PENDUGAAN PARAMETER

INFERENSI STATISTIK

Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan

kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi.

Inferensi statistik dapat dikelompokkan dalam 2 bidang utama:

Pendugaan Parameter

Contoh :

Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang

sebenarnya pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang

secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai

calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang

sebenarnya.

Pengujian Hipotesis

Contoh :

Seorang peneliti masalah kedokteran diminta untuk memutuskan, berdasarkan

bukti-bukti hasil percobaan, apakah suatu vaksin baru lebih baik daripada yang

sekarang beredar di pasaran.

Seorang insinyur ingin memutuskan, berdasarkan data contoh apakah ada

perbedaan ketelitian antara dua jenis alat ukur.

Metode Pendugaan Parameter suatu populasi dapat dibedakan menjadi dua :

Pendugaan Metode Klasik

Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil

dari populasi.

Pendugaan Bayes

Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan

informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai

distribusi probabilitas parameter.

A. Pendugaan Metode Klasik

Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah dugaan bagi parameter populasi

disebut penduga atau fungsi keputusan. Sedangkan adalah sebuah nilai dugaan

berdasarkan sampel acak berukuran n.

Misal: Fungsi keputusan S2 (yang merupakan fungsi dari sampel acak yang

bersangkutan) adalah suatu penduga bagi , sedangkan nilai dugaan s2 merupakan

realisasinya.

Sifat-sifat yang seharusnya dimiliki oleh penduga :

Tak Bias

Statistik Θ̂ dikatakan penduga takbias bagi parameter θ bilaμ

Θ̂=E (Θ̂)=θ

Efisien

Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi parameter θ ,, yang

ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi θ , .

Dugaan parameter dapat dibagi menjadi :

Dugaan Titik

Menentukan suatu bilangan tunggal berdasarkan sampel sebagai penduga dari

parameter.

Dugaan Selang

Menentukan suatu interval nilai yang dengan peluang tertentu, (1-α)

diharapkan memuat parameter yang diduga.

Jika parameter populasi, dugaan selang dapat dinyatakan dengan : (untuk 0 < α < 1)

P(Θ̂1<θ<Θ̂2 )=1−α. Selang θ̂1<θ<θ̂2 , yg dihitung dari sampel yg terpilih, disebut

selang kepercayaan / interval keyakinan / confidence interval 100(1-α)% untuk parameter tersebut. nilai pecahan 1- α disebut koefisien kepercayaan / derajat kepercayaan / tingkat keyakinan (konfidensi).

B. PENDUGAAN NILAI TENGAH (MEAN)

Salah satu penduga titik bagi nilai tengah populasi µ adalah statistik X . Nilai contoh

Xdigunakan sebagai nilai dugaan titik bagi niai tengah populasi µ. Bila contoh yang

besar akan menghasilkan nilai X yang berasal dari suatu sebaran penarikan contoh

dengan ragam yang kecil.

Bila contoh diperoleh dari suatu sebaran normal, atau bila n cukup besar x, dapat

diperoleh selang kepercayaan bagi µ. Bahwa sebaran penarikan contoh bagi X adalah

normal dengan nilai tengah µx = µ dan simpangan baku σx = σ

√n . Dengan

melambangkan bagi nilai z α/2 yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva

normalnya adalah α/2, kita dapat melihat dari gambar diatas bahwa :

P(-z α/2<z< z α/2)=1-α

Sedangkan dalam hal ini

z= x−µσ /√n

Dengan demikian :

P(-z α/2<x−µ

σ /√n< z α/2) = 1-α

Dengan berturut-turut menggandakan setiap suku ketaksamaan tersebut dengan σ/√n,

diikuti dengan mengurangkan Xdari setiap suku dan terakhir menggandakan

ketaksamaan tersebut dengan -1 , memperoleh

P(X -z α/2 <σ

√n< µ <X+ z α/2) = 1-α

a. Selang kepercayaan bagi µ ; σ diketahui.

Bila x adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi

dengan ragam σ2 diketahui ,maka selang kepercayaan (1-α)100 % bagi µ adalah

x-z α/2√n<µ<x+z α/2 σ

√n

Sedangkan adalah nilai z yang luas daerah disebelah kanan dibawah kurva normal

baku adalah α/2 .

