cetak matematika i

7/17/2019 Cetak Matematika I

http://slidepdf.com/reader/full/cetak-matematika-i 1/113

DIKTAT PERKULIAHAN

MATEMATIKA I

UNTUK MAHASISWA TEKNIK TELEKOMUNIKASI SEMESTER SATU

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA

DESEMBER, 2010

1

Oleh:Ir. Su!"#,MT.

NIP.1$%$11201$&$0'1002

D()(!*!( De"+!" : D!"! DIPA

Pe"*uu"!" N!-!h B!h!" A!r

N#/#r K#"r!- : 021K.AUP2AI2010

rR R

r

12h

Z = a +jb

Z = r (Cos Ө + jSin Ө)Ө= arc tg (b/a)



PRAKATA

Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasisa !rogram

studi "eknik "elekomunikasi semester satu dalam mem!elajari# memahami dan menga!likasikan

matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi$ Selain dari !ada itu diktat ini jugasangat berman%aat dalam memberikan bekal !ada !ara mahasisa sebagai bahan !enunjang mata

kuliah lain dan sebagai sarana !embantu dalam men&elesaikan !ersoalan keteknikan &ang

membutuhkan matematika tingkat tinggi$ Sebagaimana diketahui baha dalam bidang teknik

telekomunikasi sangat ban&ak !ersoalan &ang !en&elasaiann&a sangat membutuhkan bantuan

matematika$ Sebagai contoh !erhitungan medan listrik# medan magnet# rangkaian listrik#

!engolahan sin&al# otomatisasi s&stem dan sebagain&a$ 'erdasarkan !enelusuran di!er!ustakaan

dan in%ormasi dari dosen !engasuh masingmasing materi tersebut tern&ata antara * , -*

!en&elesaian !ersoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika$

.ateri &ang akan dibahas dalam diktat ini antara lain di%erensial# integral# !enera!an

di%erensial# !enera!an integral# akar# !angkat# !ersamaan kuadrat# !ersamaan linier# bilangan

kom!leks# !enera!an bilangan kom!leks dan !enera!an !ersamaan linier$

Pada kesem!atan ini !enulis sebelumn&a menguca!kan terimakasih ke!ada

1$ 0e!ala P234 P56 &ang telah men&ediakan !endanaan untuk !enulisan diktat

2$ 0etua 6urusan "eknik 7lektro dan 0etua Program Studi "eknik "elekomuniksi P56

&ang telah memberi ke!erca&aan !ada !enulisan diktat ini$

8e!ok# 2- 8esember 2*1*

Penulis diktat

4r$ Sutanto#."

54P$1-9-112*1-:-*;1**2

2

DATAR ISI

<alaman<alaman !engesahan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ iPrakata $ ii8a%tar isi $$$$ iiiPendahuluan $$$$$$$$ 1

>ambaran umum materi kuliah $$$$$$$$$$$$$$$ 1"ujuan !embelajaran umum $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1>ambaran umum isi diktat $$ 1Proses !embelajaran $$$$ 1

'ab 4$ 4ntegral $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ 2Pendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$

24ntegral tunggal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 24ntegral rangka! $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1*"ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1;8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1;

'ab 44$ 8i%erensial $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1?

Pendahuluan $$$$$$$ 1?Prinsi! dasar di%erensial $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1?Penera!an di%erensial $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 2:"ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;;8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;;

'ab 444$ Pangkat$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;?Pendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;?Pangkat bulat $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;?Pangkat !ecah $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;"ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?28a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?;

'ab 4@$ 3kar $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$ ??

Pendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?? Pern&ataan bentuk akar $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?? "ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?: 8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?:

'ab @$ Persamaan non linier $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?- Pendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?-

Persamaan kuadrat $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ?-Penera!an (a!likasi) !ersamaan non linier$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ;"ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ :;8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ :9

'ab @4$ Persamaan linier $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ :APendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ :A

Pen&elesaian !ersamaan linier $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ -2Penera!an !ersamaan linier $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ -?$"ugas / latihan soalsoal $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ -:8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ --

'ab @44$ 'ilangan kom!leks $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ 1**Pendahuluan $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1**'entuk umum bilangan kom!leks $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1**Penera!an bilangan kom!leks $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 1*-"ugas/latihan soalsoal$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 112

;



8a%tar Pustaka $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 11;PENDAHULUAN

1.1. G!/)!r!" U/u/ M!er( Kul(!h

.ateri &ang akan dibahas dalam diktat .atematika 4 ini terdiri atas di%erensial# integral#

!enera!an di%erensial# !enera!an integral# akar# !angkat# !ersamaan kuadrat# !ersamaanlinier# bilangan kom!leks# !enera!an bilangan kom!leks dan !enera!an !ersamaan linier$

8alam setia! materi &ang akan diajarkan !ada mahasisa selalu diberikan gambaran umum

tentang isi materi &ang akan di!elajari dan man%aat dari materi tersebut dalam kaitann&a

dengan mata kuliah lain mau!un !ada saat mahasisa tersebut bekerja di mas&arakat umum

atau industri$1.2. Tuu!" Pe/)el!!r!" U/u/

Su!a&a .ahasisa "eknik "elekomunikasi Semester 4 mam!u menera!kan dasar

dasar matematika !ada "eknik "elekomunikasi1.'. G!/)!r!" U/u/ I( D(-!

Secara umum diktat terdiri atas kata !engantar# !endahuluan# to!ik bahasan# uraian

to!ik bahasan (meli!uti !endahuluan # !enjelasan masingmasing to!ik# contoh soal#

latihan soal soal dan tugas) dan da%tar !ustaka1.3. Pr#e Pe/)el!!r!"

Proses !embelajaran &ang akan dilakukan terdiri atasa$ memberikan !enjelasan ke!ada mahasisa b$ memberikan in%ormasi# uraian dan contohc$ memberikan latihan dan tugasd$ memeriksa latihan dan tugas &ang telah diselesaikan oleh mahasisae$ memberikan bimbingan berdasarkan um!an balik dari latihan atau tugas &ang telah

dikerjakan mahasisa%$ memberikan !enilaian !ada setia! mahasisa berdasarkan tugas/latihan# tes harian dan

"S dan 3S

BAB I. INTEGRAL

I.1.Pe"4!hulu!"

4ntegral meru!akan kebalikan dari hitungan di%erensial$ 3rtin&a jika hasil integral

didi%erensialkan# maka hasiln&a harus sama dengan soal &ang diintegralkan tersebut$

Pembagian integral berdasarkan batas integral dibedakan menjadi integral tertentu dan tak

?



tentu$ 4ntegral tertentu artin&a batas baah dan batas atas telah ditentukan nilain&a#

sedangkan integral tak tentu nilai batas baah dan atas belum ditentukan$ 'erdasarkan

tingkat integrasin&a# maka integral dibedakan menjadi itegral tunggal# integral rangka!

dua#integral rangka! tiga dan seterusn&a$ "eta!i dalam !embahasan integral ini han&a

dibatasi sam!ai integral rangka! tiga saja$ 8alam a!likasin&a integral rangka! dua antara

lain digunakan untuk menghitung luas bidang# sedangkan integral rangka! tiga antara lain

digunakan untuk menghitung Bolume dalam ruang tertutu!$

I.2. I"e+r!l u"++!l !- e"u

5#"#h

1$ ʃ d = D 2 + C

2$ ʃ (1/)d = ln + ln C

;$ ʃ e d = e + C

?$ ʃ e2 d = D e2 + C

9$ ʃ Sin d = Cos + C

A$ ʃ Cos d = Sin + C

$ ʃ

tg d = ln(Sec ) + C:$ ʃ Cot d = ln(Sin) + C

-$ ʃ Sec d = ln(Sec + tg ) + C

1*$ ʃ Cosec d = ln(Cosec , Cot ) + C

11$ ʃ Sin2 d = D () 1/? (Sin 2) + C

12$ ʃ Cos2

d = D () +1/? (Sin 2) + C

1;$ ʃ tg 2 d = tg , + C

1?$ ʃ cot 2 d = cot , + C

19$ ʃ a d = (a/lna)6 C

9



1A$ ʃ ln d = ln , + C

1$ ʃ (1/ ln) d = ln (ln) + C

1:$ ʃ Sinh d = Cosh + C

1-$ ʃ Cosh d = Sinh + C

2*$ ʃ tgh d = ln (Cosh ) + C

21$ ʃ Coth d = ln (Sinh ) + C

22$ ʃ Sech d = arc tg (Sinh ) + C

2;$ ʃ Cosech d = ln Etgh(1/2 )F + C

2?$ ʃ Sinh2 d = G Sinh 2 , D + C

29$ ʃ Cosh2 d = G Sinh 2 + D + C

2A$ ʃ tgh2 d = , tgh + C

2$ ʃ Cotgh2 d = , Cotgh + C

I.'. Be"u- u/u/ ("e+r!l u"++!l !- e"u

1$ ʃ d/(a + b) = 1/(b2) E a + b , a ln(a +b)F + C# dengan a dan b adalah teta!an ≠ *

2$ ʃ 2d/(a +b) = 1/(b;) E1/2( a + b)2 , 2a(a +b) + a2 ln (a +b)F + C# dengan a dan b

adalah teta!an ≠ *

;$ ʃ d/(a +b)2 = 1/(b2) E a/(a + b) + ln(a +b)F + C

?$ ʃ 2d/(a +b)2 = 1/(b;) E a + b , a2/(a +b) 2a ln (a +b)F + C

9$ ʃ √(a + b) d = 2/(19b;)(; bu 2a)( a + bu);/2 + C

A$ ʃ 2 √(a + b) d = 2/(1*9b;)(19 b2u2 12abu + : a2)(a + bu);/2 + C

$ ʃ d/( √a + b) = E2/(;b2)FE bu 2a) √ a +b + C

:$ ʃ 2 d/( √a + b) = E2/(19b;)FE ;b2 u2 ?abu + :a2 ) √ a +b + C

A



-$ ʃ d /( a2 + 2) = 1/a Earc tg (/a)F + C = 1/a Etg1(/a)F + C

1*$ ʃ d /( a2 2) = 1/2a lnE(+a)/(a) F + C

11$ ʃ d /( 2 a2) = 1/2a lnE( a)/(+a) F + C

12$ ʃ d/( √ a2 + 2) = D (√ a2 + u2 ) (a2/2) ln E( 1/a√ a2 + u2 u/a )F + C

1;$ ʃ n e d = n e n ʃ n1 e d + C

1?$ ʃ n a d = E(n a) / lnaF , n/lna ʃ n1 a d + C

19$ ʃ (ln)( n ) d = En1/ (n +1)2FE(n+1) ln 1F + C

I.3. Me#4! 7e"*ele!(!" ("e+r!l u"++!l !- e"u

I.3.1. Me#4! u)(u( r(+#"#/er( 5#"#h:

1$ Selesaikan ʃ E1/(? , 2);/2F d

6aab

Sin = /2Ѳ = 2 Sin Ѳ

d/d = 2 Cos Ѳ d = 2 Cos Ѳ

2 Cos = D √? , 2

Ѳ √? , 2 = 2 Cos Ѳ

√ ? , 2 (? , 2)1/2 = 2 Cos Ѳ (? , 2)1/2(;) = (2 Cos Ѳ);

√? , 2 (? , 2);/2 = : Cos; Ѳ

E1/(? , ʃ 2);/2F d = 2 Cos ʃ Ѳ dѲ/: Cos; Ѳ = 1/? Cos ʃ 2 Ѳd Ѳ

= 1/? Cos ʃ 2 Ѳ dѲ =1/? Sec ʃ 2 Ѳ dѲ

=1/? tg + C = GѲ E /√? , 2 F + C

= /E ?/√? , 2F + C

2$ Selesaikan 1/E ʃ 2

√ (- , 2

)F

d

6aab

Sin H = /; = ; Sin Ѳ

d/d H = ; Cos Ѳ d = ; Cos Ѳ dѲ

; Cos H = 1/; √? , 2 ; √- , 2 = ; Cos H

Ө

Ө Ө

Ө

Ө dӨӨ Ө

Ө



√ - , 2 (- , 2)1/2 = ; Cos Ѳ

√- , 2

1/E ʃ 2√ (- , 2)F d

L!(h!"

8engan subsitusi trigonometri selesaikan integral berikut

I.3.2. Me#4! ("e+r!l e)!+(!"

5#"#h:

1$ "entukan ʃ arc Cos 2 d

6aab

.isal u = arc Cos 2

dB = d B =

ʃ arc Cos 2 d = ʃ udB = uB ʃ Bdu

:

H



.enentukan

.isalkan 1 ?2 = m atau m = 1 ?2

dm/d = :

dm = : d 2 d = 1/? dm

Sehingga

= 1/? (2 m1/2) = 1/2 m1/2

= 1/2I 1 ? 2

6adi

ʃ arc Cos 2 d = arc Cos 2 1/2I 1 ? 2 + C

2$ "entukan ʃ 2√1 , d

6aab

.isal u = 2 du/d = 2 atau du = 2 d

dB = √1 , d = (1)1/2 d B = 2/; (1);/2

ʃ 2√1 , d = ʃ udB

= uB ʃ Bdu = 2/; 2 (1);/2 + 2/; 2 (1) ʃ ;/2 d

= 2/; 2 (1);/2 + ?/; (1) ʃ ;/2 d

.enentukan ʃ (1);/2 d

.isal u = du/d = 1 atau du = d

dB = (1);/2 d B = 2/9 (1 )9/2

Sehingga

-



ʃ √1 , d = ʃ udB

= uB ʃ Bdu

= 2/9() (1 )9/2 , ʃ 2/9 (1 )9/2d

= 2/9() (1 )9/2 + 2/9 ʃ (1 )9/2d

= 2/9() (1 )9/2 + (2/9)(2/) (1 )/2

= 2/9() (1 )9/2 ?/;9 (1 )/2

6adi

ʃ 2√1 , d = 2/; 2 (1);/2 + ?/; (1) ʃ ;/2 d

= 2/; 2 (1);/2 + ?/;E2/9() (1 )9/2 ?/;9 (1 )/2F + C

= 2/; 2 (1);/2 :/19() (1 )9/2 1A/1*9 (1 )/2F + C

I.3.'. Me#4! 7e8!h!" e)!+(!"

5#"#h:

1$ "entukan

6aab

.isal

5am!ak baha 1 = (3+') +;(3')

'ila dilakukan eBaluasi koe%isien !ada * dan 1

Ruas kiri Ruas kanan

* 1 ;(3')

1*



1 * 3 + '

8i!eroleh !ersamaan

;(3') = 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

3 + ' = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

8ari !ersamaan (1) dan (2) dida!at harga 3 = 1/A dan ' = 1/A

Sehingga

= 1/A ln (;) 1/A ln (+;) + ln C

2$ "entukan

6aab

.isal

"erlihat baha

;+ 2 + +; = (3+C) ;+ ('+8) 2 +(;3+C) + (;'+8)

'erdasarkan eBaluasi koe%isien !ada ;# 2 # # *di!eroleh !ersamaan

3 + C = 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

11



' + 8 = 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

;3 + C = 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(;)

;' + 8 = ; $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(?)

8ari !ersamaan (1) s/d (?) di!eroleh harga 3= *# '=1# C = 1# 8 = *

= arc tg + D ln (2+;) + C

Catatan

.enentukan

.isal

u= 2+; du/d = 2 atau du = 2 d d = D du

L!(h!"

1$ ʃ arc tg d

2$ ʃ Sin Sin ; d

;$ ʃ arc Sin d

12



I.%. I"e+r!l r!"+-!7 4u! !- e"u

Prinsi! !en&elesaian integral rangka! dua

%() %(&) d& d ʃ ʃ

integral dalam

integral luar

Pen&elesaian da!at dimulai dari integral dalam terlebih dahulu dilanjutkan integral luar atau

sebalikn&a$

5#"#h:

1$ Selesaikan ʃ ʃ & d& d

6aab

a$ Pen&elesaian dimulai dari integral dalam (d&)

ʃ ʃ & d& d = ʃ D &2 d = (D &2)( (D 2) + C = G &2 2 + C

b$ Pen&elesaian dimulai dari integral luar (d)

ʃ ʃ & d& d = ʃ D 2 & d& = (D 2)( (D &2) + C = G &2 2 + Cc$ Pen&elesaian dengan cara memisahkan masingmasing integral (han&a berlaku untuk

bentuk !erkalian)

ʃ & d& d =E ʃ & d&FE ʃ dF = (D &2)( (D 2) + C = G &2 2 + C

2$ Selesaikan ʃ ʃ (2 + &2) d& d

6aab

a$ Pen&elesaian dimulai dari integral dalam (d&) ʃ ʃ (2 + &2) d& d = ʃ (& 2 + 1/; &;) d

= &(1/; ;) + 1/; &;() + C = 1/; & ;+1/; &; + C

b$ Pen&elesaian dimulai dari integral dalam (d)

1;



ʃ ʃ (2 + &2) d& d = ʃ (1/; 2 + &2 ) d&

= (1/; 2)(&) + 1/; &;() + C = 1/; & 2 + 1/; &; + C

I.9. I"e+r!l r!"+-!7 (+! !- e"u

5#"#h:

1$ ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ

6aab

ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ

a$ Pen&elesaian dimulai dari integral dalam (d&)

ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ = ʃ ʃ (2)(1/2 &2)( J2)d dJ

= ʃ (1/;;)(1/2 &2)( J2) dJ

= (1/;;)(1/2 &2)( 1/;J;) = 1/1: (;&2J;) + C

b$ Pen&elesaian dimulai dari integral tengah (d)

ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ = ʃ ʃ (1/3 ;)( &2)( J2)d& dJ

= ʃ (1/;;)(1/2 &2)( J2) dJ

= (1/;;)(1/2 &2)( 1/;J;) = 1/1: (;&2J;) + C

c$ Pen&elesaian dimulai dari integral luar(dJ)

ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ = ʃ ʃ (;)( &2)( 1/;J2)d& d

= ʃ (;)(1/2 &2)( J2) d&

= (1/;;)(1/2 &2)( 1/;J;) = 1/1: (;&2J;) + C

d$ Pen&elesaian dilakukan dengan memisahkan masingmasing integral

1?



