kestabilan persamaan diferensi tingkat satu dan...

i

KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI TINGKAT SATU

DAN PENERAPANNYA DALAM EKONOMI DAN BIOLOGI

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Vanessa Aprilia Pranata

NIM: 163114032

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

STABILITY OF FIRST ORDER DIFFERENCE EQUATIONS

AND ITS APPLICATIONS IN ECONOMIC AND BIOLOGY

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Degree of Sarjana Mathematics

Mathematics Study Program

By:

Vanessa Aprilia Pranata

Student Number: 163114032

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


vi

MOTTO

"I CAN DO ALL THINGS

THROUGH CHRIST WHO STRENGHTHENS ME"

PHILIPPIANS 4 :13


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang selalu menyertaiku,

serta kedua orang tuaku dan keluargaku yang selalu

mendukung, mencintai, dan menyayangiku.


ix

KATA PENGANTAR

Ucapan puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala

pengurapan, hikmat, dan kebaikan-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan

dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia

membantu dalam berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan. Oleh

karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen

pembimbing skripsi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pendamping

Akademik.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ricky Aditya, M.Sc., dan Ibu

Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi

Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis

selama proses perkuliahan.

6. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

7. Kedua orang tua, adikku Cindy dan keluarga yang selalu mendoakan,

mendukung, dan memberikan semangat serta motivasi kepada penulis

selama proses pengerjaan skripsi.

8. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2016 dan teman-teman lain

yang mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Keluarga STUDY

SOFT (Rika, Lusi, Arnel, Lydia, Feli, Padai, Diani, Devita, Yuni, Yesi,

Tia, Cila), Resti, Widya, Ayu, Rati, Monic, Grace, Rita, Edith, Maria,

Glory, Elizabeth, Octa, Gaby, Warih, Aji, Egi, Reinald, Deyud, Lala, Kak


xi

ABSTRAK

Ada banyak jenis persamaan dalam matematika, salah satunya yaitu

persamaan diferensi. Persamaan diferensi adalah persamaan yang menyatakan

hubungan fungsional antara satu variabel bebas dan satu variabel terikat, serta

melibatkan perbedaan nilai berturut-turut dari fungsi variabel diskret. Persamaan

diferensi biasanya digunakan untuk memodelkan dinamika dari fenomena tertentu

yang memuat waktu diskret. Persamaan diferensi secara umum dapat

dikelompokkan ke dalam dua jenis, yaitu persamaan linear dan persamaan

nonlinear. Persamaan diferensi juga dapat diklasifikasikan tingkatnya berdasarkan

tingkat satu dan tingkat tinggi (tingkat yang lebih dari satu).

Titik kesetimbangan juga merupakan konsep yang penting untuk dibahas

dalam mempelajari stabil atau tidaknya penyelesaian persamaan diferensi,

khususnya persamaan diferensi tingkat satu. Untuk menentukan kestabilan

persamaan diferensi tingkat satu, kita perlu mengetahui titik kesetimbangan dari

persamaan tersebut, lalu menganalisa apakah titik kesetimbangan itu bersifat

stabil atau tidak. Selain itu, juga akan dibahas mengenai penerapan dari kestabilan

persamaan diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi dan biologi.

Kata kunci: persamaan diferensi tingkat satu, titik kesetimbangan, titik periodik,

stabil, stabil asimtotik, tidak stabil, harga kesetimbangan, populasi

kesetimbangan.


xii

ABSTRACT

There are many types of equations in mathematics, one of which is the

difference equation. The difference equation is an equation that expresses the

functional relationship between one of independent variable and one of dependent

variable, as well as involving the consecutive value difference of the discrete

variable function. The difference equations are usually used to model the

dynamics of a particular phenomenon that contains discrete time. The difference

equations can generally be grouped into two types, namely linear equations and

nonlinear equations. The difference equations can also be classified by its order

based on order one and the high order (more than order one).

The equilibrium point is also an important concept to be discussed in

studying stability the solution of difference equations, particularly the first order

difference equations. To determine the stability of first order difference equations,

we need to know the equilibrium point of the equation. Next, we check whether

the equilibrium point is stable or not. Moreover, it will be also discussed the

applications of the stability of first order difference equations in the field of

economic and biology.

Keywords: first order difference equations, equilibrium point, periodic point,

stable, asymptotic stable, unstable, price equilibrium, population equilibrium.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ....................................................................... v

MOTTO ................................................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... viii

KATA PENGANTAR .......................................................................................... ix

ABSTRAK ............................................................................................................ xi

ABSTRACT ......................................................................................................... xii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 4

C. Batasan Masalah........................................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 5

F. Metode Penulisan ......................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 6

BAB II PERSAMAAN DIFERENSI .................................................................... 8

A. Persamaan Diferensi Tingkat Satu ............................................................... 8

B. Titik Kesetimbangan .................................................................................. 19

BAB III KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI TINGKAT SATU ...... 32

A. Kestabilan Titik Kesetimbangan ................................................................ 32


xiv

B. Titik Periodik dan Siklus ............................................................................ 58

C. Mencari Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial dengan

Menggunakan Persamaan Diferensi ........................................................... 69

BAB IV PENERAPAN KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI

TINGKAT SATU DALAM BIDANG EKONOMI DAN BIOLOGI .............. 89

A. Analisis Kestabilan Pasar ........................................................................... 89

1. Permintaan ........................................................................................... 89

2. Penawaran ........................................................................................... 91

3. Menganalisis Kestabilan Pasar Berdasarkan Harga Kesetimbangan .. 92

B. Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Satu Populasi ............................ 99

1. Model Eksponensial ............................................................................ 99

2. Model Logistik .................................................................................. 101

3. Model Linear Homogen .................................................................... 104

4. Model Logistik Diskret ..................................................................... 106

BAB V PENUTUP .............................................................................................. 112

A. Kesimpulan ............................................................................................... 112

B. Saran ......................................................................................................... 114

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 115

LAMPIRAN ........................................................................................................ 116


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Persamaan adalah suatu kalimat matematika dalam bentuk simbol yang

menyatakan bahwa dua hal adalah sama. Ada banyak jenis persamaan dalam

matematika, salah satunya yaitu persamaan diferensi. Persamaan diferensi adalah

persamaan yang menyatakan hubungan fungsional antara satu variabel bebas dan

satu variabel terikat, serta melibatkan perbedaan nilai berturut-turut dari fungsi

variabel diskret. Persamaan diferensi biasanya digunakan untuk memodelkan

dinamika dari fenomena tertentu yang memuat waktu diskret. Persamaan diferensi

secara umum dapat dikelompokkan ke dalam dua jenis, yaitu persamaan linear

dan persamaan nonlinear. Persamaan diferensi juga dapat diklasifikasikan

tingkatnya berdasarkan tingkat satu dan tingkat tinggi (tingkat yang lebih dari

satu). Persamaan diferensi yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah

persamaan diferensi linear tingkat satu yang memiliki bentuk umum:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)), (1.1)

dengan 𝑥(𝑛 + 1) adalah fungsi dari 𝑥(𝑛).

Persamaan diferensi linear tingkat satu terbagi menjadi dua, yaitu persamaan

diferensi linear tingkat satu homogen dan persamaan diferensi linear tingkat satu

nonhomogen. Persamaan diferensi linear tingkat satu homogen berbentuk:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛0) = 𝑥0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0,

sedangkan persamaan diferensi linear tingkat satu nonhomogen berbentuk:

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑦(𝑛) + 𝑔(𝑛), 𝑦(𝑛0) = 𝑦0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0,

dimana kedua persamaan tersebut mengasumsikan 𝑎(𝑛) dan 𝑔(𝑛) adalah fungsi

bernilai real yang didefinisikan untuk 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0, serta 𝑎(𝑛) ≠ 0 untuk setiap


2

𝑛 ∈ ℕ0. Dengan menggunakan iterasi sederhana, kita bisa mendapatkan

penyelesaian dari persamaan diferensi linear tingkat satu homogen, yaitu:

𝑥(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑥0.

Dengan prinsip induksi matematis dapat dibuktikan penyelesaian persamaan

diferensi linear tingkat satu nonhomogen, yaitu untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ berlaku,

𝑦(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑛−1

𝑟=𝑛0

.

Titik kesetimbangan merupakan konsep yang penting untuk dibahas dalam

mempelajari stabil atau tidaknya penyelesaian persamaan diferensi, khususnya

persamaan diferensi tingkat satu. Untuk menentukan kestabilan persamaan

diferensi tingkat satu pada persamaan (1.1), kita perlu mengetahui titik

kesetimbangan dari persamaan tersebut, lalu menganalisis apakah titik

kesetimbangan itu bersifat stabil atau tidak. Suatu titik 𝑥∗ dalam domain 𝑓 disebut

titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tingkat satu pada persamaan (1.1)

jika titik itu adalah titik tetap dari 𝑓, yakni berlaku:

𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗.

Dalam banyak aplikasi, penting untuk melihat perilaku dari titik

kesetimbangan untuk nilai 𝑛 yang semakin membesar. Ada beberapa

kemungkinan perilaku titik kesetimbangan, yaitu:

1. Barisan iterasi penyelesaian persamaan diferensi bisa menuju ke suatu titik

atau setidaknya tetap dekat dengan titik tersebut.

2. Barisan iterasi penyelesaian persamaan diferensi bisa berosilasi di antara

nilai-nilai yang dekat dengan beberapa titik.


3

3. Barisan iterasi penyelesaian persamaan diferensi mungkin bisa menjadi tak

terbatas, atau barisannya mungkin tetap dalam himpunan terbatas tetapi

melompat-lompat dengan bentuk yang tampaknya tidak terduga.

Dengan kata lain, kita bisa melihat perilaku dari titik kesetimbangan tersebut

dengan mempelajari suatu teori yang dinamakan teori kestabilan.

Pada tugas akhir ini, penerapan persamaan diferensi tingkat satu yang akan

dibahas, yaitu pada bidang ekonomi dan biologi. Penerapan persamaan diferensi

tingkat satu pada tugas akhir ini hanya difokuskan pada analisis kestabilan pasar

dan analisis kestabilan model pertumbuhan satu populasi.

Penerapan kestabilan persamaan diferensi tingkat satu yang akan dibahas

pertama adalah dalam bidang ekonomi, yaitu mengenai analisis kestabilan pasar.

Pasar adalah sekumpulan pembeli dan penjual yang melakukan interaksi untuk

menetapkan harga suatu produk atau sekumpulan produk. Untuk mengetahui

mekanisme pasar kita perlu menganalisis kestabilan pasar berdasarkan harga

kesetimbangan. Harga pasar tentu akan bervariasi bergantung pada reaksi

permintaan dan penawaran. Permintaan dan penawaran akan menentukan berapa

banyak sebuah barang dihasilkan dan berapa harga yang dikenakan untuk barang

tersebut ketika dijual. Biasanya dalam suatu pasar, pada periode tertentu, ada

suatu hal yang menyebabkan harga pasar menjadi stabil ataupun tidak stabil. Hal

tersebut dikarenakan kondisi dari jumlah permintaan dan penawaran yang tidak

sesuai. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai kondisi yang

terjadi pada saat pasar stabil ataupun tidak stabil dengan menghubungkan antara

kasus ekonomi dengan kasus matematis.

Penerapan kestabilan persamaan diferensi tingkat satu yang akan dibahas

selanjutnya adalah dalam bidang biologi, yaitu mengenai analisis model

pertumbuhan satu populasi. Model adalah sebuah persamaan atau sistem

persamaan yang merepresentasikan sebuah permasalahan di kehidupan nyata atau

dengan kata lain penyederhanan dari masalah nyata. Populasi adalah kumpulan

individu yang sejenis dan hidup di suatu daerah dengan waktu tertentu. Model


4

pertumbuhan populasi adalah model matematika yang menggambarkan

pertumbuhan populasi. Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi

dapat dibagi menjadi dua, yaitu model pertumbuhan populasi dengan waktu

kontinu dan model pertumbuhan populasi dengan waktu diskret. Model

pertumbuhan kontinu meliputi model eksponensial dan model logistik. Sedangkan

model pertumbuhan diskret meliputi model linear homogen dan model logistik

diskret. Dalam periode tertentu, kita akan memodelkan suatu populasi dengan

asumsi kebutuhan akan sumber daya menjadi tak terbatas, sehingga laju

pertumbuhan populasi akan mencapai tak terbatas. Namun pada kenyataannya, hal

tersebut dipandang tidak realistik, sebab suatu populasi tidak akan mungkin

mencapai tak terbatas, hal ini dikarenakan lingkungan memiliki keterbatasan akan

makanan, tempat hidup, ataupun karena adanya persaingan antar individu. Oleh

karena itu, pada akhirnya nanti populasi tersebut tidak akan bertumbuh secara tak

terbatas melainkan akan mengalami pertumbuhan hingga mencapai batas

maksimum, yaitu populasi kesetimbangannya. Kemudian, pada tugas akhir ini

juga akan ditunjukkan bahwa model pertumbuhan populasi dengan waktu kontinu

akan berhubungan dengan model pertumbuhan populasi dengan waktu diksret,

dimana kedua model pertumbuhan populasi ini akan mengarah menuju populasi

kesetimbangannya. Dengan memperhatikan penjelasan tersebut, persamaan

diferensi merupakan salah satu cara yang tepat untuk menganalisis kestabilan

pasar dan pertumbuhan satu populasi dengan menggunakan waktu diskret.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana cara menyelidiki kestabilan dari titik kesetimbangan persamaan

diferensi tingkat satu?

2. Bagaimana penerapan persamaan diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi

dan biologi, yaitu dalam hal menganalisis kestabilan pasar dan menganalisis

model pertumbuhan satu populasi?


5

C. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Persamaan diferensi yang dibahas adalah persamaan diferensi tingkat satu.

2. Penerapan kestabilan persamaan diferensi tingkat satu pada tugas akhir ini

hanya difokuskan dalam bidang ekonomi, yaitu menganalisis kestabilan pasar

di dekat harga kesetimbangan dan dalam bidang biologi, yaitu menganalisis

pertumbuhan satu populasi.

3. Pada tugas akhir ini, pembahasan mengenai penerapan kestabilan persamaan

diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi, yaitu permintaan dan penawaran

pasar hanya dipengaruhi oleh harga pasar dan jumlah dari permintaan dan

penawaran tersebut.

4. Pada tugas akhir ini, pembahasan mengenai penerapan kestabilan persamaan

diferensi tingkat satu dalam bidang biologi, yaitu pertumbuhan populasi hanya

membahas mengenai model untuk satu populasi saja.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mengetahui kestabilan persamaan

diferensi tingkat satu, dan mengetahui penerapan kestabilan persamaan diferensi

tingkat satu dalam bidang ekonomi, yaitu menganalisis kestabilan pasar dan

dalam bidang biologi, yaitu menganalisis model pertumbuhan satu populasi.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah mengetahui tentang persamaan

diferensi, secara khusus mengenai persamaan diferensi tingkat satu, mengetahui

tentang titik kesetimbangan, mengetahui kestabilan dari titik kesetimbangan

persamaan diferensi tingkat satu, serta mengetahui tentang penerapan kestabilan

persamaan diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi yaitu menganalisis

kestabilan pasar dan dalam bidang biologi, yaitu menganalisis model

pertumbuhan satu populasi.


6

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku, jurnal, dan artikel yang

berkaitan dengan kestabilan persamaan diferensi tingkat satu dan penerapannya

dalam bidang ekonomi dan biologi.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSI

A. Persamaan Diferensi Tingkat Satu

B. Titik Kesetimbangan

BAB III KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI TINGKAT SATU

A. Kestabilan Titik Kesetimbangan

B. Titik Periodik dan Siklus


Menggunakan Persamaan Diferensi

BAB IV PENERAPAN KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI

TINGKAT SATU DALAM BIDANG EKONOMI DAN BIOLOGI

A. Analisis Kestabilan Pasar

1. Permintaan

2. Penawaran

3. Menganalisis Kestabilan Pasar Berdasarkan Harga Kesetimbangan


7

B. Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Satu Populasi

1. Model Eksponensial

2. Model Logistik

3. Model Linear Homogen

4. Model Logistik Diskret

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


8

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSI

A. Persamaan Diferensi Tingkat Satu

Persamaan diferensi adalah persamaan yang menyatakan hubungan fungsional

antara satu variabel bebas dan satu variabel terikat, serta melibatkan perbedaan

nilai berturut-turut dari fungsi variabel diskret. Persamaan diferensi biasanya

digunakan untuk memodelkan dinamika dari fenomena tertentu yang memuat

waktu diskret. Persamaan diferensi memiliki bentuk umum, yaitu:

𝑥(𝑛 + 𝑘) = 𝑓(𝑥(𝑛 + 𝑘 − 1), 𝑥(𝑛 + 𝑘 − 2), ⋯ , 𝑥(𝑛 + 1), 𝑥(𝑛), 𝑛), (2.1)

dengan 𝑥(𝑛 + 𝑘) adalah fungsi diferensi dari (𝑥(𝑛 + 𝑖), 𝑛),

𝑖 = 0, 1, ⋯ , 𝑘 − 1, dan 𝑘 menyatakan indeks dari persamaan diferensi dengan 𝑘 ∈

ℕ.

Secara umum, persamaan diferensi dikelompokkan ke dalam dua jenis, yaitu

persamaan diferensi linear dan persamaan diferensi nonlinear.

Definisi 2.1 (Persamaan Diferensi Linear)

Persamaan diferensi dikatakan linear jika persamaan tersebut memiliki bentuk

umum:

𝑎0𝑥(𝑛 + 𝑘) + 𝑎1𝑥(𝑛 + 𝑘 − 1) + ⋯ + 𝑎𝑘−1𝑥(𝑛 + 1) + 𝑎𝑘𝑥(𝑛) = 𝑅(𝑛) (2.2)

dengan 𝑎0, 𝑎1, ⋯, 𝑎𝑘−1, 𝑎𝑘 adalah fungsi konstan dengan 𝑎0 dan 𝑎𝑘 keduanya

tidak sama dengan nol, dan 𝑅(𝑛) adalah sebarang fungsi dari 𝑛 yang didefinisikan

untuk setiap bilangan bulat tak negatif 𝑛.