Untuk contoh kecil yang diambil dari populasi yang tidak normal, kita tidak dapat

mengharapkan bahwa derajat kepercayaan bagi selang tersebut akan akurat.Tetapi bila

ukuran contohnya n ≥ 30 , bagaimanapun bentuk populasinya ,teori penarikan contoh

menjamin akan diperolehnya hasil yang memuaskan.

Jelaslah bahwa nilai-nilai peubah acak dan yang didefinisikan dalam pasal 9.2, adalah

kedua batas kepercayaan :

Ѳ1=x−z α2

1

√n

dan

Ѳ2=x−z α2

1

√n

Contoh yang berbeda akan menghasilkan nilai x yang berbeda pula, sehingga selang

kepercayaan bagi paremeter µ diperoleh. Noktah yang terletak dipusat setiap selang

menunjukkan posisi x yang merupakan nilai dugaaan titik bagi contoh yang

bersangkutan.Sebagian besar selang terlihat mencakup µ,tetapi tidak

semuanya.Perhatikan bahwa semua selang itu mempunyai selang panjang yang sama,

karena panjang selang hanya bergantung kepada nilai Z α semakin besar nilai z α/2

yang kita pilih, semakin panjang selang tersebut, dan semakin yakinlah kita bahwa

contoh yang terpilih itu akan menghasilkan selang yang mencakup parameter µ yang

tidak diketahui.

Untuk menghitung selang kepercayaan (1–α)100% bagi µ, kita telah mengasumsikan

bahwa α diketahui.Karena asumsi ini biasanya tidak berlaku, kita akan mengganti α

dengan simpangan baku contoh s, asalkan n ≥ 30.

Contoh

Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir menghasilkan nilai tengah dan

simpang baku nilai mutu rata rata sebesar, berturut turut 2,6 dan 0,3. Buat selang

kepercayaan 95% dan 99% bagi nilai tengah mutu rata rata seluruh mahasiswa tingkat

akhir.

Jawab:

Nilai dugaan titikbagi µ adalah x = 2,6. Karena ukuran contohnya besar,

simpangan baku σ dapat diduga dengan s = 0,3. Nilai z yang luas daerah di sebelah

kanannya 0,025. Yang berarti pula luas daerah di sebelah kirinya 0,975adalah Z0,025 =

1,96 . Dengan demikian selang kepercayaan 95 % bagi µ adalah

2,6−(1,96 )( 0,3

√36 )<µ<2,6+ (1,96 )( 0,3

√36 )Yang setelah disederhanakan menghasilkan :

2,50 < µ < 2,70

Untuk memperoleh selang kepercayaan 99%, ditentukan dahulu nilai z yang luas

daerah di sebelah kanannya 0,005 dan di sebelah kirinya 0,995. Dengan demikian,

diperoleh Z 0,005 = 2,575 dan selang kepercayaan 99% bagi µ adalah

2,6−(2,575 )( 0,3

√36 )<µ<2,6+ (2,575 )( 0,3

√36 )Disederhanakan menjadi :

2,47 < µ < 2,73

Selang kepercayaan ( 1 – α ) 100% memberikan ukuran sejauh mana ketelitian atau

akurasi nilai dugaan titiknya. Bila µ memang pusat selang itu, maka x menduga µ

tanpa galat. Tetapi, kecil sekali kemungkinannya x tepat sama dengan µ., sehingga

nilai dugaan itu mempunyai galat. Besarnya galat ini sama dengan nilai mutlak selisih

atau beda 7 antara µ dan x, dan kita yakin (1 – α ) 100% bahwa selisih tersebut tidak

akan melibihi z α2

1

√n.

Dalam contoh soal, kita percaya bahwa 95% b perbedaan niai tengah ontoh x = 2,6

dengan dari nilai tengah yang sesungguhnya µ tidak lebih daripada 0,1; dan kita

percaya 99% bahwa beda itu tidak lebih daripada 0,13. Seringkali, kita ingin

mengetahui berapa besar sebuah contoh harus diambil aga galat dalam menduga µ

tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita harus menentukan n sehingga

z α2

1

√n=e.

