1PEMANFAATAN BLOK PECAHAN DALAM PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN PECAHAN DI KELAS III SD Kitasadaribersamabahwamatapelajaranmatematikamerupakansalahsatumata pelajaranyangkurangdisukaianak.Halinisangatdisadaripulaolehguru.Namun demikianmasihbanyakguruyangbelumsecaramaksimalmencariupayaagar keadaan demikian dapat berkurang atau bahkan berubah.Untuk mengurangikeadaan tersebut,PPPPTKMatematikabersama-samadenganDirektoratTK/SDdandunia usahatelahberupayamengembangkan43macamalatperagayangmenarikdan mudah digunakan, salah satunya adalah blok pecahan. PenggunaanalatperagadiyakinibermanfaatberdasarpernyataanBruner(dalam Orton,1992)yaituanakbelajarkonsepmatematikamelaluitigatahap:enactive, econic, dan simbolic.Sedangkan menurut Piaget (dalam Hudoyo, 1998) taraf berpikir anakseusiaSDadalahmasihkonkretoperasional,artinyauntukmemahamisuatu konsepanakmasihharusdiberikankegiatanyangberhubungandenganbendanyata ataukejadiannyatayangdapatditerimaakalmereka.DemikianpulaZ.P.Dienes (dalamHudoyo,1998)berpendapatbahwasetiapkonsepatauprinsipmatematika dapatdimengertisecarasempurnahanyajikapertama-tamadisajikankepadapeserta didik dalam bentuk konkret.

Suatufaktayangpatut direnungkandandisadarisepenuhnyauntukdilakukantindak lanjutsecaranyatabagisemuanyayangterlibatdiduniapendidikanbahwa: pengajaranmatematikaSDdenganmenggunakanalatperagadanmedialainnya secaratepatdibandingkandenganyangtanpamenggunakanadalah6berbanding1. Jadipenggunaanalatperagadanmedialainnyadalampembelajaranmatematika (khususnyadalam memberikan penanamankonsep) akan membawa hasil 6 kali lebih baikdanlebihcepatdibandingkandenganpengajarandrilltanpakonsep(Prof.Dr. Ruseffendi, M.Sc. pada Seminar Pengajaran Matematika SDlustrum Fak. MIPA ITB tahun 1991. Berdasar suatu hasil penelitian di Amerika Serikat). Pembelajaran penjumlahanpecahan merupakansalahsatu materiyang dianggap sulit oleh sebagian besar guru SD. Oleh karena itu, penggunaan peraga blok pecahan terasa sangat diperlukan dalam pembelajaran. Macam-macam blok pecahan

21 31 61 41 121 51 81 101 2Warnayangberbedapadablokpecahanuntukmemudahkananakmemahami perbedaannilaidaripecahanyangdiwakilinya.Alatperagablokpecahandapat digunakanuntukurutanpembelajaranpecahandikelasIII,IV,V,VISDdalam konsep materi: pecahan21,41,81, 31,61,121, 51,101 membandingkan pecahan pecahan senilai penjumlahan dan pengurangan pecahan Memperagakan penjumlahan pecahan 1.Penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama Contoh 1. 41 + 41= .

41+41 =42 = 4.... .... +

Contoh 2.31 + 31= .

31+ 31 = 32 =........ .... + Contoh 3. 62 + 63= .

62+63 = 65 = ........ .... + Kesimpulan Penjumlahan 2 pecahan berpenyebut sama dapat dilakukan dengan menjumlahkanpembilang dari kedua pecahan tersebut, sedangkan penyebutnya tetap.2.Penjumlahan pecahan yang berpenyebut tidak sama (beda penyebut) Pembelajaranpenjumlahanpecahanbedapenyebutdiawalidenganperagaan penjumlahan pecahan yang penyebut satu merupakan kelipatan dari penyebut yang lain. 3Contoh 1.41 + 21 = . Bila blok pecahan hijau langsung digabung dengan blok pecahan merah maka nilai pecahan yang diwakili belum tampak. Maka harus diubah yang sewarna.

41+21= 41+42=43 Contoh 2. 31 +63 = . 31 + 63 =62 +63= 65 Contoh 3. 41+83 = .

41+83=28+83=85 Kesimpulan Penjumlahanduapecahanberpenyebuttidaksamadansalahsatupenyebutnya merupakankelipatanpenyebutyanglain,dapatdilakukandenganmenyamakan penyebutnya terlebih dahulukemudian baru dijumlahkan Catatan Dengancarayangsamadapatdilakukanpenjumlahan2pecahanyang berpenyebuttidaksamadanpenyebutsatubukankelipatanpenyebutyanglain dengan menyesuaikantingkat kelas dan semester. diubah menjadi digabung diubah menjadi digabung diubah menjadi digabung 4Daftar pustaka Hudojo, H. 1998. Mengajar Belajar Matematika. Jakarta: Depdikbud. TimPPPPTKMatematika.2008.PetunjukPenggunaanAlatPeragaMatematika Untuk Guru. Yogyakarta: Empat Pilar. Bagaimana Cara Guru Matematika Membantu Siswanya Mempelajari Pernyataan Berkuantor Fadjar Shadiq, M.App.Sc(fadjar_p3g@yahoo.com & fadjarp3g.wordpress.com) Widyaiswara PPPPTK Matematika Kemampuan bernalar telah ditetapkan sebagai tujuan nomor 2 pelajaran matematika di SMA dan SMK (Depdiknas, 2006). Bagi setiap guru matematika, amanah tersebut harusditunaikandenganseluruhdayadankekuatanyangada.Secarakhusus, penalarandapatdipelajaridenganmempelajariLogikadansecaraumumdapat dipelajaridenganmempelajariMatematika,BahasaIndonesiaatauSains.Logika sendiri merupakan bagian dari matematika. Pembelajaran Logika di Bahasa Indonesia dikenal dengan Argumentasi. Keempat hal tersebut, yaitu: (1) penalaran, (2) logika, (3) argumentasi, dan 4) matematika sangatlah penting untuk kemajuan setiap bangsa di duniaini.Pernyataanberkuantormerupakansalahsatutopiklogikayangcukup penting;namunsebagiansiswamengalamikesulitanmempelajarinya;sehingga naskahberikutdiharapkandapatmembantuparagurumatematikamengatasi permasalahan tersebut. Pengertian Pernyataan Berkuantor Perhatikantigakalimatmatematikaberikut.ApayangAndaketahuitentang perbedaan dua kalimat ini? (1). 3 + 4 = 6 (2). x2 5x + 6 = 0, xA Kalimatnomor(1)jelasbernilaisalah,seharusnya3+4=7;sedangkankalimat nomor (2) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum peubah atau variabel x-nyadigantidengansalahsatuanggotasemestapembicaraannya.Karenanya, kalimatpertamadikategorikansebagaipernyataan.Pernyataansendirididefinisikan sebagaikalimatyangmemilikinilaibenarsajaatausalahsaja.Sedangkankalimat nomor(2)dikategorikansebagaikalimatterbuka,karenatidakmemenuhidefinisi tersebut di atas. Kalimat terbuka nomor (2) yaitu: x2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 dengansyaratxAakanbernilaibenarhanyajikapeubahnyadigantidenganx=2 atau x = 3. Artinya, hanya ada dua anggota bilangan asli A yang jika digantikan atau disubstitusikankekalimatterbukanomor(2)akanmenyebabkankalimatterbuka tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar. Perhatikan sekarang tiga kalimat di bawah ini yang didapat dari tiga kalimat nomor (2) di atas dengan penambahan kata-kata tertentu. (1) Untuk setiap bilangan asli x, berlaku x2 5x + 6 = 0. (2)Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga x2 5x + 6 = 0. (3)Tidak ada bilangan asli x, sedemikian sehingga x2 5x + 6 = 0. Kalimat nomor (1), yaitu: Untuk setiap bilangan asli x, akan berlaku x2 5x + 6 = 0, harusbernilaisalahkarenauntukx=1misalnya,kalimatmatematikanomor(1) tersebut menjadi: 12 51 + 6 = 2 yang jelas tidak sama dengan 0 sehingga kalimat nomor(1)bernilaisalah.Kalimatnomor(2),yaitu:Terdapatbilanganaslix, sedemikiansehinggax25x+6=0.jelasbernilaibenar.Alasannya,untukx=2 ataux=3kalimatmatematikatersebutmenjadibernilaibenar.Terakhir,kalimat nomor(3),yaitu:Tidakadabilanganaslix,sedemikiansehinggax25x+6=0. Jelasbernilaisalahkarenakenyataannyaada dua bilangan,yaitux =2 ataux =3, yang menyebabkan kalimat matematika nomor 3 tersebut menjadi benar Tigacontohdiatasmenunjukkanbahwaterhadapsuatukalimatterbukadapat ditambahkan kata-kata berikut: (1) Untuk semua x atau Untuk setiap x ; (2) Beberapa x ; Terdapat x ; ataupun Ada x ; dan (3) Tidak ada x . Dengan penambahan kata-kata tersebut di atas, suatu kalimat terbuka yang asalnya tidakataubelummemilikinilaikebenaranlaluberubahmenjadikalimatyang bernilaibenarsajaataubernilaisalahsaja.KarenaitulahWheeler(1977:23) menyatakan:Quantifiersaremostusefulinrewritingassertionsthatcannotbe classified as true or false so that they can be classified either as true or false. yang dapatditerjemahkanmenjadi:Kuantorsangatbergunadalammengubahkalimat yangtidakdapatdinyatakanbernilaibenaratausalahsedemikiansehingga kalimattersebutdapatdikategorikansebagaikalimatyangbernilaibenarsajaatau salahsaja.Adaduajeniskuantor,yaitukuantoruniversal(kuantorumum)yang menggunakankatauntuksetiapatauuntuksemua;sertakuantoreksistensial (kuantorkhusus)yangmenggunakankatabeberapa,terdapatatauada. Sedangkankuantortidakadaxdapatdiubahkebentuksemuaxtidakatau setiapxtidak.Secaralengkapkeduamacamkuantortersebutakandibahaspada bagian berikut ini. Kuantor Universal Kuantorjenisinimempunyailambangdandibacauntuksetiapatauuntuk semua.Misalkanp(x)adalahsuatukalimatterbuka,pernyataanx.p(x)dibaca untuksetiapxberlaku p(x)atauuntuksemuaxberlaku p(x).Berikutiniadalah contoh pernyataan berkuantor universal. Semua artis adalah cantik. Pernyataanberkuantoruniversaldiatasmenggambarkanadanyaduahimpunan, yaituhimpunanartisdanhimpunanorangcantik.Disampingitu,pernyataantadi menjelaskantentangsemuaartisnamuntidakmenjelaskantentangsemuaorang cantik. Dengan kata lain, pernyataaanituhanyamenjelaskan bahwasetiapanggota himpunanartisadalahmerupakananggotahimpunanorangcantik,namun pernyataanitutidakmenjelaskanbahwasetiapanggotahimpunanorangcantik adalahmerupakananggotahimpunanartis.Halterpentingyangpadaakhirnya didapat,pernyataanberkuantor:Semuaartisadalahorangcantik,menunjukkan bahwapernyataantersebutakanbernilaibenarhanyajikahimpunanartisharus termuat atau menjadi himpunan bagian dari himpunan orang cantik. Tentunya, pernyataan Semua artis adalah cantik, ini akan bernilai benar jika telah ditentukankriteriaartisdankriteriacantiksertadapatditunjukkanbahwasetiap artisyangmerupakananggotahimpunanartisadalahcantik.Namunpernyataan berkuantoruniversaltadiakanbernilaisalahjikadapatditunjukkanadanyasatu atau beberapa orang yang dapat dikategorikan sebagai artis namun ia tidak termasuk padakriteriacantik.Contohyangmenunjukkansalahnyasuatupernyataan berkuantoruniversalinidisebutdengancounterexampleataucontohsangkalan; sebagaimanadinyatakanClemens,Odaffer,danCooney(1984:49)berikut:A counterexample is a single example that shows a generalization to be false Jikapernyataanberkuantoruniversal,sepertiSemuaartisadalahcantikadalah bernilai benar maka pernyataan itu dapat ditunjukkan dengan diagram Venn berikut. Sebagaimanadijelaskandibagiandepan,himpunanartisAharustermuatatau menjadi himpunan bagian dari himpunan manusia cantik C; atau A C. Namun, A dan C bisa saja sama atau A = C. BerdasarkanDiagramVenndiatas,parasiswadiharapkandapatmenyimpulkan bahwa suatu pernyataan berkuantor universal dapat diubah menjadi suatu implikasi. Padacontohdiatas,pernyataanberkuantoruniversal:Semuaartisadalahcantik. adalah ekivalen dengan implikasi: Jika x adalah artis maka x adalah cantik. PernyataanberkuantordengankataawalTidakada.dapatdiubahkebentuk pernyataan berkuantor universal. Contohnya, jika pernyataan berkuantornya adalah: Tidak ada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan jelek, maka pernyataan tersebut dapat diubah menjadi pernyataan berkuantor universal: Semua murid SMU tidak senang mendapat nilai ulangan jelek. Kuantor Eksistensial Kuantorjenisinimempunyailambangdandibacabeberapa,terdapat,atau ada. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka x.p(x) dibaca untuk beberapaxberlakup(x)atauadaxsedemikiansehinggaberlakup(x).Berikutini adalah contoh pernyataan berkuantor eksistensial. Ada pria yang berkacamata, Pernyataantersebutmenunjukkanadanyahimpunanmanusiasebagaihimpunan semestanya(E),adanyahimpunanpria(P),sertaadanyahimpunanmanusiayang berkacamata(B).JikapernyataanberkuantoreksistensialAdapriayang berkacamata,bernilaibenarmakadapatlahditariksuatukesimpulanakanadanya anggotapadahimpunansemesta(minimalsatuanggota)yangmerupakananggota himpunanpriadanjugamerupakananggotamanusiayangberkacamata.Artinya, M A C M = {semua manusia}A = {artis}C = {cantik} kedua himpunan tersebut tidak saling asing (saling lepas). Dengan demikian, PB , yang dapat ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut. BerdasarDiagramVenndiatasyangmenunjukkanPB ,makapernyataan berkuantoreksistensialdapatdinyatakandalambentukkonjungsi.Contohnya, pernyataanberkuantoreksistensial:Adapriayangberkacamata,adalahsama dengankonjungsiberikut:Adaxsedemikiansehinggaxadalahpriadanxadalah berkacamata. Negasi Pernyataan Berkuantor Perlu diingatkan bahwasuatu pernyataanpyang bernilai benar akanmenyebabkan negasinya(dengannotasi~p)bernilaisalah,namunjikapbernilaisalahmaka negasinya (dengan notasi ~p) akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran pernyataan p dan negasinya di bawah ini. p~p B S S B Dengandemikianjelaslahbahwanegasipernyataanberkuantoradalahpernyataan lainyangbernilaibenarjikapernyataanawalnyabernilaisalahdanakanbernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Kesimpulan inilah yang menjadi dasar penentuannegasiatauingkaransuatupernyataanberkuantor.Bagianberikutini akanmembahastentangnegasiatauingkaranpernyataanberkuantor,dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor universal dan diikuti dengan negasi pernyataan berkuantor eksistensial. Perhatikan pernyataan berkuantor r berikut: r : Semua Guru Indonesia sudah bersertifikasi. Didalamkehidupannyatasehari-hari,jikaadaorangyangmenyatakandidepan Bapak atau Ibu Guru bahwa Semua Guru Indonesia bersertifikasi, apa yang Bapak atauIbuakanlakukan?MungkinBapakatauIbuakanmenyatakanYangbenar saja,masaksemuagurusudahbersertifikasi?Halinimenunjukkanbahwasatu oranggurupunyangtidaktermasukkategorikayadapatdijadikandasaruntuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor tadi. Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah pernyataan berkuantor eksistensial yangdapatdipenuhiolehminimalsatuorangsajayangtidakmemenuhikriteria bersertifikasitadi.Dengandemikian,negasiatauingkaranSemuaGuruIndonesia bersertifikat.adalahpernyataanberkuantoreksistensialyangtidakmemenuhi E BPE = {semua manusia}P = {semua pria}B = {semua orang berkacamata}. kriteriabersertifikasitersebut,yaituBeberapa(atauterdapat)GuruIndonesiayang tidak bersertifikasi. Dengancarasama,negasiatauingkarandaripernyataanberkuantoruniversal Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri, dengan nilai benaradalahpernyataanberkuantoreksistensialBeberapa(adaatauterdapat) bilanganjikadibagi1akantidakmenghasilkanbilanganitusendiri.Yangbernilai salah.NegasiatauingkarandariSemuabungaindahadalahTidakbenarbahwa semuabungaindahatauBeberapabungatidakindah.Denganmenggunakan simbol akan didapat bahwa negasi dari x (x2 0) adalah x (x2 < 0). Secara umum negasi pernyataan kuantor universal dapat dinyatakan dalam tabel berikut. PernyataanNegasi x p(x)~ (x p(x)) x ~p(x) Berikut ini adalah pembahasan mengenai negasi pernyataan berkuantor eksistensial. Contoh pernyataan berkuantor eksistensial adalah: Beberapa Guru Indonesia memiliki hutang. Pernyataaninijelasbernilaibenar.Lalu,bagaimanadengannegasipernyataan berkuantoreksistensialtersebut?Yangperludiingat,karenapernyataantersebut bernilai benar, maka negasinya harus bernilai salah. Jikaadaorangyangmenyatakanbahwanegasinyaadalah:SemuaGuruIndonesia memilikihutang;makapernyataaninimasihmungkinuntukbernilaibenarjuga seperti nilai pernyataan awal. Sebagai akibatnya, pernyataan tersebut tidak mungkin menjadinegasinya. Lalu, jikaada orangyangmenyatakan bahwanegasinyaadalah: BeberapaGuruIndonesiatidakmemilikihutang;makapernyataanini,seperti pernyataansebelumnya,masihmungkinuntukbernilaibenarjuga.Akibatnya, pernyataantersebuttidakmungkinmenjadinegasinya.Karenakeduapernyataan berkuantortersebutbukanlahnegasinya,makamasihtersisasatupernyataan berkuantorlainnyayangakanmenjadinegasinya,yaitu:SemuaGuruIndonesia tidak memiliki hutang. PernyataanberkuantorBeberapaGuruIndonesiamemilikihutang.diatasdapat digambarkandenganDiagramVennberikutyangmenunjukkanadanya(paling sedikitsatuanggota)darihimpunanGuruIndonesia(G)yangsekaligusmerupakan anggota dari himpunan orang-orang memiliki hutang (K). BerdasarDiagramVenndiatas,dapatlahdisimpulkanbahwanegasipernyataan BeberapaGuruIndonesiamemilikihutangadalahbukanSemuaGuruIndonesia memiliki hutang, dan juga bukan Beberapa Guru Indonesia tidak memiliki hutang. Alasannya, dua pernyataan terakhir ini dapat bernilai benar juga, padahal yang akan K G E dicariadalahpernyataanyangbernilaisalah.BerdasarDiagramVenndiatas, dapatlahdisimpulkanbahwanegasiBeberapaGuruIndonesiamemilikihutang dengannilaibenaradalahsemuaGuruIndonesiaharustidaktermasukhimpunan K.Dengan kata lain, semua anggota Gharustidakmenjadi anggotaK sebagaimana ditunjukkan Diagram Venn berikut. Dengancarasama,negasiatauingkarandaripernyataanberkuantor:Beberapa segitigamerupakansegitigasiku-sikusamakaki,adalahSemuasegitigatidakada yangmerupakansegitigasiku-sikusamakaki.Denganmenggunakansimbolakan didapatbahwanegasidarix.p(x)adalahx.~p(x).Secaraumumnegasi pernyataan kuantor eksistensial dapat dinyatakan sebagai berikut: PernyataanNegasi x p(x)~ (x p(x) x ~p(x) Demikiangambaranumumprosesdidapatkannyateori-teoriyangterkaitdengan pernyataanberkuantor.Harapannya,denganpengetahuantersebut,proses pembelajaranpernyataanberkuantordikelastidakhanyakearahpenghafalan rumus saja, namun proses pembelajarannya akan lebih ke arah pemahaman. Dengan carasepertiitu,sangatlahdiharapkankemampuanbernalarparasiswaakan meningkatdengantajamsebagaimanadituntutolehtujuannomor2pelajaran matematika di SMA dan SMK yaitu meningkatkan kemampuan bernalar.

