KONSEP DASAR ARITMETIKA

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika yang diampu oleh Bapak Wahid Ibnu Zaman, M.Pd

Disusun Oleh Kelompok 10 Kelas III D :

1. Rudi Hermawan (12.1.01.10.0067)

2. Endah Tri Sulistianingsih (12.1.01.10.0086)

3. Dea Laila Martyanti (12.1.01.10.0092)

Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Nusantara PGRI Kediri

Tahun 2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME, berkat rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah ini dalam mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika.

Kritik penyempurnaan sangat kami harapkan karena kami yakin bahwa makalah ini bukanlah makalah yang sempurna dan guna perbaikan untuk pembuatan makalah di hari yang akan datang. Namun sebagai langkah awal pembelajaran, kami yakin makalah ini sangat bermanfaat bila digunakan dalam proses belajar mengajar yang optimal. Kami berharap bahwa makalah ini dapat lebih bermanfaat khususnya untuk mahasiswa-mahasiswi Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan untuk meningkatkan pengetahuan dan pengembangan keterampilan kependidikan yang profesional.

Terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu kami sehingga tersusunlah makalah sebagaimana kami persembahkan.

Kediri, 3 Mei 2015Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDULi

KATA PENGANTARii

DAFTAR ISIiii

BAB I PENDAHULUAN1

1.1. Latar Belakang1

1.2. Rumusan Masalah1

1.3. Tujuan1

BAB II PEMBAHASAN2

2.1. Perpangkatan2

2.2. Akar Bilangan5

2.3. Barisan5

2.4. Deret10

BAB III PENUTUP11

A. Simpulan11

B. Saran11

DAFTAR PUSTAKA13

BAB IPENDAHULUAN1.1. Latar BelakangAritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika) (dari kata bahasa Yunani - arithnos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata "aritmetika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.Aritmetika ialah cabang tertua dan terdasar dari matematika yang digunakan oleh hampir semua orang, dari perhitungan dasar sehari-hari sampai perhitungan di dunia bisnis dan sains. Aritmetika yang digunakan sehari-hari oleh kita semua biasanya hanya aritmetika dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, padahal masih banyak lagi cabang-cabang dari aritmetika yang lebih kompleks seperti persentase, akar kuadrat, pemangkatan, akar bilangan, barisan, deret dan logaritma. Pada bahasan kali ini akan membahas konsep dasar aritmetika khususnya konsep dalam perpangkatan dan akar bilangan serta barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah lainnya. 1.2. Rumusan Masalah1.2.1. Bagaimana penjelasan dari perpangkatan?

1.2.2. Bagaimana penjelasan dari akar bilangan?

1.2.3. Bagaimana penjelasan dari barisan?

1.2.4. Bagaimana penjelasan dari deret?1.3. Tujuan1.3.1. Untuk mengetahui penjelasan tentang perpangkatan.

1.3.2. Untuk mengetahui penjelasan tentang akar bilangan.

1.3.3. Untuk mengetahui penjelasan tentang barisan.

Untuk mengetahui penjelasan tentang deret.

BAB II

PEMBAHASAN2.1. PERPANGKATANPerpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan sebagai berikut :a x a x ..... x a = an n faktor

Bentuk umumnya adalah an, dimana a disebut pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.Contoh :

23 (dibaca dua pangkat tiga) = 2 2 2 = 8 52 (dibaca lima pangkat dua) = 5 5 = 25

Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar.

Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 6 sifat operasi perpangkatan yaitu:

1. (a x b)n= an x bn2. am x an= am+n3. am: an= amn4. (a : b)n= an : bn5. (am)n= amn6. an = dengan a 0Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya. Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif),

bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional.

Skema Pangkat Bilangan

Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif. Contoh : 50 = 1

0 = 1Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya perpangkatan bilangan adalah bentuk perkalian berulang atau berganda. Berdasarkan Skema Pangkat Bilangan, pangkat dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif. Pangkat bilangan bulat positif merupakan bentuk perkalian berulang yang sebenarnya. Nilai pangkat/eksponen menunjukkan banyaknya perkalian berulang (faktor) nilai itu sendiri. Sembarang bilangan bila dipangkatkan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

Contoh :

21 = 2

1 = Sembarang bilangan bila dipangkatkan 2 akan menghasilkan perkalian berulang 2 kali bilangan itu sendiri. Contoh :

32 = 3 x 3 = 9 102 = 10 x 10 = 100 2= x = Sembarang bilangan bila dipangkatkan 3 akan menghasilkan perkalian berulang 3kali bilangan itu sendiri. Contoh :