Bila x digunakan untuk menduga µ, kita boleh percaya (1 – α) 100% bahwa galatnya

tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar:

n=(z α

2

e)

Bila menyelesaikan persamaan itu untuk ukuran contoh n, semua pecahan harus

dibulatkan ke bilangan bulat berikutnya yang lebih besar. Dengan selalu mematuhi

aturan ini, kita boleh yakin bahwa derajat kepercayaanya tidak pernah jatuh di bawah

(1 – α ) 100%

Sesungguhnya rumus tersebut boleh digunakan hanya bila mengetahui ragam dari

suatu populasi yang akan diambil contohnya. Bila tidak memiliki informasi ini, suatu

contoh awal berukuran n≥-30 dapat diambil untuk memberikan nilai dugaan bagi σ,

kemudian dengan menggunakan rumus tersebut, dapat ditentukan berapa banyak

pengamatan yang diperlukan untuk memperoleh derajat ketelitian yang dikehendaki.

contoh

Seberapa besar contoh harus diambil dalam soal 1 bila kita ingin percaya 95% bahwa

nilai dugaan kita tidak menyimpang dari µ lebih daripada 0,05?

Jawab :

simpangan baku contoh s = 0,3 yang diperoleh dari contoh awal berukuran 36 akan

digunakan sebagai σ; maka :

n=[ (1,96 ) (0,3 )0,05 ]

2

= 138,3

Jadi, kita percaya 95% bahwa suatu contoh acak berukuran 139 akan menghasilkan

nilai dugaan x yang selisihnya dari σ tidak akan melebihi 0,05.

Sering kali, kita harus menduga nilai tengah populasi yang ragam tidak diketahui dan

kita tidak mungkin mengambil contoh yang berukuran n ≥ 30. Biaya sangat sering

merupakan faktor pembatas bagi ukuran contoh kita. Asalkan populasinya kira-kira

berbentuk genta, selang kepercayaannya masih dapat diperoleh meskipun σ2 tidak

diketahui dan ukuran contohnya kecil, yaitu dengan memanfaatkan sebaran penarikan

contoh bagi T, yang dalam hal ini :

T= X−μS

√n

Prosedurnya sama seperti pada contoh besar, kecuali bahwa kita menggunakan

sebaran t sebagai pengganti sebaran normal baku. Dengan melihat ke gambar dapat

mengatakan bahwa :

P(−t α2

<T <t α2 )=1−α

Sedangkan adalah nilai t dengan n – 1 derajat bebas yang di sebelah kanannya

terdapat daerah seluas α/2. Karena sifatnya yang setangkup, daerah seluas α/2 juga

terdapat di sebelah kiri -. Dengan mensubstitusikan bagi T, diperoleh :

P(−t α2

< X−μS

√n

<t α2 )=1−α

Dengan berturut-turut menggandakan setiap suku ketaksamaan tersebut dengan,

kemudian mengurangkan X dari setiap suku, dan terakhir menggandakan ketaksamaan

tersebut dangan – 1, diperoleh :

P(X−t α2

s

√n<μ< X+t α

2

s

√n )=1−α

Bila sebuah contoh acak berukuran n telah diambil dan simpangan bakunya s dapat

dihitung, maka nilai tengah x dan simpangan bakunya s dapat dihitung, sehingga

selang kepercayaan ( 1 – α ) 100% bagi µ dapat diperoleh :

b. Selang kepercayaan bagi µ untuk sampel berukuran kecil; σ tidak diketahui

Bila x1 dan s adalah nilai tengah dari simpang baku sama dan s adalah nilai

tengah dari simpang baku sampel ukuran n <30, yang diambil dari suatu populasi

berbentuk genta yang ragamnya tidak diktahui, maka selang kepercayaan (1-σ) 100%

bagi µ diberikan rumus

x−t α2

s

√n<µ<x+t α

2

s

√n

Contoh: Isi 7 kaleng asam sulfat adalah 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 10.4, dan 9.6

liter. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah isi semua kaleng demikian ini bila isi kaleng itu menyebar normal !Jawab :

Nilai tengah dan simpang baku data tersebut adalah :