Daftar Pustaka Clemens,S.R;Odaffer,P.G.;Cooney,T.J.(1984)Geometry.California:Addison-Wesley Publishing Co Depdiknas(2006).PermendiknasNomor22Tahun2006TentangStandarIsiSekolah Menengah Kejuruan. Jakarta: Depdiknas Depdiknas(2006).PermendiknasNomor22Tahun2006TentangStandarIsiSekolah Menengah Atas. Jakarta: Depdiknas Wheeler, R.E. (1977). Modern Mathematics. An Elementary Approach (4th Ed). Monterey: Brooks/Cole Publishing Company K G E 1 LEBIH MEMAHAMI IMPLIKASI PADA LOGIKA MATEMATIKA(Sumardyono, M.Pd., Ketua Unit R&D pada PPPPTK Matematika) Padakesempatanini,penulismengulasmengenaiimplikasipadalogika matematikayangmenurutpengamatanpenulismasihmerupakankendalabagi paraguruuntukmemahamilogikamatematika.Mudah-mudahantulisanini dapat memberi pemahaman yang lebih komprehensif. Pernyataanmajemukyangmenggunakankatamakaatauyangsemakna,yaitubahwa pernyataan yang satu merupakan syarat bagi berlakunya pernyataan kedua, dinamakan implikasi atau pernyataan bersyarat.Subpernyataan yang menjadi sebab disebut anteseden (antecedent) dansubpernyataanyangmenjadiakibatdisebutkonsekuen(consequent).Padabeberapa literatur, lambang digunakan untuk implikasi. Literatur yang lain menggunakan untuk implikasiyang(selalu)bernilaibenarsajaatauimplikasilogis(suatutautologi),misalnya pernyataanteorema/dalildimanaantesedendisebutsyaratcukup,konsekuendisebutsyarat perlu, sedang untuk implikasi biasa menggunakan notasi . Sekarang pandang pernyataan: jika p maka q , atau dalam bentuk simbolik:p q Pada implikasi, kita hanya memandang bahwa p adalah syarat terjadinya q. Perhatikan, kita tidak mengatakan apa-apa mengenai p maupun q selain yang telah disebutkan di atas.Jadi,pernyataanjikaharihujanmakajalanbasahsudahbenar,tidakpedulibahwamungkin masih ada sebab lain selain hari hujan yang mengakibatkan jalan basah. Demikian pula, jika hari hujan,kitatidakpeduliwalaupunpohondanlainnyaataubahkanbeberapaorangtidakjadi bepergiansebagaiakibatyangmungkin.Kitahanyamemperhatikankaitanantaraharihujan danjalanbasah.Berkenaandenganbatasantersebut, dapatkitasimpulkanbahwapernyataan tersebutsalahhanyabilaharihujantetapijalantidakbasah.Mengapa?Karenapernyataanini mendeklarasikan bahwa hari hujan mengakibatkan jalan basah.Jadi,pernyataanbersyaratbernilaisalahjikaantesedenterjadi(benar)tetapikonsekuentidak terjadi (salah).pernyataan p q bernilai salah bila p salah dan q benar 2 Kitatelahmenganalisisimplikasibilasubpernyataansebabterjadi.Sekarangbagaimanabila anteseden tidak terjadi (salah)? Di sini mulai timbul sedikit masalah.Perhatikan pernyataan:Hari tidak hujan maka jalan tidak basah (1)Sesungguhnyakitatidakdapatmengatakanapa-apamengenainilaikebenaranpernyataan(1), yangkitatahu,jalanbasahkarenaharihujan.Apakahtidakadasebablainagarjalanbasah? Dalamkonteksinimungkinsajaadapenyebablainmisalnyajalandisiramairkran.Tetapi apakah jika tidak hujan maka jalan pasti disiram air kran? Tidak juga.Hal yang sama dapat dianalisis untuk pernyataan: Hari tidak hujan maka jalan basah(2)Inibenarbilasebab-sebablaintidakterjadi,tetapimenjadisalahbilasebab-sebablainyang mengakibatkan jalan basah terjadi.Sekarang,kitaakanmenelaahpernyataanimplikasiyangberkaitandengansubjekyangsama, sebagai contoh Amir menyatakan:Jika saya lulus maka saya akan bersedekah. JikaternyataAmirlulusdaniabersedekah,makadisimpulkanAmirberkatabenar(jujur). Jika ternyataAmirlulustetapitidakbersedekah,makadisimpulkanAmirberkatasalahatautidak benar(tidakjujur).JikaternyataAmirtidaklulusdantetapbersedekah,makakitatidakdapat mengatakan bahwa Amir berbohong. Jika ternyata Amir tidak lulus dan tidak bersedekah, maka kita juga tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong.Nah,padaduakasusterakhirinikitatidakdapatmengatakanbahwaAmirberbohong (tidak benar atau salah). Sebab, Amir dipastikan berbohong hanya jika ia lulus tetapi kemudian tidak bersedekah.Jadi,keduapernyataanterakhirtidaklahmungkinbernilaisalah.Nah,karena dalam logika matematika hanya memperhatikan 2 nilai: benar dan salah, maka kedua pernyataan terakhir dianggap bernilai benar.Jadi,persoalansesungguhnyaadalahmendefinisikanimplikasisedemikianrupasehinggakita mendapatkan suatu aturan yang jelas dalam membuat tabel kebenaran. Hal ini perlu, karena pada 3 konjungsimaupundisjungsijugamerupakanfungsidarinilaikebenaransub-subpernyataannya. Dari contoh kedua yang dianalisis sebelumnya, kita dapat memilih aturan bahwa jika anteseden bernilai salah, maka keseluruhan implikasi kita anggap tetap bernilai benar (tidaksalah),apapunnilaikebenarandarikonsekuen.Jadi,sekarangkitaperolehtabel kebenaran implikasi sebagai berikut: Jadi,walaupunmenurutlogikasehari-hariadacontohyangjanggalbagikebenaran2baris terakhir, tetapiini disepakati sebagai suatu implikasi dalam matematikayang disebut implikasi material.Secarapersiskitamenyebutkebenaranimplikasipada2baristerakhir(yaitujika antesedentidakterjadi)sebagaibenarkarenakosong(vacuoustruth).Akantetapilogika matematika hanya dikenal benar atau salah saja, sehingga kita menganggapnya sebagai benar.Perhatikankembali bahwa aturan umumyang dipakai pada implikasi materialini adalah bahwa sebuahimplikasibernilaisalahjikasebabterjadi(benar)tetapiakibattidakterjadi (salah), selain itu (dianggap) benar.Lebihlanjut,perludipahamibahwadalamimplikasimaterialkitatidakmempermasalahkan ada atau tidak ada hubungan makna antara anteseden dengan konsekuen. Hal ini terjadi karenakitahanyamemandangimplikasimaterialsebagaifungsidarinilaikebenaransub-subpernyataannya.Karenaitu,implikasimaterialdisebutpulaimplikasifungsikebenaran. Jadi, pernyataan-pernyataan: Bulan lebih kecil dari bumi maka 2 bilangan genap, Bulan lebih besar dari bumi maka 2 bilangan genap maupun Bulan lebih besar dari bumi maka 2 bilangan ganjilsemuanyabernilaibenar.PernyataanyangbernilaisalahadalahBulanlebihkecildari bumi maka 2 bilangan ganjil (p benar, q salah). pq p q BBB BSS SBB SSB BS BBS SBB q p 4 Bilaanggapan-anggapandiatasdihilangkan,kitaberbicaramengenaijenisimplikasiyanglain lagi,misalnyaimplikasiindikatif,implikasikorespondensi,danlain-lainyangkesemuanya bukan jenis implikasi yang dibahas dalam logika matematika sekarang ini.Jadi, bila disebut implikasi pada logika matematika maka yang kita maksudkan adalah implikasi material.Implikasi Tapal Kuda Padabeberapabidangilmu,tandaimplikasimenggunakantandatapal-kudayangmiripsimbol superset himpunan . Perhatikan contoh berikut ini.Manusia memiliki perasaan maka orang Indonesia juga memiliki perasaanPernyataan implikasi di atas bernilai benar. Akan tetapi ada satu halyang menentukan mengapa pernyataandiatasbenaryaitubahwaorangIndonesiatermasukmanusia.Dengankatalain, himpunan manusia adalah superset dari himpunan orang Indonesia.Dalam contoh di atas, bila p = manusia memiliki perasaan, q = orang Indonesia juga memiliki perasaanmaka pernyataan di atas ditulisp q.Penggunaan tanda tapal kuda ini memiliki kelemahan karena bermasalah jika ditinjau dari sudut diagramVenn.Padakasustertentu,penggunaantandatapalkudainimembingungkandengan tanda superset (karena keterbatasan halaman, masalah ini tidak dibahas lebih lanjut).Walaupundemikian,adajugayangmenyarankanpenggunaantandatapalkudaini.Halini disebabkanpadalogikaformal,implikasiyangdibahasadalahimplikasimaterial.Padahal pengertianimplikasimaterialinilebihmerupakanbentuklaindarisuatunegasikonjungsiatau disjungsi(ingat,p q (p q) p q). Adanyaimplikasilainsertapenggunaantanda yangmirip()untukimplikasi-logis,makamunculsaranpenggunaantandatapal-kudauntuk implikasi material ini.Kelemahan dan Kelebihan Implikasi Material Implikasi ini merupakan suatu fungsi kebenaran yang didefinisikan sebagai berikut:p q bernilai salah jika p benar dan q salah, selain itu p q bernilai benarPemilihan fungsi seperti di atas untuk implikasi memiliki keuntungan dalam matematika.5 Keuntunganterbesaradalahbahwakitadapatmenganalisisseluruhpernyataandalam matematika (dalil/teorema, lemma, atau sifat/corollary) dengan menggunakan fungsi dari data benar(B)dansalah(S).Haliniberakibatkitadapatmenurunkansuatupenalaran(aturan penarikan kesimpulan)yang valid juga dapat menguji apakah suatu penalaran (aturan penarikan kesimpulan) itu valid atau tidak. Tersedianya suatu aturan penalaran (bayangkan sebagai sebuah mesin)merupakanhalyangpentinguntukdapatmenyelesaikanmasalahdalammatematika. Suatuaturanpenalarandikatakanvalidjikamesinitudapatdigunakanuntukmenarik kesimpulanyangseharusnyamenjadikesimpulan(ingat!validitasdalamteoristatistika). Semua ini tidak akan tercapai, bila implikasi material tidak didefinisikan.Selainitu,karenamengabaikanadanyarelevansiantaraantesedendankonsekuen,maka implikasimaterialtentutidakdapatditerapkan untuksemuamasalahsehari-hari.Kitadapat sajamengaitkanrelevansiantarsubpernyataaninitetapiimplikasiakanmemilikibentukyang sangatkompleksdantidaklahpraktisdalammatematika.Kekompleksaninitimbulakibat banyaknyajeniskaitanmaknaantaraantesedendankonsekuen,sebandingdenganbanyaknya makna bahasa yang dipergunakan. Walaupun demikian, telah terdapat beberapa cabang logika lain,sepertilogikaintuisionistikataulogikakonstruktivis,logikamodal,logikarelevan,logika parakonsisten, dan lain-lain. Pada logika relevan, misalnya, kita mengenal pernyataan bersyarat indikatifyangmenunjukkanadanyaketerkaitanhubungansebab-akibatantaraanteseden dengan konsekuen. DAFTAR BACAAN:Hermann,RobertA.2006.LogicforEveryone.Annapolis:MathematicsDepartmentofU.S. Naval Academy Jacobs, Harold R., 1977. Mathematics A Human Endeavour. USA: Llyod O`Neil Ltd.Lipschutz,Seymur.1989.TeoriHimpunan.terjemahanPanturSilaban.Jakarta:Penerbit ErlanggaMagnus. 2009. An Introduction to Formal Logic. New York: Creative Commons. Miller,CharlesD.,&Heeren,VernE.1978.MathematicalIdeas.Edisi3.Glenview(Illinois, USA): Scott, Foresman and Company.Simpson,StephenG.2006.MathematicalLogic.2008.Pennsylvania:Departmentof Mathematics, The Pennsylvania State University.Mengeliminir Unsur Guessing(Menebak) pada Tes Bentuk Pilihan Ganda Oleh: Kusaeri1 Pengantar Tes tertulis dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu tes uraian (essay test), dantestobjektif(objectivetest).Tesobjektifbanyakdigunakanolehdunia pendidikanyangumumnyadisajikandalambentukpilihanganda(multiplechoice). Banyakorangberanggapanbahwatespilihangandalebihmudahdaripadates uraian (Wijaya, 2005). Salah satu alasannya adalah karena jawaban tes pilihan ganda dapatditerka-terkaataudengankatalainbanyakmemberikan kesempatankepada peserta tes untuk berspekulasi, sedangkan tes uraian akan mengeksplor kemampuan pesertatesdalam menyusunjawaban, bernalarsesuaidenganjalanpikirannya, dan gaya bahasanya sendiri. Hal inilah yang menjadipenyebab tes uraian lebih sulit. Uraiandiatasmenunjukkanbahwatesbentukpilihangandamemiliki kelemahanterhadapperilakuspekulasiataumenebak(guessing)dibandingkan pertanyaanterbuka.Namuntesbentukpilihangandamemilikibiasresponyang lebihkecildibandingpertanyaanterbuka.Selainitu,bentukpilihangandadapat mempermudahpenilaiandanmeminimalisirbiassubjektivitaspenilaidalam memberikanpenilaian.Nunnally(1970)menyatakanbahwapesertatesseringkali guessing dengan melakukan eliminasi terhadap pilihan jawaban yang mereka anggap tidakmungkinbenar.Olehkarenaitu,alternatifpilihansesungguhnyacenderung lebihkecildarialternatifpilihanyangdiberikansehinggaestimasiefekguessing cenderung lebih kecil dari efek sesungguhnya (underestimate).Salahsatupenyebabpesertatesmelakukanguessingdalammenjawabsoal jenispilihangandakarenasoaltersebuttidaksesuaidengankemampuanmereka. Artinya,soalterlalusulituntuklevelkemampuanmereka.Padahal,perilaku menebak (guessing)merupakan salah satu sumber kesalahan pengukuran dalam tes, khususnyabagitestpencapaian(achievementtest).Halinisesuaidenganpendapat Nunnally(1970)yangmenyatakanbahwa,salahsatufaktoryangharus dipertimbangkan dalam pengukuran maximum performance adalah pengaruh perilaku guessing.Guessingakanberkonstribusiterhadapvarianskesalahanpengukurandan mengurangi reliabilitas tes. Mengeliminir Efek Guessing dengan Model Penskoran Alternatif Modelpenskorantespilihangandadewasainiyangcenderungdigunakan adalahmenjumlahkanskorjawabanyangbenarsaja(correctscore)sebagaiskor pesertates.Modelpenskoransepertiitudanbiladiketahuisecaraterbukaoleh pesertatesakanmenyebabkanpesertatesberspekluasi dalammenjawabtes.Model penskorantespilihangandadengancorrectscoresebagaiskorpencapaianprestasi, selain memberi peluang melakukan guessing menurut Shuford (dalam Individual and social in Objective Testing, tt) juga berimplikasipula pada kurang validnya tes tersebut serta menurunnya tingkat indeks reliabilitastes. Hal senada juga diungkapkan oleh 1PenulisadalahDosenJurusanPendidikanMatematikaFTIAINSunanAmpelSurabaya,e-mail: eri_supel@telkom.net. Hopkins & Antes (1985) bahwa guessing dalam tes pilihan ganda dapat menurunkan nilai validitas butir dan reliabilitas tes. Selainitu,skorpencapaianpesertatesyangdiperolehsecaramurnikarena pesertatesmengetahuipilihanjawabanyangbenardanpesertayangdipengaruhi olehguessingjugasulitdibedakanbilapenskorannyamenggunakanmodelcorrect score. Apabila dikaitkan dengan hasil penskoran hasil suatu tes pilihan ganda dengan butir-butir soal yang dibiarkan tidak dijawab (omit) oleh peserta tes,tentu akan lain pencapaianskornya.Demikianpula,bilapenskorantersebutdikaitkandengan banyaknya pilihan jawaban (option)yang diberikan. Adamodelpenskoranlainuntukmenghindarisedikitmungkinguessing yaitudengancaramodelpenskoranhukuman(punishmentscore)danmodel penskoranhadiah(rewardscore).Modelpunishmentscoremerupakanmodel penskoranyangmemperhitungkanjawabansalahyangdiresponolehpesertates denganjalanmemberihukumandalambentukmengurangiskordengan menggunakanrumustertentu.Brown(1983)menawarkanrumusumumuntuk mengoreksi guessing melalui formula:Xc = R 1 AW Xc = skor pengoreksian guessing R = banyaknya respon yang benar W = banyaknya respon yang salah A = banyaknya pilihan jawaban per butir soal. Rumus di atas memiliki asumsi bahwa peserta tes menjawab secara acak atau guessingketikatakmeyakinisuatupilihanjawabanyangbenar.Rumuspenskoran yang ditawarkan Brown di atas digunakan untuk mempertimbangkan unsur guessing dalam menjawab. Hal senada juga diajukan oleh Guilford (1982) yang menawarkan rumusanpenskoranapriori.Rumusanaprioriyangpalingumumdigunakanadalah sebagai berikut:S = R 1 AW RumusanaprioriGuilfordinisejalandenganHopkin&Antes(1985)yang menyebutnya sebagai rumusan yang umum untuk mengoreksi faktor guessing dalam jawaban peserta tes. Rumus Hopkins & Antesdidasari oleh pengoreksian terhadap faktorguessingdalammenjawabtespilihanganda.Crocker&Algina(1986)jugamenyebutkanrumusmodelyangdiajukanolehBrown&Guilforddengannama right-minuswrongcorrectionataupunishmentscore.Asumsidasardaripenggunaan rumuspunishmentscoreadalahjawabanyangmerupakanhasilguessing,sehingga jumlahjawabansalahdibagidenganA1merupakanhukumanbagipesertates yang menjawab dengan guessing.MenurutDavis&Ebel(dalamBrown,1983)terjadiperdebatanantara modelcorrectscoredenganmodelpunishmentscore.Parapendukungcorrectscore berpendapat bahwa hasil skor relatif sama secara peringkat antara model correct score maupunmodelpunishmentscore.Merekaberpendapatbahwakecilkemungkinan seorangpesertatesakanmendapatkannilaitinggiakibathasilguessing.Sementara pendukungmodelpunishmentscoreberpendapatbahwamemberikanskordengan hukumanakanmenghasilkanskoryanglebihbaik,sertadapatmeningkatkan validitas butir (Wijaya, 2005).Disisilain,modelrewardscoremerupakanmodelpenskoranyang memperhitungkanjawabanyangtidakdiisiataudikosongkanyangdiresponoleh pesertatesdenganjalanmemberihadiahdalambentuktambahanskormelalui penggunaanrumustertentu.Rowley&Traub(dalamCrocker&Algina,1986) mencatatbahwarumusanpenskoranmodelrewardscoredidasarkanpadasuatu modelyangmempertimbangkantigakemungkinansituasi:(1)pesertates mengetahuipilihanjawabanyangbenardanmemilihnya,(2)pesertatestidak memilihsamasekalipilihanjawabanyangada,dan(3)pesertatesmenebakbuta danmemilihsalahsatudaripilihanjawabansecaraacak.Didasarkanpadamodel tebakan-acakini,dibuatsuaturumusandasaryangmempertimbangkanpengaruh guessing untuk mengoreksi skor-skor mentah sebagai berikut: Xc = R + AO Xc = skor koreksi R = jumlah jawaban benar O = jumlah butir yang tidak dijawab (dikosongkan) A = jumlah alternative jawaban per butir (option). Rumusdiatasmemberikannilaitambah(skordenganhadiah)ataureward scorebagipesertatesyangtidakmenjawab(mengosongkan)butiryangtidak diketahui,probabilitasdarimenyeleksiresponyangbenaradalah A1.Secara ilustrasi, perbandingan kedua model penskoran dapat dilihat pada tabel berikut. TabelIlustrasi Perhitungan Menggunakan Dua Model Penskoran Peserta TesJumlah Benar Tidak DiisiJumlah Salah Xc = R + AOXc = R1 AW Dedi1406 14 +04= 1414 63= 12 Rina 1460 14 +64 = 15,514 03= 14 Taufik1433 14 + 34 = 14,7514 33 = 13 Berdasarkantabelterlihat3orangpesertatesmengerjakan20butirdengan4 pilihan jawaban (option)dan masing-masing peserta tes memiliki skor jumlah benar yangsamayaitu14.Jikadigunakanrumussecarakonvensionalataucorrectscoremakaketigapesertatersebutmendapatkanskoryangsamayaitu14.Bila menggunakanrumuspunishmentscoreataurewardscoremakaketigapesertates tersebut akan mendapatkan skor yang berbeda. Pada rumus reward score, rumus ini menerapkan tambahan skor untuk butir-butiryangtidakdijawabolehpesertasehinggaskormeningkatuntukpesertayang sedikitmelakukankesalahan,sedangkanrumuspunishmentscoremenerapkan hukumanuntukpesertayangmenjawabsalahsehinggamakinbanyakskorsalah maka makin banyak pengurangan. Bila dicermati rumus punishment score atau reward score keduanya memberikan skor akhir dari ketiga pesertatersebut berbeda, namun peringkatnyatidakberbeda.KeduamodelpenskoranmenempatkanRinasebagai peringkattertinggi,disusulsecaraberturut-turutolehTaufikdanDedi.Ini menunjukkanbahwakeduarumuspunishmentscoreataurewardscoredapat diterapkan secara bersama-sama.Mudah-mudahan model alternatif penskoran ini dapat memberikan inspirasi bagigurudalammelakukanprosespenskoranjawabansiswa.Dengandemikian akan terjadi keadilan (fairness) dalam proses penilaian. Artinya,skor yang diberikan oleh guru dapat membedakan antara siswa yang benar-benar serius dalam menjawab soal dan siswa yang berspekulasi. Amien

