ma1101 m3-1 11-09-13

MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/201411 September 2013

Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)

1 Buktikan bahwa (sdh dibahas)1)52(lim x1. Buktikan bahwa (sdh dibahas)

2. Buktikan bahwa

k ik b h b h k4li 2.2lim

4

x

x

.1)52(lim3

xx

3. Buktikan bahwa bahas sekarang.4lim 2

2

x

x

9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 2

Bukti bahwa .4lim 2

2

x

x

Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencariδ > 0 sehingga:δ > 0 sehingga:

jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*)

k k b k d d b kUntuk itu, kita bekerja mundur dari bentuk

|x2 – 4|.

Perhatikan bahwa

|x2 – 4| = |x + 2||x – 2|≤ (|x|+2)|x – 2| (+)|x 4| = |x + 2||x 2|≤ (|x|+2)|x 2| … (+)

Jika kita bisa menaksir |x|, maka tugas kitaakan mudahakan mudah.9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 3

Bukti bahwa .4lim 2

2

x

xKarena kita sedang berbicara ttg x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1.

Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga |x| < 3. Kembali ke (+), kita dapatkan: ( ), p

|x2 – 4| < 5|x – 2|.

Jadi jika |x 2|< ε/5 maka |x2 4| < εJadi, jika |x – 2|< ε/5, maka |x2 – 4| < ε.

Dengan demikian ada dua hal yang menjamin| 2 4| it | 2| 1 d | 2| /5|x2 – 4| < ε, yaitu: |x – 2| < 1 dan |x – 2| < ε/5.

Karena itu, kita pilih δ = min { 1, ε/5}. Dengan δini, dapat diperiksa bahwa (*) benar. 9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 4

Ilustrasi LimitIlustrasi Limit

L+ε

L

L–ε

c c+δc–δ


Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

1 3 Teorema‐Teorema Limit1.3 Teorema Teorema Limit

Menggunakan teorema‐teorema limit dalampenghitungan berbagai limit fungsi aljabarpenghitungan berbagai limit fungsi aljabar.

1.4 Limit Fungsi Trigonometri

Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.

9/13/2013 6(c) Hendra Gunawan

1.3 TEOREMA‐TEOREMA LIMITMA1101 MATEMATIKA 1A

1.3 TEOREMA TEOREMA LIMIT


Teorema Utama Limit Catatan. TeoremaTeorema Utama Limit

Misalkan k konstanta n є N f dan g

merupakan suatupernyataan yang dapat dibuktikanMisalkan k konstanta, n є N, f dan g

fungsi yang mempunyai limit di c.

1 lim kk

dapat dibuktikankebenarannya, dankemudian dapat

1.

2

.lim kkcx

digunakan sebagai“senjata” kita dlmpemecahanlim cx 2.

3. ).(lim)(lim xfkxkf

pmasalah terkait.

.lim cxcx

3.

4.

).(lim)(lim xfkxkfcxcx

).(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf


)()()]()([ gfgfcxcxcx

Teorema Utama LimitTeorema Utama Limit

5. ).(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

6.

)()()()( gfgfcxcxcx

),(lim/)(lim)(/)(lim xgxfxgxf .0)(lim xg

7.

cxcxcx cx

.)](lim[)]([lim nn xfxf

8. asalkan

cxcx

,)(lim)(lim ncx

ncx

xfxf

0)(lim

xfcx

untuk n genap.

Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak

cxcx cx

Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak(limit kanan dan limit kiri).9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 9

Contoh Penggunaan Teorema LimitContoh Penggunaan Teorema Limit

1 7limlim5)(lim2)752(lim 33 xxxx1.

.071.51.2

7limlim5)(lim2)752(lim

3

1111

xxxx

xxxx

.07.5.