43 = 4 x 4 x 4 = 64 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 3 = x x = Perbandingan pembilang dan penyebut dalam bilangan pokok pecahan bersifat tetap. Pangkat bilangan bulat negatif atau sering disebut pangkat tak sebenarnya, menunjukkan bahwa perkalian berulang pecahan/kebalikan bilangan itu sendiri. Secara umum bentuknya : a-n= di mana n adalah bilangan bulat positif.Sembarang bilangan bila dipangkatkan -1 akan menghasilkan kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 3-1= = -1 = = 8 -1 = Terlihat bahwa bila bilangan pokoknya adalah bilangan bulat, maka pangkat -1 nya adalah pecahan / kebalikannya. Secara umum berlaku :-1 = = Sembarang bilangan bila dipangkatkan -2 akan menghasilkan kuadrat kebalikan bilangan itu sendiri. Contoh : 2-2= = -2 = = = = 6 Bila bilangan pokok berbentuk pecahan dipangkatkan -2, maka hasilnya dapat berupa bilangan bulat ataupun bilangan pecahan.2.2. AKAR BILANGANPada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut.Definisi :(dibaca : akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.

dapat ditulis

Contoh : Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat pecahan = = = = 2 = = = = = =

Akar bilangan 3 atau sama dengan pangkat pecahan = = = 2

= = = = = 2.3. BARISAN

Sebelum kita mempelajari barisan, amati pola bilangan pada himpunan berikut ini.1. Himpunan bilangan asli : {1, 2, 3, 4, 5, }

2. Himpunan bilangan bulat : {, -2, -1, 0, 1, 2, }

3. Himpunan bilangan asli ganjil : {1, 3, 5, 7, 9, }

4. Himpunan bilangan asli genap : {2, 4, 6, 8, 10, }Setiap anggota himpunan di atas dapat diurutkan sehingga mempunyai keteraturan atau pola. Penulisan beberapa anggota himpunan secara terurut seperti di atas akan dapat menyatakan anggota himpunan yang lain yang mempunyai pola sama. Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan. Pada contoh himpunan di atas, diperoleh barisan bilangan seperti berikut ini.

1. Barisan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5,

2. Barisan bilangan bulat , -2, -1, 0, 1, 2,

3. Barisan bilangan (asli) ganjil 1, 3, 5, 7, 9,

4. Barisan bilangan (asli) genap 2, 4, 6, 8, 10, Nama barisan dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut. Adapula barisan yang diberi nama sesuai dengan penemunya. Contoh : Barisan bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, yang ditemukan pada tahun 1200 oleh Leonardo Fibonacci.Masing-masing bilangan pada suatu barisan disebut suku barisan dan dipisahkan dengan tanda koma. Suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dilambangkan dengan u2 dan seterusnya. Jadi secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku ditulis dalam bentuk sebagai berikut.u1, u2, u3, u4, u5, ..... unIndeks pada barisan di atas menyatakan banyaknya suku dan disebut panjang barisan. Untuk n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga.Pada contoh barisan bilangan yang telah disebutkan di atas, dua barisan bilangan pertama mempunyai pola yang sama yaitu suku barisan diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 1. Perbedaan kedua barisan tersebut terletak pada suku awalnya saja. Suku barisan bilangan pada contoh keempat dan kelima diperoleh dengan menambah suku sebelumnya dengan bilangan 2. Perbedaan pada suku awal akan memberikan perbedaan pada suku-suku berikutnya.Selanjutnya kita akan mempelajari barisan aritmetika dan geometri. Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, perhatikan contoh-contoh barisan berikut ini.Contoh :1. Barisan 2, 4, 6, 8,

2. Barisan 4, 1, -2, -5, 3. Barisan 3, 2, 2, 1, ...Pada setiap barisan di atas, terlihat bahwa selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Barisan dengan ciri seperti itu disebut barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan disebut beda dan dilambangkan dengan b. 1. Beda barisan 2, 4, 6, 8, dapat diketahui dengan cara mengurangkan suku barisan (kecuali suku awal) dengan suku sebelumnya. Jadi beda barisan tersebut adalah b = 4 2 = 6 4 = 8 6 = 2 .2. Beda barisan 4, 1, -2, -5, adalah b =1 4 = (2) 1 = (5) (2) = 3.3. Beda barisan 3, 2, 2, 1, ... adalah b = 2 3 = 2 2 = 1 2 = Jika kita ingin menentukan suku ke sekian dari suatu barisan aritmetika, berarti kita harus mempunyai rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmetika. Misalkan suku awal dan beda dari barisan aritmetika dilambangkan dengan a dan b. Untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika, perhatikan bagan berikut ini.u1

u2

u3

un

a a + ba + 2ba + (n 1) bJadi berdasarkan bagan di atas diperoleh rumus suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu un = a + (n 1) b.Kita telah bersama-sama mempelajari barisan aritmetika. Sekarang kita akan mempelajari barisan lain yang juga sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari yaitu barisan geometri.Contoh barisan 1, 2, 4, 8, 16 ...

