makalahberbagaipembuktiantheoremaphytagoras

Habilih Al-Khawarizmi/ [email protected] 1

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Pendidikan merupakan salah satu pilar utama dalam mengantisipasi masa

depan, karena pendidikan selalu diorientasikan pada penyiapan peserta didik untuk

berperan di masa yang akan datang. Pendidikan merupakan usaha sadar untuk

mengembangkan kepribadian dan kemampuan di dalam dan di luar sekolah dan

berlangsung seumur hidup.

Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEK) dewasa ini

menuntut masyarakat agar mempersiapkan generasi muda, yang sanggup

menghadapi tantangan zaman baru yang akan datang yang dapat tercapai lewat

pendidikan. Melalui pendidikan diharapkan manusia mampu untuk menghadapi

tantangan kehidupan dan diharapkan dapat tercipta sumber daya manusia yang siap

bersaing.

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar yang memberikan andil yang

sangat besar dalam kehidupan manusia. Matematika merupakan sarana berpikir

logis, analis, dan sistematis bahkan sarana pembentuk intelektual. Mengingat

peranan matematika yang sangat penting, maka peserta didik dituntut untuk

menguasai pelajaran matematika secara tuntas di setiap satuan dan jenjang

pendidikan.

Menyadari hal tersebut, berbagai upaya telah dilakukan ke arah

peningkatan prestasi belajar matematika. Usaha-usaha perbaikan terus dilakukan


dan diharapkan akan selalu ditingkatkan, dan jangkauannyapun diperluas dan

mencakup sasaran yang lebih besar seperti peningkatan berpikir sistematis,

peningkatan kemampuan komunikasi matematika, pemahaman soal cerita

matematika, pengetahuan pemecahan masalah matematika dan perbaikan cara

belajar matematika.

Salah satu hal yang perlu diperhatikan berkaitan dengan usaha tersebut

adalah melihat proses dan hasil-hasil yang sudah dicapai, karena disadari atau tidak

kenyataannya di lapangan menunjukkan rendahnya prestasi belajar matematika

siswa.

Dengan melihat proses dan hasil belajar matematika siswa, seharusnya

seorang guru menggunakan suatu pendekatan yang bisa mengaktifkan siswa dalam

proses pembelajaran khususnya. Selain itu pendekatan tersebut diharapkan mampu

meningkatkan hasil belajar siswa. Salah satu pendekatan yang akan memberikan

solusi dalam meningkatan kemampuan komunikasi matematika yang dialami siswa

dalam belajar sekaligus mampu meningkatkan hasil belajar adalah dengan

menggunakan pendekatan problem posing.

Problem posing merupakan salah satu pendekatan pembelajaran non

konvensional yang dalam proses kegiatannya membangun struktur kognitif siswa,

bahkan dalam beberapa penelitian diantaranya. Dapat dikatakan bahwa problem

posing merupakan salah satu bentuk kegiatan dalam pembelajaran yang dapat

mengaktifkan siswa dan mengembangkan kemampuan berpikir siswa dalam

memecahkan masalah.


Salah satu masalah menarik dalam kaitannya dengan problem solving

adalah pembuktian teorema phytagoras, dari proses ini diharapkan struktur kognitif

siswa dapat ditingkatkan dan dapat melatih pemahaman siswa terhadap konsep –

konsep matematika.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang dikemukakan pada bagian pendahuluan di atas, maka

penulis merumuskan masalah yaitu apakah dengan berbagai pembuktian rumus

phytagoras mampu meningkatkan pemahaman konsep phytagoras.

C. Tujuan

Untuk mengetahui apakah dengan berbagai pembuktian rumus phytagoras

mampu meningkatkan pemahaman konsep phytagoras yang pada akhirnya akan dapat

meningkatkan hasil belajar matematika.

D. Manfaat Memberikan informasi tambahan bagi para pendidik khususnya penulis tentang

berbagai pembuktian rumus phytagoras mampu meningkatkan pemahaman konsep

phytagoras.


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

A. Masalah dan pemecahan masalah dalam matematika

Masalah matematika pada umumnya berbentuk soal matematika, namun

tidak semua soal matematika merupakan masalah. Soal matematika merupakan

masalah bila siswa belum mampu menyelesaikan soal semacam itu. Untuk

menjawab soal tersebut memerlukan analisis untuk menemukan pola dan formula

tertentu. Bentuk soal merupakan salah satu dasar dalam menentukan jenis-jenis

masalah dalam matematika.

