masing kelas,g. panjang kelas.3. Nilai ulangan matematika dari 40 siswa adalah sebagai berikut.72 74 78 74 79 75 72 71 74 6773 72 72 73 75 74 73 74 74 7575 73 66 74 74 79 70 72 71 7269 70 80 71 70 75 77 80 76 68a. Susunlah tabel distribusi frekuensi bergolong dari data tersebut ke dalaminterval-interval 65 67, 68 70, dan sebagainya.b. Berapakah banyaknya interval kelas yang kamu buat?c. Sebutkan batas-batas dan tepi-tepi kelasnya.d. Berapa lebar kelasnya?e. Sebutkan titik-titik tengahnya.

Nilai Frekuensi21 3031 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100289

632861.2Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Diketahui data sebagai berikut.80 66 74 74 70 71 78 74 72 6772 73 73 72 75 74 74 74 72 7266 75 74 73 74 72 79 71 75 7578 69 71 70 79 80 75 76 68 68Nyatakan data tersebut ke dalam:a. distribusi frekuensi tunggal,

b. Distribusi frekuensi bergolong dengan kelas 65 67, 68 70, 71 73,74 76, 77 79, 80 82.2. Diketahui daftar distribusi frekuensi sebagai berikut.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 41/394

 

Dari tabel di samping, tentukan:a. banyaknya kelas,b. batas bawah kelas ke lima,c. batas atas kelas ke enam,d. tepi bawah kelas ke tujuh,e. tepi atas kelas ke delapan,f. titik tengah masing-masing kelas,

g. panjang kelas.3. Nilai ulangan matematika dari 40 siswa adalah sebagai berikut.72 74 78 74 79 75 72 71 74 6773 72 72 73 75 74 73 74 74 7575 73 66 74 74 79 70 72 71 7269 70 80 71 70 75 77 80 76 68a. Susunlah tabel distribusi frekuensi bergolong dari data tersebut ke dalaminterval-interval 65 67, 68 70, dan sebagainya.b. Berapakah banyaknya interval kelas yang kamu buat?c. Sebutkan batas-batas dan tepi-tepi kelasnya.d. Berapa lebar kelasnya?e. Sebutkan titik-titik tengahnya.

Nilai Frekuensi21 3031 4041 5051 6061 7071 8081 9091 1002896

3286

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 42/394

 

4. Dari tabel pada soal nomor 2, lengkapilah tabel berikut ini.a. b.5. Perhatikan data berikut.Data Frekuensi KumulatifLebih Dari= 30,5

= ..= ..= ..= ..= ............6Data Frekuensi Kumulatif

Kurang Dari= 30,5= ..= ..= ..= ..= ..210........

Hasil Pengukuran Frekuensi119 127128 136137 145146 154155 163164 172173 181361011

532Nyatakan daftar distribusi frekuensidata berkelompok di samping kedalam daftar frekuensi relatif dankumulatif kemudian gambarlah:a. histogram,4. Dari tabel pada soal nomor 2, lengkapilah tabel berikut ini.a. b.5. Perhatikan data berikut.Data Frekuensi KumulatifLebih Dari

= 30,5= ..= ..

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 43/394

 

= ..= ..= ..........

..6Data Frekuensi KumulatifKurang Dari= 30,5= ..= ..= ..= ..= ..210

........Hasil Pengukuran Frekuensi119 127128 136137 145146 154155 163164 172173 1813

61011532Nyatakan daftar distribusi frekuensidata berkelompok di samping kedalam daftar frekuensi relatif dankumulatif kemudian gambarlah:a. histogram,b. poligon frekuensi,

c. ogivenya.Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut

secara berkelompok.Dalam suatu ulangan matematika, dari 80 siswa kelas XI IPA diperoleh nilai sebagaiberikut.

Nilai Ulangan f31 40 141 50 2

51 60 561 70 1571 80 25

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 44/394

 

81 90 2091 100 1280

Berdasarkan data di atas, buatlah:

1. tabel frekuensi kumulatif kurang dari,

2. tabel frekuensi kumulatif lebih dari,3. ogive naik,4. ogive turun.Statistika 19

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 45/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 20Ukuran pemusatan serta penafsirannya suatu rangkaian data adalah suatu nilai dalamrangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Suatu rangkaian databiasanya

mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi atau terpusat pada nilai pemusatanini.

Ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkattentang data disebut ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan data dapat digunakanuntuk menganalisis data lebih lanjut.1. Ukuran Pemusatan DataUkuran pemusatan data terdiri dari tiga bagian, yaitu mean, median, dan modus.a. Rataan Hitung (Mean )Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang x .1) Rataan data tunggal

Rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagidengan banyaknya data.Rataan = 1 2 3 ... nx x x xn+ + ++atau 1niixx n= =S

Keterangan: xS= jumlah datan = banyaknya dataxi = data ke-iUntuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalDari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan6.Tentukan rataan dari data tersebut.Penyelesaianx = 37 6 536 98 7 6 6010 10+++++++++ = = 6,0

Jadi, rataannya adalah 6,0.2) Rataan dari data distribusi frekuensiApabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskansebagai berikut.C Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, danUkuran Penyebaran Datax .1) Rataan data tunggalRataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagidengan banyaknya data.Rataan = 1 2 3 ... nx x x xn+ + ++

atau 1ni

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 46/394

 

ixx n= =SKeterangan: xS= jumlah datan = banyaknya data

xi = data ke-iUntuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalDari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan6.Tentukan rataan dari data tersebut.Penyelesaianx = 37 6 536 98 7 6 6010 10+++++++++ = = 6,0Jadi, rataannya adalah 6,0.2) Rataan dari data distribusi frekuensi

Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskansebagai berikut.C Menghitung Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak, danUkuran Penyebaran Data

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 47/394

 

21Statistikax = 11 2 2 3 31 2.......nn

nfx f x f x f xf f f+ + + ++ + + atau 11niiinii

fxxf===SSKeterangan: fi = frekuensi untuk nilai xixi = data ke-iUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalBerdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa

mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai6,tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-ratanilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.PenyelesaianTabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.5151i i

iiifxxf==·=SS= 242

40 = 6,05Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.3) Mean data bergolong

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 48/394

 

Rata-rata untuk data bergolong pada hakikatnya sama dengan menghitung rataratadata pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelassebagai xi. Perhatikan contoh soal berikut ini.Nilai (xi) Frekuensi (fi) fi ·xi456

785715762035904948

51iif=S= 4051i iifx=·S= 242

Statistikax = 11 2 2 3 31 2.......nnnfx f x f x f xf f f+ + + ++ + + atau 11

niiiniifxxf===S

SKeterangan: fi = frekuensi untuk nilai xixi = data ke-i

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 49/394

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalBerdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswamendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai6,tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata

nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.PenyelesaianTabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.5151i iiiifx

xf==·=SS= 24240 = 6,05Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.3) Mean data bergolongRata-rata untuk data bergolong pada hakikatnya sama dengan menghitung ratarata

data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelassebagai xi. Perhatikan contoh soal berikut ini.Nilai (xi) Frekuensi (fi) fi ·xi4567857157

6203590494851iif=S= 405

1i ii

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 50/394

 

fx=·S= 242

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 51/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 22Contoh soalTentukan rataan dari data berikut ini.PenyelesaianRataan =51

51i iiiifxf==·SS

=1.02020 = 51Jadi, rataannya adalah 51.Selain dengan cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rataan yaitu denganmenentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.a. Menentukan rataan sementaranya.b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.d. Menghitung rataan sesungguhnya.11n

i iis niifdx xf==·= +

SSKeterangan: sx = rata-rata sementara1ni iifd=·S = jumlah frekuensi × simpanganBerat Badan(kg)Titik Tengah

(xi) fi fi ·xi40 4445 49

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 52/394

 

50 5455 5960 6442475257

6216102142282520114625

1iif=S= 2051i iifx=·S = 1.020

Berat Badan (kg) Frekuensi40 4445 4950 5455 5960 641610215

151i iiiifxf==·SS

=1.02020 = 51

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 53/394

 

Jadi, rataannya adalah 51.Selain dengan cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rataan yaitu denganmenentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.a. Menentukan rataan sementaranya.b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.d. Menghitung rataan sesungguhnya.

11ni iis niifdx xf=

=·= +SSKeterangan: sx = rata-rata sementara1ni iifd=·S = jumlah frekuensi × simpangan

Berat Badan(kg)Titik Tengah(xi) fi fi ·xi40 4445 4950 5455 5960 64424752

576216102142282520114625

1ii

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 54/394

 

f=S= 2051i ii

fx=·S = 1.020Berat Badan (kg) Frekuensi40 4445 4950 5455 5960 641610

21

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 55/394

 

23StatistikaBerat Badan Frekuensi54 5657 5960 6263 65

Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal1. Carilah rataan dari data berikut dengan menggunakan rataan sementara.PenyelesaianDiambil rata-rata sementara 6.Simpangan rataan =5151i ii

iifdf==·SS= 330 = 0,1Rataan = rataan sementara + simpangan rataan= 6 + 0,1 = 6,12. Dari penimbangan berat badan 40 siswa kelas XI IPA digambarkan data bergolong

 seperti pada data di bawah ini. Tentukan rataan dari data tersebut denganmenggunakan rataan sementara.66 6869 7172 7475 77125912

821Data fi di fi · di4567837104

621

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 56/394

 

0126704

1251iif=S= 3051i iifd

=·S= 3Data f45678371046

StatistikaBerat Badan Frekuensi54 5657 5960 6263 65Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal1. Carilah rataan dari data berikut dengan menggunakan rataan sementara.PenyelesaianDiambil rata-rata sementara 6.Simpangan rataan =

5151i iiiifdf==·S

S= 330 = 0,1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 57/394

 

Rataan = rataan sementara + simpangan rataan= 6 + 0,1 = 6,12. Dari penimbangan berat badan 40 siswa kelas XI IPA digambarkan data bergolong seperti pada data di bawah ini. Tentukan rataan dari data tersebut denganmenggunakan rataan sementara.66 68

69 7172 7475 77125912821Data fi di fi · di

45678371046210

1267041251iif

=S= 3051i iifd=·S= 3Data f4567

837

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 58/394

 

1046

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 59/394

 

(xi) (fi) d = xi xs (xi) (fi) d = xi xsPenyelesaian

Dari tabel distribusi frekuensi bergolong, misalnya diambil rataan sementara( xs) = 67, maka dapat dibuat tabel yang lebih lengkap seperti berikut ini.

Titik Tengah

Frekuensi

Simpangan

Berat Badan

fi ·di

54 56

57 5960 6263 6566 6869 7172 7475 77555861646770

7376125912821129

6303691218302702412

981

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 60/394

 

iif=S= 4081i i

ifd=·S= 428

fd

.i· i

i= 1 .-42 .

x= xs+ 8 = 67 +. .= 67 - 1,05 = 65,95

.f . 40 .

ii= 1

Berdasarkan hasil tersebut, ternyata diperoleh nilai rataannya yaitu 65,95.

1.3

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Diketahui data: 5, 7, 9, 6, 4, 3, 2, 1.Hitunglah rataan hitungnya.2.Hitunglah rataan hitung data di bawah ini.Data 3 4 5 6 7 8 9Frekuensi 4 5 7 8 12 3 1

3.Nilai matematika dari dua puluh siswa di kelas XI IPA adalah sebagai berikut:65 75 66 80 73 75 68 67 75 7770 71 60 55 65 63 60 70 70 66Tentukan rataan hitung (mean) dari data tersebut.

24Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 61/394

 

25Statistika4. Tentukan mean dari data berikut:5. Dari pengukuran berat badan terhadap50 siswa kelas XI IPA digambarkanseperti tabel di samping ini.Tentukan rataan dengan menggunakan

rataan sementara 57.6. Diketahui suatu data yang digambarkan pada histogram sebagai berikut.Berdasarkan histogram di atas, tentukan rataannya.Tinggi Badan (cm) f150 154155 159160 164165 169170 1745610

72Berat (kg) Frekuensi50 5253 5556 5859 6162 644820108

510154228151051047 52 57 62 67Nilai

Frekuensib. Median1) Median untuk data tunggalMedian adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkanMe. Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengancara:a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus: Untuk n ganjil: Me = 1 ( 1)2 nx+ Untuk n genap: Me =12 2

2n nx x ++Keterangan:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 62/394

 

2nx = data pada urutan ke-2n setelah diurutkan.Statistika4. Tentukan mean dari data berikut:5. Dari pengukuran berat badan terhadap50 siswa kelas XI IPA digambarkan

seperti tabel di samping ini.Tentukan rataan dengan menggunakanrataan sementara 57.6. Diketahui suatu data yang digambarkan pada histogram sebagai berikut.Berdasarkan histogram di atas, tentukan rataannya.Tinggi Badan (cm) f150 154155 159160 164165 169170 1745

61072Berat (kg) Frekuensi50 5253 5556 5859 6162 644820

1085101542281510510

47 52 57 62 67NilaiFrekuensib. Median1) Median untuk data tunggalMedian adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkanMe. Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengancara:a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus: Untuk n ganjil: Me = 1 ( 1)2 nx+

Untuk n genap: Me =12 22

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 63/394

 

n nx x ++Keterangan:2nx = data pada urutan ke-2n setelah diurutkan.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 64/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 26Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh soalDari data di bawah ini, tentukan mediannya.1. 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 82.

Penyelesaian1. Data diurutkan menjadi:2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.MeJadi, mediannya adalah 6.2. Banyaknya data n = 50 (genap), digunakan rumus:Me =50 50 1 25 262 2 662 2 2x x x x+ + + + = = = 62) Median untuk data bergolong

Jika data yang tersedia merupakan data bergolong, artinya data itudikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untukmengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.Me = b2 + c12 NFf. .-. .. .. .Keterangan: b2 = tepi bawah kelas medianc = lebar kelasN = banyaknya data

F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas medianf = frekuensi kelas medianUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan median dari data tes Matematikaterhadap 40 siswa kelas XI IPA yang digambarkanpada tabel distribusi frekuensi disamping.Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9Frekuensi 3 5 6 8 12 6 7 3Nilai Frekuensi40 49

50 5960 6970 7980 8990 9945141043Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh soal

Dari data di bawah ini, tentukan mediannya.1. 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 82.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 65/394

 

Penyelesaian1. Data diurutkan menjadi:2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.MeJadi, mediannya adalah 6.2. Banyaknya data n = 50 (genap), digunakan rumus:

Me =50 50 1 25 262 2 662 2 2x x x x+ + + + = = = 62) Median untuk data bergolongJika data yang tersedia merupakan data bergolong, artinya data itudikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untukmengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.Me = b2 + c12 NFf

. .-. .

. .. .Keterangan: b2 = tepi bawah kelas medianc = lebar kelasN = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas medianf = frekuensi kelas medianUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan median dari data tes Matematikaterhadap 40 siswa kelas XI IPA yang digambarkanpada tabel distribusi frekuensi di

samping.Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9Frekuensi 3 5 6 8 12 6 7 3Nilai Frekuensi40 4950 5960 6970 7980 8990 9945

141043

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 66/394

 

27StatistikaPenyelesaianBanyaknya data ada 40 sehingga letakmediannya pada frekuensi 1 402 · = 20.b2 = 59 602

+ = 59,5c = 10f = 14N = 40F = 9Maka Me = b2 + c12 NFf. .-. .. .. .

=59,5 + 1012 40 914. .· -. .. .. .= 59,5 + 1020 914-. .. .. .= 59,5 + 7,86= 67,36

Nilai f F kumulatif40 4950 5960 6970 7980 8990 994514104

349233337401.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.Tentukan median dari data berikut ini.1. Data: 5, 5, 6, 4, 3, 7, 8, 9, 10, 6, 4, 3, 6, 82.3.Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 12 14 6 5 1Skor Frekuensi52

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 67/394

 

56606468727680

361020402092StatistikaPenyelesaianBanyaknya data ada 40 sehingga letakmediannya pada frekuensi 1 402 · = 20.

b2 = 59 602+ = 59,5c = 10f = 14N = 40F = 9Maka Me = b2 + c12 NFf. .-. .

. .. .=59,5 + 1012 40 914. .· -. .. .. .= 59,5 + 1020 914-. .. .. .

= 59,5 + 7,86= 67,36Nilai f F kumulatif40 4950 5960 6970 7980 8990 99451410

434

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 68/394

 

9233337401.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.Tentukan median dari data berikut ini.

1. Data: 5, 5, 6, 4, 3, 7, 8, 9, 10, 6, 4, 3, 6, 82.3.Nilai 5 6 7 8 9 10Frekuensi 2 12 14 6 5 1Skor Frekuensi525660646872

7680361020402092

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 69/394

 

4.5.Tinggi Badan(Kelas) Frekuensi141 145146 150

151 155156 160161 165166 1703551872Data(Berat Badan) Frekuensi

45 4748 5051 5354 5657 5960 6263 6526815107

24.5.Tinggi Badan(Kelas) Frekuensi141 145146 150151 155156 160161 165166 1703

551872Data(Berat Badan) Frekuensi45 4748 5051 5354 5657 5960 62

63 6526

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 70/394

 

8151072c. ModusModus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi

tertinggi.Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki duamodus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebutmultimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1) Modus data tunggal

Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensitertinggi. Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Tentukan modus dari data di bawah ini.

a. 2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10b.Nilai Frekuensi4 55 106 147 68 5

28Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 71/394

 

29StatistikaPenyelesaiana. 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.b. Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6.

Jadi, modusnya adalah 6.2) Modus data bergolongModus data bergolong dirumuskan sebagai berikut:Mo = b0 + l 11 2dd d. .. .+. .Keterangan: b0 = tepi bawah kelas medianl = lebar kelas (lebar kelas)d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyaUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan modus dari tabel di bawah ini.PenyelesaianFrekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 69, dan tepi bawah frekuensi modus(b) = 64,5d1 = 18 6 = 12d2 = 18 9 = 9l = 69,5 64,5 = 5Mo = b0 + 11 2d ld d

. .

. .+. .= 64,5 +1212 9. .. .+. . 5 = 64,5 + 1221 · 5= 64,5 + 2,86 = 67,36Nilai Frekuensi50 5455 5960 64

65 6970 7475 7980 84246189156StatistikaPenyelesaian

a. 1, 1, 1, 2, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.b. Berdasarkan data pada tabel, nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 6

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 72/394

 

.Jadi, modusnya adalah 6.2) Modus data bergolongModus data bergolong dirumuskan sebagai berikut:Mo = b0 + l 11 2d

d d. .. .+. .Keterangan: b0 = tepi bawah kelas medianl = lebar kelas (lebar kelas)d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyaUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan modus dari tabel di bawah ini.PenyelesaianFrekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65 69, dan tepi bawah frekuensi modus

(b) = 64,5d1 = 18 6 = 12d2 = 18 9 = 9l = 69,5 64,5 = 5Mo = b0 + 11 2d ld d. .. .+. .= 64,5 +1212 9. .. .+. . 5 = 64,5 + 12

21 · 5= 64,5 + 2,86 = 67,36Nilai Frekuensi50 5455 5960 6465 6970 7475 7980 8424

6189156

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 73/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 301.5Kerjakan soal-soal di bawah inidengan benar.1. Tentukan modus dari data di bawah ini.a. 2, 4, 3, 6, 7, 8, 2, 6, 7, 5, 2, 1, 5b. 8, 9, 5, 6, 8, 2, 1, 3, 4, 52. Hasil pengukuran daun anthurium diperoleh data sebagai berikut.

Tentukan modusnya.3. Dalam mengerjakan soal Matematika yangsukar terhadap 25 siswa diperoleh waktudalam menit seperti terlihat pada tabel disamping. Tentukan modusnya.4. Tentukan modus dari data tinggi badan 40 anak yang disajikan pada tabel dibawah ini.Ukuran (cm) 3,1 3,4 4,2 4,9 5,1 5,5 6,5Frekuensi 4 6 12 15 7 3 2Nilai Frekuensi25

81114261043Tinggi (cm) Frekuensi119 127128 136137 145146 154

155 163164 172173 1813610115322. Ukuran LetakSelain ukuran memusat, ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak

meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).a. Kuartil (Q)Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telahdiurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagidata yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.Ukuran (cm) 3,1 3,4 4,2 4,9 5,1 5,5 6,5Frekuensi 4 6 12 15 7 3 2Nilai Frekuensi2581114

2610

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 74/394

 

43Tinggi (cm) Frekuensi119 127128 136137 145146 154

155 163164 172173 1813610115322. Ukuran LetakSelain ukuran memusat, ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak

meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).a. Kuartil (Q)Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telahdiurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagidata yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 75/394

 

1 11

bagian 4bagian

bagian bagian

1

4 44

xmin Q1 Q2 Q3 xmaks

Keterangan:xmin = data terkecilxmaks = data terbesarQ1 = kuartil ke-1Q2 = kuartil ke-2

Q3 = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal

Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik limaserangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika datayang disajikan lebih banyak.

Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.

Letak Qi =( 1)

4in +Keterangan: Qi = kuartil ke-in = banyak data

Contoh soal

1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.Penyelesaian

Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.

+1) 15Letak Q1 adalah: 1(14 ==3 3 sehingga:

4 44Q1= x3 + 34(x4 x3)

= 4 + 43 (4 4) = 4

2(14 +1) 15

Letak Q2 adalah: ==7 1 sehingga:

4 22

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 76/394

 

Q2= x7 + 12(x7 x6)

= 7 + 12 (7 7) = 7

Statistika31

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 77/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 32Letak Q3 adalah:41114454

)114(3== + sehingga:Q3 = x11 + 41 (x12 x11) = 8 + 41 (9 8)= 8 41= 8,25Jadi Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 8,25.2. Dalam suatu tes terhadap 50 siswa didapat tabel frekuensi tunggal sebagaiberikut.Berdasarkan data di atas, tentukan kuartil ke-2.Penyelesaian

Banyaknya data 50.Letak Q2 = x25 + 12 (x25 x24) = 6 + 12 (6 6)= 6 + 1 02 ·= 6Jadi kuartil ke-2 adalah 6.2) Kuartil data bergolongMenentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal. Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.Qi = bi + l4 -i N F

f. .. .. .. .Keterangan: Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)bi = tepi bawah kelas kuartil ke-iN = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartill = lebar kelasf = frekuensi kelas kuartilUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 3 5 6 8 12 6 7 341114454)114(3== + sehingga:Q3 = x11 + 41 (x12 x11) = 8 + 41 (9 8)= 8 41= 8,25

Jadi Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 8,25.2. Dalam suatu tes terhadap 50 siswa didapat tabel frekuensi tunggal sebagaiberikut.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 78/394

 

Berdasarkan data di atas, tentukan kuartil ke-2.PenyelesaianBanyaknya data 50.Letak Q2 = x25 + 12 (x25 x24) = 6 + 12 (6 6)= 6 + 1 02 ·

= 6Jadi kuartil ke-2 adalah 6.2) Kuartil data bergolongMenentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal. Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.Qi = bi + l4 -i N Ff. .. .. .. .

Keterangan: Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)bi = tepi bawah kelas kuartil ke-iN = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartill = lebar kelasf = frekuensi kelas kuartilUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9Frekuensi 3 5 6 8 12 6 7 3

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 79/394

 

Contoh soal

Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3 (kuartil atas) dari data tesMatematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Nilai Frekuensi

40 49 450 59 560 69 1470 79 1080 89 490 99 3

Penyelesaian

Nilai Frekuensi F kumulatif40 4950 59

60 6970 7980 8990 99451410434923

333740Q1, Q2Q3Letak Q1 pada frekuensi = 1 · 40 = 10 di kelas 60 69.

4iN . 1 · 40 .

.

- F .

- 9

4 . 4 ..10 - 9 .

.

.

Q1 = b1 + l .

= 59,5 + 10

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 80/394

 

= 59,5 + 10 .

. f .. 14 .. 14 .

.. ..

..

1

= 59,5 +

= 59,5 + 0,07 = 59,5714Letak Q2 pada frekuensi = 1 · 40 = 20 di kelas 60 69.

2

iN . 2 ·10.

.

- F ..

- 9 .. 20 - 9 .Q = b + l .

. 22. f .. 14 . 14 .

44. = 59,5 + 10 .

. = 59,5 + 10

.. ..

..

= 59,5 + 7,86 = 67,36Letak Q3 pada frekuensi = 3 · 40 = 30 di kelas 70 79.

4

iN . 3· 40.

.

- 23

4 - F .. 4 .. 30 - 23 .

.

Q3 = b3 + l .f. = 69,5 + 10 .. = 69,5 + 10 .

.. 10 10

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 81/394

 

....

..

..

= 69,5 + 7 = 76,5

Statistika 33

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 82/394

 

3) Jangkauan interkuartil dan semi interkuartil

a)Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, dilambangkandengan J.

maksmin

xxJ =  

b)Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama:

c)

Qd = 21 (Q3 Q1)

d)

L = 23 (Q3 Q1) atau L = 23 Hb.H = Q3 Q1Jangkauan semi interkuartil (Qd) atau simpangan kuartil dirumuskan:Langkah (L) adalah satu setengah dari nilai jangkauan interkuartil:Desil dan Presentil Data Tunggal1) Desil untuk data tunggalJika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadiempat bagian yang sama, maka desil membagi data menjadi sepuluh bagian

yang sama besar.Sehingga letak dari Di (desil ke-i) diringkas.D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9min= desil ke-i

x

x

maks

Letak di urutan data ke +(1)10iinDKeterangan: Di

i = 1, 2, 3, . . ., 9

n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan:

1.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 83/394

 

desil ke-2,2.desil ke-4.34Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 84/394

 

Penyelesaian

Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

2(10+ 1)

22

Letak desil ke-2 diurutan data ke-== 2,2

1010

D2 terletak pada urutan ke-2,2 sehingga: D2 = x2 + 0,2 (x3 x2).Jadi D2 = 5 + 0,2 (5 5) = 5 + 0 = 5,0.

4(10+ 1)44

Letak desil ke-4 di urutan data ke-== 4,4.

1010

D4 terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D4 = x4 + 0,4 (x5 x4).Jadi D4 = 6 + 0,4 (7 6) = 6 + 0,4 = 6,4.

2) Persentil untuk data tunggal

Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil.Letak persentil dirumuskan dengan:

Letak di urutan data ke +(1)

100iinPKeterangan: Pi = persentil ke-ii = 1, 2, 3, . . ., 99n = banyaknya data

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.

Penyelesaian

Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 85/394

 

3(10 +1) 330

Letak persentil ke-30 di urutan data ke-= = 3,3.

100 100

P = x + 0,3 (x x) = 5 + 0,3 (6 5) = 5,3

30343

Jadi, P30 = 5,3.

75(10 +1)

Letak persentil ke-75 di urutan data ke

= 8,25.

100

P = x + 0,25 (x x) = 9 + 0,25 (10 9) = 9,25

75898

Jadi, P75 = 9,25.

Statistika 35

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 86/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 36c. Desil dan Persentil untuk Data BergolongNilai desil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.Di = b + l 10in Ff

·. .-. .. .. .x f41 4546 5051 5556 6061 653616

87x f F kumulatif41 4546 5051 5556 6061 65361687

39253340Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut persentil. Letak dari persentil dapat dirumuskan dengan: P1 =( 1)100in +. Sedangkan nilai

persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.Pi = b + l 100in Ff·. .-. .. .. .Keterangan:D = desil ke-in = banyak dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelumkelas desilf = frekuensi kelas desil

b = tepi bawah kelasl = lebar kelasKeterangan:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 87/394

 

Pi = persentil ke-ib = tepi bawahn = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelumkelas persentilf = frekuensi kelas persentill = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui data pada tabel bergolong di samping.Dari data tersebut tentukan:a. desil ke-1b. desil ke-9c. persentil ke-25d. persentil ke-60Penyelesaian10in Ff

·. .-. .. .. .x f41 4546 5051 5556 6061 6536168

7x f F kumulatif41 4546 5051 5556 6061 65361687

39253340Bila data dibagi menjadi 100 bagian yang sama maka ukuran itu disebut persentil. Letak dari persentil dapat dirumuskan dengan: P1 =( 1)100in +. Sedangkan nilaipersentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Pi = b + l 100in Ff

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 88/394

 

·. .-. .. .. .Keterangan:D = desil ke-in = banyak dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelum

kelas desilf = frekuensi kelas desilb = tepi bawah kelasl = lebar kelasKeterangan:Pi = persentil ke-ib = tepi bawahn = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelumkelas persentilf = frekuensi kelas persentill = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui data pada tabel bergolong di samping.Dari data tersebut tentukan:a. desil ke-1b. desil ke-9c. persentil ke-25d. persentil ke-60Penyelesaian

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 89/394

 

a. Letak D1 = 4 yaitu pada data ke-4 dan kelas D1 = 46 50 sehingga diperoleh:. 1 40 ·.

-

- 3 .(43)· 5

. 10

D1 = 45,5 + 5 = 45,5 +

.

.

6 6

..

..

= 45,5 + 0,83

= 46,33

9 40

·

b. Letak D == 36 yaitu data ke-36 dan kelas D = 61 65 sehingga diperoleh:

910 9

9 · 40

..

- 33

.

10 . (36 - 33) · 5

D5 = 60,5 + .

. 5 = 60,5 +

77

..

..

= 60,5 + 2,13

= 62,63

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 90/394

 

25

c. Letak P25 = · 40= 10 yaitu pada data ke-10 dan kelas P25 = 51 55 sehingga100

diperoleh:

25· 40

..

- 9 ..10 - 9 .

100

. 5

P25 = 50,5 + .

.. 5 = 50,5 + .

16 . 16 .

..

..

= 50,5 + 0,31

= 50,81

d. Letak P60 = 16000· 40= 24, yaitu pada data ke-24 dan kelas P60 = 56 60 sehinggadiperoleh:

60· 40

..

- 25

.

.

100

P= 55,5 + .

60 . 5

8

..

..

. 24 - 25 .

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 91/394

 

. 5

= 55,5 + .

. 8 .

