15

BAB III

PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN

FLUIDA

3.1 Deskripsi Masalah

Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida

yang mengalir keluar melalui sebuah celah dinding vertikal. Fluida tersebut

diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak kental dan tak termampatkan.

Aliran fluida dimodelkan ke dalam model 2-D, seperti yang terlihat pada gambar 3.1,

karena fluida tersebut memiliki aliran irrotational dan dalam keadaan steady.

Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi

Bagian kiri dari gambar adalah fluida dengan ketinggian yang relatif jauh dari dasar.

Sementara di bagian kanan dari gambar merupakan sebuah dinding vertikal dengan

ketinggian tertentu dari dasar. Dengan beberapa batasan masalah seperti yang sudah

dijelaskan sebelumnya, Tugas akhir ini akan mengamati bagaimana pola aliran

permukaan bebas fluida pada daerah sekitar celah dinding vertikal.

3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas

16

Pada permasalahan aliran fluida tersebut, fluida memiliki aliran irrotational. Oleh

sebab itu pada domain fluida berlaku persamaan Laplace

Persamaan Laplace hanya dapat diselesaikan jika ada nilai batas. Batas yang ada

disini memenuhi 2 kondisi batas yaitu batas kaku dan batas bebas. Batas kaku

memenuhi kondisi batas kinematik. Sedangkan batas bebas memenuhi kondisi batas

kinematik dan dinamik. Batas kinematik sendiri terkait dengan permukaan atau

dasar. Pada batas kinematik, partikel di batas akan tetap berada di batas. Sementara

batas dinamik terkait dengan pertemuan antara suatu fluida dengan fluida lainnya.

Pada kasus ini, tekanan udara diambil sebagai tekanan referensi .

Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang

Kita gambarkan aliran fluida 2-D dalam bidang seperti yang terlihat pada gambar

3.2. Kita mengasumsikan dinding dasar sebagai sumbu axis dan dinding vertikal

sebagai sumbu ordinat. Ujung paling bawah celah dinding vertikal memiliki

koordinat atau dengan kata lain dinding vertikal memiliki celah dengan tinggi

sebesar dari dasar. Aliran fluida memiliki fluks sebesar dan aliran tersebut akan

bersifat uniform saat jauh dari celah dinding vertikal.

17

Berdasarkan gambaran aliran fluida tersebut, maka akan kita tentukan batas

kinematik dan batas dinamiknya. Batas kinematik didapat dari permukaan dasar

, dinding vertikal , dan pada permukaan fluida setelah melewati

celah dinding vertikal . Sedangkan untuk batas dinamik didapat hanya

dari permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal .

Batas Kinematik

Pada , untuk .

Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi .

Turunan total dari S adalah

Dengan asumsi awal bahwa aliran fluida adalah steady maka waktu tidak

berpengaruh terhadap aliran fluida. Hal tersebut menyebabkan turunan

terhadap waktu akan sam dengan nol. Dan dengan mengaitkan kondisi batas

ini dengan fungsi potensial maka diperoleh

Pada , untuk .

Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi .

Dengan melihat turunan total dari S, aliran fluida fluida steady, serta

mengaitkan kondisi batas dengan fungsi potensial maka diperoleh

Pada , untuk .

Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

. Sama seperti sebelumnya, maka diperoleh

Batas Dinamik

Pada , untuk .

Persamaan Bernoulli (2.20) pada batas dinamik ini menjadi

18

karena . Dan karena fluida dalam keadaan steady, maka persamaan (3.6) dapat

dituliskan menjadi

disebabkan waktu tidak berpengaruh pada aliran fluida.

Setelah diperoleh kondisi batas baik itu kinematik maupun dinamik, lalu dilakukan

pengskalaan dengan tujuan untuk mengurangi parameter. Dengan D adalah unit

satuan panjang dan Q adalah unit satuan fluks, maka kita dapatkan hubungan

sehingga diperoleh

Substitusikan (3.9), (3.10), (3.11), dan (3.12) pada kondisi batas kinematik dan

dinamik sehingga didapatkan batas kinematik dan dinamik yang telah diskalakan

yaitu

Batas Kinematik

Pada dinding dasar, kita peroleh

19

Pada dinding vertikal, kita peroleh

Pada permukaan bebas fluida, kita peroleh

Batas Dinamik

Pada permukaan bebas fluida, kita dapatkan persamaan Bernoulli (3.7) menjadi

Lalu dengan membagi kedua ruas dengan , maka diperoleh persamaan

dengan .

