MAKALAH ANALISA VEKTORINTEGRASI VEKTOR

OLEH : BAMBANG HARY MURTI (E1R008012)EVA DINA LATHIFAH (E1R011015)NI MADE INTAN KERTIYANI (E1R011031)RIO SATRIYANTARA (E1R011041)SARAH NURVENTIA (E1R011045)

PENDIDIKAN MATEMATIKAPENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MATARAM2014MATERI INTEGRASI VEKTOR1. INTEGRAL BIASAMisalkanR(u) = R1(u) i + R2(u) j + R3(u) k sebuah vector yang bergantung pada variable scalar tunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u) continue dalam selang waktu yang ditentukan. MakaR(u) du = i R1(u) du + j R2(u) du + k R3(u) duDisebut integral tak-tentu dari R(u). Bila terdapat sebuah vector S(u) sehingga R(u) = S(u), maka R(u) du = S(u) du = S(u) + cdimana c adalah vector konstan sebarang yang tak bergantung pada u. Integral tertentu antara limit-limit u = a dan u = b, dalam hal ini dapat dituliskan :du = S(u) du = S(u) + c | = S(b) S(a)

2. INTEGRAL GARISSeperti kita ketahui bahwa usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya yang bekerja dengan perpindahan yang terjadi. Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas terlihat bahwa ada objek yang bergerak dari titika A ke titik B. namun objek tersebut bergerak tidak lurus. Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah : jika perubahannya kontinu, maka perumusan diatas berubah menjadi integral . untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor F.

DEFINISI INTEGRAL GARISIntegral garis dari suatu fungsi vector A(t) sepanjang kurva C yang terdefinisi pada didefinisikan sebagai berikut:

Dengan A adalah sebuah fungsi vector dan dr adalah elemen vector perpindahan dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b. jika lintasan mempentuk loop tertutup, maka integral diberi tambahan lingkaran:

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar diatas tampak bahwa objek bergerak sepanjang lintasan C yang tidak lurus dan berawal dari titik A kemudian berakhir pada titik B, dimana A=B.

Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup diatas adalah:

TEOREMABila A = pada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang yang didefinisikan oleh: a1 x a2 , b1 y b2 , c1 z c2 dimana (x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan yang kontinu dalam R, maka1. , tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan P1dan P22. 0 , mengelilingi setiap kurva tertutup dalam R.Dalam hal demikian A disebut medan vector konservatif dan adalah potensial skalarnya.Sebuah medan vector A adalah konservatif jika dan hanya jika x A = 0 atau juga ekivalen dengan A = . Dalam hal ini, A dr = = d, suatu diferensial eksak.

3. INTEGRAL PERMUKAANBila S sebuah permukaan bersisi-dua, misalkan sisi yang satu dari S dipandang sebagai sisi positif, jika S adalah permukaan tertutup ini diambil sebagai sisi luar.Sebuah normal satuan n pada sebarang titik dari sisi positifnya S disebut satuan normal positif dalam hal ini arahnya keatas.Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat di bayangkan adanya vector dS yang besarnya sama dengan dS dan arah-nya sama dengan n. Maka dS = ndS , sehingga diperoleh Integral = Ini merupakan integral permukaan yang disebut fluks dari A terhadap S.Integral-integral permukaan (luas) lainnya : Dimana a dalah sebuah fungsi skalar. Integral demikian dapat didefinisikan dari segi pandangan limit jumlah seperti dalam kalkulus elementer. Notasiterkadang dipakai untuk menyatakan integrasi melalui permukaan tertutup S.Agar tidak menimbulkan kebingungan umumnya digunakan notasiUntuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat lalu menghitung integral lipat-dua dari proyeksinya.Maka integral dari medan vector A pada permukaan S, sbb : 1. Bila S diproyeksikan pada bidang xy L = = 2. Bila S diproyeksikan pada bidang xz L = = 3. Bila S diproyeksikan pada bidang yz L = = dimana :n = adalah vektor normal permukaan S S, = medan scalar A = medan vector permukaandS = luas SCONTOH SOAL DAN JAWABAN INTEGRASI VEKTORINTEGRAL GARIS1. Bila R(u) = (u2 u3) i + 3u2 j 3u k , tentukana. b. Penyelesaian: a. R(u) = (u2 u3) i + 3u2 j 3u k = du = i ( u3 u4) + c1 + j ( u3) + c2 1 u2 + c3= ( - i + u3 j 1 u2 k + C

b. = ( - i + u3 j 1 u2 k | = ( - ) i + 23 j 1 (22) k = 1 i + 8 j 6 k2. Jika A(t) = t i t2 j + (t 1)k dan B(t) = 2t2 i + 6t k, tentukana) b)