= 55,5 0,625

= 54,825

Statistika 37

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 92/394

 

1.6Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut:a. 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8b. 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 22. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut:Nilai Frekuensi

34567895610159

623. Diketahui data sebagai berikut.10 12 15 33 38 40 42 43 43 46 48 48 48 50 5253 54 56 57 58 58 59 60 62 64 65 68 84 89 96Tentukan:a. Q1, Q2, dan Q3;b. jangkauan inter kuartil (H);c. jangkauan semi inter kuartil (Qd);d. langkah (L).4. Diketahui data seperti pada tabel di samping.Tentukan Q1, Q2, dan Q3.5. Dalam pengukuran berat badan terhadap

80 siswa kelas XI IPA seperti digambarkantabel di samping.Tentukan kuartil bawah (Q1), median (Q2),dan kuartil atas (Q3).Data f41 4546 5051 5556 6061 6566 703

6101254Berat Badan(kg) f35 3940 4445 4950 5455 5960 64

65 69311

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 93/394

 

162515911.6Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut:

a. 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8b. 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 22. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut:Nilai Frekuensi34567895

610159623. Diketahui data sebagai berikut.10 12 15 33 38 40 42 43 43 46 48 48 48 50 5253 54 56 57 58 58 59 60 62 64 65 68 84 89 96Tentukan:a. Q1, Q2, dan Q3;b. jangkauan inter kuartil (H);c. jangkauan semi inter kuartil (Qd);

d. langkah (L).4. Diketahui data seperti pada tabel di samping.Tentukan Q1, Q2, dan Q3.5. Dalam pengukuran berat badan terhadap80 siswa kelas XI IPA seperti digambarkantabel di samping.Tentukan kuartil bawah (Q1), median (Q2),dan kuartil atas (Q3).Data f41 4546 5051 55

56 6061 6566 7036101254Berat Badan(kg) f35 3940 44

45 4950 5455 59

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 94/394

 

60 6465 69311162515

9138Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 95/394

 

39Statistika6. Dari data: 14, 12, 8, 6, 15, 10, 2, 9, 4, 3, tentukan:a. desil ke-2, c. persentil ke-30,b. desil ke-4, d. persentil ke-75,7.Berdasarkan data yang disajikan pada tabel di atas, tentukanlah:

a. desil ke-5, c. persentil ke-34,b. desil ke-8, d. persentil ke-79.Berat Badan (kg) Frekuensi41 4546 5051 5556 6061 6536168

73. Ukuran PenyebaranUkuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yangmemberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yangada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar datamenyebar dari titik-titik pemusatan.Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), simpangan rata-rata (deviasi ratarata)dan simpangan baku (deviasi standar).a. Jangkauan (Range)Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) ataurentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.1) Range data tunggal

Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:R = xmaks xminPelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan range dari data-data di bawah ini.6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20PenyelesaianDari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3Jadi, R = xmaks xmin= 20 3 = 17Statistika6. Dari data: 14, 12, 8, 6, 15, 10, 2, 9, 4, 3, tentukan:

a. desil ke-2, c. persentil ke-30,b. desil ke-4, d. persentil ke-75,7.Berdasarkan data yang disajikan pada tabel di atas, tentukanlah:a. desil ke-5, c. persentil ke-34,b. desil ke-8, d. persentil ke-79.Berat Badan (kg) Frekuensi41 4546 5051 5556 6061 653

6168

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 96/394

 

73. Ukuran PenyebaranUkuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yangmemberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yangada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar datamenyebar dari titik-titik pemusatan.Ukuran penyebaran meliputi jangkauan (range), simpangan rata-rata (deviasi ratar

ata)dan simpangan baku (deviasi standar).a. Jangkauan (Range)Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) ataurentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.1) Range data tunggalUntuk range data tunggal dirumuskan dengan:R = xmaks xminPelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan range dari data-data di bawah ini.6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

PenyelesaianDari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3Jadi, R = xmaks xmin= 20 3 = 17

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 97/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 402) Range data bergolongUntuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggidan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.Contoh soalTentukan range dari tabel berikut ini.Penyelesaian

Nilai tengah kelas terendah = 352+ = 4Nilai tengah kelas tertinggi = 18 202+ = 19Jadi, R = 19 4 = 15.b. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengannilai rataan hitung.1) Simpangan rata-rata data tunggal

Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.SR =11 niix x n =-SNilai Frekuensi3 56 89 1112 14

15 1718 2036168710Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.Penyelesaian

x = 7 6 8 7 6 10 5 497 7+++++ + = = 7SR = 71 {7 7 + 6 7 + 8 7 + 7 7 + 6 7 + 10 7 + 5 7}= 71 { 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 3 + 2 }Keterangan:SR = simpangan rata-ratan = ukuran dataxi = data ke-i dari data x1, x2, x3, , x nx = rataan hitung2) Range data bergolong

Untuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggidan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.Contoh soal

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 98/394

 

Tentukan range dari tabel berikut ini.PenyelesaianNilai tengah kelas terendah = 352+ = 4Nilai tengah kelas tertinggi = 18 202

+ = 19Jadi, R = 19 4 = 15.b. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengannilai rataan hitung.1) Simpangan rata-rata data tunggalSimpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.SR =11 ni

ix x n =-SNilai Frekuensi3 56 89 1112 1415 1718 203616

8710Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.Penyelesaianx = 7 6 8 7 6 10 5 497 7+++++ + = = 7SR = 71 {7 7 + 6 7 + 8 7 + 7 7 + 6 7 + 10 7 + 5 7}

= 71 { 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 3 + 2 }Keterangan:SR = simpangan rata-ratan = ukuran dataxi = data ke-i dari data x1, x2, x3, , x nx = rataan hitung

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 99/394

 

41Statistika= 71 (0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 3 + 2)= 78 = 1 71

2) Simpangan rata-rata data bergolongSimpangan rata-rata data bergolong dirumuskan:SR= 11ni iiniifx xf

==-SSPelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan simpangan rata-rata pada tabel berikut ini.Penyelesaian61616.300

40i iiiifxxf==·= =

SS= 157,5Jadi, SR=6161i iiiifx x

f==

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 100/394

 

-SS= 26040 = 5,15.Nilai fi xi fi ·xi xi x fixi x141 145146 150

151 155156 160161 165166 17024812104143148

1531581631682865921.2241.8961.63067214,59,54,5

0,55,510,529383665542Jumlah 40 6.300 260Nilai Frekuensi141 145

146 150151 155156 160161 165166 17024812104Statistika= 7

1 (0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 3 + 2)= 78 = 1 7

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 101/394

 

12) Simpangan rata-rata data bergolongSimpangan rata-rata data bergolong dirumuskan:SR= 11ni i

iniifx xf==-SSPelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soal

Tentukan simpangan rata-rata pada tabel berikut ini.Penyelesaian61616.30040i iiiifx

xf==·= =SS= 157,5Jadi, SR=61

61i iiiifx xf==-SS= 260

40 = 5,15.Nilai fi xi fi ·xi xi x fixi x141 145

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 102/394

 

146 150151 155156 160161 165166 17024

812104143148153158163168286592

1.2241.8961.63067214,59,54,50,55,510,5293836

65542Jumlah 40 6.300 260Nilai Frekuensi141 145146 150151 155156 160161 165166 1702

4812104

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 103/394

 

c. Simpangan Baku (Deviasi Standar)Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya.Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkanoleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi.

Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia.

Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dariberbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskanpenyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atausimpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalahakar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

1) Simpangan baku data tunggal

Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

s =221 1( 1)n nii ixnnx= =. .

- . .. .-S Suntuk n < 30 atau merupakan data sampels =21( )1ni

ix xn=--Suntuk n > 30 atau merupakan data populasin

Catatan: n = S fi

i =1

Rumus tersebut dapat pula diubah ke bentuk berikut ini.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 104/394

 

s =221 1( 1)n nii

i in xnnx= =. .- . .. .-S Suntuk n < 30 atau merupakan data sampels =

221 12n niii in xnx= =. .- . .. .

S Suntuk n > 30 atau merupakan data populasiUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Dari 40 siswa kelas XI IPA diperoleh nilai yang mewakili adalah 7, 9, 6, 3, dan5.Tentukan simpangan baku dari data tersebut.

42Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 105/394

 

43StatistikaPenyelesaian796 3 5 305 5x ++++ = = = 6s=5

21( )1iix xn=--S

= 20 551=- = 2,24Atau dengan menggunakan rumus berikut ini.s =25 521 1( 1)iii in xnnx

= =. .-. .. .-S S=5 (200) 9005(5 1)· --= 1.000 900

54-·= 10020= 5= 2,24Jadi ragam = 5 dan simpangan baku = 2,24.2) Simpangan baku data bergolongSimpangan baku data bergolong dirumuskan berikut ini.s=( )21

1ni i

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 106/394

 

ifx xn=--S

untuk n < 30 atau merupakan data sampels=21( )ni iifx xn=-S

untuk n> 30 atau merupakan data populasiNilai (x) xi x (x x)2 x235679-3-10139

101992536498130 20 200StatistikaPenyelesaian

796 3 5 305 5x ++++ = = = 6s=521( )1iix xn=

--S

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 107/394

 

= 20 551=- = 2,24Atau dengan menggunakan rumus berikut ini.s =25 521 1

( 1)iii in xnnx= =. .-. .. .-S S

=5 (200) 9005(5 1)· --= 1.000 90054-·= 10020= 5= 2,24

Jadi ragam = 5 dan simpangan baku = 2,24.2) Simpangan baku data bergolongSimpangan baku data bergolong dirumuskan berikut ini.s=( )211ni iifx xn

=--Suntuk n < 30 atau merupakan data sampels=21( )ni iifx x

n=-S

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 108/394

 

untuk n> 30 atau merupakan data populasiNilai (x) xi x (x x)2 x235679

-3-101391019925

36498130 20 200

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 109/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 44Rumus di atas dapat pula diubah kebentuk berikut ini.s=221 1

( 1)n ni i i ii in fx fxnn= =. .- . .. .-S S

untuk n < 30 atau merupakan data sampels=221 12n ni i i ii in fx fxn= =. .

- . .. .S Suntuk n> 30 atau merupakan data sampelUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalHasil tes Matematika 30 siswa kelas XI IPA sepertiditunjukkan pada tabel di samping.Berdasarkan data tersebut, tentukan simpanganbakunya.Penyelesaian5

1 49030i iifxx n=·= =S= 16,33s =5

21( )

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 110/394

 

836,7 27,89 30i i iifx xn=-

= =S= 5,28Nilai FrekuensiNilai fiTitik Tengah(xi) fi xi xi x (xi x)2 fi (xi -x)2 fi. x25 910 1415 1920 2425 29

3811627121722272196187

13254-9,33-4,330,675,6710,6787,0518,750,4532,15113,85

261,151504,95192,9227,71471.1523.1792.9041.458Jumlah 30 490 836,7 8.8405 910 14

15 1920 2425 29

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 111/394

 

38116222

1 1( 1)n ni i i ii in fx fxnn= =. .- . .. .-

S Suntuk n < 30 atau merupakan data sampels=221 12n ni i i ii in fx fxn= =

. .- . .. .S Suntuk n> 30 atau merupakan data sampelUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalHasil tes Matematika 30 siswa kelas XI IPA sepertiditunjukkan pada tabel di samping.Berdasarkan data tersebut, tentukan simpanganbakunya.Penyelesaian

51 49030i iifxx n=·= =S= 16,33s =

521

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 112/394

 

( )836,7 27,89 30i i iifx xn=

-= =S= 5,28Nilai FrekuensiNilai fiTitik Tengah(xi) fi xi xi x (xi x)2 fi (xi -x)2 fi. x25 910 1415 1920 24

25 293811627121722272196

18713254-9,33-4,330,675,6710,6787,0518,750,4532,15

113,85261,151504,95192,9227,71471.1523.1792.9041.458Jumlah 30 490 836,7 8.8405 9

10 1415 1920 24

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 113/394

 

25 29381162

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 114/394

 

45StatistikaAtau dapat digunakan rumus ke-2 sebagai berikut:s =25 521 1

2()i i ii in fx f xn= =. .- ·. .. .S S=2

230 8 840 (490)30· · -= 265.200 240.100900-= 25.100 27,88 900== 5,28d. Ragam atau VariansiJika simpangan baku atau deviasi standar dilambangkan dengan s, maka ragamatau variansi dilambangkan dengan s2.

I.Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut.Tentukan ragam dari data :a. 6, 3, 2, 11, 8b. Nilai Frekuensi40 4849 5758 6667 7576 8485 934

12108421.7Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:a. 6, 8, 11, 3, 2b. 2, 4, 6, 2, 1StatistikaAtau dapat digunakan rumus ke-2 sebagai berikut:s =25 5

21 12

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 115/394

 

()i i ii in fx f xn= =. .- ·. .

. .S S=2230 8 840 (490)30· · -= 265.200 240.100900-= 25.100 27,88 900

== 5,28d. Ragam atau VariansiJika simpangan baku atau deviasi standar dilambangkan dengan s, maka ragamatau variansi dilambangkan dengan s2.I.Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut.Tentukan ragam dari data :a. 6, 3, 2, 11, 8b. Nilai Frekuensi40 4849 5758 66

67 7576 8485 93412108421.7Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:a. 6, 8, 11, 3, 2

b. 2, 4, 6, 2, 1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 116/394

 

2. Tentukan simpangan baku dari data:a. 3, 11, 2, 8, 6b. 4, 6, 5, 7, 33. Data umur dari 30 orang disajikan padatabel di samping.Tentukan:

a. deviasi standar,b. variansi.4. Data berat badan 30 siswa disajikanpada tabel di samping.Tentukan:a. deviasi standar,b. variansi.Umur Frekuensi1 56 1011 1516 20

21 2527596Berat Badan(kg) Frekuensi21 2526 3031 3536 4041 45

46 502896321. Statistika adalah cabang dari Matematika terapan yang mempunyai cara-caramengumpulkan dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, sertamenyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan,menafsirkan parameter dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasilpengolahan data.

2. Diagram garisPenyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurusdisebut diagram garis lurus atau diagram garis.3. Diagram lingkaranDiagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambaryang berbentuk lingkaran.4. Diagram batangDiagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batangtegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.5. Diagram batang daunDiagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.

2. Tentukan simpangan baku dari data:a. 3, 11, 2, 8, 6b. 4, 6, 5, 7, 3

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 117/394

 

3. Data umur dari 30 orang disajikan padatabel di samping.Tentukan:a. deviasi standar,b. variansi.4. Data berat badan 30 siswa disajikanpada tabel di samping.

Tentukan:a. deviasi standar,b. variansi.Umur Frekuensi1 56 1011 1516 2021 25275

96Berat Badan(kg) Frekuensi21 2526 3031 3536 4041 4546 50289

6321. Statistika adalah cabang dari Matematika terapan yang mempunyai cara-caramengumpulkan dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, sertamenyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan,menafsirkan parameter dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasilpengolahan data.2. Diagram garisPenyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurusdisebut diagram garis lurus atau diagram garis.3. Diagram lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambaryang berbentuk lingkaran.4. Diagram batangDiagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batangtegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.5. Diagram batang daunDiagram ini terdiri dari dua bagian, yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.46Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 118/394

 

6.Diagram kotak garisData statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalahstatistik lima serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar), Q1, Q2, dan Q3.

7.Histogram adalah diagram batang yang batang-batangnya berimpit.Poligon frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik-titik tengah puncakpuncakhistogram.8. Ogive ada dua macam yaitu ogive naik dan ogive turun.9.RataannS xi

i =1

a. Data tunggal: x =n

n

fx

S i · ii=1

b.Data bergolong: x = n

S fini=1

S fd

i · ii = 1

c. Rataan dengan rataan sementara: x = xs +Sn

fi

i = 1

10. Median data bergolong. 12 NF .

-.

.

Me = b + l

.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 119/394

 

f .

..

11.Modus data bergolongModus adalah ukuran yang sering muncul.

.d .

Mo = b + l . 1 .

d + d

. 12 .

12. Kuartil data bergolong. iN - F .

4

.

.

Qi = b + l

.f .

..

13.Jangkauan kuartil: JQ = Q3 Q1Jangkauan semi interkuartil: Q= 1 (Q Q)d 231

14. Desil dan persentil(1)in +

Desil : D =

i10

in

·

..

- F. 10 .

Di = b + l . f ...

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 120/394

 

Statistika 47

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 121/394

 

( 1)in+

Persentil: P=

i 100

in

·

..

- F. 100 .

P= b+ l

i. f .

..

15. RangeR= x xmaksmin

16. Simpangan rata-rata (deviasi rata-rata)Untuk data tunggal: SR= ixx-1 Sn

n

i=1

n

Untuk data bergolong: SR= 1iii=fx x-SnS fi

i=1

17. Simpangan baku (deviasi standar)a. Untuk data tunggal2

nn

2 .. 2

S xi -.S x.S n

(xi - x)

i=1 . i=1 . i=1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 122/394

 

s=

atau s =

( -1) -

nn n 1untuk n< 30 untuk n> 30

nn

nn

222 ..2

nS xi - ..S xi.

.nS xi -.S xi.

i=1 . i=1 . i=1 i=1

..

s=

atau s=

( -1) 2

nn

nuntuk x< 30 untuk n> 30

b. Untuk data bergolongn ( -)2 nfx- x)2

fx x (

S ii Sii

i=1 i=1

s=

atau s =

n-1 nuntuk n< 30 untuk n> 30

22

nn nn

2 .. 2 ..

n fx fx i

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 123/394

 

S fx i i - .S ii. nS fx i i - .Si .

i=1 . i=1 . i=1 . i=1 .

s=

atau s=

( -1) 2

nn n

untuk x< 30 untuk n> 30

48Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 124/394

 

I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1.Dari jumlah lulusan suatu SMA yang diterima 100jumlah siswa diterimadi Perguruan Tinggi Negeri tahun 1996 80

2003 disajikan dalam diagram di samping. 60Menurut diagram garis di samping, prestasi 40yang paling buruk terjadi pada tahun .20

a.1996 1997 0b.1998 1999c.1999 2000

d.2000 2001e. 2002 20032.Dari 400 siswa diperoleh data tentang pekerjaan orang tua/wali. Data tersebut jikadisajikan dalam diagram lingkaran sebagai berikut. Berdasar data di bawah ini, pernyataan96979899'00

'01'02'03'04

Tahun

yang benar adalah .

a.jumlah PNS 12 orang

b. jumlah wiraswasta 90 orangc. jumlah pedagang 135 orangd.jumlah TNI/Polri 27 orange.jumlah TNI 15 orangWiraswasta90o135oPedagangPNS108o27o

TNI/Polri3. Jika rata-rata nilai ujian pada tabel di bawah ini sama dengan 6, maka a = .Nilai Ujian 3 4 8 9 a

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 125/394

 

Frekuensi 10 5 6 3 6

a. 9 61 d. 9 64b. 9 31 e. 9 6

54.c. 9 21Perhatikan diagram kotak garis di samping.Dari diagram kotak garis tersebut nilai jangkauandan jangkauan semi interkuartilberturut-turut adalah . 40Q1 = 5250Q2 = 6260

Q3 = 7370 80a. 41 dan 10 d. 47 dan 10b. 47 dan 11 e. 47 dan 10,5c. 23,5 dan 10,5

31 78Statistika 49

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 126/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 50Interval Frekuensi30 3940 4950 5960 6970 79

80 8990 99131121433295. Nilai rata-rata dari data yang ditunjukkanoleh grafik di samping ini adalah .a. 5,6

b. 6c. 6,6d. 7e. 7,66. Hasil tes Matematika terhadap 20 siswadigambarkan pada diagram batang daundi samping. Banyaknya siswa yangmemperoleh nilai < 5 adalah .a. 2b. 4c. 7d. 9e. 13

7. Median dari data pada tabel di sampingadalah .a. 11,83b. 12,83c. 13,83d. 12,17e. 14,358. Modus dari data yang disajikan pada tabeldistribusi frekuensi di samping adalah .a. 59,18b. 60,12c. 65,12

d. 68,12e. 68,189. Kuartil bawah dari data yang disajikan pada tabelfrekuensi di samping adalah .a. 66,9b. 66,6c. 66,2d. 66,1e. 66,0Batang Daun345

678

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 127/394

 

91, 23, 52, 7, 93, 44, 5, 8, 91, 3, 3, 6, 7

2, 6Interval Frekuensi50 5455 5960 6465 6970 7475 7980 844814

35279351525355 6 7 8 95252035

frekuensiNilaiInterval Frekuensi1 56 1011 1516 2021 25812158

7Interval Frekuensi30 3940 4950 5960 6970 7980 8990 99131121

43329

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 128/394

 

5. Nilai rata-rata dari data yang ditunjukkanoleh grafik di samping ini adalah .a. 5,6b. 6c. 6,6d. 7e. 7,6

6. Hasil tes Matematika terhadap 20 siswadigambarkan pada diagram batang daundi samping. Banyaknya siswa yangmemperoleh nilai < 5 adalah .a. 2b. 4c. 7d. 9e. 137. Median dari data pada tabel di sampingadalah .a. 11,83

b. 12,83c. 13,83d. 12,17e. 14,358. Modus dari data yang disajikan pada tabeldistribusi frekuensi di samping adalah .a. 59,18b. 60,12c. 65,12d. 68,12e. 68,189. Kuartil bawah dari data yang disajikan pada tabelfrekuensi di samping adalah .

a. 66,9b. 66,6c. 66,2d. 66,1e. 66,0Batang Daun345678

91, 23, 52, 7, 93, 44, 5, 8, 91, 3, 3, 6, 72, 6Interval Frekuensi50 5455 5960 6465 69

70 7475 7980 84

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 129/394

 

4814352793

51525355 6 7 8 95252035frekuensiNilaiInterval Frekuensi

1 56 1011 1516 2021 258121587

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 130/394

 

10. Rata-rata data pada tabel di samping jika dipilih rataratasementara 75,5 adalah .

Nilai Frekuensi51 60 861 70 16

71 80 2481 90 2091 100 12

a. 67,5b. 69,5c. 7,15d.76e.7711.

Data penimbangan berat badan terhadap 10 siswa dalam kg adalah : 50, 39, 36, 42,34,50, 47, 39, 44, 4. Nilai statistika lima serangkai dari data tersebut adalah .a. 34, 38, 41, 47, 50 d. 33, 38, 41, 47, 50b. 34, 39, 41, 48, 50 e. 33, 38, 42, 48, 50c. 34, 39, 42, 47, 5012. Diketahui data : 23, 22, 29, 32, 21, 24, 24, 23, 25, 30, 31, 26, 27, 27, 28,24, 25, 31, 26, 26,

27, 28, 30, 29, 28, 29, 28, 26, 27, 27. Jika dibuat interval kelas dengan tepi bawah 19,5dan lebar kelas 3, maka banyak interval adalah .a. 4d.7

b. 5e. 8c. 613. Nilai dari D3 dan D9 (D = desil) dari data di bawah ini berturut-turut adalah .40 424653586062 636366686868 707273 747677787879 808284858890 9296

a. 63,5 dan 88,9 d. 65,5 dan 89,5b. 63,9 dan 89,8 e. 66,4 dan 89c. 65,4 dan 8814. Modus dari data pada histogram di

samping adalah .a. 25,0b. 25,5c. 26,0d. 26,5e. 27,0

246810f13,5 18,5 23,5 28,5 33,5

15.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 131/394

 

Nilai Frekuensi40 48 449 57 1258 66 1067 75 876 84 485 93 2

Simpangan kuartil dari data di samping adalah .

a. 21b. 18c. 14d. 12e.9Statistika 51

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 132/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 52Berat Badan Frekuensi41 5051 6061 7071 8081 90

171062Pukul 06.00 08.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00Kendaraan 0 14 18 20 12 8 1616. Jangkauan dari data: 54, 59, 63, 71, 53, 63, 71, 75, 78, 80, 83 adalah .a. 30 d. 15b. 29 e. 10c. 2017. Persentil ke-75 dari data: 8, 6, 4, 3, 2, 9, 10, 15, 12, 14 adalah .

a. 11 d. 12,75b. 11,5 e. 13c. 12,518. Simpangan baku dari data: 7, 5, 6, 5, 7, 6, 8, 4, 8, 4, 6 adalah .a. 55112 d. 11552b. 55211 e. 1c. 2551119. Diketahui data x1 = 3,5; x2 = 5,0; x3 = 6,0; dan x4 = 7,5; x5 = 8,0 maka simpangan baku

dari kelima data tersebut (deviasi standar) adalah .a. 0 d. 1,64b. 0,94 e. 6c. 1,012. Diketahui data di samping ini.Simpangan baku dari tabel di samping adalah .a. 6 3 d. 91b. 7 2 e. 86c. 4 6II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Data banyak kendaraan yang parkir tiap dua jam dari pukul 06.00 sampai 18.00disajikan

dalam tabel sebagai berikut.a. Gambarlah data tersebut dalam diagram garis.b. Perkiraan banyak kendaraan yang parkir antara pukul 11.00 13.00.Berat Badan Frekuensi41 5051 6061 7071 8081 9017106

2Pukul 06.00 08.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00Kendaraan 0 14 18 20 12 8 16

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 133/394

 

16. Jangkauan dari data: 54, 59, 63, 71, 53, 63, 71, 75, 78, 80, 83 adalah .a. 30 d. 15b. 29 e. 10c. 2017. Persentil ke-75 dari data: 8, 6, 4, 3, 2, 9, 10, 15, 12, 14 adalah .a. 11 d. 12,75b. 11,5 e. 13

c. 12,518. Simpangan baku dari data: 7, 5, 6, 5, 7, 6, 8, 4, 8, 4, 6 adalah .a. 55112 d. 11552b. 55211 e. 1c. 2551119. Diketahui data x1 = 3,5; x2 = 5,0; x3 = 6,0; dan x4 = 7,5; x5 = 8,0 maka simpangan bakudari kelima data tersebut (deviasi standar) adalah .

a. 0 d. 1,64b. 0,94 e. 6c. 1,012. Diketahui data di samping ini.Simpangan baku dari tabel di samping adalah .a. 6 3 d. 91b. 7 2 e. 86c. 4 6II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Data banyak kendaraan yang parkir tiap dua jam dari pukul 06.00 sampai 18.00disajikandalam tabel sebagai berikut.a. Gambarlah data tersebut dalam diagram garis.

b. Perkiraan banyak kendaraan yang parkir antara pukul 11.00 13.00.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 134/394

 

53Statistika2. Nilai ujian suatu mata pelajaran adalah sebagai berikut.Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, tentukanbanyaknya siswa yang tidak lulus.3. Diketahui diagram batang daun hasil tes Matematika di kelas XI IPA sebagai be

rikut.a. Tentukan jumlah siswa yang ikut tes Matematika.b. Tentukan nilai terendah dalam tes Matematika.c. Tentukan nilai tertinggi yang dicapai dalam tes.4. Dari data di samping, tentukan rataannya denganmenggunakan rataan sementara.5. Dari data di samping, tentukan modusnya.6. Diketahui data seperti pada tabel di samping.Tentukan nilai:a. D4, D9b. P30, P70Nilai 5 6 7 8 9 10

Frek 3 5 4 6 1 1Batang Daun98754312, 7, 83, 4, 61, 3, 3, 74

2, 3, 5Nilai Frekuensi31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 1005817

20152015Data Frekuensi1 56 1011 1516 2021 2526 3045

10123

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 135/394

 

1Interval Frekuensi150 154155 159160 164165 169170 174

6256592100Statistika2. Nilai ujian suatu mata pelajaran adalah sebagai berikut.Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, tentukanbanyaknya siswa yang tidak lulus.3. Diketahui diagram batang daun hasil tes Matematika di kelas XI IPA sebagai berikut.

a. Tentukan jumlah siswa yang ikut tes Matematika.b. Tentukan nilai terendah dalam tes Matematika.c. Tentukan nilai tertinggi yang dicapai dalam tes.4. Dari data di samping, tentukan rataannya denganmenggunakan rataan sementara.5. Dari data di samping, tentukan modusnya.6. Diketahui data seperti pada tabel di samping.Tentukan nilai:a. D4, D9b. P30, P70Nilai 5 6 7 8 9 10Frek 3 5 4 6 1 1Batang Daun

98754312, 7, 83, 4, 61, 3, 3, 742, 3, 5

Nilai Frekuensi31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 10058172015

2015Data Frekuensi

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 136/394

 

1 56 1011 1516 2021 2526 304

5101231Interval Frekuensi150 154155 159160 164165 169170 1746

256592100

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 137/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 54Berat Badan Frekuensi40 4344 4748 5152 5758 61

Berat Badan Frekuensi43 4748 5253 5758 6263 67519645

916867. Tentukan median dari data yang disajikan pada tabel distribusi frekuensi di bawah ini.8.Dari diagram kotak garis di atas tentukan:a. jangkauan, danb. jangkauan semi interkuartil.9. Berat badan siswa kelas XI IPA disajikan pada tabel berikut.Tentukan:a. statistik lima serangkai,

b. hamparan.10. Tentukan simpangan baku dari data yang disajikan dalam tabel di bawah ini.40 50 60 70 8031 78Q3 = 73 Q1 = 52 Q2 = 62Interval f40 4950 5960 6970 7980 8990 99

1710624Berat Badan Frekuensi40 4344 4748 5152 5758 61Berat Badan Frekuensi

43 4748 5253 57

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 138/394

 

58 6263 6751964

5916867. Tentukan median dari data yang disajikan pada tabel distribusi frekuensi di bawah ini.8.Dari diagram kotak garis di atas tentukan:a. jangkauan, danb. jangkauan semi interkuartil.9. Berat badan siswa kelas XI IPA disajikan pada tabel berikut.

Tentukan:a. statistik lima serangkai,b. hamparan.10. Tentukan simpangan baku dari data yang disajikan dalam tabel di bawah ini.40 50 60 70 8031 78Q3 = 73 Q1 = 52 Q2 = 62Interval f40 4950 5960 6970 7980 89

90 991710624

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 139/394

 

2Peluang

Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam  Pemecahan MasalahRuang Sampel Suatu Percobaan  

Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya  

Pada era demokrasi saat ini untuk menduduki suatu jabatan tertentu selaludilakukan dengan pemilihan, bahkan untuk menjadi ketua karang taruna juga harusdilakukan dengan pemilihan. Andaikan ada 5 calon ketua karang taruna yaitu Amin, Banu, Cory, Dadang, dan Erni, berapakah peluang Banu untuk menjadi ketua karangtaruna?

Istilah peluang banyak digunakan dalam kejadian yang terjadi dalam kehidupansehari-hari. Pada bab ini, kamu akan mempelajari kaidah pencacahan dan sifatsifa

tpeluang dalam pemecahan masalah serta berbagai hal yang terkait dengannya.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 140/394

 

faktorial permutasi permutasi siklis kombinasi binomial peluang kejadian

frekuensi harapan komplemen suatu kejadianMenggunakan aturan perkalianpermutasi dan kombinasiMenentukan ruangsampel suatu percobaanMenentukan peluang suatukejadian dan penafsiranKisaran nilaipeluangDefinisipeluang suatu

kejadianFrekuensiharapanPeluangkomplemensuatu kejadianPeluang duakejadian salingasingPeluang duakejadian salingbebasPeluang

kejadianbersyaratAturan perkalian KombinasiPermutasiAturanpengisiantempatNotasifaktorialPermutasisiklisNotasipermutasi

Permutasi jikaada unsuryang samaNotasikombinasiPeluangBinomialNewton faktorial permutasi permutasi siklis kombinasi binomial

peluang kejadian frekuensi harapan komplemen suatu kejadian

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 141/394

 

Menggunakan aturan perkalianpermutasi dan kombinasiMenentukan ruangsampel suatu percobaanMenentukan peluang suatukejadian dan penafsiranKisaran nilai

peluangDefinisipeluang suatukejadianFrekuensiharapanPeluangkomplemensuatu kejadianPeluang duakejadian salingasing

Peluang duakejadian salingbebasPeluangkejadianbersyaratAturan perkalian KombinasiPermutasiAturanpengisiantempatNotasifaktorialPermutasi

siklisNotasipermutasiPermutasi jikaada unsuryang samaNotasikombinasiPeluangBinomialNewton56

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 142/394

 

A Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalamPemecahan Masalah1.Aturan Perkaliana.Aturan Pengisian Tempat

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita mendengar istilah semua kemungkinanyang terjadi dalam suatu percobaan. Misalnya, seorang siswa tiap kali ulangannilainya selalu kurang baik, adakah kemungkinan siswa itu naik kelas?

Contoh soal

1.Tono mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia jugamemiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapapasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak

Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak2 + 2 + 2 = 6 cara.

Penyelesaian

Hitam

Putih

CokelatHitam

Batik

CokelatHitam

Coklat

Cokelat

3 × 2 = 6 cara.Dengan aturan jumlah:Warna atau jenis baju

putih (p)

cokelat (c)

batik (b)

Putih, HitamPutih, Cokelat

Batik, HitamBatik, Cokelat

Cokelat, Hitam

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 143/394

 

Cokelat, Cokelat

warna celana

hitam (h)

cokelat (c)

hitam (h)cokelat (c)

hitam (h)cokelat (c)

pasangan baju dan celana

(p, h)

(p, c)

(c, h)

(c, c)

(b, h)

(b, c)

Peluang 57

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 144/394

 

2.Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itutidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?Penyelesaian

Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita pakai pengisian tempatkosong seperti terlihat pada bagan berikut.

a b c dDibuat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b),

(c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari4 angka.a5b4

c3da5b4c da5b4c

3d2a5b c dKotak (a) dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehinggaada 5 cara.

Kotak (b) hanya dapat diisi angka 5 1 = 4 carakarena 1 cara sudah diisikan di kotak (a).

Kotak (c) hanya dapat diisi angka 5 2 = 3 carakarena 2 cara sudah diisikan di kotak (a) dan (b).

Kotak (d) hanya dapat diisi angka 5 3 = 2 carakarena 3 cara sudah diisikan di kotak (a), (b),dan (c).

Jadi, polisi itu dapat membuat plat nomor kendaraan sebanyak 5 × 4 × 3 × 2 = 120 plat nomor kendaraan.

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan, jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan

a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yangberlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a × b cara.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 145/394

 

2.1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.

Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota Bmelewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?2.Amir mempunyai 5 kaos kaki dan 3 sepatu yang berlainan warna. Dengan berapacara Amir dapat memakai sepatu dan kaos kaki?58Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 146/394

 

59Peluang3. Badu mempunyai 5 baju, 3 celana panjang, dan 2 topi yang berlainan warna.Ada berapa pasangan baju, celana panjang, dan topi dapat dipakai?4. Dari lima buah angka 2, 3, 5, 7, dan 9 akan disusun menjadi suatu bilangan yangterdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:

a. angka-angka boleh berulang,b. angka-angkanya tidak boleh berulang?b. Notasi FaktorialFaktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.Definisi:n! = 1 × 2 × 3 × × (n 2) × (n 1) × n ataun! = n × (n 1) × (n 2) × × 3 × 2 × 1Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.Contoh soalHitunglah nilai dari:1. 6! 3.7!

4!5.8!3! 6! ×2. 3! × 2! 4.5!4!× 3!Penyelesaian1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7202. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 123.7!4! =

7 × 6×5× 4× 3× 2×14×3× 2×1= 7 × 6 × 5 = 2104.5!4!× 3! =5 432 1432 1×××××××× 3 × 2 × 1 = 5 × 6 = 30

5.8!3! 6!× =8× 7 × 6 × 5× 4 × 3 × 2 × 1 8× 7=3 × 2× 1 × 6× 5 × 4× 3 × 2× 1 6= 28Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n 2) × (n 1) × nlambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2.Ingat!!3. Badu mempunyai 5 baju, 3 celana panjang, dan 2 topi yang berlainan warna.Ada berapa pasangan baju, celana panjang, dan topi dapat dipakai?