Dengan pengskalaan tersebut, bidang aliran fluida mengalami perubahan secara

geometris. Bidang aliran fluida dapat digambarkan pada bidang seperti

yang terlihat pada gambar 3.3.

A B

C

f

y

DE 1

0

Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f

20

Semua variabel memiliki satuan yang sama. Fluks fluida yang awalnya sebesar ,

kini menjadi 1 satuan. Dari gambar 3.3 terlihat bahwa garis AB merupakan dinding

dasar. Garis DE merupakan dinding vertikal dan garis DC merupakan permukaan

bebas aliran fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Titik-titik A, B, C, dan E

menuju tak hingga.

3.3 Transformasi Pada Domain Fluida

Setelah di subbab sebelumnya kita merubah bidang aliran fluida dari bidang-z ke

bidang-f seperti yang terlihat pada gambar 3.2 dan gambar 3.3, maka di bab ini kita

akan melakukan perubahan dari bidang-f ke bidang- . Untuk itu diperlukan

transformasi Schwarz-Christoffel. Transformasi Schwarz-Christoffel akan diterapkan

pada domain fluida yang berbentuk poligon.

Transformasi Schwarz-Christoffel akan menyatukan B dan C pada satu titik. Lalu

garis AB akan ditarik dan dibuka secara berlawanan arah jarum jam. Kita juga akan

melihat titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dengan nilai R yang cukup besar. Daerah

hasil transformasi tersebut adalah bidang .

A B

C

f

y

DE 1

0

g

b

(R,1)

(R,0)

Gambar 3.4 Penampang aliran fluida

Transformasi Schwarz-Christoffel diberikan dalam bentuk

21

dengan dan adalah sudut interior yang dibentuk seperti yang terlihat pada gambar

3.4. Titik (R,0) dan (R,1) akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta K

melalui hasil pemetaannya pada bidang- .

BC

( ,0)e- ( ,0)eE D A

Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang-

Dari gambar 3.5 terlihat bahwa titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dipetakan secara

berturut-turut ke dan pada bidang- . Pada transformasi Schwarz-

Christoffel ini kita dapat memilih sebuah titik pada daerah asal dan memetakannya

ke sebarang titik pada daerah hasil. Untuk itu dapat dipilih titik D (0,1) pada daerah

asal (bidang-f) yang dipetakan ke titik D (-1,0) pada daerah hasil (bidang- ).

Sedangkan titik B dan C pada bidang-f, keduanya dipetakan ke titik nol pada bidang-

. Sudut interior dan yaitu , sehingga kita dapat tuliskan transformasi Schwarz-

Christoffel yaitu

Kita integralkan persamaan (3.20) terhadap sehingga kita dapatkan

dengan K adalah konstanta dan L adalah konstanta integrasi. Untuk mendapatkan

nilai K, kita perhatikan titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f yang dipetakan secara

22

berturut-turut ke dan pada bidang- . Sehingga fungsi

pemetaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut

dan

Kita substitusi (3.22) pada (3.23) sehingga kita peroleh nilai K yaitu untuk R

menuju tak hingga. Maka persamaan (3.21) menjadi

Sedangkan untuk mendapatkan nilai L, kita perhatikan titik D (0,1) pada bidang-f

yang dipetakan ke titik D pada bidang- . Kita masukkan pada

persamaan (3.24) sehingga menjadi

dan diperoleh . Diperoleh nilai dan yang kita masukkan ke

dalam persamaan (3.21) sehingga menjadi

yang merupakan pemetaan dari bidang-f ke bidang- .

3.4 Variabel Hodograf

Kita perhatikan sebuah titik pada streamline. Vektor singgung pada titik tersebut

mempunyai besar dengan arah . Kecepatan partikel pada titik tersebut

dinyatakan sebagai

23

Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline

Vektor kecepatan partikel yang terkait dengan kompleks potensial adalah

Maka berdasarkan (3.27) dan (3.28), persamaan (3.29) dapat dituliskan menjadi

dengan yang dikenal sebagai variabel hodograf. Kondisi batas kinematik

dan dinamik yang telah diperoleh pada subbab sebelumnya, dapat dinyatakan ke

dalam variabel hodograf tersebut.

Batas Kinematik

Pada dinding dasar, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam

dan , didapatkan

Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai

yang memenuhi adalah .

