KONSEP DASAR RING BERNORMA

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna

memperoleh derajat Sarjana S-1

Program Studi Matematika

Diajukan oleh

Burhanudin Arif Nurnugroho

NIM. 05610001

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2009

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta

alam atas limpahan rahmat serta hidayah-Nya. Atas ridho-Nya sehingga tulisan ini

dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi Akhir

zaman, nabi Muhamad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang

terang.

Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi

dari skripsi ini membahas tentang konsep dasar ring bernorma.

Atas terselesaikanya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan dan

bimbingan dari berbagai pihak. Maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan

terima kasih setinggi-tinginya kepada:

1. Ibu Dra. Maizer Said Nahdi, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta .

2. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas Sains

dan Teknologi, sekaligus Ketua Prodi Matematika, Pembimbing

akademik, serta pembimbing pertama, atas bimbingan, arahan, motivasi

dan ilmu yang diberikan.

3. Bapak Muhamad Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing kedua, atas

arahan, bimbingan dan ilmu yang diberikan kepada peneliti.

4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi

atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan.

v

5. Bapak, Ibu , kakaku, keponakanku (Riza) yang peneliti sayangi atas

motivasi serta bantuan baik material maupun moral sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika maupun pendidikan matematika

angkatan 2004 sampai 2008. terutama buat teman-teman angkatan 2005

dan 2006 baik murni maupun pendidikan, terima kasih atas ide/buah

pikiran saat penulis mengajak diskusi.

Semoga, segala bantuan dan motivasi yang penulis tarima dapat

bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Dan semoga budi baik

dari semua pihak yang diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang

setimpal dari Allah SWT. Amin.

Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari

sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapakan kritik serta saran dari para

pembaca demi sempurnanya skripsi ini.

Walaupun masih banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini

dapat memberikan manfaat kepada para pembaca terutama teman-teman di

bidang matematika.

Yogyakarta, 30 Maret 2009

Penulis

Burhanudin Arif Nurnugroho

vi

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persebahkan kepada:

Bapak dan Ibuku yang telah mendidik, membesarkan serta slalu

mendo’akanku

Kakaku serta keponakanku(Riza)

Teman-teman matematika UIN Sunan Klijaga angkatan 2005

vii

MOTTO

”Allah Meninggikan Orang-orang yang beriman dan orang-orang yang diberi ilmu

pengetahuan beberapa derajat” (Al-Mujaadalah:11)

“Syukuri dan hargailah setiap apa yang kamu miliki saat ini, karma kamu akan

sangat kehilangan ketika ia tak bersamau lagi”

“kenalilah Allah saat kita senang, maka Allah akan menyayangi kita saat kita

susah”

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………

SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ……………………………………...

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………….

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ……………………………...

KATA PENGANTAR …………………………………………………….

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………..

HALAMAN MOTTO ……………………………………………………..

DAFTAR ISI ………………………………………………………………

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN ....................................................

ABSTRAKSI ………………………………………………………………

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ……………………………………………...

1.2 Batasan Masalah ……………………………………………

1.3 Rumusan Masalah…………………………………………..

1.4 Tujuan Penelitian …………………………………………...

1.5 Manfaat Penelitian ………………………………………….

1.6 Tinjauan Pustaka …………………………………………...

BAB II DASAR TEORI

2.1. Himpunan ……………………………………………………

2.2 Fungsi ………………………………………………………...

2.3 Ring …………………………………………………………..

2.4 Ruang Vektor/Ruang Linear ………………………………....

BAB III METODE PENELITIAN ..……………………………………...

BAB IV RUANG TOPOLOGI

1.1. Himpunan Konveks …………………………………………

4.2. Ruang Topologi ………………………………………………

i

ii

iii

iv

v

vii

viii

ix

xi

xii

1

3

4

4

4

5

6

14

21

29

38

41

43

ix

4.3. Ruang Linear Topologi ………………………………………

4.4. Ruang Metrik ………………………………………………..

4.5. Ruang Bernorma …………………………………………...

Bab V RING BERNORMA

5.1 Ring pada ruang linear …………………………………….....

5.2. Ring Topologi ………………………………………………..

5.3: Ring Bernorma………………………………………………..

5. 4. Penjumlahan dari identitas .......................................................

5. 5 Ring Banach dengan identitas .................................................

5.6 Homomorfisma kontinu dalam ring bernorma ........................

5.7 Representasi regular dari ring bernorma ................................

Bab VI PENUTUP

6.1 Kesimpulan …………………………………………………

6.2 Saran-saran …………………………………………………

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………..

