Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini : Apakah yang diusahakan untuk ditentukan oleh model tersebut? Dengan kata lain, apakah variabel (yang tidak diketahui) dari masalah tersebut? Apakah batasan (kendala) yang harus dikenakan atas variabel untuk memenuhi batasan sistem model tersebut? Apakah tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut? Cara yang efektif untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini adalah memberikan ringkasan untuk masalah yang bersangkutan. Dapat diaplikasikan pada contoh Pabrik Cat berikut

Linear Programing dengan Model Dua Variabel dan PemecahannyaContoh : Reddy Mikks company memiliki sebuah pabrik yang menghasilkan cat, baik untuk eksterior maupun interior untuk didistribusikan kepada para grosir. Harga jual cat eksterior 3 unit harga, cat interior 2 unit harga. Permintaan cat interior max 1 ton lebih dari cat eksterior, produksi cat interior max 2 ton/hari. Data :

Ton Bahan Mentah per Ton CatKetersediaan Maksimum(Ton)EksteriorInteriorBahan Mentah A126Bahan Mentah B218

Pengembangan Model Matematis1 Variabel : Xe = jumlah ton cat eksterior yang diproduksi setiap hariXi = jumlah ton cat interior yang diproduksi setiap hari2. Fungsi Tujuan (Objective Function) : Max Z = 3 Xe + 2 Xi3. Batasan (Constraint) :Xe + 2 Xi 6 (bahan mentah A)2 Xe + Xi 8 (bahan mentah B) Xi - Xe 1 (perbedaan max cat interior & eksterior) Xi 2 (max cat interior)

Penyelesaian secara grafis

Membuat persamaan bentuk standard untuk penyelesaian secara simplekMax : Z = 3 Xe + 2 Xi +0 S1+ 0 S2 + 0 S3 + 0 S4

Dengan batasan : Xe + 2 Xi + S1 = 6 2 Xe + Xi + S2 = 8 - Xe + Xi + S3 = 1 Xi + S4 = 2Xe, Xi, S1, S2, S3, S4 0

Penyelesaian dengan cara simplek

DasarZXeXiS1S2S3S4SolutionZ1-3-200000Persamaan ZS101210006Persamaan S1S202101008Persamaan S2S30-1100101Persamaan S3S400100012Persamaan S4

Penyelesaian dengan cara simplek

Iterasi IINDasarZXeXiS1S2S3S4SolutionZ1-3-200000Titik potong (Ratio)S1012100066/1 = 6OutS202( titik pivot)1010088/2 = 4 (terkecil)S30-1100101- 1 (tidak boleh negatif)S400100012 tidak boleh dibagi 0

DasarZXeXiS1S2S3S4SolutionRatio

0/22/21/20/21/20/20/28/2Pers.PivotXe011/201/20048/2 =4

Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru:Persamaan pivot Xe baru = persamaan S2 lama : 2Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-3) x pers pivot baruPersamaan S1 baru= persamaan S1 lama - (1) x pers pivot baruPersamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (-1) x pers pivot baruPersamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (0) x pers pivot baru

Operasi Gauss-Jordan

Persamaan Z lama1-3-200000-(-3) x Pers pivot baru033/203/20012Persamaan Z baru10-1/203/20012

Persamaan S1 lama01210006-1 x Pers pivot baru0-1-1/20-1/200-4Persamaan S1 baru003/21-1/2002

Persamaan S3 lama0-1100101-(-1) x Pers pivot baru011/201/2004Persamaan S3 baru003/201/2105

Penyelesaian dengan cara simplek

Iterasi 2IN

DasarZXeXiS1S2S3S4SolutionRatioZ10-1/203/20012OutS1003/21-1/20022/3/2=4/3Xe011/201/20044/(1/2)=8S3003/201/21055/3/2=10/3S4001000122/1=2

Operasi Gauss-Jordan berikut menghasilkan tabel baru:Persamaan pivot S1(Xi) baru = persamaan S1 lama : 3/2Persamaan Z baru = persamaan Z lama - (-1/2) x pers pivot baruPersamaan Xe baru= persamaan Xe lama - (1/2) x pers pivot baruPersamaan S3 baru= persamaan S3 lama - (3/2) x pers pivot baruPersamaan S4 baru= persamaan S4 lama - (1) x pers pivot baru