Pada barisan itu perbandingan yang tetap adalah = = = = 2

Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan dilambangkan dengan r. Jadi rasio barisan 1, 2, 4, 8, 16, adalah r = 2 .Barisanyang mempunyai perbandingan tetap antara suku-suku yang berurutan disebut barisan geometri. Jadi secara umum, barisan geometri berbentuk :

u1, u2, u3, u4, u5, ..... un dengan = r dimana r adalah konstanta.

Selanjutnya, kita bisa menentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri tersebut = r sehingga u2= u1 r = r sehingga u3 = u2r, karena u2= u1 r maka u3 = u1.r.r = u1 r2 = r sehingga u4 = u3r, karena u3 = u1 r2maka u4= u1.r2.r = u1 r3dan seterusnya sampai dengan suku ke-n yaitu un = u1rn-1 Jadi rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah un = u1rn-1NOTASI SIGMA

Notasi sigma banyak digunakan dalam matematika khususnya bidang statistika. Penggunaan notasi sigma di dalam statistika antara lain digunakan dalam menentukan mean, simpangan baku, dan ragam. Sebelum membahas notasi sigma, perhatikan jumlah lima bilangan ganjil berikut ini. : 1 + 3 + 5 + 7 + 9Pola barisan tersebut adalah sebagai berikut.

Suku ke-1 = 1= 2(1) 1

Suku ke-2 = 3 = 2(2) 1

Suku ke-3 = 5 = 2(3) 1

Suku ke-4 = 7 = 2(4) 1

Suku ke-5 = 9 = 2(5) 1Jadi secara umum pola barisan bilangan di atas adalah 2k 1 dengan k = 1, 2, 3, 4, 5. Penjumlahan lima bilangan asli yang ganjil di atas dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma. Lambang notasi sigma adalah yang merupakan huruf kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Notasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755. Jadi penulisan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 dengan menggunakan notasi sigma adalah sebagai berikut.

Lambang k = 1 disebut batas bawah dan k = 5 disebut batas atas. Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

Pada notasi sigma, terdapat beberapa sifat yang sangat berguna dalam melakukan penghitungan atau manipulasi aljabar. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut.Sifat 1.

Contoh :

Sifat 2.

Contoh :

Sifat 3.

Sifat 4.

Sifat 5.

2.4. DERETSuku-suku barisan tersebut disebut deret. Ketika Gauss masih di sekolah dasar, dia diminta oleh gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli pertama. Gauss menggunakan teknik menghitung sederhana tetapi keefektifan cara menghitung yang dilakukan Gauss tidak diragukan lagi. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti berikut ini.

S = 1+ 2 + 3 + ... +100

S = 100 + 99 + 98 + ... +1

2S = 101+101+101+ ... +101

2S = 100(101) = 10100

S = 5050

Teknik menghitung Gauss ini, selanjutnya digunakan untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika berikut ini.Sn= atau Sn= [ 2a + (n 1)b]

Salah satu sifat penting dari Sn adalah Sn- Sn-1 = unBAB IIIPENUTUP

3.1 KesimpulanDari hasil pembahasan tentang aritmetika di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika) (dari kata bahasa Yunani - arithnos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata "aritmetika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.Aritmetika yang digunakan sehari-hari oleh kita semua biasanya hanya aritmetika dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, persentase, akar kuadrat, pemangkatan, akar bilangan, barisan, deret dan logaritma.

Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama.Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/ eksponenbilangan pecahan.Urutan bilangan yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu disebut barisan.Suku-suku barisan tersebut disebut deret.3.2 SaranDiharapkan dari materi yang dipaparkan dalam makalah ini dapat membantu dalam proses belajar khususnya matematika pada materi aritmetika ini. Karena dalam pembelajaran aritmetika ini sangat diperlukan konsentrasi dalam memahami materi. Oleh karena itu dalam memahami materi harus teliti. Selain harus memahami materi harus mencoba sendiri memecahkan masalah aritmetika.Berdasarkan dari kesimpulan di atas, maka diharapkan kepada para guru matematika dapat menerapkan pembelajaran matematika, membuat rencana pelaksanaan pembelajaran dan dapat menerapkan model pembelajaran yang sesuai dengan tingkat perkembangan siswa dan materi pembelajaran.

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika (Diakses Pada 5 Mei 2015)http://jonathan9b20.blogspot.com/ (Diakses Pada 5 Mei 2015)Tjahjo Baskoro, Josef., Ika Sari Budhayanti, Clara. 2007. Konsep Dasar Aritmetika.PDF