Referensi Angoff,W.H.,1989.Doesguessingreallyhelp?JournalofEducationalMeasurement, 26 (3): 323-336. Arianto, D. 2009. Estimasi kesalahanpengukuran soal-soal matematikakelas IX ulangan akhirsemester(UAS)ISMPdikotaYogyakarta.Tesistidakdipublikasikan. Yogyakarta: PPS Universitas negeri Yogyakarta. Brown,F.G.1983.Principlesofeducationalandpsychologicaltesting.NewYork:CBS College Publishing.Crocker, L. &Algina, J. 1986. Introduction to classical and modern test theory. Tokyo: Harcourt Brace Jovanovich College Publisher.Guilford, J.P. 1982. Psychometric methods. New York: McGraw-Hill Inc.Hopkins,C.D.andAntes,R.L.1985.Classroommeasurementandevaluation. Illinois: Peacock Publisher, IncHttp://www.p-mmm.com/founders/emir/justice.htmp.1.Diaksestanggal17 Desember 2009. Kumaidi,2009.Analisisdanseleksiaitem.MaterikuliahKonstruksiInstrumen tidak diterbitkan. Yogyakarta: PPs Universitas NegeriYogyakarta. Nunnally, J.C.1970. Introduction to psychological measurement. New York: McGraw-Hill Book Company. Nunnally, J.C.1983. Psychometric theory.New York: McGraw-Hill Book Inc. Salehudin,I.2009.AplikasiCertaintyBasedMarking(CBM)dalamachievementtest menggunakanbentukpertanyaanbenar-salah.Jakarta:ProgramPascasarjana Terapan Psikometri Fakultas Psikologi Universitas Indonesia.Wijaya,Y.S.2005.Perbandinganfungsiinformasibutirmodellogisticduaparameter ditinjau dari model penskoran tes pilihan ganda pada peserta tes SMAN DKI Jakarta tahun2004.Disertasitidakdipublikasikan.Jakarta:PPsUniversitasNegeri Jakarta. Zimmerman, D.W & Williams, S. 2003. A new look at the influence ofguessing on thereliabilityofmultiplechoicetest.AppliedPsychologicalMeasurement, 27(5): 357-371. Zimmerman,D.W.2009.Thereliabilityofdifferencescoreinpopulationand sample. Journal of Educational Measurement, 46(1):19-42. MENDISAIN TAMPILANDALAM PEMBELAJARAN BERBASIS WEB IndartiKeberadaanonlinelearningataupundistancelearningsaatinitaklepasdaripemanfaatan websitesebagaimediapembelajaranyangefektifdanmenyebarluassecaramudah.Akan tetapi, pendidik cenderung kurang menyadari bahwa pembelajaran berbasis web seperti juga metode pembelajaranyanglainmenuntutstrategiyangberbedaterutamadalamhaldisain, penulisan konten, aplikasi dan hubungannya dengan target keterbacaan oleh pengguna. Umumnya,pendidikterjebakuntukmenulisisipembelajarandalambentuklineartext-book style(Henderson,2008).Halinimungkinsekalidikarenakankebiasaankitamenerimateks sebagaisesuatuyangimmovable danaturanbahwateksharusmunculdalamurutantertentu; dimulaidenganpengantar,definisi,diikuticontohsoaldan latihanyangbisadikerjakanoleh murid setelahmembaca teks secara berurutan.Namun tanpa sadar, ini membawa kitakepada teoripembelajaranbehaviourist.Tidakkitapungkiribahwateoriinijugaberguna,namun dalam lingkungan pembelajaran berbasisweb mungkinkita perlu untuk mengeksplorasi teori lain sebagai alternatif.Lepasdarimasalahteoripembelajaran,pengembanganpembelajaranberbasisweb memerlukandesainkhususkarenapembelajaranberbasiswebtidakdapattergantungpada kharisma dan cara seorang instruktur menyajikan materi. Materi harus ditampilkan sedemikian rupasehinggamenarik.Tampilantidakhanyapentinguntukmenarikdanmemotivasi pengguna,tetapijugauntukmemfasilitasiperpaduandarimateriyangdipresentasikan (Greenberry, 2005). Kemampuan untuk mendesain suatu konten dalam laman web merupakan skill dasar yang sangat dibutuhkan dalam online learning. Menulis konten dalam website yang tidakdidesaindenganbenarbisamenghabatprosespembelajaran.Danyangpentinguntuk disadariadalahkontendalamwebsitememilikiformatyangberbedadanharusdibedakan dengan format cetakan dalam kertas.Dalamkonteks pembelajaran online, dikenalistilah usability. Usability bisa diartikansebagai takaranatauukurankeefektifanwebsite.Suatutoolbisasajasangatmembantupengguna dalammenyelesaikanmasalah,membuatlebihcepatdanlebihtepat;tetapiadajugayang justru mengganggu dan membuat pengguna menjadi frustasi (Dillon, 2008). Dalam kaitannya denganusabilitydalamrisetnya,DrJakobNielsesn(1997)menyebutkanbahwa79% penggunawebhanyamelakukanscanningyaitumembacadengancepat/sepintaskilasdan hanya16%sajapenggunawebyangbenar-benarmembacakatademikata.Selanjutnya Nielsenjugamenemukanbahwamembacadarilayarkomputer25%lebihlambatdibanding denganmembacalangsungdarikertas.Diajugamenganjurkanbahwasebaiknyanaskah online (online content) hanya memuat 50% dari jumlah kata dalam versi cetaknya. Mengingat bahwa sebagian besar pengguna web hanya melakukan scanning, maka desain web sebaiknyajugamendukungkontenuntukbisadibacasecarasekilas(scannability).Selain beberapateknikmendesainkontenuntukpembelajaranberbasiswebyangakandiuraikan nanti,menurutHenderson,M.&Henderson,L.,(2006)scannabilityjugadapatditempuh dengan beberapa cara, antara lain: -penyorotan kata kunci (highlighted keywords), misalnya dengan hypertext link, huruf tebal, atau huruf berwarna, -sub judul yang mengandung arti, -daftar list (bulleted list), -satu ide dalam satu paragraph, -invertedpyramidstyle;mulaidengankesimpulankemudianberkembangdengan penjelasan yang lebih rinci, -efisiensi jumlah kata menjadi maksimal dari naskah asli.Struktur piramida terbalik Tata tulis formal mengajarkan kita untuk menulis dengan struktur tertentu, misalnya berangkat darikejadianataucontoh-contohyangmendukungargumenmenujusuatukesimpulan. Penggunaandaftarlist(bulletedlist)didalamparagrafjugakurangdianjurkan.Umumnya paragrafdiawalidengankalimatpengantardankemudianide-idediberikansecaraterurai. Akantetapi,jikametodeiniditerapkandalampembelajaranonlinetentulahpenggunaakan cenderung mengabaikan atau kemudian mencetak-nya jika terpaksa. Dengan kata lain metode ini tidak mendukung keterbacaan media online. Sebuahstudimenganjurkanformatpenulisanberbedauntukpembelajaranonlineyaitu invertedpyramid.Strukturpiramidaterbalikinimenempatkankesimpulandibagianawal kemudiandiikutidenganinformasi-informasipentingdandiakhiridenganlatarbelakang permasalahan(Nielsen,1997).Darihalini,pembacaakanmenemukan(scanning) poin-poin penting dahulu kemudian akan membaca lebih lanjut jika dia memang merasa membutuhkan. Intinya,kita tidakingin membiarkan penggunalelah membaca suatu informasiyang ternyata tidak dibutuhkannya. Ini merupakan salah satu bentuk dari efektifitas transmisi informasi. http://www.delawarenationalguard.com/upar/de_uparc_elo5.htm Pemenggalan semantik Pemenggalan semantik (semantic chunking) merupakan cara kita memisahkan phrase, kalimat, ataubahkanparagraphmenjadisatuan-satuanyangberartidengantujuanmeningkatkan keterbacaannaskah.Tekhnikinibanyakdigunakanketikakitamendesainslidedalam PowerPoint ataupun menulis untuk pembelajaran online (Henderson, 1996). Perhatikan contoh berikut (diambil dan dimodifikasi sebagai contoh dari Strategi Umum Problem Solving dalam Pembelajaran Matematika (Setiawan, 2009)): Kita dapat memecah paragraph tersebut menjadi bentuk berikut: Georgi Polya di dalam karyanyayang diberinya judul How to Solve It (dalam Posamentier dan Stepelman,1999),menyarankanmetodeheuristcdidalamproblemsolving.Langkahpertama adalahmemahamipersoalannya.Apayangtidakdiketahui?Bagaimanadatayangadadari persoalan tersebut? Langkah kedua yaitu merumuskan suatu rencana penyelesaian. Yaitu antara laindenganmenelusurihubunganantaradatadenganyangtidakdiketahuidanmenemukan relasiantaradatayangdiberikandenganpermasalahannya.Selanjutnyaadalahmelaksanakan rencana.Mengecek langkahdemi langkahdanmeyakinkah bahwamasing-masing tahap sudah benar. Terakhir adalah Melihat kembali serta menguji solusi yang diperoleh. Pemahaman dalam teknik semantic chunking adalah bahwa kita menggunakan teks yang sama denganmengaturnyasedemikianrupauntukmembantupemahamanisi.Dalamsemantic chunkingkitadiperbolehkanmenghilangkanbeberapakatasambungtetapitetapharus mempertahankan kaidah gramatikal. Ruang putih Ruangputihatauwhitespacemerupakanbagiankosongyangtidakharusberwarnaputih dalamhalamanweb.Whitespacemembingkailayardanmemisahkantiap-tiapkonten. Penyediaanwhitespacemerupakanstrategipentingdalammendesainwebsite.Namun, umumnya ketika kita akan mencetak naskah online, kita menghilangkan bagian kosong ini dan memadatkanteksdengantujuanpenghematancetakan.Terkadangkitamemaksakan3 halamanwebdalamsatulembarfolioA4.Sebenarnyacarainimerugikankarenadisamping membutuhkanenergiketikakitameringkasnaskahjugaakanmengurangiketerbacaandan melelahkan mata. Andrew Greenberry (2005) menganjurkan 25% halaman web sebagai white space. White space refers to the blank space on a screen; it does not haveto be white! Space should be left between blocks of text, paragraphs, headings and illustrations/graphics. A significantcontributionofwhitespaceisthatitofferstheuserrespitefromblocksof text. It has been suggested that 25% of a screen should be white space. The best judge for white space is your eye; if you feel a screen is somewhat overcrowded with text, then revise it. Prinsip PARC PrinsipPARC(proximity,alignment,repetition,contrast)merupakanstrategipentingdalam desainvisualuntukslideataupunwebpage.Proximityartinyakedekatan,yaitumelakukan GeorgiPolyadidalamkaryanyayangdiberinyajudulHowtoSolveIt(dalamPosamentierdan Stepelman, 1999), menyarankan Metode heuristc di dalam problem solving:1.Memahami persoalannya.oApa yang tidak diketahui?oBagaimana data yang ada dari persoalan tersebut?2.Merumuskan rencana penyelesaian.omenelusuri hubungan antara data dengan yang tidak diketahuiomenemukan relasi antara data yang diberikan dengan permasalahannya.3.Maksanakan rencana.oMengecek langkah demi langkahomeyakinkah bahwa masing-masing tahap sudah benar.4.Melihat kembali serta menguji solusi yang diperoleh. groupingatasbeberapaelemenyangberhubungan.Dalammenempatkansuatuobyekkita perlumemperhatikanketerkaitanobyektersebutdenganlingkungannya.Misalnyaclipart; sertamertapenggunaakanmencarihubunganantarcliparttersebutdenganteksyangada. Contoh lain adalah penempatan anak judul. Anak judul yang terpisah dari teks di atasnya dan lebih mendekat pada teks di bawahnya akanlebih nyaman dari padayang takjelas posisinya dariteksdisekitarnya.Alignmentartinyapenjajaran.Dalamprinsipinisegalasesuatukita tempatkan dengan aturan tertentu, sehingga pengguna dapat menangkap bahwa konten-konten yang berkaitan seakan terhubung oleh garisyang tak tampak. Sebagai contoh dalam membuat sub judul; antara yang satu dengan yang lain harus ada kesejajaran (William, 1993). Repetition dimaksudkansebagaipengulanganbagian-bagianyangsenadadalamkeseluruhanteks. Misalnya kita menggunakan huruf tebal, warna, dan ukuran tertentu pada sub judul, kita harus melakukanhalyangsamauntuksubjudulberikutnya.PrinsipContrastdigunakanuntuk menarik pandangan kepada sesuatu yang penting. Kontras bisa ditimbulkan dengan pemakaianukuran huruf atau warna yang berbeda . Tetapi tetap harus mempertimbangkan keseimbangan, terlalubanyakperbedaandalamsatupagemenyebabkanpenggunasibukmenterjemahkan mana konten yang lebih penting. BerikutadalahcontohwebsiteyangmenerapkanprinsipPARCdenganbaik.Proximity ditunjukkandenganposisianakjudulyangjelasmelekatpadateksyangmenyertainya. Alignmentjelasdigunakanpadapemisahanantaraheadingdengankontenyangmenjorokke dalam.Repetitiondigunakansecarakonsistenpadapenggunaanshadow,warnahurufdan