Tugas Statistika Pendidikan Matematika

TENDENSI SENTRAL

Dosen pengasuh: Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd

Oleh

DAHLIA HUDI PRATAMA 8146172011 8146172027IMANTI AMELIA MASITAH PUSPA SARI 8146172029 8146172042

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA KELAS B-1

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2014

BAB I

PENDAHULUAN

A. Pengertian Statistika

Sudjana (2004, dalam Riduwan dan Sunarto, 2007) mendefinisikan statistika sebagai pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan fakta, pengolahan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan analisa yang dilakukan. Sementara statistic dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta, umumnya berbentuk angka yang disusun dalam tabel atau diagram yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Lebih lanjut Sudjana (2004, dalam Riduwan dan Sunarto, 2007) menyatakan statistika adalah ilmu terdiri dari teori dan metode yang merupakan cabang dari matematika terapan dan membicarakan tentang : bagaimana mengumpulkan data, bagaimana meringkas data, mengolah dan menyajikan data, bagaimana menarik kesimpulan dari hasil analisis, bagaimana menentukan keputusan dalam batas-batas resiko tertentu berdasarkan strategi yang ada.

Dalam kaitannya untuk menyelesaikan masalah, pendekatan statistic terbagi dua yaitu pendekatan statistic dalam arti sempit dan luas. Dalam arti sempit (statistic deskriptif), yaitu kegiatan mengumpulkan data, menyusun dan menggambarkan data dalam bentuk tabel, atau grafik serta menganalisis data yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum. Sementara dalam arti luas (statistic inferensi/induktif) adalah alat pengumpul data, pengolah data, menarik kesimpulan, membuat tindakan berdasarkan analisis data yang dikumpulkan dan hasilnya dimanfaatkan untuk populasi.

Bidang keilmuan statistika adalah sekumpulan metode untuk memperoleh dan menganalisa data dalam pengambilan suatu kesimpulan. Meski merupakan cabang ilmu matematika, statistika memiliki perbedaan mendasar pada logikanya. Jika matematika menggunakan logika deduktif, sementara statistic menggunakan logika induktif. Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data, selain data itu disajikan dalam tabel dan diagram masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut antara lain ukuran kecendrungan pusat atau tendensi sentral.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Tendensi Sentral

Tendensi Sentral adalah Ukuran pemusatan data yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan).

Ukuran Tendensi Tunggal yang mewakili data ada tiga yaitu :

1. Mean ( Rata – rata )

Mean adalah rata – rata hitung suatu data. Rata-rata atau mean dilambangkan

dengan x.

a) Rata – rata data tunggal

Rata-rata hitung untuk data kuantitatif yang terdiri dari n bilangan yaitu x1 , x2, x3 ,…, xndihitung dengan cara membagi jumlah data oleh banyak data atau n.

Secara sederhana ditulis x=∑ xnn

Contoh :

Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 tenaga sales PT. Brawijaya :70        56        66        94        48        82        80        70        76        50Rata – rata skor tes tersebut adalah :

  x=∑ xnn

= x1+x2+x3 x4 +x5+x6 +x7+x8+ x9+x10

10

= 70+56+66+94+48+82+80+70+76+50

10

x = rata – rata

n = banyaknya data

xn = nilai data ke- n

= 6,92

Jadi rata-rata skor tes prestasi 10 tenaga sales PT. Brawijaya adalah 69,2.

Jika data muncul dengan frekunsi-frekuensi maka rata-rata hitung atau mean dapat ditentukan dengan cara berikut :

x=∑i=1

n

f i x i

∑i=1

n

f i

Contoh :

Berikut ini data nilai PR lima siswa selama semester ganjil

Nilai (x i¿ frekuensi( f i) x i f i

70

69

45

80

56

5

6

3

1

1

350

414

135

80

56

∑ f i=16 ∑ f i xi=1035

x=∑i=1

n

f i x i

∑i=1

n

f i

=103516

=64,6

b) Rata – rata data berkelompok

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi dengan kelas interval dan x i=nilai tengahkelas interval, nilai rata-rata atau mean dapat dihitung dengan cara :

x=∑ f i x i

∑ f i

Contoh :

Berikut ini data observasi mengenai laba setiap hari yang diperoleh PT. Brawijaya selama 30 hari pada bulan Februari 2013

Laba frekuensi( f ¿¿ i)¿ Nilai tengah(x¿¿ i)¿

f i x i

40-49

50-59

60-69

70-79

80-89

90-99

4

6

10

4

4

2

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

178

327

645

298

338

189

∑ f i=30 ∑ f i xi=1975

x=∑ f i x i

∑ f i=1975

30=65,833

Cara kedua untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi adalah dengan cara coding atau cara singkat. Untuk cara ini, pilih salah satu kelas namakan x0 dan beri nilai c=0.