Pada dinding vertikal, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam

dan , didapatkan

Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai

yang memenuhi adalah . Tanda negatif berarti arah aliran fluida yang

mempunyai arah aliran dari atas ke bawah.

u

v

q

et

24

Pada permukaan bebas fluida, diperoleh . Setelah dinyatakan ke

dalam dan , didapatkan

yang merupakan kemiringan kurva . Maka yang tidak

diketahui tersebut yang memenuhi nilai pada permukaan bebas fluida.

Batas Dinamik

Pada kondisi batas dinamik, dipenuhi oleh persamaan (3.17) yaitu

.

Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan

dengan .

Merubah Variabel dan ke .

Pada kondisi batas dinamik (3.34) terdapat dua buah variabel yang tidak diketahui

yaitu dan . Kedua variabel tersebut akan dinyatakan ke dalam .

Pertama kita akan merubah variabel ke dalam variabel . Kita perhatikan

hubungan

dimana adalah invers dari vektor kecepatan dan dari persamaan (3.21) dengan

dan . Kita ketahui bahwa , maka (3.35) dapat dituliskan

menjadi

25

Untuk mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan bagian imajiner dari

persamaan (3.36) yaitu

Persamaan (3.37) tersebut kita integralkan pada selang karena kita

mengamati bagian permukaan bebas aliran fluida.

Nilai dari , maka kita peroleh persamaan

Setelah itu, kita akan merubah ke dalam . Untuk menyatakan ke dalam , fungsi

diintegralkan mengikuti lintasan setengah lingkaran bawah dan garis lurus dari

titik –M sampai titik M secara searah jarum jam. Titik M dan –M diambil menuju tak

hingga.

-1 0-M M

0x

Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida

Titik digeser ke titik , sehingga persamaan integral Cauchy disini menjadi

26

Titik disini merupakan titik singular. Untuk menghindari titik singular tersebut

maka dibuat lintasan integral berupa setengah lingkaran yang melompati titik

seperti yang terlihat pada gambar 3.8.

-1 0-M M0x

Gambar 3.8 Singularitas pada bidang-

Persamaan (3.40) dapat dihitung bagian per bagian dengan melihat lintasan C1 yaitu

setengah lingkaran besar, C2 yaitu setengah lingkaran kecil, dan garis lurus dari titik

–M sampai titik M.

Pada integral tersebut terdapat PV (Principal Value) yang memiliki arti pada selang

integral tersebut terdapat titik yang menyebabkan nilai integral tidak terdefinisi di

titik tersebut. Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran,

persamaan integralnya bernilai 0 untuk . Namun pada kasus ini, syarat

tersebut tidak dipenuhi karena .

Untuk itu dibutuhkan sebuah variabel baru yaitu . Diharapkan variabel

untuk . Konstruksi dari dapat dituliskan sebagai

Dengan dan , maka persamaan (3.42) menjadi

27

Kita cek persamaan (3.43) dengan menggunakan sebuah titik pada bidang- misalkan

titik . Argumen adalah – dan yang memenuhi kondisi batas titik

adalah . Lalu dengan mensubstitusikan nilai dan ke bagian

imanjiner dari persamaan (3.43) maka kita dapatlan nilai menuju 0. Karena

untuk , maka kemudian diterapkan pada persamaan (3.41)

menjadi

Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, nilai

integralnya akan bernilai 0. Maka (3.44) menjadi

Telah kita ketahui sebelumnya bahwa , maka

persamaan (3.45) dapat dituliskan sebagai

Karena disini kita ingin mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan

bagian riil dari persamaan (3.46) yaitu

Untuk menghitung persamaan integral tersebut, akan dilakukan partisi terhadap

selang integral menjadi 3 bagian yaitu , , dan . Pada setiap

selang, kita akan melihat nilai dari dan pada titik yang berada pada selang

tersebut.

Selang pada daerah asal merupakan dinding vertikal dimana nilai

yang memenuhi adalah . Sedangkan untuk menentukan nilai ,

28

kita dapat memilih sebarang titik pada selang tersebut, misalkan titik ,

sehingga kita peroleh nilai .

Selang pada daerah asal merupakan permukaan bebas fluida dimana

nilai disini belum diketahui. Pada selang ini nilai sama dengan

selang yaitu – .

Selang pada daerah asal merupakan dinding dasar dimana nilai nilai

yang memenuhi adalah . Dan untuk menentukan nilai , kita pilih titik

, sehingga kita peroleh nilai .

Nilai-nilai dan yang telah didapat, kita substitusikan ke dalam (3.47)

sehingga diperoleh

Nilai dari . Maka persamaan (3.48) dapat

dituliskan menjadi

Kita telah mendapatkan sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak

diketahui yaitu

dengan