huruftebaluntuksubjuduldankonten.Repetitionjugaditunjukkanpadapenggunaanbullet yang konsisten sesuai dengan kategori isinya. Contrastdigunakan pada ukuran huruf sehingga pengguna dengan cepat mengidentifikasi heading-heading yang penting. Bahan bacaan: Dillon, A. (2008). Web style guide. Diambil dari http://www.webstyleguide.com/ Greenberry, A. (2005). PACMAN: An instructional design guide for the web. Diambil darihttp://ausweb.scu.edu.au/aw05/papers/refereed/greenberry/paper.html Henderson, M. & Henderson, L. (2006). Content design for online learning. QUICK: Journal of the Queensland. Society for Information Technology in Education, 99(Winter). Make it looks good. http://www.keyknox.com/bwit/classpages/looks.htm Neilsen, J. (1997) How users read on the web. Diambil dari www.useit.com/alertbox/9710a.html CONTOH KOMUNIKASI TULIS PADA JAWABAN SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh Wiworo OlimpiadeSainsNasional(OSN)sudahberlangsungsejak2002.PernahkahAndamencermati model soal-soal OSN, khususnya matematika? Apabila dicermati, ternyata soal-soal OSN bidang studi matematikahampirsemuanyabertipesoaluraian(kecualipadaseleksitingkatkabupaten/kotadan tingkatprovinsi,beberapasoalmasihbertipepilihangandadanisiansingkat).Soaluraian memerlukan langkah-langkah yang jelas, logis dan sistematis pada saat menuliskan jawabannya. Oleh karenaitupesertaolimpiadeperlumemilikikemampuanberkomunikasisecaratertulis.Tulisanyang dibuatharusefektif.Artinyatulisantersebutdapatdibacadandimengertioranglainserta menyatakandengantepatapayangdipikirkanolehpenulis.KarenaOSNadalahtesdenganwaktu terbatas, maka peserta harus dapat melakukan hal-hal di atas secara efisien. Kenyataanyangmunculselamainiternyatasiswasangatmengalamikesulitanketikaharus menjawabsoal-soalolimpiadeyangbertipeuraian.Banyakpesertaolimpiadeyangsebenarnya mempunyaikemampuanbernalardanmemecahkanmasalahyangcukupbaik,tetapimerekatidak mampuketikaharusmenuangkangagasannyadalambentukkalimat-kalimattertulis.Merekatidak tahuharusmulaimenulisdariapadanbagaimanaalurtulisannyasehinggatidakadaideyang loncat.HerySusanto,TeamLeaderTimOlimpiadeMatematikaIndonesia,pernahmenyatakan bahwakelemahanutamapesertaInternationalMathematicalOlympiad(IMO)dariIndonesiaadalah kemampuan menuangkan gagasan atau ide yang muncul ke dalam bahasa tertulis. Supayasiswamempunyaikemampuankomunikasitertulisyangcukupbaikjelasdiperlukan pembiasaan.Untukmembiasakanhaltersebut,berdasarkanpengalamanpenulismembinasiswa-siswa SMPN 8 Yogyakarta untuk menghadapi olimpiade matematika, langkah pertama yang dilakukan adalahmemintasiswauntukmenulissebanyak-banyaknyatentangcita-cita,target,keinginan ataupunhal-halsejenis.Iniuntukmelatihsupayasiswaterbiasamengeluarkanide-ideatau pendapatnya. Ide apapun harus dituliskan. Kemudian terkait dengan kemampuan menjawab soal-soal matematika,siswaharusdibebaskanuntukmengeluarkankreativitasmerekapadasaatmenjawab. Caramenjawabsepertiapapun,sepanjangtidakmelanggarkonsep-konsepmatematika,harus dihargaiolehguru.Inihanyabisaberjalandenganbaikjikasejakawalkitaselalumemberikansoal-soaltipeuraian.Denganlangkah-langkahsepertitersebutdiatas,justruseringsekalimunculproses jawabandarisiswayangunik,kreatifdandiluardugaankita.Arsip-arsipjawabansiswa yang seperti iniperludikoleksiolehparaguruuntukmenambahwawasandanreferensi.Prosespembiasaanini memangmemerlukanwaktu.Penulismencermati,denganlatihanyangintensif,parasiswatersebut perlu sekitar satu sampai dua tahun untuk dapat mempunyai kemampuan menulis yang cukup baik.Berikut ini adalah beberapa contoh komunikasi tulis yang cukup baik dari siswa sebagai akibat prosespembiasaan.SoalyangdikerjakanadalahsoalOSNmatematikaSMPtahun2009dandijawab oleh Gusnadi Wiyoga. Siswa tersebut adalah siswa kelas VIII SMPN 8 Yogyakarta yang berhasil meraih medali emas matematika SMP pada OSN VIII tahun 2009 di DKI Jakarta. Jawaban berikut ditulis ulang olehsiswatersebutempatharisetelahOSNdandibuatpersissepertipadasaatdiamenjawabnyadi OSN. 1.Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 1 Sebuahpersamaankuadratmemilikiakar-akarbilanganasliadanb.Persamaankuadratlainnya memilikiakar-akarbdancdengan.Jikaa,b,dancmerupakanbilangan-bilanganprima yangkurangdari15,adaberapamacampasanganyangmungkinmemenuhisyarattersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)?Jawaban siswa: 2.Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 4 Diketahui segitiga ABC dengan A sebagai puncak dan BC sebagai alas. Titik P terletak pada sisi CA. DarititikAditarikgarissejajarPBdanmemotongperpanjanganalasdititikD.TitikEterletak pada alas sehingga CE : ED = 2 : 3. Jika F adalah tengah-tengah antara E dan C, dan luas segitiga ABC sama dengan 35 cm2, berapakah luas segitiga PEF? Jawaban siswa: 3.Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari II, nomor 4 Pada suatu segitiga titik terletak pada sisi dan titik terletak pada sisi Tunjukkan bahwa. Jawaban siswa: Tugas dan Peran PPPPTK Matematika dalam Implementasi Program BERMUTU Oleh: Sri Wardhani Pengantar SejakdigulirkannyaprogramBERMUTUolehpemerintahpadatahun2008,PPPPTK Matematikalangsungterlibatdalamkegiatan-kegiatannya.Agarhasilkegiatandariketerlibatan ituterusmeningkatdariwaktukewaktu,optimaldansesuaidenganketentuanyangtelah ditetapkan maka perlu didukung adanya pemahaman yang memadai dari semua pihak terkait dan khususnya seluruh warga PPPPTK Matematika tentang program BERMUTU dan tugas PPPPTK Matematika dalamimplementasi program BERMUTU.Tulisaninibertujuanmensosialisasikan tentangprogramBERMUTUdantugasPPPPTKMatematikadalamimplementasiprogram BERMUTUkepadawargaPPPPTKMatematikapadakhususnya,danparapendidik,tenaga kependidikan, serta para pemangku kepentingan pendidikanyangberkaitan dengan pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah pada umumnya. Latar Belakang Program BERMUTU KataBERMUTUmerupakanakronimdariBetterEducationThroughReformedManagement andUniversalTeacherUpgrading.ProgramBERMUTUmerupakansalahsatuprogram pemerintahdalamupayameningkatkankompetensidankinerjaguru.Programiniakan berkontribusiterhadappengembangankualitassumberdayamanusiakearahpertumbuhan produktivitas dan peningkatan daya saing Indonesia dalam ekonomi global (Project Operational Manual atau POM BERMUTU, hal II-4). MengapaprogramBERMUTUdigulirkan?Kitaingatkembalibahwapemerintahtelah melakukanreformasiguruyangdiawalidengandisahkannyaUndang-UndangGurudanDosen (UUGD) pada tahun 2005. Dengan disahkannya UUGD itu maka pekerjaan sebagai guru diiakui sebagaisuatu profesi. Akibatnya, setiap orang yang berperan sebagai guru di tanah air ini harus bersertifikasi. Oleh karena itu mulai tahun 2007 pemerintah melakukan kegiatan sertifikasi guru kepadasekitar2,7jutaguruyangtelahmenjalankantugassebagaigurunamunbelum bersertifikasiataubelummemilikisertifikatguru(pendidik).Kegiatantersebutdiharapkan selesaidalamwaktu10tahunsejakUUGDdisahkan(tahun2015).Selainitupemerintahjuga mengelola kegiatan pendidikan profesi guru yang ditujukan kepada para calon guru. Berbagaipenelitiantentanggurudanhasilbelajarsiswamemberikansejumlahimplikasiakan pentingnyaberbagaistrategipeningkatanmutugurudalamrangkamemperbaikiproses pembelajaran.Tingkatpendidikan,prestasidansertifikasitidakdapatmenjaminparaguru mampumenyampaikanpengetahuanyangdiperolehsepanjanghidupnyadalambentukmateri pelajaranyangmemadaiselamaprosesbelajarmengajar.Penguasaanmateridanketerampilan mengajarkanmateri,akanmenentukankeberhasilanpeningkatanpembelajaransiswa. Pengembangan Profesional Berkelanjutan (Continuous Professional Development) diyakini akan menjadisalah satu faktor penentu utama dari performansi/kinerja guru dan pembelajaransiswa. Pengalaman negara-negara lain mendukung kenyataan bahwa partisipasi dalam workshop, kursus danpelatihan,mengarahpadapeningkatankualitasgurusecarasignifikan.RancanganProgram BERMUTUdikembangkandalamkerangkapikirtersebut.Nilaitambahprogramadalah membantuupayapemerintahyangmengarahkepadaguruyangbersertifikatyangselanjutnya diharapkan dapat menghasilkan praktek pembelajaran yang baik (POM BERMUTU hal II-1,2) Tujuan Program BERMUTU dan Indikator Kunci Guru bersertifikat akan menerima tunjangan profesional (sepadan dengan satu bulan gaji pokok), tunjanganjabatan,dantunjangankhususbagiyangmengajardidaerahkhusus(jugasepadan dengansatubulangajipokok).SecarakeseluruhanberartibahwadibawahUUGDtersebut, seluruh guru akan mendapatkan gaji dua kali lipat setelah mendapatkan sertifikat pendidik. Para guru di daerah terpencil atau daerah sulit akan menerima gaji tiga kali lipat setelah bersertifikat, danmenerimatunjangankhusus,sebagaitambahanselaintunjanganprofesionaldantunjangan fungsional (POM BERMUTU, hal II-2). Strategipemerintahmenegaskankepadaseluruhpemangkukepentinganpendidikanbahwa tunjangandaninsentiffinansialyangdinaikkanpemerintahharussejalandenganpeningkatan kinerjagurusecaraberkelanjutansehinggaberdampakpositifpadapeningkatankualitas pendidikandiIndonesia.(POMBERMUTU,halII-2).Penjaminanterkaithalituantaralain dilaksanakan melalui program BERMUTU. AdapuntujuanProgramBERMUTUadalahuntukmendukungupayapeningkatankualitasdan kinerja guru melalui peningkatan penguasaan materi pembelajaran dan keterampilan mengajar di kelas.Indikatorkunciuntukmengukurpeningkatankualitasdankinerjagurusebagaiberikut. (POM BERMUTU, hal II-4,5) 1. Peningkatan jumlah guru yang memenuhi kualifikasi akademik sebagaimana ditetapkan dalam UUGD. 2.PeningkatanjumlahguruSDdanSLTPdikabupaten/kotamitraProgramBERMUTUyang mengajarsesuaidenganlatarbelakangpendidikannya,danmenggunakanstrategimendidik yang sesuai dengan usia siswa; dan 3.Penurunan angka kemangkiran guru di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU. Sasarantersebutakandicapaimelalui:inisiasireformasikebijakandasardalampendidikan prajabatan(pre-service)danpendidikandalamjabatan(in-service)gunamenyediakanakses yangmeratabagiguruuntukmeningkatkankualifikasipendidikan,kompetensidankinerja mengajarnya;pengembangansisteminsentifdanpromosiataupeningkatankarirguruyang mencerminkanpeningkatankompetensidankinerjaguru;danpeningkatanpengembangan profesionalberkelanjutan/CPD(ContinuousProfessionalDevelopment)bagiparaguru bersertifikat; serta monitoring dan evaluasi terhadap seluruh kegiatan tersebut. Komponen Program BERMUTU ProgramBERMUTUberfokuspadanilaitambahreformasiguruyangdigagaspemerintah dengancaramemperkuathubunganantaraprosessertifikasidanpemberiantunjanganprofesi untuk percepatan pembelajaran siswa. Program ini bukan untuk membiayai tunjangan baru untuk guru;tapisebagaigantinya,berdasarkanpengalamaninternasionalakanmemberikannilai tambah dengan cara sebagai berikut (POM BERMUTU, hal II-2).1.Mengkajiulangkebijakandanstrukturpendidikanpra-jabatan(preserviceeducation)untuk memastikanbahwaprogrampendidikantersebutmampumembentukkompetensiyang ditetapkan;2.Mendukungrancangandanpenyediaanprogram-programbagiguruyangbelummemenuhi syarat untuk disertifikasi karena kurang kualifikasi dan atau kompetensi;3.Menemukandampakperubahankebijakanuntukmembantupeningkatankompetensidan kinerja guru secara berkelanjutan; dan4.Melaksanakanmonitoringselamapelaksanaanprogramdanevaluasiuntukmengukur dampak, dan memandu mplementasi undang-undang tersebut. Mutugurubergantungkepadasejumlahfaktor,antaralainsebagaiberikut(POMBERMUTU, hal II-5). 