ʃ ʃ ʃ 2 & J2 d& d dJ = E ʃ 2 dFE ʃ &d&FE ʃ J2dJF

= (1/;;)(1/2 &2)( 1/;J;)

= 1/1: (;&2J;) + C

2$ "entukan ʃ ʃ ʃ (2 + & + J2) d& d dJ

6aab

Pilihan memulai !en&elesaian bebas$ 'ila di!ilih integral luar# maka hasil integral

ʃ ʃ ʃ (2 + & + J2) d& d dJ = ʃ ʃ (J2 + J& + 1/;J;) d& d

= ( ʃ 1/; J; + J& + 1/;J; ) d&

= 1/; J;& + D J&2 + 1/;J;& + C

'ila di!ilih integral tengah# maka hasil integral

ʃ ʃ ʃ (2 + & + J2) d& d dJ = ʃ ʃ ( 1/; ; + & + J2) d& dJ

= ʃ (1/; J; + J& + 1/;J; ) d&

= 1/; J;& + D J&2 + 1/;J;& + C

5!!!":

ntuk integral &ang memiliki Bariabel dalam bentuk !enjumlahan atau !engurangan# maka

!en&elesaian integral tidak bisa di!isahkan kedalam integral masingmasing Bariabel$ "eta!i

untuk bentuk !erkalian# maka !en&elesaian integral bisa di!isahkan kedalam masingmasing

integral$

I.. I"e+r!l ere"u

5#"#h:

Selesaikan integral berikut

6aab

.isal u = 1 du/d = 1

du = d atau d = du

19



=2/;E1F;/2 1/2

*

= 2/; E(1 D);/2 , (1*);/2F

= 2/; E(D);/2 , (1);/2F = 2/; E*#;9;99; 1F= *#?;*-A

6aab

L!(h!"

Selesaikan

I.&. D!!r Pu!-!

0re&Jig# 7$# 1--$ Advenced Engineering Mathematics$ ?nd# 6ohn Kille& and Sons# 5e Lork$ !!$ 2?-?A:#9*-9A*#9A;9-*

.undit#3$0$# 1-:?$ Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.6ilid 4# 3rmico#

'andung$ hal$ ;2;:# ;*9?;;

BAB II. DIERENSIAL

1A



II.1. Pe"4!hulu!"

Pada bagian ini akan dibahas !rinsi! dasar cara !en&elesaian di%erensial total

dan !arsial dari suatu %ungsi$ Selanjutn&a dari !rinsi! dasar &ang telah dilakukan tersebut

akan dibuat suatu rumusan umum &ang berkaitan dengan tata cara !enurunanan atau

di%erensiasi dari berbagai bentuk %ungsi$ "ujuan utama dari bahasan ini adalah untuk

mem!elajari cara mendi%erensialkan berbagai bentuk %ungsi baik secara total mau!un secara

!arsial$

II.2. Pr("(7 4!!r 4(ere"(!l #!l

Pada !rinsi!n&a di%erensial atau turunan dari suatu %ungsi atau & = %() da!at dihitung

dengan menggunakan dasar !ersamaan

3tau da!at juga dituliskan sebagai

II.2.1. Pr("(7 4!!r 4(ere"(!l u"+( !l!)!r

Mungsi aljabar mem!un&ai bentuk &ang sangat beragam# sehingga hasil di%erensialn&a

juga sangat beragam$

II.2.1.1. Be"u- P#l("#/(!l

5#"#h:

8engan menggunakan !rinsi! baha

1$ "entukan d&/d dari & = 2 +1

6aab

& +Ny = (x+Nx)2 + 1

= x2 + 2 x Nx+ (Nx)2 +1

Ny = & +Ny - y

= [x2 + 2 x Nx+ (Nx)2 +1] ,E2 +1F

1



; 2 x Nx+ ( Nx )2

2$ "entukan d&/d dari

6aab

Ny = & +Ny - y

L!(h!"


"entukan d&/d dari

1:

1$ & = 22 + 22$ & = /(+1);$ & = (2 +1)/(2 +2)?$ & = 2$;

II.2.1.2. Be"u- E7#"e"(!l

Contoh


1$ "entukan &O dari & = e

6aab

8engan acuan turunan !olinomial# maka

&O = * +1 +2/2 + ;2/; + ?;/?

&O = 1 + + 2

/2 + ;

/; = e

2$ "entukan &O dari & = e2

6aab

& = 1 +2 +?2/2+ : ;/; + 1A ?/? + $$$

8engan acuan turunan !olinomial# maka

&O = * +2 +:/2 + 2?2/; + A?;/? + $$$ = 2(1+?/2 + 122/; + ;2;/? + $$$)

&O= 2E1+2 + (2)2/2 + (2);/; + $$$F = 2 e2

Be"u- u/u/ uru"!" e-7#"e"(!l:

* ; e <=> *?; ?<=> e

<=>

1-

II.2.1.'.Be"u- l#+!r(/!

Hu)u"+!" !"!r! l#+ 4e"+!" l" !4!l!h : l#+ = ; 12,'@ l"=

1$ "entukan &O dari & = ln

6aab

& = ln e& =

= e& O = d/d& = e&

&O= d&/d = 1/ e& = 1/

2$ "entukan &O dari & = ln 2

6aab

& = ln 2

2 = e& 2 d/d& = e&

d/d& = e&/2

d&/d = 2 / e& = 2/2 &O = 2/2

;$ "entukan &O dari & = log 2

6aab & = log 2 =1/2#;Eln 2F

&O= 1/2#;E2/2F

Be"u- u/u/ uru"!" u"+( l#+!r(/!

* ; l"@ <=> *?; ?<=> <=>

* ; l#+@ <=> *?;12,'@ ?<=> <=>

L!(h!"

"entukan &O ataua d&/d dari1$ & = log (2; + 2 + +;)2$ & = log (;? + ;2+ 2 +?)?

;$ & = ln(? + ;;+ 22 +?+2 );

2*



?$ & = ln(? + ;;+ 22 +?+2 )1/2

9$ & = e(9+?)

II.2.2. Pr("(7 4!!r 4(ere"(!l u"+( Tr(+#"#/er(

3da bebera!a %ungsi trigonometri &ang sering dijum!ai !ada !emakaian seharihari$

%ungsi tersebut antara lain Sin # Cos # tg dan sebagain&a$

5#"#h:


1$ "entukan d&/d dari & = Sin 6aab& + N& = & + N&

= Sin ( +N)N& = & + N& , & = Sin ( +N) Sin

21



2$ "entukan d&/d dari & = Cos

6aab& + N& = Cos ( +N)

N& = & + N& ,&= Cos ( +N) , Cos

L!(h!"


"entukan d&/d dari

1$ & = tg

2$ & = Cot

;$ & = Sec ?$ & = Cosec

II.'$ Be"u- u/u/ 4(ere"(!l u"+( !l!)!r 4!" r(+#"#/er(


22

maka bentuk di%erensial dari berbagai %ungsi da!at dilihat se!erti !ada tabel 2$1 berikut

T!)el 2.1. Be"u- 7er!/!!" u/u/ uru"!" !!u 4(re"(!l 4!r( )er)!+!( u"+(

N# Be"u- u"+( Be"u- uru"!"

1 * ; =" 4*4= ; *?; " =<"1>

2 * ; @<=>" *? ; " @<=> <"1>@?<=>

' * ;@1<=>@ 2<=> *? ;@ C1<=>@ 2<=> 6 @1<=>@ C2<=>

3

%

9 * ; S(" = *? ; 5# = * ; S(" <=> *? ; ?<=>5# <=>

& * ; S("" <=> *? ; " ?<=>5# <=> S("<"1> <=>

$ * ; 5# = *? ; S(" =

10 * ; 5# <=> *? ; ?<=> S(" <=>

11 * ; 5# " <=> *? ; " ?<=> S(" <=> 5#<"1> <=>

12 * ; + = *? ; Se82 =

1' * ; + <=> *? ; ?<=> Se82 <=>

13 * ; + " <=> *? ; " ?<=> Se82 <=> + <"1> <=>

1% * ; 5#+ = *? ; 5#e82 =

19 * ; 5#+<=> *? ; ?<=> 5#e82 <=>

1 * ; 5#+ " <=> *? ; " ?<=> 5#e82 <=> + <"1> <=>1& * ; Se8 = *? ; + = Se8 =

1$ * ; Se8 <=> *? ; ?<=> + <=> Se8 <=>

20 * ; Se8 " <=> *? ; " ?<=> + <=> Se8 <=> Se8 <"1> <=>

21 * ; 5#e8 = *? ; 5#+ = 5#e8 =

22 * ; 5#e8 <=> *? ; ?<=> 5#+ <=> 5#e8 <=>

2' * ; 5#e8 " <=> *? ; " ?<=> 5#+ <=> 5#e8 <=> 5#e8 <"1> <=>

23 * ; l"@<=> *? ; ?<=><=>

2% * ; l"@<=>" *? ; " @<=> <"1>@?<=><=>"

29 * ; e<=> *?; ?<=> e<=>

2 * ; l#+ @<=>;@12,'@l"<=> *? ;@12,'@ ?<=><=>

5#"#h 7e"++u"!!" !)el 2.1

"entukan &O atau d&/d dari1. & = ;

6aab

2;

&O = ; 2

2. & = (22 +; +2);

6aab

n =;

% () = 22 +; +2 % O()= ? +;

&O = n E%()F (n1)E%O()F

= ; (22 +; +2)2 (? +;)

= (12 +-) (22 +; +2)2

'. & = Sin? (22 +; +2); * ; S("" <=> *? ; " ?<=>5# <=> S("<"1> <=>

6aabn =?

% () = (22 +; +2 );

* ; @<=>" *? ; " @<=> <"1>@?<=>

& = (22 +; +2 ); %()= 22 +; +2 % O()= ? +;

% O() = ; (22 +; +2)2 (? +;) = (12 +-) (22 +; +2)2

&O = n % O()Cos %() Sin(n1) %()

= ?(12 +-) (22

+; +2)2

Cos(22

+; +2);

Sin;

(22

+; +2);

= (?: +;A) (22 +; +2)2 Cos(22 +; +2); Sin;(22 +; +2);

3. & = e(; +?)

% () = ; +? % O()= ;

&O= ; e(; +?)

%. & = ln E(22 +; +2 );F

%()= E22 +; +2F; % O()= ; (22 +; +2)2 (? +;) = (12 +-) (22 +; +2)2

&O = %O()/%() = E(12 +-) (22 +; +2)2 F / E 22 +; +2F;

9. & = log E(22 +; +2 );F = E1/2#;F ln E(22 +; +2 );F

&O = %O()/%() = E1/2#;F E(12 +-) (22 +; +2)2 F / E 22 +; +2F;

2?

. & = ESin? (22 +; +2);FEln E(22 +; +2 );F

% 1() = Sin? (22 +; +2);

% Q1() = ?(12 +-) (22 +; +2)2 Cos(22 +; +2); Sin;(22 +; +2);

% 2() = ln E(22 +; +2 );

% Q2() = E(12 +-) (22 +; +2)2 F / E 22 +; +2F;

&O =E% Q1()FE % 2()F + E% 1()FE % Q2()F

=E?(12 +-) (22 +; +2)2 Cos(22 +; +2); Sin;(22 +; +2);FEln E(22 +; +2 );F

+ ESin? (22 +; +2);FE(12 +-) (22 +; +2)2 F / E 22 +; +2F;

&. & = E e(; +?)F/E (22 +; +2);F

% 1() = e(; +?) % 1 Q() = ; e(; +?)

% 2() = (22 +; +2); % 2 Q() = ;(22 +; +2)2 (? +;)

=E; e(; +?)(22 +; +2); e(; +?);(22 +; +2)2 (? +;)F/E(22 +; +2);F2

=E; e(; +?)(22 +; +2); e(; +?);(22 +; +2)2 (? +;)F/E(22 +; +2)AF

L!(h!"

8engan menggunakan tabel 2$1# tentukan &O dari

2. * ; <=2 3= 6'> +<2=63>

'. * ; 5#@<=2 3= 6'> 2=2 6'= 62>'

Peu"u- #!l "# ':

1<=> ;<=2 3= 6'>

2<=> ; <2=2 6'= 62>'

29

II.3. D(ere"(!l u"+( ("Fer r(+#"#/er(

5#"#h:

1$ "entukan di%erensial (turunan) dari & = arc Sin 2

6aab

& = arc Sin 2 2 = Sin &

= D Sin &

d/d& = D Cos & d&/d = 2/Cos &

Cos & = √1 , ?2

1 1 d&/d = 2/Cos & = 2/√1 , ?2

2 Be"u- u/u/:

* ; !r8 S(" <=> 4*4= ; ?<=>√1 @<=>2

√ 1 , ?2

2$ "entukan di%erensial (turunan) dari & = arc Cos 2

6aab

& = arc Cos 2 2 = Cos &

= D Cos &

d/d& = D Sin & d&/d = 2/Sin &

Sin & = √1 , ?2

√ 1 ?2 1 1 d&/d = 2/Sin & = 2/√1 , ?2

Be"u- u/u/:

* ; !r8 5# <=> 4*4= ; ?<=>√1 @<=>2

2

;$ "entukan di%erensial (turunan) dari & = arc tg 2

6aab

2A

&

&

& = arc tg 2 2 = tg &

= D tg &

d/d& = D Sec2 & d&/d = 2/Sec2 & = 2 Cos2 &

Cos & = 1/√1 + ?2 Cos2 & = 1/(1 + ?2)

2 √1 + ?2 d&/d = 2 Cos2 & = 2/(1 + ?2)

Be"u- u/u/:

* ; !r8 + <=> 4*4= ; ?<=>@1 6 <=>2

1

L!(h!"

"entukan d&/d dari

1$ & = arc Cotg ;

2$ & = arc Sec ?

;$ & = arc Cosec 9

II.%. Pr("(7 4(ere"(!l 7!r(!l

8i%erensial !arsial biasan&a di!akai untuk menurunkan atau mendi%erensialkan suatu %ungsi

&ang mem!un&ai !erubah bebas minimum 2$ 8alam hal ini Bariabel &ang tidak

didi%erensialkan diangga! teta! sehingga da!at dikeluakan dari tanda di%erensial$

.isalm = %(#&#J)# dengan Bariabel bebas #&#J

maka bentuk di%erensial dari %ungsi tersebut da!at dituliskan sebagai

berikut

2

&



II.%.1.D(ere"(!l 7!r(!l u"+( !l!)!r

5#"#h:

m = &2 J;# tentukan harga dari

6aab

II.%.2. D(ere"(!l 7!r(!l u"+( r(+#"#/er(

m = &2 Sin Cos J# tentukan harga dari

2:



6aab

II.9. Turu"!" u"+( (/7l((

Perbedaan cara !enulisan antara %ungsi im!lisist dan eks!lisit

& = 2 +? Mungsi eks!lisit 2& +&+ 2& = ? Mungsi im!lisit

5#"#h:

1$ "entukan d&/d atau &O dari 2& +&+ 2& = ?

6aab

d/d2& +&+ 2& =d/d( ?)

& d/d (2) + 2 d/d(&) + d/d(&) + & d/d ( 2

) + 2

d/d (&) = ?& (2) + 2 d&/d + d&/d + 2& + 2d&/d = ?

d&/dE 2 + 1 + 2F = ? , 2& 2&

d&/d = E? , 2& 2&F /E 2 + 1 + 2F

2$ "entukan d&/d atau &O dari 2 + &; + &2 = 2

2-

6aab

d/d E2 + &; + &2 F= d/dE2F

d/d (2) + d/d(&;) + d/d(&2)= d/dE2F

2 + d/d(&2$&) + &2d/d () + d/d (&2) = 2

2 + &2 d/d(&) + & d/d(&2) + &2d/d () + d/d (&$&) = 2

2 + &2 d&/d + & d/d(&$&) + &2 + E&d/d (&) + &d/d (&)F = 2

2 + &2 d&/d + & E& d/d(&) + & d/d(&) F + &2 + E 2&d&/d F = 2

2 + &2 d&/d + 2&2 d&/d + &2 + 2 &d&/d = 2

2 + ;&2 d&/d + &2 + 2 &d&/d = 2

d&/d E ;&2 + 2& F = 2 2 &2

d&/d = E2 2 &2F / E ;&2 + 2& F

5!!!":

4< *"> 4= ; " *<"1>4*4=

L!(h!"

"entukan &O atau d&/d dari1$ 2& + ;&; + 2 &2 = 2 2$ ? + &? + ?&2 = 2 &?

II.. Tu+!

3$ "entukan &O dari

1$ & = E tg( ?+?)9F /ECosec(2 ? +;)

2$ & = Sin2( ;+2) Cotg(?+ ;2+;+;);$ & = (?+ ;2+;+;)(;+ 22++2)

?$ & = E ln( ?+?)9F /Elog(2 ? +;)

9$ & = e(; +;) /(;+ 22++2)

A$ & = e(?+2) /E ln(;+ 22++2)F$ & = Ee(?+2) FE ln(;+ 22++2)F:$ ? &? + 2&? + &2 = A2&?

