pengantar vektor

st. legiyo - sma tn 2004

Pengantar- Lambang Vektor - Notasi Besar Vektor- Notasi Vektor - Vektor NegatifMelukis Penjumlahan dan Selisih Vektor (Metoda Jajaran dan

Poligon)Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan (Rms Cosinus dan

Sinus)Menguraikan Sebuah Vektor Mjd. Dua Vektor yang Saling Tegak

LurusMenentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda

AnalitisPerkalian Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian Vektor dengan Vektor

• Perkalian Titik (Dot Product)• Perkalian Silang (Cross Product)

Vektor Satuan Pengertian Vektor Satuan Operasi dengan Vektor Satuan

• Penjumlahan dan Selisih• Perkalian Titik• Perkalian Silang

Vektor Posisi

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak

v1

Perahu bergerak dengan kecepatan v2 terhadap air, sedang air bergerak dengan kecepatan v1 terhadap bumi. Maka kecepatan perahu terhadap bumi, yaitu vR merupakan resultan dari v1 dan v2

v2

v1

vR

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak. Perahu diarahkan serong ke kiri.

v1

Air sungai bergerak ke kanan, perahu diarahkan serong ke kiri. Dengan arah dan kecepatan yang tepat, perahu dapat sampai ke seberang dengan panjang lintasan minimum.

v2

v1

vR

v1

v1

Perhatikan: Kayu yang terapung di atas air (kecepatan v1), burung yang terbang di atas air (kec. v2), dan perahu yang kecepatannya vR (resultan v1 dan v2) sampai di tempat tujuan pada saat yang bersamaan (tAB = tBC = tAC)

v2

v1

vR

A

B

D

C


PENGANTAR

• Lambang Vektor• Notasi Vektor• Notasi Besar Vektor• Vektor Negatif


Lambang Vektor

• Anak panah :– Panjang anak panah besar vektor– Arah anak panah arah vektor


Notasi Vektor

A atau A atau A


Notasi Besar Vektor

|A| atau |A| atau

A


Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda Jajaran

AB

C

A

B C = A + B


Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda Poligon

AB

C

A

B C = A + B


Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Jajaran

A B

D

-B

A

-B D = A - B = A + (-B)


Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Poligon

A B

D

-B

A

-B

D = A - B = A + (-B)


SOAL LATIHAN

01.Diketahui sebuah vektor perpindahan yang besarnya 5 km dan arahnya ke tenggara digambarkan sebagai anak panah yang panjangnya 2 cm dan membentuk sudut 450 terhadap garis horisontal. Lukiskan vektor perpindahan :a. 7,5 km ke tenggara c. 10 km ke barat lautb. 2,5 km ke selatan

02.Jika vektor A berupa anak panah yang panjangnya 3 cm berarah horisontal kekanan, lukis vektor-vektor:a. 2 A b. ½ A c. – 1½ A


03. Diketahui vektor-vektor berikut ini

a. Lukis dengan metoda jajaran:i) A + C iii) B + Cii) A – B iv) A - D

b. Lukis dengan metoda poligon (segi banyak)i) A + C iii) B + C + Dii) A – B iv) A + B - C + D

04. Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 15 N dan 20 N. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor, jika kedua vektor mengapit sudut sebesar:a. 900 d. 1200

b. 300 e. 1800

c. 00 f. 2250

05. Dua buah vektor sama besar. Ternyata besar resultan kedua vektor sama dengan besar salah satu vektor tersebut. Berapa sudut yang diapit kedua vektor itu? Berapa sudut arah vektor resultan terhadap salah salah satu vektor tersebut?