1.kemampuan akademis yang kuat tentang materi yang diajarkan;2.penguasaan keterampilan mengajar, terutama komunikasi dengan peserta didik; 3.keterampilan menggunakan media pembelajaran;4.penguasaan manajemen kelas;5.pengetahuan dan penggunaan berbagai macam teknik penilaian;6.keterampilan sosial yang diperlukan untuk bekerja dengan sejawat, orangtua dan masyarakat;7.pengembanganprofesiberkelanjutanselamabertugasuntukmendukungpengembangan karir; dan8.sistempemantauandanevaluasiyangbaikuntukmenyediakanumpanbalikyangmemadai dan tepat waktu bagi pengembangan mutu guru secara berkelanjutan. Seluruhfaktortersebut,dalamProgramBERMUTUdicakupmelaluipenyelenggaraanempat komponenprogramyangsalingterkait,sinergisdandirancangsecarakomprehensif.Empat komponen program tersebut sebagai berikut. (POM BERMUTU, 2008: hal. II-5 s.d. II-14).1.Reformasi Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan atau LPTK. 2.Pengembangan Struktur Pengembangan Guru di Tingkat Daerah. 3.ReformasiAkuntabilitasGurudanSistemInsentifuntukPeningkatanKinerjadanKarir Guru. 4.Peningkatan Program Koordinasi, Pemantauan dan Evaluasi. Terkait dengan empat komponen program BERMUTU tersebut maka unit-unit utama Depdiknas yang terkait dengan program BERMUTU sebagai berikut (POM BERMUTU, hal. III-2). 1.DirektoratJenderalPeningkatanMutuPendidikdanTenagaKependidikan(Ditjen PMPTK),denganmelibatkan3(tiga)direktoratyaituDirektoratProfesiPendidik(Dit. Prodik),DirektoratTenagaKependidikan(Dit.Tendik),danDirektoratPembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit. Bindiklat);2.DirektoratJenderalPendidikanTinggi(DitjenDikti),dengansatuankerjaDirektorat Ketenagaan dan perguruan tinggi pelaksana kegiatan;3.BadanPenelitiandanPengembangan(Balitbang)Depdiknas(Kemdiknas)dengan melibatkanPusatStatistikPendidikan(PSP),PusatPenelitianKebijakandanInovasi Pendidikan(Puslitjaknov),PusatPenilaianPendidikan(Puspendik),danBadanAkreditasi Nasional Perguruan Tinggi (BAN-PT). DalampelaksanaanProgramBERMUTU,DitjenPMPTKbertindaksebagaiProgram CoordinatingUnit(PCU)atauUnitKoordinasiProgrampadatingkatnasionalsecara keseluruhan.DisampingituDitjenPMPTKmelaluiDirektoratPembinaanPendidikandan Pelatihan(Dit.Bindiklat)akansekaligusberperansebagaiProgramImplementationUnit(PIU) atauUnitImplementasiProgram.BegitupulaDitjenDiktidanBalitbangmasing-masing bertindak sebagai PIU, sehingga secara keseluruhan program BERMUTU akan terdapat 3 (tiga) PIU. TanggungjawabutamaDitjenPMPTKdalamimplementasiprogramBERMUTUadalah mengkoordinasikanpengembanganberbagaikebijakanpeningkatankualitasguru,dan memfasilitasiimplementasikebijakanpemberianDanaBantuanLangsungkepadakelompok kerjaguru(KKG/MGMP),kepalasekolah(KKKS/MKKS),pengawas(KKPS/MKPS),dan LPMPsertaPPPPTKdalamlingkupkomponen2,dankegiatan-kegiatanpeningkatan kompetensipascasertifikasipadakomponen3(melaluiguguskerjayangmewakiliberbagai pemangkukepentinganyangrelevan).Disampingitu,unitiniberperansebagaiProgram Coordinating Unit (PCU) yang bertanggungjawab mengkoordinasikan seluruh kegiatan program padasubkomponen4.3(kegiatan-kegiatanuntukmendukungkoordinasidanmonitoring programBERMUTU),menyusunlaporanterkonsolidasi,dandalamhubungandenganmisi supervisiBankDunia,memonitorkemajuanimplementasiprogram.selanjutnyadalamkaitan dengansubstansikualitasguru.PCUberkolaborasidengan2ProgramImplementationUnit (PIU)lain(DiktidanBalitbang);danjugabertindaksebagaisekretariatSteeringCommittee (SC). Tugas PPPPTK Matematika dan Instansi LingkupDitjen PMPTK PPPPTKMatematikamerupakansalahsatuinstansiunitpelaksanateknisdariDitjenPMPTK sehinggatanggungjawabPPPPTKMatematikadalamprogramBERMUTUmerupakanbagian dari tanggungjawab Ditjen PMPTK dalam program BERMUTU. Dalam lingkup Ditjen PMPTK, adabeberapainstansilainyangterlibatdalamprogramBERMUTU.Dalamimplementasi programBERMUTU,PPPPTKMatematikaharusmenjalinkerjasamayangsinergisdengan instansi-instansi tersebut. Berikutini uraian tanggungjawabmasing-masinginstansi terkaityang diambil diambil dari POM BERMUTU halaman III-7 dan III-8. DitjenPMPTKsebagaiPIUprogramBERMUTUbertanggungjawabmengembangkan kebijakandanberbagaipanduanuntukmeningkatkankualitasguru,pemberianDanaBantuan Langsungkepadakelompokkerjaguru(KKG/MGMP),kepalasekolah(KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS), forumKKG/MGMP danforumKKKS/MKKS danbantuan program bagi LPMP dan P4TK. Dengan lingkup tanggung jawab tersebut, PIU Ditjen PMPTK mencakup tigadirektoratyangtugaspokokdanfungsinyarelevandenganprogramyangdikembangkan melaluiProgramBERMUTU,yakniDirektoratPembinaanPendidikandanPelatihan(Dit Bindiklat),DirektoratProfesiPendidik(DitProdik),danDirektoratTenagaKependidikan(Dit Tendik).PIUDitjenPMPTKjugabertanggungjawabuntukmengkompilasiInterimFinancial Report/IFRdarisetiappenanggungjawabkegiatandanbertanggungjawabmenyampaikanSurat PermintaanPembayaran/SPPkepadaBiroKeuanganyangakanmenerbitkanSuratPerintah Membayar/SPM. Dit Bindiklat bertanggungjawab dalammengembangkanmodul pelatihan untuk meningkatkan kapasitas KKG/MGMP, LPMP dan P4TK sebagai sistem pendukung peningkatan kualitas guru, dalam upaya peningkatan kualifikasi dan kompetensi guru. DitTendikbertanggungjawabmengembangkankebijakandanproseduruntukmeningkatkan kapasitasKKKS/MKKSdanKKPS/MKPSsebagaisistempendukunguntukmengembangkan kemampuan manajerial pada tingkat sekolah dan kemampuan supervisi para pengawas, termasuk menyelenggarakanpelatihanbagikepalasekolahdanpengawasagarmampumenggunakan prosedurpenilaianguruberbasiskinerjadanberbasiskompetensi,sertamelakukanpembinaan guruberdasarkan hasil penilaian dalam program magang (Induksi Guru Baru). DitProdikbertanggungjawabmengembangkanberbagaikebijakandanprosedur:(i) mengembangkansistemRecognitionPriorLearning(RPL)dalamupayaprosespercepatan peningkatankualifikasigurukejenjangyanglebihtinggi;termasukmodelpeningkatan kualifikasiguru;(ii)peningkatankemampuanprofesionalgurusecaraberkelanjutanpasca-sertifikasi.Disampingitujugabertanggungjawabuntukmenyusunmekanisme,prosedurdan instrumenyangterkaitdengankemajuankarirdanpromosiyangsejalandenganprestasidan kinerjaguru.Pengembanganmekanismedanprosedurtersebutdilakukanmelaluiujicoba terbatas di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU. PPPPTKbertanggungjawabdalammengembangkanmodul-moduldiklatterakreditasiyang akandigunakandalamkegiatandiKKGdanMGMPsertamenyelenggarakanpelatihanuntuk PCT(ProvincialCoreTeam)danDCT(DistrictCoreTeam).DisampingituP4TKjuga bertanggungjawabdalammengkoordinasikanpelaksanaanMonitoringdanEvaluasi(M&E kegiatan KKG dan MGMP secara regional. LPMPbertanggungjawabdalammenentukanalokasiBantuanDanaLangsungperkabupaten, mengembangkanpedomanpenyelenggaraanprogramBantuanDanaLangsungsertamemonitor danmengevaluasipelaksanaanBG(blockgrant).DisampingituLPMPbertanggungjawab dalampengembangansistempendukungbagiguru,kepalasekolah,danpengawas,penyediaan bantuanteknisolehLPMPuntukmengembangkankapasitaskepalasekolahdanpengawas, pengembangankapasitasKKG/MGMPsebagaicaramenyediakanpelatihanyangefektifpada tingkat sekolah, Pustekkom,bertanggungjawabpengembangkanmodul-modulpelatihanberbasisICTyang akandigunakanolehkelompokkerjaguru(KKG/MGMP),kepalasekolah(KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS) dalam pelatihan yang efektif, serta mendukung penyebarluasan modul tersebut melalui TVE dan Jardiknas (POM BERMUTU, 2008: hal. III-8). Program BERMUTU PPPPTK Matematika TelahdiuraikanbahwatugasutamadariPPPPTKMatematikadalamimplementasiprogram BERMUTUadalahmengembangkanmodul-moduldiklatterakreditasiyangakandigunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta menyelenggarakan pelatihan untuk PCT dan DCT. Di sampingituP4TKjugabertanggungjawabdalammengkoordinasikanpelaksanaanmonitoring danevaluasikegiatanKKGdanMGMPsecararegional.Tanggungjawabtersebuttelah dilaksanakanolehPPPPTKMatematikamulaitahun2008.Adapunkegiatanterkaitprogram BERMUTUyangtelah(tahun2008,2009)danakan(tahun2010)dilaksanakanolehPPPPTK Matematika sebagai berikut. Tahun 2008: BeberapakegiatanyangtelahdilaksanakanPPPPTKMatematikapadatahun2008sebagai berikut. 1.Parapejabatstruktural,Widyaiswara,danparapembantupimpinanmengikutisosialisasi programBERMUTUyangdiselenggarakanolehDitjenPMPTKdalamperiodewaktu sepanjang tahun 2008.2.MegirimkanWidyaiswarauntukmenjadipenulisdalampenyusunanBahanBelajarMandiri (BBM)Penelitian TindakanKelas (PTK)lingkupmata pelajaranMatematika SD dan SMP dalam periode waktu bulan Juli s.d. Desember 2008. 3.MengirimkanWidyaiswarauntukmengikutiTOTNCT(NationalCoreTeam)yang diselenggarakanolehDirektoratBindiklatpadabulanDesember2008.Ada8orang Widyaiswara sebagai peserta.. 4.MenyelenggarakanTOTPCT(ProvincialCoreTeam)danDCT(DistrictCoreTeam)pada bulan Desember 2008. Tahun 2009 Pada tahun 2009, di bawah koordinasi Direktorat Pembinaan Diklat, PPPPTK Matematika telah mengelola kegiatan BERMUTU sebagai berikut. 1.RapatKerjaTeknisPenyusunandanFinalisasiModul-moduldanSistemPelatihan,26 September s.d. 8 Oktober 2009. Kegiatan mencakup penilaian, editing dan lay outing modul. Sejatinya sebelum rapat, kegiatan telah diawali dengan penulisan modul pada bulan Agustus 2009. Dari rapat telah dihasilkan 20judulmodul(9judul-SD, 11judul-SMP). Modul dapat diakses di http://www.p4tkmatematika.com. 2.Pelatihan Penggunaan Modul , tanggal 9 s.d 14 Oktober 2009 dengan sasaran 16 propinsi. 3.National Trainingbagi Tim PengembangKKG danMGMP pada tanggal 15 20 Oktober 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel) 4.ToT PCT KKG dan ToT PCTMGMP, tanggal 21 26 Oktober 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 5.ToTDCTKKGdanToTDCTMGMPpadatanggal27Oktobers.d1November2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 6.ToT KKKS/MKKS dan ToT KKPS/MKPS, tanggal 1 s.d. 6 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 7.MonitoringpelatihanKKGdanMGMPdikabupaten/kotaolehTimPengembangpada tanggal 12 30 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). 