-$ ln (? &?)+ e2& + &2 = log (2&?)

;*

1*$ ln (Cos 2)+ ln(;+ 22)$ e2& + &2 = log (2&?)

'$ 8iketahui m = (Sin )(Cos&)(J; + J2 A)

II.&. A7l(-!( uru"!" <4(ere"(!l> #!l

ntuk menentukan harga Bariabel bebas dalam suatu %ungsi # maka harga turunan !ertama

dari %ungsi tersebut harus berharga nol (*)$ ntuk menguji sutu %ungsi a!akah %ungsi

tersebut berharga maksimum atau minimum# maka harus dilihat !ada harga turunan kedun&a

!ada saat Bariabel &ang di!eroleh dari turunan !ertma dimasukkan ke dalam turunan kedua

dari %unhsi tersebut$ 3da dua kemungkinan &ang terjadi !ada saat harga Bariabel tersebut

dimasukkkan dalam turunan kedua# &aitu

a$ 6ika harga turunan adalah negati! atau kurang dari nol (*)# maka %ungsi mem!un&ai

harga maksimum

b$ 6ika harga turunan adalah !ositi! atau lebih dari nol (*)# maka %ungsi mem!un&ai

harga minimum

5#"#h

1$ Sebuah bejana berbentuk kotak !ersegi bagian atas terbuka dan bagian baah

tertutu!$'ejana diisi !enuh dengan cairan seban&ak 21A m;$ 3las bejana berbentuk bujur sangkar

dan dinding berbentuk !ersegi !anjang$ 'ia&a !embuatan alas R! 9***T !er m 2 dan

dinding R!2$9**T !er m2$"entukan ukuran bejana &ang !aling ekonomis# sehingga

maksud !embuatan terca!ai sesuai rencana$

6aab

;1

&

@olume bejana = @ = Uuas alas tinggi

21A = ()()(&)

21A = 2

& & =21A/2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

'ia&a alas = 9$***()()= 9*** 2

'ia&a total dinding = ?()(&)(2$9**) = 1*$***&

'ia&a total !embuatan bejana= 9*** 2+1*$***&

< = 9*** 2+1*$***& $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (2)

.asukkan !ersamaan (1) ke (2)

$

< = 9*** 2+1*$***&

= 9***2+1*$***(21A/2)

=9***2 + 2$1A*$*** / $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(;)

d</d = 1*$*** 2$1A*$*** /2

d</d = * 1*$*** 2$1A*$*** /2 = *

1*$*** = 2$1A*$*** /2 ; = 21A

= A dan & =21A/2 = 21A/;A = A

d 2</d2 = d/d (1*$*** 2$1A*$*** /2) =1*$*** +?$;2*$***/;

= 1*$*** +?$;2*$***/; = 1*$*** +?$;2*$***/21A = 1*$***+2*$*** = ;*$***

8engn demikian d 2</d2 V * memenuhi s&arat minimasi

6adi = & = A bejana berbentuk kubus dengan !anjang sisisisi A m

Acm

A cm

2$ "entukan ukuran dari silinder lingkaran tegak dengan luas selimut maksimum &ang

da!at dilukis !ada sebuah bola dengan jarijari 2* cm

6aab

;2

rR 1/2 h R

r

1/2h

h = tinggi silinder

R = jarijari bola = 2* cm r = jarijarisilinder

R 2 = (1/2h)2 + r 2 = G h2 + r 2

?** = G h2 + r 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

Uuas selimut silinder = 244rh

3 = 244rh $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

d3/dr = 244d/dr (rh)

= 244Erdh/dr+hdr/drF

= 244r dh/dr + 244h $$$$$$$$$$(;)



8ari !ersamaan (1) ?** = G h2 + r 2

h2 + ?r 2 = 1A**

d/dr (h2 + ?r 2) = d/dr (1A**)

d (h2)/dr + ? d(r 2)/dr = *

2h dh/dr + :r = *

2h dh/dr = :r

dh/dr = ? r/h $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (?)

.asukkan !ersamaan (?) ke (;)

d3/dr = 244r dh/dr + 244h= 244r (?r/h) + 244h

= :44r 2/h + 244h $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (9)

.enentukan harga r dari !ersamaan d3/dr =*

d3/dr =*

244r (?r/h) + 244h = *

:4ir 2/h = 244h

?r

2

= h

2

h= 2r atau r = h/2

8ari !ersamaan (9)

d3/dr = 244r dh/dr + 244h

= :44r 2/h + 244h

6ika h = 2r d3/dr = :44r 2/2r + 244(2r) = ?44r + ?44r = *

3rtin&a d23/dr 2 = * tidak bisa di!akai untuk eBaluasi harga maksimum atau

minimum %ungsi$ ntuk mengatasi !ersoalan tersebut# maka diasumsikan baha harga h

diangga! konstan atau teta!$

8engan demikian d3/dr = :44r 2/h + 244h

d23/dr 2 = 1A44r/h

= 1A44(h/2)/h = : 44

;;

3rtin&a d23/dr 2 W * atau d23/dr 2 berharga negati! (memenuhi s&arat untuk harga

maksimum)$

8ari !ersamaan (1) ?** = G h2 + r 2

G h2 + r 2 = ?**

G h2 + E(1/2)hF2 = ?**

G h2 + G h2 = ?**

D(h2) = ?**

h2 = :**

h = 2*√2 cm dan r = D(h) = 1*√2 cm

L!(h!"

1$ "entukan jarijari R dari kerucut ingkaran tegak dengan Bolume maksimum &ang da!at

dilukiskan dalam sebuh bola dengan jarijari r (kunci R= 2/; (r √2)$

2$ Sebuah silinder lingkaran tegak dilukiskan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak

dengan jarijari r$ 'ila Bolume silinder maksimum# maka tentukan jarijari R silinder

Ekunci R = 2/;(r)F

;$ Sebuah bejana (tabung) &ang tertutu! ra!at berisi cairan setengahn&a$'entuk tabung

adalah silinder tegak dengan bia&a !embuatan dinding R! 1*$***T !er m2 dan tutu! R!

9$***T !er m2

$ 'ila dikehendaki tabung tersebut diisi !enuh da!at menam!ung cairan1*** m;# maka tentukan ukuran ekonomis tabung tersebut$

II.$. A7l(-!( uru"!" <4(ere"(!l> 7!r(!l

5#"#h:

1$ 0era!atan muatan ruang din&atakan sebagai

'ila 8 = &2 J9 a + ; &2 J9 a& + ; &2 J9 aJ

"entukan ρB !ada 3 (1#2#;)

6aab

8 = &2 J9

8& =; &2 J9

8J =; &2 J9

;?



= &2 J9

= 2 & ; J9

= 9J? ; &2

= &2 J9 + 2 & ; J9 + 9J? ; &2

= (22)(;9) + 2(2)(1)( ;9) +9 (;?)(1)(22) = ;9A? EC/m;F

Persamaan untuk medan listrik ( 7 ) din&atakan sebagai 7= @# dengan"entukan

medan listrik !ada 3(1#2#;)# jika diketahui baha medan !otensial (@) din&atakan

sebagai @ = 9* 2&J + 2* &2 E@oltF

6aab

X@/X = X/X (9* 2&J + 2* &2) = 9* &J d/d (2) + 2* &2d/d (1)= 1**&J + *

= 1**&J

X@/X&= X/X& (9* 2&J + 2* &2) = 9* 2J d&/d& + 2*d(&2)/d& = 9* 2J + ?* &

X@/X&= X/X& (9* 2&J + 2* &2) = 9* 2& dJ/dJ + 2* &2 d(1)/dJ = 9* 2&

7 = (1**&J != + (9* 2J + ?* &) !* 6 9* 2&) !

73 = E1**(1)(2)(;) != + E9*(12

)(;) + ?*(2)F !* 6 9* (12

)(2)F !

= A** != 2;* !* 1** ! E@/mF

;9

L!(h!"

1$ 0era!atan muatan ruang din&atakan sebagai

'ila 8 = &2 ln(J9 ) a + e; &2 J9 a& + 2 &; J? aJ

"entukan ρB !ada 3 (2#?#A)

Persamaan untuk medan listrik ( 7 ) din&atakan sebagai 7= @# dengan"entukan

medan listrik !ada 3(1#2#;)# jika diketahui baha medan !otensial (@) din&atakan

sebagai @ = 9* ln(2 ) & J + 2* J; &2 E@oltF

II.10. D!!r Pu!-!

0re&Jig# 7$# 1--$ Advenced Engineering Mathematics$ ?nd# 6ohn Kille& and Sons# 5e

Lork$ !!$ 2?-?A:#9*-9A*#9A;9-*

.undit#3$0$# 1-:?$ Soal Pen&elesaian 0alkulus 8e%erensial dan 4ntegral$6ilid 4# 3rmico#

'andung$ hal$ ;2;:# ;*9?;;

<a&t# K$<$# 1-:-$ 7ngineering 7lectronics$ Mith 7dition# .c >ra <ill 4nternational

3ditions#"oronto$ !!$ ;?1*A# 1::2*?

BAB III. PANGKAT

III.1. Pe"4!hulu!"

;A



8alam kehidu!an seharihari sering kita berhada!an dengan suatu angka &ang nilain&a

sangat besar$ .isal tabungan seseorang dalam suatau bank nilain&a 1 mil&ar ru!iah atau

kalau dituliskan dengan angka# maka nialain&a adalah R!1$***$***$***T$ 8alam bidang

matematika atau keteknikan cara !enulisan se!erti ini cuku! !anjang# men&ulitkan dan

ban&ak memakan tem!at$ ntuk menghindari kesulitankesulitan tersebut dibutuhkan

alaternati% lain$ Salah satu cara !enulisan &ang cuku! sederhana adalah dengan

menuliskan dalam bentuk !angkat$ 3ngka 1$***$***$*** tersebut dalam bentuk !angkat

da!at dituliskan sebagai 1* -$ 8alam hal ini 1* disebut bilangan !okok# sedangkan -

disebut bilangan !angkat$ 0arena !angkatn&a bilangan bulat# maka disebut bilangan

ber!angkat bilangan bulat$ Pada bab 444 ini akan dibahas secara rinci tentang bentuk

bentuk !angkat dan cara !enghitungann&a$

III.2. Pe"+el#/7#-!" 7!"+-!

'erdasarkan tanda o!erasionaln&a !angkat da!at dikelom!okkan menjadi !angkat !ositi!

dan negati!$ Sedangkan berdasarkan nilain&a !angkat dikelom!okkan menjadi !angkat

bulat# !ecah # nol dan tak tentu (Y)

III. 2.1. P!"+-! )ul!

III. 2.1.1. P!"+-! )ul! 4!" 7#((7

8alam kehidu!an seharihari kita sering menemui !erkalian bilanganbilangan dengan%aktor%aktor &ang sama$ .isalkan kita temui !erkalian bilanganbilangan sebagai

berikut:

a$ 2 2 2 = :

b$ ; ; ; ; ; = 2?;

c$ ? ? ? ? ? ? = ?$*-A

Perkalian bilanganbilangan dengan %aktor%aktor &ang sama se!erti di atas# disebutsebagai !erkalian berulang$ Setia! !erkalian berulang da!at dituliskan secara ringkas

dengan menggunakan notasi bilangan ber!angkat$ Perkalian bilanganbilangan di atas

da!at kita tuliskan dengan

;



a$ 2 2 2 = 2;

b$ ; ; ; ; ; = ;9

c$ ? ? ? ? ? ? = ?A

'ilangan 2;# ;9# ?A disebut bilangan ber!angkat sebenarn&a (riil) karena bilangan

bilangan tersebut da!at din&atakan dalam bentuk !erkalian berulang$ 'ilangan

ber!angkat an dengan n bilangan bulat !ositi% dide%inisikan sebagai berikut

an = a a a$$$$$$$$$$$$$$ a $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)'erdasarkan !ersamaan (1) tersebut da!at diturunkan berbagai rumusan atau %ormulasi

sebagai berikut

an am = a n +$m $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (2)

(an

)m

= an $ m

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (;) (a$b)n = an $bn $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (?)

(a/b)n = an / bn#dengan b* $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (9)

(am/an) = am,n#denga m V n dan a * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (A)

5#"#h

1$ 22 $2; = ? $ : = ;2 atau 22 2; = 29 = ;2

2$ (22 ); = ?; = A? atau (22 ); = 2A = A?

;$ (2$2); = ?; = A? atau (2$2); = 2; $2 ; = :$: = A?

?$ (?/2); = (2); = : atau (?;/2;) = A?/: = :

9$ (2;/22) = (:/?) = 2 atau (2;/22) = 2(; , 2) = 2

L!(h!"

"entukan 1$ ;2 $A; ?$ (:/9); A$ (;$?)?

2$ (-2 ); 9$ (?;/;2) $ (;?/ ?;)

III. 2.1.2. P!"+-! )ul! 4!" "e+!(7

8ari bentuk !erkalian

;:



a$ 2 2 2 = :

b$ ; ; ; ; ; = 2?;

c$ ? ? ? ? ? ? = ?$*-A

8ikembangkan menjadi bentuk !angkat negati! sebagai berikut

a$ 21 21 21 = D D D = 1/(2;)= 1/:

b$ ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 = 1/;1/;1/;1/;1/; = 1/(;9) = 1/2?;

c$ ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 = 1/?1/?1/?1/?1/?1/?=1/(?A) =1/?*-A

3tau kalau menggunakan !ersamaan (2)# maka da!at dituliskan sebagai

a$ 21 21 21 = 2 (111) = 2 ; = 1/:

b$ ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 = ; 9 = 1/2?;

c$?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 = ? A =1/?*-A

'erdasarkan dari uraian tersebut da!at disim!ulkan baha

1/(2;) = 2 ;

1/(;9) = ; 9

1/(?A

) = ? A

'ila din&atakan secara umum#maka bentuk !angkat bulat dan negati! da!at dituliskan

sebagai

(1/an ) = a , n # dengan a * $$()

L!(h!"

"entukan harga

1$

1/( ;?

) ?$ 9(;)

2$ 1/( ;?) 9$ ;?/ (? ;)

;$ (9) 9 A$ (;$?)9

'erdasarkan !ersamaan () tersebut da!at diturunkan berbagai rumusan atau %ormulasi

sebagai berikut

;-



an $am = a (n +$m) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (:)

an $a m = a ( n +$m) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (-)

an am = a (n $m) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1*)

(an) m = aE(n)( m)F $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (11)

(an) m = aE(n)( m)F $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (12)

(an) m = aE(n)( m)F $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$ (1;)

(a$b)n = an $bn $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1?)

(a/b) n = an / bn#dengan b * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (19)

(am/an) = a(m,n)#dengan a * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1A)

(am/an) = a(m + n)#dengan a * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1)

5#"#h

1$ 22 2; = 1/? $1/ : =1/ ;2 atau 22 2; = 2 9 = 1/;2

2$ (22 ) ; = ?; = 1/A? atau (22 ); = 2 A = 1/A?

;$ (2$2); = ?; = 1/A? atau (2$2) ; = (2; )(2 ; ) = (1/:)(1/:) = 1/A?

?$ (?/2) ; = (2) ; = 1/: atau (? ;/2 ;) = (1/A?) / (1/:) = :/A? =1/:

9$ (2 ;/2 2) = (1/:) / (1/?) = ?/: =1/2 atau (2 ;/2 2) = 2(; + 2) = 21=1/2

III. 2.2. P!"+-! 7e8!h

III. 2.2.1. P!"+-! 7e8!h 7#((7


a$ ? ? ? = A?

b$ - - - - = A$9A1

c$ 1A 1A 1A 1A 1A = 1$*?:$9A

8ikembangkan menjadi bentuk !angkat !ecahan sebagai berikut

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = I? I? I? = 2 2 2= :

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = I- I- I- I- = ; ; ; ; =:1

c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 = I1A I1A I1A I1A I1A =

?*



? ? ? ? ? = 1*2?

3tau da!at dituliskan !ula sebagai

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = ?(1/ 2+1/2+1/2) = ? ;/ 2 =I?; = IA? = :

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = -(1/ 2+1/2+1/2 +1/2) = -2 = :1c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 = 1A(1/ 2+1/2+1/2+1/2+1/2) =1A9/2 =I1A9 = 1*2?

8engan demikian da!at dikatakan baha

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = ? ;/ 2 = I?; = :

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = -?/2 = -2 =:1

c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 = 1A9/2 = I1A9 = 1*2?

8a!at disim!ulkan baha

L!(h!"

"entukan harga dari1$ ?1/ 2 - 1/? ;1/ ;

2$

? 2

- 1/2

A2/ ;

;$ : 2/; 1* 1/2 92/ ;

?$ - 2 A 1/2 1A2/ ;

III. 2.2.2. P!"+-! 7e8!h "e+!(7


a$ ? ? ? = A?

b$ - - - - = A$9A1

c$ 1A 1A 1A 1A 1A = 1$*?:$9A

8ikembangkan menjadi bentuk

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = 1/?1/ 2 1/ ? 1/ 2 1/? 1/ 2 =1/I? 1/I? 1/I? =

?1



1/2 1/2 1/2 = 1/:

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = 1/-1/2 1/-1/2 1/-1/2 1/-1/2 =

1/I- 1/I- 1/I- 1/I- = 1/; 1/; 1/; 1/; = 1/:1

c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 =

1/1A1/2 1/1A1/2 1/1A1/2 1/1A1/2 1/1A1/2 =

1/I1A 1/I1A 1/I1A 1/I1A 1/I1A =

1/? 1/? 1/? 1/? 1/? = 1/1*2?