A BC D


x2 = x2 + x2 + 2*x*x*cos A

x2 = 2 x2 + 2 x2 cos A

x2 - 2 x2 = 2 x2 cos A

- x2 = 2 x2 cos A

cos A = - x2 / 2 x2 = -1/2

A = 1200

5a. Mencari sudut apit kedua vektor

Misal : sudut apit kedua vektor adalah A

F1 = F2 = x

R = xF1

F2

RA


F1 R

----- = -------

sin B sin A

x x

----- = -------

sin B ½ 3

x sin B = x ½ 3

sin B = ½ 3

B = 600

5b. Mencari sudut vektor resultan R dengan F2

Misal : sudut resultan R dengan F2 adalah A

F1

F2

R

B

A

x x

----- = -------

sin B sin 1200


Besar dan Arah Vektor Resultan

Rumus Cosinus

α cos 2AB2B2AC

Rumus SinusA

BC

12

C=A+B sinα

C

sinα

B

sinα

A

21


TABEL FUNGSI TRIGONOMETRI

sin cos tan

00 0 1 0

300 ½ ½3 1/33

370 3/5 ½3 3/4

450 ½2 ½2 1

530 4/5 3/54/3

600 ½3 ½ 3

900 1 0

A+

I

S+

II

III

T+

IV

C+

sin (1800 - ) = sin cos (1800 - ) = - cos sin (1800+ ) = sin cos (1800 + ) = - cos

contoh

sin 1200 = sin (1800 – 600 ) = sin 600cos 1200 = cos (1800 – 600) = -cos 600

sin 2100 = sin (1800 + 300 ) = -sin 300 cos 2100 = cos (1800 + 300) = -cos 300


Menguraikan Vektor

Vektor v dengan arah terhadap sumbu x diuraikan menjadi dua vektor komponen, yaitu vx

dan vy

Besar masing-masing vektor komponen :

Vx = V cos

Vy = V sin

vx

vyv

x

y


Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda Analitis

Vektor v1 dan v2 masing-masing membentuk sudut 1 dan 2 terhadap sumbu x.

Kedua vektor hendak kita gabungkan dan dicari besar dan arah resultan keduanya

1

v1

x

y

v2

2


Langkah I

Masing-masing vektor diuraikan menjadi dua vektor saling tegak lurus, sehingga diperoleh

v1x v1y

v2x v2y

Besar masing-masing vektor komponen :

V1x = V1 cos 1 V2x = V2 cos 2

V1y = V1 sin 1 V2y = V2 sin 2

1

v1x

v1y v1

x

y

v2 v2y

v2x

2


1

v1x

v1y v1

x

y

v2 v2y

v2x

2

vx

vy

Langkah II

Vektor-vektor sesumbu saling digabungkan, sehingga diperoleh

vx

vy

dimanavx = v1x + v2x

vy = v1y + v2y


Langkah III

1

v1x

v1y v1

x

y

v2 v2y

v2x

2

vx

vy

R

xΣvyΣv1tanθ

2yΣv

2xΣvR

Langkah III aMenentukan BESAR resultan vektor dengan rumus Phytagoras:

Langkah III bMenentukan ARAH vektor resultan dengan rumus tangen:


1

v1x

v1

x

y

v2 v2y

v2x

2

vx

vy

R

v1y

xΣvyΣv1tanθ

2yΣv

2xΣvR

vx = V1x + V2x

vy = V1y + V2y

No v sin cos v sin V cos 1 ... ... ... ... ... ...

2 ... ... ... ... ... ...

Jumlah komponen vektor-vektor sesumbu ... ...

Untuk praktisnya, dalam mengerjakan soal dapat menggunakan tabulasi seperti berikut


PERKALIAN PADA VEKTOR

• Perkalian Skalar dengan Vektor• Perkalian Vektor dengan Vektor

– Perkalian Titik (Dot Product) Dua buah Vektor

– Perkalian Silang (Cross Product) Dua buah Vektor


Perkalian Skalar dengan Vektor

Hasil kali besaran skalar dengan besaran vektor adalah besaran vektor

Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai besaran skalar dengan nilai besaran vektornya.

Arah vektor hasil sama dengan arah besaran vektornya.