4. Dari lima buah angka 2, 3, 5, 7, dan 9 akan disusun menjadi suatu bilangan yangterdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 147/394

 

a. angka-angka boleh berulang,b. angka-angkanya tidak boleh berulang?b. Notasi FaktorialFaktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.Definisi:n! = 1 × 2 × 3 × × (n 2) × (n 1) × n ataun! = n × (n 1) × (n 2) × × 3 × 2 × 1

Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.Contoh soalHitunglah nilai dari:1. 6! 3.7!4!5.8!3! 6! ×2. 3! × 2! 4.5!4!× 3!

Penyelesaian1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7202. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 123.7!4! =7 × 6×5× 4× 3× 2×14×3× 2×1= 7 × 6 × 5 = 2104.5!4!× 3! =

5 432 1432 1×××××××× 3 × 2 × 1 = 5 × 6 = 305.8!3! 6!× =8× 7 × 6 × 5× 4 × 3 × 2 × 1 8× 7=3 × 2× 1 × 6× 5 × 4× 3 × 2× 1 6= 28

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n 2) × (n 1) × nlambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2.Ingat!!

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 148/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 602.2Kerjakan soal-soal di bawah inidengan benar.1. Hitunglah:a. 6! 3! d.5!8!

× 4!b.10!6!e.12!3!9!c. 5! × 2!2. Nyatakan dalam notasi faktorial.a. 3 × 4 × 5 × 6 d.98 712 3

××××b. 15 × 14 × 13 × 12 × 11 e.5 4312 3××××c.87 651 234××××××3. Buktikan:

a.1 1 33! 4! 4!- = d.5 1 10 17! 6! 8! 7!- + =b.1 1 215! 3! 5!+ = e.8 1 5 2

8! 6! 7! 7!+ - =c.1 1 15 102! 4! 5! 4!+ - =4. Carilah n, jika! ( 2)!( 1)!n nn- --

= 1.2. Permutasia. Notasi Permutasi

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 149/394

 

Seorang pengusaha mebel ingin menulis kode nomor pada kursi buatannya yangterdiri dari 3 angka, padahal pengusaha itu hanya memakai angka-angka 1, 2, 3, 4,dan 5. Angka-angka itu tidak boleh ada yang sama. Berapakah banyaknya kursiyang akan diberi kode nomor?2.2Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Hitunglah:

a. 6! 3! d.5!8!× 4!b.10!6!e.12!3!9!c. 5! × 2!2. Nyatakan dalam notasi faktorial.

a. 3 × 4 × 5 × 6 d.98 712 3××××b. 15 × 14 × 13 × 12 × 11 e.5 4312 3××××c.87 651 234

××××××3. Buktikan:a.1 1 33! 4! 4!- = d.5 1 10 17! 6! 8! 7!- + =b.1 1 21

5! 3! 5!+ = e.8 1 5 28! 6! 7! 7!+ - =c.1 1 15 102! 4! 5! 4!+ - =4. Carilah n, jika! ( 2)!( 1)!n n

n- --

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 150/394

 

= 1.2. Permutasia. Notasi PermutasiSeorang pengusaha mebel ingin menulis kode nomor pada kursi buatannya yangterdiri dari 3 angka, padahal pengusaha itu hanya memakai angka-angka 1, 2, 3, 4,dan 5. Angka-angka itu tidak boleh ada yang sama. Berapakah banyaknya kursi

yang akan diberi kode nomor?

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 151/394

 

Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akandiisi dari 5 angka yang tersedia.

a5b

4c3Kotak (a) dapat diisi dengan 5 angka yaitu angka 1, 2, 3, 4, atau 5.Kotak (b) dapat diisi dengan 4 angka karena 1 angka sudah diisikan di kotak (a). Adapun kotak (c) hanya dapat diisi dengan 3 angka, sehingga banyaknya kursiyang akan diberi kode adalah 5 × 4 × 3 = 60 kursi. Susunan semacam ini disebutpermutasi karena urutannya diperhatikan, sebab 125 tidak sama dengan 215ataupun 521.

Permutasi pada contoh ini disebut permutasi tiga-tiga dari 5 unsur dan dinotasikan

dengan P5 atau P atau P, sehingga:

3(5.3)53

5P3 = 5 × 4 × 3

= 5 × (5 1) × (5 2)

= 5 × (5 1) × ..× (5 3 + 1),

Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.Banyaknya permutasi dari nunsur diambil runsur dinotasikan:

Atau dapat juga ditulis:

( -)( -- 1) 3 21

nrnr ··

nPr = n(n 1) (n 2) ... (n r+ 1)

n P r = n(n 1) (n 2) (n 3) (n r+ 1)( -)( -- 1) 3 21

nrnr ··

(n-1)( n-2) (nr 1)( -)( -- 1) 321

n -+ nrnr  ··

=

( -)( -- 1)  

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 152/394

 

3 21 ··

nrnr

( -1)( n-2) 321

nn  

··

=

( -)( -- 1)  3 21 ··

nrnr

n!

P=

nr

(nr)!

-

n P r =!( )!n

nr-Peluang 61

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 153/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 62Untuk lebih memahami tentang permutasi, pelajarilah contoh berikut.Contoh soal1. Tentukan nilai dari:a. 8P3b. 4P4

Penyelesaiana. 8P3 =8! 8! 87 6 5 432 1(8 3)! 5! 5 4 3 2 1······· = =- ····= 8 ·7 ·6 = 336b. 4P4 =4! 4! 4 3 2 1(4 4)! 0! 1··· = =-

= 242. Tentukan nilai n bila (n 1)P2 = 20.Penyelesaian(n 1)P2 = 20( 1)!( 1 2)!nn--- = 20( 1)!( 3)!n

n-- = 20( 1)( 2) 3 2 1( 3)( 4) 3 2 1n nn n- - ··- - ··= 20(n 1) (n 2) = 20

n2 2n n + 2 = 20n2 3n + 2 20 = 0n2 3n 18 = 0(n 6) (n + 3) = 0Buatlah kelompok-kelompok dalam kelasmu, kemudian buktikan:n P n = n!0! = 1Cocokkan hasilnya dengan kelompok yang lain.Selanjutnya, adakan diskusi tentang materi ini.8! 8! 87 6 5 432 1(8 3)! 5! 5 4 3 2 1······· = =- ····

= 8 ·7 ·6 = 336b. 4P4 =4! 4! 4 3 2 1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 154/394

 

(4 4)! 0! 1··· = =-= 242. Tentukan nilai n bila (n 1)P2 = 20.Penyelesaian(n 1)P2 = 20

( 1)!( 1 2)!nn--- = 20( 1)!( 3)!nn-- = 20

( 1)( 2) 3 2 1( 3)( 4) 3 2 1n nn n- - ··- - ··= 20(n 1) (n 2) = 20n2 2n n + 2 = 20n2 3n + 2 20 = 0n2 3n 18 = 0(n 6) (n + 3) = 0

Buatlah kelompok-kelompok dalam kelasmu, kemudian buktikan:n P n = n!0! = 1Cocokkan hasilnya dengan kelompok yang lain.Selanjutnya, adakan diskusi tentang materi ini.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 155/394

 

n 6 = 0 atau n + 3 =0n = 6 atau n = 3Karena nbilangan positif maka n= 6.

b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama

Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita

lihat contoh berikut.Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 apabila tidakboleh ada angka-angka yang sama. Untuk menjawab soal tersebut dapatdipergunakan bagan di bawah ini.

22752 5 7

7 5

22572 5

2725

2 7

5 2

27522 7

2527

5

7 2

2572

Sama

2275

7 5

2

5 7

22572 5

2725

2 7

5 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 156/394

 

27522 7

2527

5

7 2

25722 5

7225

2

5 2

7252

Sama

2 5

7225

7

72527522

2 5 22 2Sama

5

2 2

75222 7

5227

2

7 2

5272

Sama

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 157/394

 

2 7

5227

5

52725722

2 7 22 2Sama

7

2 2

5722

Sehingga banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.Dari contoh dapat dijabarkan 4 × 3 = 12 atau permutasi 4 unsur dengan 2 unsur

4!

sama ditulis:

. Secara umum permutasi nunsur dengan punsur sama dan q

n!

unsur sama ditulis:

!!

pq

2!

Peluang 63

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 158/394

 

Banyaknya permutasi nunsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat

ditentukan dengan rumus:

P=!

!! !nklmContoh soal

1.Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:a.AGUSTUSb.GAJAH MADAPenyelesaian

a.AGUSTUSBanyaknya huruf = 7, banyaknya S= 2, banyaknya U= 27! 7654321

P== 1.260

2!2! 2121

b.GAJAH MADA

Banyaknya huruf = 9, banyaknya A = 49!987654321

P== 15.120

4! 4321

2.Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka:a.

4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7b.2, 2, 4, 4, 6, 6 dan 8Penyelesaian

a.4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 = 3, banyaknya angka 5 = 3==P=7! 7 65 43 2 13!3! 3 2 1 3 2 1

······=·····

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 159/394

 

= 140b.2, 2, 4, 4, 6, 6, dan 8banyaknya angka = 7, banyaknya angka 2 = 2, banyaknya angka 4 = 2dan banyaknya angka 6 = 2P=7! 7 65 432 1

2!2!2! 2 1 2 1 2 1······=·····= 630c.Permutasi SiklisPermutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehinggabanyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis:

64Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 160/394

 

65Peluang! ( 1)( 2).....3 2 1 n nn nn n- - ·· = = (n 1) (n 2) .. 3.2.1 = (n 1)!atau P(siklis) = (n 1)!Contoh soal

Pada rapat pengurus OSIS SMA X dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingisebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?PenyelesaianP(siklis) = (6 1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1202.3Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan nilai dari:a. 5P3b. 4P4c. 6P4 5P2d. 9P2 × 10P32. Tentukan njika diketahui:a. n P5 = 10 n P4 c. (n 1)P2 = 20

b. (n+ 1)P3 = n P4 d. n P2 = 63. Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4 akan dibentuk bilangan dengan empat angkatanpa memuat angka yang sama. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?4. Dari 7 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi pengurus kelas, yaitu ketua,wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus apabilasetiap calon pengurus mempunyai kemungkinan yang sama untuk dipilih dantidak ada pengurus yang rangkap?5. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 6 angka yang dapat dibentuk dari angkaangkaberikut?a. 223456 c. 123123b. 112278 d. 5555666. Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut?

a. UNSUR c. STATISTIKAb. GUNUNG d. MATEMATIKA7. Terdapat 7 siswa sedang belajar di taman membentuk sebuah lingkaran. Adaberapa cara mereka duduk dengan membentuk sebuah lingkaran?! ( 1)( 2).....3 2 1 n nn nn n- - ·· = = (n 1) (n 2) .. 3.2.1 = (n 1)!atau P(siklis) = (n 1)!Contoh soalPada rapat pengurus OSIS SMA X dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingisebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?Penyelesaian

P(siklis) = (6 1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1202.3Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan nilai dari:a. 5P3b. 4P4c. 6P4 5P2d. 9P2 × 10P32. Tentukan njika diketahui:a. n P5 = 10 n P4 c. (n 1)P2 = 20b. (n+ 1)P3 = n P4 d. n P2 = 63. Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4 akan dibentuk bilangan dengan empat angkatanpa memuat angka yang sama. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?4. Dari 7 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menjadi pengurus kelas, yaitu ketua,

wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus apabilasetiap calon pengurus mempunyai kemungkinan yang sama untuk dipilih dantidak ada pengurus yang rangkap?

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 161/394

 

5. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 6 angka yang dapat dibentuk dari angkaangkaberikut?a. 223456 c. 123123b. 112278 d. 5555666. Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut?a. UNSUR c. STATISTIKA

b. GUNUNG d. MATEMATIKA7. Terdapat 7 siswa sedang belajar di taman membentuk sebuah lingkaran. Adaberapa cara mereka duduk dengan membentuk sebuah lingkaran?

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 162/394

 

3. Kombinasia. Notasi KombinasiPada waktu kenaikan kelas dari kelas X ke kelas XI, siswa yang naik akanmemasuki jurusan masing-masing. Ada yang IPA, IPS, maupun Bahasa. Oleh karenaitu, diadakan perpisahan kelas dengan jalan berjabat tangan. Kita contohkan ada3

siswa saling berjabat tangan misalkan Adi, Budi, dan Cory. Ini dapat ditulis Adi-Budi, Adi-Cory, Budi-Adi, Budi-Cory, Cory-Adi, Cory-Budi. Dalam himpunan Adiberjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}. Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}. Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunanyang sama, berarti keduanya merupakan kombinasi yang sama. Di lain pihak Adi  Budi, Budi Adi menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakanpermutasi yang berbeda.

Dari contoh dapat diambil kesimpulan:Permutasi = Adi Budi, Adi Cory, Budi Adi, Budi Cory, Cory Adi, Cory Budi

= 6 karena urutan diperhatikan

Kombinasi = Adi Budi, Adi Cory, Budi Cory= 3 karena urutan tidak diperhatikanSehingga6 = permutasi

Kombinasi = 3 =

22Jika kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:

P 3!3C2 = 32=

2 2! (3 - 2)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan

n

r unsur ditulis C , nC atau C(n r) adalah:

rr

nC r =!nrPr=!( )! !nnr r-Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih memahami tentang kombinasi.

Contoh soal

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 163/394

 

1. Hitunglah nilai dari:C × C

62 52

a. 7C3 c.b. 7C2 × 5C16 C4

66Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 164/394

 

Penyelesaian

7! 7! ······

7 65 4321

a. = === 357C3

3!(7 -3)! 3!4! 3214321 ······

7! 5!7! 5!

b. × = × =×7C25C1

2!(7 -2)! 1!(5 -1)! 2!5! 4!7 65 4321 ······ 5 4321

=× = 21 × 5 = 105

215 4321 ······ 43216! 5! 6! 5!

×

6 C2 ×5 C2 2!(6 -4)!×2!(5 -2)! 2!4! 2!3!

=

c.=

6 C4 6! 6!4!(6 -4)! 4!2!

65 4321 ····· 5 4321

=15 1021 4 3 21 2 13 2 165 432 1 15× ×····· ···· = ····· = 10432121

2.Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemainputri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:a.ganda putrab.ganda putri

c.ganda campuranPenyelesaian

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 165/394

 

a.Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:10! 10! ·· ·· 10 910 9 8....3 21·

10C2===

= 45 cara

··· 2

2!(10 -2)! 2!8! 2187....321 ··

b.Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknyacara ada:

8! 8! ·······

87 65 4321

C2 === =28 cara

82!(8 -2)! 2!6! 2654321

c.Ganda campuran berarti 10 putra diambil satu dan 8 putri diambil 1, maka:10! 8! 10! 8!

3.Berapa banyaknya nomor telepon yang terdiri dari 7 angka dapat dibuatdengan 4 digit awalnya adalah 0812, tiga digit sisanya saling berbeda danbukan merupakan bilangan-bilangan 0, 3, atau 5, serta digit terakhirnya bukanangka 9.=10C1 × 8C1 = 1!(10 1)! 2!(8 1)! 1!9! 1!7!× = ×- - = 10 × 8 = 80 caraPeluang 67

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 166/394

 

Penyelesaian

0812 . . .tiga digit terakhir bukan bilangan 0, 3, atau 5 maka P63 serta digit

2 62 6!5!

terakhir bukan angka 9 maka dikurangi P5 . P3 P5 = = 100

3!3!Jadi banyaknya nomor telepon adalah 100 buah.

b. Binomial Newton (Pengayaan)Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakansegitiga Pascal, seperti bagan berikut.

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

dan seterusnyaDari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua sebagai berikut,misalkan x dan y.

(x + y)1 = x + y(x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2(x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3

(x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5(x + y)n =  

Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomialyaitu dengan menggunakan nCr ; sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

(x + y)1 .n = 1 1C01 C 1(x + y)2 .

n = 2 2 C 02 C 12 C 2(x + y)3 .n = 3 3 C 03 C 13 C 23 C 3(x + y)4 .n = 4 4 C 04 C 14 C 24 C 34 C 4

5 C 05 C 15 C 25 C 35 C 45 C 5

(x + y)5 .n = 5

#

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 167/394

 

maka (x + y)n = xn y0+ xn 1 y1 + + Cx0 yn

nC0 nC1 nn= Cxn · 1 + Cxn 1 y1 + + C · 1 yn

n 0 n 1 nn

= xn + xn 1 y1 + + C yn

n C0 nC1 nnn

Cxnkyk

(x + y)n =S nk-k =0

68Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 168/394

 

Jadi teorema binomial Newton dapat dirumuskan sebagai berikut.

(x + y)n =0nnk k

n kkCx y-=SUntuk lebih memahami teorema binomial Newton, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

1. Jabarkan tiap binomial berikut ini.a. (x + y)3 b.(x + 2y)4Penyelesaian

33-kk

Cx y

a. (x + y)3 = S 3 kk =0

· x3 · x3 · x3 · x3  = 0 · y0 + 31 · y1 + 32 · y2 + 33 · y3

3C0 C1 C2 C3= 1 · x3 · 1 + 3 · x2 · y + 3 · x · y2 + 1 · x0 · y3= x3 + 3x2y + 3xy2 + 1 · 1 · y3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

4

b. (x + 2y)4 = S 4 Ck x4 k ykk =0

· x4 0 · (2y)0 + 4· x4 1 · (2y)1 + 4· x4 2 · (2y)2 +=

4C0 C1 C2

· x4 3 (2y)3 · x4 4 · (2y)4+ 44C3 C4

= 1 · x4 + 4 · x3 · 2y + 6x2 · 22 · y2 + 4 · x · 23 · y3 + 1 · 1 · 24 · y4

= x4 + 8x3y + 24x2 y2 + 32xy3 + 16y4

2. Tentukan suku ke-4 dari (2x + 3y)6.Penyelesaian

6

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 169/394

 

C -k (3 )k =0

(2x + 3y)6 = S6 k (2 ) x 6 yk

· (2x)6 0 · (3y)0 + 6· (2x)6 1 · (3y)1 + 6· (2x)6 2 · (3y)2 +=

6C0 C1 C2

· (2x)63 · (3y)3 + 6· (2x)6 4 · (3y)4 + 6· (2x)6 5 · (3y)5 +6C3 C4 C5

· (2x)6 6 · (3y)66C6

Jadi suku ke-4 adalah = · (2x)6 3 · (3y)3

6C3

· (2x) 3 · (3y)3= 6C3

6!

· 23 · x3 · 33 · y33!(6 - 3)!6!

=

· 8x3 · 27y33! 3!= 20 · 8x3 · 27y3 = 4.320x3y3

=Peluang 69

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 170/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 70Himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan disebut ruang sampel,yang biasa ditulis dengan notasi S dan setiap anggota dari S disebut titik sampel.1. Menentukan Banyak Kemungkinan Kejadian dari BerbagaiSituasi

Misalkan kita mengambil sebuah dadu maka sisi-sisi sebuah dadu akan terlihatbanyaknya titik ada 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi ruang sampelnya adalah {1, 2, 3,4, 5, 6}.Apabila kita melambungkan sebuah dadu sekali maka kemungkinan angka yang munculadalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kita tidak dapat memastikan bahwa angka 5 harus munculatau angka 2 tidak muncul.Jadi kemungkinan munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 dalam suatu kejadian adalahsama. Misalnya, pada percobaan pelambungan sebuah dadu sekali. Jika A adalah kejadianmuncul bilangan prima, maka A adalah 2, 3, dan 5 dan jika B kejadian muncul bila

nganlebih besar dari 5 maka B adalah 6.B. Ruang Sampel Suatu Percobaan2.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Jabarkan bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + 2)3 c. (2x 3y)4b. (1 2x)5 d. (3y 2)52. Tentukan koefisien suku x3 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (2x + y)7 c. (x 3y)6b. (3 + 2x)5 d. (2 3x)43. Tentukan koefisien suku x2 y2 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + y)4 c. (3x 2y)4b. (2x + 3y)3 d. ( 1

2 x 14 y)34. Carilah suku ke-3 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + 2y)4 c. (1 3x)5b. (2x + 1)5 d. ( 2 x x2)45. Carilah tiga suku pertama bentuk-bentuk binomial berikut.a. (3x + 1)4 c. (x 32 )4b. (x2 + 3x )3 d. (x 1)3B. Ruang Sampel Suatu Percobaan2.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Jabarkan bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + 2)3 c. (2x 3y)4b. (1 2x)5 d. (3y 2)52. Tentukan koefisien suku x3 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (2x + y)7 c. (x 3y)6b. (3 + 2x)5 d. (2 3x)43. Tentukan koefisien suku x2 y2 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + y)4 c. (3x 2y)4b. (2x + 3y)3 d. ( 12 x 14 y)34. Carilah suku ke-3 dari bentuk-bentuk binomial berikut.a. (x + 2y)4 c. (1 3x)5

b. (2x + 1)5 d. ( 2 x x2)45. Carilah tiga suku pertama bentuk-bentuk binomial berikut.a. (3x + 1)4 c. (x 3

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 171/394

 

2 )4b. (x2 + 3x )3 d. (x 1)3

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 172/394

 

2.Menuliskan Himpunan Kejadian dari Suatu PercobaanUntuk menuliskan kejadian dari suatu percobaan diketahui dengan himpunan.Misalnya dalam pelemparan sebuah mata uang sekali, maka ruang sampel S = {A, G}. A merupakan sisi angka dan G merupakan sisi gambar.

Contoh soal

1.Pada percobaan pelemparan sebuah dadu sekali, A adalah kejadian muncul bilanganprima dan B adalah kejadian muncul bilangan lebih besar dari 3, AC, dan BC masingmasingmerupakan komplemen dari A dan B. Nyatakanlah A, B, AC, dan BC dalambentuk himpunan.Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} AC = {1, 4, 6}

A = {2, 3, 5} BC = {1, 2, 3}B = {4, 5, 6}

2.Diketahui 3 buah mata uang logam mempunyai sisi angka (A) dan sisi gambar (G),dilempar sekali. Jika P adalah kejadian muncul dua gambar dan Q adalah kejadianmuncul tiga angka, nyatakan P dan Q dalam bentuk himpunan.Penyelesaian

Jika S merupakan ruang sampel maka:S = {AAA, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, AAG, GGG}P adalah kejadian muncul dua gambar, maka:

P = {GGA, GAG, AGG}Q adalah kejadian muncul tiga angka, maka:Q = {AAA}

2.5Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Tuliskan ruang sampel dari kejadian berikut.a.Pelambungan dua buah uang logam.

b.Pelambungan sebuah dadu.c.Pelambungan tiga uang logam sekaligus.d.Pelambungan dua buah dadu sekaligus.2.Diketahui dua buah mata uang logam dilambungkan sekali. P adalah kejadianmuncul dua gambar dan Q kejadian muncul satu angka. Nyatakan P dan Qdalam bentuk himpunan.Peluang 71

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 173/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 721. Peluang Suatu KejadianSebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenairuang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagiandari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada

suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaandenganruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untukmuncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.P(A) =( )()n AnSKeterangan: P(A) = peluang kejadian An(A) = banyaknya anggota An(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Coba kamu pelajari contoh berikut agar lebih memahami tentang peluang.Contoh soal1. Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:a. ketiganya sisi gambar;b. satu gambar dan dua angka.C. Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya3. Diketahui tiga buah mata uang dilambungkan sekali. Nyatakan dalam sebuahhimpunan kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian muncul 0 angka.b. Kejadian muncul 1 angka.c. Kejadian muncul 2 angka.d. Kejadian muncul 3 angka.4. Diketahui dua buah dadu dilambungkan sekali. X adalah kejadian munculnya

mata dadu pertama dan Y adalah kejadian munculnya mata dadu kedua. Nyatakandalam sebuah himpunan kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian muncul jumlah mata dadu 10.b. Kejadian muncul jumlah mata dadu 12.c. Kejadian muncul mata dadu sama.d. Kejadian A = {( x, y) x + y = 7}.e. Kejadian B = {( x, y) x = 3 }.f. Kejadian C = {( x, y) y = 5.( )()n AnS

Keterangan: P(A) = peluang kejadian An(A) = banyaknya anggota An(S) = banyaknya anggota ruang sampel SCoba kamu pelajari contoh berikut agar lebih memahami tentang peluang.Contoh soal1. Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:a. ketiganya sisi gambar;b. satu gambar dan dua angka.C. Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya3. Diketahui tiga buah mata uang dilambungkan sekali. Nyatakan dalam sebuahhimpunan kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian muncul 0 angka.b. Kejadian muncul 1 angka.

c. Kejadian muncul 2 angka.d. Kejadian muncul 3 angka.4. Diketahui dua buah dadu dilambungkan sekali. X adalah kejadian munculnya

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 174/394

 

mata dadu pertama dan Y adalah kejadian munculnya mata dadu kedua. Nyatakandalam sebuah himpunan kejadian-kejadian berikut.a. Kejadian muncul jumlah mata dadu 10.b. Kejadian muncul jumlah mata dadu 12.c. Kejadian muncul mata dadu sama.d. Kejadian A = {( x, y) x + y = 7}.e. Kejadian B = {( x, y) x = 3 }.

f. Kejadian C = {( x, y) y = 5.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 175/394

 

Penyelesaian

a.S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}Maka n(S) = 8Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.

A = {GGG}, maka n(A) = 1() 1

nA

=

P(A) =

() 8

nS

b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3() 3

nB

=

P(B) =

() 8

nS

2.Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:a. kelereng merah;b. kelereng putih;c. 2 merah dan 2 putih;

d. 3 merah dan 1 putih.Penyelesaian

S = pengambilan 4 kelereng sekaligus.

=

1144!(11 -4)! 4!7! 43217! ····

a.Misal kejadian terambilnya kelereng merah adalah A, maka:6! 6! ··65 4!

==

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 176/394

 

n(A) = 6C4 == 15

4!(6 -4)! 4!2! 4!2 1 ·nA() 15 1

==

P(A) =

nS( ) 330 22

1

Jadi, peluang terambil kelereng merah adalah

22 .

b.Misal kejadian terambilnya kelereng putih adalah B, maka:5! 5! ·5 4!

==

n(B) = C4 == 5

54!(5 -4)! 4!1! 4!1!

nB()5 1

==

P(B) =

nS( ) 330 66

1

Jadi, peluang terambil kelereng putih adalah

66 .n(S) = C11! 11! 11 10 9 8 7! · ··· = = = 330Peluang 73

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 177/394

 

=c.Misal kejadian terambilnya 2 merah dan 2 putih adalah C, maka:6! 5! 6! 5!× =×

n(C) = 6C × 5C=

22 2!(6 -2)! 2!(5 -2)! 2!4! 2!3!6 54! ·· 54 3!

× = 15 × 10 = 150

2!4! 2!3!nC() 150 5

==

P(C) =

nS( ) 330 115

Jadi, peluang terambil 2 merah dan 2 putih adalah

11.d.Misal kejadian terambilnya 3 merah dan 1 putih adalah D, maka:

6! 5! 6! 5! ··· 565 43!

× =×= ×

n(D) = 6× 5C1=

C3··· 11

3!(6 -3)! 1!(5 -1)! 3!3! 1!4! 3 213! ·

= 20 × 5 = 100() 10

nD 100

==

P(D) =

nS( ) 330 3310

Jadi, peluang terambil 4 merah dan 1 putih adalah

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 178/394

 

33 .2. Kisaran Nilai PeluangJika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi maka n(A) = n(S), sehingga() S

nA

=

peluang kejadian Aadalah: P(A) =

= 1

() S

nS

Contoh soal

Tentukan peluang kejadian-kejadian berikut.

a. Setiap orang hidup pasti memerlukan makan.b.Dalam pelemparan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya angka-angka dibawah 10?Penyelesaian

a.Karena setiap orang hidup pasti memerlukan makan, sebab kalau tidak makanpasti meninggal.

Jadi n(A) = 1 dan n(S) = 1, maka:()

nAP(A) = nS = 1

()

b.S= {(1, 2, 3, 4, 5, 6} .n(S) = 6

A= munculnya angka-angka di bawah 10={1, 2, 3, 4, 5, 6} .n(A) = 6() 6

nA

=

P(A) =

= 1

() 6

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 179/394

 

nS

74Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 180/394

 

Jika kejadian A dalam ruang sampel Stidak pernah terjadi sehingga n(A) = 0, maka () 0

nA

=

peluang kejadian Aadalah: P(A) =

= 0.

nS() ()

nS

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Tentukan peluang kejadian-kejadian berikut.

a. Orang dapat terbang.b. Muncul angka tujuh pada pelambungan sebuah dadu.Penyelesaian

a.Tidak ada orang dapat terbang, maka n(A) = 0() 0nA

=

P(A) =

= 0.

nS() ()

nS

Jadi peluang orang dapat terbang adalah 0.

b. Dalam pelambungan sebuqah dadu angka tujuh tidak ada, maka n(A) = 0() 0

nA

=

P(A) =

= 0.

nS() ()

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 181/394

 

nS

Dari contoh soal di atas, maka kita dapat menentukan kisaran peluangnya adalah:Jadi peluang muncul angka tujuh adalah 0.

3. Frekuensi Harapan Suatu KejadianFrekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan

dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan Adilakukan nkali, maka frekuensi

harapannya ditulis sebagai berikut.

Fh = n× P(A)Perhatikan contoh berikut untuk lebih memahami.

Contoh soal

1.

Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali,tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.Penyelesaian

S= {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} . n(S) = 8A= {AGG,GAG,GGA} . n(A) = 3()

nA

F(A) = n× P(A) = 240 ×

h()

nS

= 240 × 83 = 90 kali

Peluang 75

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 182/394

 

2.Pada percobaan pelemparan 2 buah dadu sekaligus sebanyak 108 kali, tentukanfrekuensi harapan munculnya A = {(x, y) x = 3}, x adalah dadu pertama dan yadalah dadu kedua.Penyelesaian

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), .., (6, 6)} . n(S) = 36A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} . n(A) = 6F(A)= n × P(A)()

nA

=n ×

()

nS

6

=108 ×

= 18 kali36

2.6

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Jika sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang munculnya angka-angka:a.lebih dari 4, c. ganjil,b.kurang dari 3, d. kelipatan 3.2.Jika sebuah dadu dilambungkan 360 kali, tentukan frekuensi harapan munculnyaangka-angka:

a.genap, c. 8,b.prima, d. lebih dari 5.3.Dua buah dadu dilepar sekaligus. Jika x dadu pertama dan y dadu kedua, tentukanpeluang terambilnya:a.A = {(x, y) y = 3}; c. C = {( x, y) y = x + 1};b.B = {( x, y) x + y = 10}; d. D = {( x, y) x + 2y = 12}.4.Dalam suatu kotak terdapat 10 bola, di mana 6 bola berwarna merah dan empat bola

 berwarna putih. Jika 2 bola diambil sekaligus, berapakah peluang munculnya bola: 

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 183/394

 

a.merah,b.putih?5.Dalam satu set kartu bridge, berapakah peluangnya jika terambil:a.

kartu As berwarna merah,b.kartu bernomor yang kurang dari 6,c.kartu bernomor lebih dari 4?6.Dalam sebuah kotak terdapat 10 kartu bernomor 1 sampai 10. Jika diambil satukartu secara acak sampai 150 kali, berapakah frekuensi harapan munculnya:a.nomor ganjil, c. nomor yang lebih dari 7?b.nomor prima,

76Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 184/394

 

4.Peluang Komplemen Suatu KejadianUntuk mempelajari peluang komplemen suatu kejadian, coba perhatikan contohberikut.

Contoh soal

Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:

a.nomor dadu ganjil,b.nomor dadu tidak ganjil?Penyelesaian

a.Untuk menjawab permasalahan peluang munculnya nomor dadu ganjil kita lihatruang sampel lebih dahulu yaitu S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.

Aadalah jika keluar nomor ganjil yaitu A= {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingganA () 31

P(A) = ==

nS() 6 2

b.Peluang munculnya nomor dadu tidak ganjil kita sebut AC (komplemen dari A),nA()C 31maka AC= {2, 4, 6} .n(AC) = 3, sehingga P(AC) = ==

nS() 62

Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:

P(A) + P(AC) = 12 + 12 = 1P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 P(A)Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil seb

uahbola, berapakah peluang munculnya:

a. nomor prima,b. bukan nomor prima.Penyelesaian

a.S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .n(S) = 10Misalnya munculnya nomor prima adalah A, maka:A= {2, 3, 5, 7} .n(A) = 4() 4

nA

=

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 185/394

 

P(A) =

= 0,4

() 10

nS

b. Bukan nomor prima = AC, maka peluangnya = P(AC):P(AC)= 1 P(A)= 1 0,4 = 0,6

Peluang 77

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 186/394

 

5. Peluang Dua Kejadian Saling Asinga. Peluang gabungan dua kejadian (kejadian A atau kejadian B) dapat ditentukan denganrumus sebagai berikut.Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda S, maka peluang kejadian A.Bditentukan dengan aturan:

P (A.B) = P(A) + P(B)

)BnA(P) B(P) +A(P) =B.A(P

Contoh soal

Dalam melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilanganganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!