X= 10,0 dan X= 0,283

Dengan menggunakan tabel, diperoleh T0,25 = 2,447 untuk v= 6 derajat bebas. Dengan

demikian selang kepercayaan 95% bagi µ adalah :

10- (2,447(0,283 / √7 < µ < 10+ (2,447(0,283 / √7

Yang telah disederhanakan menjadi

9,74 < µ < 10,26

B. PENDUGAAN BEDA DUA NILAI TENGAH (MEAN) POPULASI

Bila kita mempunyai dua populasi saling bebas dengan mean µ1 dan µ2 dan ragam σ 12

dan σ 22 maka penduga titik bagi selisih antara µ1 dan µ2 diberikan oleh statistik. Oleh

karena itu, untuk mendapatkan nilai dugaan titik bagi µ1 - µ2, kita mengambil dua contoh

acak bebas, satu dari masing-masing populasi, yang berukuran n1 dan n2 dan kemudian

menghitung selisih kedua nilai tengah. Contohnya x1 – x2. Bila kedua contoh itu diambil

dari populasi normal, atau bila n1 dan n2 keduanya lebih besar pada 30, maka kita dapat

memperoleh selang kepercayaan bagi µ1 - µ2 dengan mendasarkan pada sebaran penarikan

contoh bagi x1-x2.

Dapat diharapkan bahwa sebaran penarikan contoh bagi x1-x2, kira-kira akan

menyebar normal dengan nilai tengah (1) dan simpangan baku sebesar

μx1− x2=√( μ1

2

n1)+( μ2

2

n2) dengan demikian kita dapat menyatakan dengan peluang 1 –α bahwa

peubah acak normal baku

Z=( X1−X 2)−(μ1−μ2)

√( μ12

n1)+( μ2

2

n2)

Akan jatuh antara (4). Dapat diperolehP(−z α

2

<Z<z α2

)=1−α

Dengan mengsubtitusikan z kita mendapatkan banyak ekivalennya

P[−z α2

<( X1−X2 )−(μ1−μ2)

√( μ12

n1)+( μ2

2

n2)

<z α2 ]=1−α

Yang membawa pada selang kepercayaan (1–α) 100% bagi 1-2 berikut ini:

a. Selang kepercayaan bagi µ1-µ2 dan σ 22, diketahui bila x1 dan x2 masing-masing

adalah nilai tengah sampel acak bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dalam ragam σ 1

2 dan σ 22, yang diketahui maka selang kepercayaan (1-α) 100% bagi

µ1-µ2 adalah :

( X 1−X2 )−z α2 √ μ1

2

n1

+μ2

2

n2

<( μ1−μ2 )<( X1−X 2)+ z α2 √ μ1

2

n1

+μ2

2

n2

Sedangkan dalam hal ini zα/2 adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di

sebelah kanannya sebesar 1-α.

Bila kedua contohnya diambil dari populasi normal maka derajat kepercayaan yang

dinyatakan tersebut tepat. Untuk populasi tak normal, kita masih mendapatkan selang

kepercayaan hampiran yang sangat baik bila n1 dan n2 lebih besar daripada 30. Seperti

juga sebelumnya, bila 12 dan 2

2 tidak diketahui tetapi ukuran kedua contoh cukup besar,

maka kita dapat mengganti 12 dan 2

2 dengan s12 dan s2

2, tanpa memberikan pengaruh

yang berarti pada selang kepercayaan.

Contoh.

Suatu ujian kimia diberikan pada 50 siswa perempuan dan 75 siswa laki-laki.

Siswa-siswa perempuan mencapai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan

siswa-siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan

selang kepercayaan 96% bagi beda µ1-µ2, dalam hal ini, µ1 adalah nilai tengah skors

semua siswa laki-laki, dan µ2 adalah nilai tengah skors semua siswa perempuan yang

mungkin mengambil ujian ini.

Jawab :

Nilai dugaan titik bagi µ1-µ2 adalah x1-x2 = 82-76 = 6. Karena ni dan n2

keduanya cukup besar, maka kita dapat mengganti 1 dengan s1=8 dan 2 dengan s2=6.