Mengenai jenis-jenis masalah matematika, Polya (1973) mengemukakan

dua macam masalah, yaitu

masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau konkret

termasuk teka-teki, dan (b) masalah untuk membuktikan adalah untuk

menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah (tidak kedua-

duanya).

Sedangkan Swasener (1985) mengemukakan 4 tipe masalah dalam

matematika, yaitu: (a) simbolik, (b) kata-kata, seperti soal cerita, (c) geometric,

berkaitan dengan unsur-unsur geometri, dan (d) lain-lain, seperti menentukan rumus.

1. Peranan komunikasi matematika

Komunikasi pada hakekatnya merupakan proses penyampaian pesan dari

pengirim kepada penerima. Hubungan komunikasi antara sipengirim dan


sipenerima, di bangun berdasarkan penyusunan kode atau simbol bahasa oleh

pengirim dan pembongkaran ide atau simbol bahasa oleh sipenerima.

Berkaitan dengan hal di atas, dapat dikatakan bahwa syarat terjadinya

proses komunikasi harus terdapat dua atau lebih pelaku. Yakni pengirim dan

penerima pesan, sehingga yang perlu ditekankan selanjutnya adalah bagaimana cara

kita menyampaikan pesan agar dapat berjalan secara efektif.

Pada dasarnya matematika dapat dipandang sebagai bahasa karena dalam

matematika terdapat sekumpulan lambang/simbol dan kata ( baik kata dalam bentuk

lambang maupun kata yang diadopsi dari bahasa biasa ). Matematika adalah bahasa

yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan.

Simbol-simbol matematika bersifat ”artifisial” yang baru memiliki arti setelah

sebuah makna diberikan kepadanya. Tanpa itu, maka matematika hanya merupakan

kumpulan simbol dan rumus yang kering akan makna.

Sebagai bahasa, matematika memiliki kelebihan jika dibanding dengan

bahasa-bahasa lainnya karena bahasa matematika memiliki makna yang tunggal

sehingga suatu kalimat matematika tidak dapat ditafsirkan bermacam-macam. Jadi

dapat disimpulkan bahwa komunikasi matematika adalah merupakan proses

penyampaian pesan dari pengirim kepada penerima dalam bahasa yang

melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Jadi

sejak awal kehidupan manusia matematika itu merupakan alat bantu untuk

mengatasi berbagai macam permasalahan yang terjadi dalam kehidupan


bermasyarakat, baik itu permasalahan yang memiliki hubungan erat dalam kaitannya

dengan ilmu eksak ataupun permasalahan yang bersifat sosial.

2. Problem Posing

Terdapat beberapa definisi yang berbeda tentang pengajuan masalah (problem

posing) antara satu pakar dengan pakar yang lain dalam pendidikan matematika.

Shukkwan (1993) mengartikan pengajuan masalah matematika sebagai perumusan

ulang serangkaian masalah matematika dari situasi yang diberikan. Sejalan dengan

pandangan ini, Duncer (dalam Stoyanova dan Ellerton, 1996) mendefinisikan

pengajuan masalah matematika sebagai suatu usaha untuk menyusun atau

merumuskan masalah dari situasi yang diberikan.

Dillon (1982) mendefinisikan pengajuan masalah matematika sebagai problem

finding, yaitu suatu proses berpikir yang dihasilkan berupa pertanyaan matematika

dari suatu situasi tertentu yang diberikan untuk diselesaikan. Silver (1993,1995)

melengkapi pengertian pengajuan masalah matematika yaitu sebagai suatu usaha

mengajukan masalah baru dari situasi atau pengalaman yang telah dimiliki oleh

siswa.

a. Problem posing dalam pembelajaran matematika

Sesuai dengan kedudukan problem posing merupakan langkah awal dari proses

pemecahan masalah, maka pembelajaran problem posing juga merupakan

pengembangan dari pembelajaran problem solving. Silver, dkk (Sutiarso: 2000)

menyatakan bahwa dalam problem posing diperlukan kemampuan siswa dalam

memahami soal, merencanakan langkah-langkah pembelajaran problem solving.


Problem posing adalah kegiatan perumusan soal atau masalah oleh peserta didik.

