7/23/2019 Komnum-10 & 11

1/30

DIFERENSIASI

&INTEGRASI NUMERIK

Pertemuan X & XI

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 1KomNum

7/23/2019 Komnum-10 & 11

2/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 2

Materi Minggu Ini

Diferensiasi NumerikMetode NewtonGre!or" #F$%Metode Stir'in!

Metode (a!ran!e Inte!rasi Numerik

Metode Tra)e*oidaMetode Sim)son

Metode Kuadratur Tu!as +II

7/23/2019 Komnum-10 & 11

3/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 3

Diferensiasi Numerik (1)

Ke de)an anda akan serin! men,um)ai - ,enis o)erasi matematisda'am ke.idu)an i'mia. anda/ "aitu Diferensiasi Numerikdan

Inte!rasi Numerik0

Untuk diferensiasi numeris/ konse)n"a .am)ir sama den!an re!residan inter)o'asi0 1aitu men2ari ni'ai turunan se3ua. fun!si .an"a

den!an men!!unakan .im)unan ni'ai dari fun!si terse3ut0

Permasa'a.an diferensiasi numerisini dise'esaikan den!an men"atakanfun!si "an! dimaksud me'a'ui rumusan inter)o'asi "an! te'a. di

diferensiasi0

Untuk )ermasa'a.an "an! 3ersifat e4uis)a2ed/ da)at dise'esaikanden!an rumus NewtonGre!or"/ Stir'in! atau %esse'0 Sementara

untuk )ermasa'a.an none4uis)a2ed/ di!unakan (a!ran!e atau5ermite #,ika )eriodik0

7/23/2019 Komnum-10 & 11

4/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 4

Meto e Newton- regory (1)NewtonGre!or" Forward #NGF

6 -s 6 7s-8 9s : - ;s78 6s ? @f: @-

f: @7

f: @;

f. -B 7B ;B

Cs;8 ;s7: 6Cs-8 6s : -; 9sC Cs;: 7;s7 9Cs-: C;s8 >s ?

.NewtonGre!or" %a2kward #NG%

6 -s : 6 7s-: 9s : - ;s7: 6s ? @f6: @-f-: @7f: @;f;

. -B 7B ;B

Cs;: ;s7: 6Cs-: 6s : -; 9sC: Cs;: 7;s7:9Cs-: C;

7/23/2019 Komnum-10 & 11

5/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 5

Meto e Newton- regory (2)2onto. 2ari'a. ni'ai f=#>s untuk >s? 6/7/ ,ika diketa.ui fun!si ts3 men!.asi'kan

ni'ai-s33

> 6/ 6/7 6/9 6/ -/- -/C -/ 6/;; -/9 -/9;C 7/-69 7/ ;/77< ;/

7/23/2019 Komnum-10 & 11

6/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 6

Meto e Newton- regory (3)(an!ka. - men2ari ni'ai s #'e3ar interHa'

. ? 6/7 8 6 ? /7s ? #6/7 8 6 $ . ? /6

(an!ka. 7 men!!unakan rumus NG untuk men2ari ni'ai f=#>s

6 #- 0 /6 8 6 7#/6-8 9#/6 : -f=#6/7 ? /966 : 0 /-9 : 0 /6-

/7 -B 7B

;#/678 6

7/23/2019 Komnum-10 & 11

7/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 7

Meto e t r ng (1)

Diferensiasi Stir'in! ada'a. )roses numeris untuk men2ari ni'ai diferensia'#turunan suatu fun!si )ada titik tertentu di sekitar titik ten!a. #3aik untuk

)ermasa'a.an "an! 3ersifat e4uis)a2ed mau)un none4uis)a2ed0

Sama den!an NewtonGre!or"/ rumus diferensiasi Stir'in! ,u!a di=turun=kan dari Inter)o'asi Stir'in!0 Se.in!!a keduan"a memi'iki kesamaan sifat0