Dengan mengambil α=0,064, kita memperoleh dari tabel bahwa z0,02=2,05. Dengan

demikian subtitusi ke dalam rumus :

( X 1−X2 )−z α2 √ μ1

2

n1

+μ2

2

n2

<( μ1−μ2 )<( X1−X 2)+ z α2 √ μ1

2

n1

+μ2

2

n2

Menghasilkan selang kepercayaan 96% nya

(6 )−2.05√ 6475

+ 3650

<( μ1−μ2)< (6 )−2.05√ 6475

+3650

Atau

3.43<μ1−μ2<8.57

Prosedur pendugaan selisih dua nilai tengah populasi yang baru dibicarakan hanya

berlaku bila σ 12 dan σ 2

2 diketahui atau dapat diduga dari contoh yang berukuran besar.

Bila ukuran contohnya kecil, kita harus menyandarkan pada sebaran t untuk

mendapatkan selang kepercayaannya, asalkan kedua populasinya kira-kira menyebar

normal.

Bila dimisalkan σ 12 dan σ 2

2 tidak diketahui dan n1 dan n2 kecil (<30). Bila 21=22=σ2,

kita mendapatkan peubah normal dalam bentuk

Z=( X1−X 2)−(μ1−μ2)

√μ2( 1n1 )+( 1

n2 )sedangkan σ2 harus diduga dengan cara menggabungkan kedua ragam sampel. Penduga

gabungan sp2 diperoleh melalui rumus

Sp2=

( n1−1 ) S12+ (n1−1 ) S2

2

n1+n2−2

sp2 adalah n1+n2-2, kita mendapatkan statistic

T=( X1−X2 )−(μ1−μ2)

Sp √( 1n1 )+( 1

n2 )Yang menyebar menurut sebaran t dengan v=n1+n2-2 derajat bebas.

P(−t α2

<T< t α2

)=1−α

Sedangkan tα/2 adalah nilai t dengan n1+ n2-2 derajat bebas yang luas daerah dibawah

kurva disebelah kanannya adalah α/2.

Dengan mensubtitusikan T ke dalam ketaksamaan tersebut, kita mendapatkan

P[−t α2

<( X 1−X2 )−( μ1−μ2 )

Sp √( 1n1

)+( 1n2

)<t α

2 ]=1−α

setelah mengerjakan perhitungan yang diperlukan, selisih kedua nilai tengah sampel x1-

x2 dan ragam gabungannya

Sp2=

( n1−1 ) S12+ (n1−1 ) S2

2

n1+n2−1

Dapat dihitung dan kita memperoleh selang keepercayaan (1-α) 100% bagi µ1 - µ2

sebagai berikut :

b. Selang kepercayaan bagi µ1-µ2 untuk contoh berukuran kecil; 12=2

2 tetapi nilainya

tidak diketahui.

Bila x1 dan x2 mawing masing adalah nilai tengah mpel acak bebas berkuran kecil n1

dan n2 yang diambil dari dua populasi yang hamper normal dengan ragam sama tetapi

tidak diketahuio nilainya, maka selang kepercayaan (1-α) 100% bagi µ1 dan µ2

diberikan oleh rumus

( X 1−X2 )−t α2

S p √( 1n1

)+( 1n2

)<( μ1−μ2 )<( X1−X2 )+t α2

Sp √( 1n1

)+( 1n2

)Sedangkan dalam hal ini Sp adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku

populasi dan tα/2 adalah nlai t dengan v= ni-n2+2 derajat bebas yang luas daerah

disebelah kanannya sebesar α/2.

Contoh:

suatu pelajaran matematika diberikan pada 12 siswa dengan metode pengjaran

yanh biasa. Pelajaran yang sama diberikan pula pada 10 siswa tetapi dengan metode

pengajan yang menggunakan bahanyang telah diprogramkan. Pada akhir semester

setiap kelas dib erikan ujian yang sama. Kelas yang pertama mencappai nilai rata-rata

85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas kedua mencapai nilai rata-rata dengan

simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih antara kedua nilai

tengah populasi bi;a fiasumsikan kedua populasi menyebar menghampiri normal

dengan ragam yang sama.