Definisi 2.2 (Persamaan Diferensi Nonlinear)

Persamaan diferensi dikatakan nonlinear jika persamaan diferensi tersebut tidak

linear.


9

Definisi 2.3 (Tingkat Persamaan Diferensi)

Tingkat atau order dari persamaan diferensi adalah selisih antara indeks yang

tertinggi dan yang terendah dari 𝑥 pada persamaan (2.1).

Persamaan diferensi tingkat 𝑘 dapat dinyatakan ke dalam bentuk:

𝑥(𝑛 + 𝑘) = 𝑓(𝑥(𝑛 + 𝑘 − 1), 𝑥(𝑛 + 𝑘 − 2), ⋯ , 𝑥(𝑛 + 1), 𝑥(𝑛), 𝑛), (2.3)

dengan 𝑘 menyatakan indeks dari persamaan diferensi.

Persamaan diferensi juga dapat diklasifikasikan berdasarkan tingkatnya, yaitu

tingkat satu dan tingkat tinggi (tingkat yang lebih dari satu). Persamaan diferensi

tingkat satu dapat dinyatakan ke dalam bentuk umum, yaitu

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)), (2.4)

dengan 𝑥(𝑛 + 1) adalah fungsi dari 𝑥(𝑛).

Contoh 2.1

a. 𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥2(𝑛) merupakan persamaan diferensi nonlinear tingkat satu.

b. 𝑥(𝑛 + 1) − 3𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1) = 𝑒−𝑛, 𝑛 ≥ 1 merupakan persamaan diferensi

linear tingkat dua.

c. 𝑥(𝑛 + 4) − 𝑥(𝑛) = 𝑛2𝑛 merupakan persamaan diferensi linear tingkat empat.

d. 𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) − (1

100) 𝑥2(𝑛) merupakan persamaan diferensi nonlinear

tingkat satu.

e. 𝑥(𝑛 + 3) = cos 𝑥(𝑛) merupakan persamaan diferensi nonlinear tingkat tiga.

Definisi 2.4 (Penyelesaian Persamaan Diferensi)

Sebuah fungsi disebut penyelesaian dari suatu persamaan diferensi apabila fungsi

tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan diferensi dapat membuat persamaan

diferensi tersebut menjadi pernyataan yang benar di setiap titik.


10

Persamaan diferensi linear tingkat satu terbagi menjadi dua, yaitu persamaan

diferensi linear tingkat satu homogen dan persamaan diferensi linear tingkat satu

nonhomogen. Persamaan diferensi linear tingkat satu homogen memiliki bentuk

umum, yaitu:

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛0) = 𝑥0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0, (2.5)

dengan asumsi 𝑎(𝑛) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan untuk 𝑛 ≥

𝑛0 ≥ 0 dengan 𝑎(𝑛) ≠ 0 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ0. Dengan menggunakan iterasi

sederhana, kita bisa mendapatkan penyelesaian dari persamaan diferensi linear

tingkat satu homogen, yaitu:

𝑥(𝑛0 + 1) = 𝑎(𝑛0)𝑥(𝑛0) = 𝑎(𝑛0)𝑥0,

𝑥(𝑛0 + 2) = 𝑎(𝑛0 + 1)𝑥(𝑛0 + 1) = 𝑎(𝑛0 + 1)𝑎(𝑛0)𝑥0,

𝑥(𝑛0 + 3) = 𝑎(𝑛0 + 2)𝑥(𝑛0 + 2) = 𝑎(𝑛0 + 2)𝑎(𝑛0 + 1)𝑎(𝑛0)𝑥0,

dan secara induktif kita dapatkan:

𝑥(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 1)𝑎(𝑛 − 2) ⋯ 𝑎(𝑛0)𝑥0,

𝑥(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑥0. (2.6)

Dengan demikian, persamaan (2.6) adalah penyelesaian umum dari persamaan

diferensi linear tingkat satu homogen (2.5).

Persamaan diferensi linear tingkat satu nonhomogen memiliki bentuk umum,

yaitu:

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑦(𝑛) + 𝑔(𝑛), 𝑦(𝑛0) = 𝑦0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0, (2.7)

dengan asumsi 𝑎(𝑛) dan 𝑔(𝑛) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan untuk

𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0, serta 𝑎(𝑛) ≠ 0 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ0. Dengan menggunakan iterasi

sederhana, kita juga bisa mendapatkan penyelesaian umum dari persamaan

diferensi linear tingkat satu nonhomogen, yaitu:


11

𝑦(𝑛0 + 1) = 𝑎(𝑛0)𝑦0 + 𝑔(𝑛0),

𝑦(𝑛0 + 2) = 𝑎(𝑛0 + 1)𝑦(𝑛0 + 1) + 𝑔(𝑛0 + 1)

= 𝑎(𝑛0 + 1)(𝑎(𝑛0)𝑦0 + 𝑔(𝑛0)) + 𝑔(𝑛0 + 1)

= 𝑎(𝑛0 + 1)𝑎(𝑛0)𝑦0 + 𝑎(𝑛0 + 1)𝑔(𝑛0) + 𝑔(𝑛0 + 1).

Selanjutnya, kita menggunakan prinsip induksi matematika untuk

menunjukkan bahwa, untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ berlaku,

𝑦(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑛−1

𝑟=𝑛0

. (2.8)

Dengan demikian, persamaan (2.8) adalah penyelesaian umum dari persamaan

diferensi linear tingkat satu nonhomogen (2.7) yang berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ.

Untuk membuktikan bahwa persamaan (2.8) berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ,

pertama kita harus menunjukkan bahwa persamaan (2.8) berlaku untuk 𝑛 = 1.

Dengan menggunakan persamaan (2.7), jika 𝑛 = 1, maka diperoleh

𝑦(1) = 𝑎(0)𝑦0 + 𝑔(0).

Dengan demikian, persamaan (2.7) terbukti benar untuk 𝑛 = 1. Jadi, persamaan

(2.8) berlaku untuk 𝑛 = 1. Selanjutnya diasumsikan bahwa persamaan (2.8)

berlaku untuk 𝑛 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℕ. Dengan menggunakan persamaan (2.7) diperoleh

𝑦(𝑘) = 𝑎(𝑘 − 1)𝑦(𝑘 − 1) + 𝑔(𝑘 − 1),

sehingga penyelesaian umumnya adalah

𝑦(𝑘) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘−1

𝑟=𝑛0

.

Kemudian, dari persamaan (2.8) akan dibuktikan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1,

𝑘 ∈ ℕ berlaku


12

𝑦(𝑘 + 1) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘

𝑟=𝑛0

.

Dengan menggunakan persamaan (2.7) diperoleh

𝑦(𝑘 + 1) = 𝑎(𝑘)𝑦(𝑘) + 𝑔(𝑘)

= 𝑎(𝑘) ((∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘−1

𝑟=𝑛0

) + 𝑔(𝑘)

= (𝑎(𝑘) (∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ 𝑎(𝑘) ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘−1

𝑟=𝑛0

) + 𝑔(𝑘)

= (∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘−1

𝑟=𝑛0

+ 𝑔(𝑘)

= (∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑘

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑘

𝑟=𝑛0

.

Jadi, persamaan (2.8) benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℕ. Dengan demikian, menurut

prinsip induksi matematika persamaan (2.8) berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ.

Persamaan (2.7) dapat dibedakan menjadi dua kasus khusus yang penting,

yaitu pada saat 𝑔(𝑛) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan untuk

𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0 dan saat 𝑔(𝑛) adalah fungsi konstan.

Diberikan persamaan diferensi pertama

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑎𝑦(𝑛) + 𝑔(𝑛), 𝑦(0) = 𝑦0, (2.9)

dengan 𝑎 adalah sebarang konstanta, 𝑦(𝑛) adalah fungsi diferensi ke 𝑛, 𝑦(𝑛 + 1)

adalah fungsi diferensi ke 𝑛 + 1 dan 𝑔(𝑛) adalah fungsi bernilai real yang

didefinisikan untuk 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0.


13

Untuk memperoleh penyelesaian persamaan (2.9), kita menggunakan rumus (2.8),

sehingga diperoleh

𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + ∑ 𝑎𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝑔(𝑘). (2.10)

Diberikan persamaan diferensi kedua

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑎𝑦(𝑛) + 𝑏, 𝑦(0) = 𝑦0, (2.11)

dengan 𝑎 adalah sebarang konstanta, 𝑦(𝑛) adalah fungsi diferensi ke 𝑛, 𝑦(𝑛 + 1)

adalah fungsi diferensi ke 𝑛 + 1 dan 𝑏 adalah sebarang konstanta.

Untuk memperoleh penyelesaian persamaan (2.11), kita menggunakan rumus

(2.10), yaitu

Untuk 𝑎 = 1,

𝑦(𝑛) = 1𝑛𝑦0 + ∑ 1𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝑏, 𝑔(𝑘) = 𝑏

𝑦(𝑛) = 𝑦0 + ∑ 1

𝑛

𝑘=1

𝑏 = 𝑦0 + 𝑏𝑛.

Untuk 𝑎 ≠ 1,

𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + ∑ 𝑎𝑛−𝑘−1

𝑛−1

𝑘=0

𝑏, 𝑔(𝑘) = 𝑏

𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + (𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0) 𝑏

𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + ∑ 𝑎𝑘

𝑛−1

𝑘=0

𝑏.

Dengan menggunakan rumus jumlahan 𝑛 suku pertama deret geometri diperoleh

𝑆𝑛 =𝑢0(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1,


14

dengan 𝑢0 adalah suku pertama, dan 𝑟 =𝑢𝑛

𝑢𝑛−1 adalah rasio dari deret geometri

∑ 𝑎𝑘𝑛−1𝑘=0 , maka diperoleh suku pertamanya, yaitu 𝑢0 = 𝑎0 = 1 dan

𝑟 =𝑢𝑛

𝑢𝑛−1=

𝑎2

𝑎= 𝑎, sehingga rumus jumlahan 𝑛 suku pertama dari deret geometri

∑ 𝑎𝑘𝑛−1𝑘=0 adalah

𝑆𝑛 =1(𝑎𝑛 − 1)

𝑎 − 1=

𝑎𝑛 − 1

𝑎 − 1.

Oleh karena itu, diperoleh

𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + (𝑎𝑛 − 1

𝑎 − 1) 𝑏.

Jadi, penyelesaian dari persamaan (2.11) adalah

𝑦(𝑛) =

𝑎𝑛𝑦0 + 𝑏 (𝑎𝑛−1

𝑎−1) jika 𝑎 ≠ 1,

(2.12)

𝑦0 + 𝑏𝑛 jika 𝑎 = 1.

Untuk mempermudah dalam mencari penyelesaian umum dari persamaan

diferensi linear tingkat satu, berikut diberikan rumus penjumlahan tentu.

Tabel 1.1 Penjumlahan Tentu

Penjumlahan Penjumlahan Tentu

∑ 𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑛 (𝑛 + 1)

2

∑ 𝑘2

𝑛

𝑘=1

𝑛 (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

∑ 𝑘3

𝑛

𝑘=1

(𝑛 (𝑛 + 1)

2)

2

∑ 𝑘4

𝑛

𝑘=1

𝑛 (6𝑛4 + 15𝑛3 + 10𝑛2 − 1)

30


15

∑ 𝑎𝑘

𝑛−1

𝑘=0

(𝑎𝑛 − 1)

(𝑎 − 1), jika 𝑎 ≠ 1

𝑛, jika 𝑎 = 1

∑ 𝑎𝑘

𝑛−1

𝑘=1

(𝑎𝑛 − 𝑎)

(𝑎 − 1), jika 𝑎 ≠ 1

𝑛 − 1, jika 𝑎 = 1

∑ 𝑘𝑎𝑘 , 𝑎 ≠ 1

𝑛

𝑘=1

(𝑎 − 1)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛+2 + 𝑎

(𝑎 − 1)2

Contoh 2.2

Diberikan persamaan diferensi linear sebagai berikut:

𝑥(𝑛 + 1) − 𝑒2𝑛𝑥(𝑛) = 0, 𝑥(0) =1

2. (2.13)

Carilah penyelesaian umum dari persamaan diferensi linear tersebut!

Jawab:

Persamaan diferensi linear (2.13) merupakan persamaan diferensi linear tingkat

satu homogen. Misalkan 𝑎(𝑛) = 𝑒2𝑛.

Dengan menggunakan rumus (2.6), kita bisa mendapatkan penyelesaian dari

persamaan diferensi (2.13), yaitu

𝑥(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑥0.

Kemudian, substitusi 𝑎(𝑖) = 𝑒2𝑖 dan 𝑥(0) = 𝑥0 =1

2 ke persamaan di atas,

sehingga diperoleh


16

𝑥(𝑛) =1

2(∏ 𝑒2𝑖

𝑛−1

𝑖=0

) =1

2(𝑒2(∑ 𝑖𝑛−1

𝑖=0 )).

Dari tabel 1.1

∑ 𝑖

𝑛−1

𝑖=0

=(𝑛 − 1)𝑛

2,

sehingga diperoleh

𝑥(𝑛) =1

2(𝑒

2((𝑛−1)𝑛

2)) =

1

2𝑒(𝑛−1)𝑛.

Contoh 2.3

Carilah penyelesaian umum dari persamaan diferensi linear berikut!

𝑦(𝑛 + 1) − (𝑛 + 1)𝑦(𝑛) = 2𝑛(𝑛 + 1)! , 𝑦(0) = 1. (2.14)

Jawab:

Persamaan diferensi (2.14) merupakan persamaan diferensi linear tingkat satu

nonhomogen. Misalkan 𝑎(𝑛) = 𝑛 + 1 dan 𝑔(𝑛) = 2𝑛(𝑛 + 1)!.

Dengan menggunakan rumus (2.8), kita bisa menemukan penyelesaian umum dari

persamaan (2.14), yaitu sebagai berikut

𝑦(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑛−1

𝑟=𝑛0

.

Selanjutnya, substitusi 𝑎(𝑖) = 𝑖 + 1, 𝑔(𝑟) = 2𝑟(𝑟 + 1)!, dan 𝑦(0) = 𝑦0 = 1 ke

persamaan (2.8).

𝑦(𝑛) = (∏ 𝑖 + 1

𝑛−1

𝑖=0

) 1 + ∑ ( ∏ 𝑖 + 1

𝑛−1

𝑖=𝑟+1

) 2𝑟(𝑟 + 1)!

𝑛−1

𝑟=0


17

= (1.2.3. ⋯ . 𝑛) + ∑((𝑟 + 2). ⋯ . (𝑛 − 1). 𝑛)2𝑟(𝑟 + 1)!

𝑛−1

𝑟=0

= (1.2.3. ⋯ . 𝑛) + ∑(𝑛. (𝑛 − 1). ⋯ . (𝑟 + 2). (𝑟 + 1)!)2𝑟

𝑛−1

𝑟=0

= (1.2.3. ⋯ . 𝑛) + ∑(𝑛. (𝑛 − 1). ⋯ .2.1)2𝑟

𝑛−1

𝑟=0

= 𝑛! + ∑(𝑛!)2𝑟

𝑛−1

𝑟=0

Dengan menggunakan tabel 1.1:

∑ 𝑎𝑟 =𝑎𝑛 − 1

𝑎 − 1, 𝑎 ≠ 1,

𝑛−1

𝑟=0

dan mensubstitusikan 𝑎 = 2 diperoleh

𝑦(𝑛) = 𝑛! + 𝑛! (2𝑛 − 1

2 − 1) = 𝑛! + 𝑛! (2𝑛 − 1) = 𝑛! 2𝑛.

Contoh 2.4

Dilakukan pengukuran terhadap suhu tubuh seseorang yang menunjukkan 110℉.

Diamati bahwa jumlah perubahan suhu selama setiap periode dua jam adalah

−0.3 kali perbedaan antara suhu periode sebelumnya dengan suhu kamar, yaitu

70℉. Buatlah persamaan diferensi yang mendeskripsikan suhu tubuh 𝑇(𝑛) pada

akhir periode ke 𝑛, kemudian carilah penyelesaian umum persamaan diferensi

tersebut!

Jawab:

𝑇(𝑛) adalah suhu tubuh pada akhir periode ke 𝑛.

𝑇(0) = 110℉ adalah suhu tubuh awal.


18

𝐿 = 70℉ adalah suhu lingkungan (suhu kamar).

Persamaan diferensi yang mendeskripsikan suhu tubuh 𝑇(𝑛) pada akhir periode

ke 𝑛 dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑇(𝑛 + 1) − 𝑇(𝑛) = −0.3(𝑇(𝑛) − 70)

𝑇(𝑛 + 1) = 𝑇(𝑛) − 0.3𝑇(𝑛) + 21

𝑇(𝑛 + 1) = 0.7𝑇(𝑛) + 21, 𝑇(0) = 110. (2.15)

Kemudian, kita akan mencari penyelesaian persamaan diferensi (2.15). Persamaan

diferensi (2.15) memiliki bentuk yang mirip dengan persamaan (2.11), sehingga

kita bisa mendapatkan penyelesaian dari persamaan (2.15) dengan menggunakan

rumus pada persamaan (2.12) dengan 𝑎 ≠ 1.

Substitusi 𝑎 = 0.7, 𝑇(0) = 110, dan 𝑏 = 21 ke dalam persamaan (2.12), sehingga

diperoleh

𝑇(𝑛) = 𝑎𝑛𝑦0 + 𝑏 (𝑎𝑛 − 1

𝑎 − 1)

= (0.7)𝑛(110) + 21 ((0.7)𝑛 − 1

0.7 − 1)

= (0.7)𝑛(110) + 21 ((0.7)𝑛 − 1

−0.3)

= (0.7)𝑛(110) − 70((0.7)𝑛 − 1)

= (0.7)𝑛(110) − (0.7)𝑛(70) + 70

= (0.7)𝑛(110 − 70) + 70

= 40(0.7)𝑛 + 70

Jadi, penyelesaian umum persamaan diferensi (2.15) adalah

𝑇(𝑛) = 40(0.7)𝑛 + 70.