3tau da!at dituliskan !ula sebagai

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = ?(1/ 21/21/2) = ? ;/ 2 =1/I?; = 1/IA? = 1/:

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = - (1/ 21/21/2 1/2) = 1/-2 = 1/:1

c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 = 1A (1/ 21/21/21/21/2) =1A9/2 =1/I1A9 = 1/1*2?

8engan demikian da!at dikatakan baha

a$ ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 ?1/ 2 ? 1/ 2 ? 1/ 2 = ? ;/ 2 =1/I?; = 1/IA? =1/:? ;/ 2 = 1/I?; =1/ :

b$ -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 = - (1/ 21/21/2 1/2) = 1/-2 = 1/:1

c$ 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 1A1/2 = 1A (1/ 21/21/21/21/2) =1A9/2 = 1/1A9/2

= 1/I1A9 = 1/ 1*2?


L!(h!"

"entukana harga dari1$ ?1/ 2 - 1/? ;1/ ;

2$ ? 2 - 1/2 A 2/ ;

;$ : 2/; 1* 1/2 9 2/ ;

?2

III. 2.'. P!"+-! "#l

III. 2.'.1. P!"+-! "#l 7#((7


a$ ? ? ? = A?

b$ - - - - = A$9A1

c$ 1A 1A 1A 1A 1A = 1$*?:$9A


a$ ? * ? * ? * = 1 1 1 =1

b$ - * - * - * - * = 1 1 1 1 = 1

c$ 1A * 1A * 1A * 1A * 1A * = 1 1 1 1 1 = 1

III. 2.'.2. P!"+-! "#l "e+!(7


a$ ? ? ? = A?

b$ - - - - = A$9A1

c$ 1A 1A 1A 1A 1A = 1$*?:$9A


a$ ? * ? * ? * = 1/?* 1/?* 1/?* =1/1 1/1 1/1 =1

b$ - * - * - * - * = 1/-* 1/-* 1/-* 1/-* =1/1 1/1 1/11/1 =1

c$ 1A * 1A * 1A * 1A * 1A * = 1/1A* 1/1A* 1/1A* 1/1A* 1/1A

= 1 1 1 1 1 = 1

0esim!ulana * = a , * = 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(22)

III. 2.3. P!"+-! !- erh("++! <!- e"u >

?;

III. 2.3.1. P!"+-! !- erh("++! <!- e"u > 7#((7 < 6 >

<arga 6 berarti harga tersebut sangat besar sekali dan !ositi!$


a$ 2+Y = 2 2 2 $$$$$ 2 = besar sekali = Y

b$ - +Y - +Y = Y Y = Y

"eta!i untuk 1+Y = 111 $1= 1


aY = Y# dengan a * dan a V1 (2;)

6ika 1W a W 1 dan a *# maka

aY

= kecil atau kecil sekali# sehingga aY

= *#*****$[ * (2?)6ika a W 1# maka

\aY\= besar atau besar sekali# sehingga aY [ Y (29)

III. 2.3.2. P!"+-! !- erh("++! <!- e"u > "e+!(7 < >

<arga berarti harga tersebut besar sekali dan negati!$


a$ 2 Y = 1/2Y = 1/2 1/2 $$$$$ 1/2 = *#*******$$$$$ = kecil sekali [*

b$ 2 Y 2 Y = * * = *

"eta!i untuk 1 Y = 111 $1= 1


aY = *# dengan a 1 (2A)

6ika 1W a W 1# maka

\ a

Y

\= kecil atau kecil sekali# sehingga boleh didekati [ * (2)5#"#h #!l -#/7rehe"(7:

1$ "entukan harga dari ;; 1/ :; -2/;

6aab

??



2$ "entukan harga dari ?1/; 1/ :;/2 -;/?

6aab

*$1-2?9 = A#-2

;$ "entukan harga dari :1/; 1/A ;/2 9 2/;

6aab

*$; 1*: *#;? = 1;#9-

?$ "entukan harga dari ? Y 1/ : Y -;/?

6aab

? Y 1/ : Y -;/? = 1/?Y : Y 1/ -;/?

= * Y 1/ -;/? = *9$ "entukan harga dari 1 Y 1/ : Y -;/?

6aab

1 Y 1/ : Y -;/? = 1/ 1 Y : Y 1/ -;/? = 1 Y -;/? = Y

Tu+!

"entukan harga dari 1$ :1/; 1/ 2;/2 1** 9/?

2$ :1/; 1/A ;/2 9 2/;

;$ ; Y : Y -;/?

?$ A Y 1/ : Y ?;/?

9$ 1A 1/; 1/(? ;/2 ) - 2/;

A$ 1A 1/; 1/? * - *

$ ; * : Y -;/?

:$ (2 ;/2 2) (2$2); (?/2) ;

?9

Ku"8( !!)!"

1$ *$**??22$ 2$91;1?1;$ *

?$ Y

9$ ?$A9-*-9:12

A$ 1A 1/;

$ Y

:$ *$***-

D!!r Pu!-!:

$$# 1-:2$ Aljaar Semester ! dan "$ 7disi !ertama# 8e!artemen 7lekteronik

Politeknik# "78C# 'andung$ <al$ 222-

BAB I. AKAR

I.1. Pe"4!hulu!"

?A

3kar meru!akan !ern&ataan lain dari !angkat dalam bentuk !ecahan baik !ositi!

atau negati! dari suatu bilangan# dimana bilangan tersebut harus berharga !ositi! dan

tidak boleh berharga nol$ 'ila bilangan tersebut berharga nol# maka hasil !engakaran

adalah nol juga$ Sedangkan kalau bilangan tersebut berharga negati!# maka akan

dihasilkan bilangan kha&al atau imajiner &ang membutuhkan !embahasan khusus atau

tersendiri$ ]leh karena itu !ada bagian !embahasan akar ini han&a akan dibatasi dulu

!ada hasil &ang n&ata atau riil saja$ 8engan demikian sebenarn&a hasil !erhitungan

menggunakan !angkat !ecahan dan akar bisa saling bertukar tem!at# karena hasil

!erhitungan baik dengan menggunakan bentuk akar atau bentuk !angkat !ecahan dari

suatau bilangan akan menghsilkan suatu harga &ang sama saja$

I.2. Per"*!!!" )e"u- !-!r

Secara umum bentuk akar da!at din&atakan sebagai

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1)

dengan

n = indeks atau ordo dan berharga !ositi! dan untuk n=2 biasan&a tidak !ernah

dituliskan

a= bilangan &ang diakar dan berharga !ositi!

<ubungan antara akar dengan bentuk !angkat !ecahan da!at din&atakan sebagai berikut

= $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

5#"#h:

1$ "entukan harga dari

6aab

= ;8engan !erhitungan secara manual menggunakan alat hitung dida!at baha -1/2 = ;

]leh karena itu = -1/2 = ;2$ "entukan harga dari

6aab

= 2$AAAAA (dihitung dengan kalkulator)

?



8engan menggunakan alat hitung (kom!uter) dida!at baha

:1/2 = 2$AAAAA

]leh karena itu ; :1/2 = 2$AAAAA

I.'. S(! (! !-!r

'ebera!a si%at akar antara lain

a$

b$

c$

d$ =

e$ =

5#"#h:


6aab

= ?;/;= ?1 = ?

'ila dihitung dengan kalkulator harga dari = ( 1$9:?*1); = ?8engan demikian = ?;/;

= ?1 = (1$9:?*1)

; = ?


6aab

(1$??229)( 1$9:?*1) = 2$2:-?2-

3tau dengan cara lain

?:



;$ "entukan harga dari

6aab8engan menggunakan cara lain da!at !ula dihitung sebagai berikut

0.829827

?$ "entukan harga dari

6aab

3tau dengan cara lain da!at !ula dihitung sebagai berikut


6aab

8engan cara lain da!at !ula dihitung sebagai berikut

A$ "entukan harga dari

1,090508

8engan cara lain da!at !ula diselesaikan sebagai berikut

1,090508

?-



L!(h!"

"entukan harga dari

a$

b$

c$

d$e$

I.3. A-!r 4!r( )(l!"+!" "e+!(7

ntuk men&elesaikan akar dari suatu bilangan negati! bisa digunakan si%at dari akar

se!erti &ang ditunjukkan dalam bentuk

5#"#h

5!!!":

'ilangan kha&al atau imajiner sangat berman%aat !ada !emakaian bilangan kom!leks dan

akan dibahas !ada bagian tersendiri$ Perlu dikatahui sebagai bahan !engantar baha

bilangan kom!leks terdiri atas bilangan n&ata &ang digabungkan dengan bilangan kha&al

atau imajiner dan biasan&a dituliskan dalam notasi Z dan meru!akan bentuk dari suatu

Bektor$ 'ilangan kom!leks dalam bidang teknik elektro ban&ak di!akai sebagai alat bantu

!ada !erhitungan rangkaian listrik arus bolakbalik (3C)$ Contoh !ern&taan bilanag

kom!leks adalah Z = 2 + ;j atau Z = 2 + ;i$

L!(h!"

"entukan hasil dari dan

5!!!":

Tu+!"entukan harga dari

9*

a$ +

b$

c$

d$ 6

+

Ku"8( !!)!"

a$ 1.84917

b$ 0.210731

c$ 26.62187

d$ -$1*;:*2

e$ 1.84917 + 2.828427 j

D!!r Pu!-!:

$$# 1-:2$ Aljaar Semester ! dan "$ 7disi !ertama# 8e!artemen 7lekteronikPoliteknik# "78C# 'andung$ <al$ 222-

91

BAB . PERSAMAAN NON LINIER

.1. Pe"4!hulu!"

Persamaan nojn linier adalah suatu !ersamaan !ol&nomial dengan orde dua atau lebih$ 6ika

orde tersebut berharga dua# maka disebut !ersaman kuadrat$ Sedangkan menurut jenisn&a !ersamaan non linier da!at dikelom!okkan menjadi !ersamaan kuadrat# !ersamaan

eks!onensial dan sebagin&a$

.2. Per!/!!" -u!4r!

Persamaan kuadrat adalah suatu !ersamaan !olinomial berorde dua$ 'entuk umum dari

!ersamaan kuadrat adalah

$(1)dengan

<uru%huru% a# dan c disebut sebagai koe%isien$ 8alam hal ini koe%isien kuadrat a adalah

koe%isien dari #2# koe%isien linier adalah koe%isien dari ## dan c adalah koe%isien konstan

atau disebut juga suku bebas$

.'. Gr!(- !!u -urF! 7er!/!!" -u!4r!

'entuk atau sketsa dari gra%ik (kurBa) !ersamaan kuadrat sangat di!engaruhi oleh

!erubahan harga koe%isien dari a#b dan c$ Perubahan dari gra%ik atau kurBa ditunjukkan

se!erti !ada gambar 1# 2 dan ;$

92

>ambar 1$ 0urBa dari Bariasi

a

>ambar 2$ 0urBadari Bariasi b

>ambar ;$ 0urBa dari Bariasi

c

5ilainilai a# dan c menentukan bagaimana bentuk !arabola dari %ungsi !ersamaan

kuadrat dalam ruang #y$<arga a menentukan tingkat kecekungan atau kecembungan

!arabola &ang dibentuk oleh %ungsi kuadrat# se!erti ditunjukkan !ada gambar 1$ 5ilai ! 0akan men&ebabkan !arabola terbuka ke atas# sedangkan nilai ! 0 akan men&ebabkan

!arabola terbuka ke baah$ <arga ) menentukan kirakira !osisi # !uncak !arabola# atau

sumbu simetri cermin dari kurBa &ang dibentuk# se!erti terlihat !ada gambar 2$ Posisi

te!atn&a adalah )2!$ <arga c menentukan titik !otong %ungsi !arabola &ang dibentuk

dengan sumbu y atau saat = ; 0# se!erti terlihat !ada gambar ;$ $

V.4. Menghitung harga akar-akar persamaan kuadrat

.3.1. Me"+h(u"+ 4e"+!" ru/u -u!4r!

Rumus kuadrat dikenal !ula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk akarakar

!ersamaan kuadrat &ang tergantung dari nilainilai a# dan c dari suatu !ersamaan

kuadrat$ 6ika !ersamaan kuadrat tersebut din&atakan se!erti !ada !ersamaan (1) # &aitu

$

.aka rumus &ang dimaksud adalah

(2)Persamaan ( 2 ) han&a da!at digunakan untuk mencari akarakar !ersamaan kuadrat

a!abila harga & !ada !ersamaan (1) adalah nol (*) atau & = * $ Pada kondisi ini !ersamaan

berubah menjadi

(;)

9;



5#"#h:

"entukan harga akarakar dari !ersamaan *#92 , 2 19 = *

6aab

.3.2. Me"+h(u"+ !-!r 4e"+!" 8!r! /e/!-#r-!"

'erdasarkan rumus !ada !ersaman (2) akan di!eroleh akarakar !ersamaan# sehingga

!ersamaan semula &ang din&atakan dalam bentuk

$$

da!at dituliskan menjadi

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(9)

Pada harga & = *# maka !ersamaan (9) da!at din&atakan sebagai

* = a( 1)( 2)

atau ( 1)( 2) = * dengan 1 dan 2 adalah harga akarakar dari !ersamaan hasil

!em%aktoran$

8ari !ersamaan (9) da!at !ula dituliskan dua hubungan &ang telah umum dikenal# baha

(A)

dan

$ $$$$$$$$$$$$$$()

5#"#h:

"entukan harga akarakar dari !ersamaan & = *#92 , 2 19

6aab

9?

8engan menggunakan bantuan kurBa atau gra%ik !ersamaan tersebut da!at din&atakan

sebagai berikut

>ambar ?$ 4lustrasi !enera!an !ersamaan & = *#92 , 2 19

'erdasarkan gambar ?# da!at dilhat baha harga akar , akar dari !ersamaan !ada saat &

= * adalah 1 = ;#;;; dan 2 = A$ <arga akarakar tersebut tern&ata sama dengan harga

akarakar &ang dihasilkan dengan rumus a#b#c$ 6ika digunakan cara !em%aktoran# maka

!ersamaan & = *#92 , 2 19 da!at din&atakan sebagai & = *$9 ( + ;#;;;) ( ,

A#***)$ Selanjutn&a untuk mencari akarakar !ersamaan dari & = *$9 ( + ;#;;;) ( ,

A#***)# diubah terlebih dahulu menjadi

* = *$9 ( + ;#;;;) ( , A#***)

atau*$9 ( + ;#;;;) ( , A#***) = *

( + ;#;;;) ( , A#***) = *

( + ;#;;;) = * 1 = ;#;;;

( , A#***) = * 2 = A#***

Pengujian hasil hitungan menggunakan !ersamaan (A) dan ()# &aitu

$

8engan 1 = ;#;;; dan 2 = A#***# maka

1+ 2 = ;#;;; + A#*** = 2#AA= 2#A (sama dengan hasil hitungan dengan !ersamaan

A)

1$ 2 = (;#;;;)( A#***) = 1-#--:= 2* (sama dengan hasil hitungan dengan !ersamaan

)$ 8engan demikian dida!at baha 1 = ;#;;; dan 2 = A#***

V.5. Diskriminan atau determinan

8alam rumus kuadrat se!erti disebutkan !ada !ersamaan (2) tertulis suatu harga &ang

berada dalam naungan tanda akar$ <arga &ang dimaksud adalah berbentuk

99

8alam istilah matematik harga dari b2 ?ac dikenal sebagai harga diskriminan atau juga

sering disebut harga determinan dari suatu !ersamaan kuadrat$ 5otasi dari harga determinan

biasan&a dituliskan sebagai 8$ 8engan demikian harga determinan dari suatu !ersamaankuadrat da!at dituliskan sebagai

8 = b2 ?ac $$ (:)

Suatu !ersamaan kuadrat dengan koe%isienkoe%isien riil da!at memiliki han&a sebuah akar

atau dua buah akar &ang berbeda# di mana akarakar &ang dimaksud da!at berbentuk

bilangan riil atau kompleks$ 8alam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan si%at dari akar

akar !ersamaan kuadrat$ "erda!at tiga kasus &ang mungkin muncul berkaitan dengan harga

determinan# &aitu

6ika diskriminan berharga !ositi% (8 V *)# maka akan terda!at dua akar berbeda &ang kedua

duan&a meru!akan bilangan riil$ ntuk !ersamaan kuadrat dengan koe%isien beru!a bilangan

bulat# a!abila diskriminan meru!akan suatu kuadrat sem!urna# maka akarakarn&a

meru!akan bilangan rasional atau sebalikn&a da!at !ula meru!akan bilangan irrasional

kuadrat$

6ika diskriminan bernilai nol (8 = *)# maka di!eroleh satu akar eksak dan akar &ang

dimaksud meru!akan bilangan riil$ <al ini kadang disebut sebagai akar kembar # di mananilain&a adalah

6ika diskriminan berharga negati% ( 8 W * )# maka tidak terda!at akar riil$ Sebagai gantin&a#

terda!at dua buah akar kom!leks (tidakreal)# &ang satu sama lain meru!akan konjugat

kom!leks

8a

n

>ambar 9 menunjukkan !erubahan atau !ergeseran !ola kurBa atau gra%ik sebagai akibat

!erubahan harga dari determinan 8$

>ambar 9$ Perubahan !ergeseran !ola kurBa akibat !erubahan harga determinan

9A

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskriminan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Akar