Penyelesaian :a) A . B = (t i t2 j + (t 1)k) . (2t2 i + 6t k) = 2t2.t - t2.0 + 6t.(t 1) = 2t3 + 6t2 6tJadi

b) A x B = (t i t2 j + (t 1)k) x (2t2 i + 6t k) = - 6t3 i + (-2t3 + 8t2)j + 2t4 kJadi + + +

INTEGRAL GARIS3. Jika F = (5xy 6x2)i + (2y - 4x)j, tentukan sepanjang kurva C pada bidang xy, y = x3 dari titik (1, 1) sampai (2, 8)

Penyelesaian :Karena integralnya terjadi pada bidang xy (z=0), kita bisa menganggap r = xi + yj. Jadi Karena y = x3, diperoleh + 64 48 1 + 2

4. Hitunglah dr dimanaA = 3y i x j dan C adalah potongan garis lurus dari (0, 0) ke (2, ) ?

Penyelesaian:A = 3y i x j dan r = x i + y j + z k dr = dx i + dy j + dz k dr= (dx i + dy j + dz k)

persamaan parameter garis lurus (0,0) ke (2, ) :r(x,y,z) = [(0,0) + (2, ) (0,0)] t , dimana 0 t 1 , sehingga : x = 2t dx = 2 dt dany = t dy = dtJadi dr = = t) 2 dt (2t) dt = dt t dt = dt = t3 | = 13 0 = 15. Jika . Hitunglah dari (0,0,0) ke (1,1,1) sepanjang lintasan-lintasan C berikut:a). b). garis-garis lurus dari (0,0,0) ke (1,0,0), kemudian ke (1,1,0) dan kemudian ke (1,1,1)c). garis lurus yang menghubungkan (0,0,0) dan (1,1,1)

Penyelesaian:

a) Jika , titik-titik (0,0,0) dan (1,1,1) masing-masingnya berhubungan dengan dan ,maka:

b) Sepanjang garis lurus dari (0,0,0) ke (1,0,0) sedangkan ax berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah:

Sepanjang garis lurus dari (1,0,0) ke (1,1,0), sedangkan berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah:

Sepanjang garis lurus dari (1,1,0) ke (1,1,1) sedangkan z berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang lintasan ini adalah:

Jumlahkan,

c) Garis lurus yang menghubungkan (0,0,0) dan (1,1,1)dalam bentuk parametric diberikan oleh maka:

6. Kerjakan soal dibawah ini!a). Jika , dimana berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu, perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dari satu titik dalam medan ini ke titik lainnya tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan kedua titik.b). Sebaliknya, jika tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan dua buah titik sembarang, maka perlihatkan bahwa ada terdapat suatu fungsi sehingga

Penyelesaian:a) Usaha yang dilakukan == = = =Jadi, integral hanya bergantung pada titik dan dan tidak pada lintasan yang menghubungkan mereka. Ini hanya benar jika berharga tunggal pada sumua titik dan .b) Misalkan . Menurut hipotesis tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan dua buah titik sembarang, yang masing-masingnya kita ambil sebagai dan maka:

= Tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dan . Jadi,

= = =

Karena integral terakhir diatas haruslah tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dan , kita dapat memilih lintasannya berbentuk garis lurus yang menghubungkan titik-titik ini sehingga dan adalah nol. Maka:

Ambilkan limit dari kedua ruas jika kita peroleh Dengan cara yang sama, kita dapat memperlihatkan bahwa dan Maka .Jika tak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan dan maka konservatif, dan sebaliknya

7. a). Perlihatkan bahwa sebuah medan yang konservatif.b). carilah potensial scalarc). carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuh benda ke dalam medan ini dari (1,-2,1) ke (3,1,4)

