Logika Matematika

Rukmono Budi Utomo30115301

Pengampu: Prof. Dr. Taufiq Hidayat

March 16, 2016

1 Logika

Logika berasal dari kata Yunani kuno (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal piki-ran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika merupakan salahsatu cabang dalam ilmu filsafat yang merupakan cabang ilmu yang mempelajari filosofiterhadap sesuatu hal. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme atau dalambahasa Latin(logica scientia) atau ilmu ilmu pengetahuan yang mempelajari kecakapanuntuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu di sini mengacu pada kemampuanrasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untukmewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebutbisa juga diartikan dengan masuk akal.

Selain sebagai ilmu pengetahuan, logika juga dapat dipandang sebagai cabang fil-safat yang praktis. Makna dari Praktis di sini memberi arti bahwa logika dapat diprak-tikkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian.Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradi-sional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabangmatematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran.

Logika sebagai matematika murni, matematika adalah logika yang tersistimatisasi,matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur menggunakan simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistimatisasi dikenalkan oleh Galenus danSextus Empiricus.

2 Asal-Usul Logika

Asal-Usul Perkembangan Logika dapat dikelompokkan dalam beberapa masa di bawahini:

1

• Masa Yunani KunoLogika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yangmeninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpal-ing kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.Thales mengatakanbahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alamsemesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemu-dian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica.

Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhealam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logikaThales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:*Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan*Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia*Air jugalah uap*Air jugalah esDengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa dari segala sesuatu,yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.

• Abad pertengahan dan logika modernPada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eis-agoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlahlogika modern dengan tokoh-tokoh seperti Petrus Hispanus (1210 - 1278), RogerBacon (1214-1292),Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logikabaru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian,William Ocham (1295 - 1349).

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan olehThomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding, Francis Bacon (1561 -1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya NovumOrganum Scientiarum dan J.S. Mills (1806 - 1873) dalam bukunya System ofLogic

3 Manfaat Berfikir Dengan Logika

Beberapa manfaat atau kegunaan apabila dapat berfikir secara logika antara lain:

• Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional,kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

• Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

• Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam danmandiri.

2

• Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis

• Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis ,lurus, metodis dan analitis seba-gaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang

4 Logika Matematika

Logika matematika merupakan salah satu cabang logika yang mengandung kajian matem-atis logika. Secara matematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikandalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggu-nakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus atau permasalahan. Dalamlogika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, in-gkaran atau negasi, kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah dari beberapapernyataan atau keadaan.

5 Pernyataan Dalam Matematika

Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuksimbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :

• NegasiNegasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu ni-lai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang ∼ yang berarti tidakatau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan sapi adalah hewan berkaki empatmaka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empat. Dalam tabel kebenaranmatematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut

P ∼ P

B SS B

Tabel 1: kebenaran Matematika Negasi

P : Sapi adalah hewan berkaki empat (B)∼ P : Sapi bukanlah hewan berkaki empat (S)

• KonjungsiKonjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubungdan atau disimbolkan dengan ∧. Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benarjika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satupernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah. Dalam

3

tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut

P Q P ∧Q

B B BB S SS B SS S S

Tabel 1: kebenaran Matematika Konjungsi

Dalam konjungsi, dua buah pernyataan P dan Q bernilai benar (B) apabila baikpernyataan P dan Q keduanya bernilai benar. Apabila ada salah satu dari P atauQ bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q bernilai salah. Contoh kon-jungsi dari dua pernyataan yang benar adalah:

P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)P ∧Q : Sapi adalah hewan herbivora dan sapi adalah pemakan rumput

Untuk contoh konjungsi dua buah pernyataan P dan Q yang tidak benar (Salah)cukup diberikan salah satu atau kedua pernyataan dari P dan Q

• DisjungsiDisjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubungatau yang disimbolkan dengan ∨. Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi.Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terda-pat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, makapernyataan disjungsi juga bernilai benar. Dalam tabel kebenaran matematika, ne-gasi dapat disajikan sebagai berikut