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil


http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Positif&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat


http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuadrat_sempurna&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_irrasional_kuadrat&action=edit&redlink=1


http://id.wikipedia.org/wiki/Nol

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_ganda&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Negatif&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjugat_kompleks&action=edit&redlink=1


http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskriminan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Akar


http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Positif&action=edit&redlink=1



http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuadrat_sempurna&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional



http://id.wikipedia.org/wiki/Nol

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_ganda&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Negatif&action=edit&redlink=1

6adi akarakar akan berbeda# jika dan han&a jika diskriminan bernilai tidak sama dengan

nol# dan akarakar akan bersi%at riil# jika dan han&a jika diskriminan bernilai tidak negati% $

V.6. Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat da!at memiliki sebuah akar (akar kembar) atau dua buah akar &ang berbeda$ <arga dua buah akar da!at bersi%at riil atau kom!leks tergantung dari nilai

diskriminann&a$ 3karakar !ersamaan kuadrat da!at !ula di!andang sebagai titik !otongn&a

dengan sumbu # atau garis y $ %$

5#"#h:

"entukan akarakar dari !ersamaan

a$ & = 2 + ? , A

b$ & = 22 ? + A

6aab

Sebagaimana disebutkan !ada teori baha akarakar !ersamaan kuadrat da!at di!andang

sebagai titik !otongn&a dengan sumbu # atau garis y $ %$ 8engan demikian akan dida!at

jaaban sebagai berikut

a$ & = 2 + ? , A

* = 2 + ? , A atau 2 + ? , A = *

8engan menggunakan rumus a#b#c dida!at akarakar !ersamaan

ji kebenaran jaaban dengan !ersamaan (A)

8ari hasil hitungan telah dida!at baha 1 =1#1A2; dan 2 = 9#1A2;# kedua harga akar

adalah riil (n&ata)

1 + 2 = 1#1A2; 9#1A2; = ? (cocok dengan hasil uji dari !ersamaan A)

b$ & = 22 ? + A

9

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tidak_sama_dengan_nol&action=edit&redlink=1


http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tidak_negatif&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_potong&action=edit&redlink=1




http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tidak_negatif&action=edit&redlink=1



ntuk & = *# maka !ersamaan da!at dituliskan menjadi 22 ? + A = *

8engan menggunakan rumus a#b#c dida!at akarakar !ersamaan

8ida!at dua harga akar berbentuk bilangan kom!leks dimana akarakar tersebut

meru!akan konjugat satu sama lainn&a$

ji kebenaran jaaban dengan !ersamaan (A)

8ari hasil hitungan telah dida!at baha 1 =1+ 1#?1?2 j dan 2 =1 1#?1?2 j# keduaharga akar berbentuk bilangan kom!leks$

^1 + 2 = 1+ 1#?1?2 j + (1 1#?1?2 j ) = 2 (cocok dengan hasil uji dari !ersamaan A)

L!(h!"

"entukan akarakar dari !ersamaan

a$ & = ? 2 + ? , 1A

b$ & = 22 , ? + 9

c$ & = ; 2 + 2 +1A

d$ & = 22 + ? + 9

e$ & = - 2 , 2 1A

ji akar &ang dida!at dengan !ersamaan

atau

9:

.. T((- 7##"+ -urF! "#" l("(er 4e"+!" +!r( y = d <+!r( l("(er>

8engan cara !andang ini# rumus !ersamaan kuadrat da!at digunakan a!abila diinginkan

untuk mencari titik !otong antara suatu !ersamaan kuadrat () dengan suatu garis mendatar

()$ <al ini da!at dilakukan dengan mengurangi !ersamaan kuadrat tersebut dengan

!ersamaan garis &ang titik !otong antar keduan&a ingin dicari dan men&amakann&a dengan

nol$

4nte!retasi &ang sama !un berlaku# &aitu bila

diskriminan !ositi%# terda!at dua titik !otong antara dan #

diskriminan nol# terda!at han&a satu titik !otong antara dan # dan

diskriminan negati%# tidak terda!at titik !otong antara kedua kurBa# dan $

5#"#h:

"entukan titik !otong antara

a$ & = A dengan & = 2 + ? , A

b$ & = 9 : dengan & = 2 ? + 12

6aaba$ & = A dengan & = 2 + ? , A

Uakukan subsitusi antar !ersamaan# sehingga dida!at !ersamaan baru berbentuk

A = 2 + ? , A atau 2 + ? 12 = *

8engan cara mem%aktorkan dida!at bentuk !ersamaan (+A) (2) = *

+ A = * 1 = A

2 = * 2 = 2

"itik !otong antara dua kurBa tersebut adalah (A# A) dan (2#A)

b$ & = 9 : dengan & = 2 ? + 12

Uakukan subsitusi antar !ersamaan# sehingga dida!at !ersamaan baru berbentuk

9 : = 2 ? +12 atau 2 ,- +2* = *

9-

8engan cara mem%aktorkan dida!at bentuk !ersamaan ( ?) ( 9) = *

?= * 1 = ?

9 = * 2 = 9

8ari 1 = ? &1 = 9 : = 9(?) : = 2* , : =12

8ari 2 = 9 &2 = 9 : = 9(9) : = 29 , : =1

"itik !otong antara dua kurBa tersebut adalah (?#12) dan (9#1)

c$ "entukan dengan metoda kurBa/gra%ik untuk mem!erkirakan titik !otong antara

& = ?;

+: dengan &

= 2

+2 +A6aab

&1 = ?; +: dengan &2 = 2 +2 +A

"abel !embantu

& 1 &2

; ;A -

2 * A

1 ? 9

* * A

1 12 -

2 A? 1?

; 1:* 21

8ari kurBa nam!ak baha !erkiraan = *#- dan = 1#;$ <arga & dihitung dengan !ersamaan & = ?; +:$ ntuk = *#- & = 1*#12# untuk = 1#; & = 12#A*

0oordinat &ang dida!at adalah (*#- # 1*#12) dan ( 1#;# 12#A*)

A*

& = ?; +:

& = 2 +2 +A ;0,$ ;1,'



d$ "entukan dengan metoda kurBa/gra%ik untuk mem!erkirakan titik !otong antara

& = ? +? dengan &2 = ;2 +: +?

6aab

&1 = ? +? dengan &2 = ;2 +: +?

&2 = ;2 +: +? &2 = ; +:/ + ?/2

"abel !embantu

& 1 &2

; : *$:

2 ? *

1 * 1

*$9

2 ;

*$A

1$A *$:

* ?

1 : 19

2 12 :

; 1A A$11

'erdasarkan kurBa da!at di!erkirakan baha harga = 1#9 dan = *#$

ntuk = 1#9 & = ? +? = ?(1#9) + ? = 1* dan untuk = *# & = ? +?

& = ? (*#)+ ?= 1#2$ 8ida!at koordinat (1#9# 1*) dan (*## 1#2)

A1

& = ? +?

& =; +:/ +2

* ;1,%=;



L!(h!"

"entukan titik !otong antara kurBa

a$ & = A 2 dengan & = 2 + ? , A

b$ & = 9 +: dengan & = 22 ? , 12

c$ & = ; dengan & =92 : + -

d$ & = A dengan & = ?2 ? , :

e$ &/ = 9 dengan & = ?2 + ? + A

%$ &/ = 9 ? dengan & = ?2 + ? + A

Tu+!

3$ "entukan akarakar dari !ersamaan

1$ & =- 2 + ? , 1*

2$ & = 22 + ? 9

;$ & = ; 2 2 +1A

ji akar &ang dida!at dengan !ersamaan

'$ "entukan titik !otong antara kurBa

1$ & = A 12 dengan & = ;2 + ? + -

2$ & = 9 + 1* dengan & = 22 + ? , 12

;$ &/ = 9 dengan & = ?2 + : + 9

?$ &/ = 9 + A dengan & = -2 + A , A

9$ & + A = - dengan & = 22 ? , 12

A$ &2 = +1 dengan & = ; + ?

$ & 2 = 2 +1 dengan & = ; + ?

A2

:$ & + 2 = 2 dengan & = 2 + ;

.&. T((- 7##"+ 4u! -urF! "#" l("(er

ntuk menentukan titik !otong antara dua kurBa non linier da!at dilakukan dengan cara

subsitusi atau elemininasi$

5#"#h:

1$"entukan titik !otong antara dua kurBa &ang mem!un&ai !ersamaan & = 2 2 +; ?

dan & = 2 +9 +9

6aab

8igunakan !en&elesaian dengan cara eliminasi

& = 2 2 + ; ?

& = 2 + 9 + 9

* = ; 2 2 - atau ; 2 2 - = *

<arga akarakar dicari dengan rumus a#b#c

.encari harga &1dan &2

&1 = 2 +9 +9= (2#*-2)2 + 9(2#*-2) + 9 =11#*::

&2

=

2

+9 +9= (1#?;*9)

2

+ 9(1#?;*9) + 9 = ?#1-::6adi titk !otong &ang dimaksud adalah (2#*-2 # 11#*::) dan (1#?;*9 # ?#1-::)

2$ "entukan titik !otong antara dua kurBa &ang mem!un&ai !ersamaan

& = 2 2 +; + ? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

A;



dan

2& = ; , 9 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

6aab

8ari !ersamaan (b) 2& = ; , 9 & = ;/ , 9/2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$ (c)

.asukkan !ersamaan (c) ke !ersamaan (a)

;/ , 9/2 = 2 2 +; + ? kalikan dengan 2 # maka dida!at

; 9 = 2 ? + ; ; + ? 2 2? + ;; + ?2 + ; + 9 = *

Pen&elesaian menggunakan metoda Neton !aphson dengan bentuk %ormulasi

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

% O(n) =turunan !ertama %(n)

= :n; + -n

2 + :n+ ;

n+1 = n , 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9/:n; + -n

2 + :n+ ;

Pilih harga aal (n = *) atau * untuk menghitung n+1# !enghitungan dilakukan secaraterus menerus sam!ai dida!at harga n+1 mendekati konstan atau teta!$

.isal di!ilih saat n =* harga dari * = *# sehingga dida!at

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(*) = :*; + -*

2 + :*+ ;

% O(*) = :(*); + -(*)2 + :(*)+ ;=;

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9 %(*) = 2*? + ;*

; + ?*2 + ;* + 9

%(*) = 2(*)? + ;(*); + ?(*)2 + ;(*) + 9 = 9

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

*+1 = * , % (*)/% O(*) = * 9/;= 9/; 1 = 9/; = 1#AAA

U"u- " ; 1

A?

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(1) = :1; + -1

2 + :1+ ;

% O(1) = : ( 9/;); + -( 9/;)2 + :(9/;) + ; = 22#;*?

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

%(1) = 21 ? + ;1; + ?1

2 + ;1 + 9=2(9/;)? + ;(9/;); + ?(9/;)2 +;( 9/;) + 9

=12#A9?;2

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

1+1 = 1 , % (1)/% O(1)

2 = 9/; , 12#A9?;2/22#;*? = 1$1**--

8ari !embandingan harga 1 dengan 2 belum mendekati sama# sehingga !erhitungan

terus dilakukan sam!ai mendekati harga &ang !/! atau /e"4e-!( !/! <8#"Fer+e">$U"u- " ; 2

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(2) = :2; + -2

2 + :2+ ;

% O(2) = :(1$1**--); + -(1$1**--)2 + :(1$1**--) + ; = 9$99*:

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

%(2) = 22 ? + ;2; + ?2

2 + ;2 + 9 =2(1$1**--)? + ;(1$1**--); + ?(1$1**--)2 +;(1$1**--)+9 = 9$?:*11

" n#$ = " n %&'" n () &

*

'" n (

2+1 = 2 , % (2)/% O(2)

; = 1$1**-- ,9$?:*11 /9$99*: = *$11-2U"u- " ; '

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(;) = :;; + -;

2 + :;+ ;

% O(;) = :(*$11-2); + -(*$11-2)2 + :(*$11-2) + ; = 2$1A:AA-

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

%(;) = 2; ? + ;;; + ?;

2 + ;; + 9

=2(*$11-2)? + ;(*$11-2); + ?(*$11-2)2 +;(*$11-2)+9 = ?$A-;2:

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

;+1 = ; , % (;)/% O(;)

A9



? = *$11-2 ,?$A-;2: /2$1A:AA- = 2$*?:*A

U"u- " ; 3

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(?) = :?; + -?

2 + :?+ ;

% O(?) = :(2$*?:*A); + -(2$*?:*A)2 + :(2$*?:*A) + ; = 129$:A;%(n) = 2n ? + ;n

; + ?n2 + ;n + 9

%(?) = 2? ? + ;?; + ??

2 + ;? + 9

=2(2$*?:*A)? + ;(2$*?:*A); + ?(2$*?:*A)2 +;(2$*?:*A)+9 =::$::?-A

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

?+1 = ? , % (?)/% O(?)

9 = 2$*?:*A ,::$::?-A /129$:A; = 1$;?1:2

U"u- " ; %

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(9) = :9; + -9

2 + :9+ ;

% O(9) = :(1$;?1:2); + -(1$;?1:2)2 + :(1$;?1:2) + ; = ?-$2*1:

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

%(9) = 29 ? + ;9; + ?9

2 + ;9 + 9

=2( 1$;?1:2)? + ;( 1$;?1:2); + ?( 1$;?1:2)2 +;( 1$;?1:2)+9 =2-$-A11

" n#$ = " n %&'" n () &*

'" n (

?+1 = 9 , % (9)/% O(9)

A =1$;?1:2 ,2-$-A11/?-$2*1: = *$;;;

U"u- " ; 9

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(A) = :A; + -A

2 + :A+ ;

% O(A) = :(*$;;;); + -(*$;;;)2 + :(*$;;;) + ; =1A$:AA

%(n) = 2n ?

+ ;n

;

+ ?n

2

+ ;n + 9%(A) = 2A ? + ;A

; + ?A2 + ;A + 9

=2(*$;;;)? + ;(*$;;;); + ?(*$;;;)2 +;(*$;;;)+9 =11$12

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

9+1 = A , % (A)/% O(A)

AA



=*$;;; ,11$12/1A$:AA = *$*?:;

U"u- " ;

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O() = :; + -

2 + :+ ;

% O() = :(*$*?:;); + -(*$*?:;)2 + :(*$*?:;) + ; =;$A92:%(n) = 2n ? + ;n

; + ?n2 + ;n + 9

%() = 2 ? + ;; + ?

2 + ; + 9

=2(*$*?:;)? + ;(*$*?:;); + ?(*$*?:;)2 +;(*$*?:;)+9 =9$2?:;A

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

+1 = , % ()/% O()

: =*$*?:; ,9$2?:;A/;$A92: = 1$;A1-;

U"u- " ; &

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(:) = ::; + -:

2 + ::+ ;

% O(:) = :(1$;A1-;); + -(1$;A1-;)2 + :(1$;A1-;) + ; =11$?112

%(n) = 2n ? + ;n; + ?n

2 + ;n + 9

%(:) = 2: ? + ;:; + ?:

2 + ;: + 9

=2(1$;A1-;)? + ;(1$;A1-;); + ?(1$;A1-;)2 +;(1$;A1-;)+9 =$A;A*??

" n#$ = " n %&'" n () &*

'" n (

:+1 = : , % (:)/% O(:)

- =1$;A1-; ,$A;A*??/11$?112 = *$A-2A

U"u- " ; $

% O(n) = :n; + -n

2 + :n+ ; % O(-) = :-; + --

2 + :-+ ;

% O(-) = :(*$A-2A); + -(*$A-2A)2 + :(*$A-2A) + ; = *$::2A

%(n) = 2n ?

+ ;n

;

+ ?n

2

+ ;n + 9%(-) = 2- ? + ;-

; + ?-2 + ;- + 9

=2(*$A-2A)? + ;(*$A-2A); + ?(*$A-2A)2 +;(*$A-2A)+9 =?$;*?A29

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

-+1 = - , % (-)/% O(-)

A

- = *$A-2A ,?$;*?A29/*$::2A = ?$1:??9

<arga tidak ada &ang memenuhi (tidak bisa menca!ai konBergensi)

8ibuat tabel !embantu untuk menunjukkan !erubahan kecenderungan !erubahan dari

harga dimulai dari harga aal *=*# sebagai berikut

" " n#$ Keer!"+!"