Contoh:

Vektor gaya F yang besarnya 5 Newton dilukiskan sebagai anak panah ke kanan sepanjang 2 cm. Maka vektor gaya F’ = 2 F berupa anak panah ke kanan dengan panjang 4 cm

FF’ = 2 x F


Perkalian Titik (Dot Product) Dua Vektor

Hasil kali titik dua besaran vektor adalah besaran skalar

Besar hasil kali titik tersebut sama dengan hasil kali nilai kedua vektor dikalikan cosinus sudut yang diapit kedua vektor tersebut.

A

B

Jika hasil kali titik vektor A dengan vektor B adalah C,

C = A • B

maka C adalah besaran skalar yang nilainya

C = A B cos


Seorang anak menarik mobil mainan dengan gaya sebesar 15 Newton. Tali penarik mobil mainan membentuk sudut 300 terhadap tanah. Berapa usaha yang dilakukan anak tersebut, jika mobil mainan itu berpindah sejauh 30 m?

Contoh:

s

F

W = F • s

= F s cos = 15 x 30 x ½3= 2253 joule


D

Perkalian Silang (Cross Product) Dua VektorHasil kali silang dua besaran vektor adalah besaran vektor

C

A

B

A

B

Arah vektor hasil mengikuti aturan putaran sekrup.

C = A x B D = B x A

Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai kedua vektor dikalikan sinus sudut yang diapit kedua vektor tersebut.

C = D = A B sin

Meskipun besar vektor C = besar vektor D, tetapi kedua vektor tidak sama, melainkan berlawanan arah.

C = - D

Jadi pada operasi cross product ini tidak berlaku hukum komutatif.

A x B ≠ B x A


Contoh:

Di dalam medan magnet B (besarnya 0,25 tesla) yang arahnya ke atas, sebuah proton bergerak dengan kecepatan v (besarnya 4x106 m/s) ke selatan . Tentukan besar dan lukis arah gaya Lorentz yang dialami proton tersebut. (muatan proton 1,6x10-19 coulomb)

vB

Selatan

Barat

Atas

F = q ( v x B )

Besar gaya Lorentz F:

F = q v B sin = 1,6x10-19 x 4x106 x 0,25 x 1

= 1,6x10-13 newton

Arah gaya Lorentz F:

Ke Barat

Selatan

Barat

Atas

v

B

F

v

B


Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan.

Vektor satuan yang searah sumbu x disebut i

Vektor satuan yang searah sumbu y disebut j

Vektor satuan yang searah sumbu z disebut k

x

y

z

i

j

k


Vektor Satuan

Setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan.

Misal kita memiliki vektor :

v = 3 i + 4 jVektor tersebut memiliki

- komponen pada sumbu x sebesar 3 satuan

vx = v cos = 3 satuan

- komponen pada sumbu y sebesar 4 satuan

vy = v sin = 4 satuan

Sehingga besar vektor v tersebut

v = vx2 + vy

2 = 5 satuan

Dan arah vektor terhadap sumbu x sebesar

= tan-1(vy / vx)

x

y

vx

vy

v


Vektor Satuan

Secara umum dapat dituliskan:

v = vx i + vy j

vx = v cos = komponen vektor pd sumbu x

vy = v sin = komponen vektor pd sumbu y

Besar vektor

v = vx2 + vy

2

Arah vektor terhadap sumbu x

= tan-1(vy / vx)x

y

vx

vy

v


Vektor Satuan

Dalam bentuk tiga dimensi:

v = vx i + vy j + vz k

vx = komponen vektor pd sumbu x

vy = komponen vektor pd sumbu y

vz = komponen vektor pd sumbu z

Besar vektor

v = vx2 + vy

2 + vz2

x

y

z

vx

vy

Vz

v


Operasi Penjumlahan pada Vektor Satuan

Diketahui dua buah vektor

A = Ax i + Ay j B = Bx i + By j

Jika C adalah resultan vektor A dengan vektor B, maka

C = A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j

2yByA

2xBxAC ÷

÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ +++=

Besar vektor C adalah

xBxAyByA1tanα

Arah vektor C adalah


ContohDiketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan

Q = -2 i + 4 j. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.