19

B. Titik Kesetimbangan

Definisi 2.5 (Titik Kesetimbangan)

Suatu titik 𝑥∗ dalam domain 𝑓 disebut titik kesetimbangan dari persamaan

diferensi tingkat satu (2.4) jika titik itu adalah titik tetap dari 𝑓, yakni berlaku:

𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗. (2.16)

Dengan kata lain, 𝑥∗ adalah penyelesaian konstan dari persamaan diferensi tingkat

satu (2.4). Lebih jelasnya, jika

𝑥(0) = 𝑥∗

adalah titik awal, maka

𝑥(1) = 𝑓(𝑥(0)) = 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗,

𝑥(2) = 𝑓(𝑥(1)) = 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗ ,

𝑥(3) = 𝑓(𝑥(2)) = 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗ ,

dan seterusnya.

Definisi 2.6 (Eventually Fixed Point)

Misalkan 𝑥 adalah sebuah titik dalam domain 𝑓. Jika ada sebuah bilangan bulat

positif 𝑟 dan suatu titik kesetimbangan 𝑥∗ dari persamaan (2.4) sehingga 𝑓𝑟(𝑥) =

𝑥∗, 𝑓𝑟−1(𝑥) ≠ 𝑥∗, maka 𝑥 disebut eventually fixed point dari persamaan (2.4).

Contoh 2.5

Diberikan persamaan diferensi sebagai berikut:

𝑥(𝑛 + 1) =1

2(𝑥(𝑛) +

𝑎

𝑥(𝑛)), (2.17)

Carilah titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tersebut!

Jawab:

Menurut Definisi 2.5, untuk menemukan titik kesetimbangan dari persamaan

diferensi (2.17), kita harus menemukan titik 𝑥∗ sedemikian hingga 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗,

dengan


20

𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 +

𝑎

𝑥).

Dari

1

2(𝑥∗ +

𝑎

𝑥∗) = 𝑥∗ (2.18)

kita memperoleh

1

2(𝑥∗ +

𝑎

𝑥∗) = 𝑥∗

1

2𝑥∗ +

𝑎

2𝑥∗= 𝑥∗

𝑎

2𝑥∗= 𝑥∗ −

1

2𝑥∗

𝑎

2𝑥∗=

1

2𝑥∗

𝑎

𝑥∗= 𝑥∗

(𝑥∗)2 = 𝑎

𝑥∗ = ±√𝑎.

Jadi, kita memperoleh dua titik kesetimbangan dari persamaan diferensi (2.17)

yaitu 𝑥∗ = √𝑎 dan 𝑥∗ = −√𝑎 .

Contoh 2.6

Perhatikan persamaan diferensi berikut ini.

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑇(𝑥(𝑛)), (2.19)

dengan

2𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤1

2,

𝑇(𝑥) =

2(1 − 𝑥) untuk 1

2< 𝑥 ≤ 1.

Tunjukkan bahwa jika 𝑥 =𝑘

2𝑛, dimana 𝑘 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif

dengan 0 <𝑘

2𝑛 ≤ 1, maka 𝑥 adalah eventually fixed point.

Jawab:


21

Pertama, kita harus mencari titik kesetimbangan 𝑥∗ dari persamaan (2.19) dengan

menggunakan Definisi 2.5.

Untuk

0 ≤ 𝑥 ≤1

2, 𝑇(𝑥) = 2𝑥

dan didapatkan

𝑇(𝑥∗) = 𝑥∗

2𝑥∗ = 𝑥∗ (2.20)

2𝑥∗ − 𝑥∗ = 0

𝑥∗ = 0.

Untuk

1

2< 𝑥 ≤ 1, 𝑇(𝑥) = 2(1 − 𝑥).

Misalkan

𝑇(𝑥∗) = 𝑥∗

2(1 − 𝑥∗) = 𝑥∗ (2.21)

2 − 2𝑥∗ = 𝑥∗

−3𝑥∗ = −2

𝑥∗ =2

3.

Jadi, kita memperoleh dua titik kesetimbangan dari persamaan diferensi (2.19),

yaitu 𝑥∗ = 0 dan 𝑥∗ =2

3 .

Akan ditunjukkan bahwa 𝑥 =𝑘

2𝑛 adalah eventually fixed point dari persamaan

(2.19) dengan menggunakan induksi matematis.

1. Basis induksi :

Untuk 𝑘 = 1, diperoleh 𝑥 =1

2𝑛.

Jika 𝑥(0) =1

2𝑛, maka

𝑥(1) = 2 (1

2𝑛) =

1

2𝑛−1

𝑥(2) = 2 (1

2𝑛−1) =

1

2𝑛−2

⋮


22

𝑥(𝑟 − 2) = 2 (1

22) =

1

2

𝑥(𝑟 − 1) = 2 (1

21) = 1

𝑥(𝑟) = 2(1 − 1) = 0.

Menurut Definisi 2.6, 𝑥 =1

2𝑛 adalah eventually fixed point.

Jadi terbukti bahwa untuk 𝑘 = 1, maka 𝑥 =𝑘

2𝑛 adalah eventually fixed point.

2. Hipotesis induksi:

Asumsikan 𝑥 =𝑘

2𝑛 benar untuk 𝑘 ≤ 𝑚. Menurut Definisi 2.6, maka ada sebuah

bilangan positif 𝑠 dan suatu titik kesetimbangan 𝑥∗, dalam hal ini 𝑥∗ = 0,

sedemikian sehingga 𝑇𝑠 (𝑘

2𝑛) = 𝑥∗ = 0.

3. Langkah induksi:

Akan dibuktikan bahwa jika 𝑚+1

2𝑛 <1

2, maka setelah beberapa iterasi, ada 𝑟

sehingga

𝑚 + 1

2𝑟+1<

1

2

dan

𝑚 + 1

2𝑟>

1

2

(2.22)

𝑇 (𝑚 + 1

2𝑟) = 2 (1 −

𝑚 + 1

2𝑟) =

2(2𝑟 − 𝑚 − 1)

2𝑟

Dari persamaan (2.22) diperoleh

𝑚 + 1

2𝑟>

1

2

𝑚 + 1 >2𝑟

2

𝑚 + 1 > 2𝑟−1

Dengan demikian diperoleh

𝑇 (𝑚 + 1

2𝑟) =

2𝑡

2𝑟=

𝑡

2𝑟−1,

dengan

𝑡 = 2𝑟 − 𝑚 − 1


23

= 2𝑟 − (𝑚 + 1)

< 2𝑟 − 2𝑟−1

= 2𝑟 −1

22𝑟 =

1

22𝑟 = 2𝑟−1,

𝑡 < 2𝑟−1, 𝑡 ≤ 𝑚.

Lebih lanjut dapat dilihat bahwa

𝑇𝑠 (𝑡

2𝑟−1) = 0

𝑇𝑠 (𝑇 (𝑚 + 1

2𝑟)) = 0

𝑇𝑠+1 (𝑚 + 1

2𝑟) = 0

Jadi terbukti bahwa ada sebuah bilangan positif 𝑠 dan titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0

sedemikian sehingga 𝑇𝑠(𝑥) = 𝑥∗ = 0, 𝑇𝑠−1(𝑥) ≠ 𝑥∗, maka 𝑥 =𝑘

2𝑛 , 0 <𝑘

2𝑛 ≤ 1

adalah eventually fixed point. ∎

Untuk menentukan kestabilan persamaan diferensi linear tingkat satu, pertama

kita perlu mencari titik kesetimbangan dari persamaan tersebut, lalu menganalisa

apakah titik kesetimbangan itu bersifat stabil atau tidak. Dengan kata lain, kita

bisa melihat perilaku dari titik kesetimbangan tersebut dengan mempelajari suatu

teori yang dinamakan teori kestabilan.

Definisi 2.7 (Kestabilan dari Titik Kesetimbangan Persamaan Diferensi Linear

Tingkat Satu)

a. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dari persamaan (2.4) dikatakan stabil (Gambar 2.1)

apabila

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥0 − 𝑥∗| < 𝛿 ⇒ |𝑓𝑛(𝑥0) − 𝑥∗| < .


24

Gambar 2.1. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan stabil (Elaydi, 2005)

b. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dari persamaan (2.4) dikatakan tidak stabil (Gambar

2.2) apabila

(∃ > 0) (∀𝛿 > 0) (∃𝑁 ∈ ℕ) |𝑥0 − 𝑥∗| < 𝛿 ∧ |𝑥𝑁 − 𝑥∗| ≥ .

Gambar 2.2. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan tidak stabil (Elaydi, 2005)


25

c. Titik 𝑥∗ disebut titik penarik dari persamaan (2.4) apabila

(∃𝜂 > 0) |𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝜂 ⇒ lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 𝑥∗.

Titik 𝑥∗ dikatakan titik kesetimbangan stabil asimtotik (Gambar 2.3) jika titik itu

stabil dan merupakan titik penarik.

Gambar 2.3. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik (Elaydi, 2005)

d. Titik 𝑥∗ disebut titik penarik mutlak dari persamaan (2.4) apabila

(∃𝜂 > 0) 𝜂 → ∞ |𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝜂 ⇒ lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 𝑥∗.

Titik 𝑥∗ dikatakan titik kesetimbangan stabil asimtotik mutlak (Gambar 2.4) jika

titik itu stabil dan merupakan titik penarik mutlak.


26

Gambar 2.4. Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik mutlak (Elaydi,

2005)

Dalam menentukan kestabilan titik kesetimbangan, jika kita menggunakan

Definisi 2.7, maka seringkali sangat sulit, karena dalam banyak kasus kita

mungkin tidak dapat menemukan solusi dalam bentuk tertutup, bahkan untuk

persamaan diferensi (2.4) yang tampak sederhana. Dalam bagian ini akan dibahas

cara sederhana untuk membantu kita memahami perilaku dari penyelesaian

persamaan diferensi (2.4) di sekitar titik kesetimbangan, yang dinamakan teknik

grafik. Teknik grafik yang akan dibahas pada bab ini adalah Diagram Anak

Tangga (The Stair Step) atau Diagram Cobweb.

Metode grafik merupakan salah satu cara penting untuk menganalisis

kestabilan dari titik kesetimbangan (dan periodik) pada persamaan (2.4). Karena

pada persamaan (2.4) 𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)), maka kita dapat menggambar grafik

𝑓 pada bidang (𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛 + 1)). Kemudian, diberikan nilai awal 𝑥(0) = 𝑥0,

maka kita akan menentukan nilai 𝑥(1) dengan menggambar sebuah garis vertikal

melalui 𝑥0, sehingga memotong grafik pada (𝑥0, 𝑥(1)). Selanjutnya, gambar

sebuah garis horisontal dari (𝑥0, 𝑥(1)) menuju garis diagonal 𝑦 = 𝑥 di titik

(𝑥(1), 𝑥(1)). Garis vertikal yang telah digambar dari titik (𝑥(1), 𝑥(1)) akan


27

menuju grafik 𝑓 di titik (𝑥(1), 𝑥(2)). Dengan melanjutkan proses ini, kita akan

menemukan 𝑥(𝑛) untuk setiap 𝑛 > 0.

Contoh 2.7


𝑥(𝑛 + 1) = 5 −6

𝑥(𝑛). (2.19)

Carilah titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tersebut lalu selidiki apakah

titik kesetimbangan persamaan diferensi tersebut bersifat stabil atau tidak!

Jawab:


diferensi (2.19), kita harus menemukan titik 𝑥∗ sedemikian hingga 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗.

Perhatikan

5 −6

𝑥∗= 𝑥∗. (2.20)

5𝑥∗ − 6 = (𝑥∗)2

−(𝑥∗)2 + 5𝑥∗ − 6 = 0

(𝑥∗)2 − 5𝑥∗ + 6 = 0

(𝑥∗ − 2)(𝑥∗ − 3) = 0

𝑥∗ = 2 ∨ 𝑥∗ = 3.


yaitu 𝑥∗ = 2 dan 𝑥∗ = 3.

Kita sudah mengetahui bahwa titik kesetimbangan dari persamaan diferensi (2.19)

adalah 𝑥∗ = 2 dan 𝑥∗ = 3, lalu kita harus menyelidiki masing-masing dari titik

kesetimbangan tersebut apakah bersifat stabil atau tidak.

Untuk 𝑥∗ = 3

Kita dapat membuat persamaan baru yang ekivalen dengan persamaan (2.19),

yaitu


28

𝑥(𝑛 + 1) − 3 =2

𝑥(𝑛)(𝑥(𝑛) − 3) (2.21)

Disini akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu

Kasus 1:

Misalkan 2 < 𝑥(𝑛) < 3, maka dari persamaan (2.21) diperoleh 2 < 𝑥(𝑛 + 1) < 3

untuk 𝑛 ≥ 0.

Dari persamaan (2.21), untuk 𝑛 = 0 diperoleh

|𝑥(1) − 3| = |2

𝑥(0)(𝑥(0) − 3)| =

2

𝑥(0)|𝑥(0) − 3| < |𝑥(0) − 3|

sehingga dapat dikatakan bahwa 𝑥(1) dekat dengan 3 daripada 𝑥(0), yaitu saat

𝑥1 > 𝑥0.

Untuk 𝑛 = 1 diperoleh

|𝑥(2) − 3| = |2

𝑥(1)(𝑥(1) − 3)|

|𝑥(2) − 3| =2

𝑥(1)|𝑥(1) − 3|

<2

𝑥(1)|𝑥(0) − 3| <

2

𝑥(0)|𝑥(0) − 3|.

Apabila dilanjutkan secara induktif, maka akan diperoleh

|𝑥(𝑛) − 3| < (2

𝑥(0))

𝑛−1

|𝑥(0) − 3|.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 adalah stabil

dengan menggunakan Definisi 2.7 (a), yaitu

(∀ > 0)(∃𝛿 > 0)(∀𝑛 ∈ ℕ) |𝑥(0) − 3| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 3| <

Ambil sebarang > 0. Pilih 𝛿 =𝜀𝑥(0)

2> 0, sedemikian sehingga

|𝑥(𝑛) − 3| < (2

𝑥(0))

𝑛−1|𝑥(0) − 3| <

2

𝑥(0)|𝑥(0) − 3| <

2

𝑥(0)𝛿 =

2

𝑥(0)

𝜀𝑥(0)

2= .

Jadi, terbukti

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥(0) − 3| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 3| < ,


29

sehingga titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 bersifat stabil.

Lebih lanjut, karena untuk setiap 𝑛 ≥ 0, 𝑥(𝑛) konvergen menuju 3, maka

lim𝑛→∞

|𝑥(𝑛) − 3| = 0 atau dengan kata lain lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 3, maka menurut Definisi

2.7 (c) titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 bersifat stabil asimtotik.

Kasus 2:

Misalkan 𝑥(𝑛) > 3, maka dari persamaan (2.21) diperoleh 𝑥(𝑛 + 1) > 3 untuk

𝑛 ≥ 0.

Dari persamaan (2.21), untuk 𝑛 = 0 diperoleh

|𝑥(1) − 3| = |2

𝑥(0)(𝑥(0) − 3)| =

2

𝑥(0)|𝑥(0) − 3| <

2

3|𝑥(0) − 3|

sehingga dapat dikatakan bahwa 𝑥(1) dekat dengan 3 daripada 𝑥(0), yaitu saat

𝑥1 > 𝑥0.

Kemudian, untuk 𝑛 = 1 diperoleh

|𝑥(2) − 3| = |2

𝑥(1)(𝑥(1) − 3)|

|𝑥(2) − 3| =2

𝑥(1)|𝑥(1) − 3|

=2

𝑥(1)

2

𝑥(0)|𝑥(0) − 3|

<2

3

2

3|𝑥(0) − 3| = (

2

3)

2

|𝑥(0) − 3|.


|𝑥(𝑛) − 3| < (2

3)

𝑛

|𝑥(0) − 3|.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 adalah stabil

dengan menggunakan Definisi 2.7 (a), yaitu

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥(0) − 3| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 3| < .

Ambil sebarang > 0. Pilih 𝛿 =3𝜀

2> 0, sedemikian sehingga

|𝑥(𝑛) − 3| < (2

3)

𝑛|𝑥(0) − 3| <

2

3|𝑥(0) − 3| <

2

3𝛿 =

2

3

3𝜀

2= .


30

Jadi, terbukti

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥(0) − 3| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 3| < ,

sehingga titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 bersifat stabil.

Lebih lanjut, karena lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 3, maka menurut Definisi 2.7 (c) titik

kesetimbangan 𝑥∗ = 3 bersifat stabil asimtotik.

Untuk 𝑥∗ = 2

Kita dapat membuat persamaan baru yang ekivalen dengan persamaan (2.19),

yaitu

𝑥(𝑛 + 1) − 2 =3

𝑥(𝑛)(𝑥(𝑛) − 2). (2.22)

Misalkan 𝑥(𝑛) < 3, maka dari persamaan (2.22), untuk 𝑛 = 0 diperoleh

|𝑥(1) − 2| = |3

𝑥(0)(𝑥(0) − 2)| =

3

𝑥(0)|𝑥(0) − 2| > |𝑥(0) − 2|.

Kemudian, untuk 𝑛 = 1 diperoleh

|𝑥(2) − 2| = |3

𝑥(1)(𝑥(1) − 2)| =

3

𝑥(1)|𝑥(1) − 2| > |𝑥(1) − 2|.


|𝑥(𝑛) − 2| > |𝑥(𝑛 − 1) − 2|.

Jadi, dengan kata lain diperoleh bahwa titik kesetimbangan 𝑥∗ = 2 bersifat tidak

stabil.

Sekarang dengan menggunakan diagram anak tangga, kita akan mengamati bahwa

untuk 2 < 𝑥(𝑛) < 3, semua penyelesaian yang titik awalnya, yaitu 𝑥(0) yang

berada pada interval (2,3) akan konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 dan

untuk 𝑥(𝑛) > 3, semua penyelesaian yang titik awalnya, yaitu 𝑥(0) yang berada

pada interval (3, ∞) akan konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3. Sedangkan,


31

untuk 𝑥(𝑛) < 2, semua penyelesaian yang titik awalnya, yaitu 𝑥(0) yang berada

paa interval (−∞, 2) tidak konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥∗ = 2. Sebagai

contoh, jika dipilih titik awal 𝑥(0) = 6, maka semua penyelesaian akan

konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 (Gambar 2.5).