* 1#AAA diBergen1 1$1**-- diBergen

2 *$11-2 diBergen; 2$*?:*A diBergen? 1$;?1:2 diBergen9 *$;;; diBergenA *$*?:; diBergen

1$;A1-; diBergen: *$A-2A diBergenCatatan cara 5eton Ra!hson umumn&a han&a membutuhkan langkah hitungan sekitar ;

sam!ai 9 kali saja sudah menca!ai konBergen (tidak ada beda harga &ang berarti)$

3rtin&a bila langkah hitungan telah melibihi dari lima taha!an# maka dimungkinkan

tidak ada jaaban &ang memenuhi s&arat untuk harga $

2$ "entukan titik !otong antara dua kurBa &ang mem!un&ai !ersamaan

& =

2

+; + ? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)dan

& = ; , 9 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

8ari !ersamaan (b) & = ; , 9 & = ; , 9/ $$$$$$$$$$$$$$$$$$ (c)

.asukkan !ersamaan (c) ke !ersamaan (a)

; , 9/ = 2 +; + ? kalikan dengan # maka dida!at

; 9 = 2 ; + ; 2 + ? 2; + ;2 + + 9 = *

Pen&elesaian menggunakan metoda Neton !aphson dengan bentuk %ormulasi

" n#$ = " n %&'" n () &* '" n (

%(n) =2; + ;2 + + 9

A:



% O(n) = A2 + A +

Pilih harga * = *# untuk n = *

%(*) =2*; + ;*

2 + * + 9= 2(*)+;(*)+(*)+9=9

% O(*) = A*2 + A* + =A(*)+A(*)+=

" +#$ = " + %&'" + () &* '" + (

1 = * ,%(*)/ % O(*) = * , 9/ = 9/= *$1?2-

U"u- ";1

% O(1) =A12 + A1 + = A( *$1?2-)2+A ( *$1?2-)+=9$9921

%(1) =21; + ;1

2 + 1 + 9= 2( *$1?2-);+;( *$1?2-)2+( *$1?2-)+9= *$:*129

" $#$ = " $ %&'" $ () &*

'" $ (

2 = 1 ,%(1)/ % O(1) = *$1?2-*$:*129/9$9921= *$:9;1

U"u- ";2

% O(2) =A22 + A2 + = A( *$:9;1)2+A ( *$:9;1)+=A$2?:*:

%(2) =22; + ;2

2 + 2 + 9= 2( *$:9;1);+;( *$:9;1)2+( *$:9;1)+9= *$*;*1

" ,#$ = " , %&'" , () &* '" , (

; = 2 ,%(2)/ %O

(2) = *$:9;1 *$*;*1/A$2?:*:= *$:?:;U"u- ";'

% O(;) =A;2 + A; + = A( *$:?:;)2+A ( *$:?:;)+= A$22::

%(;) =2;; + ;;

2 + ; + 9= 2( *$:?:;);+;( *$:?:;)2+( *$:?:;)+9= *$***1A

" #$ = " %&'" () &* '" (

? = ; ,%(;)/ % O(;) = *$:?:;*$***1A/A$22::= *$:?:2

U"u- ";3

% O(?) =A?2 + A? + = A( *$:?:2)2+A ( *$:?:2)+= A$229

%(?) =2?; + ;?

2 + ? + 9= 2( *$:?:2);+;( *$:?:2)2+( *$:?:2)+9= ;$*;7*9

" 4#$ = " 4 %&'" 4 () &* '" 4 (

A-



9 = ? ,%(?) / % O(?) = *$:?:2 ;$*;7*9/A$229= *$:?:2A9 (diangga! sudah

conBergen atau mendekati sama dengan harga sebelumnn&a)

.enentukan harga &

& = ; , 9/ = ; , 9/*#:?:2A9 = :$:-?;:

6adi salah satu titik !otong kedua kurBa tersebut adalah*#:?:2A9 # :#:-?;:

8ibuat tabel !embantu untuk menunjukkan !erubahan kecenderungan !erubahan dari

harga dimulai dari harga aal *=*# sebagai berikut

" " n#$ Keer!"+!"

* *$1?2- 8iBergen1 *$:9;1 8iBergen

2 *$:?:; 8iBergen

; *$:?:2 8iBergen? *$:?:2A9 0onBergen

(diangga! tidak ada

beda &ang n&ata

antara harga )

;$ "entukan titik !otong antara dua kurBa &ang mem!un&ai !ersamaan

;2 , &2 = 2A $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

dan

22 + 9&2 = 2; $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

6aab

Pen&elesaian dilakukan dengan eliminasi

Persamaan (a) dikalikan 2 A2 , 2&2 = 92

Persamaan (b) dikalikan ; A2 +19& 2 = A- ,

1 &2 = 1

&2 = 1 & = _ 1

.enentukan harga

ntuk & =1 ;2 , &2 = 2A

*



;2 , (1)2 = 2A

;2 = 2 2 = -

= _ ;

ntuk & = 1 ;2 , &2 = 2A

;2 , (1)2 = 2A

;2 = 2 2 = -

= _ ;

8engan demikian dida!at titik !otong antara dua kurBa tersebut adalah (;#1)#(;#1)# (;#

1) dan (;#1)

L!(h!"

"entukan titk !otong antara dua kurBa berikut

1$ & = 2 +? + ? dengan & = ;2 + : + ?

2$ & = ? 2 +- + ? dengan & = ;2 + : + 2

;$ & = 2

+9 + ? dengan & = 2

: + ??$ & = 22 +? + ? dengan & = ;2 + - + ?

9$ &2 = 2 + ? + ? dengan & = ;2 + : + ?

A$ & = 12 2 +? - dengan & = 2 + :/ + ?

$ & = 2 +? + ? dengan & 2 = ;2 + : + ?

:$ 2 + ? + &2 + ?& = ?1 dengan &/2 = 2/

-$ & = 2 +A + - dengan &2 = ;2 + : + ?

.$. L("(er(!( 7er!/!!" "#" l("(er

Uinierisasi adalah !roses !engubahan !ersamaan dari bentuk non linier menjadi linier atau

mengubah kurBa garis lengkung menjadi garis lurus$

1

a$ Persamaan & = a2 + b adalah non linier da!at diubah menjadi linier

dengan cara membagi & dengan # sehingga !ersamaan menjadi&/= a +b

dan untuk memudahkan !emahaman !erubahan tersebut da!at dilihat !ada

!erubahan bentuk kurBa &ang dihasilkan$

b$ <asil linierisasi selengka!n&a untuk berbagai !ersamaan non linier menjadi

linier da!at dilihat !ada tabel berikut

Per

samaanuntukmencari adan b

nb+a` =`L/$$$(1)

b`+a`()()=`()

2

>ambar $ Sket kurBa L/ = a +b

S-e -urF! "#" l("(erS-e -urF! l("(er



(L/)=`L$$$(2)

Per samaanuntukme

ncari adan b

nloga + b`log

=`logL $$$$(1)

loga`log

+ b`(log)(log)=

;

>ambar :$ Sket kurBa L = a b

>ambar -$Sket kurBalogL=loga+b

S-e -urF! "#" l("(erS-e -urF! l("(er



`(log)(logL

)$(2)

Per sama

anuntukmencari adan bnlna+

b` =`ln&$$$(1)

lna`

+ b`()()=`()(lnL)

?

>ambar 1*$Sket kurBa L = aebx>ambar 11$Sket kurBalnL=ln a +

S-e -urF! l("(er



$$$$$(2)

Per samaanuntukmenca

ri adan bn1/b+a/b`=`1/

L$$$(1)1/b`+a/ b`

()()=`()(1/L)

9

>ambar 12$SketkurBaL= b/(1+a)>ambar 1;$ Sket kurBa 1/L

S-e -urF! l("(er

$(2)

.10. A7l(-!( -urF! 4!" 7er!/!!" "#" l("(er

1$ 8iketahui dari !ercobaan !encaha&aan !ada !ermukaan lantai dari !enggunaan

bebera!a lam!u dengan jarak tertentu terhada! kuat caha&a dida!atkan data

sebagai berikut

N# J!r!- l!/7u <4>, /eer Ku! 8!h!*! , u"(

1 1 2*

2 1#9 12*

; 2 A#9

? 2#9 ?;#2

9 ; ;*

A ;#9 2*

? 1A#-

8engan menggunakan bantuan kurBa ta%sirkan atau !erkirakan

a$ 0uat caha&a ketika jarak lam!u sejauh 2#? m terhada! lantai

b$ 6umlah lam!u minimum &ang dibutuhkan untuk menghasilkan kuat caha&a 1?* unit

!ada jarak !encaha&aan 2# m

6aab

a$ Pada jarak !encaha&aan 2#? m di!erkirakan baha berdasarkan !enarikan garis

merah dida!at kuat caha&a sekitar ?- unit

b$ Pada jarak 2# m di!erkirakan baha berdasarkan !enarikan garis biru muda

dida!at kuat caha&a sekitar ;: unit$ 8engan demikian di!erkirakan jumlah lam!u

&ang dibutuhkan sekitar 1?*/;: = ;#A:?2 dibulatkan menjadi ? lam!u

A



5!!!"

Pembacaan dengan kurBa beru!a garis lengkung sangat tidak teliti# karena setia!

orang bisa berbeda !ena%siran$ ]leh karena itu cara ini harus dihindari dan disarankan

menggunakan kurBa linier (dilakukan !roses linierisasi terlebih dahulu)$.elihat kecenderungan kurBa &ang di!eroleh dimungkinkan data da!at diakili

bentuk !ersamaan umum 4 = a d b # dengan a dan b adalah teta!an &ang harus dicari

leat !roses linierisasi$ 8alam hal ini model !ersamaan linier &ang digunakana

adalah log 4 = log a + b log d$ 8ibuat tabel !embantu berikut

4 I l#+ 4 l#+ I l#+ 4 . l#+ 4 l#+ 4 . l#+ I

1 2* * 2$?; * *

1#9 12* *$1: 2$*: *$*;2? *$;??

2 A#9 *$; 1$:; *$*- *$9?-

2#9 ?;#2 *$? 1$A? *$1A *$A9A

; ;* *$?: 1$?: *$2;*? *$1*?

;#9 2* *$9? 1$; *$2-1A *$*2? 1A#- *$A 1$2; *$;A 1$1;?

`=2$9 `=11$-- `=1$1A?? `= ;$2-:

8igunakan !ersamaan statistik

n log a + b` logd = ̀ log 4 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

log a `log d + b `(log d)(log d) = `(log d)(log 4) $ (2) log a + 2$9 b = 11$-- $$$$ (;)

2$9 log a +1$1A?? b = ;$2-: (?)

Persamaan (;) 2$9 1$9 log a + A$29 = 2-$-9

Persamaan (?) 1$9 log a + :$19*:b = 2A$1*:A ,

1$-**: b = ;$:AA?

b = 2$*;?1

8ari !ersamaan (;) log a + 2$9 b = 11$--

log a + 2$9 (2$*;?1) =11$--

log a = 2$9 (2$*;?1) + 11$--

log a = 1$*9;

log a = 2$?;-; a = 2?$--;

6adi !ersamaan untuk data adalah 4 =23.$$'

d

2.0'31

'ila menggunakan ecel dida!at kurBa berikut

8ida!at harga b =2#*;? dan log a = 2#?;- a = 2?#-# sehingga dida!at

!ersamaan 4 = 23,$ d 2.0'3 (tidak jauh dengan hitungan dari statistik

&aitu 4 = 23.$$' d 2.0'31)

ntuk d = 2#? 4 = 2?#-(2#?) 2.0'31 ; ?A$;;; unitntuk d= 2# 4 = 2?#-(2#) 2.0'31 ; ;A$?A2A unit# jumlah lam!u &ang

dibutuhkan = 1?*/;A$??2? = ;$:? = ? lam!u

2$ 8iketahui dari !ercobaan !engosongan ka!asitor dida!at data sebagai berikut

N# W!-u 7e"+##"+!" <>, /e"( Aru *!"+ 4(-elu!r-!" ,

!/7er

1 1* 12#12 2* #;A

; ?* 2#1

? A* *#--A

9 :* *#;AA

:



'ila hubungan antara arus (4) dengan aktu !engosongan (t) din&atakan sebagai 4

= a ekt # dengan e = bilangan alam = 2#2# a dan k adalah teta!an (konstanta)#

makaa$ "entukan harga dari a dan k

b$ Kaktu &ang dibutuhkan untuk menca!ai arus 9* dari arus semula

6aab

a$ 8ibuat kurBa hubungan antara aktu (t) dan arus (4)

5am!ak baha kurBa hubungan antara aktu dan arus tidak linier dan di!erkuat !ula dengan !ersamaan !engganti &ang bebentuk 4 = a ekt $ ntuk menjamin

hasil &ang akurat dalam menentukan harga a dan k sebaikn&a kurBa di buat garis

linier dan !ersamaan !engganti juga dibuat linier dengan bentuk menjadiln 4 = ln

a +kt$ 8engan demikian data diubah manjadi

N# ,

/e

"(

I,

!/

7er

l" I

1 1* 12#1 2#?-;

2 2* #;A 1#--A

; ?* 2#1 *#--

? A**#--A

*#**?

9 :* *#;AA

1#*

*9

-

8ari kurBa hubungan antara ln 4 terhada! aktu (t)# nam!ak baha sekarang

di!eroleh kurBa &ang linier$ 8engan bantuan statistik harga a dan k dicari dengan

!eresamaan berikut

n ln a + k` t =`ln 4 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(1)

ln a` t + k`(t$t) =`(ln 4$t) $$$$$$$$$ (2)

dengan n adalah jumlah data# dalam hal ini n = 9

8ibuat tabel !embantu

I l" I <>.

<>

<l"

I>.

<>

1* 12#

1

2#?

-;

1**2?#

-;

2* #;

A

1#-

-A

?**;-#

-2

?* 2#

1

*#-

-

1A*

*

;-#

::

A* *#-

-A

*#**?

;A*

*

*#2?

:* *#;

;A

1#*

*9

A?*

*

:*#

?

`=21* `=?#? `=121** `=2?#*-

8i!eroleh bentuk !ersamaan berikut

9 ln a + 21* k = ?#? $$$$$$$$$$$$$$$$$ (;)

21* ln a + 121**k =2?#*- $$$$$$$$$$$$(?)

Persamaan (;) 21* 1*9* ln a + ??1** k = -?*#1

Persamaan (?) 9 1*9* ln a + A*9** k = 12*#?9 ,

1A?** k = :1-#2

:*



k = *#*9*

8ari !ersamaan (;) 9 ln a + 21* k = ?#?

9 ln a + 21* (*#*9*) = ?#?

9 ln a , 1*#9 = ?#?

9 ln a = 1?#-

ln a = 2#--9?

a = 1-#--;;

Persamaan sebenarn&a untuk data !ercobaan adalah

4 =1-#--;; e*#*9* t

b$Kaktu &ang dibutuhkan untuk menca!ai arus 9* dari arus semula dihitung

sebagai berikut

3rus mulamula adalah saat t= * 4 = 1-#--;; e*#*9* t = 1-#--;; e(*#*9*)(*)

= 1-#--;; (1)

= 1-#--;; 3

Sehingga untuk arus 9* adalah 9* 1-#--;; 3 = -$--AA9 3

4 =1-#--;; e*#*9* t

-$--AA9 = 1-#--;; e*#*9* t

ln -$--AA9 = ln1-#--;;+ ln e*#*9* t

ln -$--AA9 = ln1-#--;; + (, *#*9* t)

2#;*2; = 2#--9; , *#*9* t

*#*9* t = 2#--9; , 2#;*2;

*#*9* t = 2#--9; , 2#;*2;

*#*9* t =*#A-; t =1;#:A menit

6adi aktu &ang dibutuhkan untuk menca!ai 9* dari arus semula adalah

1;# :A menit

;$ 8ata !ercobaan !engukuran antara konduktiBitas () terhada! suhu (") !ada

bahan semikonduktor murni >e dida!at sebagai berikut

:1

"# C 1* 9A 1?* 219

# ohm1 $ m1 1 1* 1** :**

'erdasarkan data diatas !erkiraan besar harga energi ga! (7g) untuk bahan

tersebut (!erlu diingat baha menurut tabel harga 7g untuk >e adalah *# e@)$

Persamaan untuk data tersebut din&atakan sebagai = *

J!!) :

8ari !ersamaan = * nam!ak baha hubungan antara terhada! " adalah

tidak linier dan di!erkuat dengan kurBa berikut

ntuk menjamin keakuratan dalam menentukan energi ga! (7g)# maka !ersamaan

= * diubah menjadi

ln = ln * + ln ln = ln *

<ubungan antara ln dengan 1/" adalah linier &ang di!erkuat dengan kurBa

berikut

1/" ;#9? 1*; ;#*? 1*; 2#?2 1*; 2#*9 1*;

ln * 2#;* ?#A1 A#A:

5am!ak dari kurBa baha garis merah meru!akan garis linier hasil !endekatan

dengan !ersamaan ln = ln * dan din&atakan sebagai

ln = 1?#-9 , (?22-)(1/") # nam!ak dari !ersamaan di!eroleh baha

ln * = 1?#-9 dan 7g/2k = ?22- 7g = (2k)(?22-)

= (2)( :A#1 1*A)( ?22-) = *#; e@

'ila eBaluasi dengan cara statistik#maka digunakan !ersamaan (1) dan (2)

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1)

$$$$$$$$$$$ (2)

:2



Catatan a = ln *

ntuk membantu su!a&a mudah dalam !enggunaan !ersamaan (1) dan (2) dibuat

tabel berikut

C "#0

#ohm1$m1

ln

(ln)()

1* 2:; 1 ;#9? 1*;

* 12#9;

1*A

*

9A ;-2 1*;#*?

1*

;

2#;*

-#2?

1*A

A#--

1*;

1?*?1;1**2#?2 1*;

?#A1

9#:A

1*A

11#1A

1*;

219?:::**2#*9 1*;

A#A: ?#2*1*A

1;1*;

`=11#

`=1;#

`=;1#

`=;1#

:;



*91*;

9- :;1*A

:?1*;

.asukkan hasil !enjumlahan diatas kedalam !ersamaan (1) dan (2)$

?a , 11#*9 1*; b = 1;#9- $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(;)

11#*9 1*; a , ;1#:; 1*A b = ;1#:?1*;$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (?)

8alam data diatas jumlahn&a adalah ?# maka n =?$

ntuk mengeBaluasi harga 7g &ang !erlu dicari adalah nilai b# karena

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (9)

atau

7g = 2k b $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (A)

8ari !ersamaan (A) harga 7g bisa dicari$

Pen&elesaian !ersamaan (;) dan (?) adalah sebagai berikut

Pers (;) 11#*9 1*; ??#2 1*;a , 122#1* 1*A b = 19*#1 1*;

Pers (?) ? ??#2 1*; a , 12#;2 1* A b = 12#;A 1*;

9#22 1*A b = 22#:1 1*;

= ?#; 1*;

= ?;*

8ari !ersamaan (9) 7g = 2kb

= 2 (:A#1 1*A) (?#; 1*;)

= *#9 e@

Tu+!