Penyelesaian

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3

A= bilangan ganjil : {1, 3, 5} . P(A) =

A SB1

352446

3

B= bilangan prima : {2, 3, 5} . P(B) =

6

2

AnB = {3, 5} . P{AnB} =

6P(A.B)= P(A) + P(B) P(AnB)

3

3 6242

2 -

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 187/394

 

=

=

=

=

6666 63

2

Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah

3

b.Peluang gabungan dua kejadian saling asing (kejadian A atau B di mana A dan Bsaling asing)Karena A dan B saling asing maka AnB = 0 atau P(AnB) = 0Sehingga: P (A.B) = P(A) + P(B) P(AnB)

P(A) + P(B) 0

Contoh soal

Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yangberurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalahkejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil.

78

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 188/394

 

a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing.b. Tentukan peluan kejadian A atau B.Penyelesaian

a. (AnB) { } maka A dan B salling asingb. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . P(A) =

A = {2, 4, 6, 8, 10} . P(B) =

B = {3, 5, 7}

510310. P(AnB) = 0S24

6810357A BP(AnB)= { }P (A.B)= P(A) + P(B)

5 384

=

+=

=

1010 10 5

6. Peluang Kejadian Saling BebasJika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya atau terjadi

atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B.Hal ini

seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.

A adalah kejadian keluarnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya 

dadu kedua angka 5 maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang

saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 189/394

 

P(AnB) = P(A) × P(B)Coba kamu pelajari contoh berikut untuk lebih memahami tentang kejadian salingbebas.

Contoh soal

Pada pelemparan sebuah dadu sekaligus. A adalah kejadian keluarnya dadu pertama

angka 3 dan B adalah kejadian keluarnya dadu kedua angka 5. Berapakah peluangterjadinya A, B, dan AnB.

Penyelesaian

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), .., (6, 6)} . n(S) = 36A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} . n(A) = 6B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} . n(B) = 6

nA() 6 1

==

P(A) =

nS() 366

Peluang 79

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 190/394

 

nA() 6 1

==

P(B) =

nS() 36611 1

P(AnB)= P(A) × P(B) = ×=

66 36

7. Peluang Kejadian BersyaratDua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila

terjadi atau tidak terjadinya kejadian Aakan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinyakejadian B. Peluang terjadinya kejadian Adengan syarat kejadian B telah muncul adalah:

P(A/B) =( )()PA BPBn, dengan syarat P(B) . 0Atau peluang terjadinya kejadian Bdengan syarat kejadian Atelah muncul adalah:

P(B/A) =( )()PA BPAn, dengan syarat P(A) . 0Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diam

bildalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluangyang terambil kedua-duanya bola merah.

Penyelesaian

65

P(A) =

P(B/A)=10;9

P(AnB)= P(A) · P(B/A)65 30 1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 191/394

 

=

=

=

10× 9903

Jadi, peluang yang terambil kedua-duanya bola merah tanpa pengembalian adalah 13.

2.7

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Sebuah kartu diambil secara acak dari 52 buah kartu bridge. Tentukan peluangterambil kartu skop atau kartu berwarna merah.2.

Jika sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya angka dadubilangan prima atau bilangan genap.3.Dalam pelemparan dua buah dadu sekaligus, berapakah peluang keluarnya dadupertama angka 1 dan dadu kedua angka 4.80Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 192/394

 

4.Dalam kantin sekolah terdapat 30 siswa, di mana 12 siswa sedang minum es danmakan soto, 20 siswa sedang minum es dan makan bakso, sedangkan 3 siswahanya duduk. Tentukan peluang yang minum es saja.5.Dalam kotak terdapat 10 bola, 5 bola berwarna putih, 1 bola merah dan lainnya

berwarna kuning. Jika sebuah bola diambil secara acak, berapa peluang:a.terambil bola berwarna kuning,b.terambil bola tidak berwarna kuning.6.Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang keluarnya bilangan genap,bila telah diketahui telah keluar bilangan lebih dari 5.1.Aturan pengisian tempatJika sesuatu pekerjaan diselesaikan dengan pcara yang berlainan dan sesuatupekerjaan lain diselesaikan dengan qcara yang berlainan, maka banyaknya cara

untuk melakukan dua kegiatan itu dapat diselesaikan dengan (p× q) cara.

2.Faktorialn! = n(n 1)(n 2)(n 3) 3 · 2 · 13.Permutasi dari n unsur, pada setiap pengambilan diambil runsur dirumuskan:n!P=

nr

4.

Banyaknya permutasi dari nunsur dengan munsur yang sama dirumuskan:( )!nr-n!

P=

m!

5.Permutasi siklis dari n unsur dirumuskan:P= (n 1)!

6. Kombinasi dari n unsur, pada setiap pengambilan diambil rn!

C=

nr!( - )!

rn r

unsur dirumuskan:

7.Bentuk (a+ b)ndapat dijabarkan dengan binomial Newton sebagai berikut:n

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 193/394

 

-

Cab

(a+ b)n= S n knkk

k=0

8.Peluang kejadian Ajika ruang sampel Sadalah:()

nAP(A) = nS di mana 0 < P(A) < 1

()

Peluang 81

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 194/394

 

9.Frekuensi harapan munculnya kejadian Adalam nkali percobaan adalah:Fh = P(A) × n10. Kejadian majemukPeluang kejadian Aatau kejadian Bdinotasikan P(A.B) adalah:P(A.B) = P(A) + P(B) P(AnB)

Jika AnB= Ø, maka disebut kejadian saling lepas atau saling asing, sehingga:P(A.B) = P(A) + P(B)

11. Kejadian Adan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas apabila:P(AnB) = P(A) × P(B)12. Kejadian Adan kejadian B merupakan dua kejadian tidak saling bebas ataukejadian bersyarat apabila:( n)

PA B

P(A/B) =

dengan syarat P(B) . 0 atau

()

PB

( n)

PA B

P(B/A) =

dengan syarat P(A) . 0

()

PA

I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.1.

Dari 5 pria dan 4 wanita akan dipilih 3 pria dan 3 wanita. Banyak cara memilih ada ....a. 60d. 20b. 40e. 18c. 242.Banyak sepeda motor yang memakai nomor polisi dengan susunan angka-angka 1, 2, 3,4 dan 5 dan terdiri atas lima angka tanpa berulang adalah .a. 40d. 240

b. 60e. 400c. 120

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 195/394

 

n!

3.Nilai n yang memenuhi= 6 adalah .

(n-1)!

a. 2d. 5b. 3e. 6c. 482Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 196/394

 

4. Suatu rapat diikuti 7 orang yang duduk mengelilingi meja bundar. Banyak caradudukadalah .

a. 270d. 4.050

b. 460e. 5.040c. 7205.Koefisien suku yang memuat x5 dari (x + y)8 adalah .a. 20d. 64b. 28e. 128c. 566.Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong itu d

iambil3 kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara terambil 2 kelereng merah dan 1 kelerengkuning adalah .a. 103d. 106b. 104e. 108c. 1057. Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah 1730 maka peluang kejadiantidak hujan dalam kurung waktu 30 hari adalah .

1215

a.d.3030

1316

b.

e.3030

c.8.Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 5 adalah .51

a.

d.199

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 197/394

 

12

b.e.4

9

c.9.Tiga uang logam dilempar bersama-sama. Jika A adalah kejadian muncul tepat duaangka, maka P(A) adalah .33

a.d.4

8

15

b.e.88

c.8

14305262Peluang 83

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 198/394

 

10.Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan matadadu kedua 5 adalah .63

a. 3636d.51

b.36e. 36

4

c.36

11.Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau10 adalah .59

a. 3636d.7

11

b.e.3636

c.12.Kotak pertama berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak kedua berisi 2 bola merahdan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Pel

uangterambilnya kedua bola berwarna sama adalah .19

a.d.8 1657

b.e.

168

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 199/394

 

c.13. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu yang bukan As adalah .13

a.d.52 131 48

b.e.1352

c.

14.Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak 600 kali, frekuensi harapan munculnyabilangan prima adalah .a. 250d. 450b. 300e. 500c. 32515. Jika berlaku = maka nilai n adalah .nC4 nP3

a. 9

d. 27b. 12e. 35c. 1583671655284Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 200/394

 

16.Pada suatu tiang diikatkan bendera 4 buah berwarna merah, 2 biru, dan 2 hijau. Setiapsusunan mempunyai arti yang berbeda. Banyaknya susunan yang mungkin adalah .a. 70d. 280

b. 90e. 420c. 24017.Dari 10 peserta olimpiade matematika yang masuk nominasi akan dipilih 3 nominasi terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah .a. 10d. 120b. 20e. 720c. 40

18.Dalam suatu pertemuan ada 30 orang dan saling berjabat tangan. Banyak cara jabat tangan yang terjadi adalah .a. 435d. 875b. 455e. 885c. 87019.Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 bola putih, dan 8 bola biru. Apabila 3 bola diambilsekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola putih dan 1 bola merah adalah .

55 3

a.d.204 6856

b.e.20417

c.20. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Peluang terambil kartu As ataukartu warna merah adalah .428

a.d.5452

1030

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 201/394

 

b.e.5252

c.7

1022652II.Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.1.Dari lima buah angka 1, 2, 3, 4, 5 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas tigaangka. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun jika angka-angka itu:a.boleh ada yang sama,b.

tidak boleh ada yang sama.Peluang 85

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 202/394

 

2.Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan, jika kelereng yangdiambil adalah:

a.ketiganya berwarna merah,b.ketiganya berwarna kuning,c.2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning?3.Terdapat 10 bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil 2 bola secara acakdarikartu itu, berapa peluang terambil 2 bola dengan nomor bilangan prima?4.Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, tentukan peluang kejadian mata

dadu yang muncul berjumlah lebih dari 4.5.Dalam pelemparan dua buah dadu sekaligus, tentukan peluang keluarnya jumlah keduamata dadu sama dengan 5 atau jumlah kedua mata dadu sama dengan 10.6.Tentukan banyaknya susunan yang berbeda dapat dibuat dari kata:a.BUKUb.RATARATAc.LIMIT

d.KALKULUS7.Tentukan n jika:a. = 56,(n + 3)P2

b.4 = 24 C4.nP3n

8.

Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas tetapi tidak salinglepas.Jika P(A) = 1 dan P(A.B) = 53 , hitunglah P(B).

3

9.Tentukan koefisien suku ke-5 dari (2x y)7.10.Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 buah bola putih. Jika sebuah boladiambil dari dalam kotak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, tentukan

peluang yang terambil kedua-duanya bola merah.86Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 203/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 204/394

 

3Trigonometri

Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih  Dua Sudut, dan Sudut Ganda

Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus  Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus  

Pernahkah kamu berpikir untuk mencocokkan apakah betul tinggi monumennasional (Monas) ±130 meter? Untuk membuktikannya, kamu dapat menerapkankonsep trigonometri yaitu menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingantrigonometri. Caranya dengan mengukur besarnya sudut yang terbentuk oleh garispandang pengamat ke puncak Monas melalui garis horizontal. Misalnya jika pengamatberada pada sudut 30°, maka pengamat harus berjalan mendekati Monas sampaiterbentuk sudut 45°. Apabila jarak dari tempat pengamatan pertama sejauh 1 km,

maka dengan aturan sudut ganda pengamat dapat menentukan tinggi Monas. Nah,pada bab ini kamu akan mempelajari rumus trigonometri dan penggunaannya.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 205/394

 

Trigonometri Trigonometri>

>

>

Menggunakan rumussinus dan cosinus jumlahdua sudut, selisih duasudut, dan sudut gandaMenurunkan rumusjumlah dan selisihsinus dan cosinusMenggunakan rumusjumlah dan selisih sinusdan cosinus

Rumus cosinusjumlah danselisih duasudutRumus sinusjumlah danselisih duasudutRumus tangenjumlah danselisih duasudut>

>

>

Perkalian sinus dancosinus dalam jumlahatau selisih sinusatau cosinus>Merancang danmembuktikan identitas

trigonometri>Menggunakan rumustrigonometri dan selisihdua sudut dalampemecahan masalah>Menyelesaikan masalahyang melibatkan rumusjumlah dan selisih duasudut>>

Menggunakan rumussinus, cosinus, dan

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 206/394

 

tangen sudut gandaMembuktikan rumustrigonometri dari sinusdan cosinus jumlah danselisih dua sudut> sinus jumlah dan selisih sudut

cosinus jumlah dan selisih sudut tangen jumlah dan selisih sudut perkalian sinus dan cosinus sinus sudut ganda cosinus sudut ganda identitas trigonometriMembuktikan rumustrigonometri jumlah danselisih dari sinus dancosinus dua sudut>88

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 207/394

 

A Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah DuaSudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua SudutSebelum membahas rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamuingat kembali pelajaran di kelas X. Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

sisi di depan sudut ABC

sin a =

C sisi miring ACsisi di dekat sudut AAB

cos a =

=

B sisi miring AC

A

=sisi di depan sudut A BC

tan a

sisi di dekat sudut AAB

= =

Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping.Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) danberjari-jari 1 satuan misalnya,

. AOB = . A

. BOC = . B

maka . AOC = . A + . B

Dengan mengingat kembali tentang koordinatCartesius, maka:

ABCDBBAO XYa. koordinat titik A (1, 0)b. koordinat titik B (cos A, sin A)c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}d. koordinat titik D {cos (B), sin (B)} atau (cos B, sin B)

AC = BD maka AC2 = DB2

{cos (A + B) 1}2 + {sin (A + B) 0}2 = {cos B cos A}2 + {sin B sin A}2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 208/394

 

cos2 (A + B) 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B 2 cos B cos A + cos2 A +sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A2 2 cos (A + B) = 2 2 cos A cos B + 2 sin A sin B2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B sin A sin B)cos (A + B) = cos A cos B sin A sin BRumus cosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin BDengan cara yang sama, maka:cos (A B) = cos (A + (B))cos (A B) = cos A cos (B) sin A sin (B)cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B

Trigonometri 89

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 209/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 90Rumus cosinus selisih dua sudut:cos (A B) = cos A cos B + sin A sin BUntuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilahcontoh soal berikut.Contoh soal

Diketahui cos A = 135 dan sin B = 2524 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dancos (A B).Penyelesaiancos A = 135 , maka sin A = 1312sin B = 2524 , maka cos B = 257cos (A + B) = cos A · cos B sin A · sin B

= 135 · 257 1312 · 2524= 32525332528832535 -=-cos (A B) = cos A · cos B + sin A · sin B= 5 7 12 24

13 25 13 25· + ·= 35 288325 325+ = 3233252. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua SudutPerhatikan rumus berikut ini.sin (A + B) = cos { 2p (A + B)}= cos ( 2p A B)= cos {( 2p A) B}

= cos ( 2p A) cos B + sin ( 2p A) sin B= sin A cos B + cos A sin BMaka rumus sinus jumlah dua sudut: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin BIngat!!Sudut A dan B lancip, makasin A = 1312 . cos B = 257cos A = 135 . sin B = 2524

135 dan sin B = 2524 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 210/394

 

cos (A B).Penyelesaiancos A = 135 , maka sin A = 1312sin B = 2524 , maka cos B = 25

7cos (A + B) = cos A · cos B sin A · sin B= 135 · 257 1312 · 2524= 325253325288325

35 -=-cos (A B) = cos A · cos B + sin A · sin B= 5 7 12 2413 25 13 25· + ·= 35 288325 325+ = 3233252. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua SudutPerhatikan rumus berikut ini.sin (A + B) = cos { 2p (A + B)}= cos ( 2p A B)

= cos {( 2p A) B}= cos ( 2p A) cos B + sin ( 2p A) sin B= sin A cos B + cos A sin BMaka rumus sinus jumlah dua sudut: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin BIngat!!Sudut A dan B lancip, makasin A = 1312 . cos B = 257

cos A = 135 . sin B = 2524

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 211/394

 

91TrigonometriDengan cara yang sama, maka:sin (A B) = sin {A + (B)}= sin A cos (B) + cos A sin (B)= sin A cos B cos A sin BRumus sinus selisih dua sudut: sin (A B) = sin A cos B cos A sin B

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami tentang penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.Contoh soalDiketahui cos A = 54 dan sin B = 135 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dansin (A B).Penyelesaiancos A = 54 , maka sin A = 53 (kuadran II)

sin B = 135 , maka cos B = 1312 (kuadran II)sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B= 53 ·( 1312 ) + ( 54 ) ·135= 65566520

6536 -=--sin (A B) = sin A cos B cos A sin B=3 12 4 55 13 5 13. .. .·- -- · . .. .. .. .= 36 2065 65- + = 1665-3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Suduttan (A + B) =

sin ( )cos ( )A BA B++=sin cos cos sincos cos sin sinA B A BA B A B+-

=1sin cos cos sin cos cos

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 212/394

 

cos cos sin sin 1cos cosA B A B A BA B A BA B+ ··-·

Ingat!!Jika sudut A dan B tumpul,sin A = 53 .cos A = 54sin B = 135 .cos B = 131254 dan sin B = 135 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dansin (A B).

Penyelesaiancos A = 54 , maka sin A = 53 (kuadran II)sin B = 135 , maka cos B = 1312 (kuadran II)sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B= 53 ·( 1312 ) + ( 54 ) ·135

= 655665206536 -=--sin (A B) = sin A cos B cos A sin B=3 12 4 55 13 5 13. .. .·- -- · . .. .. .. .= 36 20

65 65- + = 1665-3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Suduttan (A + B) =sin ( )cos ( )A BA B++=sin cos cos sincos cos sin sin

A B A BA B A B+

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 213/394

 

-=1sin cos cos sin cos coscos cos sin sin 1cos cosA B A B A B

A B A BA B+ ··-·Ingat!!Jika sudut A dan B tumpul,sin A = 53 .cos A = 54sin B = 135 .cos B = 1312

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 214/394

 

sin A cos B +cos A sin B

cos A cos B

= cos cos sin sin A B A B-

cos A cos Bsin A cos B cos A sin B

cos A cos B cos A cos Bsin A sin B

+

cos A cos B tan A +tan B

=

=

=cos cos cos coscos cos sin sinA B A BA B A B+-sin A sin B 1-tan A tan B

1-·

cos A cos BRumus tangen jumlah dua sudut:

tan (A + B) =tan tan1 tan tanA BA B+

-tan (A B) =tan tan1 tan tanA BA B-+Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlahdan selisih dua sudut.

Contoh soal

Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 215/394

 

Penyelesaian

tan 60 °+tan 45 °

tan 105° = tan (60 + 45)° =

1-tan 60 ° tan 45 °

+

31 3 +11 + 3

×

=

=

1-31- 31+ 3

3 +3 ++ 3

1

4 +23 4 +23= =

= (2 + 3)

= 12 -(3) 2 = 13--2

3.1

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih sudut berikut.a. sin 105°b. sin 75° cos 15° cos 75° sin 15°

92Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 216/394

 

2. Hitunglah dengan rumus cosinus jumlah dan selisih sudut berikut.a. cos 195°b. cos 58° cos 13° + sin 58° sin 13°3. Diketahui sin A = 35 , cos B = 135 , dan A dan B merupakan sudut lancip.a. Tentukan tan (A + B)b. Tentukan tan (A B)

4. Diketahui . A dan . B adalah sudut lancip. Jika cos A = 54 dan cos B = 2425 ,

tentukan:

a. cos (A + B)b. sin (A B)5. Sederhanakanlah: tan (x + 45°) · tan (x 45°).4. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Gandaa. Menggunakan Rumus Sinus Sudut GandaDengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:sin 2A = sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A= 2 sin A cos A

Rumus: sin 2A = 2 sin A cos AUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui sin A = 135 , di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumussudut ganda, hitunglah sin 2A.

Penyelesaian

r2 = x2 + y2 . x2 = r2 y2= 132 (5)2= 168 25

x2 = 144x = 12, karena di kuadran III

cos A =

r

12

cos A = 

13sin 2A = 2 sin A cos A = 2 ( 513 ) = 120

13 ) ( 12

169

x-Trigonometri 93

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 217/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 218/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 94b. Rumus Cosinus Sudut GandaDengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:cos 2A = cos (A + A)= cos A cos A sin A sin A= cos2 A sin2 A ..(1)atau

cos 2A = cos2 A sin2 A= cos2 A (1 cos2 A)= cos2 A 1 + cos2 A= 2 cos2 A 1 ..(2)ataucos 2A = cos2 A sin2 A= (1 sin2 A) sin2 A= 1 2 sin2 A (3)Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai berikut.cos 2A = cos2 A sin2 Acos 2A = 2 cos2 A 1cos 2A = 1 2 sin2 A

Pelajarilah contoh soal berikut untuk memahami rumus cosinus sudut ganda.Contoh soalDiketahui cos A = 2425 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumussudut ganda, hitunglah nilai cos 2A.Penyelesaiancos 2A = 2 cos2 A 1= 2( 2425 )2 1= 2·276625 1 = 1.152 527 1625 625 -=c. Rumus Tangen Sudut GandaDengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:

tan 2A = tan (A + A)= tan tan1 tan tanA AA A+- · = 22 tan1 tanAA-Ingat!!

sin2 A + cos2 A = 12425 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumussudut ganda, hitunglah nilai cos 2A.Penyelesaiancos 2A = 2 cos2 A 1= 2( 2425 )2 1= 2·276625 1 = 1.152 527 1625 625 -=c. Rumus Tangen Sudut GandaDengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:tan 2A = tan (A + A)

= tan tan1 tan tanA A

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 219/394

 

A A+- · = 22 tan1 tanAA-

Ingat!!sin2 A + cos2 A = 1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 220/394

 

Rumus: tan 2A = 22 tan1 tanAA- 22 tan

1 tanAA-Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Jika a sudut lancip dan cos a = 54 , hitunglah tan 2a.

Penyelesaian

BC2 = AC2 AB2

=52 42= 25 16 = 9

BC = 9 = 3BC 3

tan a = =

AB 4432 · 33

2 tan a

2

tan 2a =

=

=

1- tan 2 a 29

..

1-

1-.

.

16

. 4 .332

=

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 221/394

 

=

2716 9

-

1616 163 16 24

= × =

277

A BC

12

12

12

d. Rumus Sudut Ganda untuk SinA, Cos

A, dan Tan

A

Berdasarkan rumus cos 2A = 1 2 sin2 A dan cos 2A = 2 cos2 A 1, maka dapat11 1

A .digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk sin

A , cosA , dan tan22 2

1

Misal 2A = a. A =

a , sehingga:2cos 2A = 1 2 sin2 A1

a

cos a = 1 2 sin2

2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 222/394

 

1

2 sin2

a = 1 cos a

211- cos a

sin2

a =2211- cos a

a =sin

22

Trigonometri 95

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 223/394

 

1

aBegitu pula untuk cos

2cos 2A = 2 cos2 A 11

cos a = 2 cos2

a 121

2 cos2

a = cos a+ 121 cos a+1

a =cos2

221 cos a+1

a =cos 2 2

Dengan cara yang sama didapat:1 sin a 11-cos a

tan

a = a jika cos a.-1 atau tana = jika sin a.0.21+cos 2 sin aRumus:

sin 12 a =1 cos2- acos 12 a =

cos 12a+

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 224/394

 

tan 12 a =sin1 cosa+ a, cos 1a.-tan 1

2 a =1 cossin- aa , sin 0a.Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Hitunglah nilai dari:

1. sin 15°

2. cos 67,5°3. tan 22,5°Penyelesaian

1

1-

3

1-cos 30 °22 - 3

1. sin 15° ==

=

2 24

= 1 2 32 -96Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 225/394

 

97Trigonometri3.22. cos 67,5° =cos 135 12°+=

cos 45 12- °+=1 2122- += 224- + = 1 2 22 -3. tan 22,5° =sin 45

1 cos 45°+ ° =1 2211 22+=222 22+=2 2

2 2 2·+=22 2+ =2 2 22 22 2-·+ -= 22 242

-- = 2( 2 1)2- = 21-Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Diketahui sin A = 1312 , 0 < A < 12 pa. Tentukan nilai dari sin 2A.b. Tentukan nilai dari cos 2A.c. Tentukan nilai dari tan 2A.2. Tanpa tabel logaritma dan kalkulator, hitunglah:a. 2 sin 75° cos 15°

b.sin 81 sin 15sin 69 sin 171

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 226/394

 

°+ °°- °3. Jika sin A = 1213 dan A terletak di kuadran II, tentukan nilai:a. sin 2Ab. cos 2A4. Hitunglah:

a. sin 67,5°b. cos 22,5°c. tan 15°5. Jika cos 2A = 810 dan A sudut lancip, tentukan tan A.Ingat!!sin (180 A)° = sin Acos (180 A)° = cos Atan (180 A)° = tan A3.22. cos 67,5° =cos 135 12

°+=cos 45 12- °+=1 2122- += 224- + = 1 2 22 -3. tan 22,5° =

sin 451 cos 45°+ ° =1 2211 22+=222 22+

=2 22 2 2·+=22 2+ =2 2 22 22 2-·+ -= 22 2

42-- = 2( 2 1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 227/394

 

2- = 21-Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Diketahui sin A = 1312 , 0 < A < 12 pa. Tentukan nilai dari sin 2A.

b. Tentukan nilai dari cos 2A.c. Tentukan nilai dari tan 2A.2. Tanpa tabel logaritma dan kalkulator, hitunglah:a. 2 sin 75° cos 15°b.sin 81 sin 15sin 69 sin 171°+ °°- °3. Jika sin A = 1213 dan A terletak di kuadran II, tentukan nilai:a. sin 2A

b. cos 2A4. Hitunglah:a. sin 67,5°b. cos 22,5°c. tan 15°5. Jika cos 2A = 810 dan A sudut lancip, tentukan tan A.Ingat!!sin (180 A)° = sin Acos (180 A)° = cos Atan (180 A)° = tan A

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 228/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 981. Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinusatau Cosinusa. Perkalian Cosinus dan CosinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikutcos (A + B) = cos A cos B sin A sin B

cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B +cos (A + B) + cos (A B) = 2 cos A cos BRumus: 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus perkalian cosinus dan cosinus.Contoh soalNyatakan 2 cos 75° cos 15° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukanhasilnya.Penyelesaian2 cos 75° cos 15° = cos (75 + 15)° + cos (75 15)°

= cos 90° + cos 60°= 0 + 21= 21Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok. Kemudian, buktikan:sin 3A = 3 sin A 4 sin 3Acos 3A = 4 cos3 A 3 cos Atan 3A =323 tan tan1 3 tan

A AA--Cocokkan dengan kelompok lain. Adakan tanya jawab materi yang sedang diberikanB Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus danCosinus21= 21Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok. Kemudian, buktikan:

sin 3A = 3 sin A 4 sin 3Acos 3A = 4 cos3 A 3 cos Atan 3A =323 tan tan1 3 tanA AA--Cocokkan dengan kelompok lain. Adakan tanya jawab materi yang sedang diberikanB Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan

Cosinus

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 229/394

 

b. Perkalian Sinus dan SinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin Bcos (A B) = cos A cos B + sin A sin B _ cos (A + B) cos (A B) = 2 sin A sin B atau

2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B)

2 cos A sin B = sin (A + B) sin (A B)Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus, palajarilah contoh soalberikut.

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B)

Rumus: )B+A) cos (BA= cos (BsinA2 sin  Agar lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Nyatakan 2 sin 67 12 ° sin 22 12 ° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya.

Penyelesaian

2 sin 67 12° sin 222 = cos (6712 2212)° cos (6712 + 22 12)°

=cos 45° cos 90°1

1

2

= 2 0 =

2

2

c. Perkalian Sinus dan CosinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut.sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin (A B) = sin A cos B cos A sin B

+sin (A + B) + sin (A B) = 2 sin A cos B atau2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B)

Dengan cara yang sama didapat rumus:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 230/394

 

Contoh soal

Nyatakan soal-soal di bawah ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudiantentukan hasilnya.

1. sin 105° cos 15°2. sin 127 12 ° sin 97 12 °Trigonometri 99

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 231/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1003.3Penyelesaian1. sin 105° cos 15° = 21 {sin (105 + 15)° + sin (105 15)° }= 21 (sin 120° + sin 90)°= 2

1 ( 321 + 1)= 341 + 212. sin 1127 2 ° sin 197 2 ° = 21 (2 sin 127 21 ° sin 97 21 °)= 21 {cos (127 21 ° 97 2

1 °) cos (127 21 ° + 97 21 °)}= 21 (cos 30° cos 225°)= 21 (cos 30° + cos 45°)= 21 1 13 22 2. .+. .. .= ( )1 3 24 +Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Sederhanakanlah:

a. 2 cos (x + 50)° cos (x 10)°b. 2 cos (x + 20)° sin (x 10)°2. Tentukan nilai dari:a. cos 120° sin 60°b. sin 75° cos 15°3. Tentukan nilai dari:a. 2 sin 52 21 ° sin 7 21 °b. 2 cos 52 21 ° cos 7 21 °

4. Tentukan nilai dari:a. sin 125 p cos 121 pb. cos 611 p cos 61 p3.3Penyelesaian1. sin 105° cos 15° = 21 {sin (105 + 15)° + sin (105 15)° }= 21 (sin 120° + sin 90)°= 2

1 ( 321 + 1)= 34

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 232/394

 

1 + 212. sin 1127 2 ° sin 197 2 ° = 21 (2 sin 127 21 ° sin 97 21 °)= 2

1 {cos (127 21 ° 97 21 °) cos (127 21 ° + 97 21 °)}= 21 (cos 30° cos 225°)= 21 (cos 30° + cos 45°)= 21 1 13 22 2. .+. .. .

= ( )1 3 24 +Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Sederhanakanlah:a. 2 cos (x + 50)° cos (x 10)°b. 2 cos (x + 20)° sin (x 10)°2. Tentukan nilai dari:a. cos 120° sin 60°b. sin 75° cos 15°3. Tentukan nilai dari:a. 2 sin 52 21 ° sin 7 21 °b. 2 cos 52 2

1 ° cos 7 21 °4. Tentukan nilai dari:a. sin 125 p cos 121 pb. cos 611 p cos 61 p

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 233/394

 

2.Penggunaan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudutdalam Pemecahan MasalahUntuk menentukan sudut-sudut selain 30°, 45°, 60° dan sebagainya (sudut istimewa)dapat digunakan tabel logaritma maupun kalkulator. Akan tetapi dapat juga diguna

kanrumus jumlah dan selisih dua sudut istimewa.

a.Rumus Penjumlahan CosinusBerdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalamcosinus yaitu sebagai berikut.2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)

Misalkan:A + B = a A + B = aA B = ß A B = ß _ 

+2A = a + ß 2B = a ß

A = 1(a + ß)B = 1(a b)

22

Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)

2 cos 12 (a + ß) cos 12 (a ß) = cos a + cos ßatau

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.

Penyelesaian

cos 100° + cos 20° = 2 cos 1 (100 + 20)° cos 12 (100 20)°

2= 2 cos 60° cos 40°= 2 · 12 cos 40°= cos 40°

b.Rumus Pengurangan CosinusDari rumus 2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B), dengan memisalkanA + B = a dan A B = ß, terdapat rumus:

cos a + cos ß = 2 cos 21 (a + ß) cos 2

1 (a ß)cos a cos ß = 2 sin 21 (a + ß) sin 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 234/394

 

1 (a ß)Trigonometri 101

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 235/394

 

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Sederhanakan cos 35° cos 25°.

Penyelesaian

cos 35° cos 25°= 2 sin 12 (35 + 25)° sin 12 (35 25)°= 2 sin 30° sin 5°= 2 · 12 sin 5°= sin 5°

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan SinusDari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B), dengan memisalkanA + B = a dan A B = ß, maka didapat rumus:

sin a + sin ß = 2 sin 21 (a + ß) cos 21 (a ß) dansin a sin ß = 2 cos 21 (a + ß) sin 21 (a ß)Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilahpenggunaannya dalam contoh soal berikut.

Contoh soal

1. Sederhanakan sin 315° sin 15°.

Penyelesaian

1

sin 315° sin 15° = 2 · cos 2 (315 + 15)° · sin 12 (315 15)°=2 · cos 165° · sin 150°=2 · cos 165 · 12= cos 165°

2. Sederhanakan sin 45° + sin 75°.Penyelesaian

sin 45° + sin 75°= 2 · sin 12 (45 + 75)°· cos 12 (45 75)°= 2 · sin 60° · cos (15)°

· cos 15°= 2· 1 32= 3 cos 15°102Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 236/394

 

tan a+ tan ß = cos cos+a ß = cos cos cos cos+a ß a ßcos cos+

a ß = cos cos cos cos+a ß a ßd. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangensin a sin ß sin a cos ß cos asin ßsin a cos ß+cos a sin ßsin ( a+ß )

cos a cos ß

2 sin ( a+ß ) 2sin( a+ß )Dengan cara yang sama didapat rumus:

= cos cos a ß== 2 cos cos a ß = cos ( ) cos ( )a+ß + a-ßtan a+ tan ß=2 sin ( )cos ( ) cos ( )a+ßa+ß + a-ßtan a tan ß =2 sin ( )cos ( ) cos ( )a-ß

a+ß + a-ßPerhatikan penggunaan rumus penjumlahan pada contoh soal berikut.