Peserta didik hanya diberikan situasi tertentu sebagai stimulus dalam merumuskan

soal/masalah. Berkaitan dengan situasi yang dipergunakan dalam kegiatan

perumusan masalah/soal dalam pembelajaran matematika, Walter dan Brown (1993:

302) menyatakan bahwa soal dapat dibangun melalui beberapa bentuk, antara lain

gambar, benda manipulatif, permainan, teorema/konsep, alat peraga, soal dan solusi

dari soal.

b. Pengajuan masalah sebagai suatu pendekatan

Pengajuan masalah matematika menurut (Brown dan Walter, 1990) terdiri dari

dua aspek penting, yaitu

”accepting dan challenging. Accepting berkaitan dengan kemampuan siswa

memahami situasi yang diberikan oleh guru atau situasi yang sudah ditentukan.

Sementara challenging, berkaitan dengan sejauhmana siswa merasa tertantang

dari situasi yang diberikan sehingga melahirkan kemampuan untuk mengajukan

masalah atau soal matematika dapat membantu siswa untuk mengembangkan

proses nalar mereka.”

Terdapat tiga unsur penting yang saling terkait dalam pembelajaran matematika,

yaitu (1) situasi masalah, (2) pengajuan masalah, dan (3) pemecahan masalah

(Hamzah, 2002a ).

B. Sejarah Pythagoras


PYTHAGORAS hidup sekitar 2500 tahun yang lalu (582 SM – 496 SM, bahasa

Yunani: Πυθαγόρας) di Sisislia, selatan Italia. Ia seorang matematikawan. Ia juga

mengajarkan metamatika serta filsafat kepada para pengikutnya. Ia juga gemar akan

musik. Ia mencoba menggabungkan antara musik dan matematika untuk membuat

sesuatu menjadi teratur dan tidak kacau balau. Musik mempertajam perasaan kita

sedangkan matematika memberikan aturan bagaimana dunia ini berlangsung dengan

teratur. Phytagoras dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan

yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.

Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah

buatan mengenai dirinya.

Kita mengenal kata Pythagoras pada umumnya berkaiatan dengan Dalil 74

(Geometri) yang menyatakan bahwa luas persegi pada sisi miring sebuah segitiga siku-

siku sama dengan jumlah kedua persegi sisi siku-sikunya. Atau dengan mudah

dikatakan ’Kuadrat sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat

kedua sisi siku-sikunya”.

Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya

Pythagoras, Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam

geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan

menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras

sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema

ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan

Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir.


Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran

universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.


a

a

a

a

b

b

b

b

cc

BAB III

PEMBAHASAN

Berikut ini terdapat beberapa pembuktian teorema phytagoras.

1. Bukti dari sekolah Phytagoras

Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum

masa Phytagoras, seperti di Mesopotamia, mesir dan juga cina. Tetapi catatan

tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Phytagoras. Bukti dari sekolah

Phytagoras tersebut tersaji dengan diagram di atas. Perhatikan bahwa :

Luas daerah yang diarsir pada gambar (1) adalah a2 + b2

Luas daerah yang diarsir pada gambar (2) adalah c2

Dengan demikian a2 + b2 = c2

ab

a

bc

c

Gambar 1 Gambar 2


2. Bukti dengan menggunakan diagram Phytagoras

Perhatikan gambar di samping. Keempat segitiga

siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar.

Dengan menghitung luas bangun persegi yang terjadi

melalui 2 cara akan kita peroleh:

2ba = abc2142

22 2 baba = abc 22

22 ba = 2c (Sumardoyo, 2003)

3. Bukti dari bhaskara

Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama

kali dipublikasikan oleh Bhaskara, seorang

matematikawan India, sekitar abad X. Bangun ABC

disamping berupa bujur sangkar dengan sisi c. Di

dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku

dengan panjang sisi a dan b. Dengan konstruksi

bangun tersebut maka:

Luas PQRS + 4 x Luas ABQ = Luas ABCD

abab .21.42 = 2c

abaabb .22 22 = 2c

22 ba = 2c B

a

a b

b

b

b

c

a

a

cc

c

A B

CD

S

R

Q

P

c

b a

c


4. Bukti dari J. A. Garfield

Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama

kali dipublikasikan oleh J. A. Garfield tahun 1876. Luas

daerah trapezium di samping dapat dihitung dengan dua

cara hingga kita dapat membuktikan teorema

Phytagoras seperti di bawah ini.