P Q P ∨Q

B B BB S BS B BS S S

Tabel 2: kebenaran Matematika Disjungsi

Dalam disjungsi, dua buah pernyataan P atau Q bernilai salah (S) apabila baikpernyataan P dan Q keduanya bernilai Salah. Apabila ada salah satu dari P atauQ bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q tetap bernilai Benar, apalagi

4

baik P dan Q keduanya bernilai Benar, maka konjungsi P dan Q pastilah bernilaibenar. Contoh disjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar adalah:

Contoh 1. P dan Q benarP :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B)P ∨Q : Sapi adalah hewan herbivora atau sapi adalah pemakan rumput(B)

Contoh 2. Salah satu P atau Q bernilai benarMisal hanya P benarP :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)P ∨Q : Sapi adalah hewan Herbivora atau sapi hewan yang dapat ter-bang (B)

Perlu diperhatikan bahwa untuk contoh 1, karena P dan Q keduanya bernilaibenar, maka tidak perlu diragukan lagi bahwa konjungsi P dan Q tentulah bernilaibenar. Untuk contoh 2, meskipun pernyataan Q bernilai salah, sedangkan P adalahpernyataan yang benar, tetap saja konjungsi P dan Q dalam contoh ini tetapbernilai benar, hal ini dikarenakan sifat atau yang memberikan beberapa pilihankebenaran atas beberapa pernyataan. Apabila ada salah satu dari pilihan dalampernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai benar, maka tentu saja disjungsidari pernyataan-pernyataan yang diberikan adalah benar. Apabila pilihan daripernyataan-pernyataan yang diberikan semuanya salah, tentu saja tidak mungkinmenghasilkan disjungsi yang benar, untuk itu dua buah pernyataan P dan Q yangsalah tentu saja menghasilkan disjungsi yang salah.

• ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkandengan kata hubung makayang disimbolkan dengan →. Misal P → Q dibaca JikaP maka Q. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagaiberikut

P Q P → Q

B B BB S SS B BS S B

Tabel 3: kebenaran Matematika Implikasi

5

Dalam implikasi, dua buah pernyataan Jika P maka Q bernilai salah (S) apa-bila Pernyataan pertama (P ) (anteseden) bernilai benar dan pernyataan kedua(Q) (konsekuen) bernilai salah. Selain dari kondisi di atas, maka implikasi dari Pmaka Q bernilai benar. Contoh implikasi dari dua pernyataan yang bernilai salahadalah:Contoh1P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B)Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S)P ∨Q : Jika Sapi adalah hewan Herbivora maka sapi hewan yang dapatterbang (B)Implikasi dari dua buah pernyataan di atas benilai salah, karena anteseden (P )bernilai benar, konsekuen(Q) bernilai salah yang tentu saja menghasilkan perny-ataan implikasi yang salah. Berdeda dengan kebalikannya, apabila antesedenbernilai salah, namun konsekuen bernilai benar, maka menghasilkan implikasi yangbenar. Hal demikian dapat terjadi karena terlepas apapun nilai kebenaran darianteseden apabila menghasilkan konsekuen yang benar, maka implikasinya adalahbenar.Contoh 2P :Sapi adalah Hewaninvertebrata(B)Q :Sapi adalah Hewan pemakan rumput (S)P ∨ Q : Jika Sapi adalah hewan invertebrata maka sapi adalah hewanpemakan rumput (B)Selanjutnya untuk kondisi yang lain, dengan penalaran yang baik, kita akan dapatmenerima bahwa meski pernyataan P dan Q salah, implikasinya benar.

• BiimplikasiBiimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti jika dan hanyajika dan disimbolkan dengan ↔ . P ↔ Q dibaca P jika dan hanya jika Q.Dalamtabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut

P Q P ↔ Q

B B BB S SS B SS S B

Dalam biimplikasi, dua buah pernyataan P jika dan hanya jika Q bernilai salah(S) apabila ada salah satu dari pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilaisalah, hal demikian dapat kita terima dalam logika. Apabila baik P dan Q ke-duanya bernilai benar maka biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut tentulahbernilai benar dan ini pun dapat kita terima secara logika, namun yang menjadiperhatian adalah apabila baik P dan Q keduanya bernilai salah justru nilai bi-impikasinya benar. Bagimana penjelasannya?.