Gambar 2.5. Diagram anak tangga untuk 𝑥(0) = 6 dengan semua

penyelesaian konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥∗ = 3 (Elaydi,

2005)


32

BAB III

KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI TINGKAT SATU

Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari

penyelesaian sistem di sekitar titik kesetimbangan. Untuk mempelajari perilaku

dari penyelesaian sistem tersebut digunakan suatu pendekatan yang disebut

analisis kestabilan. Analisis ini dapat dilakukan dengan beberapa cara, salah

satunya yaitu melakukan penyelidikan terhadap perilaku titik kesetimbangan dari

suatu persamaan diferensi. Titik kesetimbangan dan kestabilannya dapat

memberikan informasi mengenai perilaku jangka panjang dari penyelesaian

persamaan diferensi. Selain melakukan penyelidikan terhadap perilaku titik

kesetimbangan dari persamaan diferensi, analisis kestabilan juga dapat dilakukan

melalui metode grafik. Pada bab ini juga akan dibahas mengenai kestabilan dari

titik periodik, serta bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial yang sulit

diselesaikan dengan menggunakan penyelesaian numerik, yaitu melalui

persamaan diferensi.

A. Kestabilan Titik Kesetimbangan

Teorema 3.1

Misalkan 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tingkat satu

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)), (3.1)

dengan 𝑓 adalah suatu fungsi terdiferensial kontinu di 𝑥∗.

(i) Jika |𝑓′(𝑥∗)| < 1, maka 𝑥∗ stabil asimtotik.

(ii) Jika |𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka 𝑥∗ tidak stabil.

Bukti:

(i) Misalkan |𝑓′(𝑥∗)| < 1, maka menurut sifat kepadatan ada bilangan real lain di

antara |𝑓′(𝑥∗)| dan 1, sedemikian sehingga |𝑓′(𝑥∗)| < 𝑀 < 1. Oleh karena

itu, ada sebuah interval 𝐽 = (𝑥∗ − 𝛾, 𝑥∗ + 𝛾) yang memuat 𝑥∗, sedemikian

sehingga |𝑓′(𝑥∗)| ≤ 𝑀 < 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐽. Andaikan |𝑓′(𝑥∗)| > 𝑀, maka


33

ada sebuah titik 𝑥𝑛 ∈ 𝐼𝑛 untuk masing-masing interval terbuka

𝐼𝑛 = (𝑥∗ −1

𝑛, 𝑥∗ +

1

𝑛) dengan 𝑛 → ∞. Jadi apabila 𝑛 → ∞, maka 𝑥𝑛 → 𝑥∗.

Karena 𝑓′ adalah fungsi kontinu, sehingga berlaku

lim𝑛→∞

𝑓′(𝑥𝑛) = 𝑓′(𝑥∗).


𝑀 < lim𝑛→∞

|𝑓′(𝑥𝑛)| = |𝑓′(𝑥∗)| < 𝑀,

dan terjadi kontradiksi.

Kemudian, untuk 𝑥(0) ∈ 𝐽, kita punya

|𝑥(1) − 𝑥∗| = |𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)|.

Berdasarkan teorema nilai rata-rata, ada 𝜉 di antara 𝑥(0) dan 𝑥∗, sedemikian

sehingga

|𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)|

|𝑥(0) − 𝑥∗|= |𝑓′(𝜉)|

|𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)| = |𝑓′(𝜉)||𝑥(0) − 𝑥∗|.

Jadi,

|𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)| ≤ 𝑀 |𝑥(0) − 𝑥∗|.

Oleh karena itu,

|𝑥(1) − 𝑥∗| ≤ 𝑀|𝑥(0) − 𝑥∗|. (3.2)

Dari pertidaksamaan (3.2) menunjukkan bahwa 𝑥(1) dekat dengan 𝑥∗ atau

dengan kata lain 𝑥(𝑛) konvergen menuju 𝑥∗, dengan 𝑥(1) ∈ 𝐽.

Selanjutnya, dengan menggunakan induksi matematis, akan ditunjukkan

bahwa untuk setiap 𝑛 ≥ 0 berlaku

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≤ 𝑀𝑛|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Basis induksi: Jika 𝑛 = 1, maka diperoleh

|𝑥(1) − 𝑥∗| ≤ 𝑀|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Dengan demikian, terbukti benar untuk 𝑛 = 1.

Hipotesis induksi: Asumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘, sehingga diperoleh

|𝑥(𝑘) − 𝑥∗| ≤ 𝑀𝑘|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Langkah induksi: Akan dibuktikan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, berlaku

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| ≤ 𝑀𝑘+1|𝑥(0) − 𝑥∗|.


34

Bukti:

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| = |𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)|

Berdasarkan teorema nilai rata-rata, ada 𝜉 di antara 𝑥(𝑘) dan 𝑥∗, sedemikian

sehingga

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)|

|𝑥(𝑘) − 𝑥∗|= |𝑓′(𝜉)|

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)| = |𝑓′(𝜉)||𝑥(𝑘) − 𝑥∗|.

Jadi,

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)| ≤ 𝑀 |𝑥(𝑘) − 𝑥∗|.

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| ≤ 𝑀|𝑥(𝑘) − 𝑥∗|

≤ 𝑀 ∙ 𝑀𝑘|𝑥(0) − 𝑥∗|

= 𝑀𝑘+1|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Jadi, dengan menggunakan induksi matematis terbukti benar bahwa untuk

setiap 𝑛 ≥ 0 berlaku

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≤ 𝑀𝑛|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝑥∗ adalah stabil dengan menggunakan

Definisi 2.7 (a), yaitu

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 𝑥∗| < .

Ambil sebarang > 0. Pilih 𝛿 =𝜀

2𝑀, sedemikian sehingga

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≤ 𝑀𝑛|𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝑀|𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝑀𝛿 = 𝑀2𝑀

<2

< .

Jadi, terbukti bahwa

(∀ > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑛 ∈ ℕ)|𝑥(0) − 𝑥∗| < 𝛿 ⇒ |𝑥(𝑛) − 𝑥∗| <

sehingga menurut Definisi 2.7 (a), titik kesetimbangan 𝑥∗ adalah stabil.

Lebih lanjut, karena untuk setiap 𝑛 ≥ 0, 𝑥(𝑛) konvergen menuju 𝑥∗, maka

lim𝑛→∞

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| = 0.

Dengan kata lain,


35

lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 𝑥∗.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan yang stabil

asimtotik.

(ii) Misalkan |𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka menurut sifat kepadatan ada bilangan real lain di

antara |𝑓′(𝑥∗)| dan 1, sedemikian sehingga |𝑓′(𝑥∗)| > 𝑀 > 1. Oleh karena

itu, ada sebuah interval 𝐽 = (𝑥∗ − 𝛾, 𝑥∗ + 𝛾) yang memuat 𝑥∗, sedemikian

sehingga|𝑓′(𝑥∗)| ≥ 𝑀 > 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐽. Andaikan |𝑓′(𝑥∗)| < 𝑀, maka

ada sebuah titik 𝑥𝑛 ∈ 𝐼𝑛 untuk masing-masing interval terbuka

𝐼𝑛 = (𝑥∗ −1

𝑛, 𝑥∗ +

1

𝑛) dengan 𝑛 → ∞. Jadi, apabila 𝑛 → ∞, maka 𝑥𝑛 → 𝑥∗.

Karena 𝑓′ adalah fungsi kontinu, sehingga berlaku

lim𝑛→∞

𝑓′(𝑥𝑛) = 𝑓′(𝑥∗).


𝑀 > lim𝑛→∞

|𝑓′(𝑥𝑛)| = |𝑓′(𝑥∗)| > 𝑀,

dan terjadi kontradiksi.

Kemudian, untuk 𝑥(0) ∈ 𝐽, kita punya

|𝑥(1) − 𝑥∗| = |𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)|.

Berdasarkan teorema nilai rata-rata, ada 𝜉 di antara 𝑥(0) dan 𝑥∗, sedemikian

sehingga

|𝑓(𝑥(0)) − 𝑓(𝑥∗)|

|𝑥(0) − 𝑥∗|= |𝑓′(𝜉)|.

Jadi,

|𝑥(1) − 𝑥∗| = |𝑓′(𝜉)||𝑥(0) − 𝑥∗|

|𝑥(1) − 𝑥∗|

|𝑥(0) − 𝑥∗|= |𝑓′(𝜉)| ≥ 𝑀

|𝑥(1) − 𝑥∗| ≥ 𝑀|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Selanjutnya, dengan menggunakan induksi matematis, akan ditunjukkan

bahwa untuk setiap 𝑛 ≥ 0 berlaku

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≥ 𝑀𝑛|𝑥(𝑛 − 1) − 𝑥∗|.

Basis induksi: Jika 𝑛 = 1, maka diperoleh

|𝑥(1) − 𝑥∗| ≥ |𝑥(0) − 𝑥∗|.


36

Dengan demikian, terbukti benar untuk 𝑛 = 1.

Hipotesis induksi: Asumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘, sehingga diperoleh

|𝑥(𝑘) − 𝑥∗| ≥ 𝑀𝑘|𝑥(𝑘 − 1) − 𝑥∗|.

Langkah induksi: Akan dibuktikan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1, berlaku

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| ≥ 𝑀𝑘+1|𝑥(0) − 𝑥∗|.

Bukti:

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| = |𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)|

Berdasarkan teorema nilai rata-rata, ada 𝜉 di antara 𝑥(𝑘) dan 𝑥∗, sedemikian

sehingga

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)|

|𝑥(𝑘) − 𝑥∗|= |𝑓′(𝜉)|

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)| = |𝑓′(𝜉)||𝑥(𝑘) − 𝑥∗|.

Jadi,

|𝑓(𝑥(𝑘)) − 𝑓(𝑥∗)| ≥ 𝑀 |𝑥(𝑘) − 𝑥∗|

|𝑥(𝑘 + 1) − 𝑥∗| ≥ 𝑀|𝑥(𝑘) − 𝑥∗|

≥ 𝑀 ∙ 𝑀𝑘|𝑥(𝑘 − 1) − 𝑥∗|

≥ 𝑀𝑘+1|𝑥(𝑘 − 1) − 𝑥∗|.

Jadi, dengan menggunakan induksi matematis terbukti benar bahwa untuk

setiap 𝑛 ≥ 0 berlaku

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≥ 𝑀𝑛|𝑥(𝑛 − 1) − 𝑥∗|.

Karena 𝑀 > 1, maka

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| ≥ 𝑀𝑛|𝑥(𝑛 − 1) − 𝑥∗| > |𝑥(𝑛 − 1) − 𝑥∗|.

Hal ini menunjukkan bahwa untuk nilai 𝑛 yang semakin membesar, maka

𝑥(𝑛) juga akan membesar tanpa batas, dengan kata lain titik kesetimbangan

𝑥∗ bersifat tidak stabil. ∎

Teorema 3.2

Misalkan 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan persamaan (3.1), dengan 𝑓′(𝑥∗) = 1.

Pernyataan berikut benar:


37

(i) Jika 𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0, maka 𝑥∗ tidak stabil.

(ii) Jika 𝑓′′(𝑥∗) = 0 dan 𝑓′′′(𝑥∗) > 0, maka 𝑥∗ tidak stabil.

(iii)Jika 𝑓′′(𝑥∗) = 0 dan 𝑓′′′(𝑥∗) < 0, maka 𝑥∗ stabil asimtotik.

Bukti:

(i) Jika 𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0, maka kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) bisa cekung ke atas jika 𝑓′′(𝑥∗) > 0

atau cekung ke bawah jika 𝑓′′(𝑥∗) < 0, seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1

dan 3.2. Jika 𝑓′′(𝑥∗) > 0, maka 𝑓′(𝑥∗) > 1 untuk setiap 𝑥 yang berada pada

interval 𝐼 = (𝑥∗, 𝑥∗ + ). Di sisi lain, jika 𝑓′′(𝑥∗) < 0, maka 𝑓′(𝑥∗) > 1

untuk setiap 𝑥 yang berada pada interval 𝐼 = (𝑥∗ − , 𝑥∗). Karena 𝑓′(𝑥∗) > 1,

maka |𝑓′(𝑥∗)| > 1. Oleh karena itu, menurut Teorema 3.1 (ii), jika

|𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗ tidak stabil.

Gambar 3.1. Titik kesetimbangan 𝑥∗ tidak stabil dengan

𝑓′′(𝑥∗) > 0 (Elaydi, 2005)


38

Gambar 3.2. Titik kesetimbangan 𝑥∗ tidak stabil dengan

𝑓′′(𝑥∗) < 0 (Elaydi, 2005)

(ii) Diketahui

𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) = 0, 𝑓′′′(𝑥∗) > 0,

sehingga kita tahu bahwa 𝑥∗ adalah titik belok (Gambar 3.3). Karena

𝑓′′′(𝑥∗) > 0, maka 𝑓′′(𝑥∗) meningkat dari interval 𝐼 = (𝑥∗ − , 𝑥∗ + ) di

sekitar 𝑥∗. Oleh karena itu, 𝑓′′(𝑥∗) < 0 berada pada interval (𝑥∗ − , 𝑥∗) dan

𝑓′′(𝑥∗) > 0 berada pada interval (𝑥∗, 𝑥∗ + ). Akibatnya, 𝑓′(𝑥∗) > 1 berada

pada interval (𝑥∗, 𝑥∗ + ). Karena 𝑓′(𝑥∗) > 1, maka |𝑓′(𝑥∗)| > 1. Jadi,

menurut Teorema 3.1 (ii), jika |𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗

tidak stabil.


39

Gambar 3.3. Titik kesetimbangan 𝑥∗ tidak stabil dengan 𝑓′(𝑥∗) = 1,

𝑓′′(𝑥∗) = 0, dan 𝑓′′′(𝑥∗) > 0 (Elaydi, 2005)

(iii) Diketahui

𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) = 0, 𝑓′′′(𝑥∗) < 0,

sehingga kita tahu bahwa 𝑥∗ adalah titik belok (Gambar 3.4). Karena

𝑓′′′(𝑥∗) < 0, maka 𝑓′′(𝑥∗) meningkat dari interval 𝐼 = (𝑥∗ − , 𝑥∗) dan

menurun dari interval 𝐼 = (𝑥∗, 𝑥∗ + ) di sekitar 𝑥∗. Oleh karena itu,

𝑓′′(𝑥∗) < 0 berada pada interval (𝑥∗, 𝑥∗ + ) dan 𝑓′′(𝑥∗) > 0 berada pada

interval (𝑥∗ − , 𝑥∗). Akibatnya, 𝑓′(𝑥∗) < 1 berada pada interval

(𝑥∗ − , 𝑥∗). Lebih lanjut, karena untuk setiap 𝑛 ≥ 0, 𝑥(𝑛) konvergen

menuju 𝑥∗, maka lim𝑛→∞

|𝑥(𝑛) − 𝑥∗| = 0, atau dengan kata lain lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 𝑥∗.

Jadi, terbukti bahwa 𝑥∗ stabil asimtotik. ∎


40

Gambar 3.4. Titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik dengan 𝑓′(𝑥∗) = 1,

𝑓′′(𝑥∗) = 0, dan 𝑓′′′(𝑥∗) < 0 (Elaydi, 2005)

Karena Teorema 3.2 hanya berlaku ketika 𝑓′(𝑥∗) = 1, maka kita harus memeriksa

kasus saat 𝑓′(𝑥∗) = −1. Tetapi sebelum melakukannya, kita membutuhkan

pengenalan notasi dari turunan Schwarzian dari fungsi 𝑓:

𝑆𝑓(𝑥) =𝑓′′′(𝑥)

𝑓′(𝑥)−

3

2(

𝑓′′(𝑥)

𝑓′(𝑥))

2

.

Jika 𝑓′(𝑥∗) = −1, maka

𝑆𝑓(𝑥∗) = −𝑓′′′(𝑥∗) −3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2. (3.3)

Teorema 3.3

Misalkan 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan persamaan (3.1), dengan 𝑓′(𝑥∗) = −1.

Pernyataan berikut benar:

(i) Jika 𝑆𝑓(𝑥∗) < 0, maka 𝑥∗ stabil asimtotik.

(ii) Jika 𝑆𝑓(𝑥∗) > 0, maka 𝑥∗ tidak stabil.


41

Bukti:

(i) Misal diberikan persamaan

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑦(𝑛)), 𝑔(𝑦) = 𝑓2(𝑦). (3.4)

Kita akan membuat dua pengamatan terhadap persamaan (3.4). Pertama, titik

kesetimbangan 𝑥∗ dari persamaan (3.1) juga merupakan titik kesetimbangan

dari persamaan (3.4). Kedua, jika titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik

terhadap persamaan (3.4), maka titik kesetimbangan tersebut juga stabil

asimtotik terhadap persamaan (3.1).

Karena

𝑔(𝑦) = 𝑓2(𝑦),

maka

𝑑

𝑑𝑦𝑔(𝑦) =

𝑑

𝑑𝑦𝑓(𝑓(𝑦)) = 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦). (3.5)

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam persamaan (3.5),

sehingga diperoleh

𝑑

𝑑𝑦𝑔(𝑥∗) = 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))

2.

Diketahui

𝑓′(𝑥∗) = −1,

maka diperoleh

𝑑

𝑑𝑦𝑔(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))

2= (−1)2 = 1.

Karena

𝑑

𝑑𝑦𝑔(𝑥∗) = 1,


42

maka menurut Teorema 3.2, kita perlu mencari turunan kedua dari 𝑔(𝑦),

sehingga diperoleh

𝑑2

𝑑𝑦2𝑔(𝑦) =

𝑑2

𝑑𝑦2𝑓(𝑓(𝑦)) = (𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦))

′

= 𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)𝑓′(𝑦) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦).

= [𝑓′(𝑦)]2𝑓′′(𝑓(𝑦)) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦).

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam persamaan turunan

kedua dari 𝑔(𝑦), diperoleh

𝑑2

𝑑𝑦2𝑔(𝑥∗) = [𝑓′(𝑥∗)]2𝑓′′(𝑓(𝑥∗)) + 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′(𝑥∗).

Karena 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan, maka 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗, sehingga

𝑑2

𝑑𝑦2𝑔(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))2𝑓′′(𝑓(𝑥∗)) + 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′(𝑥∗)

= (𝑓′(𝑥∗))2𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗).