Contoh soal

1. Tentukan tan 52,5° tan 7,5°.Penyelesaian

2sin (52,5 °7,5 ) °

tan 52,5° tan 7,5° =

( °+7,5 ) cos 52,5 ° 7,5 °)

cos 52,5 °+ (

·

11

2

() ( 2 )

= )· (22

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 237/394

 

11

11

+2 2 )(22

22

11

 

=2 sin 45cos 60° + cos 45°=12 221 1+ 22 2

=( )1 12 22 242

( )1 12 22 2=

1

-

4

= -22 +4 = 42 2

Trigonometri 103

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 238/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1042. Tentukan nilai tan 165° + tan 75°Penyelesaiantan 165° + tan 75° =2 sin (165 75)cos (165 75) cos (165 75)

+ °+ °+ - °=2 sin 450cos 240 cos 90°°+ °= 1212 32·-- = 233. Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan Cosinus

Jumlah dan Selisih Dua SudutKamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri dengan menggunakan sinusdan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut.Contoh soal1. Diketahui tan A =125 dan sin B =45 , A dan B sudut lancip. Buktikan nilaicos (A + B) =3365- .

BuktiPenyelesaian ruas kiri:cos (A + B) = cos A ·cos B sin A ·sin B=5 3 12 413 5 13 5· - ·=15 48  65 65=33

65- (terbukti)2. Jika 2 cos (x + 2p) = cos (x 2p), maka buktikan sin x = 0.Bukti2 cos (x + 2p) = cos (x 2p )2{cos x cos 2p sin x sin 2p} = cos x cos 2p + sin x sin 2

p2 cos x cos 2p 2 sin x sin 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 239/394

 

p = cos x cos 2p + sin x sin 2pIngat!!Jika tan a= 512 , makasin A = 13

12 dan cos A = 135Jika sin B = 54, maka cos B = 532 sin (165 75)cos (165 75) cos (165 75)+ °+ °+ - °=2 sin 450cos 240 cos 90

°°+ °= 1212 32·-- = 233. Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan CosinusJumlah dan Selisih Dua SudutKamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri dengan menggunakan sinusdan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut.Contoh soal1. Diketahui tan A =12

5 dan sin B =45 , A dan B sudut lancip. Buktikan nilaicos (A + B) =3365- .BuktiPenyelesaian ruas kiri:cos (A + B) = cos A ·cos B sin A ·sin B=5 3 12 4

13 5 13 5· - ·=15 48  65 65=3365- (terbukti)2. Jika 2 cos (x + 2p) = cos (x 2p), maka buktikan sin x = 0.Bukti

2 cos (x + 2p) = cos (x 2p )

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 240/394

 

2{cos x cos 2p sin x sin 2p} = cos x cos 2p + sin x sin 2p2 cos x cos 2p 2 sin x sin 2

p = cos x cos 2p + sin x sin 2pIngat!!Jika tan a= 512 , makasin A = 1312 dan cos A = 135Jika sin B = 54, maka cos B = 53

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 241/394

 

2 cos x · 0 2 sin x · 1 = cos x · 0 + sin x · 10 2 sin x = 0 + sin x2 sin x sin x = 03 sin x = 0sin x = 0 (terbukti)

4.Membuktikan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih dariSinus dan Cosinus Dua SudutKamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri memakai jumlah dan selisihdari sinus dan cosinus dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1.Buktikan cos 75° cos 15° =  Bukti

cos 75° cos 15° = 2 sin 12 (75° + 15°) sin 12 (75° 15°)

= 2 sin 12 · 90° sin 12 · 60°

= 2 sin 45° · sin 30°1

12 · 2= 2

2

=  

(terbukti)

2. Buktikan sin ( p6+ A) + sin (( p6 A) = cos ABukti

Penyelesaian ruas kiri:

pppppp

sin (6 + A) + sin ( 6 A)=2 sin 12{(6 + A) + (6 A)} cos 12{(6 + A) (6 A)}

= 2 sin 12(2 p6) · cos 12 (2A)

= 2 sin ( p6) · cos A

= 2 · 12 cos A= cos A(terbukti ruas kiri = ruas kanan)

221 .

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 242/394

 

221Trigonometri 105

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 243/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1061. Merancang dan Membuktikan Identitas TrigonometriIdentitas adalah suatu persamaan yang selalu benar untuk konstanta yang manapunjuga. Cara membuktikan identitas trigonometri dapat menggunakan:a. rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut,b. rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinu

s,c. rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.Contoh soal1. Buktikan: 21 cos 21 cosAA-- = 2.BuktiPenyelesaian ruas kiri:

21 cos 21 cosAA-- =221 (1 2 sin )sinAA

--3.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.Tanpa tabel trigonometri atau kalkulator buktikan bahwa:1. cos 75° cos 15° = 2212. sin 80° + sin 40° = 3 cos 20°3. sin A + cos A = 2 cos (A 45°)4. tan 75° tan 15° = 2 35. sin 55 sin 35 2cos35 cos 25° ° =-°- ° cos 5°6. sin180 sin 21 3sin 69 sin171°+ ° = °- °

7. cos 10° + cos 110° + cos 130° = 08. cos 465° + cos 165° + sin 105° + sin 15° = 0C Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus danCosinus1. Merancang dan Membuktikan Identitas TrigonometriIdentitas adalah suatu persamaan yang selalu benar untuk konstanta yang manapunjuga. Cara membuktikan identitas trigonometri dapat menggunakan:a. rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut,b. rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus,c. rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.Contoh soal1. Buktikan: 2

1 cos 21 cosA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 244/394

 

A-- = 2.BuktiPenyelesaian ruas kiri:21 cos 2

1 cosAA-- =221 (1 2 sin )sinAA--

3.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.Tanpa tabel trigonometri atau kalkulator buktikan bahwa:1. cos 75° cos 15° = 2212. sin 80° + sin 40° = 3 cos 20°3. sin A + cos A = 2 cos (A 45°)4. tan 75° tan 15° = 2 35. sin 55 sin 35 2cos35 cos 25° ° =-°- ° cos 5°6. sin180 sin 21 3sin 69 sin171°+ ° = °- °7. cos 10° + cos 110° + cos 130° = 08. cos 465° + cos 165° + sin 105° + sin 15° = 0

C Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus danCosinus

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 245/394

 

107Trigonometri=221 1 2sinsin

AA-+=222sinsinAA= 2Terbukti ruas kiri = ruas kanan.

2. Buktikan:cos3 cos5sin 3 sin 5A AA A-+ = tan ABuktiPenyelesaian ruas kiri:cos 3 cos 5sin 3 sin 5A AA A

-+ =1 12 21 12 22 sin (3 5 ) sin ( (3 5 ))2 sin ( (3 5 ) cos ( (3 5 ))A A A AA A A A· + ·· + ·

=2 sin 4 sin ( )2 sin 4 cos ( )A AA A· -· -= sin 4 ( sin )sin 4 cos ( )A AA A·-

·=sin 4 sin

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 246/394

 

sin 4 cosA AA A··= sincos

AB = tan ATerbukti ruas kiri = ruas kanan.2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rumus Jumlah danSelisih Dua SudutPerhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui sin A = 53-dan A terletak di kuadran IV. Tentukan nilai:1. sin 2A2. cos 2A3. tan 2A

Penyelesaian1. sin 2A = 2 sin A cos A= 2 ( 53-)( 54 )= 2524Ingat!!sin A = 53-cos A = 54tan A = 4

3-221 1 2sinsinAA-+=222sin

sinAA= 2Terbukti ruas kiri = ruas kanan.2. Buktikan:cos3 cos5sin 3 sin 5A AA A-+ = tan ABukti

Penyelesaian ruas kiri:cos 3 cos 5sin 3 sin 5

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 247/394

 

A AA A-+ =1 12 21 1

2 22 sin (3 5 ) sin ( (3 5 ))2 sin ( (3 5 ) cos ( (3 5 ))A A A AA A A A· + ·· + ·=2 sin 4 sin ( )2 sin 4 cos ( )A AA A

· -· -= sin 4 ( sin )sin 4 cos ( )A AA A·-·=sin 4 sinsin 4 cosA A

A A··= sincosAB = tan ATerbukti ruas kiri = ruas kanan.2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rumus Jumlah danSelisih Dua SudutPerhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal

Diketahui sin A = 53-dan A terletak di kuadran IV. Tentukan nilai:1. sin 2A2. cos 2A3. tan 2APenyelesaian1. sin 2A = 2 sin A cos A= 2 ( 53-)( 54 )= 2524Ingat!!

sin A = 53-cos A = 5

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 248/394

 

4tan A = 43-

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 249/394

 

2. cos 2A ====1 2 sin2 A1 2 ( 5- 3)2

1 2 2591 2518 = 2573. tan 2A =sin 2cos 2AA =- 24

72525

24 · 25 24

=

=

257 73.5

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Diketahui a, ß, dan . menyatakan besar sudut-sudut dalam segitiga ABC. Dengantan a = 3 dan tan ß = 1, tentukan tan ..4

2.Diketahui tan x =, p < x < 23 p. Tentukan cos 3x + cos x.

3

p

3.Jika sin x = a,< x < p, tentukan cos x tan x.2

4.Jika0< A < p dan 0 < B < p memenuhi A + B = 23 p dan sin A = 2 sin B, tentukan(A B).5. Diketahui cos (A B) = 1

3 dan cos A cos B = 1 dengan A, B sudut lancip.2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 250/394

 

2cos ( AB)

-

Tentukan nilai .

cos ( AB)

+

1.Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut:a.cos (A + B) = cos A cos B sin A sin Bb.cos (A B) = cos A cos B + sin A sin Bc.sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

d.sin (A B) = sin A cos B cos A sin B108Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 251/394

 

tan A + tan B

e.tan (A + B) =1- tan A tan Btan A + tan B

f.tan (A B) =1+ tan A tan B

2.Rumus-rumus trigonometri untuk sudut ganda.a.sin 2A = 2 sin A cos Ab.cos 2A = cos2A sin2A = 2 cos2A 1 = 1 2 sin2A

2 tan A

c.tan 2A = 21- tan A1- cos A

d.sin 12 A =2cos A +1

e.cos 12 A =2sin A

f.tan 12 A =1+ cos A1- cos A

g.tan 12 A =sinA

3.Rumus-rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus ataucosinus.a.2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)b.2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B)

c.2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B)d.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 252/394

 

2 cos A sin B = sin (A + B) sin (A B)4.Rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan untuk sinus, cosinus, dan tangen.a.cos A + cos B = 2 cos 12(A + B) cos 12 (A B)b.cos A cos B = 2 sin 12(A + B) sin 12 (A B)

c.sin A + sin B = 2 sin 12 (A + B) cos(A B)d.sin A sin B = 2 cos 12 (A + B) sin B)2 sin (A + B)

e.tan A + tan B =cos (A + B) + cos (A - B)2 sin (A - B)

f.

tan A tan B =cos (A + B) + cos (A - B)

Trigonometri 109

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 253/394

 

I.1.2.3.4.5.

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.

Diketahui sin A = 12 , sin B = 3 , dengan A dan B dikuadran I. Maka nilai cos (A+ B)

13 5

adalah .16

a.

657b. 257c.25Sin 30° = ..1

a. 4b.12

1c.4

2 sin 15° cos 15° = .1

2

a.31

b.21

2

c. 2

Jika tan A = 12 dan tan B =

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 254/394

 

1

2

a.2

1

3

b.2

1

2

c.

3

16

d.6565

e.15

1

d.2

e. 11

3

d.2

e. 11 , maka tan (A + B) adalah .

31

3

d.3

e. 1Sin 17° cos 13° + cos 17° sin 13° = .

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 255/394

 

1

a.d.12

b.e.0c.221321110Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 256/394

 

6.2 cos2 30° 1 = .112

a.

d.23

b.e. 1c.7

7. Diketahui sin x =dan sin y = 3 , dengan x dan y sudut tumpul. Sin (x + y) = .

25 5

2213211173

a. 1255d.

34b.5e. 125

- 4

c.5

8.Jika sin (90 A)° = 2 3, maka tan A = .

1a.3d. 3

61

b.3e. 2 3

31

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 257/394

 

3

c.2

9.Sin 75° cos 15° + cos 75° sin 15° = ..13

a. 0d.2

b. 6e.1

c.10. Jika tan 5° = p, maka tan 40° = .6211

p1

+-+

-p

1

d.a. 1p

p

1

-

1

-

+

p

p

b.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 258/394

 

e.1

+

p

2

1

p

1c.p -1

1

cos 2 x

+-11.senilai dengan  

1

cos 2 x

a. tan xd. cot2 xb. cot xe. cos2 xc. tan2 xTrigonometri 111

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 259/394

 

12. Cos 2A 2 cos2A = .a. 1 d. 2 cos Ab. 1 e. 2 cos A sin Ac. 2 sin A13. Cos 41° cos 11° + sin 41° sin 11° = .a.

d. 0b.e. 11

c.2

14. Sin (x p3 ) + sin (x 43p ) = .a. 2 sin x d. 1

b. sin x e. sin xc. 015. Cos 44 12 cos 3012 sin 4412 sin 30 = ....16. Jika cos 2A = , dengan A sudut lancip, maka tan A adalah .a. 21216 + 2 d. 41416 - 2b. 41

416 - 2 e. 41416 - 2c. 21216 - 28

10

11

a. d.3 1011

b. e.59

c. 201

17. sin 52,5° sin 7,5° = .

411

21 21

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 260/394

 

a. () d. ()32 411

b. ( 2 1 ) e. ( 2 1 )16 8

c.2 )3212211(1 2 1112Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 261/394

 

18. Cos 15° sin 15° = ....a. 0d. cos 45°b. cos 60°e. cos 45°c. cos 60°

19. Sin 67,5° + sin 22,5° = .a.d. 2sin22,5°2

b. sin 22,5°e. 2 sin 22,5°c. cos 22,5°20.Jika sin 2x = 1 4p², maka cos² x = .-+ 2 p1 p +1d.a.

2 2p1-+

b.e. 022 p +1

c.2II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.

1. Diketahui sin A = 53 dan tan B = 125 . Hitunglah:a. sin (A + B)b. cos (A B)2. Tentukan nilai dari:a. cos 123° cos 57° sin 123° sin 57°b. cos 100° sin 10° sin 100° cos 10°c. oooo12tan42tan112tan42tan+-

3.Hitunglah nilai dari:1°a. 2 sin 5212° cos 7 21°

b. 2 cos 5212° sin 724. Nyatakan dalam bentuk paling sederhana.a. sin 75° + sin 15°b. cos 100° + cos 20°c. cos 35° cos 25°Trigonometri 113

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 262/394

 

5. Buktikan:- )

tan 12(AB

sin A- sin B

a.=sin A+ sin B 1( + )AB

tan

2sin 3 A+ sin A

= tan 2 A

b.cos3 A+ cos A

6. Sederhanakanlah:sin 80o + sin 40o

a.cos80o + cos 40o

cos 25o + cos115o

b.cos115o - cos 25o

sin A- sin 2 B

c. cos2 A+ cos2 B7. Jika cos 2A = 0,75, dengan 0° < A< 90°, hitunglah:a. cos Ab. sin A8. Hitunglah nilai tan 75° + tan 15° .9. Diketahui A, B, Cadalah sudut-sudut dalam sebuah segitiga. Jika A B= 30° dan

C= 65 , hitunglah nilai dari cos Asin B.

10. Jika cos 2A= 108 , dengan A sudut lancip, berapakah tan A?114Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 263/394

 

4 vLingkaran

Persamaan Lingkaran  Persamaan Garis Singgung Lingkaran  

Lihatlah benda-benda di sekitarmu. Dapatkah kamu menemukan benda-bendaberbentuk lingkaran? Ternyata banyak sekali benda-benda berbentuk lingkaran, sepertiroda kendaraan, CD, arloji, dan sebagainya.

Dalam bab ini kamu akan mempelajari lingkaran yang terkait dengan persamaanlingkaran dan garis singgungnya. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapatmenyusun persamaan lingkaran yang memenuhi syarat tertentu serta menentukanpersamaan garis singgung pada lingkaran dengan berbagai situasi.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 264/394

 

LingkaranPersamaan Lingkaran Persamaan garissinggung LingkaranPersamaanlingkaran berpusatdi (0, 0) dan (a, b)

Kedudukan titikdan garis terhadaplingkaranMenentukan pusatdan jari-jarilingkaran yangpersamaannyadiketahuiMerumuskanpersamaan garissinggung yangmelalui suatu titik

pada lingkaranMerumuskanpersamaan garissinggung yanggradiennyadiketahuiMelukis garis yangmenyinggung lingkarandan menentukan sifatsifatnyaPersamaan garissinggung lingkaranLingkaranPersamaan Lingkaran Persamaan garis

singgung LingkaranPersamaanlingkaran berpusatdi (0, 0) dan (a, b)Kedudukan titikdan garis terhadaplingkaranMenentukan pusatdan jari-jarilingkaran yangpersamaannyadiketahui

Merumuskanpersamaan garissinggung yangmelalui suatu titikpada lingkaranMerumuskanpersamaan garissinggung yanggradiennyadiketahuiMelukis garis yangmenyinggung lingkarandan menentukan sifatsifatnya

Persamaan garissinggung lingkaran pusat lingkaran sejajar

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 265/394

 

diskriminan tegak lurus posisi titik persamaan lingkaran posisi garis garis kutub gradien116Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 266/394

 

117LingkaranA Persamaan Lingkaran1. Pengertian LingkaranLingkaran adalah tempat kedudukan atauhimpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatutitik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan

pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakanjari-jari lingkaran.Dari gambar di samping, titik O adalah pusatlingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, makaOA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlakuOA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titikA(xA , yA) diperoleh:OA = r = 2 2( 0) ( 0)A Ax y- + -r2 = (xA 0)2 + (yA 0)2

r2 = xA2 + yA2Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)dan berjari-jari r adalah:x2 + y2 = r2Untuk lebih memahami tentang cara menentukanpersamaan lingkaran berpusat di O(0, 0), pelajarilahcontoh soal berikut.Contoh soalTentukan persamaan lingkaran jika diketahui:1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari 12;2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24).

Penyelesaian1. Lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan r = 12, maka persamaannya:x2 + y2 = r2. x2 + y2 = 122. x2 + y2 = 144Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan r = 12 adalahx2 + y2 = 144.ADC BOrr

rrIngat!!OA2 = OB2 + BA2r2 = x2 + y2ataux2 + y2 = r2OA Persamaan Lingkaran1. Pengertian LingkaranLingkaran adalah tempat kedudukan atauhimpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatutitik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan

pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakanjari-jari lingkaran.Dari gambar di samping, titik O adalah pusat

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 267/394

 

lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, makaOA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlakuOA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titikA(xA , yA) diperoleh:

OA = r = 2 2( 0) ( 0)A Ax y- + -r2 = (xA 0)2 + (yA 0)2r2 = xA2 + yA2Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)dan berjari-jari r adalah:x2 + y2 = r2Untuk lebih memahami tentang cara menentukanpersamaan lingkaran berpusat di O(0, 0), pelajarilahcontoh soal berikut.Contoh soal

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui:1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari 12;2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24).Penyelesaian1. Lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan r = 12, maka persamaannya:x2 + y2 = r2. x2 + y2 = 122. x2 + y2 = 144Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan r = 12 adalahx2 + y2 = 144.ADC BO

rrrrIngat!!OA2 = OB2 + BA2r2 = x2 + y2ataux2 + y2 = r2O

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 268/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1182. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (7, 24).

Maka jari-jari r = 2 2x y+ = 2 27 ( 24)+- = 49 576 625 + = = 25Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan melalui (7, 24) adalahx2 + y2 = 625.b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titikB(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jarilingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.r = jarak A ke Br2 = (AB)2= (xB xA)2 + (yB yA)2= (x a)2 + (y b)2Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)dan berjari-jari r adalah:(x a)2 + (y b)2 = r2Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan

contoh soal berikut.Contoh soalTentukan persamaan lingkaran jika diketahui:1. pusatnya (2, 3) dan berjari-jari 5;2. pusatnya (5, 2) dan melalui (4, 1);3. pusatnya (4, 5) dan menyinggung sumbu X.Penyelesaian1. Pusat (2, 3), r = 5Persamaan lingkaran: (x (2))2 + (y 3)2 = 52(x + 2)2 + (y 3)2 = 25x2 + 4x + 4 + y2 6y + 9 = 25x2 + y2 + 4x 6y + 13 = 25x2 + y2 + 4x 6y 12 = 0

2. Pusat (5, 2) dan melalui (4, 1)r = 2 2(5 ( 4)) (2 1) -- + -= 2 2(5 4) (2 1)+ + -= 2 29 1 81 1 82 + = +=Ingat!!Jarak antara titik A(x1, y1) danB(x2, y2) adalah:AB = 2 21 2 1 2( ) ( )x x y y- + -2 2x y+ = 2 27 ( 24)+- = 49 576 625 + = = 25Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan melalui (7, 24) adalahx2 + y2 = 625.

b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titikB(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jarilingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.r = jarak A ke Br2 = (AB)2= (xB xA)2 + (yB yA)2= (x a)2 + (y b)2Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)dan berjari-jari r adalah:(x a)2 + (y b)2 = r2Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan

contoh soal berikut.Contoh soalTentukan persamaan lingkaran jika diketahui:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 269/394

 

1. pusatnya (2, 3) dan berjari-jari 5;2. pusatnya (5, 2) dan melalui (4, 1);3. pusatnya (4, 5) dan menyinggung sumbu X.Penyelesaian1. Pusat (2, 3), r = 5Persamaan lingkaran: (x (2))2 + (y 3)2 = 52(x + 2)2 + (y 3)2 = 25

x2 + 4x + 4 + y2 6y + 9 = 25x2 + y2 + 4x 6y + 13 = 25x2 + y2 + 4x 6y 12 = 02. Pusat (5, 2) dan melalui (4, 1)r = 2 2(5 ( 4)) (2 1) -- + -= 2 2(5 4) (2 1)+ + -= 2 29 1 81 1 82 + = +=Ingat!!Jarak antara titik A(x1, y1) danB(x2, y2) adalah:AB = 2 21 2 1 2( ) ( )x x y y- + -

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 270/394

 

82 )282 )2Persamaan lingkaran: (x 5)2 + (y 2)2=(

x2 10x + 25 + y2 4y +4 =82x2 + y2 10x 4y + 29 =82x2 + y2 10x 4y 53 =0

3.Pusat (4, 5) dan menyinggung sumbu X . jari-jari lingkaran = 5Persamaan lingkaran: (x 4)2 + (y 5)2 =52x2 8x + 16 + y2 10y + 25 =25x2 + y2 8x 10y + 41 =25x2 + y2 8x 10y + 16 =0

3.Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang PersamaannyaDiketahuiBerdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(x a)2 + (y b)2 = r2x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = r2x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 = r2x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2 = 0

Jika 2a = 2A, 2b = 2B dan a2 + b2 r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaanlingkaran:

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (A, B) dan jarijarilingkaran (r) = 2 2 2a b C+ - atau r = 2 2A B C+ -Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1.Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaanlingkaran sebagai berikut.a.x2 + y2 2x 6y 15 = 0b.2x2 + 2y2 4x + 3y = 0c.3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0Penyelesaian

a.x2 + y2 2x 6y 15 = 0x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Maka diperoleh:2A = 2 2B = 6 C = 15

A = 1 B = 3

Lingkaran 119

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 271/394

 

r =

A2 +B2 -C

= ( 1)2 ()32 (15)

- +- --

= 1 9 15 25 ++ = = 5Jadi, pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5.

b. 2x2 + 2y2 4x + 3y = 0x2 + y2 2x + 1 12 y = 0x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Maka diperoleh:

11

2A = 2 2B =

C = 0

23

A = 1 B =

4

r = 22

A +B -C

= ( 1) 2 +3 )2-0

-

(49

=1+

1625 5

=

=

1645

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 272/394

 

Jadi, pusat lingkaran (1, 43 ) dan jari-jari lingkaran = 4 .

c.3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0x2 + y2 + 10x + 24 = 0x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Maka diperoleh:2A = 10 2B = 0 C = 24A = 5 B = 0

r = 22

A +B -C

=52 +- 02 24

=1 = 1

Jadi, pusat lingkaran (5, 0) dan jari-jari lingkaran = 1.

2.Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 1), (5, 3), dan (6, 2) kemudiantentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.= 25 24 -120Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 273/394

 

Penyelesaian

Persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + ax + by + c = 0Melalui (3, 1) maka:x2 + y2 + ax + by + c = 032 + (1)2 + a · 3 + b · (1) + c = 0

9 + 1 + 3a b + c = 03a b + c + 10 = 0 (1)

Melalui (5, 3), maka:x2 + y2 + ax + by + c = 052 + 32 + a · 5 + b · 3 + c = 025 + 9 + 5a + 3b + c = 05a + 3b + c + 34 = 0 (2)

Melalui (6, 2) maka:x2 + y2 + ax + by + c = 062 + 22 + 6a + 2b + c = 0

36 + 4 + 6a + 2b + c = 06a + 2b + c + 40 = 0 (3)

Dari persamaan (1) dan (2): Dari persamaan (2) dan (3):

3a b + c + 10 = 0 5a + 3b + c + 34 = 05a + 3b + c + 34 = 0 _ 6a + 2b + c + 40 = 0 _ 2a 4b +024 = 0 a + b 6 =0

a + 2b + 12 = 0 (4) a b + 6 = 0 (5)

Dari persamaan (4) dan (5):a + 2b + 12= 0a b + 6 = 0 _ 3b + 6 = 0b = 2

b = 2 disubstitusikan ke persamaan (5):a b + 6 = 0a + 2 + 6 = 0

a + 8 = 0

a = 8

a = 8, b = 2 disubstitusikan ke persamaan (1):

3a b + c + 10 = 03(8) (2) + c + 10 = 024 + 2 + c + 10 = 0

c = 12

Lingkaran 121

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 274/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 122Jadi persamaan lingkaran adalah:x2 + y2 + ax + by + c = 0x2 + y2 8x 2y + 12 = 0Maka diperoleh:2A = 8 2B = 2 C = 12A = 4 B = 1

r = 2 2A B C+ -= 2 2( 4) ( 1) 12- +- -= 16 1 12 5+- =Jadi, pusat (A, B) = (4, 1) dan jari-jari r = 5 .Buatlah kelasmu menjadi kelompok-kelompok kemudian kerjakan soal berikut.1. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, apa yang kami ketahuijika A2 + B2 C = 0?2. Apakah sebuah titik juga merupakan lingkaran?Cocokkan dengan kelompok lain, adakan tanya jawab materi yang sedangdiberikan.4.1Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik:

a. (3, 4) c. (5, 2)b. (7, 24) d. (8, 6)2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan diketahui:a. berjari-jari 5 c. menyinggung garis x = 3b. berjari-jari 7 d. menyinggung garis y = 43. Tentukan persamaan lingkaran berikut yang diketahui hal-hal berikut.a. Berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5.b. Berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 7.c. Berpusat di (5, 2) dan berjari-jari 3.d. Berpusat di (4, 5) dan berjari-jari 6 .2 2A B C+ -= 2 2( 4) ( 1) 12- +- -= 16 1 12 5+- =

Jadi, pusat (A, B) = (4, 1) dan jari-jari r = 5 .Buatlah kelasmu menjadi kelompok-kelompok kemudian kerjakan soal berikut.1. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, apa yang kami ketahuijika A2 + B2 C = 0?2. Apakah sebuah titik juga merupakan lingkaran?Cocokkan dengan kelompok lain, adakan tanya jawab materi yang sedangdiberikan.4.1Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik:a. (3, 4) c. (5, 2)b. (7, 24) d. (8, 6)2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan diketahui:

a. berjari-jari 5 c. menyinggung garis x = 3b. berjari-jari 7 d. menyinggung garis y = 43. Tentukan persamaan lingkaran berikut yang diketahui hal-hal berikut.a. Berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5.b. Berpusat di (3, 4) dan berjari-jari 7.c. Berpusat di (5, 2) dan berjari-jari 3.d. Berpusat di (4, 5) dan berjari-jari 6 .

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 275/394

 

4.Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan melalui salah satu titik yangdiketahui hal-hal berikut.a.Pusat (3, 4) dan melalui titik (5, 5).b.

Pusat (2, 3) dan melalui titik (3, 4).c.Pusat (4, 6) dan melalui titik (1, 2).d.Pusat (5, 6) dan melalui titik (3, 1).5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran berikut.a. x2 + y2 4x 6y 12 = 0b.x2 + y2 2x 6y 15 = 0c.x2 + y2 4x + 8y 29 = 0d.2x2 + 2y2 4x + 16y + 2 = 0

6.Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut dan tentukan pulapusat dan jari-jari lingkarannya.a.(2, 0), (6, 0), dan (5, 7) c. (2, 1), (1, 2), dan (1, 0)b.(5, 5), (2, 6), dan (7, 1) d. (5, 1), (4, 6), dan (2, 2)4.Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkarana.Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r21) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y12 < r2.2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x12 + y12 = r2.

3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y12 > r2.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2+ y2 = 25

1.A(3, 1)2.B(3, 4)

3.C(5, 6)Penyelesaian

1.A(3, 1) . x2 + y2 = 32 + 12 = 9 + 1= 10 < 25Jadi A(3, 1) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25.

2.B(3, 4) . x2 + y2= (3)2 + 42 = 9 + 16= 25 = 25Jadi B(3, 4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25.

Lingkaran 123

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 276/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 277/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1243. C(5, 6) . x2 + y2 = 52 + (6)2 = 25 + 36= 61 > 25Jadi C(5, 6) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25.b. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran (x a)2 + (y b)2 = r2a. Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 <

r2.b. Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 = r2. c. Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 >r2.Coba perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 6x + 8y = 01. A(0, 0) 2. B(2, 1) 3. C(3, 2)Penyelesaian1.A(0, 0) . x2 + y2 6x + 8y = 02 + 02 6 · 0 + 8 · 0= 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Jadi titik A(0, 0) terletak pada lingkaran x2 + y2 6x + 8y = 02. B(2, 1) . x2 + y2 6x + 8y = 22 + 12 6 · 2 + 8 · 1= 4 + 1 12 + 8 = 1 > 0Jadi B(2, 1) terletak di luar lingkaran x2 + y2 6x + 8y = 03. C(3, 2) . x2 + y2 6x + 8y = 32 + (2)2 6 · 3 + 8 (2)= 9 + 4 18 16 = 21 < 0Jadi C(3, 2) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 6x + 8y = 0c. Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu LingkaranJika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan:x2 + (mx + n)2 +2Ax + 2B (mx + n) + C = 0x2 + m2 x2 + 2mnx + n2 +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

(1 + m2)x2 + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n2 + 2Bn + C) = 0D = (2mn + 2A + 2Bm)2 4 (1 + m2) (n2 + 2Bn + C) = 0Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,D = diskriminan = b2 4acJarak pusat lingkaran P(x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 adalah k = 1 12 2ax by ca b+ ++Ingat!!1 1

2 2ax by ca b+ ++Ingat!!

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 278/394

 

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:

1)Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaranx2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusatlingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2)Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaranx2+ y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarakpusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3)Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaranx2+ y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarakpusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

Perhatikan gambar berikut.

(a, b)ry = mx + n(a, b)Ak (a, b) Bky = mx + ny = mx + n

D < 0D = 0 D > 0

Untuk lebih memahami tentang posisi garis y = mx + n terhadap suatu lingkaran,pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan posisi titik A(6, 8) terhadap lingkaran:

1.x2 + y2 = 1002.x2 + y2 6x + 8y + 25 = 03.

(x 1)2 + (y + 2)2 = 64Penyelesaian

1.A(6, 8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2+ y2 = 100 diperoleh62 + (8)2 = 36 + 64 = 100Jadi A(6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100.2.A(6, 8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 6x + 8y + 25 = 0diperoleh 62 + (8)2 6 · 6 + 8 (8) + 25 = 36 + 64 36 64 + 25= 25 > 0Jadi A(6, 8) terletak di luar lingkaran x2 + y2 6x + 8y + 25 = 0.3.A(6, 8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran (x 1)2 + (y + 2)2 = 64diperoleh (6 1)2+ (8 + 2)2 = 52 + (6)2 = 25 + 36

= 61 < 64Jadi A(6, 8) terletak di dalam lingkaran (x 1)2 + (y + 2)2 = 64.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 279/394

 

Lingkaran 125

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 280/394

 

Pelajarilah pula contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1.Tentukan posisi garis x y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 = 25. Jika berpoton

gan,tentukan titik potongnya.Penyelesaian

x y + 1 = 0 . y = x + 1 .. (1)x2 + y2 = 25 (2)

Dari persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan (2):x2 + y2= 25 D= b2 4acx2 + (x + 1)2 = 25=12 4 · 1 (12)x2 + x2 + 2x +1 = 25 = 1 + 48

x2 + x2 + 2x + 1 25 = 0= 49 > 02x2 + 2x 24 = 0x2 + x 12 = 0Ternyata D > 0, sehingga garis x y + 1 memotong lingkaran x2+ y2 = 25 di duatitik yang berbeda. Titik-titik potongnya adalah:x2 + x 12 = 0(x + 4) (x 3) = 0x + 4 = 0 atau x 3 =0x = 4 atau x = 3

Untuk x = 4 disubtitusikan ke persamaan:y = x + 1 = 4+1= 3 . (4, 3)

Untuk x = 3 disubtitusikan ke persamaan:y = x + 1 =3 + 1=4 . (3, 4)Jadi, titik potongnya adalah (4, 3) dan (3, 4).