6 @f6: @f 7s-: 6 #@7f6: @7f- ;s78 -sf=#>s ? : s@-f6: : : @;f-

. - 7B - ;B

Cs;8 6Cs-: ; #@Cf-: @Cf7 9sC -s7:

7/23/2019 Komnum-10 & 11

8/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 8

Meto e t r ng (2)2onto. den!an men!!unakan data dari 2onto. soa' se3e'umn"a/ 2ari'a. ni'ai f=#>

)ada > ? 6/ f#> @f#> @-f#> @7f#> @;f#> @Cf#> @9f#>

6/ 6/;;/966

6/7 -/9 /-9/C

7/23/2019 Komnum-10 & 11

9/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 9

Meto e t r ng (3)(an!ka. - men2ari ni'ai s #'e3ar interHa'

. ? 6/7 8 6 ? /7s ? #6/7 8 6 $ . ? /6

(an!ka. 7 men2ari ni'ai f=#>s

6 /C6 : /C97 7#/6-: 6 #/; : /9 ;#/678 -#/6

f=#>s ? : #/6#/

7/23/2019 Komnum-10 & 11

10/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 10

Meto e Lagrange (1)

fm8 6 #> 8 >i6

f=#> ?

#>m68 >k6 #> 8 >j6

km

m?6

n:6

n:6

k?6,m

n:6

,?6

n:;

i?6i

6

M t L

7/23/2019 Komnum-10 & 11

11/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 11

Meto e Lagrange (2)

2onto. 2ari'a. ni'ai f=#> )ada > ? -/-C 3erdasarkan ta3e' 3erikut/ den!anmen!!unakan metode (a!ran!e0

n > f#>

6/ /

6 6/- /-9-C;- 6/C /6-7

7 6/ -/76

; -/6 7/-6;

C -/C C/-9

7/23/2019 Komnum-10 & 11

12/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 12

Meto e Lagrange (3)

#> 8 >-#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >7

f=#> ? 0 f:

#>8 >6#>8 >-#>8 >7#>8 >;

#> 8 >-#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >7

0 f6:

#>68 >#>68 >-#>68 >7#>68 >;

#> 8 >6#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >7#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >7

0 f-:

#>-8 >#>-8 >6#>-8 >7#>-8 >;

#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >;:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >-

0 f7:

#>78 >#>78 >6#>78 >-#>78 >;

#> 8 >6#> 8 >-#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >-#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >7:#> 8 >#> 8 >6#> 8 >-

0 f;:#>;8 >#>;8 >6#>;8 >-#>;8 >7

? men!.itun!n"a musti sa3ar & te'atenE

I t i N ik

7/23/2019 Komnum-10 & 11

13/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 13

Integrasi Numerik (1)Inte!rasi suatu fun!si se2ara umum din"atakan se3a!ai

I ?

f#> d>

"an! mem3erikan makna ni'ai 'uasan$area "an! di3atasi o'e. fun!sif#>/ sum3u >/ > ? a/ dan > ? 30

3

a

7/23/2019 Komnum-10 & 11

14/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 14

Integrasi Numerik (2)

Men"e'esaikan )ermasa'a.an inte!rasi se2ara ana'itis suda. anda)e'a,ari0 1an! 3e'um ada'a. men2ari ni'ai inte!ra' se3ua. fun!si

me'a'ui )endekatan numeris0

Inte!rasi numerisdi)er'ukan/ ,ika

Inte!rasi ana'itis tidak mun!kin #ter'a'u su'it di'akukan atau

Fun!si asa' tidak diketa.ui/ ta)i tersedia .im)unan ni'ai fun!sin"a0

Konse) )en"e'esaian inte!rasi se2ara numeris se3enarn"a muda./"aitu kita 3a!i 'uasan dimaksud men,adi )i'ar-$)ias-0 Dan ni'aiinte!rasi "an! kita 2ari ada'a. ,um'a. 'uasan dari semua )ias

terse3ut0

Se2ara umum/ metode inte!rasi numeris da)at di3edakan men,adi -/"aitu ke'om)ok metode NewtonJotesdan metode Gauss0