Diketahui 𝑓′(𝑥∗) = −1,sehingga diperoleh

𝑑2

𝑑𝑦2𝑔(𝑥∗) = (−1)2𝑓′′(𝑥∗) + (−1)𝑓′′(𝑥∗)

= 𝑓′′(𝑥∗) − 𝑓′′(𝑥∗) = 0.

Sekarang, kita akan mencari turunan ketiga dari 𝑔(𝑦), sehingga diperoleh

(𝑔(𝑦))′′′

=𝑑

𝑑𝑦((𝑓′(𝑦))

2𝑓′′(𝑓(𝑦)) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦))

= (2𝑓′(𝑦)𝑓′′(𝑦)) (𝑓′′(𝑓(𝑦))) + (𝑓′(𝑦))2

(𝑓′′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦))

+(𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦))(𝑓′′(𝑦)) + (𝑓′(𝑓(𝑦))) (𝑓′′′(𝑦)).


43

Karena 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan, maka 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗, sehingga

(𝑔(𝑥∗))′′′

= (2𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗)) (𝑓′′(𝑓(𝑥∗)))

+(𝑓′(𝑥∗))2

(𝑓′′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)) + (𝑓′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)) (𝑓′′(𝑥∗))

+ (𝑓′(𝑓(𝑥∗))) (𝑓′′′(𝑥∗))

= (2𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗))(𝑓′′(𝑥∗)) + (𝑓′(𝑥∗))2

(𝑓′′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗))

+(𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗))(𝑓′′(𝑥∗)) + (𝑓′(𝑥∗))(𝑓′′′(𝑥∗))

= (2𝑓′(𝑥∗)(𝑓′′(𝑥∗))2

) + (𝑓′(𝑥∗))3

𝑓′′′(𝑥∗)

+ ((𝑓′′(𝑥∗))2

𝑓′(𝑥∗)) + (𝑓′(𝑥∗))(𝑓′′′(𝑥∗))

= (3𝑓′(𝑥∗)(𝑓′′(𝑥∗))2

) + (𝑓′(𝑥∗)𝑓′′′(𝑥∗)) ((𝑓′(𝑥∗))2

+ 1).

Diketahui 𝑓′(𝑥∗) = −1,sehingga diperoleh

(𝑔(𝑥∗))′′′

= (3(−1)(𝑓′′(𝑥∗))2

) + ((−1)𝑓′′′(𝑥∗))((−1)2 + 1)

(𝑔(𝑥∗))′′′

= −2𝑓′′′(𝑥∗) − 3(𝑓′′(𝑥∗))2

1

2(𝑔(𝑥∗))

′′′= −𝑓′′′(𝑥∗) −

3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2= 𝑆𝑓(𝑥∗).

Berdasarkan Teorema 3.2 (iii), diperoleh

(𝑔(𝑥∗))′′′

< 0 ⇒ 𝑥∗ stabil asimtotik.

Jadi, karena 𝑆𝑓(𝑥∗) =1

2(𝑔(𝑥∗))

′′′ , maka Teorema 3.3 (i) terbukti bahwa

𝑆𝑓(𝑥∗) < 0 ⇒ 𝑥∗ stabil asimtotik.

(ii) Bukti sama seperti pada bagian (i),

Berdasarkan Teorema 3.2 (ii), diperoleh


44

(𝑔(𝑥∗))′′′

> 0 ⇒ 𝑥∗ tidak stabil.

Jadi, karena 𝑆𝑓(𝑥∗) =1

2(𝑔(𝑥∗))

′′′ , maka Teorema 3.3 (ii) terbukti bahwa

𝑆𝑓(𝑥∗) > 0 ⇒ 𝑥∗ tidak stabil. ∎

Contoh 3.1


𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥2(𝑛) + 3𝑥(𝑛). (3.6)

Carilah titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tersebut dan tentukan

kestabilannya.

Jawab:


diferensi (3.6), kita harus menemukan titik 𝑥∗ sedemikian hingga 𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗.

Misalkan

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥,

maka

(𝑥∗)2 + 3𝑥∗ = 𝑥∗. (3.7)

Sekarang, kita akan mencari nilai 𝑥∗ yang memenuhi persamaan (3.7). Kita

memperoleh

(𝑥∗)2 + 3𝑥∗ = 𝑥∗

(𝑥∗)2 + 3𝑥∗ − 𝑥∗ = 0

(𝑥∗)2 + 2𝑥∗ = 0

𝑥∗(𝑥∗ + 2) = 0

𝑥∗ = 0 dan 𝑥∗ = −2.


yaitu 𝑥∗ = 0 dan 𝑥∗ = −2 .

Selanjutnya, kita akan menganalisa kestabilan dari masing-masing titik

kesetimbangan tersebut.


45

Pertama, kita harus mencari nilai |𝑓′(𝑥∗)| dari titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0 dan

𝑥∗ = −2.

𝑓(𝑥∗) = (𝑥∗)2 + 3𝑥∗

𝑓′(𝑥∗) = 2𝑥∗ + 3

Untuk 𝑥∗ = 0,

|𝑓′(0)| = |2.0 + 3| = |0 + 3| = 3.

Menurut Teorema 3.1, karena |𝑓′(0)| = 3 > 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0

tidak stabil.

Untuk 𝑥∗ = −2,

|𝑓′(−2)| = |2. (−2) + 3| = |−4 + 3| = |−1| = 1.

Kita tidak bisa menggunakan Teorema 3.1, karena |𝑓′(−2)| = 1 tidak memenuhi

anteseden dari teorema tersebut. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan teorema

3.3, sebab 𝑓′(−2) = −1. Terlebih dahulu, kita harus mencari 𝑆𝑓(𝑥) dengan 𝑥∗ =

−2. Dengan menggunakan persamaan (3.3) diperoleh

𝑆𝑓(𝑥∗) = −𝑓′′′(𝑥∗) −3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2.

Kemudian, substitusi 𝑥∗ = −2 ke persamaan diatas, sehingga diperoleh

𝑆𝑓(−2) = −𝑓′′′(−2) −3

2(𝑓′′(−2))

2. (3.8)

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dan ketiga dari persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥,

sehingga diperoleh

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3

𝑓′′(𝑥) = 2


46

𝑓′′′(𝑥) = 0.

Kemudian, substitusi 𝑓′′(𝑥) = 2 dan 𝑓′′′(𝑥) = 0 ke persamaan (3.8), sehingga

diperoleh

𝑆𝑓(−2) = −(0) −3

2(2)2 = −6.

Menurut Teorema 3.3, karena 𝑆𝑓(−2) = −6 < 0, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ = −2 stabil asimtotik.

Contoh 3.2

Diberikan persamaan kuadratik 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, dan misalkan 𝑥∗

adalah titik tetap dari 𝑄. Buktikan pernyataan berikut benar bahwa:

(i) Jika 𝑄′(𝑥∗) = −1, maka 𝑥∗ stabil asimtotik.

(ii) Jika 𝑄′(𝑥∗) = 1, maka 𝑥∗ tidak stabil.

Jawab:

(i) Diketahui

𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0,

maka

𝑄′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏, (3.9)

𝑄′′(𝑥) = 2𝑎,

𝑄′′′(𝑥) = 0.

Diketahui

𝑄′(𝑥∗) = −1,

sementara itu, karena 𝑄 adalah fungsi kuadratik, maka 𝑄 memiliki dua titik

tetap, yaitu 𝑥1∗ dan 𝑥2

∗.

Sekarang kita akan menyelidiki masing-masing titik tetap tersebut apakah

benar 𝑄′(𝑥∗) = −1 berlaku untuk setiap 𝑥∗.

Terlebih dahulu, kita akan mencari titik tetap dari 𝑄, yaitu

𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐


47

𝑄(𝑥∗) = 𝑥∗

𝑎(𝑥∗)2 + 𝑏𝑥∗ + 𝑐 = 𝑥∗

𝑎(𝑥∗)2 + 𝑥∗(𝑏 − 1) + 𝑐 = 0

𝑥1∗ =

−(𝑏 − 1) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎,

𝑥2∗ =

−(𝑏 − 1) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎.

Kemudian, kita substitusi 𝑥1∗ ke dalam persamaan (3.9), sehingga diperoleh

𝑄′(𝑥1∗) = 2𝑎𝑥1

∗ + 𝑏

= 2𝑎 (−(𝑏 − 1) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎) + 𝑏

= (1 − 𝑏) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 + 𝑏

= 1 + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐. (3.10)

Diketahui

𝑄′(𝑥1∗) = −1,

maka dari persamaan (3.10) diperoleh

1 + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = −1

√(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = −2

(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 4

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4.

Namun, setelah disubstitusi

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4

ke dalam persamaan (3.10), maka akan diperoleh

𝑄′(𝑥1∗) ≠ −1.

Akibatnya, untuk titik tetap 𝑥∗, yaitu 𝑥1∗ belum tentu dapat dikatakan sebagai

titik tetap stabil asimtotik karena tidak memenuhi anteseden dari implikasi

pada bagian (i).

Selanjutnya, substitusi 𝑥2∗ ke dalam persamaan (3.9), sehingga diperoleh

𝑄′(𝑥2∗) = 2𝑎𝑥2

∗ + 𝑏


48

= 2𝑎 (−(𝑏 − 1) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎) + 𝑏

= (1 − 𝑏) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 + 𝑏

= 1 − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐. (3.11)

Diketahui

𝑄′(𝑥2∗) = −1,


1 − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = −1

√(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 2

(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 4

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4.

Setelah disubstitusi

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4

ke dalam persamaan (3.11), ternyata diperoleh

𝑄′(𝑥2∗) = −1.

Ternyata dari kedua akar persamaan di atas (𝑥1∗ dan 𝑥2

∗), titik kesetimbangan

yang memenuhi 𝑄′(𝑥∗) = −1 adalah

𝑥2∗ =

−(𝑏 − 1) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

yang diperoleh pada saat

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4,

sehingga

𝑥2∗ =

−(𝑏 − 1) − √4𝑎𝑐 + 4 − 4𝑎𝑐

2𝑎= −

𝑏 + 1

2𝑎.

Kemudian, karena 𝑄′(𝑥2∗) = −1, maka menurut Teorema 3.3 diperoleh

𝑆𝑄(𝑥∗) = 𝑆𝑄(𝑥2∗) = −𝑄′′′(𝑥2

∗) −3

2(𝑄′′(𝑥2

∗))2

= 0 −3

2(2𝑎)2 = −6𝑎2 < 0.

Akibatnya, menurut Teorema 3.3 (i), karena 𝑆𝑄(𝑥∗) < 0, maka titik tetap 𝑥∗,

yaitu 𝑥2∗ stabil asimtotik pada saat


49

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐 + 4.

Jadi, terbukti bahwa jika 𝑄′(𝑥∗) = −1, maka 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik.

(ii) Diketahui

𝑄′(𝑥∗) = 1,

Sementara itu, karena 𝑄 adalah fungsi kuadratik, maka 𝑄 memiliki dua titik

tetap, yaitu

𝑥1∗ =

−(𝑏 − 1) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎,

𝑥2∗ =

−(𝑏 − 1) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎.

Kemudian, kita substitusi 𝑥1∗ ke dalam persamaan (3.9), sehingga diperoleh

𝑄′(𝑥1∗) = 2𝑎𝑥1

∗ + 𝑏

= 2𝑎 (−(𝑏 − 1) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎) + 𝑏

= (1 − 𝑏) + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 + 𝑏

= 1 + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐. (3.12)

Diketahui

𝑄′(𝑥1∗) = 1,


1 + √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 1

√(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 0

(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 0

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐.


(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐


𝑄′(𝑥1∗) = 1.

Selanjutnya, substitusi 𝑥2∗ ke dalam persamaan (3.9), sehingga diperoleh

𝑄′(𝑥2∗) = 2𝑎𝑥2

∗ + 𝑏


50

= 2𝑎 (−(𝑏 − 1) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐

2𝑎) + 𝑏

= (1 − 𝑏) − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 + 𝑏

= 1 − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐. (3.13)

Diketahui

𝑄′(𝑥2∗) = 1,


1 − √(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 1

√(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 0

(𝑏 − 1)2 − 4𝑎𝑐 = 0

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐.


(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐


𝑄′(𝑥2∗) = 1.

Ternyata dari kedua akar persamaan di atas (𝑥1∗ dan 𝑥2

∗), 𝑄′(𝑥∗) = 1

diperoleh pada saat diskriminannya adalah 0, akibatnya persamaan kuadratik

tersebut hanya mempunyai satu titik tetap, yaitu

𝑥1∗ = 𝑥2

∗ =−(𝑏 − 1)

2𝑎=

1 − 𝑏

2𝑎.

Akibatnya, menurut Teorema 3.2 (i), karena 𝑄′′(𝑥) = 𝑄′′(𝑥∗) = 2𝑎 ≠ 0,

maka 𝑥∗ tidak stabil pada saat

(𝑏 − 1)2 = 4𝑎𝑐.

Jadi, terbukti bahwa jika 𝑄′(𝑥∗) = 1, maka 𝑥∗ dikatakan tidak stabil. ∎

Contoh 3.3

Apabila 𝑓′(𝑥∗) = −1, buktikan bahwa jika titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik

terhadap persamaan

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑦(𝑛)), dengan 𝑔(𝑦) = 𝑓2(𝑦), (3.14)


51

maka titik kesetimbangan tersebut juga stabil asimtotik terhadap persamaan

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)). (3.15)

Jawab:

Misalkan titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik terhadap persamaan (3.14), yaitu

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑦(𝑛)),

dengan

𝑔(𝑦) = 𝑓2(𝑦)

dan

𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗.

Berdasarkan Teorema 3.1 (i) dan Teorema 3.2 (iii), maka kita akan mempunyai

dua kasus, yaitu

Kasus 1: Untuk |𝑔′(𝑥∗)| < 1. Karena

𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑓(𝑦)),

maka

𝑔′(𝑦) = 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦).

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam turunan pertama dari 𝑔(𝑦),

sehingga diperoleh

𝑔′(𝑥∗) = 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗) = 𝑓′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))2

≥ 0.

Karena

𝑔′(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))2

, (3.16)


52

maka

|𝑔′(𝑥∗)| = |(𝑓′(𝑥∗))2

| = |𝑓′(𝑥∗)|2

|𝑔′(𝑥∗)| = |𝑓′(𝑥∗)|2 < 1,

akibatnya |𝑓′(𝑥∗)| < 1.

Oleh karena itu, menurut Teorema 3.1 (i), terbukti bahwa 𝑥∗ adalah titik

kesetimbangan yang stabil asimtotik terhadap persamaan (3.15).

Kasus 2: Untuk |𝑔′(𝑥∗)| = 1. Karena

𝑔′(𝑥∗) = 1,

maka dari persamaan (3.16) akan diperoleh

𝑔′(𝑥∗) = (𝑓′(𝑥∗))2

= 1

(𝑓′(𝑥∗))2

= 1

𝑓′(𝑥∗) = ±1.

Menurut Teorema 3.2, jika 𝑔′(𝑥∗) = 1, maka kita akan membagi menjadi 3 kasus,

yaitu

(a) 𝒈′(𝒙∗) = 𝟏, 𝒈′′(𝒙∗) ≠ 𝟎.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dari 𝑔(𝑦), sehingga diperoleh

𝑔′(𝑦) = 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)

𝑔′′(𝑦) = 𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)𝑓′(𝑦) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦).

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam turunan kedua dari

𝑔(𝑦), sehingga diperoleh


53

𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′(𝑥∗)

= 𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗).

Karena 𝑓′(𝑥∗) = ±1, maka kita akan membagi lagi menjadi 2 kasus, yaitu

(1) Untuk 𝒇′(𝒙∗) = 𝟏, maka diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′′(𝑥∗)

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′(𝑥∗) ≠ 0,

maka diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0

𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0.

Berdasarkan Teorema 3.2 (i), karena

𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0,

maka titik kesetimbangan 𝑥∗ tidak stabil terhadap persamaan (3.15).

(2) Untuk 𝒇′(𝒙∗) = −𝟏, maka diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) − 𝑓′′(𝑥∗) = 0,

dan terjadi kontradiksi. Jadi, apabila 𝑔′′(𝑥∗) ≠ 0, maka 𝑓′(𝑥∗) ≠ −1.

Namun, apabila 𝑓′(𝑥∗) = −1 dan 𝑔′′(𝑥∗) ≠ 0, maka kita tidak dapat

menentukan kestabilan dari titik kesetimbangan 𝑥∗.

(b) 𝒈′(𝒙∗) = 𝟏, 𝒈′′(𝒙∗) = 𝟎, 𝒈′′′(𝒙∗) > 𝟎.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dari 𝑔(𝑦), sehingga diperoleh

𝑔′′(𝑦) = 𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)𝑓′(𝑦) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦)


54

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam turunan kedua dari


𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗).



𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′′(𝑥∗)

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′(𝑥∗) = 0,

maka diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗) = 0

𝑓′′(𝑥∗) = 0.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan ketiga dari 𝑔(𝑦), sehingga diperoleh

𝑔′′(𝑦) = 𝑓′′(𝑓(𝑦))[𝑓′(𝑦)]2 + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′(𝑦)

𝑔′′′(𝑦) = 𝑓′′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)(𝑓′(𝑦))2

+ 2𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)𝑓′′(𝑦)

+ 𝑓′′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦)𝑓′′(𝑦) + 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′′′(𝑦)

Kemudian, substitusi titik kesetimbangan 𝑥∗ ke dalam turunan ketiga dari


𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑓′′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)[𝑓′(𝑥∗)]2 + 2𝑓′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗)

+𝑓′′(𝑓(𝑥∗))𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′′(𝑥∗)

= 𝑓′′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)[𝑓′(𝑥∗)]2 + 2𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗)

+𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑥∗)𝑓′′′(𝑥∗)


55

= 𝑓′′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)[𝑓′(𝑥∗)]2 + 3𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗)

+𝑓′(𝑥∗)𝑓′′′(𝑥∗).