8.MonitoringdiKKGdanMGMPolehTimPengembangpadatanggal1230November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel). Tahun 2010 SesuaidengantanggungjawabimplementasiprogramBERMUTUyangtelahditentukandalamPOM, PPPPTKMatematikabertugasmengelolabeberapakegiatanprogramBERMUTUpadatahun2010. Kegiatan yang direncanakan sebagai berikut. No Nama dan Rencana WaktuRencana Tujuan Rencana Peserta/ Sasaran 1.Workshop Pengembangan Modul dan Sistem Pelatihan, Mengidentifikasi topik dan judul, modul Mengidentifikasi garis besar isi tiap modul dan naskah sistem pelatihan Widyaiswara, calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika Widyaiswara LPMP dan Guru Pemandu KKG/MGMP dari kabupaten/kota mitra tanggal 15-20 Februari 2010 Menyusun sistematika isi modul dan naskah rancangan pelatihan Dari workshop diharapkan dapat diidentifikasi dan diurai garis besar isi minimal20 judul modul dan 1 naskah rancangan pelatihan. program BERMUTU dari beberapa propinsi mewakili wilayah barat, tengah dan timur Indonesia Dosen Matematika dari LPTK Banyak peserta: 40 orang 2.Rapat Kerja Teknis Tim Pengembang Modul , tanggal23Februari s.d. 31 Maret 2010 Menyusun modul sehingga siap digunakan dalam kegiatan pelatihan di KKG/MGMP melalui program BERMUTUMenyusun naskah rancangan pelatihan yang akan dikelola oleh PPPPTK Matematika Idem nomor 1. Banyak peserta: penulisan (42 orang), penilaian (32 orang), editing (21 orang) dan lay outing (21 orang) 3.Pelatihan Penggunaan Modul, tanggal 5-10 April 2010 Meningkatkan pemahaman dan ketrampilan peserta dalam menggunakan modul PPPPTK Matematika dan Direktorat Pembinaan Diklat Meningkatkan pemahaman peserta tentang kebijakan terkait implementasi program BERMUTU Widyaiswara Matematika LPMP Dosen Matematika dari LPTKGuru (instruktur) wakil PCT dan DCT KKG/MGMP berlatar belakang matematika dari 16 propinsi mitra program BERMUTU Widyaiswara/Calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika.Banyak peserta: 70 orang 4.National Training(NT) bagi Tim Pengembang KKG, tanggal 20-25 April 2010National Training(NT) bagi Tim PengembangMGMP, tanggal 26 April 1 Mei 2010 Meningkatkan pemahaman dan menyamakan persepsi peserta tentangprogram kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU Membangun kemitraan antar lembaga yang terlibatdalam implementasi program BERMUTU di region Jateng dan Sulsel Meningkatkan pemahaman peserta tentang kegiatan BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika Pengelola program BERMUTU dari instansi:Dinas Pendidikan dan wakil pengelola KKG/MGMPdari 16 kabupaten/kota mitra BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel,LPTK, LPMP di Jateng dan Sulsel,PPPPTK Matematika.Banyak peserta: 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang KKG dan 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang MGMP 5.ToT PCT bagiKKG tanggal 3-8 Mei 2010 ToT PCT bagi MGMP tanggal 10-15 Mei 2010 Meningkatkan kompetensi para PCT dalam memahami modul-modul yang disusun oleh PPPPTK Matematika dan Dit Bindiklat serta cara penggunaannya kepada tim DCT Meningkatkan pemahaman para PCT tentangprogram kegiatan dan PCT (calon PCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakildari 16 propinsi mitra program BERMUTU Banyak peserta: 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT PCT bagi KKG dan 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT PCT bagiMGMP kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU 6.ToT DCT KKG, tanggal 24-29 Mei 2010 ToT DCT MGMP,tanggal 17-22 Mei 2010 Meningkatkan kompetensi para DCT dalam memahami modul-modul yang disusun oleh PPPPTK Matematika dan Dit Bindiklat untuk kegiatan BERMUTU serta cara pembimbingan penggunaannya kepada para guru pemandu di KKG/MGMP Meningkatkan pemahaman para DCT tentangprogram kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK(Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU DCT (calon DCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakildari 16 propinsi mitra program BERMUTU.Banyak peserta: 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT DCT bagi KKG dan 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT DCT bagiMGMP 7.ToT KKKS/ MKKS tanggal 15-20 Juni 2010 ToT KKPS/ MKPS tanggal 21-26 Juni 2010 Meningkatkan pemahaman dan menyamakan persepsi peserta tentang proses dan pengelolaan kegiatan BERMUTU di KKG/MGMP/ KKKS/MKKS/KKPS/MKPSMeningkatkan pemahaman peserta tentangprogram kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU Meningkatkan pemahaman peserta tentang kegiatan BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika Kepala Sekolah wakil KKKS/MKKS danPengawas wakil KKPS/MKPS yang wilayah KKG/MGMPnya mengikuti program BERMUTU dari 16 kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel,Widyaiswara LPMP dan Dosen LPTK Jateng dan SulselWidyaiswara PPPPTK Matematika Banyak peserta: 70 orang untuk ToT KKKS/MKKS dan 70 orang untuk ToT KKPS/MKPS 8.Monitoring pelatihan KKG dan MGMP di kabupaten/kota oleh Tim Pengembang11-14 Juni 2010 (persiapan) Juni Sept. 2010 (pelak-sanaan) 1-3 Nov. 2010 Mengetahui kinerja dan hambatan yang dihadapi oleh para DCT dalam mendiseminasikan hasil ToT DCT yang telah diikutinya.Mendapat masukan terkait ToT DCT yang telah dan akan dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika Responden (210 orang 16 kabupaten/ kota wakil 16 propinsi untuk pelatihan KKG dan MGMP:Wakil alumni ToT DCT oleh PPPPTK Matematika dan peserta pengimbasan (guru pemandu) di 16 kab/kota mewakili 16 propinsi mitra program BERMUTU. Petugas persiapan (210 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika. Petugas pelaksanaan (232 orang petugas pusat dan 216 orangpetugas daerah untuk KKG dan MGMP):unsur PPPPTK Matematika (NCT (pengolahan data dan pelaporan hasil) dan pendampingnya) atau PCT/DCT sebagai petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah Petugas pengolahan data (25 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika 9.Monitoring oleh Tim Pengembang di KKG dan MGMP 11-14 Juni 2010 (persiapan) akhir Juli 31 Okt. 2010 (pelaksanaan) 1-3 Nov. 2010 (pengolahan data dan pelaporan hasil) Mengetahui kondisi atau proses kegiatan di KKG/ MGMP dan mengidentifikasi hambatan yang dihadapi oleh para pengurus KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU Membimbing para guru pemandu dan pengurus KKG/MGMP dalam memecahkan permasalahan yang muncul terkait proses kegiatan belajar dan pengelolaan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU Responden (320 orang di 32 KKG dan 320 orang di 32 MGMP): Guru peserta, guru pemandudan pengurus KKG/ MGMP di 16 kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel. Petugas persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8. Petugas pelaksanaan (254 orang petugas pusat dan 232 orangpetugas daerah untuk KKG dan MGMP):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan pendampingnya), atau PCT/DCT sebagi petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (25 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika 10Monitoring PCT KKG/MGMP oleh Tim Pengembang 11-14 Juni 2010 (persiapan) akhir Juli Oktober (pelaksanaan) 1-3 Nov. 2010 (pengolahan data dan pelaporan hasil) Memfasilitasi alumni PCT dalam membantu Tim DCT mengevaluasi KKG/MGMP/KKKS/ MKKS/ KKPS/MKPS Mengetahui kondisi dan proses kegiatan di KKG/ MGMP dan mengidentifikasi hambatan yang dihadapi oleh para pengurus KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU Membimbing para guru pemandu KKG/MGMP dalam memecahkan permasalahan yang muncul terkait proses kegiatan belajar dan pengelolaan KKG/MGMP dalam implementasi program BERMUTU Responden (50 orang): Guru pemandu dari KKG/MGMP wilayah terpencildan Guru pemandu, pengurus KKG/MGMP, kepala sekolah/pengawaspendamping di KKG/MGMP yang bukan sasaran pada kegiatan monitoring di no. 9 dari kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel. Petugas persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8 .Petugas pelaksanaan: (54 orang petugas pusat dan 54 orang petugas daerah):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan pendampingnya) sebagi petugas pusat, PCT/DCTsebagai petugas pusat/daerah dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (5 orang): unsur PPPPTK Matematika Penutup Sampaidengansaatiniterdapat16propinsiterdiridari75kabupaten/kotayangtelahbersedia menjadimitraprogramBERMUTU.ImplementasiprogramBERMUTUpadalimatahun pertama (2008-2012) diharapkanakanmampumembentuk sistem dan pola kegiatan pembinaan danpeningkatankompetensidankinerjagurusecaraberkelanjutanmelaluiforumorganisasi profesiKKG/MGMPdanKKPS/MKPSsertaKKKS/MKKS.Padasuatusaatnantidiharapkan semua propinsi dan kabupaten/kota di Indonesiaini dapatmengadopsisistem dan pola kegiatan dalam program BERMUTU untuk membina dan meningkatkan kompetensi dan kinerja para guru diwilayahmasing-masing.Tulisaninidiharapkandapatmenggugahsemangatdantekadpara pembacauntukikutmenyukseskanprogramBERMUTU.UntukwargaPPPPTKMatematika, tulisaninidiharapkandapatmemperjelasperandantugasmasing-masingdalamkegiatan program BERMUTUyang dikelola oleh PPPPTK Matematika sehingga akhirnya dapat berhasil optimal sesuai ketentuan yang telah ditetapkan. Daftar Pustaka Depdiknas. 2008. Project Operation Manual (POM) Program BRMUTU. Jakarta: Depdiknas Ditjen PMPTK.2009. Panduan Operasional Tim Inti Peningkatan Profesionalisme Pendidikdan Tenaga KependidikanProgram BERMUTU. Jakarta: Ditjen PMPTK. PPPPTK Matematika.2008. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2008Yogyakarta: PPPPTK Matematika. PPPPTK Matematika.2009. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2009Yogyakarta: PPPPTK Matematika. PPPPTK Matematika.2010. Rencana Operasioal (RENOP) PPPPTK Matematika Tahun 2010. Yogyakarta: PPPPTK Matematika. 1 Peranan Beda (Selisih) untuk Menentukan Rumus Jumlah Suatu Deret Oleh: Markaban Di Sekolah MenengahAtasmaupun SekolahMenengahKejuruan terkadangmasih dijumpai permasalahan dalam materi pembelajaran barisan dan deret. Permasalahan yang dihadapi guru dalammateritersebutkadangkalahanyadikarenakankurangcermatdalammemahamisoal, ataupemahamanyanghanyabersifathafalansebagaimanayangbiasaditerangkankepada siswa,yaitumenyampaikanmaterihanyamengenai deret aritmetika dan geometri sajatanpa pengembangan. Berdasarkan hasil pretes pada kegiatan Diklat Guru Pengembang Matematika Jenjang Dasaryang terkait denganmateribarisan dan deret, sebagianjawaban peserta diklat masihkosong,danmasihperlukecermatandalammemahamisoal.Disampingitusetelah mendiskusikanmaterimengenaiciri-ciri,sifat-sifat,dancaramenentukansukuke-nbarisan aritmetikamaupunbarisangeometrisertajumlahnsukupertamadarideretaritmetika maupunderetgeometri,masihbanyakjugapesertadiklatyangbelumdapatmenyelesaikan soal yang bukan merupakan deret aritmetika maupun deret geometri seperti misal menentukan jumlah25sukupertama(S25)darideret:1+3+6+10+.....Halinilahyangkemudian menimbulkanpertanyaan/permasalahanguru:Bagaimanacaramencarijumlahsuatuderet yang bukan deret aritmetika maupun deret geometri?. Salah satu cara dalam menentukan rumus umumjumlah n suku pertama dari deret ini adalah dengan memperhatikan beda (selisih) antara dua suku yang berurutan. Bagaimanakah peranan beda tersebut untuk menentukan rumus jumlah suatu deret?Perhatikanprosespencarianbeda(selisih)tetapdarisuatubarisanyangdimaksud.Apabila padasatutingkatpenyelidikanbelumdiperolehselisihtetap,makapenyelidikandilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat penyelidikan, disebut berderajat dua bilaselisihtetapdiperolehdalamduatingkatpenyelidikandanseterusnya.Untuklebih jelasnya perhatikan contoh berikut: Barisan1,2,3,4,disebutbarisanberderajatsatukarenaselisihtetapdiperolehpada satu tingkat penyelidikan. 2 12 34 K Barisan1,3,6,10,15,disebutbarisanberderajatduakarenaselisihtetapdiperoleh pada dua tingkat penyelidikan. 1 3 61015 K 23 4 5 Barisan2,6,19,46, 92,disebutbarisanberderajattigakarenaselisihtetapdiperoleh pada tiga tingkat penyelidikan. 2 6 19 46 92 K 413 27 46 914 19 55 Secaraumumapabilabarisanbilangantersebutadalah:U1,U2,U3,...danoperatorbeda (selisih) dilambangkan dengan , maka dapat kita gambarkan sebagai berikut: U1 U2U3 U4U5 U6 U7 .... beda1 U1U2U3U4 U5 U6 beda 2 2U1 2U22U32U4 2U5 beda 33U13U2 3U3 3U4 dst Diperoleh (*) : U2 = U1 + U1 = (1 + ) U1