M t d T id

7/23/2019 Komnum-10 & 11

15/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 15

Metode Trapezoida (1)

Jara termuda. mem)e'a,ari inte!rasi numerik ada'a. den!an men!a)'ikasikanmetode Tra)e*oida0 Metode ini masuk da'am ke'om)ok metode NewtonJotes

orde60

Dise3ut orde6 karena kita akan men!!antikan kurHa 'en!kun! fun!si f#>den!an !aris 'urus #'i.at !aris 'urus antara f#a dan f#30

Se.in!!a inte!rasi f#> ada'a. 'uasan tra)esium "an! di3atasi o'e. sum3u X/f#a/ f#3/ dan !aris 'urus "an! men!.u3un!kan f#a den!an f#30

M t d T id

7/23/2019 Komnum-10 & 11

16/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 16

Metode Trapezoida (2)

Se2ara !eometris/ 'uasan arsiranda)at didekati se3a!ai 3erikut

f#a : f#3

I #3 8 a-

Ta)i )endekatan den!an 6 3ua. tra)esoida akan men"e3a3kan kesa'a.antaksiran "an! 2uku) 3esar #'i.at area "an! tidak terarsir di antara kurHa

f#> den!an !aris f#af#30

M t d T id

7/23/2019 Komnum-10 & 11

17/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 17

Metode Trapezoida (3)A'ternatif "an! 'e3i. 3aik ada'a. den!an mem3uat 3an"ak )ias$tra)e*oids0Den!an demikian ruan! "an! tidak ter2oHerarsiran da)at diminima'kan0

#se'ain ,u!a untuk men!antisi)asi 3entuk kurHa fun!si "an! kom)'eks

Didn=t know w."/ teta)i dikatakan metode Tra)e*oida 'e3i. efektif ,ikamen!!unakan ,um'a. )ias !an,i'0

M t d T id

7/23/2019 Komnum-10 & 11

18/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 18

Metode Trapezoida (4)Inte!ra' tota' untuk )ermasa'a.an e4uis)a2edda)at ditu'is se3a!ai

I ? f#> d> : f#> d> : : f#> d>

atau/ f#>6 : f#> f#>- : f#>6 f#>n : f#>n6

I ? @> : @> : : @>

- - -

atau/ @>

I ? f#> : - f#>i : f#>n L

-

atau ,ika fun!si koreksiu,un! diakomodasi ke da'am )ersamaan Tra)e*oida

@> @>-

I ? f#> : - f#>i : f#>n L f=#>n 8 f=#> L

- 6-

Sementara untuk )ermasa'a.an none4uis)a2ed/ di!unakan rumus

#>68 > #>-8 >6 #>n8 >n6

I ? #f6: f : #f-: f6 : : #fn: fn6

- - -

>

>6

>6

>-

>n6

>n

n6

i?6

n6

i?6

M t d T id

7/23/2019 Komnum-10 & 11

19/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 19

Metode Trapezoida (6)ika di,um)ai kasus dimana .arus di3uat )ias-den!an 'e3ar tidak sama/ maka metode

Tra)e*oida masi. da)at di!unakan den!an sedikit modifikasi0

f#>6 : f#> f#>- : f#>6 f#>n : f#>n6

I ? @>6 : @>- : : @>n

- - -atau/

#>68 > #>-8 >6 #>n8 >n6

I ? #f6: f : #f-: f6 : : #fn: fn6

- - -

Meto e Trape o a

7/23/2019 Komnum-10 & 11

20/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 20

Meto e Trapezo a (5)2onto.