Untuk kelas yang lebih kecil dari x0 berturut-turut nilai c=−1 , c=−2, c=−3

dan seterusnya. Untuk kelas yang lebih besar dari x0, nilai c=1 , c=2, c=3dan seterusnya. Dengan p=panjang kelas interval, maka rata-rata atau mean dihitung

dengan : x=x0+ p(∑ f ic i

∑ f i )Contoh :

Berikut adalah data nilai 80 mahasiswa

Nilai ujian f i x i c i f ic i31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

1

2

5

15

25

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

-4

-3

-2

-1

0

-4

-3

-10

-15

0

81-90

91-100

20

12

85,5

95,5

1

2

20

24

Jumlah 80 9

x=x0+ p(∑ f ic i

∑ f i )=75,5+10( 980 )=76,62

2. Median

Median adalah nilai tengah dalam sekumpulan data, setelah data tersebut disusun menurut urutan nilainya atau suatu nilai yang membatasi 50 per sen frekuensi distribusi bagian bawah dengan 50 per sen frekuensi distribusi bagian atas.

a) Median untuk data tunggal :

Me =

Contoh :Berikut ini adalah skor tes prestasi 9 karyawan PT. Brawijaya :

78        56        66        94        48        82        80        70        76

Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :

No urut 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nilai 48 56 66 70 76 78 80 82 94

Letak Median =  9 + 1                        2                      = 5

Jadi letak median pada urutan data ke 5 yaitu nilai 76

b) Median data berkelompok

Me=b+p ( 12n−F

f )Keterangan: b = batas bawah kelas median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel atau banyak data

F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh : berikut ini data nilai 80 siswa

NILAI UJIAN f i

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

Setengah dari seluruh data adalah 40. Jadi median akan terletak di kelas interval kelima. Sehingga diperoleh :b=70,5 p=10 f=25

F=1+2+5+15=23

Me=b+p ( 12n−F

f )Me=70,5+10 ( 40−23

25 )=77,3

3. Modus (Mo)

Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar). Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal, jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal.

a) Modus data tunggal

Contoh :

Berikut ini skor tes prestasi PT. Brawijaya :

70  56        66        70        48        82        80        70        76        70

Frekuensi terbesar adalah 70 yaitu ada 4 orang

Jadi modus skor prestasi karyawan PT. Brawijaya : 70

b) Modus data berkelompok

.Mo=b+ p ( b1

b1+b2)

Keterangan: b = batas bawah kelas modus ialah kelas interval dengan

frekuensi terbanyak

P = panjang kelas modus

b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval

terdekat sebelumnya

b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval

terdekat berikutnya

contoh : berikut ini data nilai 80 siswa

NILAI UJIAN Frekuensi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 1

Dari soal diketahui :b = 70,5

b1 = 25 – 15 = 10

b2 = 25 – 20 = 5

p = 80,5 – 70,5 = 10

Maka Modus dapat ditentukan dengan rumus :

Mo=b+ p ( b1

b1+b2).

= 70,5 + 10 ( 1010+5 )

= 77, 17

4. Kuartil

Kuartil adalah nilai yang memisahkan tiap-tiap 25 persen dalam distribusi frekuensi. Fungsi kuartil untuk menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan. Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan untuk membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25 persen distribusi dimaksud.

Dalam statistik dikenal ada 3 nilai kuartil yakni :

1. Kuartil pertama/ kuartil bawah (Q1) adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi bagian bawah dan 75 % distribusi bagian atas.

2. Kuartil kedua/kuartil tengah (Q2) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat diidentikkan dengan pengukuran median (Median).

3. Kuartil ketiga/ kuartil atas (Q3) adalah nilai yang membatasi 75% distribusi bagian bawah dan 25% distribusi bagian atas.

a) Kuartil data tunggal

Letak Qi = data ke

i .(n+1 )4 dengan i = 1,2, 3

Contoh Tentukan semua kuartil pada data :

1) 4, 5, 8, 9, 7, 6, 5 (banyak data ganjil)

2) 52, 56 , 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94(banyak data genap)

Jawab : 1) data diurutkan menjadi 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9

↑ ↑ ↑ Q1 Q2 Q3

Jadi kuartil bawah ( Q1 ) = 5kuartil tengah ( Q2 ) = 6kuartil atas ( Q3 ) = 8

2 ) 52, 56 , 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94

↑ ↑ ↑ Q1 Q2 Q3

Letak Q1 = data ke - (12+1)

4 = data ke 3

14

Letak Q2 = data ke - 2(12+1)

4 = data ke 6

12

Letak Q3 = data ke - 3(12+1)

4 = data ke 9

34

Dengan demikian Q1 yaitu antara data ke-3 dan data ke-4 seperempat jauh

dari data ke-3. Nilai Q1 = 57 + 14

( data ke-4 – data ke 3 )

= 57 + ¼ ( 60 – 57 )

= 57 ¾

b) Kuartil data berkelompokUntuk menghitung kuartil data berkelompok digunakan rumus :