111selisih tetap = 1 1 1 1 selisih tetap = 1 selisih tetap = 5 3 U3 = U2 + U2 dengan U2 = U1 + 2U1U3 = U1 + 2U1 + 2U1= (1 + )2 U1 U4 = U3 + U3 dengan U3 = U2 + 2U2 = U1 + 2U1 + 2U1+ 3U1 = U1 + 22U1 + 3U1 U4 = U1 + 2U1 + 2U1+ U1 + 22U1 + 3U1 = U1 + 3U1 + 32U1 + 3U1 = (1 + )3 U1 Apabilakitaamatikoefisiensuku-sukudaribentukdiatas,dankitabandingkandenganapa yang telah kita ketahui bahwa: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

.... maka koefisiennya membentuk segitiga Pascal, yang disajikan sebagai berikut. (a + b)11 (a + b)2121(a + b)31 331 (a + b)4 14641 .................................................... Secara umum: 1 2 2 3 3( 1) ( 1)( 2)( )2! 3!n n n n nn n n n na b a na b a b a b + = + + + +KPersamaan inilah yang sering kita kenal dengan teorema Binomial yaitu: 1 2 2 1( 1)( )2!n n n n n nn na b a na b a b nab b + = + + + + + K= =nrrbr na r n C0) , ( 4 Pada teorema Binomial, koefisienbinomial dari sebarangsukunya dinyatakan dengan C(n,r) atau |||