Luas Trapesium = (Jumlah dua sisi sejajar)/2 x tinggi

= baba .2/

= 2

2 22 baba …………………(1)

Dipihak lain diperoleh luas trapesium:

Luas Tapesium = 2

21

21.2 cab

= 2

21 cab ....……….….…..(2)

Dari persamaan 1 dan 2 diperolah

22 22 baba = 2

21 cab

22 2 baba = 22 cab

22 ba = 2c

a

b

a

c

c

b


5. Bukti dengan menggunakan tinggi dan sifat segitiga sebangun

Perhatikan gambar disamping:

ABC ACD sehingga 121 .ccbatau

bc

cb

………(1)

ABC ACD sehingga 222 .ccaatau

ac

ca

………(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

22 ba = 21 .. cccc

22 ba = 21 .. ccc

22 ba = cc.

22 ba = 2c

6. Bukti dengan menggunakan transformasi

Misalkan segitiga ABC siku-siku di

C. Putarlah sebesar 900 berlawanan arah

dengan putaran jarum jam dengan pusat

rotasi di titik C.

Segitiga baru A’B’C’ berimpit dengan ABC .

2

21 a = (1)

2

21 b = (2) + (3)

---------------------------------------------------------------------- +

2

21 a + 2

21 b = (1) + [(2) + (3)]

c2

c1

D

C

B

A

a

b

Pusat Rotasi

AB’

A’

C=C’

B

(1) (2)

(3)x

y


= [(1) + (2)] + (3)

= cycx21

21

= yxc 21

= cc.21 = 2

21 c

Dengan mengali kedua ruas, maka diperoleh 22 ba = 2c

7. Bukti dengan dasar perbandingan

Pembuktian teorema Phytagoras berikut dipublikasikan oleh Birkhoff.

Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. lalu

bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti gambar di samping. Dengan

perbandingan sisi pada segitiga –

segitiga sebangun, diperoleh

panjang sisi-sisi lain pada

bangun di atas. Dari konstruksi

tersebut, jelas telihat bahwa 22 ba = 2c .

8. Bukti dengan “bayangan”.

Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah memuat daerah yang diarsir dengan

luas yang sama. (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).

A

C

Bc2

acbcab ab

b2 a2


(2)(1)

c2

a2

b2

(4)(3)

(5)

c2

a2

b2

a2 + b2 = c2


Bukti di atas adalah bukti asli dari Euclid yang metransformasikan luasan daerah

pada persegi dengan luasan c2 ke dua persegi yang lebih kecil dengan luasan a2 dan b2.

dari gambar telihat dengan jelas bahwa c2 = a2+b2

9. Bukti dengan “putaran”

Perhatikan bahwa kelima gambar di samping.

Luas daerah gambar awal = abba .21.222

Luas daerah gambar akhir = abc .21.22

c

c

b

b

a

a

c

c a

a

b

b

(1)(2)

M

N

O

II

I

a

b

b

a

c

c

a

b

b

ac

c

(3) (4) Pada gambar 1 terdapat terdapat dua persegi dengan luas masing-masing a2 dan


b2, dan terdapat dua segitiga dengan luasan ba..21.2 , kemudian pada gambar 2

daerah tersebut dibagi dua dengan garis MN sebagai sumbunya. Selanjutnya,

daerah I dirotasi sejauh 1800 dengan pusat rotasi di titik O (lihat gambar 3).

Selanjutnya pada gambar 4 terdiri dari sebuah persegi dengan luas c2, dan dua

buah segitiga dengan luas ba..21.2

Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah

tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau

mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh: 22 ba = 2c .

(Sumardyono, 2003)

10. Bukti dari Euclides

Pembuktian teorema Phytagoras

berikut pertama kali dipublikasikan oleh

Euclides. Perhatikanlah gambar di

bawah ini.

DBQE = NLBD ………kedua bangun kongruen

= MLBC...........alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD

= SRBC............alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR

= a2

ADEP = KNDA ………kedua bangun kongruen

= KMCA...........alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD

U A

P

E

Q

B

R S M L

T

K

C

P

N


= UTCA............alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU

= b2

c2 = a2 + b2

11. Bukti dari Leonardo da Vinci

Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah

segitiga JHI kongruen dengan ABC.

Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC dan EDGF

adalah kongruen. (mengapa?). Bukti Teorema

Pythagoras dilakukan sebagai berikut:

luas(ADGC) + luas(EDGF) = luas(ABHI) + luas(JHBC)

luas(ADEFGC) = luas(ABCJHI)

Tetapi kedua bangun memuat 2 segitiga yang kongruen dengan segitiga

ABC, sehingga:

luas(ADEFGC) – 2. luas(ABC) = luas(ABCJHI) – 2.luas(ABC)

luas(ABED) + luas(BCGF) = luas(ACJI)

a2 + b2 = c2

12. Bukti dengan cara “tambah lalu geser”

Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC,

seperti pada gambar kiri, lalu tambahkan sebuah bujursangkar dengan sisi

b — a. Maka akan kita peroleh bahwa:


Luas(KMNPQR) = luas(KSQR) + luas(SMNP)

= a 2 + b 2

Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun kanan.

Bangun yang terjadi adalah bujursangkar dengan sisi c, sehingga luasnya c2

(sumardyono, 2003)

13. Bukti dari Tsabit ibn Qorra

1

2

3

4

5

5

1

3

4 2

b

a

c

K S L M

N O P

R Q


Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan

merupakan generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan

sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A' dan B' pada AB

sedemikian hingga BA’C = AB'C = BAC. (untuk

gambar kiri BAC tumpul dan untuk gambar kanan

BAC lancip).

Dengan demikian mudah dibuktikan bahwa ABC, CBA' ,

dan ACB' saling sebangun. Lalu karena kesebangun itu, mudah ditunjukkan

bahwa:

BC/AB = A'B/BC , dari segitiga ABC dan CBA'

AC/AB = AB'/AC , dari segitiga ABC dan ACB'

Sehingga akan kita peroleh: BC2 + AC2 = AB (A'B + AB').

apabila sudut C siku-siku maka A' = B' dan Teorema Pythagoras terpenuhi.

14. Bukti dari Pappus

Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi.

Buat sebarang segitiga ABC. Lalu bust sebarang jajargenjang CADE (di sisi

CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian perpanjang DE

dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan

sama panjang dengan HC. Maka,

luas(CADE) = luas(CAUH) = luas(SLAR) , juga

luas(CBFG) = luas(CBVH) = luas(SMBR)

luas(CADE) + luas(CBFG) =

luas(ABML)

Nah, bila segitiga ABC adalah segitiga

siku-siku (dengan sudut sikusiku di C) serta

jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka kita akan

mendapatkan bukti Teorema Pythagoras.

B A’ B’

+


15. Bukti dari Jamie de Lemos

Pembuktian teorema phytagoras berikut pertama

kali ditemukan oleh Jamie de Lemos, namun

dipublikasikan oleh Larry Hoenhn. Luas Daerah

Trapezium disamping dapat dihitung dengan

cara:

Luas Trapesium ABCD = )(2

2b) + (2a ba

= )(2

b) + 2(a ba

= ))(( baba = 22 2 baba ………(1)

Luas Trapesium ABCD = 2

c.22ab.2

2ab.2

2

= ab +ab + c2 = 2ab + c2 …………….…(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

22 2 baba = 2ab + c2

c2 = a2+b2

16. Bukti Dengan Pendekatan Layang-layang


b2 = Luas (ABMD)

= Luas (AECD)+Luas(CMD)+Luas(BCE)

= 2

a)-a(b2

a)-b(b2c2

= 2

a-ab2

ba-b2c 222

2b2 = 222 a-abba-bc

= 222 a-bc b2 = 22 a-c c2 = 22 ba

2c2

= Luas (ABCD)

= Luas (EBCG)+Luas(CDG)+Luas(AED)

= 2

a)-a(ba)-a(ba 2

=

2b

2a 22

2 1


Sehingga:

2c2

=2b

2a 22

c2 = 22 ba

17. Pembuktian dengan Lingkaran

Pembuktian ini pertama kali dipublikasikan oleh Sina Shiehyan from Sabzevar, Iran.