53

59

72

97

107

110

122

124

126

129

135

136

137

x

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

φ : Himpunan kosong

: Himpunan Bilangan Real

⊂ : Himpunan bagian (subset)

⊃ : Superset

∩ : Irisan

∪ : Gabungan

: Nilai mutlak

P(X) : Keluarga himpunan dari himpunan X

τ : Topologi

(X, τ) : Ruang Topologi

U(x) : Persekitaran dari titik x

d(x,y) : Jarak/metrik titik x dengan titik y

(X,d) : Ruang metrik

: Norm (norma)

(X, ) : Ruang bernorma

A : Himpunan dari semua barisan fundamental di A

( , )B x ε : Bola terbuka (open ball) dengan pusat x dan berjari-jari ε

C[a, b] : Koleksi semua fungsi kontinu dari [a, b] ke

Sup : Suprimun

Maks : Maksimal

xi

KONSEP DASAR RING BERNORMA Oleh : Burhanudin Arif Nurnugroho (05610001)

ABSTRAKSI

Ring merupakan salah satu konsep dasar dalam ranah aljabar abstrak. Ring terbangun oleh sebuah himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi aksioma ring. Berdasar konsep tersebut, dalam skripsi ini penulis mencoba meneliti pengkhususan dari konsep ring. Pengkhususan ini terletak pada ruang lingkup ring yang akan dibahas. Jika biasanya sebuah ring hanya terbangun dalam suatu himpunan, maka dalam penelitian ini akan dikhususkan pada konsep ring dalam ruang lingkup ruang bernorma. Lebih lanjut, akan dteliti juga bahwa sebuah ring bernorma merupakan sebuah ring topologi. Oleh karenanya dalam skripsi ini sebelum masuk pada pembahasan inti, disinggung terlebih dahulu tentang ruang topologi, ruang metrik, ruang bernorma, konsep topologi pada ruang bernorma dan lain sebagainya. Dilihat dari sifat kelengkapanya sebuah ruang bernorma dapat menjadi ruang Banach. Jika sifat kelengkapan ini berlaku pada ruang bernorma yang membangun ring bernorma maka ring ini menjadi ring Banach. Keywords : ring, ruang bernorma, ruang Banach, representasi , ring bernorma

xii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika menurut pandangan seorang filosof dan matematikawan

August Comte bukanlah ilmu. Matematika adalah suatu alat berfikir logik,

sehingga matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena.

Walaupun demikian dalam praktik, fenomena memang lebih kompleks

(Noeng Muhajir, 2001:70).

Tak jauh beda dengan sains, matematika dapat dibagi dalam berbagai

rumpun, misalnya rumpun aljabar, analisis, terapan, komputer dan statistik.

Lebih lanjut, rumpun aljabar terbagi lagi dalam berbagai bidang antara lain

aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar geometri dan lain sebagainya. Demikian

juga rumpun analisis masih terbagi dalam berbagai bidang misal analisis real,

analisis kompleks dan analisis fungsional. Analisis merupakan salah satu

cabang matematika yang terus menerus mengalami perkembangan yaitu dari

analisis klasik dan berkembang menjadi analisis modern. Analisis klasik

berbicara tentang sistem bilangan, kekonvergenan suatu barisan maupun deret,

kekontinuan, pendiferensialan serta pengintegralan. Sedangkan analisis

modern berbicara tentang konsep yang besifat abstrak, yang bekerja pada

konsep ruang. Salah satu yang dibahas dalam analisis modern adalah analisis

fungsional yaitu merupakan suatu studi tentang struktur aljabar- topologi (Fitri

Hidayati, 2002:1).

2

Namun apakah tiap-tiap rumpun matematika berdiri sendiri? Ternyata

tidak. Misal saat membahas bidang analisis real tentu akan dimulai dengan

konsep bahwa sistem bilangan real adalah sebuah lapangan (field). Padahal

diketahui bahwa field dibahas dalam aljabar abstrak. Salah satu cabang

matematika yang menggabungkan dua konsep dalam matematika adalah

analisis fungsional. Sebagaimana sudah dijelaskan di atas bahwa salah satu

yang dipelajari dalam analisis fungsional adalah mempelajari struktur aljabar-

topologi. Demikian halnya dengan konsep ring yang dipelajari dalam aljabar

abstrak, serta konsep ruang bernorma dalam aljabar linear. Jika kedua konsep

ini digabung maka akan mempelajari konsep-konsep analisis fungsional.

Penggabungan konsep ring dan ruang bernorma akan menjadi konsep

ring bernorma. Teori ring bernorma merupakan pengembangan dari analisis

fungsional. Walaupun merupakan sesuatu yang baru tetapi teori ring bernorma

mempunyai aplikasi numeris di berbagai cabang matematika, misalkan

applikasi teori ring bernorma komutatif pada teori grup komutaif bikompak

lokal ( locally bicompact commutative groups).

