1. Koordinat  Cartesius    Sistem  koordinat  Cartesius  terdiri  dari  dua  garis  yang  saling  tegak  lurus  yang  disebut  sumbu    Sumbu  horizontal  disebut  sumbu  X  dan  sumbu  vertikal  disebut  sumbu  Y    Tiap  sumbu  mempunyai  satuan  skala  berupa  angka.  Ke  kanan  dan  ke  atas  positif,  ke  kiri  dan  ke  bawah  negatif.  Titik  perpotongan  sumbu  sebagai  acuan  titik  nol    Koordinat  suatu  titik  ditulis   𝑥,𝑦 = 𝑎, 𝑏    Dimana    𝑎    menunjukkan  jumlah  satuan  skala  relatif  terhadap  nol  pada  sumbu  X    𝑏    menunjukkan  jumlah  satuan  skala  relatif  terhadap  nol  pada  sumbu  Y    

Gambar  1    Kotak  kecil  adalah  satuan  skala    Koordinat  titik  A  ditulis  𝐴(3,4)    artinya  posisi  titik  A  adalah  3  satuan  ke  arah  kanan  sumbu  X  dari  acuan  dan  4  satuan  kea  rah  atas  sumbu  Y  dari  acuan.    Dengan  koordinat  Cartesius  kita  memvisualisasikan  posisi  suatu  titik  di  atas  gambar      

 

2. Vektor  Satuan    Seperti  sudah  di  ketahui  vektor  mempunyai  besar  dan  arah  dan  digambarkan  dengan  garis  panah    Sistem  kordinat  Cartesius  bisa  digunakan  untuk  menggambarkan  vektor  dalam  ruang    2  atau  3  dimensi.  Disini  kita  batasi  pada  ruang  2  dimensi  untuk  sederhananya,  tetapi  prinsip  yang  sama  bisa  diterapkan  pada  ruang  3  dimensi    Untuk  menggambarkan  vektor  kita  menggunakan  vektor  satuan  i  dalam  arah  horizontal  dan  vektor  satuan  j  dalam  arah  vertikal  seperti  gambar  di  bawah    Penulisan  vektor    

𝑉 = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣    Dimana    𝑎    menunjukkan  jumlah  vektor  satuan  i  pada  sumbu  X    𝑏    menunjukkan  jumlah  vektor  satuan  j  pada  sumbu  Y      

Gambar  2      

 

Penulisan  vektor  A    dalam  system  koordinat  Cartesius  pada  gambar  di  bawah  adalah  𝐴 = 3𝐢+ 4𝐣      

Gambar  3    Besar  atau  panjang  vektor  𝑉 = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣    sesuai  rumus  Pythagoras  adalah    

𝑉 = 𝑎! + 𝑏!    Dan  arahnya  terhadap  horizontal  adalah    

tan𝜃 =𝑏𝑎  

 Jika  besar  vektor  di  ketahui  𝑉  dan  membentuk  sudut  𝜃  terhadap  horizontal  maka  bisa  dituliskan    

𝑉 = 𝑉 cos𝜃 𝐢+ 𝑉 sin𝜃 𝐣      

 

3. Selisih  atau  Delta  Antara  Dua  Vektor    Pada  pelajaran  vektor  tedahulu  selisih  antar  vektor  I  dan  vektor  II  adalah  vektor  yang  ditarik  dari  ujung  panah  vektor  II  ke  ujung  panah  vektor  I    Vektor  I        𝑟! = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣    ,    vektor  II        𝑟! = 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣        

Gambar  4    ∆𝑟 = 𝑟! − 𝑟!

= 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣 − 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣= 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣− 𝑝𝐢− 𝑞𝐣= 𝑎𝐢− 𝑝𝐢+ 𝑏𝐣− 𝑞𝐣

∆𝑟 = 𝑎 − 𝑝 𝐢+ 𝑏 − 𝑞 𝐣

   

 Selisih  antara  vektor  I        𝑟! = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣      dan    vektor  II          𝑟! = 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣      

∆𝑟 = 𝑎 − 𝑝 𝐢+ 𝑏 − 𝑞 𝐣    Besar  atau  panjang  vektor  selisih  adalah    

∆𝑟 = 𝑎 − 𝑝 ! + 𝑏 − 𝑞 !    

 

Contoh  :    Selisih  antara  vektor  I        𝑟! = 2𝐢+ 4𝐣      dan    vektor  II          𝑟! = 3𝐢+ 1𝐣      ∆𝑟 = 𝑟! − 𝑟!

= 2𝐢+ 4𝐣 − 3𝐢+ 1𝐣= 2𝐢+ 4𝐣− 3𝐢− 1𝐣= 2𝐢− 3𝐢+ 4𝐣− 1𝐣= 2− 3 𝐢+ 4− 1 𝐣

∆𝑟 = −1𝐢+ 3𝐣

   

 Pada  pelajaran  vektor  terdahulu      𝑟! − 𝑟! = 𝑟! + −𝑟!    Vektor    −𝑟!    besarnya  sama  dan  berlawanan  arah  dengan  𝑟!    Dengan  metode  jajaran  genjang  didapat  𝑟! − 𝑟! = 𝑟! + −𝑟!  

