1. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + 1 ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -1) , maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + 1 )b = 2( y 2x + 2 ) +2 ( 2x 3y -1) (3x + 12y -2y + 4x - 4 ) + ( 6x + 3y + 3 - 4x +6y + 2) = 0 (7x + 10y 4 ) + (2x + 9y + 5 ) = 0

Karena a dan b tak kolinear maka 7x + 10y 4 = 0 . . . . (1) 2x + 9y + 5 = 0 . . . . . (2) Eliminasi (1) dan (2) 14x + 20y = 8 14x + 63y = -35 -43y = 43 y = -1 substitusi ke pers (2) 2x + 9y = -5 2x 9 = -5 2x = 4 x=2 Sehingga x = 2, y = -1

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x1,y1,z1) dan R (x2,y2,z2) seperti yang ditunjukkan pada gambar.Z P Q R

O

Y 1

X

Penyelesaian: Diketahui: vektor posisi : = x1i + y1j + z1k = x2i + y2j + z2k Karena dan segaris, maka berlaku : = m =

=(xi + yj + zk) ( x1i + y1j + z1k) =(x-x1)i +(y-y1)j + (z-z1)k =

= (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k sehingga ; (x-x1)i + (y-y1)j + (z-z1)k = m [(x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k] x x1 = m (x2 x1) m =

x x1 x 2 x1

y - y1 = m (y y1) m =

y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1

z - z1 = m (z z1) m =

Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik P dan R adalah

y y1 x x1 z z1 = = x 2 x1 y 2 y1 z 2 z12

3. misalkan vector-vektor kedudukan dari titik-titik P dan Q relative terhadap sebuah titik asal O masing-masingnya diberikan oleh p dan q. jika R adalah sebuah titik yang membagi garis PQ kedalam bagian-bagian yang perbandingannya m : n, maka perlihatkan bahwa vector kedudukan R diberikan oleh: dan vector ini tak bergantung pada titik asal. Penyelesaian: Ilustrasi:P m R n Q

O

Diketahui: Dan

PR : RQ = m : n Sehingga ( ) ( )

(

)

(terbukti)

4. buktikan bahwa kedua diagonal jajar genjang berpotongan ditengah tengah (bisec). Ilustrasi:B E C

A

DA

3

Penyelesaian: Maka : ( ) Maka: ( ( ) ) . . . .(2) ( )

Diperoleh juga :

Dari (1) dan (2) diperoleh : ( ) ( Karena dan ) ( ( maka : ) )

Sehingga dengan menggunakan eliminasi diperoleh :

Dan

(terbukti)

4

5. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam beraturan, maka carilah resultan dari gaya-gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE, dan AF. Penyelesaian: ilustrasi:B C

A

D

F

E

Diketahui: | |

| |

| |

| |

| |

| |

Karena

(searah dan sama panjang), maka :

Karena

(searah dan sama panjang), maka : , maka :

Diketahui bahwa Jadi:

dan

(

)

(

)

(sifat komutatif)

5

6.

Perlihatkan bahwa | Penyelesaian::

|

| |

| |

| |.

Karena

Sehingga

. . . . .(1)

Karena

Sehingga

Dari persamaan (1) diperoleh

7. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan besarnya separuh dari besarnya sisi ketiga ini ! Penyelesaian:C R Q

A

P

B

P, Q, R masing-masing merupakan titik-titik tengah dari

6

= = ( = = ( ( ) ) ( ( ) )

Maka

)

Dengan cara yang sama diperoleh: (terbukti)

8. ABCD adalah sebuah jajaran genjang dengan P dan Q adalah masing-masing titik tengah dari sisi-sisi BC dan CD. Buktikan bahwa AP dan AQ memotong diagonal BD atas tiga bagian yang sama dititik E dan F. AF E

B

D Penyelesaian:

C

7

=ba

=x(ba)

=a+b

=y(a+

b)

a =y(a+

b) + x ( b a )

= (x + y )a + ( -x + y) b Karena a dan b tak kolinear sehingga x+y=1 x=1y8

-x + y = 0 x= y 1y= y= sehingga x = Didapat : DE = dan y = DB, AE = AQ y

=ba

= m ( b a )

=b+a

= n ( b + 1/2a)

b = n ( b + a) + m ( b a ) =( n m)a + ( n + m )b

Karena a dan b tak kolinear sehingga

9

nm =0 m = n+m =1 n+ n=1 n= sehingga m = didapat FB = , dan n = DB dan AF = AP n

Sehingga terbukti

9. Buktikan ketiga vektor berikut dapat membentuk sebuah segitiga : [3,1,-2], [-1,3,4], [4,-2,-6]. Tentukan pula panjang garis-garis berat segitiga tersebut! Penyelesaian: Ilustrasi:

a f b

d e

c

10

Diketahui: , =, = Sehingga, Karena ,

, ,

, -

-

, maka ketiga vektor tersebut membentuk sebuah segitiga. ( terbukti )