.itun!'a. I ? e>d> den!an metode Tra)e*oida0

se2ara ana'itis

I ? e;8 e? C7/C ? 6

I ? e: -#e6: e-: e7 : e; L ? C/6C

Er ? #C7/C

7/23/2019 Komnum-10 & 11

21/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 21

Metode Simpson (1)A'ternatif 'ain untuk menda)atkan .asi' )endekatan inte!rasi numeris ada'a.

den!an men!!unakan )o'"nomia' 3erorde 'e3i. tin!!i #in!at/ metode

Tra)e*oid .an"a memanfaatkan )ersamaan 3erdera,at 60

ika ditam3a.kan 6 titik diantara f#a dan f#3/ maka ada 7 titik "an!da)at di.u3un!kan o'e. se3ua. )o'"nom 3erorde -0

Atau 3isa ,u!a di!unakan )o'"nom 3erorde 7/ ,ika ditam3a.kan - titik diantara f#a dan f#30

f#a f#af#3 f#3

M t d Si

7/23/2019 Komnum-10 & 11

22/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 22

Metode Simpson (2)

Aturan$metode Sim)son men"ediakan - )i'i.an )endekatan/ "aitu

Aturan Sim)son 6$7dan Aturan Sim)son 7$

7/23/2019 Komnum-10 & 11

23/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 23

Metode Simpson (3)

Inte!rasi Sim)son 6$7 da)at din"atakan se3a!ai 3erikut

@>I ? f#> : ; #f#>6 : f#>7 : : f#>n6 : - #f#>- : f#>; : : f#>n- : f#>nL 7

Sedan!kan Inte!rasi Sim)son 7$< ada'a. se)erti 3erikut

7@>I ? f#> : 7 #f#>6 : f#>- : f#>; : f#>C : : f#>n6 : 7 #f#>7 : f#>9 : : f#>n7 : f#>nL

6? 6$7

>-? 6$7

6

6

6

6

6

6

6

6

Ta3e' ni'ai 2 dan > untuk 7/ ;/ C/ dan 9titik da)at di'i.at di 3uku J.a)raJana'e Ct.ed .a'0 9-9 #ter,ema.an

edisi 6 .a' C7

Metode Kuadratur

7/23/2019 Komnum-10 & 11

28/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 28

Metode Kuadratur (3)

Se.in!!a rumus Inte!rasi Gauss(e!endre - titik da)at din"atakan se3a!ai3erikut

I ? f# 6$7 : f#6$7

Den!an a'asan a!ar muda. dia)'ikasikan )ada semua 3entuk kasus/ Inte!rasiGauss(e!endre sen!a,a diatur a!ar memi'iki 3atas-6 sam)ai den!an 60Q'e. karenan"a )er'u di'akukan transformasi 3atas inte!ra' ter.ada) semua)ermasa'a.an "an! akan dise'esaikan den!an rumusan ini0 1aitu

#3 : a : #3 8 a >d 3 a > ? d> ? d >d

- -

Meto e Kua ratur

7/23/2019 Komnum-10 & 11

29/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 29

Meto e Kua ratur (4)2onto.

.itun!'a. I ? e>d> den!an metode Kuadratur0

se2ara ana'itis I ? e;8 e? C7/C ? >d? - : - >d d> ? - d >d

-

e>d> ? e-:->d- d >d

Untuk >6? 6$7 f#>6 d>6 ? e-:-# 6$7- d >d? ;/9C7C6Untuk >-? 6$7 f#>- d>-? e-:-#6$7- d >d ? ;9/6 d>6: f#>- d>-? C6/C;7

7/23/2019 Komnum-10 & 11

30/30

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 30

60 Jari'a. ni'ai "=#6/6C/ "=#/C/ dan "=#6/C d> dari datadata 3erikut den!an 3atas >?6 sam)ai >? men!!unakan inte!rasiTra)e*oida/ Sim)son 6$7/ Sim)son 7$ 6/ -/ 7/ ;/ C/ 9/ /

f#> 6/