ma1101 matematika 1a - wordpress.com
TRANSCRIPT
![Page 1: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2019/2020
20 November 2019
![Page 2: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/2.jpg)
Sasaran Kuliah Hari Ini
6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial
- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
6.6 Fungsi Trigonometri Invers
- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).
11/20/2019 2(c) Hendra Gunawan
![Page 3: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/3.jpg)
6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHANEKSPONENSIAL
MA1101 MATEMATIKA 1A
11/20/2019
- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
3(c) Hendra Gunawan
![Page 4: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/4.jpg)
Pertumbuhan Eksponensial
Misalkan pertambahan suatu populasi sebesar∆y dalam waktu ∆t, sebanding dengan banyak-nya penduduk pada waktu itu dan dengan lebarselang waktu ∆t, yakni
∆y = k y ∆t.
Dalam hal ini
11/20/2019
Δ 0
Δlim
Δ
.
t
dy yky
dt t
dyk dt
y
4(c) Hendra Gunawan
![Page 5: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/5.jpg)
Integralkan kedua ruas, kita peroleh
Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y0 = Ae0 = A, sehingga
y = y0 ekt.
Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyaiinformasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktumelipat ganda = 10 satuan waktu).11/20/2019
ktCkt Aeey
Ckty
ln
5(c) Hendra Gunawan
![Page 6: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh
Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biakdengan laju sebanding dengan banyaknya bak-teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatanterdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hariterdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknyabakteri setelah 25 hari?
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyabakteri pada saat t. Maka (seperti tadi)
11/20/2019
ktAeykydt
dy
6(c) Hendra Gunawan
![Page 7: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/7.jpg)
Pada saat t = 0, diketahui y = 10.000. Jadi
10.000 = A.e0 = A,
sehingga y = 10.000ekt.
Pada saat t = 10, diketahui y = 24.000. Jadi
24.000 = 10.000e10k,
sehingga
Pada saat t =25,
11/20/2019
.4,2ln
4,2ln10
4,2
101
10
k
k
e k
7(c) Hendra Gunawan
.)4,2(000.10000.10 5,24,2ln)5,2( ey
![Page 8: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/8.jpg)
Peluruhan Eksponensial
Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhaneksponensial terjadi pada zat radioaktif.
Zat radioaktif meluruh dengan laju sebandingdengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu.
Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang tersisa pada saat t, maka
11/20/2019 8(c) Hendra Gunawan
)0(; kAeykydt
dy kt
![Page 9: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/9.jpg)
Latihan
Misalkan suatu zat radioaktif meluruh denganlaju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng-amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahuntersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb.
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyazat pada saat t. Maka …
11/20/2019 9(c) Hendra Gunawan
![Page 10: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/10.jpg)
Hukum Pendinginan Newton
Suatu objek dgn suhu awal T0 dimasukkan kedalam ruangan dgn suhu ruang T1 (konstan).
Jika T0 > T1, maka suhu benda akan turun dgn lajusebanding dgn selisih suhunya dgn suhu ruang.
Jika diketahui setelah 10 menit, suhu bendaturun menjadi (T0+T1)/2, berapa suhu benda tsbsetelah t menit?
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 10
![Page 11: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/11.jpg)
Hukum Pendinginan Newton
Jawab: Misal T = T(t) menyatakan suhu bendatsb setelah t menit. Maka
dT/dt = k(T – T1) atau dT/(T – T1) = k dt.
Integralkan kedua ruas, kita peroleh
ln(T – T1) = kt + C,
sehingga T = T1 + Aekt.
Nilai A dan k dapat dicari dari informasi suhuawal dan suhu pd saat t = 10.
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 11
![Page 12: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/12.jpg)
6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSMA1101 MATEMATIKA 1A
11/20/2019
- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).
12(c) Hendra Gunawan
![Page 13: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi y = sin x naik pada [-π/2, π/2], karena itumempunyai invers x = sin-1 y pada [-1, 1].
x = sin-1 y j.h.j. y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2.
Fungsi y = cos x turun pada [0, π], karena itumempunyai invers x = cos-1 y pada [-1, 1].
x = cos-1 y j.h.j. y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
11/20/2019 13(c) Hendra Gunawan
![Page 14: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi y = tan x naik pada (-π/2, π/2), karena itumempunyai invers x = tan-1 y pada (-∞, ∞).
x = tan-1 y j.h.j. y = tan x, -π/2 < x < π/2.
Fungsi y = sec x 1-1 pada [0, π] – π/2, karena itumempunyai invers x = sec-1 y pada {y : |y| > 1}.
x = sec-1 y j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.
11/20/2019 14(c) Hendra Gunawan
![Page 15: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/15.jpg)
Grafik Fungsi Trigonometri Invers
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 15
1
-1
1-1 x
y
y = sin x
y = sin-1 x
![Page 16: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh
11/20/2019
.)1(sec
4)1(tan
3)(cos
4)2(sin
1
1
211
211
16(c) Hendra Gunawan
![Page 17: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/17.jpg)
Beberapa Kesamaan
11/20/2019
)1:;1:(
1)tan(sec
1)sec(tan
1)cos(sin
1)sin(cos
21
21
21
21
xjikaxjika
xx
xx
xx
xx
17(c) Hendra Gunawan
![Page 18: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh
11/20/2019
.9
54
3
2.)(12
)cos(cos)sin(cos2)cos2sin(.1
2
32
321
321
321
18(c) Hendra Gunawan
.1)cos(sin
)sin(sin)tan(sin.2
21
11
x
x
x
xx
![Page 19: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/19.jpg)
Turunan Fungsi Trigonometri Invers
11/20/2019 19(c) Hendra Gunawan
1||,1||
1sec
,1
1tan
11,1
1cos
11,1
1sin
2
1
2
1
2
1
2
1
xxx
xdx
d
xx
xdx
d
xx
xdx
d
xx
xdx
d
![Page 20: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/20.jpg)
Bukti bahwa
Misal y = sin-1 x. Maka x = sin y. Turunkan keduaruas secara implisit terhadap x, diperoleh
1 = cos y.(dy/dx).
Jadi
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 20
2
1
1
1sin
xx
dx
d
.1
1
cos
1
2xydx
dy
![Page 21: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/21.jpg)
Integral yang Menghasilkan FungsiTrigonometri Invers
11/20/2019 21(c) Hendra Gunawan
Cxdxxx
Cxdxx
DxCxdxx
||sec1
1
tan1
1
cossin1
1
1
2
1
2
11
2
![Page 22: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh
Hitung
Jawab:
11/20/2019
.1
11
1
2
dx
x
22(c) Hendra Gunawan
.2
)4
(4
)1(tan)1(tantan1
1 111
1
1
1
1
2
xdxx
![Page 23: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/23.jpg)
Latihan
Seseorang yg tingginya ~1,60 mberdiri di tepi atas tebing, melihatke laut yang berada ~18,40 m dibawahnya. Pada saat itu terdapatperahu yang menjauhi tebingdengan laju 5 m/det. Bila θmenyatakan besar sudut pandang-nya (terhadap garis horisontal), berapakah besarnya laju perubahanθ terhadap waktu, pada saatperahu tsb berjarak 50 m daritebing?11/20/2019 23(c) Hendra Gunawan
θ
![Page 24: MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com](https://reader030.vdokumen.com/reader030/viewer/2022012504/617f0ac939d8503db77e3559/html5/thumbnails/24.jpg)
Sepeda Beroda Persegi
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 24
DapatkahAnda
menentukanpersamaan
lintasannya?