Karena 𝑓′(𝑥∗) = 1 dan 𝑓′′(𝑥∗) = 0, maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑓′′′(𝑥∗) + 𝑓′′′ = 2𝑓′′′(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′′(𝑥∗) > 0,

maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = 2𝑓′′′(𝑥∗) > 0

= 𝑓′′′(𝑥∗) > 0.

Berdasarkan Teorema 3.2 (ii), karena

𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) = 0, 𝑓′′′(𝑥∗) > 0,



𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) − 𝑓′′(𝑥∗) = 0.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan ketiga dari 𝑔(𝑥∗), berdasarkan bagian

(1) diperoleh,


+𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′′(𝑥∗).

Karena 𝑓′(𝑥∗) = −1, maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = −2𝑓′′′(𝑓(𝑥∗)) − 3(𝑓′′(𝑥∗))2

1

2𝑔′′′(𝑥∗) = −𝑓′′′(𝑓(𝑥∗)) −

3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2= 𝑆𝑓(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′′(𝑥∗) > 0,

maka diperoleh


56

1

2𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑆𝑓(𝑥∗) > 0.

Berdasarkan Teorema 3.3 (ii), karena

𝑓′(𝑥∗) = −1, 𝑆𝑓(𝑥∗) > 0,


(c) 𝒈′(𝒙∗) = 𝟏, 𝒈′′(𝒙∗) = 𝟎, 𝒈′′′(𝒙∗) < 𝟎.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dari 𝑔(𝑥∗), berdasarkan bagian

(b) diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗) + 𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗).



𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) + 𝑓′′(𝑥∗)

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′(𝑥∗) = 0,

maka diperoleh

𝑔′′(𝑥∗) = 2𝑓′′(𝑥∗) = 0

𝑓′′(𝑥∗) = 0.


(b) diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑓′′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)[𝑓′(𝑥∗)]2 + 3𝑓′′(𝑥∗)𝑓′(𝑥∗)𝑓′′(𝑥∗)

+𝑓′(𝑥∗)𝑓′′′(𝑥∗).

Karena 𝑓′(𝑥∗) = 1 dan 𝑓′′(𝑥∗) = 0, maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑓′′′(𝑥∗) + 𝑓′′′ = 2𝑓′′′(𝑥∗).


57

Diketahui

𝑔′′′(𝑥∗) < 0,

maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = 2𝑓′′′(𝑥∗) < 0

= 𝑓′′′(𝑥∗) < 0.

Berdasarkan Teorema 3.2 (iii), karena

𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) = 0, 𝑓′′′(𝑥∗) < 0,

maka titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik terhadap persamaan (3.15).


𝑔′′(𝑥∗) = 𝑓′′(𝑥∗) − 𝑓′′(𝑥∗) = 0.


(1) diperoleh,


+𝑓′(𝑓(𝑥∗))𝑓′′′(𝑥∗).

Karena 𝑓′(𝑥∗) = −1, maka diperoleh

𝑔′′′(𝑥∗) = −2𝑓′′′(𝑓(𝑥∗)) − 3(𝑓′′(𝑥∗))2

1

2𝑔′′′(𝑥∗) = −𝑓′′′(𝑓(𝑥∗)) −

3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2= 𝑆𝑓(𝑥∗).

Diketahui

𝑔′′′(𝑥∗) < 0,

maka diperoleh

1

2𝑔′′′(𝑥∗) = 𝑆𝑓(𝑥∗) < 0.


58

Berdasarkan Teorema 3.3 (i), karena

𝑓′(𝑥∗) = −1, 𝑆𝑓(𝑥∗) < 0,

maka titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik terhadap persamaan (3.15).

Jadi, terbukti bahwa jika titik kesetimbangan 𝑥∗ stabil asimtotik terhadap

persamaan (3.14), maka titik kesetimbangan tersebut juga stabil asimtotik

terhadap persamaan (3.15). ∎

B. Titik Periodik dan Siklus

Definisi 3.1 (Titik Periodik)

Misalkan 𝑏 berada dalam domain 𝑓, maka:

1. Titik 𝑏 disebut titik periodik dari 𝑓 pada persamaan (3.1), jika ada bilangan

bulat positif 𝑘, sedemikian sehingga 𝑓𝑘(𝑏) = 𝑏. Oleh karena itu, sebuah titik

dikatakan periodik 𝑘 jika titik itu adalah titik tetap dari 𝑓𝑘 dan titik itu adalah

titik kesetimbangan dari persamaan diferensi

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑥(𝑛)), (3.17)

dengan 𝑔 = 𝑓𝑘.

Orbit periodik dari 𝑏 dinotasikan dengan 𝑂(𝑏), dengan

𝑂(𝑏) = {𝑏, 𝑓(𝑏), 𝑓2(𝑏), ⋯ , 𝑓𝑘−1(𝑏)}.

Orbit periodik dari 𝑏, yaitu (𝑂(𝑏)) juga sering disebut siklus 𝑘.

2. Titik 𝑏 dikatakan eventually 𝑘-periodic jika ada bilangan bulat positif 𝑚, di

mana 𝑓𝑚(𝑏) adalah titik periodik 𝑘. Dengan kata lain, 𝑏 adalah periodik 𝑘

jika

𝑓𝑚+𝑘(𝑏) = 𝑓𝑚(𝑏).

Definisi 3.2 (Kestabilan Titik Periodik)

Misalkan titik 𝑏 adalah titik periodik 𝑘 dari 𝑓. Titik 𝑏 dikatakan


59

1. stabil jika titik itu adalah titik tetap stabil dari 𝑓𝑘,

2. stabil asimtotik jika titik itu adalah titik tetap stabil asimtotik dari 𝑓𝑘,

3. tidak stabil jika titik itu adalah titik tetap tidak stabil dari 𝑓𝑘.

Contoh 3.4

Diberikan persamaan kuadratik sebagai berikut:

𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.

a) Jika {𝑑, 𝑒} adalah siklus-2 sedemikian sehingga 𝑄′(𝑑)𝑄′(𝑒) = −1, maka

buktikan bahwa titik periodik dari siklus-2 tersebut adalah stabil asimtotik.

b) Jika {𝑑, 𝑒} adalah siklus-2 sedemikian sehingga 𝑄′(𝑑)𝑄′(𝑒) = 1, maka apa

yang bisa disimpulkan mengenai kestabilan dari titik periodik siklus-2

tersebut?

Jawab:

a) Diketahui

𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑄′(𝑑)𝑄′(𝑒) = −1,

maka berdasarkan definisi orbit periodik diperoleh

𝑄(𝑑) = 𝑒, 𝑄(𝑒) = 𝑑.

Kemudian, kita akan mencari turunan dari 𝑄, sehingga diperoleh

𝑄′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏,

𝑄′′ = 2𝑎,

𝑄′′′ = 0.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan pertama dari siklus-2 𝑄, sehingga

diperoleh


60

(𝑄2(𝑥))′

= 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan pertama dari

siklus-2 𝑄, maka akan diperoleh

(𝑄2(𝑑))′

= 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑) = 𝑄′(𝑒)𝑄′(𝑑) = −1.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dari siklus-2 𝑄, sehingga diperoleh

(𝑄2(𝑥))′′

= 𝑄′′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)𝑄′(𝑥) + 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′′(𝑥)

= 𝑄′′(𝑄(𝑥))(𝑄′(𝑥))2

+ 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′′(𝑥).

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan kedua dari siklus-2

𝑄, maka akan diperoleh

(𝑄2(𝑑))′′

= 𝑄′′(𝑄(𝑑))(𝑄′(𝑑))2

+ 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′′(𝑑)

= 𝑄′′(𝑒)(𝑄′(𝑑))2

+ 𝑄′(𝑒)𝑄′′(𝑑)

= 2𝑎(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)2𝑎.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan ketiga dari siklus-2 𝑄, sehingga diperoleh

(𝑄2(𝑥))′′′

= 𝑄′′′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)(𝑄′(𝑥))2

+ 2𝑄′′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)𝑄′′(𝑥)

+ 𝑄′′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)𝑄′′(𝑥) + 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′′′(𝑥).

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan ketiga dari siklus-2


(𝑄2(𝑑))′′′

= 𝑄′′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)[𝑄′(𝑑)]2 + 2𝑄′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑)

+𝑄′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑) + 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′′′(𝑑)

= 𝑄′′′(𝑒)𝑄′(𝑑)[𝑄′(𝑑)]2 + 2𝑄′′(𝑒)𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑)

+𝑄′′(𝑒)𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑) + 𝑄′(𝑒)𝑄′′′(𝑑)


61

= 2(2𝑎)(2𝑎𝑑 + 𝑏)(2𝑎) + (2𝑎)(2𝑎𝑑 + 𝑏)(2𝑎)

= 8𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏)(2𝑎) + 4𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) = 12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏).

Karena (𝑄2(𝑑))′

= −1, maka kita bisa menggunakan Teorema 3.3, sehingga

diperoleh

𝑆𝑄2(𝑑) = −(𝑄2(𝑑))′′′

−3

2((𝑄2(𝑑))

′′)

2

= −12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) −3

2(2𝑎(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)2𝑎)2

= −12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) −3

24𝑎2((2𝑎𝑑 + 𝑏)4

+2(2𝑎𝑑 + 𝑏)2(2𝑎𝑒 + 𝑏) + (2𝑎𝑒 + 𝑏)2)

= −12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) − 6𝑎2((2𝑎𝑑 + 𝑏)4 − 2(2𝑎𝑑 + 𝑏)

+(2𝑎𝑒 + 𝑏)2)

= −12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) − 6𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏)4 + 12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏)

−6𝑎2(2𝑎𝑒 + 𝑏)2

= −6𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏)4 − 6𝑎2(2𝑎𝑒 + 𝑏)2 < 0.

Jadi, menurut Teorema 3.3 (i), karena 𝑆𝑄2(𝑑) < 0, maka titik periodik 𝑑 stabil

asimtotik.

b) Diketahui

𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑄′(𝑑)𝑄′(𝑒) = 1,

maka berdasarkan definisi orbit periodik diperoleh

𝑄(𝑑) = 𝑒, 𝑄(𝑒) = 𝑑.


62

Kemudian, kita akan mencari turunan dari 𝑄, sehingga diperoleh

𝑄′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏,

𝑄′′ = 2𝑎,

𝑄′′′ = 0.

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan pertama dari

siklus-2 𝑄, maka akan diperoleh

(𝑄2(𝑑))′

= 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑) = 𝑄′(𝑒)𝑄′(𝑑) = 1.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan kedua dari siklus-2 𝑄, sehingga diperoleh

(𝑄2(𝑥))′′

= 𝑄′′(𝑄(𝑥))𝑄′(𝑥)𝑄′(𝑥) + 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′′(𝑥)

= 𝑄′′(𝑄(𝑥))(𝑄′(𝑥))2

+ 𝑄′(𝑄(𝑥))𝑄′′(𝑥).

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan kedua dari siklus-2


(𝑄2(𝑑))′′

= 𝑄′′(𝑄(𝑑))(𝑄′(𝑑))2

+ 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′′(𝑑)

= 𝑄′′(𝑒)(𝑄′(𝑑))2

+ 𝑄′(𝑒)𝑄′′(𝑑)

= 2𝑎(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)2𝑎.

Berdasarkan Definisi 3.2, maka kestabilan dari titik periodik 𝑑 stabil jika titik itu

merupakan titik tetap stabil dari 𝑄2, stabil asimtotik jika titik itu merupakan titik

tetap stabil asimtotik dari 𝑄2, ataupun tidak stabil jika titik itu merupakan titik

tetap tidak stabil dari 𝑄2. Karena (𝑄2(𝑑))′

= 1, maka menurut Teorema 3.2, dari

3 kemungkinan tersebut akan dipersempit lagi menjadi 2 kemungkinan, yaitu titik

tetap 𝑑 tidak stabil ataupun titik tetap 𝑑 stabil asimtotik. Sekarang kita akan

selidiki satu per satu.


63

Misalkan

(𝑄2(𝑑))′′

= 2𝑎(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)2𝑎

= 2𝑎((2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)) = 0.

Karena diketahui 𝑎 ≠ 0, maka haruslah

(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏) = 0

(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 = −(2𝑎𝑒 + 𝑏).

Kemudian, berdasarkan persamaan di atas, dapat kita bagi menjadi dua kasus,

yaitu

Kasus 1:

Misalkan 2𝑎𝑒 + 𝑏 > 0, maka (2𝑎𝑑 + 𝑏)2 < 0, hal ini mengakibatkan kontradiksi

karena untuk setiap bilangan real yang dikuadratkan, maka pasti akan

menghasilkan bilangan real yang bernilai positif. Jadi, dengan kata lain terbukti

bahwa

(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏) ≠ 0.

Karena

𝑎 ≠ 0

dan

(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏) ≠ 0,

maka

(𝑄2(𝑑))′′

= 2𝑎((2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏)) ≠ 0.

Menurut Teorema 3.2 (i), jika (𝑄2(𝑑))′′

≠ 0, maka titik tetap 𝑑 tidak stabil.

Kasus 2:

Misalkan 2𝑎𝑒 + 𝑏 < 0, maka (2𝑎𝑑 + 𝑏)2 > 0, sehingga diperoleh

(2𝑎𝑑 + 𝑏)2 = −(2𝑎𝑒 + 𝑏)


64

(2𝑎𝑑 + 𝑏) = √−(2𝑎𝑒 + 𝑏).

Kemudian, substitusi (2𝑎𝑑 + 𝑏) = √−(2𝑎𝑒 + 𝑏), sehingga diperoleh

(𝑄2(𝑑))′′

= 2𝑎((2𝑎𝑑 + 𝑏)2 + (2𝑎𝑒 + 𝑏))

= 2𝑎 ((√−(2𝑎𝑒 + 𝑏))2

+ (2𝑎𝑒 + 𝑏))

= 2𝑎(−(2𝑎𝑒 + 𝑏) + (2𝑎𝑒 + 𝑏)) = 0.

Selanjutnya, kita akan mencari turunan ketiga dari siklus-2 𝑄, sehingga diperoleh

(𝑄2(𝑥))′′′

= 𝑄′′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)[𝑄′(𝑑)]2 + 2𝑄′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑)

+𝑄′′(𝑄(𝑑))𝑄′(𝑑)𝑄′′(𝑑) + 𝑄′(𝑄(𝑑))𝑄′′′(𝑑).

Apabila kita mensubstitusi titik periodik 𝑑 ke dalam turunan ketiga dari siklus-2


(𝑄2(𝑑))′′′

= 12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏).

Berdasarkan persamaan diatas, maka akan muncul 2 kemungkinan, yaitu

1) Jika

2𝑎𝑑 + 𝑏 > 0,

maka

(𝑄2(𝑑))′′′

= 12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) > 0.

Jadi, menurut Teorema 3.2 (ii), titik tetap 𝑑 tidak stabil, sebab

(𝑄2(𝑑))′′

= 0, (𝑄2(𝑑))′′′

> 0.

2) Jika

2𝑎𝑑 + 𝑏 < 0,


65

maka

(𝑄2(𝑑))′′′

= 12𝑎2(2𝑎𝑑 + 𝑏) < 0.

Jadi, menurut Teorema 3.2 (iii), titik tetap 𝑑 stabil asimtotik, sebab

(𝑄2(𝑑))′′

= 0, (𝑄2(𝑑))′′′

< 0.

Jadi, dapat ditarik kesimpulan bahwa ada beberapa kemungkinan kestabilan dari

titik periodik 𝑑, yaitu:

(a) Titik periodik 𝑑 tidak stabil pada saat

2𝑎𝑒 + 𝑏 > 0,

yang mengakibatkan

(𝑄2(𝑑))′ = 1, (𝑄2(𝑑))′′ ≠ 0.

(b) Titik periodik 𝑑 juga tidak stabil pada saat

2𝑎𝑑 + 𝑏 > 0,

yang mengakibatkan

(𝑄2(𝑑))′ = 1, (𝑄2(𝑑))′′ = 0, (𝑄2(𝑑))′′′

> 0.

(c) Titik periodik 𝑑 dikatakan stabil asimtotik pada saat

2𝑎𝑑 + 𝑏 < 0,

yang mengakibatkan

(𝑄2(𝑑))′ = 1, (𝑄2(𝑑))′′ = 0, (𝑄2(𝑑))′′′

< 0.

Teorema 3.4

Misalkan 𝑂(𝑏) = {𝑏 = 𝑥(0), 𝑥(1), … , 𝑥(𝑘 − 1)} adalah siklus 𝑘 dari fungsi

terdiferensial kontinu 𝑓, maka pernyataan berikut berlaku:

(i) Siklus 𝑘 dari 𝑂(𝑏) stabil asimtotik jika

|𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) … 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))| < 1.

(ii) Siklus 𝑘 dari 𝑂(𝑏) tidak stabil jika

|𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) … 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))| > 1.


66

Bukti:

(i) Pandang persaman diferensi (3.17),

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑥(𝑛)),

dengan 𝑔 = 𝑓𝑘.

Misalkan 𝑥(0) adalah titip tetap dari 𝑔. Sekarang kita akan mencari turunan

pertama dari 𝑔, sehingga diperoleh

𝑔′(𝑥) = (𝑓𝑘(𝑥))′

= 𝑓′(𝑓𝑘−1(𝑥))𝑓′(𝑓𝑘−2(𝑥)) ⋯ 𝑓′(𝑓(𝑥))𝑓′(𝑥). (3.18)

Kemudian, substitusi titik tetap 𝑥(0) ke dalam persamaan (3.18), diperoleh

𝑔′(𝑥(0)) = 𝑓′ (𝑓𝑘−1(𝑥(0))) 𝑓′ (𝑓𝑘−2(𝑥(0))) ⋯ 𝑓′ (𝑓(𝑥(0))) 𝑓′(𝑥(0))

= 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))𝑓′(𝑥(𝑘 − 2)) ⋯ 𝑓′(𝑥(1))𝑓′(𝑥(0)).

Menurut Teorema 3.1 (i), jika |𝑔′(𝑥(0))| < 1, maka 𝑥(0) stabil asimtotik.

Karena

𝑔′(𝑥(0)) = 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))𝑓′(𝑥(𝑘 − 2)) ⋯ 𝑓′(𝑥(1))𝑓′(𝑥(0)),

maka

|𝑔′(𝑥(0))| = |𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) ⋯ 𝑓′(𝑥(𝑘 − 2))𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))|.