Qi = kuartil ke-iTb = tepi bawah kelas interval Qi

P = panjang kelas interval Qi

n = ∑ f = banyak dataF = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

f = frekuensi pada kelas Qi

Contoh. Hitung nilai kuartil atas pada data berikut :

Interval F Fk

21-25 3 3

Qi = Tb + p. ( i4 .n−F

f ) dengan i = 1,2,3 ; untuk i = 1 (kuarti bawah); untuk i = 2 (kuartil tengah/median); untuk i = 3 (kuartil atas)

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

9

4

10

3

11

12

16

26

29

40

Penyelesaian :

Kuartil atas (Q3) terletak pada 3(40+1)

4 = data ke 30

34

(interval 46 - 50)

Nilai Q3 = 45,5 + 5.( 3

4. 40−29

11 ) = 45,5 +

511 = 45,95

5. DesilDesil adalah suatu ukuran yang membagi sekelompok data menjadi 10

bagian sama panjang setelah data diurutkan.Ada 9 macam desil, yaitu; desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2),…..,dan seterusnya hingga desil ke-9 (D9).a) Untuk data tunggal, jika banyak data n dan Di adalah desil ke-i, maka

Letak Di = data ke

i .(n+1 )10 dengan i = 1,2,3,4,…,9

Contoh;Tentukan D3, dan D5 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 8, 6 !Penyelesaian;Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8

Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8

Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14

Letak Di = data ke

i .(n+1 )10

Letak D3 = data ke-

3.(14+1)10

= data ke- 4 ½

Dengan interpolasi diperoleh :

Nilai D3 = x4 + 0,5(x5 – x4)

D3 = 5 + 0,5(6 – 5)

D3 = 5,5

b) Data KelompokDesil data berkelompok dapat dihitung dengan rumus :

Dengan Di = desil ke-iTb = tepi bawah interval kelas Di

P = panjang kelas interval Di

n = ∑ f = banyak dataF = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

f = frekuensi pada kelas Di

Contoh. Hitung nilai D5 dari data berdistribusi kelompok berikut :

Penyelesaian :

Di = Tb + p. ( i

10.n−F

f ) i = 1,2,3,4,

…,9

Interval F Fk

21-25

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

3

9

4

10

3

11

3

12

16

26

29

40

Letak Desil ke-5 = 5(40+1)

10 = 20 ½ (kelas interval 36-40)

Maka : D5 = 35,5 + 5( 12.40−16

10 )D5 = 35,5 + 2 = 37,5

6. PersentilPersentil adalah ukuran yang membagi sekelompok data terurut menjadi

100 bagian sama besar. Ada 99 macam persentil yang masing-masing adalah P1, P2, P3, …, P99.Adapun kegunaan persentil :1. Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya2. Menyusun norma penilaian3. Menormalkan distribusi

a) Persentil data tunggal maka :

Letak Pi = data ke

i .(n+1 )100 , dengan i = 1,2,3,……,99

Contoh

Tentukan P30, dan P75 dari ; 6, 4, 6, 4, 7, 5, 6, 5, 9, 7, 10, 7, 10, 6

Penyelesaian :

Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 10

Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 9 10 10

Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Letak Pi = data ke

i .(n+1 )100

Letak D30 = data ke-

30 .(14+1 )100

= data ke- 4 ½

Letak D75 = data ke-

75 .(14+1 )100

= data ke- 11 ¼

Dengan interpolasi diperoleh :

Nilai P3 = x4 + ½ (x5 – x4)

P3 = 5 + ½ (6 – 5)

P3 = 5,5

Dengan interpolasi diperoleh :

Nilai P75 = x 11 + ¼ (x 12 – x 11)

P75 = 7 + ¼ (9 – 7)

P75 = 7,5

b) Persentil data berkelompok dihitung dengan rumus :

Dengan : Pi = persentil ke-iTb = tepi bawah interval kelas Pi

p = panjang kelas interval Pi

n = ∑ f = banyak dataF = frekuensi kumulatif sebelum kelas Pi

f = frekuensi pada kelas Pi

Contoh. Hitung nilai P 25 dari data berdistribusi kelompok berikut :

Interval f Fk

21-25

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

3

9

4

10

3

11

3

12

16

26

29

40

Penyelesaian ;

Letak P25 = 25(40+1)

100 = 10 ¼ ( kelas interval 26-30)

P25 = 25,5 + 5 ( 25100

(40)−3

9 )

Pi = Tb + p. ( i

100.n−F

f ) i = 1,2,3,

……,99

P25 = 25,5 + 3,9

= 29,4

BAB III

PENUTUP

A. Kegunaan Tendensial Sentral

Berdasarkan hasil pembahasan yang telah diuraikan dalam bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa Tendensial Sentral memberi gambaran umum mengenai keadaan sampel dan keadaan populasi, Meramalkan keadaan populasi bila sampelnya representatif dan Membandingkan 2 kelompok atau lebih