Ring dalam pemahaman dasar adalah suatu himpunan tak kosong yang

dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma.

Operasi biner yang dimaksud dalam ring ini adalah operasi penjumlahan dan

operasi pergandaan. Ruang lingkup dari ring di sini masih berkutat pada suatu

himpunan.

Namun teori ring bernorma, seperti telah dijelaskan di atas merupakan

suatu penggabungan dari konsep dasar ring dengan konsep ruang bernorma.

3

Hal ini mengakibatkan pembahasan ring bernorma tidak hanya akan berkutat

pada ruang lingkup himpunan namun dikhususkan dalam ruang vektor, di

mana ruang vektor dalam pembahasan skripsi ini akan dikhususkan lagi pada

ruang bernorma.

Berdasarkan uraian di atas, penulis akan melakukan studi literatur

mengenai konsep dasar ring bernorma. Diharapakan dari penelitian ini, dapat

memberikan gambaran tentang konsep ring bernorma.

.

1.2 Batasan Masalah

Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat penting, untuk

menghindari kesimpang-siuran terhadap objek dari suatu penelitian.

Permasalahan yang terdapat dalam penelitian ini adalah bagaimanakah konsep

ring bernorma itu.

Konsep dari teori ring bernorma masih mencakup ruang lingkup yang

sangat luas. Karena bahasan dalam teori ring bernorma dapat meliputi ring

simetris, ring bernorma yang komutatif, representasi ring simetris dan lain

sebagainya, dimana setiap bahasan tersebut masih memiliki berbagai

subbahasan yang sangat menarik untuk dikaji, namun dalam penelitian ring

bernorma ini hanya akan difokuskan pada konsep dasar tentang ring bernorma

serta sifat-sifatnya. Serta dibahas pula bahwa ring bernorma juga merupakan

ring topologi.

4

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraiakan

diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut:

1. Konsep-konsep apakah yang membangun ring bernorma?

2. Bagaimanakah konsep dari ring bernorma?

3. Bagimanakah konsep homomorfisma kontinu dari ring bernorma?

4. Bagaimanakah konsep representasi reguler dari ring bernorma?

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Mengkaji tentang konsep-konsep yang membangun ring bernorma.

2. Mengkaji tentang konsep ring bernorma.

3. Mengkaji tentang konsep homomorfisma kontinu ring bernorma.

4. Mengkaji representasi reguler dari ring bernorma.

Secara umum tujuan penulis ingin mengkaji tentang konsep ring

bernorma serta mengetahui dan memahami mengenai teorema-teorema, sifat-

sifat yang berkaitan dengan ring bernorma.

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain

sebagai berikut:

1. Memberikan pengetahuan serta gambaran tentang ring bernorma.

5

2. Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep

aljabar abstrak khususnya tentang ring masih sangat luas.

3. Memberi motivasi kepada para peneliti untuk lebih banyak

mengembangkan konsep konsep teori ring bernorma.

1.6 Tinjauan Pustaka

Tinjauan pustaka dalam penulisan tugas akhir ini adalah sebuah skripsi

tentang ” Ruang Vektor Topologi” oleh Fitri Hidayani mahasiswa UGM yang

membahas tentang konsep-konsep yang ada pada ruang vektor topologi.

Pembahasan skripsi tersebut memberi gambaran tentang konsep ruang vektor

topologi.

Tinjauan pustaka yang kedua adalah skripsi tentang “Grup Topologi”

oleh Ratna Widi Utami yang juga merupakan mahasiswa UGM. Skripsi ini

membahas tentang konsep-konsep dari grup topologi. Telah diketahui bahwa

ring adalah suatu pengembangan dari konsep grup. Tinjauan pustaka ini lebih

bersifat memberi motivasi penulis untuk melakukan studi literatur ke tingkat

selanjutnya yaitu ring bernorma yang juga merupakan suatu ring topologi.

Tinjauan pustaka yang pertama, seperti yang telah dijelaskan

membahas tentang konsep-konsep ruang vektor topologi. Sementara dalam

skripsi ini konsep ruang vektor topologi digunakan sebagai dasar untuk

mengkaji konsep dari ring topologi. Konsep ini kemudian akan digunakan

sebagai dasar mempelajari bahwa ring bernorma juga merupakan ring

topologi, dimana konsep ini belum dibahas dalam tinjauan pustaka tersebut.

