1/8

GRADIEN POTENSIAL

Gradien potensial adalah suatu metode yang sederhana untuk mencari

intensitas medan listrik dari potensial.

Hubungan integral garis yang umum antara ke dua kuantitas tersebut,

Dengan mengambil aN sebagai vektor satuan yang normal terhadap

permukaan sepotensial dan mempunyai arah ke potensial yang lebih besar.

Intensitas medan listrik dinyatakan dalam potensial:

E diberikan oleh laju perubahan maksimum V dan arah E adalah normal

terhadap permukaan sepotensial (dalam arah pengurangan potensial).

Karena dV/dLmaks terjadi pada saat L mempunyai arah yang sama dengan

aN, maka dapat dituliskan

dan

Operasi pada V untuk mendapatkan –E dikenal sebagai gradien, dan gradien

suatu medan skalar T didefinisikan sebagai berikut:

Gradien T = grad T =

aN merupakan vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial,

dan arah normalnya dipilih dalam arah pertambahan harga T.

2/8

Hubungan antara V dan E dapat dituliskan:

V merupakan fungsi dari x,y dan z, kita dapat mengambil diferensial totalnya:

atau hubungan dengan E

di mana

Secara vektor diperoleh

karena itu untuk menghitung gradien dalam koordinat kartesian

Operator vektor

Secara formal sebagai operator yang bekerja pada suatu skalar T

yang hasilnya akan menunjukkan bahwa

Dengan persamaan ini dapat dihubungkan dengan E dan V dalam bentuk

E = - V

3/8

Gradien dapat dinyatakan dalam bentuk turunan parsial dalam sistem

koordinat kartesian, tabung dan bola sbb:

(kartesian)

(tabung)

(bola)

Misalkan:

Medan potensial V = 2x2y – 5z, hitung potensialnya pada titik P (-4,3,6)

Vp = 2 (-4)2 (3) – 5(6)

= 66 Volt

Intensitas medan listriknya,

E = - V = -4xy ax – 2x2 ay + 5 az V/m

Nilai E pada titik P adalah

Ep = 48 ax – 32 ay + 5 az V/m

Dan

Ep =

= 57,9 V/m

Arah E pada P diberikan oleh vektor satuan

= 0,829 ax – 0,553 ay + 0,086 az

Jika medan dianggap berada di ruang hampa, maka

D = oE = (8,854.10-12) (-4xy ax – 2x2 ay + 5 az )

= -35,4 xy ax – 17,71 x2 ay + 44,3 az p C/m2

Kerapatan muatan volume

v = .D

4/8

= .(-35,4 xy ax – 17,71 x2 ay + 44,3 az)

= - 35,4 y pC/m2

KERAPATAN ENERGI DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK

Kita tinjau usaha yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi dari 3

muatan titik, muatan demi muatan, dalam ruangan yang mula-mula bebas

medan dan bebas muatan.

Berdasarkan Gbr, usaha untuk menempatkan muatan yang pertama , yakni

Q1 pada posisi 1 adalah nol

Untuk membawa muatan Q2

ke daerah tersebut diperlukan usaha

sebesar perkalian muatan itu dengan

potensial yang dibangkitkan Q1.

Maka usaha total untuk menempatkan

Ketiga muatan tsb adalah

WE = W1 + W2 + W3

= 0 + (Q2 V2,1) + ( Q3 V3,1 + Q3 V3,2)

Potensial V2,1 artinya “potensial pada posisi 2 oleh muatan Q1 pada posisi 1”.

Apabila penempatan ketiga muatan itu dilakukan dalam urutan kebalikan dri

yang telah dikerjakan, usaha total menjadi,

Q1

Q2

Q3

1

2 3

5/8

WE = W1 + W2 + W3

= 0 + (Q2 V2,3) + ( Q1 V1,3 + Q1 V1,2)

Kedua persamaan tsb dijumlahkan, hasilnya dua kali energi yang tersimpan,

2WE = Q1(V1,2 + V1,3) + Q2 (V2,1 + V2,3) + Q3 (V3,1 + V3,2)

Suku Q1 (V1,2 + V1,3) adalah usaha yang dilakukan untuk melawan medan dari

Q2 dan Q3, yakni muatan-muatan selebihnya di dalam daerah itu. Karena itu

(V1,2 + V1,3) = V1, yaitu potensial pada posisi 1, sehingga.

2WE = Q1V1 + Q2V2 + Q3V3

(untuk daerah yg mengandung n muatan titik)

Untuk suatu daerah dengan rapat muatan (C/m3), energi yang tersimpan

dalam daerah adalah

Dengan menggunakan persamaan I Maxwell dimana = .D dan dengan

memakai indentitas vektor untuk setiap fungsi skalar V dan fungsi vektor D

· (VD) V (·D) + D· (VD)

maka didapatkan

Dengan menggunakan teori Divergensi

Integral tertutup sama dengan nol karena permukaan tertutup dilingkupi V

mendekati nol, maka dengan substitusi E = - V ke integral lainnya,

A

V

+

-

E

d

6/8

Pada suatu rangkaian listrik, energi yang tersimpan di dalam suatu medan

kapasitor

Bukti:

Misalkan suatu kapasitor pelat dengan luas permukaan plat A dan jarak antara

kedua plat d dengan mengabaikan efek sisi medan E =(V/d)an seperti pada

Gbr, dimana C = A/d

atau dengan Hk. Gauss:

Contoh 1.

Medan potensial sebesar V = 10 (+1) z2 cos Volt terdapat di dalam

koordinat tabung. Pada titik P (3, 60o, 2) dalam ruang hampa hitunglah:

(a) V (b) E (c) D dan (c) v

Penyelesaian:

7/8

(a) Vp = 10 (3+1)(2)2 cos 60o = 80 Volt

(b) E = - V

= -[10 z2 cos a - 1/ 10 (+1) z2 sin a + 20(+1)z cos az ]

Ep = - [ 10(4)(1/2) a - (10/3)(4)(4)(0,87) a + 20(4)(2)(1/2) az ]

= - 20 a + 46,2 a - 80 az V/m

(c) D = o E

= 8,854. 10-12 (-20 a + 46,2 a - 80 az )

= -177,1 a + 409 a - 708 az pC/m2

(d) v = D

= -354 pC/m3

Contoh 2.

Diberikan fungsi potensial V = 2x + 4y Volt dalam vakum. Hitung energi

yang tersimpan dalam volume 1 m3 yang berpusat di titik asal.

Penyelesaian:

E = - V

= - 2 ax – 4 ay V/m

Besar medan konstan dalam arah seluruh ruang

E = V/m

Kerapatan energi konstan adalah

8/8

J/m3

(3) Hitunglah energi yang tersimpan dalam suatu sistem empat muatan titik

identik, dengan Q = 4 nC, jika masing-masing menempati titik sudut dari

suatu bujursangkar dengan sisi 1 m. Jika hanya ada dua dari muatan-

muatan itu menempati titik-titik sudut yang berhadapan, berapa besarnya

energi yang tersimpan dalam sistem.

Penyelesaian

2WE = Q1V1 + Q2V2+ Q3V3+ Q4V4 = 4Q1V1

persamaan tersebut adalah karena sistem simetri

Volt

Maka WE = 2Q1V1 = 2(4x10-9)(97,5)

= 780 nJ

Untuk hal hanya dua muatan yang ada,

2WE = Q1V1 + Q2V2 = 2Q1V1

WE = Q1V1 = (4 x 10-9)

= 102 nJ