Perhatikan gambar diatas! Panjang verktor-vektor , , dan tersebut. [ , ]

merupakan panjang garis-garis berat pada segitiga

,

-

| |

, , , -

| |

11

, , -

-

[

]

| |

10. Jika A= 4i - 3j + 3k dan B = - 2i + j - 2k carilah vektor satuan yang tegak lurus A dan B Penyelesaian: | , | | Vektor satuan =

| ( )

11. Carilah volume sebuah paralelepipedum yang sisinya dinyatakan oleh A = 2i 3j + 4k, B = i + 2j k dan C = 3i j + 2k. penyelesaian: ilustrasi: 12

Volume = Luas bidang alas x t = t = proyeksi =( | ) |

xt pada ( )

Sehingga volume = | = = = .(

|

( |

) |

)

= (3i j + 2k) . = 15 + 6 -14 = 7

12. Misalkan

ABCD

adalah =

sebuah + .

jajaran

genjang.

Buktikan

bahwa

Penyelesaian: D C

A

B

Kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: ( ( ) ) ( ) ( )

( )

13

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) Maka: ( ) ( ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) . . . . . . . . .(1) ( ( ) ) ( )

Dan, diperoleh bahwa:

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

. . . . . . . . . . . (2)

Sehingga dari (1) dan (2) diperoleh: =(

+) ( ) ( )

(terbukti)

13. Perlihatkan bahwa

adalah vektor-vektor

satuan yang saling tegak lurus Penyelesaian: | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

| | | |

( ) ( ) ( ) (

( ) ( )

( ) (A,B,C vektor satuan)

)( ) ( ) )( ) ( )

( )

(

(

)

14

( )

( ) ( )

(

)

Jadi A,B dan C adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus.

14. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai 2j + k dan B = 2ai + aj 4k saling tegak lurus ? penyelesaian : dua vector saling tegak lurus jika dot product-nya sama dengan nol (0), maka:

( )( )

(

)(

)

15. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku! penyelesaian : ilustrasi:B

A

D

C

akan ditunjukan karena maka | | | | | |

15

dimiliki bahwa dan (

)

maka karena ( ( ( (

) (

( searah dan sama panjang), maka: ( ) ( ) ) ) )

) ) ) )

( ( (

| | dan | | | |

| | | | | |

Karena | |

Sehingga diperoleh: ( . | | . | | 0

) | | / | | / | || | , dimana .

| || |

0 = | || | Maka sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku.

16

16. Misalkan vektor-vektor satuan dalam bidang-xy yang membuat sudut-sudut dengan sumbu x positif. Buktikan rumus trigonometri berikut: ( ) ( ) Penyelesaian: Ilustrasi:y

(

) ( )

x

( (

) )

Dari grafik diperoleh: | | | | Maka: | | | | Karena adalah vector satuan, maka | |=| | , sehingga diperoleh: | | | | | | | |

Dari grafik diketahui, | || | ( ( ) (

) ) ( ) ( )

17

( Jadi, ( ( Sehingga : ( ) Dari hasil sebelumnya diperoleh, ) ) ( ( ( ) ( ( )) )) ( ) (

) ( terbukti )

( )

)

( terbukti )

)( ) ( )( ) ( )( 17. Buktikan bahwa ( penyelesaian: ) ( Menurut sifat ke-2 hasil kali silang, yaitu ( diperoleh: ( )( ) ) ) (( ( )( ) ) (( ) (1) ( )( ) ) ) (( ( ) ( Menurut sifat ke-4 hasil kali silang, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) Dari (1) dan (2 ), diperoleh: ( )( ) ) ( ) ) (( ( )( ) ) ( ) ) (( ( )( ) ) ( ) ) (( karena hasil kali titik bersifat komutaif, maka: ( )( ) ) ( ) ) (( ,( ) ,( ) ( )( ) ) ( ) ) (( ,( ) ) ,( Sehingga, diperoleh: ( )( ) ,( ) ,( ,( ( ,( ,( ,( ,( ,( ) ) ) ) ) -

) ) ( ), maka

)

(

)

,( ,( ,( ,( ,(

) ) ) ) ) -

={

) ) -+

)( ) ( )( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ,( ) - + * ,( ) ,( ) -+ *

) ,( ) -

18

=0+0+0 =0 ( )( ) ( )( )

(terbukti) ( )( )

18. Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya pada (3,-1,2), (1,-1,-3), (4,-3,1) ! Penyelesaian: Ilustrasi: DC(4,-3,1)

B(3,-1,2) A(1,-1,-3)

(

)

(

(

))

(

(

))

(

)

(

(

))

(

(

))

Luas daerah jajar genjang ABDC adalah | | | | ( ( )) ( ) ( )

Maka: | |

Jadi, luas daerah segitiga = x luas daerah jajar genjang ABDC = | | =

19

TUGAS ANALISA VEKTORKUMPULAN SOAL DAN JAWABAN

Oleh

TRI RENDRA SUTRISNA ( E1R 009 003 )

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 201220