Jadi, menurut Teorema 3.1 (i), terbukti bahwa jika

|𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) ⋯ 𝑓′(𝑥(𝑘 − 2))𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))| < 1,

maka siklus 𝑘 dari 𝑂(𝑏), yaitu 𝑥(0) stabil asimtotik.

(ii) Bukti sama seperti pada bagian (i),

𝑔′(𝑥(0)) = 𝑓′ (𝑓𝑘−1(𝑥(0))) 𝑓′ (𝑓𝑘−2(𝑥(0))) ⋯ 𝑓′ (𝑓(𝑥(0))) 𝑓′(𝑥(0))


67

= 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))𝑓′(𝑥(𝑘 − 2)) ⋯ 𝑓′(𝑥(1))𝑓′(𝑥(0)).

Menurut Teorema 3.1 (ii), jika |𝑔′(𝑥(0))| > 1, maka 𝑥(0) tidak stabil.

Karena

𝑔′(𝑥(0)) = 𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))𝑓′(𝑥(𝑘 − 2)) ⋯ 𝑓′(𝑥(1))𝑓′(𝑥(0)),

maka

|𝑔′(𝑥(0))| = |𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) ⋯ 𝑓′(𝑥(𝑘 − 2))𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))|.

Jadi, menurut Teorema 3.1 (ii), terbukti bahwa jika

|𝑓′(𝑥(0))𝑓′(𝑥(1)) ⋯ 𝑓′(𝑥(𝑘 − 2))𝑓′(𝑥(𝑘 − 1))| > 1,

maka siklus 𝑘 dari 𝑂(𝑏), yaitu 𝑥(0) tidak stabil. ∎

Contoh 3.5

Diberikan persamaan diferensi 𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)) memiliki 2 siklus yang

orbitnya adalah {𝑎, 𝑏}. Buktikan bahwa

(i) jika |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)| < 1, maka titik periodik dari siklus-2 tersebut adalah stabil

asimtotik,

(ii) jika |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)| > 1, maka titik periodik dari siklus-2 tersebut adalah tidak

stabil.

Bukti:

(i) Menurut Definisi 3.1, titik 𝑏 dikatakan titik periodik dari 𝑓 pada persamaan

(3.1) jika ada bilangan bulat positif 𝑘, sedemikian sehingga 𝑓𝑘(𝑏) = 𝑏.

Diberikan persamaan diferensi

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑔(𝑦(𝑛)),

dengan

𝑔 = 𝑓2.


68

Sekarang, akan ditunjukkan bahwa titik 𝑎 adalah titik tetap dari 𝑓2 (juga

merupakan titik tetap dari 𝑔, karena 𝑔 = 𝑓2).

Ambil bilangan bulat positif dengan 𝑘 = 2, maka diperoleh

𝑓2(𝑎) = 𝑓(𝑓(𝑎)) = 𝑓(𝑏) = 𝑎.

Jadi, terbukti bahwa 𝑎 adalah titik tetap dari 𝑔 sedemikian sehingga

𝑔(𝑎) = 𝑓2(𝑎) = 𝑎

𝑔′(𝑦) = (𝑓(𝑓(𝑦))) ′

𝑔′(𝑦) = 𝑓′(𝑓(𝑦))𝑓′(𝑦).

Menurut definisi orbit periodik, diperoleh

𝑏 = 𝑓(𝑎),

sehingga

𝑔′(𝑎) = 𝑓′(𝑓(𝑎))𝑓′(𝑎) = 𝑓′(𝑏)𝑓′(𝑎).

|𝑔′(𝑎)| = |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)|.

Oleh karena itu, menurut Teorema 3.1 (i), jika |𝑔′(𝑎)| = |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)| < 1,

maka titik periodik dari siklus-2 tersebut, yaitu 𝑎 adalah stabil asimtotik.

(ii) Bukti sama seperti pada bagian (i), sehingga diperoleh

|𝑔′(𝑎)| = |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)|.

Oleh karena itu, menurut Teorema 3.1 (ii), jika |𝑔′(𝑎)| = |𝑓′(𝑎)𝑓′(𝑏)| > 1,

maka titik periodik dari siklus-2 tersebut, yaitu 𝑎 adalah tidak stabil.


69


Menggunakan Persamaan Diferensi

Persamaan diferensial telah banyak digunakan sebagai model matematis

untuk berbagai macam fenomena fisik. Model tersebut digunakan untuk

mendeskripsikan populasi atau objek yang berkembang dalam waktu kontinu, di

mana waktu (variabel bebas) adalah bagian dari himpunan bilangan real.

Sebaliknya, persamaan diferensi digunakan untuk mendeskripsikan populasi atau

objek yang berkembang dalam waktu diskret, di mana waktu (variabel bebas)

berada di dalam himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.

Dalam banyak kasus, terkadang sangat sulit untuk mencari penyelesaian dari

persamaan diferensial, maka dari itu kita perlu menggunakan skema numerik

untuk memperkirakan penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Skema

numerik mengarah pada konstruksi persamaan diferensi terkait yang lebih dapat

diterima untuk perhitungan baik dengan kalkulator maupun dengan komputer. Di

sini akan dijelaskan beberapa skema numerik sederhana, kita mulai dengan salah

satu metode numerik yang paling tua, yakni metode Euler.

1. Metode Euler

Perhatikan persamaan diferensial tingkat satu berikut.

𝑥′(𝑡) = 𝑔(𝑡, 𝑥(𝑡)), 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. (3.19)

Misalkan kita membagi interval [𝑡0, 𝑏] dalam 𝑁 subinterval yang sama. Ukuran

dari setiap subinterval disebut metode ukuran langkah dan dinotasikan dengan

ℎ =(𝑏−𝑡0)

𝑁. Ukuran langkah ini didefinisikan dengan simpul 𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, ⋯ , 𝑡𝑁,

dengan 𝑡𝑗 = 𝑡0 + 𝑗ℎ. Metode Euler digunakan untuk memperkirakan 𝑥′(𝑡) dengan

(𝑥(𝑡+ℎ)−𝑥(𝑡))

ℎ.


70

Diberikan persamaan sebagai berikut:

𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ𝑔(𝑡, 𝑥(𝑡)), (3.20)

dengan 𝑡 = 𝑡0 + 𝑛ℎ.

Selanjutnya, substitusikan 𝑡 = 𝑡0 + 𝑛ℎ ke dalam persamaan (3.20), sehingga

diperoleh

𝑥((𝑡0 + 𝑛ℎ) + ℎ) = 𝑥(𝑡0 + 𝑛ℎ) + ℎ𝑔(𝑡0 + 𝑛ℎ, 𝑥(𝑡0 + 𝑛ℎ)),

𝑥(𝑡0 + (𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑡0 + 𝑛ℎ) + ℎ𝑔(𝑡0 + 𝑛ℎ, 𝑥(𝑡0 + 𝑛ℎ)), (3.21)

dengan 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑁 − 1.

Mengadaptasikan notasi persamaan diferensi dan mengubah 𝑥(𝑡0 + 𝑛ℎ)

dengan 𝑥(𝑛) sehingga menjadi

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑔(𝑛, 𝑥(𝑛)). (3.22)

Persamaan (3.22) menetapkan algoritma Euler, yang memperkirakan penyelesaian

dari persamaan diferensial (3.19) pada titik simpul.

Catatan bahwa 𝑥∗ adalah titik kesetimbangan dari (3.22) jika dan hanya jika

𝑔(𝑥∗) = 0. Jadi, persamaan diferensial (3.19) dan persamaan diferensi (3.22)

mempunyai titik kesetimbangan yang sama.

Contoh 3.6

Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:

𝑥′(𝑡) = 0.7𝑥2(𝑡) + 0.7, 𝑥(0) = 1, 𝑡 ∈ [0,1]. (3.23)

Kita akan mencari penyelesaian eksak dari persamaan diferensial (3.23) dengan

menggunakan metode variabel terpisah, sehingga diperoleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0.7𝑥2 + 0.7

1

0.7𝑥2+0.7𝑑𝑥 = 𝑑𝑡


71

∫1

0.7𝑥2+0.7𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡

1

0.7∫

1

𝑥2+1𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡

1

0.7tan−1(𝑥) = 𝑡 + 𝐾

tan−1(𝑥) = 0.7𝑡 + 0.7𝐾

tan−1(𝑥) = 0.7𝑡 + 𝐶, 𝐶 = 0.7𝐾. (3.24)

Substitusikan nilai awal

𝑥(0) = 1

ke dalam persamaan (3.24), sehingga diperoleh

tan−1(1) = 0.7(0) + 𝐶

𝜋

4= 𝐶.

Kemudian, substitusikan 𝐶 =𝜋

4 ke dalam persamaan (3.24), sehingga diperoleh

tan−1(𝑥) = 0.7𝑡 +𝜋

4

𝑥 = tan (0.7𝑡 +𝜋

4).

Jadi, penyelesaian eksak dari persamaan diferensial (3.23) adalah

𝑥(𝑡) = tan (0.7𝑡 +𝜋

4).

Selanjutnya, kita akan mencoba menggunakan persamaan diferensi untuk

menyelesaikan persamaan diferensial (3.23), dalam hal ini yaitu dengan

menggunakan metode Euler.

Kita akan mengubah persamaan diferensial (3.23) ke dalam bentuk persamaan

diferensi (3.22), sehingga diperoleh


72

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑔(𝑛, 𝑥(𝑛))

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ(0.7𝑥2(𝑛) + 0.7)

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + 0.7ℎ(𝑥2(𝑛) + 1), 𝑥(0) = 1.

Berikut adalah tabel 3.1 yang menunjukkan aproksimasi Euler untuk ℎ = 0.1 dan

0.2, dan nilai eksak, serta gambar 3.1 yang menggambarkan diagram (𝑛, 𝑥(𝑛)).

Tabel 3.1. Aproksimasi Euler untuk ℎ = 0.1 dan 0.2, dan nilai eksak

𝒏 𝒕

Euler pada

persamaan

diferensi

(𝒉 = 𝟎. 𝟐)

𝒙(𝒏)

Euler pada

persamaan

diferensi

(𝒉 = 𝟎. 𝟏)

𝒙(𝒏)

Eksak pada

persamaan

diferensial

𝒙(𝒕)

0 0 1 1 1

1 0.1 1.14 1.150

2 0.2 1.28 1.301 1.328

3 0.3 1.489 1.542

4 0.4 1.649 1.715 1.807

5 0.5 1.991 2.150

6 0.6 2.170 2.338 2.614

7 0.7 2.791 3.286

8 0.8 2.969 3.406 4.361

9 0.9 4.288 6.383

10 1 4.343 5.645 11.681


73

Gambar 3.5. Grafik penyelesaian eksak persamaan diferensial dan

penyelesaian numerik (dengan metode Euler) persamaan

diferensi dengan ℎ = 0.1 dan 0.2

Contoh 3.7

Perhatikan persaman diferensial logistik berikut:

𝑥′(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)(1 − 𝑥(𝑡)), 𝑥(0) = 𝑥0. (3.25)

Pertama, kita harus mencari titik kesetimbangan dari persamaan (3.25) dengan

memisalkan 𝑥′(𝑡) = 0, sehingga diperoleh

𝑥′(𝑡) = 0

𝑎𝑥(1 − 𝑥) = 0

𝑎𝑥 = 0 ∨ (1 − 𝑥) = 0

𝑥1∗ = 0 ∨ 𝑥2

∗ = 1.

Jadi, kita memperoleh dua titik kesetimbangan dari persamaan (3.25), yaitu

𝑥1∗ = 0 dan 𝑥2

∗ = 1.


74

Selanjutnya, kita akan mencari penyelesaian eksak dari persamaan diferensial

(3.25) dengan menggunakan metode variabel terpisah, sehingga diperoleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎𝑥(1 − 𝑥)

1

𝑎𝑥(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

∫1

𝑎𝑥(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡

1

𝑎∫

1

𝑥(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡

∫1

𝑥(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡. (3.26)

Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, diperoleh

1

𝑥(1 − 𝑥)=

𝐴

𝑥+

𝐵

1 − 𝑥

1

𝑥(1 − 𝑥)=

𝐴(1 − 𝑥) + 𝐵𝑥

𝑥(1 − 𝑥)

1

𝑥(1 − 𝑥)=

𝐴 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥

𝑥(1 − 𝑥)

1

𝑥(1 − 𝑥)=

𝑥(−𝐴 + 𝐵) + 𝐴

𝑥(1 − 𝑥)

−𝐴 + 𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 1

−1 + 𝐵 = 0

𝐵 = 1

1

𝑥(1 − 𝑥)=

1

𝑥+

1

1 − 𝑥.


75

Dengan demikian diperoleh,

∫1

𝑥(1 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (

1

𝑥+

1

1 − 𝑥 ) 𝑑𝑥. (3.27)

Kemudian, substitusi persamaan (3.26) ke dalam persamaan (3.27)

∫ (1

𝑥+

1

1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡

∫1

𝑥𝑑𝑥 + ∫

1

1 − 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡

ln 𝑥 − ln(1 − 𝑥) + 𝐶1 = 𝑎𝑡 + 𝐶2

ln (𝑥

1 − 𝑥) = 𝑎𝑡 + 𝐶, 𝐶 = 𝐶2 − 𝐶1

𝑥

1 − 𝑥= 𝑒𝑎𝑡+𝐶

𝑥

1 − 𝑥= 𝑒𝑎𝑡𝑒𝐶

𝑥

1 − 𝑥= 𝑏𝑒𝑎𝑡 , 𝑏 = 𝑒𝐶

𝑥 = (1 − 𝑥)𝑏𝑒𝑎𝑡

𝑥 = 𝑏𝑒𝑎𝑡 − 𝑥𝑏𝑒𝑎𝑡

𝑥 + 𝑥𝑏𝑒𝑎𝑡 = 𝑏𝑒𝑎𝑡

𝑥(1 + 𝑏𝑒𝑎𝑡) = 𝑏𝑒𝑎𝑡

𝑥 =𝑏𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑏𝑒𝑎𝑡. (3.28)

Kemudian, substitusikan 𝑥(0) = 𝑥0 ke dalam persamaan (3.28), sehingga

diperoleh


76

𝑥(0) = 𝑥0

𝑏𝑒𝑎0

1+𝑏𝑒𝑎0= 𝑥0

𝑏

1+𝑏= 𝑥0

𝑏 = 𝑥0(1 + 𝑏)

𝑏 = 𝑥0 + 𝑥0𝑏

𝑏 − 𝑥0𝑏 = 𝑥0

𝑏(1 − 𝑥0) = 𝑥0

𝑏 =𝑥0

1 − 𝑥0. (3.29)

Selanjutnya, substitusikan persamaan (3.29) ke dalam persamaan (3.28), sehingga

diperoleh

𝑥 =

𝑥0

1 − 𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 +𝑥0


𝑥 =

𝑥0


1 − 𝑥0 + 𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 − 𝑥0

𝑥 =𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 − 𝑥0 + 𝑥0𝑒𝑎𝑡

𝑥 =𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑥0(𝑒𝑎𝑡 − 1).

Jadi, penyelesaian eksak persamaan diferensial (3.25) adalah

𝑥(𝑡) =𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑥0(𝑒𝑎𝑡 − 1). (3.30)


77

Sekarang kita akan mengamati penyelesaian eksak dari persamaan diferensial

(3.25) untuk 𝑡 yang semakin membesar. Jika 𝑎 > 0, maka

𝑥(𝑡) =𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑥0(𝑒𝑎𝑡 − 1)=

𝑥0𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑥0𝑒𝑎𝑡 − 𝑥0

=1

1𝑥0𝑒𝑎𝑡 + 1 −

𝑥0

𝑥0𝑒𝑎𝑡

, 𝑥0 ≠ 0

sehingga diperoleh

lim𝑡→∞

𝑥(𝑡) = 1,

dan semua penyelesaian akan konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥2∗ = 1 (Gambar

3.6).

Gambar 3.6. Jika 𝑎 > 0, maka semua penyelesaian dengan 𝑥0 > 0 akan

konvergen ke 𝑥2∗ = 1


78

Di sisi lain, jika 𝑎 < 0, maka

𝑥(𝑡) =

𝑥0

𝑒𝑎𝑡

1 + 𝑥0 (1

𝑒𝑎𝑡 − 1),

sehingga diperoleh

lim𝑡→∞

𝑥(𝑡) = 0,

dan semua penyelesaian akan konvergen ke titik kesetimbangan 𝑥1∗ = 0 (Gambar

3.7).

Gambar 3.7. Jika 𝑎 < 0, maka semua penyelesaian dengan 𝑥0 < 1

akan konvergen ke 𝑥1∗ = 0

Selanjutnya, kita akan mencoba menggunakan persamaan diferensi untuk

menyelesaikan persamaan diferensial (3.25), dalam hal ini yaitu dengan

menggunakan metode Euler.

Kita akan mengubah persamaan diferensial (3.25) ke dalam bentuk persamaan

diferensi (3.22), sehingga diperoleh


79

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑔(𝑛, 𝑥(𝑛))

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ (𝑎𝑥(𝑛)(1 − 𝑥(𝑛)))

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑎𝑥(𝑛)(1 − 𝑥(𝑛)), 𝑥(0) = 𝑥0. (3.31)

Kemudian, kita akan mencari titik kesetimbangan dari persamaan (3.30). Jika titik

kesetimbangan dari persamaan (3.30) adalah 𝑥∗, maka

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) = 𝑥∗,

sehingga diperoleh

𝑥∗ = 𝑥∗ + ℎ𝑎𝑥∗(1 − 𝑥∗)

𝑥∗ − 𝑥∗ = ℎ𝑎𝑥∗(1 − 𝑥∗)

0 = ℎ𝑎𝑥∗(1 − 𝑥∗)

ℎ𝑎𝑥∗ = 0 ∨ (1 − 𝑥∗) = 0

𝑥∗ = 0 ∨ 𝑥∗ = 1.

Jadi, kita memperoleh dua titik kesetimbangan dari persamaan (3.31), yaitu 𝑥1∗ =

0 dan 𝑥2∗ = 1. Dengan kata lain, titik kesetimbangan pada persamaan diferensial

(3.30) sama seperti titik kesetimbangan pada persamaan diferensi (3.31).

