lingkaran

1

Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1

O

D E F I N I S I Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya . Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran.

A . PERSAMAAN LINGKARAN A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah :

222 ryx

A . 2 . Pusat Titik P ( , ) dan Jari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik

P ( , ) dan berjari-jari r adalah :

22)(

2)( ryx

A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : 022 CyBxAyx ,

dengan pusat di titik : )2

1,

2

1( BA , dan jari-jarinya adalah : CBAr 22

4

1

4

1

y

O

(

x

r

O

P ( ,

)

x

y

2




Titik terletak pada lingkaran L

, jika :

CONTOH

JAWAB

1 . Tentukan persamaan dengan syarat : a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan .

b . Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3

2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :

a . 24)9( 22 yx

b . 054822 yxyx

1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : 2522 yx

b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah :

3)2()6( 22 yx

2. a . Lingkaran dengan persamaan 24)9( 22 yx

berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 62 .

b. Lingkaran dengan persamaan : 054822 yxyx

berpusat di ))4(2

1,8

2

1( )2,4( .

Panjang jari-jarinya = )5()4(4

18

4

1 22 5255416

B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

Diketahui lingkaran L ≡ 2),( ryxf dan titik ),( baA .

Ada tiga kemungkinan posisi titik ),( baA terhadap lingkaran L ≡ 2),( ryxf , yaitu :

Titik ),( baA terletak di dalam lingkaran L ,

jika : 2),( rbaf

Titik ),( baA terletak di luar lingkaran L ,

jika : 2),( rbaf

Jarak Titik Terhadap Garis

Jarak titik P ( m , n ) terhadap garis A x + B y + C = 0 , adalah :

Info :

P ( m , n )

A x + B y + C = 0

3




CONTOH

JAWAB

1 . Tentukan posisi dari :

a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran 4922 yx

b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran 90)5()9( 22 yx

c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran 0210622 yxyx

2 . Tentukan persamaan lingkaran : a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9. b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ).

1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran 4922 yx , karena : 492543 22

b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran 90)5()9( 22 yx ,

karena : 90981)52()90( 22

c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran 0210622 yxyx , karena :

01762904281492)9(.107.6)9(7 22

2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9, dapat ditentukan dengan cara sbb : Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :

17

17

17

14

926.4

22

Jr

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,

adalah : 172622 yx .

b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan dengan cara sbb :

Bentuk umum persamaan lingkaran : 022 CByAxyx

Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh : 02.3.2322 CBA

1323 CBA …………. 1)

Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 03.6.36 22 CBA 4536 CBA …………. 2)

Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh : 06.4.6422 CBA

5264 CBA …………. 3)

Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 .

Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : 05451922 yxyx

1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :

a. 5422 yx

b. 1212)1(2)12( yx

c. 64)22()8( 22 yx

d. 32)1( 22 yx

e. 72)16( 22 yx

f. 04914822 yxyx

4




g. 06512322424 yxyx

h. 0261022 yxyx

i. 05616422 yxyx

j. 010982222 yxyx

k. 055122022 yxyx

l. 0336242822 yxyx

m. 0391422 xyx

n. 01072448216216 yxyx

2. Tentukan persamaan lingkaran berikut :

a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 73

b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13

c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x.

d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y. e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8 f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ).

3. Diketahui lingkaran 16922 yx .

Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :

a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 )

4. Diketahui lingkaran 1702)8(2)3( yx .


a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 )

5. Diketahui lingkaran 09681222 yxyx .


a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 ) 6. Tentukan persamaan lingkaran berikut :

a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 )

b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran 492)7(2)5( yx

C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran : 1 . Garis tidak

memotong lingkaran.

2 . Garis menyinggung lingkaran

3 . Garis memotong

lingkaran di dua titik.

C. 1. Garis Singgung Bergradien m.

Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran 222 ryx ,

adalah :

12 mrxmy

5




JAWAB

CONTOH

Garis singgung pada lingkaran tegaklurus pada jari-jari yang melalui titik singgungnya.

Info :

Jika diketahui dua buah garis g dan l , dengan persamaan garis : g ≡ y = m1 x + C1 , dan

l ≡ y = m2 x + C2 , maka :

1. Garis g sejajar l , jika : m1 = m2

2. Garis g tegaklurus l , jika : m1 × m2 = −1

Info :

Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran 22)(2)( ryx , adalah :

1)( 2 mrxmy

Tentukan persamaan garis singgung :

1 . pada lingkaran 922 yx dengan gradien

−2.

2 . pada lingkaran 362)6(2)2( yx

dengan gradien 3 .

3 . pada lingkaran 03004022 xyx

dengan gradien 3

2.