2.Tentukan posisi garis 2x y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2+ y2 4x 2y + 2 = 0.Penyelesaian

2x y + 1 = 0 . y = 2x + 1 (1)x2 + y2 4x 2y + 2 = 0 (2)Dari persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2):x2 + y2 4x 2y + 2 =0x2 + (2x +1)2 4x 2 (2x + 1) + 2 =0x2 + 4x2 + 4x + 1 4x 4x 2 + 2 = 05x2 4x + 1 = 0

126Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 281/394

 

127LingkaranD = b2 4ac= (4)2 4 · 5 · 1= 16 20= 4 < 0Ternyata D < 0, dengan demikian garis 2x y + 1 tidak memotong lingkaran

x2 + y2 4x 2y + 2 = 0.4.2Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = p2. Tentukan batas-batas nilai p supayaa. Titik A(9, 5) terletak di luar lingkaranb. Titik B(5, 5) terletak di dalam lingkaranc. Titik C(6, 8) terletak pada lingkaran2. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x 4y 60 = 0 a. (5, 3) b. (7, 1) c. (10, 0)3. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran x2 + y2 + 13x + 5y

+ 6 = 0a. A (p, 3) b. B (4, p) c. C (p, 6)4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x2 + y2 = 9.a.y = 3b. 3x + y 3 = 0c. 5x + 7y = 355. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x2 + y2 2x 2y 14 = 0a. 5x + 4y + 20 = 0b. 2x + 3y = 6c. x + y = 1B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik padaLingkaran

Telah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan,yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidakmemotonglingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garissinggung pada lingkaran.D = b2 4ac= (4)2 4 · 5 · 1= 16 20= 4 < 0Ternyata D < 0, dengan demikian garis 2x y + 1 tidak memotong lingkaranx2 + y2 4x 2y + 2 = 0.

4.2Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = p2. Tentukan batas-batas nilai p supayaa. Titik A(9, 5) terletak di luar lingkaranb. Titik B(5, 5) terletak di dalam lingkaranc. Titik C(6, 8) terletak pada lingkaran2. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x 4y 60 = 0 a. (5, 3) b. (7, 1) c. (10, 0)3. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran x2 + y2 + 13x + 5y+ 6 = 0a. A (p, 3) b. B (4, p) c. C (p, 6)

4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x2 + y2 = 9.a.y = 3b. 3x + y 3 = 0

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 282/394

 

c. 5x + 7y = 355. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x2 + y2 2x 2y 14 = 0a. 5x + 4y + 20 = 0b. 2x + 3y = 6c. x + y = 1B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada

LingkaranTelah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan,yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidakmemotonglingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garissinggung pada lingkaran.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 283/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 128a. Persamaan Garis Singgung di Titik P (x1, y1) pada Lingkaranx2 + y2 = r2Garis singgung l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P(x1, y1) karena OP.

garis l.

mOP . ml = 111yx . ml = 1ml =111yx-

ml = 11xy -Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.y y1 = ml (x x1)y y1 = 11xy - (x x1)y1 (y y1) = x1 (x x1)y1y y12 = x1x + x1

2x1x + y1y = x12 + y12x1x + y1y = r2Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah:x1x + y1y = r2Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soalTunjukkan bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, kemudiantentukan pula garis singgungnya.Penyelesaian

Ditunjukkan bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, yaitu denganmensubstitusikan (6, 8) pada lingkaran x2 + y2 = 10062 + (8)2 = 10036 + 64 = 100Terbukti bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100Persamaan garis singgung di titik (6, 8) pada lingkaran x2 + y2 = 100 adalah:x1x + y1y = r26x 8y = 1003x 4y = 50Gradien garis OP di titikP (x1, y1) adalah mOP = 11

yx .Dua garis tegak lurus jika

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 284/394

 

perkalian gradiennya = 1.Ingat!!11yx . ml = 1ml =

111yx-ml = 11xy -Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.y y1 = ml (x x1)

y y1 = 11xy - (x x1)y1 (y y1) = x1 (x x1)y1y y12 = x1x + x12x1x + y1y = x12 + y12x1x + y1y = r2Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah:

x1x + y1y = r2Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soalTunjukkan bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, kemudiantentukan pula garis singgungnya.PenyelesaianDitunjukkan bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, yaitu denganmensubstitusikan (6, 8) pada lingkaran x2 + y2 = 10062 + (8)2 = 10036 + 64 = 100Terbukti bahwa titik (6, 8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100

Persamaan garis singgung di titik (6, 8) pada lingkaran x2 + y2 = 100 adalah:x1x + y1y = r26x 8y = 1003x 4y = 50Gradien garis OP di titikP (x1, y1) adalah mOP = 11yx .Dua garis tegak lurus jikaperkalian gradiennya = 1.Ingat!!

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 285/394

 

b.Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran(x a)2 + (y b)2 = r2Perhatikan gambar berikut.

Gradien garis PQ adalah:

yb

QR 1

m= =

PQPRx1

-

-

a

Gradien garis singgung l yang tegak lurus garis PQ adalah:ml · mPQ = 1

--

b

y

1

= 1

m

l

·

x

1

a

(

x

1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 286/394

 

a

)

1

-

ml =

b =

--

(

--

yb

1

)

y

1

x

1

a

(

x

1

a

)

Jadi persamaan garis l dengan gradien ml

dan melalui titik Q(x1, y1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 287/394

 

=  

(

--

yb

1

)

adalah:

y y1= ml(x x1)

(

x

1

a

)

(x x1)

y y1 =  

(

--

yb

1

)

(y y1)(y1 b) = (x1 a)(x x1)yy1 by y12 + by1 = (x1x x12 ax + ax1)yy by y2 + by= xx + x2 + ax ax

1 1111 1

yy by + by + xx ax + ax= x2 + y2 (1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 288/394

 

111111

Untuk Q(x1, y1) terletak pada lingkaran (x a)2 + (y b)2 = r2, maka:

(x a)2 + (y b)2 = r2(x1 a)2 + (y1 b)2 = r2x2 2ax + a2 + y2 2by + b2= r2

1111

x12 + y12 = r2 + 2ax1 + 2by1 a2 b2 (2)

Lingkaran 129

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 289/394

 

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:yy by + by + xx ax + ax= x2 + y2

111111

yy1 by + by1+ x1x ax + ax1= r2 + 2ax1 + 2by1 a2 b2

yy1 by + by1 + x1x ax + ax1 2ax1 2by1 + a2 + b2= r2yy1 by by1+ x1x ax ax1 + a2 + b2= r2yy1 by by1 + b2 + xx1 ax ax1 + a2= r2(y b)(y1 b) + (x a)(x1 a)= r2(x a)(x1 a) + (y b)(y1 b)= r2(x1 a)(x a) + (y1 b)(y b)= r2

Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah:

2) = rby) (b1y) + (ax) (a1x(     

Untuk lebih memahami materi ini, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y 5)2 = 36 pada titikA(2, 3).

Penyelesaian

(x + 3)2 + (y 5)2 = 36(x1 + 3)(x + 3) + (y1 5)(y 5) = 36Pada titik A(2, 3):

(2 + 3)(x + 3) + (3 5)(y 5) = 365(x + 3) + (2)(y 5) = 365x + 15 2y + 10 = 36

5x 2y + 25 = 0Jadi, persamaan garis singgung: 5x 2y + 25 = 0.

c.

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1, y1) pada Lingkaranx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x1, y1) pada lingkaran (x a)2 +(y b)2 = r2 adalah:(x1 a)(x a) + (y1 b)(y b)= r2x1x ax1 ax + a2 + y1y by1 by + b2= r2x1x a(x1 + x) + a2 + y1y b(y1 + y) + b2= r2x1x + y1y a(x1 + x) b(y1 + y) + a2 + b2 r2 = 0Misalnya A = a, B = b, dan C = a2 + b2 r2, persamaannya menjadi:

130Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 290/394

 

x1x + y1y a(x1 + x) b(y1 + y) + a2 + b2 r2 = 0x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0Maka persamaan garis singgung melalui Q(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2+ 2Ax +2By + C = 0 adalah

= 0C) +y+1y(B) + x+1x(A+y1y+x1xUntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal beri

kut ini.

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(2, 1) pada lingkaranx2 + y2 2x + 4y 5 = 0.

Penyelesaian

A(2, 1) .x1 = 2 x2 + y2 2x + 4y 5 = 0y1 = 1 A = 1 , B = 2 dan C = 5

Persamaan garis singgung melalui titik A(2, 1):x1x + y1y + Ax1 + Ax + By1 + By + C = 02x + 1.y + (1) · 2 + (1)x + 2 · 1 + 2 · y 5 = 02x + y 2 x + 2 + 2y 5 = 0x + 3y 5 = 0

d.Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada

lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1)disebut titik kutub.

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapatditentukan dengan langkah-langkah:

1) Membuat persamaan garis kutub darititik A(x1, y1) terhadap lingkaran.2) Melalui titik potong antara garis kutub

lingkaran.

3)Membuat persamaan garis singgungmelalui titik potong garis kutub danlingkaran.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) di luar lingkaran x2 + y2= 13

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 291/394

 

Lingkaran131

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 292/394

 

Penyelesaian

Persamaan garis kutub di (5, 1) adalah sebagai berikut:x1x+ y1y= r2

5x+ y= 13y= 13 5xy= 13 5x

Persamaan garis y= 13 5xdisubstitusikan dengan lingkaran x2 + y2 = 13 diperoleh: x2 + y2 = 13x2 + (13 5x)2 = 13x2 + 169 130x+ 25x2= 1326x2 130x+ 156 = 0x2 5x+6 = 0

(x 2) (x 3) = 0x= 2 atau x= 3

Untuk x= 2, maka y= 13 5x= 13 5 · 2= 13 10 = 3

Diperoleh titik singgung (2, 3).Jadi, persamaan garis singgung melalui (2, 3) adalah 2x+ 3y= 13.

Untuk x= 3, maka y

= 13 5x= 13 5 · 3= 13 15 = 2

Diperoleh titik singgung (3, 2).Jadi, persamaan garis singgung melalui (3, 2) adalah 3x 2y= 13.

4.3Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini.a.x2 + y2 = 9 di titik (2, 5) c. x2 + y2 = 4 di titik (4, 7)b.x2 + y2 = 16 di titik (3, 4) d.x2 + y2 = 12 di titik (5, 6)2.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini.a.(x 4)2 + (y+ 3)2 = 36 di titik (2, 1)b.(x+ 2)2 + (y 3)2 = 9 di titik (2, 6)c.(x 1)2 + (y+ 5)2 = 7 di titik (3, 2)d.

(x+ 5)2 + (y 2)2 = 10 di titik (4, 3)132Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 293/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 294/394

 

3.Tentukan persamaan garis singgung di titik-titik berikut ini.a.x2 + y2+ 8x 6y + 9 = 0 di titik (2, 5)b.x2 + y2 4x 8y + 17 = 0 di titik (3, 6)c.

2x2 + y2+ 8x + 4y 16 = 0 di titik (5, 3)d.3x2 + 3y2 6x 9y 3 = 0 di titik (1, 2)4.Tentukan p:a.jika garis y = p + 6 menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25b.jika garis y = 2x 5 menyinggung lingkaran x2 + y2 = p2c.jika lingkaran x2 + y2 + 2py + q = 0 mempunyai jari-jari 2 akan menyinggunggaris y = x

d.jika lingkaran x2 + y2 + 6x + 8y p = 0 menyinggung garis 3x 4y = 05.Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (4, 2) di luar lingkaranx2 + y2 = 106.Diketahui titik A(1, 4) di luar lingkaran x2 + (y 1)2 = 2.a.Tentukan persamaan garis kutub lingkaran dari titik A.b.Jika P dan Q titik potong garis kutub dengan lingkaran, tentukan persamaangaris singgung melalui titik P dan Q.c.

Tentukan sketsa gambarnya.2.Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahuia.Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaranx2 + y2 = r2Untuk persamaan garis singgung y = mx + n

y = mx + n .. x2 + (mx + n)2 = r2222 .

x + y = r .. x2 + m2x2 + 2mnx + n2 r2 = 0

.(1 + m2)x2+ 2mnx + n2 r2= 0Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga

(2mn)2 4(1 + m2) (n2 r2)= 04m2n2 4(n2 + m2n2 r2 m2r2) = 0

:4m2n2 n2 m2n2 + r2 + m2r2= 0

. n2= r2 + m2r2

. n2= r2 (1 + m2)

. n = ± r 1+ m2Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x2 + y2 = r adalah:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 295/394

 

y = mx ± r 21m+Lingkaran 133

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 296/394

 

Agar lebih memahami tentang materi di atas, pelajarilah contoh soal berikut inidengan baik.

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 22 pada lingkaran

x2 + y2 = 16.

Penyelesaian

Persamaan garis singgung dengan gradien 22 pada lingkaran x2 + y2 = 16 adalah:

m = 2 2

r2 = 16 . r = 4y = mx ± r 1+ m2

= 2 2 x ± 4142

+

= 2 2 x ± 4 1+16 2

= 2 2 x ± 4 17

Jadi persamaan garis singgungnya: y = 2 2 x + 4 17y = 2 2 x 4 17

b.Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran

(x a)2 + (y b)2 = r2Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m padalingkaran x2 + y2 = r2 adalah:

y = mx ± r 1+ m2

Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran(x a)2 + (y b)2 = r2 adalah:

y b = m(x a) ± r 21m+c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaranx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaranx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu kebentuk (x a)2 + (y b)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:y b = m(x a) ± r 21m+Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh soal berikut.

134Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 297/394

 

Contoh soal

Diketahui lingkaran x2+ y2 + 4x 2y + 1 = 0. Tentukan persamaan garis singgung yangtegak lurus garis g: 3x + 4y 1 = 0, terhadap lingkaran.

Penyelesaian

g: 3x + 4y 1 = 04y = 3x + 131 3

y =

x + 4 . m =4 g4

Syarat tegak lurus: m1 ·m g = 1

m1 ·43 = 14

m1= -

3

x2 + y2 + 4x 2y + 1 = 0

pusat (2, 1)

r = 2 22 ( 1) 1+- -

= 4 = 2Persamaan lingkaran: (x + 2)2 + (y 1)2 = 4Persamaan garis singgung:

y b = m (x a) ± r 1+m2

y 1 = 4 (x + 2) ± 2 +- )

3 1(423

16

y 1 = 34(x + 2) ± 2 1+

9

25

y 1 = 43(x + 2) ± 2

9

45

y 1 = 3 x 83 ± 2 ·3

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 298/394

 

4 10

y 1 = x 8 ±

33 33(y 1) = 4x 8 ± 10

3y 3 = 4x 8 ± 103y 3 = 4x 8 + 10 atau 3y 3 = 4x 8 103y = 4x + 5 atau 3y = 4x 15

45 4

y = 3 x + 3 atau y = 3 x 5

Lingkaran 135

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 299/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1364.4Kerjakan soal-soal di bawah inidengan benar.

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkarandari:a. (x+ 2)2 + (y 3)2 = 4 yang membentuksudut 45o dengan sumbu X positif

b. x2 + y2 + 4x 6y + 11 = 0 yang membentuksudut 135o dengan sumbu X positif2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a. x2 + y2 = 10 dengan gradien 3b. (x+ 2)2 + (y 5)2 = 9 dengan gradien 1c. x2 + y2 10x+ 2y+ 17 = 0 dengan gradien 23. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a.x2 + y2 = 4 dan sejajar garis x y+ 3 = 0b. (x + 1)2 + (y 3)2 = 9 dan sejajar garis 2x+ y+ 4 = 0c. x2 + y2 4x+ 10y+ 4 = 0 dan sejajar garis y= x+ 24. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a. x2 + y2 = 25 dan tegak lurus dengan garis 4x 3y+ 5 = 0

b. (x 2)2 + (y+ 3)2 = 16 dan tegak lurus dengan garis x 2y+ 4 = 0c. x2 + y2 2x+ 8y+ 1 = 0 tegak lurus dengan garis 2x+ 2y+ 5 = 0Ingat!!Gradien = mm= tan 135o= tan (180 45)o= 11. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjaraksama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.2. Persamaan lingkarana. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari radalah

x2 + y2 = r2b. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) dan berjari-jari radalah(x a)2 + (y b)2 = r2c. Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By+ C = 0, pusat di(A, B) dan berjari-jari 2 2A B C+ -4.4Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1. Tentukan persamaan garis singgung lingkarandari:a. (x+ 2)2 + (y 3)2 = 4 yang membentuksudut 45o dengan sumbu X positifb. x2 + y2 + 4x 6y + 11 = 0 yang membentuksudut 135o dengan sumbu X positif

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a. x2 + y2 = 10 dengan gradien 3b. (x+ 2)2 + (y 5)2 = 9 dengan gradien 1c. x2 + y2 10x+ 2y+ 17 = 0 dengan gradien 23. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a.x2 + y2 = 4 dan sejajar garis x y+ 3 = 0b. (x + 1)2 + (y 3)2 = 9 dan sejajar garis 2x+ y+ 4 = 0c. x2 + y2 4x+ 10y+ 4 = 0 dan sejajar garis y= x+ 24. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:a. x2 + y2 = 25 dan tegak lurus dengan garis 4x 3y+ 5 = 0b. (x 2)2 + (y+ 3)2 = 16 dan tegak lurus dengan garis x 2y+ 4 = 0c. x2 + y2 2x+ 8y+ 1 = 0 tegak lurus dengan garis 2x+ 2y+ 5 = 0Ingat!!

Gradien = mm= tan 135o= tan (180 45)o

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 300/394

 

= 11. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjaraksama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.2. Persamaan lingkarana. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari radalah

x2 + y2 = r2b. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) dan berjari-jari radalah(x a)2 + (y b)2 = r2c. Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By+ C = 0, pusat di(A, B) dan berjari-jari 2 2A B C+ -

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 301/394

 

3.Posisi suatu titik terhadap lingkaran (x a)2 + (y b)2 = r2a.Jika P (x1, y1) terletak di dalam lingkaran berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 < r2b.Jika P (x1, y1) terletak pada lingkaran berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 = r2

c.Jika P (x1, y1) terletak di luar lingkaran berlaku (x1 a)2 + (y1 b)2 > r24.Posisi suatu garis l: y = mx + n terhadap suatu lingkaran x2+ y2 + 2Ax +2By + C = 0a.Jika D < 0, maka persamaan garis l terletak di luar lingkaranb.Jika D = 0, maka persamaan garis l terletak pada lingkaranc.Jika D > 0, maka persamaan garis l terletak di dalam lingkaran5.

Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada lingkarana.Persamaan garis singgung yang melalui P(x1, y1) pada lingkaranx2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2b.Persamaan garis singgung yang melalui P(x1, y1) pada lingkaran(x a)2 + (y b)2 = r2 adalah (x1 a)(x a) + (y1 b) (y b) = r2c.Persamaan garis singgung yang melalui P(x1, y1) pada lingkaranx2 + y2+ 2Ax + 2By + C adalah x1x + y1y + Ax1 + Ax + By1 + By + C = 06.Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentua.

Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaranx2 + y2 = r2 adalah y = mx ± r 1+ m2b.Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran(x a)2 + (y b)2 = r2 adalah y b = m (x a) ± r 1+ m2c.Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaranx2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah y b = m(x a) ± r 1+ m2I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.1.Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 3 adalah .

a.x2 + y2= 2 d. x2 + y2 = 16b. x2 + y2 = 4 e. x2 y2 = 16c.x2 + y2 = 92.Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 3) dengan jari-jari 7 adalah ..a.x2 + y2 4x + 6y 49 = 0 d. x2 + y2 + 4x 6y 36 = 0b.x2 + y2 + 4x 6y 49 = 0 e. x2 + y2 2x + 3y 49 = 0c.x2 + y2 4x + 6y 36 = 0Lingkaran 137

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 302/394

 

3.Jika lingkaran x2 + y2 4x 10y = 0 mempunyai pusat (2, a), maka nilai a adalah .a. 3d. 5b. 5e. 10

c. 24.Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan 9x2 +9y2 6x + 12y 4 = 0 berturutturutadalah .a. (1, 2) dan 3 d. (13, 1) dan 51

b. (1, 3) dan 2 e. (3, 32) dan 11

c.

(2, 13) dan 3

5.Persamaan lingkaran luar segitiga OAB dengan O(0, 0), B(2, 4), dan C(1, 7)adalah .a.x2 + y2 + 6x + 8y = 0 d. x2 + y2 6x 8y = 0b. x2 + y2+ 6x 8y = 0 e. x2 + y2 3x 4y = 0c.x2 + y2 6x + 8y = 06.Jika titik P(p, 3) terletak pada lingkaran L: x2 + y2 13x + 5y + 6 = 0, maka nilai padalah .

a.3 d. 3 atau 10b.1 e. 3 atau 10c.3 atau 107.Titik berikut yang terletak di luar lingkaran L: x2 + y2 + 4x 8y 5 = 0 adalah .a.(3, 0) d. (1, 1)b.(0, 7) e. (4, 3)

c.(2, 1)8.Kedudukan garis x + 3y 5 = 0 terhadap lingkaran L: x2 + y2 2x + 4y 5= 0adalah .a.memotong lingkaran di dua titikb.memotong lingkaran di satu titikc.tidak memotong lingkarand.memotong lingkaran di tiga titik

e.tidak menyinggung lingkaran9.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 303/394

 

Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = 36. Jika garis kutub titik P terhadap lingkaranini mempunyai persamaan 2x y 9 = 0 maka koordinat titik P adalah .a. (2, 1)d. (8, 4)b. (8, 4)e. (8, 2)

c. (2, 1)138Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 304/394

 

10.Persamaan garis singgung berabsis 4 pada lingkaran x2+ y2 = 25 adalah .a.4x+ 3y= 9 d. 4x 3y= 25b.4x+ 3y= 16 e. 3x 4y= 25

c.4x+ 3y= 2511.Jika titik A(2, 1) di dalam lingkaran (x+ 4)2 + (y p)2 = 13 maka nilai padalah .a.p> 4 d. 2 < p< 4b.p< 2 atau p> 4 e. 4 < p< 2c.p< 4 atau p> 212.Persamaan garis singgung dengan gradien 3 pada lingkaran x2 + y2 = 18 adalah .

a. y= 3x±6 5d. y= 3x± 2 2b.y= 3x± 62 e. y= 3x± 2 5c.y= 3x± 6 513.Persamaan garis singgung pada lingkaran L: x2 + y2 + 6x 2y= 0 yang sejajar dengan garis 4x 3y+ 7 = 0 adalah .a.4x 3y + 15 ± 10 = 0 d. 3x 4y+ 15 ± 10 = 0b.4x+ 3y+ 15 ± 10 = 0 e. 3x+ 4y 15 ± 10 = 0

c.3x+ 4y+ 15 ± 10 = 014.Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2 = 0adalah .a.x2 + y2 + 4x 3y 47 = 0 d. x2 + y2 2x 8y = 0b.x2 + y2 2x 8y + 8 = 0 e. x2 + y2 + 2x+ 8y+ 8 = 0c.x2 + y2 + 3x 8y + 2 = 015.

Persamaan garis singgung lingkaran L: x2 6x+ y2 + 8y= 0 yang tegak lurus pada garisx+ y= 1 adalah ..a. y= x 1 ± 5 2 d. y= x+ 7 ± 5 2b.y= x+ 7 ± 5 2 e. y= x 7 ± 5 2c. y= x + 1 ±5 2II.Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.1.Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari:a.x2 + y2 4x+ 2y + 1 = 0

b.x2 + y2 + 2x 4y 4 = 0Lingkaran 139

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 305/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 306/394

 

2.Tentukan persamaan lingkaran yang melalui:a.(3, 4), (1, 4), dan (5, 2)b.(5, 0), (0, 5), dan (1, 0)

3.Tentukan persamaan lingkaran dengan jari-jari 6 dan pusat di titik berikut.a.O(0, 0)b.A(2, 5)c.B(3, 4)4.Diketahui persamaan lingkaran x2+ y2 = a2. Tentukan batas-batas nilai a supaya:a.titik (5, 3) pada lingkaran,

b.titik (2, 4) di luar lingkaran,c.titik (2, 5) di dalam lingkaran.5.Sisi suatu persegi mempunyai persamaan x= 5, x = 5, y = 5, dan y = 5. Tentukanpersamaan lingkaran jika:a.menyinggung semua sisi persegi,b.melalui semua titik persegi.6.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran:

a. (x 3)2 + (y+ 1)2 = 25 di titik (7, 2),b.x2+ y2 4x 6y 27 = 0 di titik (4, 1).7.Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 41 yang:a.melalui titik berabsis 5 pada lingkaran,b.sejajar garis L: 3x+ 3y= 10,c.tegak lurus garis L: 3x 6y= 8.8.Jika garis y= 3x+ nmenyinggung lingkaran x2+ y2 2x 19 = 0, tentukan nilai ndan

titik singgungnya.9.Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis 3x+ y+ 3 = 0 pada lingkaranx2 + y2 8x 4y 20 = 0.10.Jika garis gadalah garis singgung melalui titik (3, 4) pada lingkaran x2 + y2 =25, tentukanpersamaan garis singgung lingkaran x2+ y2 2x + 4y+ 4 = 0 yang sejajar garis g.140Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 307/394

 

5Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak  

Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor  

Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak  

Masihkah kamu ingat peristiwa kecelakaan pesawat yang saat ini sering terjadidi Indonesia? Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor.Beberapa di antaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca, kerusakanmesin, body pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain. Jika faktor

faktortersebut diberi nama suku x1, x2, x3, ., xn maka terdapat banyak suku dalamsatu kesatuan. Dalam ilmu Matematika, hal demikian dinamakan suku banyak.

Pada bab ini, kamu akan belajar lebih lanjut mengenai aturan suku banyak dalampenyelesaian masalah. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat menggunakanalgoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil bagi dan sisa, sertamenggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 308/394

 

Suku banyakAlgoritmapembagian sukubanyakTeorema sisadan teorema

faktorPengertian dannilai sukubanyakHasil bagi dansisa pembagiansuku banyakPenggunaanteorema sisaPenggunaanteorema faktorterdiri darimenentukan

Penyelesaianpersamaansuku banyakPembuktianteorema sisa danteorema faktorDerajad suku banyakpada hasil bagi dansisa pembagianSuku banyakAlgoritmapembagian sukubanyak

Teorema sisadan teoremafaktorPengertian dannilai sukubanyakHasil bagi dansisa pembagiansuku banyakPenggunaanteorema sisaPenggunaan

teorema faktorterdiri darimenentukanPenyelesaianpersamaansuku banyakPembuktianteorema sisa danteorema faktorDerajad suku banyakpada hasil bagi dansisa pembagiandigunakan untuk

Akar-akar rasional daripersamaan suku banyakMenentukan

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 309/394

 

akar rasionalSifat-sifat akarpersamaan suku banyak algoritma pembagian suku banyak bentuk linear bentuk kuadrat

derajat n cara skema (Horner) teorema sisa teorema faktor144Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 310/394

 

145Suku BanyakA Algoritma Pembagian Suku Banyak1. Pengertian dan Nilai Suku Banyaka. Pengertian Suku BanyakSuku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyakdalam x berderajat n dinyatakan dengan:

a n xn + a n 1xn 1 + a n 2xn 2 + + a1x + a0Dengan syarat: n . bilangan cacah dan a n, a n 1, , a0 disebut koefisien-koefisiensuku banyak, a0 disebut suku tetap dan a n . 0.Contoh1) 6x3 3x2 + 4x 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3adalah 6, koefisien x2 adalah 3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya 8.2) 2x2 5x + 4 7 x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatifyaitu 7 x atau 7x1 dengan pangkat 1 bukan anggota bilangan cacah.b. Nilai Suku BanyakSuku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikutini.

f(x) = a n xn + a n 1xn 1 + a n 2xn 2 + + a1x + a0,di mana n . bilangan cacah dan a n . 0.Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai sukubanyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.1) Cara substitusiMisalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika nilai x diganti k, makanilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak3 + bk2 + ck + d. Agar lebihmemahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalHitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.1. f(x) = 2x3 + 4x2 18 untuk x = 32. f(x) = x4 + 3x3 x2 + 7x + 25 untuk x = 4Penyelesaian

1. f(x) = 2x3 + 4x2 18f(3) = 2 · 33 + 4 · 32 18= 2 · 27 + 4 · 9 18= 54 + 36 18f(3) = 72Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.A Algoritma Pembagian Suku Banyak1. Pengertian dan Nilai Suku Banyaka. Pengertian Suku BanyakSuku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyakdalam x berderajat n dinyatakan dengan:a n xn + a n 1xn 1 + a n 2xn 2 + + a1x + a0

Dengan syarat: n . bilangan cacah dan a n, a n 1, , a0 disebut koefisien-koefisiensuku banyak, a0 disebut suku tetap dan a n . 0.Contoh1) 6x3 3x2 + 4x 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3adalah 6, koefisien x2 adalah 3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya 8.2) 2x2 5x + 4 7 x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatifyaitu 7 x atau 7x1 dengan pangkat 1 bukan anggota bilangan cacah.b. Nilai Suku BanyakSuku banyak dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi f(x) berikutini.f(x) = a n xn + a n 1xn 1 + a n 2xn 2 + + a1x + a0,di mana n . bilangan cacah dan a n . 0.

Nilai f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Untuk menentukan nilai sukubanyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.1) Cara substitusi

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 311/394

 

Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika nilai x diganti k, makanilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak3 + bk2 + ck + d. Agar lebihmemahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalHitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.1. f(x) = 2x3 + 4x2 18 untuk x = 32. f(x) = x4 + 3x3 x2 + 7x + 25 untuk x = 4

Penyelesaian1. f(x) = 2x3 + 4x2 18f(3) = 2 · 33 + 4 · 32 18= 2 · 27 + 4 · 9 18= 54 + 36 18f(3) = 72Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 312/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1462. f(x) = x4 + 3x3 x2 + 7x + 25f(4) = (4)4 + 3 · (4)3 (4)2 + 7· (4) + 25= 256 192 16 28 + 25f(4) = 45Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 4 adalah 45.2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik

Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k, maka:f(x) = ax3 + bx2 + cx + df(x) = (ax2 + bx + c)x + df(x) = ((ax + b)x + c)x + dSehingga f(k) = ((ak + b)k + c)k + d.Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini.Agar lebh memahami tentang cara Horner, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soalHitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.1. f(x) = x3 + 2x2 + 3x 4 untuk x = 52. f(x) = 2x3 3x2 + 9x + 12 untuk x = 2

1Penyelesaian1. 5 1 2 3 45 35 1901 7 38 186Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.2. 21 2 3 9 121 1 42 2 8 16Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 21 adalah 16.k a b c d

a k ak2 + bk ak3 + bk2 + cka ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d+ Masing-masing koefisien x disusun dari pangkat terbesar sampai terkecil(perpangkatan x yang tidak ada, ditulis 0). Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan k, kemudian dijumlahkandengan koefisien yang berada di atasnya.Ingat!!++21

Penyelesaian1. 5 1 2 3 45 35 1901 7 38 186Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.2. 21 2 3 9 121 1 42 2 8 16Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 21 adalah 16.k a b c da k ak2 + bk ak3 + bk2 + ck

a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d+ Masing-masing koefisien x disusun dari pangkat terbesar sampai terkecil

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 313/394

 

(perpangkatan x yang tidak ada, ditulis 0). Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan k, kemudian dijumlahkandengan koefisien yang berada di atasnya.Ingat!!++

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 314/394

 

5.1

1.Tentukan derajat, koefisien-koefisien, dan suku tetap dari setiap suku banyakberikut ini.

a.x4 + 5x2 4x + 3 d. x(1 x)(1 + x)b.5x4 + 6x2 + 3x 1 e. (2x2 9)(3x + 1)c.3x5 5x3 x22.Tentukanlah nilai setiap suku banyak berikut ini dengan cara substitusi.a.x3 + 7x2 4x + 3, untuk x = 5 d.5x4 + 7x2 + 3x + 1, untuk x = 11

b.