R = P + Q

R = (5 - 2) i + (1 + 4) j

= 3 i + 5 j

Besar vektor R adalah

R = (32 + 52)

= 34 satuan

Arah vektor R adalah

= tan-1(5/3)

Jawab

P

Q

x

y

R


Perkalian Vektor Satuan

Perkalian Titik (menghasilkan skalar)

i • i = 1x1xcos 00 = 1 i • j = 1x1xcos 900

= 0

j • j = 1x1xcos 00 = 1 j • i = 1x1xcos 900

= 0

k•k = 1x1xcos 00 = 1 i •k = 1x1xcos 900

= 0

dst

x+-ij

y -z+

x -

y+

z -

k

i-k

-j

Perkalian Silang (menghasilkan vektor satuan)

i x i = 0 i x j = k j x i = -k

j x j = 0 j x k = i k x j = -i

kxk = 0 k x i = j i x k = -j


Perkalian Titik Dua Vektor

Diketahui dua buah vektor


Perkalian titik dua buah vektor menghasilkan skalar.

Jika C adalah hasil kali titik vektor A dengan vektor B, maka

C = A • B = (Ax i + Ay j) • (Bx i + By j)

= (Ax i • Bx i) + (Ax i • Byj) + (Ay j • Bxi) + (Ay j • Byj)

= (Ax Bx) + 0 + 0 + (Ay By)

C = (Ax Bx) + (Ay By)



Q = -2 i + 4 j. Tentukan: a) hasil kali titik kedua vektor, b) sudut antara kedua vektor tersebut

P.Q = PxQx + PyQy

= (5.(-2))+(1.4)

= -6 ...........................(1)

Jawab

P.Q = P.Q.cos P = (52 + 12) = 26Q = (-2)2 + 42) = 20

P.Q = (26) (20).cos

= (520) cos ........... (2)

Dari (1) dan (2), diperoleh

-6 = (520).cos cos = -6/(520)

= cos-1 -5/(26)


Perkalian Silang Dua VektorDiketahui dua buah vektor


Perkalian Silang dua buah vektor menghasilkan vektor.

C = A x B = (Ax i + Ay j) x (Bx i + By j)

= (Ax i x Bx i) + (Ax i x Byj) + (Ay j x Bxi) + (Ay j x Byj)

= 0 + (Ax By) k + (Bx Ay) -k + 0

C = {(Ax By) - (Ay Bx)} k

Besar C adalah

C = (Ax By) - (Ay Bx)

Arah vektor C sejajar vektor satuan k atau sumbu z



Q = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah hasil kali silang kedua vektor itu

PxQ = (PxQy – PyQx) k

= {(5.4)-(1.(-2)} k

= 22 k

Jawab

Jadi vektor hasilnya sebesar 22 satuan dengan arah ke sumbu z positif


Vektor Posisi

Vektor Posisi adalah vektor untuk menyatakan posisi sebuah titik di dalam ruang.

Sebuah titik P berada di dalam ruang dengan koordinat (x,y,z)

Vektor Posisi titik P tersebut dituliskan:

r = x i + y j + z k

x+

z+

y+

z x

y

r•P


Vektor Posisi

x+

z+

y+

z1x1

y1

•Pr1

y2

x2

z2

r2

Jika sebuah titik berpindah dari posisi

r1 = x1 i + y1 j + z1 k

menuju

r2 = x2 i + y2 j + z2 k

Maka vektor perpindahan titik tersebut:

r = r2 - r1

= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)kr


ContohSebuah partikel berada pada titik A dengan vektor posisi rA = 5 i + j. Kemudian partikel tersebut bergerak ke titik B yang vektor posisinya rB = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah perpindahan partikel tersebut

r = rB - rA

= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j

= (-2 - 5)i + (4 - 1)j

= -7 i + 3 j

Jawab

Besar perpindahan partikel

r = (-7)2 + 32 = 58 satuan

Arah perpindahan (terhadap sumbu x)

= tan-1(3 / -7)

pengantar vektor

Documents