MATEMATIKA

HIMPUNANdisusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika

tahun ajaran 2013

Kelompok 1

Nama NPM

Anggita Kharisma 150610130110

Hana Rianti Nurfaridah 150610130048

Indriani Nugrahwati 150610130049

Hanifah Putri K. 150610130124

Zulhamid Kautsar 150610130043

Dea Kusdiani 150610130007

M. Thareq Khemal 150610130050

Irmaria S. Panggabean 150610130113

Kelas B

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS PADAJADAJARAN

Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21 Jatinangor 45363

12 September 2013

HIMPUNAN

1. Pengertian

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan

dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui mana objek yang

termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918),

seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan

adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa

benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda

dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan

sifat/karakter. Yang terpenting, benda-benda dalam suatu

himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat

dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam

himpunan tersebut.Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang

membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari

mana semua matematika diturunkan.

Contoh :

Himpunan

Kumpulan semua bilangan genap

Kumpulan bilangan prima yang kurang dari 20

Kumpulan mahasiswa Agribisnis yang tingginya lebih dari 180 cm

Kumpulan tersebut merupakan himpunan karena dapat didefinisikan

dengan jelas.

Bukan Himpunan

Kumpulan makanan enak

Kumpulan lukisan indah

Kumpulan bunga harum

Kumpulan tersebut tidak dapat didefinisikan dengan jelas.

Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti mana-mana saja

anggota yang masuk dalam himpunan tersebut atau tidak.

Penentuan kumpulan tersebut bersifat subjektif, contohnya

bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu

dianggap harum bagi orang lain.

2. Lambang/Notasi Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ )

dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Biasanya, nama himpunan

ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen

himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Unsur-unsur yang

termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.

Contohnya : himpunan P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis P = {10 < x < 40, x bilangan prima. x bilangan prima berarti bahwa∈ ∈

objek x merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan P.

Notasi Contoh

Himpunan Huruf besar

Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf)

Kelas Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil,

bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol Arti

atau Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

Operasi irisan dua himpunan

, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan,

Superhimpunan sejati

Komplemen

Himpunan kuasa

3. Penyajian Himpunan

Himpunan dapat dituliskan dengan tiga cara, yaitu:

Dengan menggunakan kata-kata, yaitu dengan cara merangkai kata-kata

yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang

anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan

mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen

himpuan tersebut.

L = {10 < x < 40, x ∈bilangan prima}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks,

contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus

mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika

bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota

tersebut.

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Mendaftar

adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya

satu persatu. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat

digunakan elipsis (...).

4. Jenis-jenis Himpunan

Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}

Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya samacontohnya A= {b,c,d}B={d,c,b} maka A=B

Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama. Contohnya A= {b,c,d}B={d,c,b} A jumlah anggotanya sama dengan B

Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S. Contohnya:A = {1,3,5,7,9}himpunan semestanya berupa:S = {bilangan asli}S = {bilangan cacah}S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.contohnya B = {a,c,e}A = {a,b,c,d,e}jadi B bagian dari A.

Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.ContohnyaA = (a,b,c,d,e}maka a elemen A

Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.Contohnya :A = {d,e,f}B = {g,h,i}maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B

Bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Contohnya :A = {a,b,c,d}

e bukan anggota himpunan A.

5. Operasi dan Hubungan Antar Himpunan Irisan (Intersection)

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.Contohnya: Irisan himpunan A dan B

A B = { x | x∈A dan x∈B }

Jika A = { 2, 7, 9, 11 }

Jika B = { 1, 5, 9, 10}

Maka A B = {9}

Atau

Gabungan (Union)

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja

misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B

keduanya.

Contohnya: A B = { x∈A, atau x∈B}

Jika A = { 5, 7, 9, 11 )

Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }

A B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 }

Atau

Selisih

Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A-B

atau AǀB, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek milik A yang

bukan objek milik B.

A-B= AǀB={x; x∈A tetapi x∈B}

Pelengkap

Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, ditulis dengan notasi

Ā, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek yang tidak dimiliki

oleh A. Dengan kata lain, Ā adalah sama dengan selisih antara himpunan

universal U dan himpunan A.

Ā=U-A

Sifat-sifat operasi himpunan :

Kaidah Idempoten

1) A U A = A

2) A ∩ A = A

Komutatif

1)   Irisan, => Berlaku: A B = B A

2)   Gabungan,=> Berlaku: A B = B A

Asosiatif

1)   Irisan tiga himpunan, => (A B)  C = A ( B  C)

2)   Gabungan tiga himpunan, => (A B)  C = A  ( B C)

Distributif

1)   Irisan, => A ( B C ) = (A B) (A C)

2)   Gabungan, => A (B C) = (A B) (A  C)

6. Contoh Soal

Soal 3Di daerah Jatinangor terdapat lahan pertanian tumpang sari yang ditanami tanaman kacang tanah dan jagung

seluas 400 ha. 150 ha diantaranya ditanami kacang dan 200 ha jagung serta 300 ha diantaranya ditanami kacang atau jagung. Setiap hektarnya si petani mendapat keuntungan 60 juta dari jagung dan 40 juta dari kacang. a. Berapa ha lahan yang ditanami jagung dan kacang tanah?b. Berapa ha lahan yang hanya ditanami jagung?c. Berapa ha lahan yang hanya ditanami kacang tanah?d. Berapa ha lahan yang tidak ditanami jagung maupun kacang tanah?e. Berapa ha lahan yang hanya ditanami jagung saja atau kacang tanah

saja?f. Berapa keuntungan yang diterima oleh si petani bila bagi setiap ha

tanah yang tidak ditanami memberikan kerugian sebesar 20 juta dan bagi setiap ha tanah yang ditanami keduanya keuntungan per hektar adalah ¾ nya dari yang seharusnya?

Jawab :

a. n(J∩K)= (150+200)-300= 50

b.

n(J) = 200-50 = 150

c.

n(K) = 150-50 = 100

d.

n = 400-(100+50+150)= 100

e.

n = 150+100 = 250

f. KeuntunganJagung = (150x60000000) + (50x ¾x60000000)

= 9000000000 + 2250000000= 11250000000

Kacang Tanah = (100x40000000) + (50x ¾ x40000000)= 4000000000 + 1500000000= 5500000000

Kerugian = 100x20000000= 2000000000

Keuntungan = Keuntungan Jagung + Keuntungan Kacang Tanah – Kerugian

= 11250000000 + 5500000000 – 2000000000= 14750000000

Jadi, keuntungan yang diterima petani tersebut Rp 14750000000,00

7. Fungsi Himpunan bagi AgribisnisWalaupun pada mulanya teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika sendiri,

cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan sehari-hari salah satunya di bidang agribisnis. Himpunan digunakan untuk mengklasifikasikan berbagai hal di bidang pertanian. Himpunan dapat memudahkan kita untuk mengelompokkan data yang ada sehingga data tersebut dapat terlihat lebih efektif dan efisien dalam hasil informasi data yang diberikan juga terlihat lebih jelas juga perbedaannya yang spesifik dari sekian banyak data.