1. Persamaan garis singgung pada lingkaran

922 yx yang bergradien 2 adalah :

1)2(3)2(

1

2

2

xy

mrxmy

532 xy atau 532 xy

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran

362)6(2)2( yx yang bergradien 3

adalah :

612105

12)2(56136)2(562

xy

xyxy

285 xy atau 45 xy

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 03004022 xyx yang bergradien 3

2 adalah :

Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 1010030004

1400

4

1

53

10

3

40

3

2

9

1410

3

40

3

2

13

210)20(

3

22

xy

xy

xy

53

10

3

40

3

2 xy atau

53

10

3

40

3

2 xy

6




Kaidah Membagi Adil : Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik ( x1 , y1 ). Penerapannya dengan

cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sbb : x 2 diubah menjadi x1 x

y 2 diubah menjadi y1 y

( x − A ) 2 diubah menjadi (x1 − A ) ( x − A )

( y − B ) 2 diubah menjadi (y1 − B ) ( y − B )

x diubah menjadi ½ ( x1 + x )

y diubah menjadi ½ ( y1 + y )

Info :

CONTOH

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :

1. 19622 yx , m = 4

2. 4422 yx , m = 11

3. 1622 yx , m = 2

1

4. 492)4(2)16( yx ,m = 3

5. 812)1(2)2( yx , m = 4

1

6. 502)7(2)6( yx , m = 2

7. 01561022 yxyx ,m= 15

8. 0161222 yxyx dengan m= 7

9. 1962)14(2)4( yx yang sejajar

dengan garis 82 yx

10. 922 yx dan tegak lurus terhadap

garis 273 yx

C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x

1 , y

1 )

Pada Lingkaran .

Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x1, y

1 )

pada lingkaran 222 ryx , adalah :

2.1.1 ryyxx

Persamaan garis singgung yang melalui titik (x

1 , y

1)

pada lingkaran 22)(2)( ryx

,adalah :

2)()1()()1( ryyxx

Persamaan garis singgung yang melalui titik (x

1 , y

1)

pada lingkaran 022 CyBxAyx , adalah :

0)(2

1)(

2

1.. 1111 CyyBxxAyyxx


1 . 9022 yx , di titik ( 9 , 3 )

2 . 682)18(2)4( yx di titik ( 12 , 16 )

3 . 04221422 yxyx di titik ( 5 , 3 )

( x1, y

1 )

7




JAWAB

CONTOH

1. Persamaan garis singgung pada lingkaran 9022 yx , di titik ( 9 , 3 ) , adalah :

90.1.1 yyxx

903)9( yx

9039 yx

303 yx

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran 682)18(2)4( yx di titik ( 12 , 16 ) , adalah :

68)()1()()1( yyxx

68)18()1816()4()412( yx

68)18(2)4(8 yx

68362328 yx

6428 yx

324 yx

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 04221422 yxyx di titik ( 5 , 3 ) , adalah :

042)3(22

1)5(14

2

13)5( yxyx

042)3()5(735 yxyx

042335735 yxyx

422 yx

C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y

1 ) di Luar Lingkaran

Jika titik ( x

1, y

1 ) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung

yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb :

Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik

( x1, y

1 ) , yaitu : 11 )( yxxmy

Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat dilakukan dengan dua macam cara, yaitu : CARA 1 :

Potongkan persamaan garis dengan lingkaran , kemudian bentuklah persamaan kuadrat dengan variabel x .

Tentukan nilai m dengan

menentukan nilai D = b 2 4 a c = 0 CARA 2 :

Titik ( x1, y

1 ) disubstitusikan ke

dalam persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m .

Nilai m yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan garis pada langkah pertama untuk memperoleh persamaan garis singgung yang dimaksud .

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2522 yx yang melalui titik ( 11 , 2 )

( x1, y

1 )

Persamaan Garis Lurus 1 . Melalui titik dan bergradien m :

2 . Melalui titik dan :

Info :

8




JAWAB

Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2522 yx yang melalui titik ( 11 , 2 )

Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : 211)11(2 mxmyxmy

Menentukan nilai gradien : CARA 1 :

Dipotongkan dengan lingkaran 2522 yx , diperoleh :

021442121)4222(2)12(252)211(2 mmxmmxmmxmx

Syarat D = cab 42 = 0

021442

960)21442

121()12

(42

)42

22( mmmmmmm

192

10044

192

1000044

m

24

7

192

56

192

10044

m atau

4

3

192

144

192

10044

m

Diperoleh : 24

7m atau

4

3m

CARA 2 : Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien

m pada lingkaran 2522 yx yaitu : 15 2 mxmy

Sehingga diperoleh :

15112 2 mm

15112 2 mm

)12

(252

)112( mm

252

252

121444 mmm

021442

96 mm

24

7 m atau

4

3m .

Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan 211 mxmy

Untuk 24

7m diperoleh garis singgung

24

125

24

7 xy

Untuk 4

3m diperoleh garis singgung

4

25

4

3 xy


1. 6522 yx di titik ( 7 , 4 )

2. 732)10(2)6( yx di titik ( 2 , 7 )

3. 202)2(2)8( yx di titik ( 6 , 2 )

4. 182)7(2)11( yx di titik ( 9 , 4 )

5. 322)4(2)5( yx di titik ( 1 , 8 )

9




6. 05018622 yxyx di titik ( 3 , 11 )

7. 07612422 yxyx di titik ( 8 , 2 )

8. 026322422 yxyx di titik ( 8 , 20 )

9. 16922 yx melalui titik ( 7 , 17 )

10. 8022 yx melalui titik ( 10 , 0 )

lingkaran

Education