2x3 + 4x2 + 6x + 8, untuk x = 3 e.x3 x + 1, untuk x =  3

c.2x3 + 4x2 18, untuk x = 33.Tentukanlah nilai setiap suku banyak berikut ini dengan cara Horner.a.x3 + 7x2 2x + 4, untuk x = 2b.2x4 x2 + 8, untuk x = 3c.7x4 + 20x3 5x2 + 3x + 5, untuk x = 1d. 4x7 8x5 + 4x4 5x3 + 15x 22, untuk x = 2

e.x5 + x4 2x3+ 2x 1, untuk x = 12.Derajat Suku Banyak pada Hasil Bagi dan Sisa PembagianDerajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu sukubanyak. Jika suku banyak ditulis a xn + a xn 1 + + ax + a, maka derajat dari suku

nn 110

banyak tersebut adalah n. Bagaimanakah derajat suku banyak pada hasil bagi?Perhatikanlah uraian berikut ini.Misalkan, suku banyak ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x k). Dengan pembagian

cara susun, maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

ax2 + (ak + b)x +(ak2 + bk + c)

x- kax3 + bx2 + cx+ d

ax3 akx2

(ak + b)x2+ cx + d(ak + b)x2 (ak2 + bk)x

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 315/394

 

(ak2 + bk + c)x + d(ak2 + bk + c)x (ak2 + bk + c)k

ak3 + bk2 + ck + d

Suku Banyak 147

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 316/394

 

Dari perhitungan tersebut diperoleh ax2 + (ak + b)x + (ak2 + b + c) sebagai hasilbagi. Maka, dapat diketahui dari ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x k) hasil baginyaberderajat 2. Selain itu, dari perhitungan di atas diperoleh ak3 + bk2 + ck + dsebagai

sisa pembagian.

Jika terdapat suku banyak f(x) dibagi (x k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k) sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga f(x) = (x k) h(x) + f(k).

Perhatikanlah penentuan nilai suku banyak dengan cara Horner berikut ini.

kabc dak ak3

>>>

ak2 + bk

+ bk2+ ck+

a

ak + b

ak2 + bk + c

ak3 + bk2 + ck + d

Jika kita bandingkan hasil di atas dengan pembagian cara susun, maka diperolehhasil sebagai berikut.

a.ak3 + bk2 + ck + d merupakan hasil bagi.b.a, ak + b, dan ak2 + bk + c merupakan koefisien hasil bagi berderajat 2.Dengan demikian, menentukan nilai suku banyak dengan cara Horner dapat juga

digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan pembagi (x k).Berdasarkan uraian yang telah kita pelajari maka dapat ditarik kesimpulan sebagaiberikut.

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat satuakan menghasilkan hasil bagi berderajat (n 1) dan sisa pembagianberbentuk konstanta.

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami cara menentukan derajat hasilbagi dan sisa pembagian suku banyak.

Contoh soal

Tentukanlah derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 317/394

 

1.2x3 + 4x2 18 dibagi x 3.2.2x3 + 3x2 + 5 dibagi x + 1Penyelesaian

1.

2x3 + 4x2 18 dibagi x 3.a.Dengan cara susun2x2 + 10x + 30x- 32 x3 + 4x2 + 0x- 18

2x3 6x210x2+ 0x 1810x2 30x

30x 1830x 9072

148Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 318/394

 

149Suku Banyakb Dengan cara Horner3 2 4 0 186 30 902 10 30 72Dari penyelesaian tersebut diperoleh 2x2 + 10x + 30 sebagai hasil bagi

berderajat 2 dan 72 sebagai sisa pembagian.2. 2x3 + 3x2 + 5 dibagi x + 1a. Dengan cara susun+-+ + + ++-+ ++--+---

23 23 2222 112 3 0 52 20 5516xxxxxxxxxxxxxxb. Dengan cara Horner

1 2 3 0 52 1 12 1 1 6hasil bagi sisaDari penyelesaian tersebut diperoleh 2x2 + x 1 sebagai hasil bagi berderajat2 dan 6 sebagai sisa pembagian.>>>5.2Tentukanlah derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dari:1. x3 + 2x2 + 3x + 6 dibagi (x 2)2. x3 + 4x2 + x + 3 dibagi (x 1)

3. 3x3 + 4x2 7x + 1 dibagi (x 3)4. x4 x2 + 7 dibagi (x + 1)5. x3 + 6x2 + 3x 15 dibagi (x + 3)6. 2x3 4x2 5x + 9 dibagi (x + 1)..............+-+ + + ++-+ ++--+--

-23 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 319/394

 

3 2222 112 3 0 52 20 5

516xxxxxxxxxxxxxxb. Dengan cara Horner1 2 3 0 52 1 12 1 1 6hasil bagi sisaDari penyelesaian tersebut diperoleh 2x2 + x 1 sebagai hasil bagi berderajat2 dan 6 sebagai sisa pembagian.>>

>5.2Tentukanlah derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dari:1. x3 + 2x2 + 3x + 6 dibagi (x 2)2. x3 + 4x2 + x + 3 dibagi (x 1)3. 3x3 + 4x2 7x + 1 dibagi (x 3)4. x4 x2 + 7 dibagi (x + 1)5. x3 + 6x2 + 3x 15 dibagi (x + 3)6. 2x3 4x2 5x + 9 dibagi (x + 1)..............

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 320/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1503. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyaka. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear (ax + b)Pembagian suku banyak dengan pembagi (x k) yang telah kamu pelajari, dapatdijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi (ax + b).Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.

Suku banyak f(x) dibagi (x k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k)sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga f(x) = (x k) h(x) + f(k). Pembagiansuku banyak f(x) dibagi (ax + b), dapat diubah menjadi bentuk f(x) dibagix ()ba- . Berarti, nilai k = ba- , sehingga pada pembagian suku banyak f(x) tersebutdapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.f(x) = () ()()bbxhxfaa. .-- · + -. .. .= ( ) ()()bbxhxfaa+ · + -f(x) = 1a(ax+b)·h(x) + f()ba-f(x) = (ax+b)· ()hxa +f()ba-

Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkan()hxa sebagai hasil bagi danf ()ba- sebagai sisa pembagian, sehingga f(x) = (ax + b) · ()hxa + f ()ba- .Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.1. f(x) = 2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (2x 1)2. f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3)Penyelesaian1. f(x) = 2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (2x 1) dengan cara horner sebagai berikut.21 2 1 5 11 1 3

2 2 6 2hasil bagi sisaIngat!!Ingat!!Karena pembaginya2x 1 = 2(x 21 )Faktor pengalinya adalah 21Hasil baginya = + +222 62xx= x2 + x + 3

Maka sisa pembagian = 2.( )+ = +1( )bxaxbaa>>>..............()ba- . Berarti, nilai k = ba- , sehingga pada pembagian suku banyak f(x) tersebutdapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.f(x) = () ()()bbxhxfaa. .-- · + -. .. .= ( ) ()()bbxhxfaa+ · + -f(x) = 1a(ax+b)·h(x) + f()ba-

f(x) = (ax+b)· ()hxa +f()ba-Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkan()hxa sebagai hasil bagi dan

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 321/394

 

f ()ba- sebagai sisa pembagian, sehingga f(x) = (ax + b) · ()hxa + f ()ba- .Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini.Contoh soalTentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.1. f(x) = 2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (2x 1)2. f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3)Penyelesaian

1. f(x) = 2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (2x 1) dengan cara horner sebagai berikut.21 2 1 5 11 1 32 2 6 2hasil bagi sisaIngat!!Ingat!!Karena pembaginya2x 1 = 2(x 21 )Faktor pengalinya adalah 2

1Hasil baginya = + +222 62xx= x2 + x + 3Maka sisa pembagian = 2.( )+ = +1( )bxaxbaa>>>..............

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 322/394

 

151Suku Banyakf(x) = (x 12)(2x2 + 2x + 6) + 2= (2 1)2x- (2x2 + 2x + 6) + 2

= (2x 1)(x2 + x + 3) + 2Jadi, (x2 + x + 3) merupakan hasil bagi dan 2 merupakan sisa pembagian.2. f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3) dengan cara horner sebagai berikut 32 2 1 1 103 3 62 2 4 4hasil bagi sisaJadi, (x2 x + 2) merupakan hasil bagidan 4 merupakan sisa pembagian.b. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2 + bx + c)Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c, di mana a .0 dapat dilakukan dengan

cara biasa apabila ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jikaax2 + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner.Misalkan, suatu suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c dengan a .0 dan dapatdifaktorkan menjadi (ax p1)(x p2). Maka, pembagian tersebut dapat dilakukandengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.1) f(x) dibagi (ax p1), sedemikian hingga f(x) = (ax p1) ·h1(x) + f 1pa. .. .. .,di mana h1(x) =()hxa.2) h(x) dibagi (x p2), sedemikian hingga h1(x) = (x p2) ·h2(x) + h1(p2).3) Substitusikan h1(x) = (x p2)·h2(x) + h1(p2) ke f(x) = (ax p1)·h1(x) + f 1pa

. .

. .. .

.Dihasilkan f(x) = (ax p1)(ax p2) ·h2(x) + 11 1 2( ) () paxphpfa. .. . - · +. . . .. . . ..Karena (ax p1)(ax p2) = ax2 + bx + c, maka dapat ditulis sebagai berikut.f(x) = (ax2 + bx + c) ·h2(x) + 11 1 2( ) () paxphpfa. .. . - · +. . . .. . . .di mana: h2(x) merupakan hasil bagi

(ax p1) ·h1(p2) + f 1pa. .. .. .merupakan sisa pembagianIngat!!Karena pembaginya2x + 3 = 2 (x + 32)Faktor pengalinya 32Hasil baginya = -+22 242xx= x2 x + 2

Maka sisa pembagian = 4...............1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 323/394

 

2)(2x2 + 2x + 6) + 2= (2 1)2x- (2x2 + 2x + 6) + 2= (2x 1)(x2 + x + 3) + 2Jadi, (x2 + x + 3) merupakan hasil bagi dan 2 merupakan sisa pembagian.2. f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3) dengan cara horner sebagai berikut

32 2 1 1 103 3 62 2 4 4hasil bagi sisaJadi, (x2 x + 2) merupakan hasil bagidan 4 merupakan sisa pembagian.b. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat (ax2 + bx + c)Pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c, di mana a .0 dapat dilakukan dengancara biasa apabila ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jikaax2 + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner.Misalkan, suatu suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c dengan a .0 dan dapat

difaktorkan menjadi (ax p1)(x p2). Maka, pembagian tersebut dapat dilakukandengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.1) f(x) dibagi (ax p1), sedemikian hingga f(x) = (ax p1) ·h1(x) + f 1pa. .. .. .,di mana h1(x) =()hxa.2) h(x) dibagi (x p2), sedemikian hingga h1(x) = (x p2) ·h2(x) + h1(p2).3) Substitusikan h1(x) = (x p2)·h2(x) + h1(p2) ke f(x) = (ax p1)·h1(x) + f 1pa. .. .. ..

Dihasilkan f(x) = (ax p1)(ax p2) ·h2(x) + 11 1 2( ) () paxphpfa. .. . - · +. . . .. . . ..Karena (ax p1)(ax p2) = ax2 + bx + c, maka dapat ditulis sebagai berikut.f(x) = (ax2 + bx + c) ·h2(x) + 11 1 2( ) () paxphpfa. .. . - · +. . . .. . . .di mana: h2(x) merupakan hasil bagi (ax p1) ·h1(p2) + f 1pa. .. .. .

merupakan sisa pembagianIngat!!Karena pembaginya2x + 3 = 2 (x + 32)Faktor pengalinya 32Hasil baginya = -+22 242xx= x2 x + 2Maka sisa pembagian = 4...............

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 324/394

 

Agar kamu memahami pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, pelajarilahcontoh soal berikut.

Contoh soal

Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika:

1.3x4 + 4x3 5x2 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)2.2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (x2 1)Penyelesaian

1.3x4 + 4x3 5x2 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3)Karena x2 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan, maka dilakukan pembagian biasa(cara susun).3x2 2x 10

2 432

x+ 2x+ 33 x+ 4x- 5x- 2x+ 5

3x4 + 6x3 + 9x2

2x3 14x2 2x + 5

2x3 4x2 6x10x2 + 4x + 510x2 20x 30

24x + 35

Jadi, 3x2 2x 10 merupakan hasil bagi dan 24x + 35 merupakan sisapembagian.

2. 2x3 + x2 + 5x 1 dibagi (x2 1)Karena (x2 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x 1), maka pembagiantersebut dapat dilakukan dengan 2 cara.

a.Cara susun2x + 12 32

x- 12x+ x+ 5x

-1

2x3 2x

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 325/394

 

x2 + 7x 1x2 17x

b.Cara Horner

x2 1 difaktorkan menjadi (x + 1)(x 1)7. p1 .

21 6

. f . a

.

.

.

1 2 1 5 12 1 6+152Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 326/394

 

153Suku Banyak5.31 2 1 62 12 1 7 . h2(x)hasil bagiJadi, (2x+ 1) merupakan hasil bagi dan 7xmerupakan sisa pembagian.

+........1. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:a.x3 + 7x2 + 4 dibagi (x 2)b.x4 x3 + 16 dibagi (x 3)c.x4 + 3x2 4x+ 3 dibagi (x+ 1)d. 2 3x+ x2 4x3 dibagi (x+ 3)e. 4x5 2x3 x + 4 dibagi (x+ 2)2. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:a.x3 2x2 + 4x 9 dibagi (2x 1)b.x3 + 7x2 + 4 dibagi (2x+ 1)c. 2x3 + 2x2 5x + 1 dibagi (2x 1)

d. 3x3 2x2 + 5x 4 dibagi (3x 2)e. 4x5 3x2 + x2 + 3 dibagi (3x+ 2)3. Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika:a.x3 + 2x 3 dibagi (x2 1)b.x3 + 3x2 + 5x+ 9 dibagi (x2 2x+ 1)c. 4x3 + x4 + 2x 5 dibagi (x2 + 2x 3)d. 2x4 + 3x3 x2 + 2x 5 dibagi (2x2 + x+ 1)e. 2x3 + 4x2 + x+ 7 dibagi (x2 + 5x 6)4. Tentukan nilai asehingga:a. 2x3 + x2 13x+ ahabis dibagi (x 2), kemudian tentukan hasil baginya.b. 6x3 x2 9x+ ahabis dibagi (2x+ 3), kemudian tentukan hasil baginya.c. 4x4 12x3 + 13x2 8x+ a habis dibagi (2x 1), kemudian tentukan hasilbaginya.

5. Tentukanlah nilai adan b, jika:a.x3 + ax+ bhabis dibagi (x2 + x+ 1)b. x4 + x3 + ax+ bhabis dibagi (x2 + 3x+ 5)c. 3x3 + 14x2 + ax+ bdibagi (x2 + 4x 1) dan sisanya (6 7x)5.31 2 1 62 12 1 7 . h2(x)hasil bagiJadi, (2x+ 1) merupakan hasil bagi dan 7xmerupakan sisa pembagian.+........1. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:

a.x3 + 7x2 + 4 dibagi (x 2)b.x4 x3 + 16 dibagi (x 3)c.x4 + 3x2 4x+ 3 dibagi (x+ 1)d. 2 3x+ x2 4x3 dibagi (x+ 3)e. 4x5 2x3 x + 4 dibagi (x+ 2)2. Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:a.x3 2x2 + 4x 9 dibagi (2x 1)b.x3 + 7x2 + 4 dibagi (2x+ 1)c. 2x3 + 2x2 5x + 1 dibagi (2x 1)d. 3x3 2x2 + 5x 4 dibagi (3x 2)e. 4x5 3x2 + x2 + 3 dibagi (3x+ 2)3. Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika:a.x3 + 2x 3 dibagi (x2 1)

b.x3 + 3x2 + 5x+ 9 dibagi (x2 2x+ 1)c. 4x3 + x4 + 2x 5 dibagi (x2 + 2x 3)d. 2x4 + 3x3 x2 + 2x 5 dibagi (2x2 + x+ 1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 327/394

 

e. 2x3 + 4x2 + x+ 7 dibagi (x2 + 5x 6)4. Tentukan nilai asehingga:a. 2x3 + x2 13x+ ahabis dibagi (x 2), kemudian tentukan hasil baginya.b. 6x3 x2 9x+ ahabis dibagi (2x+ 3), kemudian tentukan hasil baginya.c. 4x4 12x3 + 13x2 8x+ a habis dibagi (2x 1), kemudian tentukan hasilbaginya.5. Tentukanlah nilai adan b, jika:

a.x3 + ax+ bhabis dibagi (x2 + x+ 1)b. x4 + x3 + ax+ bhabis dibagi (x2 + 3x+ 5)c. 3x3 + 14x2 + ax+ bdibagi (x2 + 4x 1) dan sisanya (6 7x)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 328/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1541. Penggunaan Teorema Sisaa. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk LinearDalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear, kita dapatmenggunakan teorema sisa.Teorema Sisa 1Jika suku banyak f(x) dibagi (x k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contohberikut ini.Contoh soalTentukanlah sisa pembagian dari f(x) = x3 + 4x2 + 6x + 5 dibagi (x + 2).PenyelesaianCara 1: Cara biasaf(x)= x3 + 4x2 + 6x + 5f(2) = (2)3 + 4· (2)2 + 6· (2) + 5= 8 + 4 · 4 12 + 5= 8 + 16 12 + 5= 1Jadi, sisa pembagiannya 1.

Cara 2: Sintetik (Horner)2 1 4 6 52 4 41 2 2 1Jadi, sisa pembagiannya 1.Teorema Sisa 2Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f ( )ba- .Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contohberikut ini.Contoh soalTentukan sisa pembagian dari f(x) = 5x3 + 21x2 + 9x 1 dibagi (5x + 1).B Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor+

( )ba- .Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contohberikut ini.Contoh soalTentukan sisa pembagian dari f(x) = 5x3 + 21x2 + 9x 1 dibagi (5x + 1).B Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor+

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 329/394

 

Penyelesaian

Cara 1: Cara biasaf(x) =5x3 + 21x2 + 9x 1f ( 15 )= 5 ·( 51 )3 + 21 ·( 51 )2 + 9 ·( 51 ) 11 19

=5 ·( 125 ) + 21 ·() 5 1

255 219

5 1125 + 25

1 21 45

+ 25 1252525

= 25 1= 2Jadi, sisanya 2.Cara 2: Cara sintetik (Horner)

1525 21 9 11 4 1+

5 20 5Jadi, sisanya 2.

b. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapatmenggunakan teorema sisa berikut ini.

Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x a)(x b), maka sisanya adalah px + qdi mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contohsoal berikut ini.

Contoh soal

Jika f(x) = x3 2x2 + 3x 1 dibagi x2 + x 2, tentukanlah sisa pembagiannya.

Penyelesaian

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 330/394

 

Pada f(x) = x3 2x2 + 3x 1 dibagi x2 + x 2, bentuk x2 + x 2 dapat difaktorkanmenjadi (x + 2)(x 1). Berdasarkan teorema sisa 3, maka dapat dilakukanperhitungan sebagai berikut.

(x + 2)(x 1) . (x (2))(x 1)

maka nilai a = 2 dan b = 1.

Suku Banyak 155

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 331/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 1565.4f (a)= pa + qf (2) = 2p + q(2)3 2 · (2)2 + 3 · (2) 1 = 2p + q8 8 6 1 = 2p + q23 = 2p + q (1)f (b) = pb + q

f (1) = p + q13 2 . 12 + 3 . 1 1 = p + q1 2 + 3 1 = p + q1 = p + q (2)Nilai p dapat dicari dengan mengeliminasi q dari persamaan (1) dan (2).2p + q = 23p + q = 13p = 24p = 8Nilai p disubtitusikan ke persamaan (2).p + q = 18 + q = 1

q = 7Jadi, sisa pembagiannya = px + q=8x 71. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear berikut ini.a. x3 + 4x2 + x + 3 dibagi (x 1)b.x3 3x2 + 7 dibagi (x 7)c. x4 + x2 16 dibagi (x + 1)d. 2x3 + 7x2 5x + 4 dibagi (2x + 1)e. 2x3 + 5x2 + 3x + 7 dibagi (3x + 2)2. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat berikut ini.a. 2x4 3x2 x + 2 dibagi (x 2) (x + 1)b.x4 + x3 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x 6)c. 3x3 + 8x2 x 11 dibagi (x2 + 2x 3)

d. 4x3 + 2x2 3 dibagi (x2 + 2x 3)e. x3 + 14x2 5x + 3 dibagi (x2 + 3x 4)5.4f (a)= pa + qf (2) = 2p + q(2)3 2 · (2)2 + 3 · (2) 1 = 2p + q8 8 6 1 = 2p + q23 = 2p + q (1)f (b) = pb + qf (1) = p + q13 2 . 12 + 3 . 1 1 = p + q1 2 + 3 1 = p + q1 = p + q (2)

Nilai p dapat dicari dengan mengeliminasi q dari persamaan (1) dan (2).2p + q = 23p + q = 13p = 24p = 8Nilai p disubtitusikan ke persamaan (2).p + q = 18 + q = 1q = 7Jadi, sisa pembagiannya = px + q=8x 71. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear berikut ini.a. x3 + 4x2 + x + 3 dibagi (x 1)

b.x3 3x2 + 7 dibagi (x 7)c. x4 + x2 16 dibagi (x + 1)d. 2x3 + 7x2 5x + 4 dibagi (2x + 1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 332/394

 

e. 2x3 + 5x2 + 3x + 7 dibagi (3x + 2)2. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat berikut ini.a. 2x4 3x2 x + 2 dibagi (x 2) (x + 1)b.x4 + x3 2x2 + x + 5 dibagi (x2 + x 6)c. 3x3 + 8x2 x 11 dibagi (x2 + 2x 3)d. 4x3 + 2x2 3 dibagi (x2 + 2x 3)e. x3 + 14x2 5x + 3 dibagi (x2 + 3x 4)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 333/394

 

2.Penggunaan Teorema FaktorTeorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak.Perhatikan teorema faktor berikut ini.

Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x k) merupakan faktor dari f(x) jika dan

hanya jika f(x) = 0.Untuk lebih memahami penggunaan teorema faktor, pelajarilah contoh soal berikutini.

Contoh soal

Tentukanlah faktor-faktor dari:

1.x3 2x2 x + 22.2x3 + 7x2 + 2x 3

Penyelesaian

1.Jika (x k) merupakan faktor suku banyak x3 2x2 x + 2, maka k merupakanpembagi dari 2, yaitu ± 1 dan ± 2. Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut.Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi (x 1).1012 1 21 1 2

+

2 12

x2 2x2 x + 2 =(x 1)(x2 x 2)= (x 1)(x 2) (x + 1)Jadi,faktor-faktornya adalah (x 1)(x 2)(x + 1).

2.Jika (x k) merupakan faktor suku banyak 2x3+ 7x2 + 2x 3, maka k merupakan

pembagi dari 3, yaitu ± 1 dan ± 3. Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut.Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi (x + 1).1027232 5 3

+

2 53

2x3 + 7x2 + 2x 3 = (x + 1)(2x2 + 5x 3)= (x + 1)(x + 3)(2x 1)Jadi, faktor-faktornya adalah (x + 1)(x + 3)(2x 1).

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 334/394

 

3.Penyelesaian Persamaan Suku BanyakMencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukanakar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaansuku banyak dengan menentukan faktor linear.

Suku Banyak 157

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 335/394

 

Jika f(x) suatu banyak, maka (x k) merupakan faktor dari f(x) jika danhanya jika k akar persamaan f(x) = 0Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, pelajarilahcontoh soal berikut.

Contoh soal

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari f(x) = x3 2x2 x + 2. Penyelesaian

f(x) = x3 2x2 x + 2f(x) dibagi (x 1)

101

2 1 21 1 2

+

1

1

2

Karena f(1) = 0, maka (x 1) merupakan penyelesaian dari x3 2x2 x + 2.Sedangkan, penyelesaian yang lain x2 x 2.x3 2x2 x +2 = (x 1) (x2 x 2)= (x 1) (x + 1) (x 2)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 1, 2}.

12

2. Jikamerupakan akar-akar persamaan 2x3 + x2 13x + a = 0, tentukanlah a dan

akar-akar yang lain.

Penyelesaian

12

. 2 (12 )3 + ( 12 )2 13 (12) + aUntuk x =

= 0

18

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 336/394

 

14

13

2 ·

0

+

+ a 

=

2

14

14

12

  60

+

+ a =6 + a =0a = 6Jadi suku banyaknya f(x) 2x3 + x2 13x + 6

122 1 13 61 1 62 2 12 02 2 2 124 122 6 0++

158Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 337/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 338/394

 

2x3 + x2 13x + 6 = 0(2x 1) (x 2) (2x 6) = 0(2x 1) (x 2) (x 3) = 0

Jadi, akar-akar yang lain adalah x = 2 dan x = 3.

5.5

1.Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak berikut ini.a.x3 + 4x2 3x 2b.2x3 5x2 + 8x 33c.3x4 14x2 + 2x + 4

d.2x5 3x4 5x3 8x2 14x + 6e.2x3 + 7x2 3x 6f.2x4 + 74x2 722.Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak berikutini.a.f(x) = x3 x2 8x + 12b. f(x) = 2x3 3x2 14x + 15c.f(x) = 3x3 13x2 51x + 35d.f(x) = x4 + x3 7x2 x + 6

e.f(x) = x3 x2 + 14x + 24f.f(x) = 6x4 + 17x3 + 105x2 + 64x 604.Pembuktian Teorema Sisa dan Teorema Faktora.Pembuktian Teorema Sisa1)Pembuktian teorema sisa 1

Teorema sisa 1 menyatakan bahwa jika f(x) dibagi (x k), maka sisapembagiannya adalah f(k). Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikankebenaran teorema tersebut.

Diketahui f (x) = (x k) h(x) + S. Derajat S lebih rendah satu daripada derajat(x k), sehingga S merupakan konstanta. Karena f(x) = (x k) k(x) + Sberlaku untuk semua x, maka jika x diganti k akan diperoleh:

f (k) = (k k) h(k) + S= 0 · h(k) + S= 0 + S= S

Jadi, f (k) = S . S merupakan sisa pembagian (terbukti).

Suku Banyak 159

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 339/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 340/394

 

Contoh soal

Jika f(x) dibagi oleh x2 5x + 6 sisanya 2x + 1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagioleh x 3.

Penyelesaian

f(x) = (x2 5x + 6) h(x) + Sf(x) = (x 3)(x 2) h(x) + 2x + 1f(3) = (3 3)(3 2) h(3) + 2 ·3 + 1f(3) = 0 + 6 + 1

Jadi, sisanya adalah 7.

2) Pembuktian teorema sisa 2Teorema sisa 2 menyatakan bahwa jika f(x) dibagi (ax + b), maka sisa

pembagiannya adalah f (-ba). Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikankebenaran teorema tersebut.hxhx

Diketahui f(x) = (ax + b)· ()+ S. Karena pada f(x) = (ax + b)· ()+ S

aab

berlaku untuk semua nilai x, maka jika nilai x = -aakan diperoleh:

()

hx

}()}()f(x) = (ax + b) a + S-b

+Sf( -b) = a·-b+b

a

a{()haa-b

ha

b()

f( -a) = (b + b)

+S

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 341/394

 

a-b

ha

b

()

f( -a) = (0)

+Sab

f( -a) = 0 + S

b

f( -a) = S

Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian adalah f (-b).

a

Contoh soal

Jika f(x) habis dibagi (x 2) dan jika dibagi (2x + 1) sisanya 5. Tentukan sisanyajika f(x) dibagi 2x2 3x 2.

Penyelesaian

Misalkan f(x) dibagi (2x2 3x 2), hasil baginya h(x) dan sisanya ax + b.f(x) = (2x2 3x 2) h(x) + Sf(x) = (x 2)(2x + 1) h(x) + ax + b

160Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 342/394

 

161Suku Banyakf(2) = (2 2) (2 · 2 + 1) h(2) + 2a + bf(2) = 0 · h(2) + 2a + b0 = 2a + b . 2a + b = 0 .. (1)f( 21 ) = ( 2

1 2)(2 ( 21 ) + 1) h( 21 ) + a ( 21 ) + bf( 21 ) = ( 21 2)(1 + 1) h( 21 ) 21 a + b5 = 0 h( 21 ) 21 a + b

5 = 21 a + b . a + 2b = 10 .. (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:2a + b = 0 ×1 . 2a + b =0a + 2b = 10 ×2 . 2a + 4b = 200 + 5b = 20b =4b = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)2a + b = 02a + 4 = 02a = 4a = 2Jadi, sisanya adalah 2x + 4.

+Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok, kemudian buktikanlah teoremasisa 3 berikut ini.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x a)(x b), maka sisanya adalah px + qdi mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.Catat dan bacakanlah hasilnya di depan kelompokmu. Adakanlah tanya jawabtentang materi yang sedang dibahas.b. Pembuktian Teorema FaktorTeorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak, maka x hmerupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0. Perhatikanlah uraian berikutini untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut.

Diketahui menurut teorema sisa f(x) = (x k) · h(x) + f(k). Jika f(k) = 0, makaf(x) = (x k) · h(x). Sehingga x k merupakan faktor dari f(x). Sebaliknya, jikax k merupakan faktor dari f(x), maka f(x) = (x k) · h(x).21 ) = ( 21 2)(2 ( 21 ) + 1) h( 21 ) + a ( 21 ) + bf( 21 ) = ( 21 2)(1 + 1) h( 21 ) 2

1 a + b5 = 0 h( 21 ) 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 343/394

 

1 a + b5 = 21 a + b . a + 2b = 10 .. (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:2a + b = 0 ×1 . 2a + b =0a + 2b = 10 ×2 . 2a + 4b = 200 + 5b = 20

b =4b = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)2a + b = 02a + 4 = 02a = 4a = 2Jadi, sisanya adalah 2x + 4.+Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok, kemudian buktikanlah teoremasisa 3 berikut ini.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x a)(x b), maka sisanya adalah px + qdi mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.

Catat dan bacakanlah hasilnya di depan kelompokmu. Adakanlah tanya jawabtentang materi yang sedang dibahas.b. Pembuktian Teorema FaktorTeorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak, maka x hmerupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0. Perhatikanlah uraian berikutini untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut.Diketahui menurut teorema sisa f(x) = (x k) · h(x) + f(k). Jika f(k) = 0, makaf(x) = (x k) · h(x). Sehingga x k merupakan faktor dari f(x). Sebaliknya, jikax k merupakan faktor dari f(x), maka f(x) = (x k) · h(x).

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 344/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 162Jika x = k, maka:f (k) = (k k) · h(k)= 0· h(k)= 0Jadi, f(k) = 0 jika dan hanya jika (x k) merupakan faktor dari f(x) (terbukti).Contoh soal

Hitunglah p jika 2x3 5x2 4x + p habis dibagi x + 1.PenyelesaianKarena 2x3 5x2 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0, sehingga:f(x) = 2x3 5x2 4x + pf(1) = 2 (1)3 5 (1)2 4 (1) + p0 = 2 5 + 4 + p0 = 3 + pp = 3Jadi, p = 3.1. Menentukan Akar RasionalJika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x a) adalah faktor dari f(x), maka aadalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 0.

2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Suku Banyaka. Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax2 + bx + c = 0Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:1) x1 + x2 = ba2) x1 · x2 =cab. Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx+ d = 0

Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:1) x1 + x2 + x3 = ba2) x1 · x2 + x2 · x3 + x1 · x3 =ca3) x1 · x2 · x3 = daC. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyakba2) x1 · x2 =cab. Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:1) x1 + x2 + x3 = ba2) x1 · x2 + x2 · x3 + x1 · x3 =ca3) x1 · x2 · x3 = daC. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 345/394

 

c.Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0Jika x1, x2, x3, dan x4 adalah akar-akar persamaan suku banyak ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka:

ba

1) x1 + x2 + x3 + x4 =

ca

2) x1 · x2 · x3 + x2 · x3 · x4 + x3 · x4 · x1 + x4 · x1 · x2 =

da

3) x· x + x· x + x· x + x· x + x· x + x· x =

121314232434

ea

4) x· x· x· x=

1234

Contoh soal

1.Jika salah satu akar dari suku banyak x3 + 4x2 + x 6 = 0 adalah x = 1,tentukanlah akar-akar yang lain.Penyelesaian

1014 16156

+

1

5

6

karena f(1) = 0, maka x = 1 adalah akar persamaan f(x) = 0x3 + 4x2 + x 6 = 0(x 1)(x2 + 5x + 6) = 0(x 1)(x + 2) (x + 3) = 0

Jadi, akar yang lain adalah x = 2 dan x = 3.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 346/394

 

2.Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan 2x3 bx2 18x + 36 = 0.Tentukan:a.x + x+ x123

b.x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3c.x1 · x2 · x3d.nilai b, jika x2 adalah lawan dari x1e.nilai masing-masing x1, x2, dan x3 untuk b tersebutPenyelesaian

a.