Iterasi 3

DasarZXeXiS1S2S3S4SolutionZ1001/34/30012 Xi0012/3-1/3004/3Xe010-1/32/30010/3S3000-11103S4000- 2/31/3012/3Pemecahan ini optimal karena tidak ada kofisien negatif pada persamaan Z, dengan besaran Xi = 4/3, Xe = 10/3 dan Z = 12

Structure a linear programming model for estimating the quantities of each of the two crops that should be produced in order to maximize total income. Solve the problem graphically and simplex method, using the following data :

ResourcesRequirementsper unit ofMaximum AvailableCrop ACrop BResourcesWater2360Land5280Fertilizer3260Labor1240Unit price3025

Max Z = 30 X1 + 25 X2Constraint : 2 X1+3 X2 60------ X1=0; X2=20 ------ X2=0; X1=30-----1) 5 X1+2 X2 80------- X1=0; X2=40------ X2=0; X1=16-----2) 3X1+2 X2 60------- X1=0; X2=30------ X2=0; X1=20-----3) X1+2 X2 40------- X1=0; X2=20------ X2=0; X1=40-----4)

Perpotongan pers 1 & 2 merupakan paling maximal2X1+3 X2 = 60------ X2 =(60-2 X1)/35 X1+2 X2 = 80------- X1=(80-2/3(60-2 X1))/5 X1=10.91--- X2=12.73Bentuk standard : Z - 30 X1 - 25 X2 = 0 2 X1 + 3 X2 + S1 = 60 5 X1 + 2 X2 + S2 = 80 3 X1 + 2 X2 + S3 = 60 X1 + 2 X2 + S4 = 40

BasicZX1X2S1S2S3S4SolZ1-30-2500000S102310006060/2=30S205201008080/5=16 *S303200106060/3=20S401200014040/1=40Iterasi 1 : X1 masuk S2 keluar

X1=pivot012/501/50016X1=pivot

Z lama1-30-250000030xpivot03012060048030xpivotZ baru10-130600480Z baru

S1lama023100060-2xpivot0-2-4/50-2/500-32-2xpivotS1baru0011/51-2/50028S1baru

S3lama032001060S3lama-3xpivot0-3-6/50-3/500-48-3xpivotS3baru004/50-3/51012S3baru

S4lama012000140S4lama-1xpivot0-1-2/50-1/500-16-1xpivotS4baru008/50-1/50124S4baru

BasicZX1X2S1S2S3S4SolZ 10-130600480S10011/51-2/5002828:11/5=12.73X1012/501/5001616:2/5= 40S3004/50-3/5101212:4/5=15S4008/50-1/5012424:8/5=15Iterasi 2 : X2 masuk S1 keluarX2 = pivot0015/11-2/1100140/11

Z lama10-130600480-(-13)x pivot001365/11-26/1100165.4Z baru10065/1140/1100645.4

X1 lama012/501/50016-2/5x pivot00-2/5-2/114/5500-56/11X1 baru010-2/1115/5500120/11

S3 lama004/50-3/51012-4/5x pivot00-4/5-4/118/5500-112/11S3 baru000-4/1125/551020/11

S4 lama008/50-1/50124-8/5x pivot00-8/5-8/1116/5500-224/11S4 baru000-8/115/550140/11

Tabel Optimal koefisien Z positif untuk maximize dengan nilai 645.4Exercise on Irrigation Planning and Operation.In Algeria there are two distinct cropping intensities, depending on the availability of water. Consider a single crop that can be grown under intensive rotation or extensive rotation on a total of A hectare. Assume that the annual water requirements for the intensive rotation policy are 16,000 m3 per hectare, and for extensive rotation policy

BasicZX1X2S1S2S3S4SolZ 10065/1140/1100645.4X2 0015/11-2/1100140/11X1 010-2/1115/5500120/11S3 000-4/1125/551020/11S4 000-8/115/550140/11