Pada titik tengah hypotenuse AB dipindahkan tegaklurus AP dan BK pada tangent

segitiga ABC pada titik C. Jika OC tegak lurus dengan tangennya, C adalah titik tenah

KP yang jelaskan sebagai berikut:

Luas(ACP) + Luas(BCK) = CP·AP/2 + CK·BK/2 = [KP·(AP + BK)/2]/2 = Luas(ABKP)/2.

Luas(ABC) juga Luas(ABKP)/2. sehingga:

Luas(ACP) + Luas(BCK) = Luas(ABC)


BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Pembuktian – pembuktian teorema phytagoras adalah manipulasi aljabar

yang akan menambah pengetahuan dan tentunya akan meningkatkan pemahaman

konsep teorema phytagoras

2. Saran

a. Agar siswa mampu memahami konsep teorema phytagoras, maka diperlukan

latihan pembuktian-pembuktian teorema .

b. Penulis mengharapkan pembahasan makalah ini bisa dikembangkan oleh

penulis lainnya dan membahas Pembuktian teorema phytagoras


DAFTAR PUSTAKA

Muhkal, Mappaita, 2005. Strategi Belajar Mengajar Matematika, UNM. Makassar.

Sobel, A. Max, 2004. Mengajar Matematika Edisi ke-3, Erlangga. Jakarta.

Tazudin dkk, 2005, Matematika kontekstual kelas VIII jilid 2, Literatur, Jakarta.

Wahyuddin. 2003. Ensiklopedi matematika untuk SMP. Tarty Samudra Berlian. Jakarta.


Perihal Tentang Aku...

HABILIH lahir MARET 22, 1989. Adalah penulis Indonesia, presenter, pengusaha, komedian, penulis skrip komik/film/sinetron/FTV…..(cuma imajinasi…..hehehe), dan seorang penggiat kasur(doyan tidur….ini baru sifat asli gw…).

Habilih dikenali publik setelah buku pertamanya yang berjudul “Habilih Ganteng Bangeeeeeet Cieeeeh Sumpeh Deh Gw Nggak Boong Emang Ganteng Taoooo Cih Cih Cuih” (HGBCSDGNBEGTCCC), di tolak dan dibakar oleh publik. Karena dinilai mengandung unsur narsis yang akut dan takabur yang berlebihan sehingga MUI (Mas-mas Ubanan tapi Imut) menurunkan fatwa HARAM bagi buku ini. Sekarang Habilih masih sibuk kuliah di Univ.Muhammadiyah Tangerang Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan Pend.Matematika. Kuliah yang cukup menguras otak ini (sekaligus menguras isi dompet gw) tetap Habilih jalani walau agak terseret-seret (susah banget pelajarannya, full ngitung angka). Tapi bukan Habilih namanya kalau langsung menyerah. Pernah bersekolah di SDN Tanah Tinggi 2 Tangerang, SMP Negeri 5 Tangerang, dan SMA PGRI 109 Tangerang. Dari kecil udah hobi baca buku, kalau ngeliat susunan huruf-huruf berserakan di kertas bawaannya mau dibawa pulang buat dibaca.

kalau segi prestasi akademik Habilih pernah 2 kali jadi juara. Pertama juara 1 lomba cerdas cermat se-kelurahan Tanah Tinggi mewakili RT 03/03. Terus satu lagi juara 2 lomba cerdas cermat se-kota Tangerang mewakili SDN Tanah Tinggi 2 Tangerang. hohohoho,,,,,,kebayang dong betapa PINTAR nya Habilih ini (alah narsis….takabur….sombong…..). Nah kalau dari segi ekstra kulikuler, Habilih pernah sekalikalinya dapet juara 2 pada lomba balap karung saat 17 Agustus 1998 (gara2 kaki gw keram mendadak pas balap karung jd nya dapet juara 2…huffht).

Alamat rumah : Jalan Melati X No.77 RT03/03 Tanah Tinggi Tangerang 15119.

e-mail: [email protected].

Blog: http://habilih.wordpress.com/

Hp: jangan ah,,,,tar di miscall terus lageee…heheheh

‘The unexamined life is not worth living,’ kata Socrates. Hidup yang tidak boleh dipertanyakan adalah hidup yang tidak layak untuk dijalani.

Sekian dulu lah Perihal Tentang Habilih….

Semakin dibicarakan semakin narsis saja orang ini!!!!

makalahberbagaipembuktiantheoremaphytagoras

Documents