Jawab:

Misalkan µ1dan µ2 melambangkan rata-rata nilai semua siswea yang mungkin

memeperoleh pelajaran ini dengan metode pengajaran biasa dan yang menggunakan

bahan terprogramkan. Kita ingin membuat selang kepercayaan 90% bagi µ1- µ2. Nilai

dugaan titik bagi µ1- µ2 adlah x1-x2= 85-81= 4. Nilai dugaan gbungan = St2 bagi

ragam α2 dalam hal ini adalah

Sp2=

(11 )(16)+ (9 ) 2512+10−2

=20.05

Sp=√20.05=4.478

Dengan mengakarkan diperoleh Sp = 4,478. Dengan menggunakan α=0,1, bahwa t0.05

=1,725 untuk v= ni+n2-2= 20 derajat bebas. Oleh karena itu selang kepercayaan 90%

bagi µ1-µ2 adalah

(85−81 )−1.725 x 4.478√( 112 )+( 1

10 )< ( μ1−μ2 )<(85−81 )−1.725 x 4.478√( 112 )+( 1

10 )(4 )−1.725 x 4.478√( 1

12 )+( 110 )<( μ1−μ2 )< (4 )−1.725 x4.478 √( 1

12 )+( 110 )

Yang disederhanakan menjadi 0.69< µ1-µ2<7,31

Jadi kita percaya 90% selang dari 0,69 samapai 7,31 mencakup selisih sesungguhnya

nila rata-rata pelajaran matematika untuk kedua metode pengajaran tersebut . Kenyataan

bahwa kedua ujung selang itu positif menunjukan metode pengajaran biasa untuk

pengajaran matematika ini lebih unggul dari pada metode pengajaran dengan

menggunakan bahan terprogrogramkan.

Prosedur pembuatan selang kepercayan bagi µ1-µ2 dari contoh berukuran kecil

mengasumsikan bahwa kedua populasinya normal dan kdua ragamnya sama.

Penyimpangan kecil dari kedua asmsi itu tidak akan banyak berppengaruh pada derajat

kepercayaan bagi selang tersebut. Bila perbedaan kedua ragam populasi itu cukup

besar, kita masih mendapatkan hasil yang baik asalkan kedua populasi itu normal dan

n1=n2. Itulah sebabnya, dalam setiap percobaan terencana kita harus mengusahakan agar

kedua contoh yang diambil berukuran sama.

Untuk mendapatkan suatu dugaan selang kepercayaan bagi µ1-µ2 contohnya, bila kedua

ragam populasi yang tidak diketahui tesebut kcil sekali kemungkinanya untuk sama,

dan kita tidak mungkin mengambil contoh yang berukuran sama. Statistic yang

digunakan dalam kasus demikian adalah

T '=( X1−X2 )−(μ1−μ2)

√( S12

n1)+( S2

2

n2)

Yang sebarannya menghampiri sebaran t dengan v derajat bebas, sdangkan dalam hal ini

v=( S1

2

n1)+( S2

2

n2)

[ ( S12

n1)

( n1−1 ) ]+[ ( S22

n2)

(n2−1 ) ]Karena v menurut rumus diatas jarang sekali berupa bilangan bulat, maka kita harus

membulatkannya ke bilangan bulat terdekat. Dengan menggunakan statistic T’, kita

dapat menuliskan

P(−t α2

<T '<t α2

)=1−α

Sedangkan tα/2 adalah nilai t dengan α derajat bebas yang diseblah kananya terdapat

daerah dibawah kurva seluas α/2 dengan mensubtitusikan T’ kedalam ketaksamaan

tersebut dan dilanjutkan dengan manipulasi aljabar sperlunya, kita mempeoleh hasil

berikut ini.

Selang kepercayaan bagi µ1-µ2 untuk contoh berukuran kecil; 12≠2

2 dan nilainya tidak

diketahui x1 dan S12, dan x2 dan S2

2 masing-masing adalah nilai tengah dan ragam

contoh bebas berukuran kecil n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi yang mendekati

normal dengan ragam tidak sama dan tidak diketahui nilainya, maka selang

kepercayaan (1-α) 100% bagi µ1-µ2 yang merupakan hampiran, diberikan oleh

( X 1−X2 )−t α2 √( S1

2

n1)+( S2

2

n2)<( μ1−μ2 )<( X1−X2 )+t α

2 √( S12

n1)+( S2

2

n2)

Sedangkan dalam hal ini tα/2 adalah nilai t dengan derajat bebas

v=( S1

2

n1)+( S2

2

n2)

[ ( S12

n1)

( n1−1 ) ]+[ ( S22

n2)

(n2−1 ) ]Yang disebelah kananya terdapat daerah seluas

α2

.