6

Hakikat biimpikasi dari P jika dan hanya jika Q sejatinya adalah merupakangabungan dua implikasi yakni Jika P maka Q dan Jika Q maka P . Menurutimpikasi jika kedua pernyataan salah, maka nilai implikasinya benar, dan menurutkonjungsi dua pernyataan yang benar adalah benar, denan demikian jelaslah alasanmengapa dua pernyataan salah P dan Q, maka biimplikasinya adalah benar.

6 Ekuivalensi Dalam Logika Matematika

Dalam Logika Matematika antara satu pernyataan dengan pernyataan lain dapat memi-liki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini disebut sebagai nilai kesetaraan atau ekuiv-alensi yang merupakan pernyataan-pernyataan bernilai sama atau bermakna sama. Ke-setaraan atauekuivalensi dilambangkan dengan ≡. Beberapa pernyataan dalam logikamatematika yang sama atau saling ekuivalensi antara lan adalah:

• ∼ (P ∧Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q

• ∼ (P ∨Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q

• P → Q ≡ ∼ Q→ ∼ P

• ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q)

• ∼ (P ↔ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )

Pembuktian kesamaan atau ekuivalensi di atas dapat dibuktikan dengan tabel kebenaranmatematika

P Q ∼ P ∼ Q P ∧Q P ∨Q ∼ (P ∧Q) ∼ (P ∨Q) P → Q P ↔ Q ∼ P ∨ ∼ Q

B B S S B B S S B B SB S S B S B B S S S BS B B S S B B S B S BS S B B S S B B B B B

∼ P ∧ ∼ Q ∼ Q→ ∼ P P ∧ ∼ Q ∼ (P → Q) ∼ (P ↔ Q) (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )

S B S S S SS S B B B BS B S S B BB B S S S S

Dalam tabel kebenaran logika matematika di atas, terbukti sifat kesamaan atau ekuiv-alensi yang beberapa pernyataan matematika yakni ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q, ∼ (P ∨Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q, P → Q ≡ ∼ Q→ ∼ P , ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q), dan ∼ (P ↔ Q) ≡(P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )

7

7 Penarikan Kesimpulan

Dalam Logika matematika terdapat beberapa cara untuk menarik kesimpulan dari premis-premis yang diketahui. Macam cara penarikan kesimpulan tersebut antara lain:

• Modus PonenJika diketahui Premis pertama (P1) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2)adalah P , maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan Q, atau secaramatematis dapat disajikan sebagai berikutP1 : P → QP2 : PKesimpulanQContohP1 : Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke BandungP2 : Hari libur tibaKesimpulan: Rani akan berlibur ke Bandung

• Modus TollenJika diketahui Premis pertama (P1) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2)adalah ∼ Q, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan ∼ P , atausecara matematis dapat disajikan sebagai berikutP1 : P → QP2 :∼ QKesimpulan∼ PContohP1 : Jika hari ini hujan, maka Rani tidak berlibur ke BandungP2 : Rani berlibur ke BandungKesimpulan: Hari ini tidak hujan

• SilogismeJika diketahui Premis pertama (P1) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2)adalah jika Q maka R, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan jikaP maka R, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikutP1 : P → QP2 : Q→ RKesimpulanP → RContohP1 : Jika hari ini tidak hujan hujan, maka Rani berlibur ke BandungP2 : Jika Rani berlibur ke Bandung, maka ia akan mengunjungi Gedung SateKesimpulan: Jika Hari ini tidak Hujan, maka Rani akan mengunjungi GedungSate

8 Referensi

• https://id.wikipedia.org/wiki/Logika dikutip 16 maret 2015 pukul 11.15 wib

8

• http://wahid-hambali.blogspot.co.id/2013/04/sejarah-perkembangan-logika-pengantar.htmldikutip16 maret 2015 pukul 11.20 wib

• http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-logika-matematika.htmldikutip16 maret 2015 pukul 11.40 wib

9