"entukan titik !otong antara dua kurBa berikut

1$ & = *#9 2 + - + ? dengan & = ;2 + :

:?



2$ & = 2 +? + ? dengan & = ;; + : + ?

;$ 2 + & = ; dengan 22 ; & + ?&2 =12

?$ 2 & + &2 = 21 dengan & = 9

9$ 2 = : dengan ?(1)(1) = *#29

A$ 8ata !engukuran antara suhu (") terhada! konduktiBitas () dari Si menunjukkan

sebagai berikut

T,

5

#h

/

1.

/

1

;* A#9

-

1*

2-

?* 1#2

-

1*

2:

9* 2#?

;

1*

2:

A* ?#?

*

1*

:9

2:

* #

1

1*

2:

Perkiraan bera!a harga 7g (energi ga!) bahan tersebut$

$ 8iketahui dari !ercobaan !engosongan ka!asitor dida!at data sebagai berikut

N# W!-u 7e"+##"+!" <>, /e"( Aru *!"+ 4(-elu!r-!" ,

!/7er

1 2 :1#-

2 ? A#*

; A 9?#-

? : ??#-

9 1* ;A#:

'ila hubungan antara arus (4) dengan aktu !engosongan (t) din&atakan sebagai 4

= a ekt dengan a dan k adalah teta!an (konstanta)# maka

a$ "entukan harga dari a dan k

b$ Kaktu &ang dibutuhkan untuk menca!ai arus 2* dari arus semula

:$ 8ata hasil !engukuran tegangan (@) dan arus listrik (4) menunjukkan sebagai

berikut

N# Te+!"+!" <>, #l Aru , !/7er

1 9 *#?1

2 1* *#:

; 19 1$1?

? 2* 1#91

:A

9 29 1#A

A ;* 2#22

;9 2#A-

: ?* ;#*1

- ?9 ;#?*

1* 9* ;#A

8engan menggunakan bantuan kurBa tentukan bentuk !ersamaan &ang cocok untuk

data tersebut (gunakan hukum ]hm 4 = @/R)

-$ 8iketahui dari !ercobaan !encaha&aan !ada !ermukaan lantai dari !enggunaan bebera!a lam!u dengan jarak tertentu terhada! kuat caha&a dida!atkan data

sebagai berikut

N# J!r!- l!/7u <4>, /eer Ku! 8!h!*! , u"(

1 2 ;A*

2 ? -*

; A ?*? : 22#9

9 1* 1?#?

"entukan kuat caha&a !ada aktu lam!u diturunkan m dari !ermukaan lantai#

a!abila data diakili dengan !ersamaan 4 = a d b dengan a dan b adalah teta!an$

.11. D!!r Pu!-!:

$$# 1-:2$ Aljaar Semester ! dan "$ 7disi !ertama# 8e!artemen 7lekteronik

Politeknik# "78C# 'andung$ <al$ 222-

BAB I. PERSAMAAN LINIER

I.1. Pe"4!hulu!"

:



Persamaan linier adalah !ersamaan &ang mem!un&ai satu Bariabel bebas dengan orde satu

atau !angkat satu$ Ciri dari !ersamaan linier adalah antara Bariabel bebas (de!enden) dan

tidak bebas (inde!enden) selalau berbanding lurus dan biasan&a kurBa hubungan antara

kedua Bariabel tersebut selalu berbentuk garis lurus atau linier$

I.2. KurF! !!u +r!(- 7er!/!!" l("(er

Sebagaimana telah disebutkan !ada !endahuluan baha !ada umumn&a !ersamaan linier

mem!un&ai bentuk kurBa beru!a garis lurus$ 0ecenderungan atau arah kurBa tergantung

dari angka arah atau slo!e dan juga harga interse! atau titik !otong dengan sumbu &$

& = a + b

Ө

>ambar 1?$ Sket kurBa hubungan & terhada! dari !ersamaan &= a +b

8ari gambar 1? nam!ak baha kurBa hubungan antara & terhada! cenderung miring ke

kanan# karena angka arah (a) berharga !ositi! dan kurBa memotong !ada sumbu & !ositi!#

karena kurBa mem!un&ai interse! (b) !ositi!$

$ & = a + b

Ө

>ambar 19$ Sket kurBa hubungan & terhada! dari !ersamaan &= a +b

8ari gambar 19 nam!ak baha kurBa hubungan antara & terhada! cenderung miring ke

kiri# karena angka arah (a) berharga negati! dan kurBa memotong !ada sumbu & !ositi!#

karena kurBa mem!un&ai interse! (b) !ositi!$

::

&

a = angkaarah

a= tgӨ b = interse!

a = angka arah = tg Ө b = interse!



>ambar 1A$ Perubahan kecenderungan terhada! !erubahan angka arah (a)

8ari gambar 1A semakin besar harga a# maka kurBa semakin bergeser mengarah sumbu &

atau bergerak ke arah kuadran dua$

>ambar 1$ 0ecenderungan !ergeseren interse! karena !erubahan konstanta b

8ari gambar 1 semakin besar harga b# maka interse! semakin bergeser keatas

meninggalkan titik (*#*)$ >ambar 1: menunjukkan !erbandingan kecenderungan

kemiringan kurBa sebagai akibat !erbedaaan angka arah (a) atau slo!e$ Sebagaimana

telah disebutkan baha untuk harga slo!e !ositi!# maka kurBa cenderung miring ke

kanan$ Sedangkan untuk harga slo!e negati!# maka kurBa cenderung miring ke kiri$ Perludiketahui juga baha slo!e atau angka arah sebenarn&a da!at dihitung dari tg Ө# dalam

hal ini Ө meru!akan sudut &ang dibentuk antara !er!otongan sumbu dengan garis dari

kurBa &ang terbentuk (tg Ө = a)$

>ambar 1:$ 0urBa !erubahan arah akibat !erubahan harga a (slo!e)

5#"#h:

'erdasarkan kurBa berikut tentukan bentuk !ersamaan !enggantin&a &ang !aling sesuai$

6aab

'erdasarkan gambar nam!ak baha harga interse! (b) adalah * (nol)# karena kurBa te!at

meleati titik (*#*)$ Sedangkan harga tg Ө =2/2 =1 atau a = 1$ 8engan memasukkan

!ersamaan umum linier & = a + b# maka dida!at baha & = $ 3tau da!at juga dicari

leat koordinat &ang terbentuk# misal (?# ?)# (*#*)# (2#2) lalu digunakan !ersamaan

garis (&&1)/(&2&1) = (1)/(21) (&*)/(2*) = (*)/(2*) # &/2=/2 atau & = $

'erdasarkan !ersamaan &=# maka titiktitik koordinat da!at dianalisis sebagai berikut

? * 2 ?

& ? * 2 ?

:-

ӨӨ

b

b



Uetak titiktik koordinat tersebut sangat sesuai dengan koordinat &ang ditam!ilkan !ada

kurBa diatas$ Sehingga da!at dsim!ulkan baha & = meru!akan jaaban untuk soal

&ang dimaksud$

I.'. Pe"*ele!(!" 4u! !!u le)(h (e/ 7er!/!!" l("(er

I.'.1. Pe"*ele!(!" 4e"+!" 8!r! el(/("!(

Cara ini dilakukan dengan menghilangkan salah satu Bariabel &ang ada !ada !ersamaan

tersebut boleh &ang bebas atau &ang tidak bebas$

5#"#h

Selesaikan !ersamaan linier simultan berikut

1$ & = 2 , ? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

& = ? + A $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(b)6aab

& = 2 , ?

& = ? + A

*= A 1* A =1*

= 1*/A = 1#AAA

& = 2 ? = 2(1#AAA) ? = *$AAAA

ji kebenaran jaaban & = ? + A = ?(1#AAA) +A = *$AAA: (mendekati , *#AAAA)&+ ? =A

*$AAAA +?(1#AAA) = A

A#**2=A

&+ ? =A

?/A +? (1*/A) = A

A=A (ok)

& = 2 , ?

& 2 = ?

?/A 2(1*/A) = ?

?/A 2*/A = ?

2?/A = ?

? = ? (ok)

-*



2$ 2 , ?& + ; J =2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

? + A& , ?J = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(b)

A , :& 2 J = 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(c)

6aab

7liminasi !ersamaan (a) dan (b)

Persamaan (a) 2 ? , :& + A J =?

? + A& , ?J = *

1? & + 1* J = ? (d)

7liminasi !ersamaan (a) dan (c)Persamaan (a) ; A , 12& + - J =A

A , :& 2 J = 2 ,

? & +11 J = ? (e)

7liminasi !ersamaan (d) dan (e)

Persamaan (d) ? 9A & +?* J = 1A

Persamaan (e) 1? 9A & +19? J =9A ,

11? J = ?*

J = ?*/11?8ari !ersamaan (e) ? & +11 J = ? ? & + 11 (?*/11?) = ?

? & +??*/11? = ?

?& =? ??*/11? = (?9A ??*)/11?

?& = 1A/11? & = ?/11?

8ari !ersamaan (a) 2 , ?& + ; J =2

2 , ? ( ?/11?) + ; (?*/11?) =2

2 = ?(?/11?) ; (?*/11?) +2

= 1A/11? , 12*/11? + 22:/11?

2 = (22:1A12*)/11? = -2/11?

= -2/22:

ji kebenaran jaaban 2 , ?& + ; J =2

2(-2/22:) , ?(? /11?) + ;(?*/11?) =2

-1



(-2/11?) , ?(? /11?) + ;(?*/11?) =2

(-2+1A+12*)/11? =2

22:/11? = 2

2 = 2 (ok)

6adi = -2/22: = *#?*;9

& = ?/11? = *#*;91

J = ?*/11? = *#;9*-

;$ 2 , ?& + ; J + 2 m = 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

? + A& , ?J 9 m = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

A , :& 2 J + ? m = 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(c)

9 , A& ; J + 2 m = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(d)

6aabUakukan eliminasi !ersamaan (a) dan (b)

Persamaan (a) 2 ? , :& + A J + ? m = ?

? + A& , ?J 9 m = * ,

1? & +1* J +- m =? $$$$$$$$$$$$ (e)

Uakukan eliminasi !ersamaan (a) dan (c)

Persamaan (a) ; A , 12& + - J + A m = AA , :& 2 J + ? m = 2

? & +11 J +2 m = ? $$$$$$$$$(%)

Uakukan eliminasi !ersamaan (a) dan (d)

Persamaan (a) 9 1* , 2*& + 19 J + 1* m = 1*

Persamaan (d) 2 1* , 12& A J + ? m = *

: & +21 J +A m = 1* $$$$$$$(g)

Uakukan eliminasi !ersamaan (e) dan (%)

Persamaan (e) ? 9A & +?* J +;A m = 1A

Persamaan (%) 1? 9A& +19? J +2: m = 9A

11? J + : m = ?* $$$$$$$$$$$$$(h)

Uakukan eliminasi !ersamaan (e) dan (g)

-2

Persamaan (e) : 112 & +:* J +2 m = ;2

Persamaan (%) 1? 112& +2-? J +:? m = 1?*

21? J 12 m = 1*: $$$$$$# (i)

Uakukan eliminasi !ersamaan (h) dan (i)

11? J + : m = ?* $$$$$$$$$$$$$(j)

21? J 12 m = 1*: $$$$$$$(k)

Persamaan (h) 12 1;A: J + -A m = ?:*

Persamaan (i) : 112 J -A m = :A? +

;*:* J = 1;?? J = *#??

8ari !ersamaan (i) 21? J 12 m = 1*:

21? (*#??) 12 m = 1*:

12 m = 1*: + -?#1A = 1;#:? m = 1#19

8ari !ersaman (g) : & +21 J +A m = 1*

: & +21(*#??) + A (1#19) = 1*

: & = 1* 21(*#??) A (1#19) = A#1?

& = *#A9

8ari !ersamaan (b) ? + A& , ?J 9 m = *

? + A( *#A9) , ?(*#??) 9(1#19) = *

? = A(*#A9) + ?(*#??) +9( 1#19)= 2#-*9

= *#2A29

ji kebenaran jaaban

9 , A& ; J + 2 m = *

9(*#2A29) , A( *#A9) ;(*#??) +2(1#19) = *

*#**A29=* 8iangga! * = *

6adi dida!at jaaban = *#2A29& = *#A9

J = *#??

m =1#19

I.'.2. Pe"*ele!(!" 4e"+!" /e#4e 5r!/er </!r(->

-;

5#"#h

Selesaikan !ersamaan linier simultan berikut

1$ & = 2 , ? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

& = ? + A $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

6aab

2 + & = ?

? + & = A

'entuk matriks dari !ersamaan adalah

<arga determinan dari matriks adalah△ = E(2)(1)(1)(?)F = A

.enentukan harga

ji kebenaran hasil hitungan & = 2 , ?

*$AAA = 2(1$AAA) ?

*$AAA = *$AAAA (ok)6adi = 1#AAA dan & = *#AAA

2$ 2 , ?& + ; J =2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(a)

? + A& , ?J = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (b)

A , :& 2 J = 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (c)

6aab

'entuk matriks dari !ersamaan adalah

<arga determinan dari matriks adalah

△ = E(2)(A)(2)+(?)(?)(A)+(?)(:)(;)E(;)(A)(A) +(?)(?)(2)+(?)(:)(2)F=22:

.enentukan harga

-?



ji kebenaran hasil hitungan 2 , ?& + ; J =2

2(*#?*;9) , ?( *#*;91) + ;(*$;9*-) =2

2#***1 = 2 diangga! sama 2 = 2 (ok)

2 , ?& + ; J =2

2(-2/22:) , ?( :/22:) + ; (:*/22:) =2

1:?/22:+;2/22:+2?*/22: =2

2 = 2

(ok)

I.3. A7l(-!( 7er!/!!" "#" l("(er

Persamaan non linier dalam "eknik 7lektro ban&ak di!akai untuk memaentu

men&elesaikan rangkaian listrik arus searah (8C)$ Persamaan linier &ang dihasilkan dari

hasil analisis loo! da!at diselesaikan dengan cara eliminasi#subsitusi atau metoda Cramer$

5amun disarankan jika terbentuk tiga !ersamaan linier# maka sebaikn&a digunakanmetoda Cramer (matriks)$

5#"#h:

1$ "entukan 41 dan 42 dari rangkaian listrik berikut

3nalisis loo! untuk 42

`@ = *

: 42 + A42 + ? 42 , ?41= *

? 41 + 1: 42 = * (2)

8engan metode eliminasi harga 41 dan 42 dicari sebagai berikut

Persamaan (1) ? 2? 41 1A 42 = ?:

Persamaan (2) A 2? 41 +1*: 42 = * +

-2 42 = ?:

-9

6aab

3nalisis loo! untuk 41

`@ = *

2 41 +? 41 ? 42 , 12= *

A 41 ? 42 = 12 (1)



42 = ?:/-2 am!er

8ari !ersamaan (2) ? 41 + 1: 42 = *

? 41 + 1: (?:/-2) = * ? 41 = :A?/-2

41 = 21A/-2 am!er

Pe"*ele!(!" 4e"+!" /e#4! 5r!/er

8ari !ersamaan A 41 ? 42 = 12

? 41 + 1: 42 = *

'entuk matriks dari !ersamaan tersebut adalah

\ A ? \

\? 1:\ △= 108-16 = 92

M!"#$%&!" '1

\ 12 ? \

\ * 1:\ 21A

'1 = --------------------- = ------- *

△ 92

M!"#$%&!" '2

\ A 12 \

\ ? * \ ?:

'2 = ---------------------- = ------- * △ 92

2$ Uihat rangkaian berikut kemudian hitung 41# 42 dan 4;

6aab

3nalisis loo! 3'C8 (loo! 41) 1*41 + 1*4; 1*41 + 1*42 941+2* = *

29 41 +1* 42+1* 4; = 2* $$$$$$$$$$$$$$ (1)

-A

3nalisis loo! '7MC' (loo! 42) 1:42 1*42 + 1*41 ?42 = *

1*41 , ;2 42 = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

3nalisis loo! 8C<>8 (loo! 4;) 1*4; + 1*41 124; +1* = *

1*41 224; = 1* $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(;)

Persamaan 1#2 dan ; diselesaikan dengan subsitusi

8ari !ersamaan 2 1*41 , ;2 42 = * ;2 42 = 1*41

42 = (1*/;2) 41 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(?)

8ari !ersamaan ; 1*41 , 22 4; = 1* 22 4; = 1*41 1*

4; = (1* 41 +1*)/22 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(9)

.asukkan !ersamaan ? dan 9 ke !ersamaan 1

29 41 +1* 42+1* 4; = 2*

29 41 +1* (1*/;2)41+1*E(1* 41 +1*)/22 F = 2*

29 41 + ;#12941+ ?#9?9? 41 + ?#9?9? = 2* 1#;2-A 41= 2?#9?9?