Contoh:

Catatan selama 15 tahun terkhir menunjukan bahwa curah hujan rata-rata disuatu

daerah selama bulan mei adalah 4,93 cm, dengan simpangan baku 1,14 cm. didaerah

lain, catatan serupa selama 10 yahun terakhir menunjukan bahwa curah hujan rata-rata

dibulai mei adalah 2,64 cm dengan simpangan baku 00,66 cm. tentukan selang

kepercayaan 955 bagi selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bylai mei

dikedua daerah tersebut bila diasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan itu beasal

dari 2 populasi normal dengan ragam yang berbeda.

Jawab:

Untuk daerah pertama kita mempunyai x1= 4,93, S1 = 1,14 dan, n1= 15; sedangkan

untuk daerah yang kedua x2 = 2,64, S2= 0,66 dan n2 = 10. Kita ingin meendapatkan

selang kepercayaan 95% bagi 1-2. Karena kedua ragam populasi dan ukuran contohnya

tidak sama, mka kita hanya dapat memperoleh hampian bagi selang keprcayaan 95%

yang didasarkan pada sebaran t dengan

v=(1.142

15 )+( 0.662

10 )

[ (1.142

15 )(14 ) ]+[( 0.662

10 )(9 ) ]

=22.7 ≈ 23

Derajat bebas Nilai dugaan. Bagi 1-2 adalah x1-x2 = 4,93 – 2,64 = 2,29. Dngan

mengambil α= 0,05, bahwa t0,025 = 2.069 untuk v = 23 derajat bebas. Denagn demikian

selang kepercayaan 95% bagi µ1-µ2

(4.93−2.64 )−2.069√( 1.142

15 )+( 0.662

10 )<( σ1−σ 2 )<(4.93−2.64 )−2.069√( 1.142

15 )+( 0.662

10 )disederhanakan menjadi

1.54<μ1−μ2<3.04

Dengan demikian kita percaya 95% selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya

selama bulai mei dikedua daerah tersebut berada dalam selang dari 1,54-3,04cm.

Prosedur pendugaan bagi selisih dua nilai tengah bila contohnya tidak bebas dan ragam

kedua populasi tidsk dapat dianggap sama. Hal ini terjadi, bila pengamatan dalam

kedua contoh saling berpasang-pasangan sehingga kedua pengamatan itu berhubungan.

Misalnya, ingin menguji keefektifan suatu digit baru menggunkan 15 inddividu dengan

mengamati bobot badan sebelum dan sesudah percobaan. Pengamatan dalam kedua

contoh yang diambil dari individu yang sama tentu saja berhubungan dan oleh kerena

itu membentuk suatu pasangan. Untuk mengetahui apakah digit itu efektif, harus

memperhtikan selisih d1, masing-masing pasangan pengamatan tersebut. Selisih-selisih

tersebut dipandang sebagai nilai-nilai suatu contoh acak d1, d1.... d2, dari suatu populasi

normal dengan nilai tengah µD tetapi ragamnya σ D2 tidak diketahui. Duga σ D

2 dengan sD2 ,

yaitu ragam selisih-selisih tersebut. Dengan demikian s2 merupakan sebuah nilai bagi

statistic Sd2 yang berfluktuasi dari contoh suatu contoh lainnya. Nilai dugaan titik bagi

µ1 - µ2 = µD diberikan oleh d .

Karena ragam bagiD untuk pengamatan berpasangan lebih kecil daripada ragam bagi

X1−X2 untuk dua contoh acak bebas, maka setiap inferensia statistic mengenai σ1 – σ2,

yang didasarkan pada D akan lebih sensitive. Karena alas an inilah sering

mengusahakan agar dalam suatu percobaan pengamatan berpasang-pasangan. Hal ini

dapat dicapai dengan melakukan pengukuran X1−X2 pada individu yang sama. Jadi

peubah acaknya mungkin bobot badan masing-masing individu sebelum dan sesudah

suatu percobaan digit yang terkontrol.