Gambar  5        

 

4. Perkalian  Titik  Vektor    Perkalian  Titik  adalah  perkalian  antara  dua  besaran  vektor  yang  hasilnya  besaran  skalar    

𝑟!. 𝑟! = 𝑟!𝑟! cos𝜃    dimana  𝜃  adalah  sudut  antara  vektor  I  dan  II      Aturan  perkalian  titik  pada  vektor  satuan    𝐢. 𝐢 = 𝐣. 𝐣 = 1𝐢. 𝐣 = 𝐣. 𝐢 = 0      

   𝑟!. 𝑟! = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣

= 𝑎𝐢.𝑝𝐢 + 𝑎𝐢. 𝑞𝐣 + 𝑏𝐣.𝑝𝐢 + 𝑏𝐣. 𝑞𝐣= 𝑎𝑝. 𝐢. 𝐢 + 𝑎𝑞. 𝐢. 𝐣 + 𝑏𝑝. 𝐣. 𝐢 + 𝑏𝑞. 𝐣. 𝐣= 𝑎𝑝 + 0+ 0+ 𝑏𝑞

𝑟!. 𝑟! = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞

   

   

𝑎𝐢+ 𝑏𝐣 . 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞      Contoh  dalam  fisika  adalah  𝑊 = 𝐹. 𝑠    Usaha  adalah  besaran  skalar  merupakan  perkalian  antara  gaya  F  dan  perpindahan  s  yang  masing  masing  berupa  besaran  vektor      

 

5. Perkalian  Silang  Vektor    Perkalian  Silang  adalah  perkalian  antara  dua  besaran  vektor  yang  hasilnya  besaran  vektor    

𝑟!×𝑟! = 𝑟!𝑟! sin𝜃    dimana  𝜃  adalah  sudut  antara  vektor  I  dan  II      Aturan  perkalian  silang    

 𝐢×𝐢 = 𝐣×𝐣 = 0𝐢×𝐣 = 𝐤𝐣×𝐢 = −𝐤

 

   𝑟!. 𝑟! = 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣

= 𝑎𝐢.𝑝𝐢 + 𝑎𝐢. 𝑞𝐣 + 𝑏𝐣.𝑝𝐢 + 𝑏𝐣. 𝑞𝐣= 𝑎𝑝. 𝐢. 𝐢 + 𝑎𝑞. 𝐢. 𝐣 + 𝑏𝑝. 𝐣. 𝐢 + 𝑏𝑞. 𝐣. 𝐣= 0+ 𝑎𝑞𝐤+ 𝑏𝑝 −𝐤 + 0= 𝑎𝑞𝐤− 𝑏𝑝𝐤

𝑟!. 𝑟! = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 𝐤

   

 𝑎𝐢+ 𝑏𝐣 × 𝑝𝐢+ 𝑞𝐣 = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑞 𝐤  

   Contoh  dalam  fisika  adalah  𝑉 = 𝜔×𝑟    Kecepetan  linier  adalah  besaran  vektor  merupakan  perkalian  antara  gaya  𝜔  dan  perpindahan  r  yang  masing  masing  berupa  besaran  vektor  

 

6. Dasar  Turunan  dan  Integral    Notasi  Turunan    Turunan  fungsi  𝑦 = 𝑓 𝑥  dilambangkan  dengan  𝒅𝒚

𝒅𝒙    atau    𝒅𝒇

𝒅𝒙  

 Turunan  dari  𝑓 𝑥  biasa  ditulis  dengan  𝒇′ 𝒙      Turunan  beberapa  fungsi    Jika  𝑓 𝑥 = 𝑘    maka    !"

!"= !" !

!"= 𝑓! 𝑥 = 0  

 Jika  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥!    maka    !"

!"= !" !

!"= 𝑓! 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥!!!  

 Jika  𝑓 𝑥 = 𝑥    maka    !"

!"= !" !

!"= 𝑓! 𝑥 = 1  

     Integral    Integral  tak  tentu  dinyatakan  sebagai   𝑓 𝑥 𝑑𝑥  dibaca  sebagai  integral  dari  𝑓 𝑥  terhadap  𝑥    Secara  umum  ditulis  

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶  

     Integral  beberapa  fungsi    

𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶  

 

𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶  

   Jika  𝑛 ≠ −1  maka    

𝑎𝑥! =𝑎

𝑛 + 1 𝑥!!! + 𝐶  

       

 

Integral  disebut  juga  proses  untuk  menentukan  anti  turunan    Perhatikan  jika  𝑦 = 𝑓 𝑥 = !

!!!𝑥!!!  maka    

 𝑦 = !

!!!𝑥 !!!

!"!"

= !!!!

𝑛 + 1 𝑥 !!! !!

!"!"

= !!!!!!

𝑎𝑥!!!!!

!"!"

= 𝑎𝑥!

𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑥!

   

 

𝑓! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶  

     Integral  tentu    Integral  tentu  dari  fungsi  𝑓 𝑥  pada  interval   𝑎, 𝑏  didefenisikan  sebagai    

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎!

!