\|rn, dengan |||

\|rn= ! ) ( !!r n rn, sehingga teorema Binomial dapat juga ditulis: 1 2 2 3 3( )0 1 2 3n n n n n nn n n n na b a a b a b a b bn || || || || ||+ = + + + + +| | | | |\ \ \ \ \K

PerhatikankembalibarisanbilanganU1,U2,U3,...Barisantersebutdimulaidarisukuke-1, tetapikoefisienbinomialterbentukmulaipadasukuke-2(perhatikanuraian(*)diatas), sehinggakoefisiensuku-sukudaribarisanbilangantersebutadalah |||

\| 01 n, |||

\| 11 n, |||

\| 21 n dan seterusnya. Oleh karena itu bentuk rumus suku ke-n dari suatu barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut. 21 1 1 11 1 1( 1)( 2) 10 1 2 1.2.3pnn n nn nU U U U Up | | | | | | = + + + + |||\ \ \ KKK 21 1 1 1( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) 1( 1)1.2 1.2.3pn n n nU n U U Up = + + + + K KKK denganp menunjukkan derajat barisan. Secara induktif untuk menentukan rumus jumlah n suku pertama adalah sebagai berikut. S1 = U1 = 1. U1S2= S1 + U2 = U1 + (U1 + U1) = 2U1 + U1 = 2.U1 + 1.2 1) 2.(2U1

S3= S2 + U3 = (2U1 + U1) + (U1 + 2U1 + 2U1) = 3U1 + 3U1 + 2U1 =

3.U1+2 . 1) 1 3 ( 3 U1 + 3 . 2 . 1) 1 3 )( 2 3 ( 3 2U1 5 S4 = S3 + U4= (3U1+ 3U1 + 2U1)+(U1 + 3U1 + 32U1 + 3U1) = 4U1 + 6U1 + 42U1 + 3U1

= 4.U1 + 2 . 1) 1 4 ( 4 U1 + 3 . 2 . 1) 2 4 )( 1 4 ( 4 2U1 + 4 . 3 . 2 . 1) 3 4 )( 2 4 )( 1 4 ( 4 3U1 M Sn = U1 + U2 + U3 + + Un

= nU1 + 2 . 1) 1 ( n nU1 + 3 . 2 . 1) 2 )( 1 ( n n n2U1 + + ) 1 ...( 3 . 2 . 11 )... 2 )( 1 (+ pn n npU1 Berikut adalah salah satu jawaban dari pertanyaaan guru dalam menyelesaikan deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + .... Terlebih dulu kita cari selisih tetapnya sebagai berikut. 1 3 61015 K 23 4 5 Maka dengan rumus di atas diperoleh, Sn =nU1 + 2 . 1) 1 ( n nU1 + 3 . 2 . 1) 2 )( 1 ( n n n2U1 = n.1 + 2 . 1) 1 ( n n. 2 + 3 . 2 . 1) 2 )( 1 ( n n n. 1 = n + n2 n + 62 32 3n n n + = 62 32 3n n n + + Jadi jumlah 25 suku pertama adalah S25 =62.25225 . 3325 + += 617550= 2925 Contoh:Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret: 2 + 5 + 18 + 45 + 90 + .... 111selisih tetap = 1 6 2 5 184590 K 313 27 45 Maka dengan rumus di atas diperoleh, Sn=nU1 + ( 1)2!n n U1 + ( 1)( 2)3!n n n 2U1 + ! 4) 3 )( 2 )( 1 ( n n n n3U1 =n.2 + 2) 1 ( n n. 3 + 6) 2 )( 1 ( n n n. 10 + 24) 3 )( 2 )( 1 ( n n n n.4 = 61n{12 + (9n 9) + (10n2 30n +20) + (n3 6n2 + 11n 6)} =61n( n3 + 4n2 10n + 17) = 617 10 42 3 4n n n n + + Caramenentukanjumlahdarisuatuderetsepertiinidapatdikembangkandengan menganggapderetsebagaisuatufungsi.DimisalkanVxadalahfungsiyangbedapertamanya Ux,makasesuaidenganpengertianbeda(selisih)sepertipadapenjelasandiatasVx=Ux, artinya Vx+1 Vx = Ux.

Jika x berturut-turut diberi nilai: 0, 1, 2, 3, ... n diperoleh, V1 V0 = U0 V2 V1 = U1 : Vn+1 Vn = Un Vn+1 V0= U0 +U1 + U2 + U3 + K + Un AtauU0 + U1 + U2 + U3 + K + Un = =nx 0Ux = Vn+1 V0 = ]10nxV+ 181410 selisih tetap = 44 4 + 7 Sekarang didefinisikan bahwa jika Vx = Ux maka Vx = -1Ux dengan -1 disebut operator integral hingga.Dengan demikian secara umum dapat dinyatakan: =nxxU0=]101+ nUx

Selanjutnyakitaingatdefinisibahwauntuknbilanganbulatpositif,x(n)yangdibacax,n faktorial adalah:x(n) = x(x1)(x2)(x3) K ( x (n 1)) dan x(0) = 1. Sehinggarumusumumjumlahnsukupertamadarideret1+3+6+10+Kdapat diselesaikan sebagai berikut. Suku umum Ux = 21(x + 1). x = 21 (x + 1)(2)

1+ 3 + 6 + 10 + K= ==nxxU1( )(2)1211nxx=+ =( )(2) 1 11112nx +( +( =( )(3) 11116nx+(+ = 61( ){ }(3) (3)2 2 n + = 61{(n + 2). (n + 1).n 2. 1. 0} = 62 32 3n n n + + Untuk lebih memperjelas berikut disajikan contoh lain. Bagaimana menentukan rumus umum jumlah n suku pertama deret: 12 + 22 + 32 + K+ n2 Penyelesaian: Suku umum Ux = x2 = x (x 1) + x = x(2) + x(1) Maka: ==nxxU1==nxx12( )(2) (1)1nxx x=+ = ( )11 (2) (1)1nx x+( +( -1(a + bx)(n) = ) 1 () () 1 (+++n bbx an 8 =1(3) (2)11 13 2nx x+(+( =( ) ( ) { }(3) (2) 1 11 1 0 03 2n n + + + + ` )

= 31 (n + 1)n(n 1) + 21(n + 1)n = 61n (n + 1) (2n + 1) Referensi: 1.K.A.StroudalihbahasaErwinSucipto(1996).MatematikauntukTeknikjudulasli Engineering Mathematics, Penerbit Erlangga, Jakarta,2.Soehardjo, (1996), Matematika 2, FMIPA-ITS, Surabaya Manfaat Matematika dalam Kehidupan

Oleh Krestanto Guru SMP 2 Ungaran Jawa Tengah

Matematikamerupakanilmupengetahuanyangdiperolehmelaluipenalaran.Ini bukanberartiilmuyanglaintidakdiperolehmelaluipenalaran.Matematikalebih menekankanaktivitasdalampenalaranatauduniarasio,sedangkanilmulainlebih menekankanhasilobservasiataueksperimendisampingpenalaran. Padatahapawal matematikaterbentukdaripengalamanmanusiadalamduniasecaraempiris,kemudian diproses dalam dunia rasio,yaitu diolahsecara analisis dansintesis dengan penalaran di dalamstrukturkognitifsehinggamenujukonsep-konsepmatematika.Agarkonsepyang dibentukdipahamioranglain,makadigunakannotasidanistilahsecaracermatyang disepakati secara universal dan dikenal dengan bahasa matematika. Matematikamemilikibahasadanaturanyangterdefinisidenganbaik,penalaran yangjelas,sistematis,danketerkaitanantarkonsepyangkuat.Unsurutamapekerjaan matematikaadalahpenalarandeduktifyangbekerjaatasdasarasumsiataukebenaran konsistensi.Selainitu,matematikabekerjamelaluipenalaraninduktifyangdidasarkan fakta dan gejala yang muncul untuk sampai pada perkiraan tertentu. Tetapi penalaran itu harus tetap dibuktikansecara deduktif dan dengan argumentasi yang konsisten. Matematikadapatdipandangsebagaipelayandansekaligusrajadariilmu-ilmu lain.Sebagaipelayan,matematikaadalahilmudasaryangmendasaridanmelayani berbagaiilmupengetahuanlain.Sebagaicontoh,IPAfisikadalamhitungannyaselalu menggunakanbantuanmatematika.Sebagairaja,perkembanganmatematikatidak tergantungdenganilmulain.Seiringdenganperkembanganteknologi,banyakcabang-cabangmatematikamurnisepertiaritmatika,geometri,danaljabardapatditerapkan dalamberbagai ilmupengetahuandanteknologi mutakhir,sertadapatdipakaisebagai alat bantu memecahkan masalah kehidupan sehari-hari. Tidak banyakorangyang menyadari,bahwadibaliksetiapteknologiyangdapat menghemattenaga,sumberdaya, danpikiran,terlebihdahulutelahdipergunakan berbagaihasilpemikiranmatematika.Bagaimanakitadapatmengetahuihasilpemilihan CapresdanCawaprespadapemilu8juli2009lalutanpamenggunakanbantuan matematika?Bagaimanakitadapatmenentukanpersentaselajupertumbuhanpenduduk tiap tahun tanpa bantuan matematika? Bagaimana pegawai bank dapat menghitung besar tabungan atau besar bunga dari tabungan seseorang yang menjadi nasabahnya, jika tanpa bantuan matematika? Adakah lini kehidupan sehari-hari yang kita jalani tanpa bantuan matematika? Disadariatautidak,matematikasangatbermanfaatdalamkehidupankitasehari-hari. Misalnya,statistika dapatdigunakanuntukmengetahui banyaknyaformasitim kesebelasan sepakbola yangdapatdibentuk.Geometridapatdigunakanolehpara ahli tekniksipil untukmenghitungbanyak bahanbangunan yangdiperlukan. Aritmatikadapatdigunakanuntuk menghitungkeuntunganataukerugianseorang pedagang, atau untuk menghitung tagihan rekeninglistrikyangharus dibayar pelanggan listrikPLNyaitupenghitunganbiayabebanyangbesarnyatergantungdaridayayang disediakan PLN dan biaya pajak penerangan jalan. Perkembanganperadabanmanusiatidakterlepasdariilmu-ilmudasarsebagai basislogikaberpikir,termasukmatematika.Matematikatelahbanyakdimanfaatkan manusiauntukmengenaldanmenjelaskanhal-halyangterjadidisekelilingnya. Matematikasebagaiwahanapendidikantidakhanyadapatdigunakanuntukmencapai satutujuan,mencerdaskansiswa,tetapidapatpulamembentukkepribadianserta mengembangkan keterampilan tertentu. Belajarmatematika tidak sekedar belajar perkalian, pembagian, penjumlahan dan penguranganataudalamistilahbahasajawanyaping,para,lan,suda(pipalanda), melainkandidalamnyaadaaljabar,aritmetika,dangeometri. Dalammempelajariobjek matematikasepertifakta,konsep,prinsip,operasidanprosedur,secaratidaklangsung jugaterbentuknilaidansikapmatematisyangdapatdikaitkandenganpelajaranlain, misalnya sikap positif, disiplin, independen, cara berpikir logis, menghargai keteraturan , jujur dan sebagainya. Matematikamemilikifungsiantaralainsebagaiwahanamengembangkan kemampuankomunikasidenganmenggunakanbilangandansimbol,mengembangkan ketajamanpenalaranyangdapatmemperjelasdanmenyelesaikanpermasalahandalam kehidupansehari-hari.Sajianbentukmodelmatematikaberupapersamaan, pertidaksamaan,rumusfungsi,grafik,diagramatautabeldapatmengembangkan kemampuan komunikasi siswa. Matematikajugamemilikifungsisebagaibahasa,caraberpikirsecaranalar,dan sebagaialatuntukmemecahkanmasalah.Bilaketigafungsiinidipahamibenaroleh pembelajar,merekaakansenangdanmencintaimatematika.Menanamkanpemahaman padasiswabahwamatematikamemilikiperanyangtidakkecildalamkehidupanakan menambahrasapercayadiridanmemotivasimerekauntukbelajarilmuyangdianggap sulitolehkebanyakanorangini.Pemahamanmatematikasecarasepotong-sepotong, mengakibatkanpembelajarakanbingungsertamenimbulkanrasatakutpadapelajaran ini. Padahal peran dan fungsi matematika sangat besar dalam kehidupan. Segala aktivitas manusia dapat dipandang sebagaihasil karyamatematisyang tidakmembosankan. Bagi yangpahamkarakteristikmatematika,merekaakansenangdanenjoy mempelajariilmu ini. Semoga!

GuruGuruGuruGuru SDSDSDSD y yy yang Memberikan Inspirasi ang Memberikan Inspirasi ang Memberikan Inspirasi ang Memberikan Inspirasi d dd dalam Mengajarkanalam Mengajarkanalam Mengajarkanalam Mengajarkan Matematika Matematika Matematika Matematika Ditulis oleh Puji Iryanti Sayamerasasangatbersemangatdansenangberadadikelasdimanaguru-gurusedang mengajarmatematika,terutamadikelasg