41= 1#?1A? am!er (arah arus harus dibalik)

42 =(1*/;2) 41 = (1*/;2)( 1#?1A?) = *#??2A am!er (arah arus harus dibalik)

29 41 +1* 42+1* 4; = 2*

29(1#?1A?) +1* (*#??2A) +1* 4; = 2*

;9#?1 + ?#?2A + 1* 4; = 2*

1* 4; =1*#-:? 4; = 1#*-:? am!er (arah arus harus dibalik)

ji kebenaran jaaban 29 41 +1* 42+1* 4; = 2*

29 (1#?1A?) +1*(*#??2A)+1* (1#*-:?) = 2*

2* = 2* (ok)

3tau 1*41 224; = 1* 1*(1#?1A?) 22(1#*-:?) = 1*

1?#1A? , 2?#1A?: = 1*

1*#**: = 1* diangga! 1* = 1*

Pe"*ele!(!" 4e"+!" /e#4! 5r!/er:

8ari !ersamaan

29 41 +1* 42+1* 4; = 2*

1*41 , ;2 42 = *

-



1*41 224; = 1*

8iuat matriks sebagai berikut

\ 29 1* 1*\

\ 1* ;2 *\ △ = 1A**+ ;2** +22** = 122**

\ 1* * 22\

.enghitung 41

\ 2* 1* 1*\

\ * ;2 *\

\ 1* * 22\ 1?*:* ;2**

41 = = = 1#?1A? am!er

△ -12200

.enghitung 42

\ 29 2* 1*\

\ 1* * *\

\ 1* 1* 22\ 1*** ??**

42 = = = *#??2A am!er

△ -12200

.enghitung 4;

\ 29 1* 2*\

\ 1* ;2 *\

\ 1* * 1*\ :*** , A?** +1***

4; = = = 1#*-: am!er

△ -12200

L!(h!"

Selesaikan !ersamaan linier berikut

1$ 2 + 9& = - $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1)

A :& = D = *#9 $$$$$$$$$$$$$$$$$$(2)

-:

2$ ; + 9& + 1* J = A $$$$$$$$$$ (1)

9 :& + J = 2 $$$$$$$$$$$(2)

- + :& + 2* J = 1A $$$$$$$$$$(;)

;$ Uihat rangkaian berikut kemudian hitung 41 dan 42

3 ' M

9 ]hm 1: ]hm6

2* @ 41 1* ]hm 42

8 C >

? ]hm

Tu+!

1$Uihat rangkaian berikut kemudian hitung 41# 42 dan 4;

3 ' 7 19 ]hm A ]hm

6 2* @ 41 9 ]hm 42

8 C M1* ]hm ? ]hm

1*@ + : ohm 4;

> <

2$Uihat rangkaian berikut kemudian hitung 41 dan 42

3 ' M

--

9 ]hm 1: ]hm6

2* @ 41 1* ]hm 42

8 C >

? ]hm;$Selesaikan !ersamaan

; , 2& + 9 J + 2 m = 9 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (1)

? 9& , ?J 9 m = 2 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (2)

; , A& 2 J + A m = ? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (;)

9 , A& ; J + 2 m = * $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (?)

I.%. D!!r Pu!-!

<a&t# K$<$# 1-:-$ 7ngineering 7lectronics$ Mith 7dition# .c >ra <ill 4nternational

3ditions#"oronto$ !!$ ;?1*A# 1::2*?

8onoBan# R$# 2**2$ Electronics Mathematics$ Second 7dition# Prentice <all# ]hio$ !!$2AA;;1#

;;2;?:# ?;2?9*#?929?# 9:AA1?

0re&Jig# 7$# 1--$ Advenced Engineering Mathematics$ ?nd# 6ohn Kille& and Sons# 5e Lork$

BAB II. BILANGAN KOMPLEKS

II.1. Pe"4!hulu!"

'ilangan kom!leks adalah gabungan bilangan riil (n&ata ) dengan bilangan kha&al

(imajiner) atau bilangan &ang han&a mengandung bilangan kha&al saja$ 8alam

bidang "eknik 7lektro bilangan kom!leks ban&ak diman%aatkan untuk membantu

memecahkan !ersoalan rangkaian listrik arus boakbalik$ 8alam men&atakan bilangan

kom!leks da!at dilakukan dengan bebera!a !ilihan antara lain dalam bentuk umum

(rectangular)# eks!onensial# trigonometri dan !olar$ 'entuk !olar dan eks!onensial

biasan&a di!akai untuk o!erasional !erkalian dan !embagian# sedangkan bentuk

rectangular ban&ak di!akai untuk o!erasional !enjumlahan dan !engurangan$

II.2. Be"u- u/u/ <re8!"+ul!r> )(l!"+!" -#/7le-

1**



Secara umum bilangan kom!leks da!at din&atakan sebagai

dengan

a bagian riil (n&ata)

b bagian imajiner (kha&al)

j = bilangan kha&al

.odel bilangan ini ban&ak diman%aatkan untuk men&elesaikan !enjumlahan dan

!engurangan$

5#"#h:

1$ 8iketahui Z1 = 2 + j? dan Z2 = 9 jA

"entukan

a$Z = Z1 + Z2

b$Z = Z1 Z2

J!!):

a$Z = Z1 + Z2

= (2 + j?) +( 9 jA)= E2 + (9)F + j (?A)= E29F + j (2)= ; j2

b$Z = Z1 Z2 = (2 + j?) ,E 9 jAF= 2 +j? +9+ jA

= (2 +9) +j(?+A)

= + j1*

2$ 8iketahui Z1 = 9 , j: dan Z2 = ;+ j?

"entukan

a$Z = Z1 + Z2

b$Z = Z1 Z2

J!!):

a$Z = Z1 + Z2

= (9 , j:) + ( ;+ j?)

= (9;) +j ( :+?)

= 2 ,j?

1*1



b$Z = Z1 Z2

= (9 , j:) ( ;+ j?)

= 9 ,j: +; ,j?

= (9+;) + j(: ?)

= : + j (12)= : , j12

II.'. Be"u- r(+#"#/er( )(l!"+!" -#/7le-

8ari bentuk umum bilangan kom!leks

.engingat bilangan kom!leks meru!akan bentuk Bektor# maka bilangan kom!leks da!at

digambarkan dalam bentuk 4(!+r!/ Ar+!" sebagai berikut

+jb

+a a jb

Z =a+jb# Q )e"u- Fe-#r

r 2 = a2 + b2

r r =

b

Өa

Ө = arc tg (b/a) = tg1(b/a)8ida!atkan hubungan baha

b = r Sin Ө

a = r Cos Ө

Ө= arc tg (b/a)

1*2



8engan demikian Z = a +jb da!at din&atakan sebagai

Z = r Cos Ө + j r Sin Ө

Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) (2)

Persamaan (2) meru!akan !ern&ataan bilangan kom!leks dalam bentuk trigonometri$

Pern&ataan selengka!n&a bilangan kom!leks dalam diagram 3rgand da!at digambarkan

sebagai berikut

5#"#h

1$ 8iketahui Z = 2 +j?

5&atakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri

6aab

r =I22 + ?2 = I2*Ө= arc tg (b/a)= arc tg(?/2)

= arc tg 2 =tg1(2)

= A;#?;*

6adi Z = I2* ( Cos A;#?;*+ j Sin A;#?;*)

2$ 8iketahui Z = 2 , j;

5&atakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri

6aab r =I22 + (;)2 = I1;

Ө= arc tg (b/a)= arc tg(;/2)

= arc tg 1#9

= 9A#;1*

6adi Z = I1; E Cos(9A#;1* )+ j Sin( 9A#;1*)F

II.3. Be"u- e-7#"e"(!l )(l!"+!" -#/7le-

ntuk men&atakan bilangan kom!leks dalam bentuk eks!onensial dibutuhkan dasar

dasar deret sebagai berikut

1*;



Catatan

j2 = j$j = (I1) (I1)= (I1)2 = 1

j; = j2 $j = (1) (j)= j

j? = j2 $j2 = (1) (1)= 1

j9 = j? $j = (1) (j)= j

dan seterusn&a untuk j dengan !angkat&ang lebih tinggi da!at dikembangkan sendiri$

e jӨ = CosӨ + j Sin Ө

8engan demikian dari bentuk bilangan kom!leks Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) da!at diubah

dalam !ern&atan

Z = r e jӨ (A)

dengan

r = Ia2 + b2 dan Ө = arc tg (b/a)

Persamaan (A) meru!akan bentuk eks!onensial dari bilangan kom!leks$

5!!!": )e"u- e-7#"e"(!l )(l!"+!" -#/7le- le)(h 8#8#- u"u- 7erh(u"+!"

7er-!l(!" 4!" 7e/)!+(!"

5#"#h


5&atakan Z tersebut dalam bentuk eks!onensial

6aab

r =I22 + ?2 = I2*

1*?



Ө= arc tg (b/a)= arc tg(?/2)

= arc tg 2

=A;#?;*


5&atakan Z tersebut dalam bentuk eks!onensial

6aab

r =I22 + (;)2 = I1;


= arc tg 1#9

= 9A#;1*

II.%. Be"u- 7#l!r )(l!"+!" -#/7le-

8ari !ern&ataan Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) atau Z = r e jӨ Bersi !enulisan ini da!at

din&atakan sebagai

Z = r Ө $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ (?)

8alam hal ini Ө = Cos Ө + j Sin Ө = e jӨ

dengan

r = Ia2 + b2 dan Ө = arc tg (b/a)

Persamaan (?) meru!akan )e"u- 7#l!r dari bilangan kom!leks

Contoh


5&atakan Z tersebut dalam bentuk !olar

6aab

r =I22 + ?2 = I2*Ө= arc tg (b/a)= arc tg(?/2)

= arc tg 2

=A;#?;*

$ = I2* A;#?;*

1*9




5&atakan Z tersebut dalam bentuk !olar

6aab

r =I22 + (;)2 = I1;


= arc tg (1#9)

= 9A#;1*

$ = I1; 9A#;1*

II.9. Be"u- 7er-!l(!" )(l!"+!" -#/7le-

8engan menggunakan dasar baha Z = r e jӨ # maka bentuk !erkalian bilangan kom!leksda!at dituliskan sebagi berikut

3tau Z= r 1$ r 2 (Ө1+ Ө2) Polar

!%#

1$ 8iketahui Z1 = 2 +j? dan Z2 = 2 , j;

"entukan Z = Z 1$ Z2

6aabZ1 = 2 +j?

Z2 = 2 , j;

Z = Z 1$ Z2

%& =√260 W [63,430+(-56,310)] ==√260 W (7,120)

1*A



2$ 8iketahui Z1 = 2 +j2 dan Z2 = 2 +j;

"entukan Z = Z 1$ Z2

6aab

Z1 = 2 +j2

r 1 =I?+?=I:

Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=?9*

Z2 = 2 +j;

r 2 =I?+-=I1;

Ө2 = arc tg (2/;)=;;#A-*

Z = Z 1$ Z2

II.. Be"u- 7e/)!+(!" )(l!"+!" -#/7le-

8engan menggunakan dasar baha Z = r e jӨ # maka bentuk !embagian bilangan

kom!leks da!at dituliskan sebagi berikut

Z = (Z1)/(Z2)

3tau Z=(r 1/r 2 ) (Ө1 Ө2) Polar

Contoh

1$ 8iketahui Z1 = 2 +j? dan Z2 = 2 , j;

"entukan Z = (Z 1)/( Z2)

6aab

Z1 = 2 +j?

Z2 = 2 , j;

Z=(Z1)/(Z2)

1*



2$ 8iketahui Z1 = 2 +j2 dan Z2 = 2 +j;

"entukan Z = Z 1/ Z2

6aab

Z1 = 2 +j2

r 1 =I?+?=I:

Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=?9*

Z2 = 2 +j;r 2 =I?+-=I1;

Ө2 = arc tg (2/;)=;;#A-*

Z = Z 1/Z2

L!(h!"

1$ 8iketahui Z1 = : +j A dan Z2 = 1* j-

"entukan dalam bentuk rectangular dan !olar dari

a$ Z = Z1 +Z2

b$ Z =Z1 Z2

2$ 8iketahui Z1 = A +j2 dan Z2 = ? , jA

"entukan dalam bentuk rectangular dan !olar dari

a$ Z = Z1$Z2

b$ Z =Z1 / Z2

c$ Z =(Z1 $Z2)/( Z1 +Z2 )

Tu+!

1*:

8iketahui

Z1 = ? +j A Z? = - e j(1/2)()

Z2 = 9 W A**

Z;= 1* ( Cos ?9* ,j Sin ?9* )

"entukan harga dari

a$ Z = Z1 + Z2 + Z; + Z?

b$ Z = Z1 + Z2 Z; Z?

c$ Z = (Z1 + Z2 + Z;)/ (Z2 Z; + Z?)

d$ Z = (Z1 Z2 Z;)/ (Z1 + Z2 + Z; +Z?)

II.&. A7l(-!( )(l!"+!" -#/7le-

8alam "eknik 7lektro bilangan kom!leks ban&ak di!akai untuk membantu dalam !en&elesaian rangkaian arus listrik bolak balik (3C)$'ebera!a kom!onen &ang

di!erlukan dalam rangkaian tersebut antara lain

a$ 4nduktor

U Z 5otasi kom!onen 5otasi im!edansi

Pada umumn&a induktor mem!un&ai harga reaktansi indukti% &ang din&atakan

sebagai Û$ 8alam hal ini harga Û dihitung dengan !ersamaan sebagai berikut

Û = 2 % U

dengan

% = %rekuensi E<JF

U = induktansi E<enr&F

4m!edansi Z = j Û = j2 % U = 2 f % UW+-**

b$ 0a!asitor

5otasi kom!onen 5otasi im!edansi

Pada umumn&a ka!asitor mem!un&ai harga reaktansi ka!asiti% &ang din&atakan

sebagai ^C$ 8alam hal ini harga ^C dihitung dengan !ersamaan sebagai berikut

1*-

^C = 1/( 2 % C )

dengan

% = %rekuensi E<JF

C = ka!asitansi EMaradF

4m!edansi Z = j ^C = j/( 2 % C ) = 1/( 2 % C ) W -**

c$ "ransistor

5otasi kom!onen 5otasi im!edansi

Resistor mem!un&ai resistensi R dan dan im!edansi Z =R = RW **

Contoh

41 ; *#*1 M

3 ' C; *#*? < 42

4 2 j?

@ = 29* @ = 29*W** @ % = 9* <J

"entukan 4# 41 #42 #@ 3' dan @ 'C

6aab Z2

Z1 41

3 ' C

42 Z;

11*



Z1 = ; + j ^U = ; + j 2 % U = ; + j 2 (9*)(*#*?) = ; + j 12#9A

=12#- W A#9*

Z2 = ; j ^C = ; , j/ (2 % C) = ; j /E2 (9*)(*#*1)F = ; j *#;2

=;#*2W A#*-*

Z; = 2 + j ? = ?#?W A;#?;*

Z 3C = Z1 + Z'C

Z 3C = Z1 + Z2$Z;/(Z2 + Z;) Z3C = ;+ j12#9A; + (;#*2WA#*-*)(?#?WA;#?;*)/(;j*#;2 + 2 + j ?)

Z3C=;+ j12#9A;+(1;#9*W9#;?*)/(9 + j ;#A:)

Z3C=;+ j12#9A;+(1;#9*W9#;?*)/( A#21W;A#;9*)Z3C=;+ j12#9A;+2#1W2*#--*

Z3C=;+ j12#9A;+ 2#*;+ j *#: = 9#*;+ j 1;#2? = 1?#2AW A-#;?*

a$.enghitung 4

4 = @/ Z3C = 29*W**/(1?#2AW A-#;?*) =1#9;W A-#;?* 3=A#1:? j 1A#?*2

@ 'C = 4 Z'C = (1#9;W A-#;?* )(2#1W2*#--*) = ;:#*?W ?:#;9*

41 = @ 'C / Z2 = ;:#*?W ?:#;9* /( ;#*2W A#*-*) = 12#A*W ?2#2A* 3

= -#;29 , j:#?;

42 = @ 'C / Z; =;:#*?W ?:#;9*/(?#?W A;#?;*) = :#91W 111#:* 3

= ;#19 , j #-*

b$ .enghitung @ 'C

@ 'C = 4 Z'C = (1#9;W A-#;?* )(2#1W2*#--*) = ;:#*?W ?:#;9* @

@ 3' = 4$Z1 = (1#9;W A-#;?*)( 12#-W A#9*) = 22A#1?W #2;* @

ji kebenaran jaaban

4 = 41 + 42

1#9;W A-#;?* = 12#A*W ?2#2A* + :#91W 111#:*

A#1:? , j 1A#?*2 = -#;29 , j:#?; ;#19 , j #-*

A#1:? , j 1A#?*2 = A#1A: , j 1A#;;

Pendekatan A#2 , j 1A#? = A#2 j1A#? (diangga! sama) ]k

111

L!(h!"

41 9 *#*1 M

3 ' C? *#1 < 42

4 9 *#29 <

@ = 29* @ % = 9* <J

"entukan 4# 41 #42 #@ 3' dan @ 'C

Tu+!

41 9 *#*1 M

3 ' 9 *#29 < C? *#1 < 42

4 *#29 <4; ?

@ = 29* @ = 29* W ** @ % = 9* <J

"entukan 4# 41 #42 # 4;# @3' dan @ 'C

II.$. D!!r Pu!-!

$$# 1-:2$ 3ljabar Semester 1 dan 2$ 7disi !ertama# 8e!artemen 7lekteronik

Politeknik# "78C# 'andung$ <al$ ? 9# 222-# ;:?1

Cisca# U$C$# dan .ar!aung# .$# 1-:;$ &angkaian 'istrik $ 3rmico# 'andung$ hal$ ;?#

91A

112

8onoBan# R$# 2**2$ Electronics Mathematics$ Second 7dition# Prentice <all# ]hio$

!!$2AA;;1# ;;2;?:# ?;2?9*#?929?# 9:AA1?

cetak matematika i

Documents