2x3 bx2 18x + 36 = 0a = 2 c = 18b = b d = 36

ba= 2b..(1)

x + x + x =

1

2

3

-18

ca

b. x1 · x2 + x2 · x3 + x1 · x3=

=

9 .. (2)

=

2

c. x1

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 347/394

 

· x2 · x3=

da-=

-36

=

18 .. (3)

2

Suku Banyak 163

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 348/394

 

d. Dari (1):Dari (2):

x1

+ x2 + x3

=

- 2bx (x) + (x) x + xx= 9

111313

x12 x1 x3+ x1 x3= 9

=

- 2x1

b

2 = 9

+ (x1) + x

3

x

1

x3=

- 2 x12 = 9 . x1 = 3

b

x12 = 9

atau x1 = 3

Dari (3)x· x· x = 18

123

untuk x1 = 3, maka x2 = 3 . x1 · x2 · x3 = 183 · 3· x3 = 189x3 = 18

- 2

bx3 = 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 349/394

 

x + x + x=

123

- 2b3 + (3) + 2 =

2=

b- 2

 4 = b . b = 4Untuk x1 = 3, maka x2 = 3 . x1 · x2 · x3 = 18(3) · 3 · x3 = 189· x3 = 18x3 = 2 , maka b = 4

e.

x1 = 3, x2 = 3, dan x3 = 2 untuk b = 4 ataux1 = 3 , x2 = 3, dan x3 = 2 untuk b = 4

5.6

Kerjakan soal-soal di bawah ini!

1.Tentukan faktor dari:

a.x3 + x2 2 = 0

b.2x3 x2 5x 2 = 0

c.2x3 11x2 + 17x 6 = 0

2.Tentukan faktor dari suku banyak berikut.

a.8x3 6x2 59x + 15 = 0

b.2x3 5x2 28x + 15 = 0

c.2x3 7x2 17x + 10 = 0

164Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 350/394

 

3.4.1.2.3.Tentukanlah akar-akar dari:

a.x3 + 4x2 + x 6 = 0b.x3 6x2 + 11x 6 = 0

c. 2x3 + 3x2 8x + 3 = 0Selesaikana.Jika akar-akar persamaan px3 14x2 + 17x 6 = 0 adalah x1, x2, x3 untukx1 = 3, tentukan x1 · x2 · x3.b.Jika persamaan x3 x2 32x + p = 0 memiliki sebuah akar x = 2, tentukanakar-akar yang lain.c.

Jika 4 merupakan salah satu akar dari persamaan x3+ 2x2 11x + a = 0,tentukan nilai a.d.Tentukan akar-akar dari x3 + 2x2 5x 6 = 0.Pembagian suku banyak

a. Pengertian suku banyak.Suatu suku banyak berderajat n dinyatakan dengan:a n xn + a n 1xn 1 + a n 2xn 2 + . + a1x + a0.b. Nilai suku banyakUntuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara.1) Cara substitusi2) Cara skema (Horner)

Menentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian

a.Suku banyak f(x) dibagi (x k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi danf(x) sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga f(x) = (x k) h(x) + f(k)b.Suku banyak f(x) berderajat n jika dibagi oleh fungsi berderajat satu akanmenghasilkan hasil bagi berderajat (n 1) dan sisa pembagian berbentukkonstanta.Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear ataukuadrat

()hx

a.Suku banyak f(x) dibagi (ax + b) menghasilkansebagai hasil bagi

ahx

danf( b) sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga f(x) = (ax + b)()

+

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 351/394

 

aa

f( b).

a

Suku Banyak 165

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 352/394

 

b. Suku banyak f(x) dibagi ax2 + bx + c dan dapat difaktorkan menjadi(ax p1)(x p2) dapat ditulis f(x) = (ax2 + bx + c) · h2(x) + [(ax p1).. p1 .

h(p) + f .

. di mana h(x) merupakan hasil bagi dan (ax p) h(p) +12a2112

..

. p1 .

f .

. merupakan sisa pembagian.a

.

.

4.Teorema sisaa. Jika suku banyak f(x) dibagi (x k), maka sisa pembaginya adalah f(k).b

b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembaginya adalah f -

.( a)c.Jika suku banyak f(x) dibagi (x a)(x b), maka sisanya adalah px +qdimana f(a)= pa + q dan f(b) = pb + q.5.Teorema faktorJika f(x) suatu suku banyak, maka (x k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika kakar persamaan f(x) = 0.6. Akar-akar rasional persamaan suku banyaka. Suku banyak berderajat dua: ax2 + bx + c = 0

b

1) x1 + x2 =  

ac

2) x1 · x2 =

a

b. Suku banyak berderajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 353/394

 

b

1) x1 + x2 + x3 =  

ac

2) x1 · x2 + x2 · x3 + x1 · x3 =

ad

3) · x2 · x3 =

x1 a

c. Suku banyak berderajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0b

1) + x2 + x3 + x4 =

x1ac

2) x1 · x2 · x3 + x2 · x3 · x4 + x3 · x4 · x1 + x4 · x1 · x2 =

ad

3) x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3 + x2 · x4 + x3 · x4 =  

ae

4) · x2 · x3 · x4=

x1 a

166Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 354/394

 

I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.1.Nilai suku banyak 6x5 + 2x3 + 4x2 + 6 untuk x = 1 adalah ..a. 10d. 4

b. 2e. 10c. 22.Jika nilai suku banyak 2x4 + mx3 8x + 3 untuk x = 3 adalah 6, maka m adalah .a. 5d. 3b. 3e. 5c. 23.Suku banyak f(x) = x3 + 5x2 3x + 9 dibagi (x 2), maka hasil baginya adalah .

a.x2 7x + 11b.x2 + 7x 11c. 2x2 + 11x + 7d.x2 + 7x + 11e.2x2 11x + 74.Jika suku banyak f(x) = 5x4 3x3 7x2 + x 2 dibagi oleh (x2 2x + 3), maka sisanyaadalah.a.

22x 36b.22x + 36c. 36x + 22d. 22x + 36e.36x 225.Jika f(x) = 2x3 7x2 + 11x 4 dibagi (2x 1), maka sisanya adalah .a. 3d. 0b. 2

e. 4c. 16.Jika x3 12x + k habis dibagi dengan (x 2), maka bilangan tersebut juga habis dibagidengan .a.x + 1 d. x + 2b.x + 1 e. x + 4c.x 3Suku Banyak 167

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 355/394

 

7.Jika suku banyak f(x) = 2x4 + ax3 3x2 + 5x + b dibagi (x2 1) menghasilkan sisa(6x + 5) maka nilai a· b = .a. 8d. 3b. 6

e. 6c. 18.Jika (x + 1) merupakan salah satu faktor dari suku banyak f(x) = 2x4 2x3 + px2 x  2,maka nilai p adalah .a. 3d. 1b. 2e. 3c. 19.

Suku banyak f(x) = 3x3 75x + 4 dibagi oleh (x + k) dengan k > 0. Jika sisanya 4,makanilai k adalah ..a. 5d. 4b. 0e. 5c. 310.Jika suku banyak 2x2 x + 16 dibagi oleh (x a) sisanya 12, maka nilai a adalah .a.2 atau 3b.

3 atau 2c. 2 atau 23d.2 atau 23e.2 atau 311.Jika f(x) = 3x4 5x2+ kx + 12 habis dibagi dengan (x + 2), maka nilai k adalah .a. 10d. 40b. 20e. 50

c. 3012.Jika f(x) dibagi dengan (x 2) sisanya 24, sedangkan jika dibagi dengan (x + 5)sisanya 10. Jika f(x) dibagi dengan x3+ 3x 10 sisanya adalah ..a.x + 34b.x 34c.2x 20d.2x + 20e.x + 14

168Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 356/394

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 357/394

 

13.Jika suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisa 5 dan jika dibagi dengan (x + 3) sisanya7. Jika

suku banyak tersebut dibagi dengan (x2 + 2x 3), maka sisanya ..a.12 x 512

b.1 x + 512

2

c.21 x + 4 12

d.12 x + 4 12e.

12 x + 5 1214.Suku banyak f(x) dibagi (x + 4) sisanya 11, sedangkan jika dibagi (x 2) sisanya 1.Jika f(x) dibagi (x 2)(x + 4) sisanya adalah .a.2x 3 d. 2x 3b.2x + 3 e. 3x + 2c. 2x + 315.Sebuah akar persamaan x3 + ax2 + ax + 1 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar persamaan 

itu adalah..2

a. 3d.3

b. 2e. 233

c.

2II.Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.1.Diketahui f(x) = (x + 1)(x 2)(x + 3). Tentukanlah:a.derajat sukunya,b.koefisien-koefisien variabel,c.suku tetapnya.2.Tentukan nilai suku banyak x4 2x3+ x2 1 untuk x = 1.

3.Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi, jika suku banyak x3 3x2 + x 3 dibagi (x+ 1)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 358/394

 

dengan cara Horner.4.Tentukanlah hasil bagi dari (2x3 x2 + 3x 9) dibagi (2x + 1).5.Tentukanlah nilai p jika f(x) = 2x3 + 5x2 4x + p habis dibagi (x + 1).x2 - 7xp

+

6.Carilah p supaya 2 dapat disederhanakan.x- 3x+2

Suku Banyak 169

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 359/394

 

7.Carilah sisanya, jika 2x4 3x2 x + 2 dibagi x2 x 2.8.Jika f(x) dibagi (x 1) sisanya 3 dan dibagi (x 2) sisanya 4, maka tentukan sisanyajika f(x) dibagi x2 3x + 2.

9.Tentukanlah nilai p supaya (x + 1) faktor dari x4 5x3+ 2px2 + x + 1.10.Salah satu akar persamaan: 2x3+ 7x2 + bx 10 = 0 adalah 2. Tentukanlah:a.nilai b,b.akar-akar yang lain.11.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari f(x) = 2x3 + 5x2 4x 3 = 0.12.Jika x3+ 2x2 x + k habis dibagi (x + 3), tentukan nilai 2k2 + k.

13.Jika suku banyak x4+ 3x3 + x2 + x 1 dibagi (x 2) tersisa 19, tentukan nilai p.14.Suku banyak f(x) = 2x5 + ax4 + 2x3 + x2 x 1 habis dibagi (x 1). Jika f(x) dibagi x2 x 2, tentukan sisanya.15.Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan 2x3 4x2 18x + 36 = 0.Tentukanlah:a. x1 + x2+ x3b.x· x+ x· x +x· x12 1323

c.x· x· x123

170Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 360/394

 

6Komposisi Fungsidan Invers Fungsi

Relasi dan Fungsi  

Aljabar Fungsi  

Fungsi Komposisi  

Fungsi Invers  

Jika sebuah benda terletak di depan cermin datar, tentu bayangan benda itu akan

terlihat di dalam cermin yang persis seperti benda aslinya. Dengan demikian dapatdikatakan bahwa bayangan di dalam cermin merupakan invers dari benda yangberada di depan cermin. Dalam bab ini, kamu akan mempelajari lebih lanjut mengenaikomposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 361/394

 

Komposisi fungsidan invers fungsiFungsikomposisi Fungsi inversmempelajariKomposisi fungsi

dan invers fungsiFungsikomposisi Fungsi inversmempelajariterdiri dari

menentukan

Syarat danaturan fungsiyang dapatdikomposisikan

Nilai fungsikomposisi danpembentuknyaSyarat agarsuatu fungsimempunyaiinversSifat-sifatfungsi inversFungsi komposisidari beberapafungsiSifat-sifat

komposisifungsiGrafik fungsiinversFungsi inversdari suatufungsi komposisi fungsi domain fungsi kodomain fungsi range fungsi fungsi injektif fungsi surjektif fungsi bijektif fungsi genap fungsi ganjil fungsi invers

172Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 362/394

 

A Relasi dan Fungsi A Relasi dan Fungsi1. RelasiRelasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan

lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan

atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi satu

kurangnya dari himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah,

diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

a. Diagram panah0

12512346A B

b. Diagram CartesiusB

(5, 6)

6

(2, 3)

3

 

(1, 2)

2

 

(0, 1)

A

0

1 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 363/394

 

3 4 5

c.Himpunan pasangan berurutanR = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}d.Dengan rumus

f(x) = x + 1, di mana x . {0, 1, 2, 5} dan f(x) . {1, 2, 3, 4, 6}2. Fungsia. Pengertian FungsiSuatu relasi dari himpunan A ke himpunan Bdisebut fungsi dari A ke B jika setiap anggotaA dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

A Bff(x)XC>xKomposisi Fungsi dan Invers Fungsi 173

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 364/394

 

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:-himpunan A disebut domain (daerah asal),-himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang

pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggotahimpunan B disebut aturan fungsi f.Misal diketahui fungsi-fungsi:

f : A . B ditentukan dengan notasi f(x)g : C . D ditentukan dengan notasi g(x)Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soal

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f : A

. B ditentukanoleh f(x) = 2x 1.

1.Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.2.Tentukan range fungsi f.3.Gambarlah grafik fungsi f.Penyelesaian

a.1

2345678ABf12

34b.Dari diagram di atas, terlihat bahwa:f(x) = 2x 1 f(3) = 2 · 3 1 = 5f(1) = 2 · 1 1 = 1 f(4) = 2 · 4 1 = 7f(2) = 2 · 2 1 = 3Jadi, range fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}.c.Grafik fungsi876

543

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 365/394

 

21

0 1 2 3 4xf(x)

174Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 366/394

 

b. Macam-Macam Fungsi1) Fungsi konstan (fungsi tetap)

Suatu fungsi f : A . B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstanapabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana Cbilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui f : R . R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x 3 = x < 2}.Tentukan gambar grafiknya.

Penyelesaian

x 3 2 1 0 1f(x) 3 3 3 3 3

Grafik:

33 2 1 0 1f(x) = 3YX3212) Fungsi linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax + b, di mana a . 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupagaris lurus.

Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear.

Contoh soal

Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.

Penyelesaian

2x + 3x 0 1 2

1f(x) 3 0

Grafik:

31 21 0f(x) = 2x + 3YX3) Fungsi kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax2 + bx + c, di mana a . 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dangrafiknya berupa parabola.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 367/394

 

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 175

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 368/394

 

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk lebih memahami tentang fungsikuadrat.

Contoh soal

Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2+ 2x 3.

Y1 2134345Tentukanlah:

a. Domain fungsi f.b. Nilai minimum fungsi f.

c. Nilai maksimum fungsi f.X d. Range fungsi f.e. Pembuat nol fungsi f.f. Koordinat titik balik minimum.Penyelesaian

a. Domain fungsi f adalah {x 4 = x < 2}.b. Nilai minimum fungsi f adalah 4.c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5.d. Range fungsi f adalah {y 4 = y = 5}.e. Pembuat nol fungsi f adalah 3 dan 1.f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (1, 4).

Di kelas X kamu sudah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadraty = ax2 + bx + c, a . 0. Caranya adalah sebagai berikut.a. Menentukan titik potong dengan sumbu X . y = 0.b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y . x = 0.c. Menentukan persamaan sumbu simetri x = 2ba.d. Menentukan titik puncak ( ),24bDaa- - .Ingat!!4) Fungsi identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsiberlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.

Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titikabsis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agarkamu lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

a. Carilah f(2), f(0), f(1), f(3).b. Gambarlah grafiknya.176

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 369/394

 

Penyelesaian

Y

y = x

a.f(x) = x b. Grafiknya:f(2) = 2 3f(0) = 0 12 1

X

f(1) = 1

13

1

f(3) = 3

2

5) Fungsi tangga (bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentukinterval-interval yang sejajar.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1, jika x 10, jika1 < x 2

Diketahui fungsi: f(x) =

2, jika2 < x 43, jika x > 4

Tentukan interval dari:

a.f(2) d. f(5)b.f(0) e. gambar grafiknya.c.f(3)Penyelesaian

a.f(2) = 1 e. grafiknya:b.

f(0) = 0c.f(3) = 2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 370/394

 

d.f(5) = 3310 1YX

12 426) Fungsi modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakansetiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

f : x . x atau f : x . ax + b f(x) = x artinya:x, jika x = 0

x

x, jika x < 0

..

.

..

YXy = x y = x0

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 177

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 371/394

 

7) Fungsi ganjil dan fungsi genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(x) = f(x) dan disebutfungsi genap apabila berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) . f(x) maka fungsi initidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap,perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidakgenap dan tidak ganjil.

1. f(x) = 2x3 + x2.f(x) = 3 cos x 53.f(x) = x2 8xPenyelesaian

1.f(x) = 2x3 + xf(x) = 2(x)3 + (x)= 2x3 x= (2x3 + x)=f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

2.f(x) = 3 cos x 5f(x) = 3 cos (x) 5

= 3 cos x 5Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

3.f(x)= x2 8xf(x) =(x)2 8 (x)= x2 + 8xFungsi f(x) . f(x) dan f(x) . f(x).Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

c.Sifat Fungsi1) Fungsi injektif (satu-satu)

Jika fungsi f : A . B, setiap b . B hanya mempunyai satu kawan saja di A,maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

abcpqr

>>>

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 372/394

 

abcpqrs

>>>abcpq>>>A B A B A Bfungsi injektif fungsi injektif bukan fungsi injektif178

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 373/394

 

2) Fungsi surjektif (onto)

Pada fungsi f : A . B, setiap b . B mempunyai kawan di A, maka f disebutfungsi surjektif atau onto.

a

bcdpqrA Babcpq

rsA Bfungsi surjektif bukan fungsi surjektif

3) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektifatau korespondensi satu-satu.

abc

dpqrsabcdpqr

BB

AA

fungsi bijektif bukan fungsi bijektif

6.1

Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1.Dari himpunan A dan B berikut, manakah yang merupakan fungsi? Sebutkanpula domain, kodomain, dan rumusnya.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 374/394

 

a.b.01231

234c.B

A

B

AA B

2.Gambarlah grafik dari:. 0, jika 0 < x = 1.

a.f(x) =. 2, jika 1 < x = 2. 4, jika 2 < x = 3.

21

010149>>>1012

3>>Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 179

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 375/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 180Bila fdan gsuatu fungsi, maka padaoperasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian,

dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soal

Diketahui f(x) = x+ 2 dan g(x) = x2 4. Tentukan (f+ g)(x).Penyelesaian(f+ g)(x) = f(x) + g(x)= x+ 2 + x2 4= x2 + x 22. Pengurangan f dan g berlaku (f g)(x) = f(x) g(x)Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui f(x) = x2 3xdan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f g)(x).b. f(x) = x2 + 2x 3c. f(x) = x+ 2 3. Selidiki fungsi berikut termasuk fungsi ganjil, genap, atau bukan keduanya.

a. f(x) = x2 3b. f(x) = 2 sin x+ cos xc.f(x) = 3x5 2x34. Tentukan daerah asal dan range fungsi berikut bila x. Bdan B= {x 3 < x= 2}.a. f(x) = 2x 1b.f(x) = x2 + 3c.f(x) = 4d.f(x) = x+ 1 5. Diketahui fungsi A= {1, 2, 3, 4} ke B= {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasanganberurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif?a.f= {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6)}b.f= {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 5)}

c.f= {(1, 6), (2, 7), (3, 5), (4, 5)}d.f= {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 7)}B Aljabar FungsiBila fdan gsuatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui f(x) = x+ 2 dan g(x) = x2 4. Tentukan (f+ g)(x).Penyelesaian(f+ g)(x) = f(x) + g(x)

= x+ 2 + x2 4= x2 + x 22. Pengurangan f dan g berlaku (f g)(x) = f(x) g(x)Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui f(x) = x2 3xdan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f g)(x).b. f(x) = x2 + 2x 3c. f(x) = x+ 2 3. Selidiki fungsi berikut termasuk fungsi ganjil, genap, atau bukan keduanya.a. f(x) = x2 3b. f(x) = 2 sin x+ cos xc.f(x) = 3x5 2x34. Tentukan daerah asal dan range fungsi berikut bila x. Bdan B= {x 3 < x= 2}.

a. f(x) = 2x 1b.f(x) = x2 + 3c.f(x) = 4

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 376/394

 

d.f(x) = x+ 1 5. Diketahui fungsi A= {1, 2, 3, 4} ke B= {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasanganberurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif?a.f= {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6)}b.f= {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 5)}c.f= {(1, 6), (2, 7), (3, 5), (4, 5)}

d.f= {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 7)}B Aljabar Fungsi

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 377/394

 

Penyelesaian

(f g)(x)= f(x) g(x)= x2 3x (2x+ 1)= x2 3x 2x 1= x2 5x 1

3. Perkalian f dan g berlaku (f· g)(x) = f(x)· g(x)Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut.

Contoh soal

Diketahui f(x) = x 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f×g)(x).

Penyelesaian

(f×g)(x)= f(x) · g(x)

=(x 5)(x2 + x)= x3 + x2 5x2 5x= x3 4x2 5x

. f . f(x)

4. Pembagian f dan g berlaku .. ..(x)=. g . g(x)

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

. f.

.()x.Diketahui f(x) = x2 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan .

g

..

Penyelesaian

f fx

.. ()

.()=x.

gxx2 - 4(x- 2)( x+ 2)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 378/394

 

. g. ()

= = = x 2

x+2 x+2

C Fungsi Komposisi1. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat DikomposisikanJika diketahui A= {a1, a2, a3}, B= {b1, b2, b3, b4}, dan C= {c1, c2, c3}, maka fungsi

f: A. Bdan g: B. Cdidefinisikan seperti diagram berikut.f(a1) = b2

g(b1) = c2f(a2) = b1

g(b2) = c1

f(a3) = b3

g(b3) = c3

gA Bc1b2 c2c3b1b3b4C

B

a1a2a3 fb1b2b3b4>Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 181

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 379/394

 

Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dariA ke C sebagai berikut.

Aa1a2

a3Bfb1b2b3b4Cc1c2c3g

f(a1) = b2 dan g(b2) = c2 sehingga (g..f) (a1) = c2g(b2) = c1 dan g(b1) = c1 sehingga (g..f) (a2) = c1g(b3) = c3 dan g(b3) = c3 sehingga (g..f) (a3) = c3

Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, makadiagramnya adalah sebagai berikut.

a1a2a3 fc1c2c3g

>(g ..f)(g ..f) (a1) = c2(g ..f) (a2) = c1(g ..f) (a3) = c3

AC

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengang Df dibaca fungsi g bundaran f. g Df adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan

lebih dahulu daripada g.

Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis:

(g ..f)(x) = g(f(x))(f ..g)(x) = f(g(x))A B C

f(x)x g(f(x))g ..fSedangkan, untuk f Dg dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f D

g adalah fungsikomposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 380/394

 

Ag(x)x f(g(x))B Cf ..g

182Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 381/394

 

183Komposisi Fungsi dan Invers FungsiUntuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.Contoh soal1. Diketahui f(x) = 2x 1, g(x) = x2 + 2.a. Tentukan (g ..f)(x).

b. Tentukan (f ..g)(x).c. Apakah berlaku sifat komutatif: g ..f = f ..g?Penyelesaiana. (g ..f)(x) = g(f(x))= g(2x 1)= (2x 1)2 + 2= 4x2 4x + 1 + 2= 4x2 4x + 3b. (f ..g)(x)= f(g(x))= f(x2 + 2)= 2(x2 + 2) 1=4x2 + 4 1

=4x2 + 3c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g ..f . f ..g.2. Diketahui f(x) = x2, g(x) = x 3, dan h(x) = 5x.a. Tentukan (f ..(g ..h))(x).b. Tentukan ((f ..g) ..h)(x).c. Apakah f ..(g ..h) = (f ..g) ..h, mengapa?Penyelesaiana. (f ..(g ..h))(x) = .Misal p(x)= (g ..h)(x)= g(h(x))= g(5x)=5x 3Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fu

ngsiberikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas.Bila f, g, dan h suatu fungsi, maka:a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f ..g . g ..f;b. jika I fungsi identitas berlaku : I ..f = f ..I = f;c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f ..(g ..h) = (f ..g) ..h.Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsiberikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas.Bila f, g, dan h suatu fungsi, maka:a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f ..g . g ..f;b. jika I fungsi identitas berlaku : I ..f = f ..I = f;

c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f ..(g ..h) = (f ..g) ..h.

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 382/394

 

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 184Soalnya menjadi(f ..(g ..h)(x)) = (f ..p)(x)= f(p(x))= f(5x 3)= (5x 3)2= 25x2 30x + 9

b. ((f ..g) ..h)(x) = .Misal s(x) = (f ..g)(x)= f(g(x))= f(x 3)=(x 3)2Soalnya menjadi:((f ..g) ..h)(x)= (s ..h)(x)= s(h(x))= s(5x)= (5x 3)2= 25x2 30x + 9c. Ya, (f ..(g ..h))(x) = ((f ..g) ..h)(x) sebab berlaku sifat asosiatif.

3. Diketahui f(x) = 5x 2 dan I(x) = x.Buktikan I ..f = f ..I = f.Bukti(I ..f)(x) = I(f(x))= I(5x 2)= 5x 2(f ..I)(x) = f(I(x))= f(x)= 5x 2Tampak bahwa I ..f = f ..I = f (terbukti).6.2Kerjakan soal-soal di bawah ini.1. Diketahui f(x) = x 2 dan g(x) = x2 x 2.Tentukan:

a. (f + g)(x) c. (f × g)(x)b. (f g)(x) d. ()f x g. .. .. .6.2Kerjakan soal-soal di bawah ini.1. Diketahui f(x) = x 2 dan g(x) = x2 x 2.Tentukan:a. (f + g)(x) c. (f × g)(x)b. (f g)(x) d. ()f x g. .. .. .

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 383/394

 

2.Diketahui f(x) = x2 dan g(x) = x + 4. Tentukan:a. (f + g)(3) c.(f×g)(1). f .

b.(f g)(1) d. . g . (2)..3.Diketahui fungsi yang ditentukan oleh f(x) = x + 1, g(x) = 2 x. Tentukan fungsiyang dinyatakan oleh f2(x) + g2(x) + (f + g)(x) + (g f)(x).4.Fungsi f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = 2x 1 dan g(x) = x + 3.Tentukan:a. (f Dg)(x) c.(f D

f)(x)b. (g Df)(x) d.(g Dg)(x)5.Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x2. Tentukan:a. (f Dg)(x) c.(f Df)(x)b. (g Df)(x) d.

(g Dg)(x)6.Diketahui g(x) = 2x + 3 dan (g Df)(x) = 2x2 + 4x + 5. Tentukan f(x).2.Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen PembentuknyaUntuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapatdilakukan dengan dua cara berikut ini.

a.Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan

nilainya.b.Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x 1 dan g(x) = x2+ 4.

Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.

a.(g D

f)(1)b.(f D

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 384/394

 

g)(2)c.(g Df)(3)Penyelesaian

Cara 1 a. (g D

f)(x)= g(f(x))= g(3x 1)= (3x 1)2 + 4= 9x2 6x + 1 + 4= 9x2 6x + 5

(g Df)(1)= 9 · 12 6 · 1 + 5= 9 6 + 5 = 8

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 185

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 385/394

 

b.(f Dg)(2) = f(g(x))= f(x2 + 4)= 3(x2 + 4) 1=3x2 + 12 1

=3x2 + 11(f Dg)(2) = 3(2)2 + 11=3 · 4 + 11= 12 + 11 = 23

c. (g Df)(x) =9x2 6x + 5(g Df)(3) = 9(3)2 6 (3) + 5= 81 + 18 + 5

= 104

Cara 2 a. (g Df)(1)= g(f(1))= g(3 · 1 1)= g(2)=22 + 4 = 8

b.(f Dg) (2) = f(g(2))

= f((2)2 + 4)= f(8)=3 · 8 1 = 23c.(g Df)(3) = g(f(3))= g(3 (3) 1)= g(10)= (10)2 + 4 = 1046.3Kerjakan soal-soal di bawah ini di buku tugas.

1. Diketahui fungsi p dan q pada A = {2, 3, 4, 5, 6} ditulis sebagai fungsi berurutansebagai berikut.p = {(2, 4), (3, 6), (4, 4), (5, 2), (6, 3)}q = {(2, 5), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (6, 4)}

a. Tentukan (p Dq)(2), (p Dq)(3), (p Dq)(4), (p Dq)(5), (p Dq)(6).

b. Tentukan (q Dp)(2), (q Dp)(3), (q D

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 386/394

 

p)(4), (q Dp)(5), (q Dp)(6).c. Buktikan (p Dq) . (q Dp)(x).186

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 387/394

 

2. Diketahui fungsi f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = 2 x dang(x) = 3x + 4. Tentukan nilai fungsi komposisi berikut ini.a. (f ..g)(2) c. (f ..f)(1)b. (g ..f)(1) d. (g ..g)(2)3. Diketahui f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = x + 1 dang(x) = 2x 1. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi-fungsi

berikut ini, tentukan nilai:a. (f ..g)(1) c. (g ..f)(2)b. (f ..g)(3) d. (g ..f)(1)4. Diketahui fungsi f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = 2x2 dang(x) = x 3. Tentukan nilai x:a. jika (f ..g)(x) = 2 c. (g ..f)(x) = 5b. jika (f ..g)(x) = 4 d. (g ..f)(x) = 12. Diketahui fungsi f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = 2 x dang(x) = 3x + 4. Tentukan nilai fungsi komposisi berikut ini.a. (f ..g)(2) c. (f ..f)(1)b. (g ..f)(1) d. (g ..g)(2)3. Diketahui f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = x + 1 dan

g(x) = 2x 1. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi-fungsiberikut ini, tentukan nilai:a. (f ..g)(1) c. (g ..f)(2)b. (f ..g)(3) d. (g ..f)(1)4. Diketahui fungsi f : R . R dan g : R . R ditentukan oleh f(x) = 2x2 dang(x) = x 3. Tentukan nilai x:a. jika (f ..g)(x) = 2 c. (g ..f)(x) = 5b. jika (f ..g)(x) = 4 d. (g ..f)(x) = 1D Fungsi Invers1. Menjelaskan Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai InversSemua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah in

i.

Dari gambar (i), himpunan A yang beranggotakan (a1, a2, a3, a4) diperakan olehfungsi f ke himpunan B yang beranggotakan (b1, b2, b3) daerah hasil adalah: {(a1, b1),(a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}. Pada gambar (ii) himpunan B dipetakan oleh fungsig ke

himpunan A daerah hasil adalah: {(b1, a1), (b2, a2), (b2, a4), (b3, a3)}. Pemetaan g : B . Adiperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f : A . B atau B merupakan balikan dari f dinotasikan g = f-1, sering disebut g merupakan invers

dari f.

(i) (ii)Aa1a2a3a4Bb1b2b3f

Ba1a2

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 388/394

 

a3a4Ab1b2b3g = f-1

Jika fungsi f = A .B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) a . A danb . B}maka invers fungsi f adalah f-1 = b .A ditentukan oleh f-1 = {(b, a) b . B, dan a . A}.Ingat!!Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 187

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 389/394

 

2.Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu FungsiSuatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, ma

ka

f 1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f 1 Df)(x) = x dan (f Df 1)(x) = x.

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Ab1b2b3

Ba1a2a3Ba1a2a3Ab1b2b3fungsi f

fungsi invers f

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan caraberikut ini.

a.Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.b.Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalamy dan nyatakanlah x = f(y).c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f 1(x).Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.

 Contoh soal

x

1.Jika diketahui f(x) =, x . 2, tentukan inversnya.

x + 2

Penyelesaian

Misal f(x) = y, maka soalnya menjadi:

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 390/394

 

x

f(x)=

x +2x

y =

x +2

y(x + 2) = xyx + 2y = xyx x = 2y(y 1)x = 2y

-2y

x =

y -1-2y

f(y)=

y -1-2x

f1(x)=

x -1

2.Diketahui f : R . R dengan ketentuan f(x) = 3x + 8.a.Tentukan f1(x).b.Tentukan (f1 Df)(x).

c.Tentukan (f Df1)(x).d.Buktikan bahwa (f1 Df)(x) = (f Df1)(x).188Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 391/394

 

Penyelesaian

a.Misalnya f(x) = yf(x) = 3x+ 8y= 3x+ 8

y 8= 3x3x= y 8

y-8

x=

318

x= y-3

3

1 Df1(f

b.(f)(x)= f(x))= f1(3x+ 8)12

=

(3 x+8) -2

338 22

=x+-

33

= x

1)(x1(x

c.(fDf) = f(f)).1 22 .= f. x-.

.33 .

.12 .

=3. x-2 . + 8

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 392/394

 

.33 .

= x 8 + 8= x

122

x= y-

331 22

f(y)= y-

331

f1(x)= x-22

33

1 Df

d.Dari jawaban b dan c terbukti (f)(x) = (fDf1)(x) = x.6.4

Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1.Jika fungsi f mempunyai invers, tentukanlah rumus untuk fungsi f1 dari:2 +x 1

, x.-

a.f(x) = 3x 2 c.f(x) =2x-12

b.f(x) = 2x + 5d.f(x) = x2 + 4

2.Jika fdan gsuatu fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = x + 1 dan g(x) = 2x 7,tentukan:1(x) 1(x

a.f) c. (fDf)1(x 1 D

g1)(xb.g)d. (g)

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 393/394

 

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 189

5/17/2018 34358539 Matematika XI IPA BSE - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/34358539-matematika-xi-ipa-bse 394/394

 

3.Jika fsuatu fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 2x 3, tentukanlah:1(xa.f)1)(x

b.(fDf)1 Df1)(xc.(f)4.Jika fdan gsuatu fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = x 1 dan g(x) = 3x+ 4,tentukanlah:1(x

a.f)1(x

b.g)

c.(fDf1)(x)1 Dg1)(xd.

(g)3. Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Grafik Fungsi AsalnyaUntuk menggambarkan grafik f1 dan f,

x= f(y)y= f(x)f1