Penyelesaian:a) Syarat perlu dan cukup agar sebuah gaya konservatif adalah curl Sekarang jadi, F sebuah medan gaya konservatif.

b) Menurut soal nomor 2 diatas, atau . Maka:i) ii) iii) Kemudian integrasikan, kita peroleh dari (i), (ii) dan (iii) masing-masing

Ini sesuai apabila kita memilih sehingga dengan demikian dengan tambahan sebarang konstanta

c) Usaha yang dilakukan = = === = 202

8. Buktikan bahwa jika tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dua buah titik sebarang dan dalam suatu daerah yang diberikan, maka untuk semua lintasan tertutup dalam daerah itu dan begitupula sebalinya.

ABPenyelesaian:Misalkan (lihat gambar disamping)Adalah sebuah kurva tertutup. Maka

==Karena berdasarkan hipotesis integral dari hingga sepanjang lintasan yang melalui A sama dengan yang melalui B.Sebaliknya, jika maka:

=Sehingga,

9. Jika dan C adalah kurva dari hingga , maka hitunglah integral-integral garis:a). b).

Penyelesaian:a) Sepanjang C, dan Maka:

= =b) Sepanjang C, .Maka = = = Dan =

10. Jika , tentukan dimana a) C adalah kurva x = t, y = t2, z = t3 dari t = 0 sampai t = 1b) C terbentuk dari garis lurus dari (0, 0, 0) ke (1, 0, 0), ke (1, 1, 0) dan kemudian menuju (1, 1, 1)

Penyelesaian :a) Sepanjang C,

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (1, 0, 0) y = z = dy = dz = 0 sementara x berpindah dari 0 ke 1. Jadi Integral pada bagian ini adalah

Dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 0), dx = dz = z = 0, x = 1, sementara y berpindah dari 0 ke 1.Jadi integral pada bagian ini adalahjDari (1, 1, 0) ke (1, 1, 1), dx = dy = 0, y = 1, x = 1, sementara z berpindah dari 0 ke 1.Jadi integral pada bagian ini adalah

Jadi,

INTEGRAL PERMUKAAN11. Hitunglah , dimana dan S adalah bagian dari bidang yang terletak dalam oktan pertama.Penyelesaian:Permukaan S dan proyeksi R-nya pada bidang xy diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Diketahui: Untuk memperoleh n perhatikan kembali bahwa sebuah vektor yang tegak lurus terhadap permukaan diberikan oleh .

Maka normal satuan terhadap sebbarang titik dari S (lihat gambar di atas) adalah:

Jadi dan dengan demikian Juga dimana dipergunakan kenyataan bahwa dari persamaan untuk S.Maka 12. Hitunglah dimana dan S adalah permukaan silinder yang terdapat dalam oktan pertama antara dan .Penyelesaian:Proyeksikan S pada bidang xz seperti dalam gambar di bawah dan sebut proyeksinya R. Perhatikan bahwa proyeksi S pada bidang xy tak dapat dipergunakan di sini.Maka Normal terhadap adalah . Jadi normal satuan terhadap S sebagaimana diperlihatkan dalam gambar di samping adalah:

Maka integral permukaannya sama dengan:

13. Jika , hitunglah dimana S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh .

Penyelesaian:Sisi DEFG: . Maka

Sisi ABCO: . Maka

Sisi ABEF: . Maka

Sisi OGDC: . Maka

Sisi BCDE: . Maka

Sisi AFGO: . Maka

Jumlahkan:

14. Tentukan jika A = y I + 2x j z k dan S adalah permukaan bidang 2x + y = 6 pada kuadran pertama yang dipotong oleh bidang z = 4

Penyelesaian :Dimiliki dan S(x, y, z) .Bidang tersebut tegak lurus terhadap bidang xy. Jadi kita tidak akan memproyeksikan permukaan diberikan pada xy. Oleh karena itu, dalam masalah ini, kami memproyeksikan permukaan S pada bidang xz. Jadi, jelas, proyeksi permukaan S adalah persegi panjang pada xz dibatasi oleh z = 0 sampai z = 4 dan x = 0 sampai x = 3Kemudian, diperlukan integral permukaan , dimana n adalah unit vektor normal pada permukaan dari Sampai diperoleh dan Jadi

= 108

18