Bab VI

PENUTUP

1.1 Kesimpulan

Berdasarkan penelitian serta studi literatur yang dilakukan peneliti

tentang konsep-konsep dasar ring bernorma, dapat ditarik beberapa

kesimpulan sebagai berikut:

1. Ring bernorma dibangun oleh sebuah ruang bernorma yang dilengkapi

dengan operasi pergandaan dan memenuhi beberapa aksioma ring

bernorma.

2. Sebuah ruang bernorma juga merupakan sebuah ruang metriks.

Akibatnya seluruh sifat dalam ruang metriks berlaku dalam ruang

bernorma. Lebih lanjut, karena ruang metriks merupakan ruang topologi

maka ruang bernormapun juga merupakan ruang topologi. Berdasar hal

ini dapat dikembangkan bahwa sebuah ring bernorma juga merupakan

ring topologi.

3. Berdasar sifat kelengkapan pada ruang bernorma, sebuah ring bernorma

dapat dikembangkan menjadi sebuah ring baru dengan nama ring

Banach. Yaitu jika dalam sebuah ring bernorma, ruang bernorma yang

membangun adalah ruang bernorma yang lengkap (ruang Banach) maka

ring tersebut dinamakan ring Banach.

4. Suatu pemetaan/operator yang mengawankan suatu ring bernorma R

menuju suatu ring yang elemen-elemennya adalah operator-operaor

136

linear dari R ke R disebut sebuah representasi reguler dari R.

Representasi reguler dapat dibedakan menjadi dua yaitu kanan dan kiri

1.2 Saran-saran

Penelitian ini, diharapkan menjadi sebuah langkah awal dalam

mengkaji konsep-konsep lanjut dari ring bernorma. Berdasar pada proses

penelitian ini, saran-saran yang dapat disampaikan peneliti adalah:

1. Penelitian ini hanya membahas tentang konsep-konsep dasar saja yang

harus ada pada sebuah ring bernorma. Pembahasan ring dapat

dikembangkan lagi misalnya pembahasan tentang ring bernorma simertri

serta sifat-sifatnya.

2. Selain itu, dapat dikembangkan pula tentang konsep dari spectra dalam

ring Banach.

Demikian saran-saran yang dapat disamapaikan oleh peneliti. Semoga

dapat menjadi inspirasi bagi para pembaca untuk mengembangkan konsep-

konsep lanjutan dari ring bernorma pada khususnya, serta konsep-konsep

aljabar pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Bandung: Erlangga. Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000.Introduction to Real Analysis. New

York: John Wiley & Sons, Inc. Darawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Yogyakarta: Jurusan

Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Darawijaya, Soeparna.2007.Pengantar Analisis Abstrak. Yogyakarta : Jurusan

Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Debnath, L dan Mikusineksi, P. 1990. Introduction to Hilbert Space With

Applications.Academic Press. Fitri Hidayani .2002. Ruang Vektor Topologis. Skripsi. Yogyakarta :Jurusan

Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Gupta S.L.,Nisha Rani. 1988.Fundamental Real Analysis. New Dehli: vikas

Publishing House PVT LTD. Herstein, I. N. 1996. Abstract Algebra. 3rd ed.New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Hutahaean, E.1994. Fungsi Riil. Bandung: Penerbit ITB. Kartono dan F.W. Nurwiyati.1995. Pengantar Topologi. Yogyakarta: Andi Offet. Lipschutz, Seymour. 1981.Schaum’s Outline of Theory and Problems of general

Topology.Singapore: Kin Keong printing Co.Pte. Ltd. Muhajir, Noeng. 2001.Filsaft Ilmu Positivisme,PostPositivisme dan PostModernisme.

edisi II.Yogyakarta:Rakesaeasin. Mungkers, James R. 1975.Topology A Fist Course. Englewood, New Jersey:

Prentice-Hall.Inc. Naimark, M.A. 1964. Normed Ring. Netherlands: P. Noordhoff Ltd. Ratna Widi Utami. 2007. Grup Topologi. Skripsi, Yogyakarta : Jurusan Matematika

Fakultas MIPA UGM.

138

Rudin, Walter.1991. Functional Analysis second edition. Singapore: McGraw-Hill, Inc.

Sukirman. 2006.Aljabar Abstrak Lanjut Teori Gelanggang. Yogyakarta: Hanggar

Kreator. Sukirman.2003.Pengantar Aljabar Abstrak (Penganatar Teori Grup). Yogyakarta:

Jurusan matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Sukirman.2006. Logika dan Himpunan. Yogyakarta: Hanggar Kreator. Wahyudin.1987.Dasar-Dasar Topologi. Bandung: Transisto. Zeidler, Eberhard. 1995.Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical

Physics. New York: Springer, Verlag New York Inc.