5lim)lim(5lim5222 xx

2. 1limlim

5lim)lim(

)1(lim

5lim

15lim

22

22

2

22

2

xx

xx

x

x

x x

x

x

x

xx

.139

12522

222

xxx


312

Contoh Penggunaan Teorema LimitContoh Penggunaan Teorema Limit

3 Diketahui dan3)(lim xf 8)(lim xg3. Diketahui dan . Tentukan

3)(lim1

xfx

8)(lim1

xgx

.)()(lim 32

1xgxf

Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,

1x

)(lim))(lim()()(lim 31

2

132

1

xgxfxgxf

xxx

.1883 32


Teorema SubstitusiTeorema Substitusi

Jika f adalah fungsi polinom atau fungsiJika f adalah fungsi polinom atau fungsirasional, maka

)()(lim cfxf

asalkan f(c) terdefinisi.

)()( ffcx

Contoh 1. .071.51.2)752(lim 33 xx

Contoh 2.

)(1x

.26222lim22

x

Contoh 2.


31212 xx

Teorema ApitTeorema Apit

Misalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhiMisalkan f, g, dan h fungsi yang memenuhif(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk x di sekitar c Jikauntuk x di sekitar c. Jika

M k,)(lim)(lim Lxhxf

cxcx

Maka cxcx

.)(lim Lxgcx

Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 13

Contoh Penggunaan Teorema ApitContoh Penggunaan Teorema Apit

Untuk x > 0 di dekat 0 berlakuUntuk x > 0 di dekat 0, berlaku

‐1 ≤ sin(1/x) ≤ 1.

il ki k lik k i d kBila kita kalikan ketiga ruas dengan x, maka

‐x ≤ x.sin(1/x) ≤ x.

Karena maka,0lim)(lim00

xx

xx

0sinlim 1x

Dengan cara serupa,

.0sinlim 1

0

xxx

.0sinlim 1 xDengan cara serupa,


.0sinlim0 xx

x

LatihanLatihan

1. Menggunakan teorema limit, hitunglah:gg , ga. . )4(lim 13

1 xxxx

4

b. .11lim 2

4

3

xx

x

Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai.

2. Buktikan bahwa .0coslim 12

0

xxx

9/13/2013 15(c) Hendra Gunawan

1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMA1101 MATEMATIKA 1A

1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI


Limit Fungsi TrigonometriLimit Fungsi Trigonometri

cxcx

sinsinlim.1

cxcx

coscoslim.2

cxcx

tantanlim.3

cxcx

cotcotlim.4 cx cx

cx secseclim.5 cx csccsclim.6 cx cx


Bukti bahwa cx sinsinlim Bukti bahwa

Untuk t > 0 berlaku 0<|BP|<|AP|

cxcx

sinsinlim

Untuk t > 0, berlaku 0<|BP|<|AP|.

Karena |BP| = sin t dan |AP| < t, maka 0 < sin t < t

P

1

maka 0 < sin t < t.

Dengan Teorema Apit,AO B

t

0ili tSerupa dengan itu,

.0sinlim0

tt

.0sinlim tp g ,

Jadi0t

.0sinlim0

tt

Dengan cara ser pa dapat dib ktikan 1coslim t9/13/2013 (c) Hendra Gunawan 18

Dengan cara serupa, dapat dibuktikan .1coslim0

tt

Bukti bahwa cx sinsinlim Bukti bahwa

Untuk menunjukkan bahwa

cxcx

sinsinlim

,sinsinlim ct j

misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi

,ct

Jadi)sin(limsinlim

0kct

kct

)sin.coscos.(sinlim0

kckck

.sin0).(cos1).(sin

ccc


.s

Limit Trigonometri KhususLimit Trigonometri Khusus

1sinlim1 t 0cos1lim2

t

Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa

.1lim.10

tt

.0lim.20

tt

Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwauntuk t ≠ 0, berlaku

1sin t .

coscos

ttt

Karena , maka dengan Teorema Apitkita simpulkan bahwa

1coslim0

tt

1sinlim t


.1lim0

tt

LatihanLatihan

1 Menggunakan fakta bahwa 1sinlim t

1. Menggunakan fakta bahwahitunglah:

,1lim0 tt

xx 2 )2sin(a. b. tt

t2cot.sinlim

0 xxxx

x

20 2)2sin(lim

1 t2. Buktikan bahwa .0cos1lim

0

t

tt


ma1101 m3-1 11-09-13

Documents