Selang kepercayaan (1-α) 100% bagi µD dapat diperoleh dengan menyatakan

P(−t α2

<T< t α2

)=1−α

Sedangan dalam hal ni

T=D−σ D

Sd

√n

Dan t a/2, seperti yang terdahulu, adalah nilai sebaran t dengan n-1 derajat bebas.

Tentunya sekarang sudah menjadi prosedur yang rutin untuk mengganti T dalam

ketaksamaan diatas, dan melakukan menipulasi aljabar yang diperlukan sampai

menghasilkan selang kepercayaan (1-α) 100% bagi µ1 - µ2 = µD.

c. Selang kepercayaan bagi µ1 - µ2 = µD untuk pengamatan berpasangan.

Bila d dan sd adalah nilai tengah dan simpangan baku selisih n pengamatan

berpasangan, maka selang kepercayaan (1-α) 100% bagi µ1 - µ2 = µD, adalah

D−t α2

Sd

√n<μD<D+t α

2

Sd

√n

Sedangkan dalam hal ini t a/2 adalah nilai t dengan v= n-1 derajat bebas yang luas

daerah di sebelah kanannya α/2.

Contoh :

Dua puluh mahasiswa tingkat satu dibagi kedalam 10 pasang, setiap pasangan

kira-kira mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara

acak dan dimasukkan kedalam kelas yang hanya menggunakan bahan terpogramkan.

Anggota pasangan yang lain dimasukkan kedalam kelas biasa. Pada akhir semester

kedua grup itu diberikan ujian yang sama dan hasilnya adalah sebagai berikut.

Pasangan Bahan Terprogram Kelas Biasa D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

76

60

85

58

91

75

82

64

79

88

81

52

87

70

86

77

90

63

85

83

-5

8

-2

-12

5

-2

-8

1

-6

5

Tentukan selang kepercayaan 98% bagi selisih sesungguhnya dalam kedua metode

pengajaran tersebut.

Jawab:

Kita ingin mendapatkan selang kepercayaan 98% bagi µ1 - µ2 sedangkan µ1 dan µ2

adalah nilai rata-rta semua siswa yang mungkin mengikuti kuliah dengan bahan

terpogramkan dan kuliah biasa. Karena pengamatannya berpasangan µ1 - µ2 = µD dan

nilai dugaan titik bagi µD diberikan oleh d = 1,6. Ragam selisih-selisih tersebut adalah

Sd2=

n∑ d12−(∑ d1)

2

n(n−1)=

10(392)− (−16 )2

10 (9)=40.7

Dengan mengakarkannya diperoleh sd = 6,38. Untuk α = 0,02, dari tabel diperoleh

bahwa t0,01 = 2,821 untuk v = n-1 = 9 derajat bebas. Dengan demikian selang

kepercayaan 98% bagi µD adalah

−1.6−2.8216.38

√10<μD<−1.6+2.821

6.38

√10

Yang setelah disederhanakan menjadi

−7.29<μD<4.09

Dengan demikian percaya 98% bahwa selang dari -7,29 sampai 4,09 mencakup selisih

nilai rata-rata yang sebenarnya bagi kedua metode pengajaran tersebut. Karena selang

ini memungkinkan µD sama dengan nol, maka tidak dapat menyimpulkan bahwa metode

pengajaran yang satu lebih baik daripada metode pengajaran lainnya, meskipun untuk

contoh yang diperoleh ini metode pengajaran biasa menunjukkan hasil yang lebih baik.

PENDUGAAN PARAMETER

Makalah

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Statistik

Kelompok 1

Putri Utami (109096000001)

Lutfi Arqam Dalili(109096000002)

Annisa Rizky Utami(109096000003)

Dhonny Fadliansyah Wahyu (109096000004)

Ayu Suciati (109096000005)

PROGRAM STUDI KIMIA

JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI JAKARTA

2011 M

1433 H