Download - MA1101 MATEMATIKA 1A - WordPress.com
MA1101 MATEMATIKA 1A
Hendra GunawanSemester I, 2019/2020
20 November 2019
Sasaran Kuliah Hari Ini
6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial
- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
6.6 Fungsi Trigonometri Invers
- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).
11/20/2019 2(c) Hendra Gunawan
6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHANEKSPONENSIAL
MA1101 MATEMATIKA 1A
11/20/2019
- Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan danpeluruhan eksponensial.
3(c) Hendra Gunawan
Pertumbuhan Eksponensial
Misalkan pertambahan suatu populasi sebesar∆y dalam waktu ∆t, sebanding dengan banyak-nya penduduk pada waktu itu dan dengan lebarselang waktu ∆t, yakni
∆y = k y ∆t.
Dalam hal ini
11/20/2019
Δ 0
Δlim
Δ
.
t
dy yky
dt t
dyk dt
y
4(c) Hendra Gunawan
Integralkan kedua ruas, kita peroleh
Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y0 = Ae0 = A, sehingga
y = y0 ekt.
Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyaiinformasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktumelipat ganda = 10 satuan waktu).11/20/2019
ktCkt Aeey
Ckty
ln
5(c) Hendra Gunawan
Contoh
Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biakdengan laju sebanding dengan banyaknya bak-teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatanterdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hariterdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknyabakteri setelah 25 hari?
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyabakteri pada saat t. Maka (seperti tadi)
11/20/2019
ktAeykydt
dy
6(c) Hendra Gunawan
Pada saat t = 0, diketahui y = 10.000. Jadi
10.000 = A.e0 = A,
sehingga y = 10.000ekt.
Pada saat t = 10, diketahui y = 24.000. Jadi
24.000 = 10.000e10k,
sehingga
Pada saat t =25,
11/20/2019
.4,2ln
4,2ln10
4,2
101
10
k
k
e k
7(c) Hendra Gunawan
.)4,2(000.10000.10 5,24,2ln)5,2( ey
Peluruhan Eksponensial
Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhaneksponensial terjadi pada zat radioaktif.
Zat radioaktif meluruh dengan laju sebandingdengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu.
Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang tersisa pada saat t, maka
11/20/2019 8(c) Hendra Gunawan
)0(; kAeykydt
dy kt
Latihan
Misalkan suatu zat radioaktif meluruh denganlaju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng-amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahuntersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb.
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknyazat pada saat t. Maka …
11/20/2019 9(c) Hendra Gunawan
Hukum Pendinginan Newton
Suatu objek dgn suhu awal T0 dimasukkan kedalam ruangan dgn suhu ruang T1 (konstan).
Jika T0 > T1, maka suhu benda akan turun dgn lajusebanding dgn selisih suhunya dgn suhu ruang.
Jika diketahui setelah 10 menit, suhu bendaturun menjadi (T0+T1)/2, berapa suhu benda tsbsetelah t menit?
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 10
Hukum Pendinginan Newton
Jawab: Misal T = T(t) menyatakan suhu bendatsb setelah t menit. Maka
dT/dt = k(T – T1) atau dT/(T – T1) = k dt.
Integralkan kedua ruas, kita peroleh
ln(T – T1) = kt + C,
sehingga T = T1 + Aekt.
Nilai A dan k dapat dicari dari informasi suhuawal dan suhu pd saat t = 10.
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 11
6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERSMA1101 MATEMATIKA 1A
11/20/2019
- Menentukan turunan fungsi trigonometriinvers (dan integral yang bersesuaian).
12(c) Hendra Gunawan
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi y = sin x naik pada [-π/2, π/2], karena itumempunyai invers x = sin-1 y pada [-1, 1].
x = sin-1 y j.h.j. y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2.
Fungsi y = cos x turun pada [0, π], karena itumempunyai invers x = cos-1 y pada [-1, 1].
x = cos-1 y j.h.j. y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
11/20/2019 13(c) Hendra Gunawan
Fungsi Trigonometri Invers
Fungsi y = tan x naik pada (-π/2, π/2), karena itumempunyai invers x = tan-1 y pada (-∞, ∞).
x = tan-1 y j.h.j. y = tan x, -π/2 < x < π/2.
Fungsi y = sec x 1-1 pada [0, π] – π/2, karena itumempunyai invers x = sec-1 y pada {y : |y| > 1}.
x = sec-1 y j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.
11/20/2019 14(c) Hendra Gunawan
Grafik Fungsi Trigonometri Invers
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 15
1
-1
1-1 x
y
y = sin x
y = sin-1 x
Contoh
11/20/2019
.)1(sec
4)1(tan
3)(cos
4)2(sin
1
1
211
211
16(c) Hendra Gunawan
Beberapa Kesamaan
11/20/2019
)1:;1:(
1)tan(sec
1)sec(tan
1)cos(sin
1)sin(cos
21
21
21
21
xjikaxjika
xx
xx
xx
xx
17(c) Hendra Gunawan
Contoh
11/20/2019
.9
54
3
2.)(12
)cos(cos)sin(cos2)cos2sin(.1
2
32
321
321
321
18(c) Hendra Gunawan
.1)cos(sin
)sin(sin)tan(sin.2
21
11
x
x
x
xx
Turunan Fungsi Trigonometri Invers
11/20/2019 19(c) Hendra Gunawan
1||,1||
1sec
,1
1tan
11,1
1cos
11,1
1sin
2
1
2
1
2
1
2
1
xxx
xdx
d
xx
xdx
d
xx
xdx
d
xx
xdx
d
Bukti bahwa
Misal y = sin-1 x. Maka x = sin y. Turunkan keduaruas secara implisit terhadap x, diperoleh
1 = cos y.(dy/dx).
Jadi
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 20
2
1
1
1sin
xx
dx
d
.1
1
cos
1
2xydx
dy
Integral yang Menghasilkan FungsiTrigonometri Invers
11/20/2019 21(c) Hendra Gunawan
Cxdxxx
Cxdxx
DxCxdxx
||sec1
1
tan1
1
cossin1
1
1
2
1
2
11
2
Contoh
Hitung
Jawab:
11/20/2019
.1
11
1
2
dx
x
22(c) Hendra Gunawan
.2
)4
(4
)1(tan)1(tantan1
1 111
1
1
1
1
2
xdxx
Latihan
Seseorang yg tingginya ~1,60 mberdiri di tepi atas tebing, melihatke laut yang berada ~18,40 m dibawahnya. Pada saat itu terdapatperahu yang menjauhi tebingdengan laju 5 m/det. Bila θmenyatakan besar sudut pandang-nya (terhadap garis horisontal), berapakah besarnya laju perubahanθ terhadap waktu, pada saatperahu tsb berjarak 50 m daritebing?11/20/2019 23(c) Hendra Gunawan
θ
Sepeda Beroda Persegi
11/20/2019 (c) Hendra Gunawan 24
DapatkahAnda
menentukanpersamaan
lintasannya?