Misalkan

𝑦(𝑛) =ℎ𝑎

1 + ℎ𝑎𝑥(𝑛),

maka kita punya

𝑦(𝑛 + 1) = (1 + ℎ𝑎)𝑦(𝑛)(1 − 𝑦(𝑛))

atau

𝑦(𝑛 + 1) = 𝜇𝑦(𝑛)(1 − 𝑦(𝑛)), (3.32)


80

dengan 𝑦(0) =ℎ𝑎

1+ℎ𝑎𝑥(0), dan 𝜇 = 1 + ℎ𝑎.

Sekarang, kita akan mencari titik kesetimbangan dari persamaan diferensi (3.32).

Jika titik kesetimbangan dari persamaan (3.32) adalah 𝑦∗, maka

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) = 𝑦∗,

sehingga diperoleh

𝑦∗ = 𝜇𝑦∗(1 − 𝑦∗)

𝑦∗ = 𝜇𝑦∗ − 𝜇(𝑦∗)2

𝜇(𝑦∗)2 − 𝜇𝑦∗ + 𝑦∗ = 0

𝑦∗(𝜇𝑦∗ − 𝜇 + 1) = 0

𝑦1∗ = 0 ∨ 𝜇𝑦∗ − 𝜇 + 1 = 0

𝜇𝑦∗ = 𝜇 − 1

𝑦2∗ =

𝜇 − 1

𝜇.

Kemudian, substitusikan 𝜇 = 1 + ℎ𝑎 ke dalam titik kesetimbangan 𝑦2∗, sehingga

diperoleh

𝑦1∗ = 0 ∨ 𝑦2

∗ =ℎ𝑎

1 + ℎ𝑎.


𝑦1∗ = 0 dan 𝑦2

∗ =ℎ𝑎

1+ℎ𝑎,

di mana kedua titik kesetimbangan tersebut berhubungan dengan titik

kesetimbangan pada persamaan (3.31), yaitu 𝑥1∗ = 0 dan 𝑥2

∗ = 1.

Sekarang dengan menggunakan diagram Cobweb, kita akan mengamati

bahwa untuk 1 < 𝜇 ≤ 3 (0 < ℎ𝑎 ≤ 2), semua penyelesaian yang titik awalnya,

yaitu 𝑦(0) yang berada pada interval (0,1) konvergen ke titik kesetimbangan


81

𝑦2∗ =

ℎ𝑎

1+ℎ𝑎 (Gambar 3.8) dan untuk 0 < 𝜇 < 1 (−1 < ℎ𝑎 < 0), semua

penyelesaian yang titik awalnya, yaitu 𝑦(0) yang berada pada interval (0,1)

konvergen ke titik kesetimbangan 𝑦1∗ = 0 (Gambar 3.9). Sedangkan, untuk 𝜇 >

3 (ℎ𝑎 > 2), hampir semua penyelesaian yang titik awalnya berada pada interval

(0,1) tidak konvergen ke salah satu titik kesetimbangan 𝑦1∗ ataupun 𝑦2

∗.

Gambar 3.8. Diagram Cobweb untuk 0 < ℎ𝑎 ≤ 2 (Elaydi, 2005)


82

Gambar 3.9. Diagram Cobweb untuk −1 < ℎ𝑎 < 0 (Elaydi, 2005)

2. Skema Tak Standar

Perhatikan lagi persaman diferensial logistik berikut. Sekarang, jika kita

mengubah 𝑥2(𝑛) dalam metode Euler menjadi 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 1), maka kita

memperoleh

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑎𝑥(𝑛)(1 − 𝑥(𝑛))

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑎𝑥(𝑛) − ℎ𝑎(𝑥(𝑛))2

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑎𝑥(𝑛) − ℎ𝑎𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 1)

𝑥(𝑛 + 1) + ℎ𝑎𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ𝑎𝑥(𝑛)

(1 + ℎ𝑎𝑥(𝑛))𝑥(𝑛 + 1) = (1 + ℎ𝑎)𝑥(𝑛)

𝑥(𝑛 + 1) =(1 + ℎ𝑎)𝑥(𝑛)

1 + ℎ𝑎𝑥(𝑛),

atau secara sederhana dapat ditulis


83

𝑥(𝑛 + 1) =𝛼𝑥(𝑛)

1 + 𝛽𝑥(𝑛), (3.33)

dengan 𝛼 = 1 + ℎ𝑎, 𝛽 = 𝛼 − 1 = ℎ𝑎.

Selanjutnya, kita akan mencari titik kesetimbangan dari persamaan (3.33). Jika

titik kesetimbangan dari persamaan (3.33) adalah 𝑥∗, maka

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) = 𝑥∗,

sehingga diperoleh

𝑥∗ =𝛼𝑥∗

1 + 𝛽𝑥∗

𝑥∗(1 + 𝛽𝑥∗) = 𝛼𝑥∗

𝑥∗ + 𝛽(𝑥∗)2 − 𝛼𝑥∗ = 0

𝑥∗(1 + 𝛽𝑥∗ − 𝛼) = 0

𝑥1∗ = 0 ∨ 1 + 𝛽𝑥∗ − 𝛼 = 0

𝛽𝑥∗ = 𝛼 − 1

𝑥2∗ =

𝛼 − 1

𝛽.

Diketahui

𝛼 = 1 + ℎ𝑎 dan 𝛽 = ℎ𝑎,

𝛼 = 1 + 𝛽,

𝛽 = 𝛼 − 1.

Substitusikan 𝛽= 𝛼 − 1 ke titik kesetimbangan 𝑥2∗, sehingga diperoleh

𝑥2∗ =

𝛼 − 1

𝛼 − 1= 1.


84


𝑥1∗ = 0 dan 𝑥2

∗ = 1.

Berdasarkan diagram Cobweb (Gambar 3.10) dapat kita simpulkan bahwa, jika

𝛼 > 1, maka lim𝑛→∞

𝑥(𝑛) = 1. Karena ℎ > 0, 𝛼 > 1 jika dan hanya jika 𝑎 > 0.

Oleh karena itu, semua penyelesaian konvergen menuju ke titik kesetimbangan

𝑥2∗ = 1 jika 𝑎 > 0 sama seperti pada kasus persamaan diferensial tanpa

menghiraukan ukuran dari ℎ.

Gambar 3.10. Diagram Cobweb untuk 𝛼 = 1 + ℎ𝑎, 𝛽 = 𝛼 − 1 = ℎ𝑎

Contoh 3.8

Perhatikan persamaan diferensial berikut ini.

𝑦′(𝑡) = −𝑦2, 𝑦(0) = 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, ℎ = 0.2. (3.34)

Gunakan metode Euler dan metode skema tak standar untuk menyelesaikan

persamaan diferensial (3.34), lalu buatlah tabel perbandingan (𝑛 − 𝑦(𝑛)) dari


85

kedua metode tersebut, kemudian perkirakan manakah metode yang memiliki

aproksimasi yang lebih baik untuk persamaan diferensial (3.34).

Jawab:

Kita akan menyelesaikan persamaan diferensial (3.34) menggunakan persamaan

diferensi dengan metode Euler (3.22), dengan

𝑔(𝑛, 𝑦(𝑛)) = −𝑦2(𝑛),

sehingga diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) + ℎ𝑔(𝑛, 𝑦(𝑛))

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) − ℎ𝑦2(𝑛).

Kemudian, mensubstitusi ℎ = 0.2, sehingga diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) − 0.2𝑦2(𝑛) = 𝑦(𝑛)(1 − 0.2𝑦(𝑛)).

Jadi, penyelesaian persamaan diferensial (3.34) menggunakan persamaan diferensi

dengan metode Euler adalah

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛)(1 − 0.2𝑦(𝑛)),

dengan nilai awal

𝑦(0) = 1.

Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan diferensial (3.34)

menggunakan persamaan diferensi dengan metode skema tak standar (3.22), di

mana kita akan mengubah 𝑦2(𝑛) dalam metode Euler menjadi 𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 1),

sehingga diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛)(1 − 0.2𝑦(𝑛))

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) − 0.2(𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 1))

𝑦(𝑛 + 1) + 0.2(𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 1)) = 𝑦(𝑛)


86

𝑦(𝑛 + 1)(1 + 0.2𝑦(𝑛)) = 𝑦(𝑛)

𝑦(𝑛 + 1) =𝑦(𝑛)

1 + 0.2𝑦(𝑛).

Secara lebih sederhana diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) =𝑦(𝑛)

1 +15

𝑦(𝑛)∙

5

5

𝑦(𝑛 + 1) =5𝑦(𝑛)

5 + 𝑦(𝑛).

Jadi, penyelesaian persamaan diferensial (3.34) menggunakan persamaan diferensi

dengan metode skema tak standar adalah

𝑦(𝑛 + 1) =5𝑦(𝑛)

5 + 𝑦(𝑛),

dengan nilai awal

𝑦(0) = 1.

Sekarang, kita akan membandingkan hasil perhitungan dari metode Euler dan

metode skema tak standar.

Untuk 𝑛 = 0, diperoleh 𝑦(𝑛) = 1.

Untuk 𝑛 = 1, dengan menggunakan metode Euler diperoleh

𝑦(1) = 𝑦(0)(1 − 0.2𝑦(0)) = 1(1 − 0.2(1)) = 0.8.

dan dengan menggunakan metode skema tak standar diperoleh

𝑦(1) =5𝑦(0)

5 + 𝑦(0)=

5 ∙ 1

5 + 1=

5

6= 0.833.

Selanjutnya, kita akan mencari penyelesaian eksak dari persamaan diferensial

(3.34) dengan menggunakan metode variabel terpisah, sehingga diperoleh


87

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑦2

1

−𝑦2𝑑𝑦 = 𝑑𝑡

∫ −𝑦−2𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑡

1

𝑦= 𝑡 + 𝑐

𝑦 =1

𝑡 + 𝑐. (3.35)

Kemudian, substitusikan 𝑦(0) = 1 ke dalam persamaan (3.35), sehingga

diperoleh

𝑦 =1

𝑡 + 𝑐

1 =1

0 + 𝑐

1 = 𝑐.

Selanjutnya, substitusikan 𝑐 = 1 ke dalam persamaan (3.35), sehingga diperoleh

𝑦 =1

𝑡 + 1.

Jadi, penyelesaian eksak persamaan diferensial (3.34) adalah

𝑦(𝑡) =1

𝑡 + 1, 𝑦(0) = 1, 𝑡 ∈ [0,1].

Kemudian, dapat dilihat perbandingan hasil antara penyelesaian eksak persamaan

diferensial dengan penyelesaian numerik persamaan diferensi menggunakan

metode Euler dan metode skema tak standar pada tabel (1.2) berikut ini.

Tabel 1.2. Perbandingan metode Euler dan metode tak standar

𝑡 𝑛 𝑦(𝑡)

(Eksak)

𝑦(𝑛)

(Euler)

𝑦(𝑛)

(tak standar)

0 0 1 1 1

0.1 1 0.909 0.8 0.833


88

0.2 2 0.833 0.672 0.714

0.3 3 0.769 0.582 0.625

0.4 4 0.714 0.514 0.556

0.5 5 0.667 0.461 0.5

0.6 6 0.625 0.419 0.455

0.7 7 0.588 0.384 0.417

0.8 8 0.556 0.354 0.385

0.9 9 0.526 0.329 0.357

1 10 0.5 0.307 0.333

Dengan melihat Gambar 3.11, kita bisa mengetahui bahwa metode yang

memiliki aproksimasi lebih baik untuk penyelesaian persamaan diferensial (3.34)

adalah metode skema tak standar karena metode ini memiliki nilai fungsi yang

lebih mendekati dengan grafik penyelesaian persamaan diferensial (3.34),

sehingga dapat menghasilkan galat yang lebih kecil jika dibandingkan dengan

metode Euler.

Gambar 3.11. Grafik penyelesaian eksak persamaan diferensial dan

penyelesaian numerik (metode Euler dan metode skema

tak standar) persamaan diferensi dengan ℎ = 0.2


89

BAB IV

PENERAPAN KESTABILAN PERSAMAAN DIFERENSI TINGKAT

SATU DALAM BIDANG EKONOMI DAN BIOLOGI

A. Analisis Kestabilan Pasar

Permintaan (demand) dan penawaran (supply) adalah dua kata yang paling

sering digunakan oleh para ekonom. Istilah permintaan dan penawaran mengacu

pada perilaku orang-orang ketika terjadi interaksi di antara mereka di pasar. Pasar

adalah sekelompok pembeli dan penjual dari sebuah produk atau jasa tertentu.

Pembeli sebagai sebuah kelompok menentukan permintaan sebuah produk,

sedangkan penjual sebagai kelompok lain menentukan penawaran dari produk

tersebut. Permintaan dan penawaran adalah kekuatan yang mendorong bekerjanya

ekonomi pasar. Dua hal inilah yang menentukan berapa banyak sebuah barang

dihasilkan dan berapa harga yang dikenakan untuk barang tersebut ketika dijual.

Pada subbab ini akan diperkenalkan teori permintaan dan penawaran, kemudian

akan dibahas pula bagaimana permintaan dan penawaran menentukan harga

barang.

1. Permintaan

a. Kurva permintaan

Kurva permintaan (demand curve) menyatakan berapa banyak konsumen

bersedia membeli pada waktu harga per unit barang berubah. Kita dapat

menjabarkan hubungan antara jumlah permintaan dengan harga ke dalam

persamaan berikut:

𝐷(𝑛) = −𝑚𝑑𝑝(𝑛) + 𝑏𝑑 , 𝑚𝑑 > 0, 𝑏𝑑 > 0, (4.1)

dengan asumsi 𝐷(𝑛) hanya bergantung linear pada 𝑝(𝑛), di mana 𝐷(𝑛) adalah

jumlah unit permintaan dalam periode 𝑛, 𝑝(𝑛) adalah harga per unit dalam

periode 𝑛, konstanta 𝑚𝑑 menyatakan kepekaan konsumen terhadap harga, dan 𝑏𝑑


90

adalah sebarang konstanta permintaan. Persamaan (4.1) menunjukkan kurva

permintaan yang dapat digambarkan dalam bentuk grafik (Gambar 4.1). Pada

gambar 4.1, kurva permintaan ditandai dengan 𝐷, menunjukkan bagaimana

jumlah barang yang diminta konsumen bergantung pada harga. Gradien dari kurva

permintaan adalah negatif karena kenaikan satu unit harga produksi menyebabkan

penurunan 𝑚𝑑 unit permintaan.

Gambar 4.1. Kurva Permintaan (Pindyck & Rubinfeld, (2007))

b. Pergeseran pada Kurva Permintaan

Setiap perubahan yang meningkatkan jumlah permintaan barang pada

berbagai tingkat harga, menggeser kurva permintaan ke kanan dan hal ini disebut

dengan kenaikan permintaan, Sebaliknya, setiap perubahan yang mengurangi

jumlah permintaan barang pada berbagai tingkat harga menggeser kurva

permintaan ke kiri dan hal ini disebut dengan penurunan permintaan. Pada

Gambar 4.1, pergeseran ini ditunjukkan sebagai pergeseran dari 𝐷 ke 𝐷′, di mana

pada saat harga barang sejumlah 𝑃2, maka permintaan konsumen sebanyak 𝑄1,

namun ketika harga barang turun dari 𝑃2 menuju 𝑃1, maka permintaan konsumen

akan meningkat dari 𝑄1 menuju ke 𝑄2.

𝑄1 𝑄2

𝑃2

𝑃1

𝐷

𝐷′


91

2. Penawaran

a. Kurva Penawaran

Kurva penawaran (supply curve) menunjukkan jumlah barang yang produsen

bersedia menjual dengan harga yang akan diterimanya di pasar, dengan

mempertahankan setiap faktor yang mempengaruhi jumlah penawaran agar tetap.

Kurva penawaran merupakan hubungan antara jumlah penawaran dengan harga.

Kita dapat menulis hubungan ini dalam suatu persamaan:

𝑆(𝑛 + 1) = 𝑚𝑠𝑝(𝑛) + 𝑏𝑠, 𝑚𝑠 > 0, 𝑏𝑠 > 0, (4.2)

dengan asumsi bahwa kurva harga penawaran menghubungkan penawaran dalam

setiap periode dengan harga dalam satu periode sebelumnya, di mana 𝑆(𝑛 + 1)

adalah jumlah unit penawaran dalam periode 𝑛 + 1, 𝑝(𝑛) adalah harga per unit

dalam periode 𝑛, konstanta 𝑚𝑠 adalah kepekaan produsen terhadap harga, dan 𝑏𝑠

adalah sebarang konstanta penawaraan.

Persamaan (4.2) menunjukkan kurva penawaran yang dapat digambarkan

dalam bentuk grafik (Gambar 4.2). Perhatikan bahwa kurva penawaran (Gambar

4.2) memiliki gradien yang positif karena kenaikan satu unit harga produksi

menyebabkan kenaikan 𝑚𝑠 unit penawaran. Dengan kata lain, semakin tinggi

harga barang, produsen akan semakin mampu dan bersedia untuk memproduksi

barang untuk dijual. Kurva penawaran dalam gambar ditandai dengan 𝑆,

menunjukkan bagaimana jumlah barang yang ditawarkan untuk dijual berubah

seiring dengan perubahan harga barang tersebut.


92

Gambar 4.2. Kurva Penawaran (Pindyck & Rubinfeld, (2007))

b. Pergeseran Kurva Penawaran

Setiap perubahan yang menambah jumlah penawaran barang pada berbagai

tingkat harga, menggeser kurva penawaran ke kanan dan hal ini disebut dengan

kenaikan penawaran. Sebaliknya, setiap perubahan yang mengurangi jumlah

penawaran barang pada berbagai tingkat harga menggeser kurva penawaran ke

kiri dan hal ini disebut dengan penurunan penawaran. Pada Gambar 4.2, kurva

penawaran bergeser ke kanan dari 𝑆 menuju ke 𝑆′, di mana pada saat biaya

produksi turun, maka produsen dapat memproduksi barang dengan jumlah yang

sama (𝑄1) pada harga yang lebih rendah (dari 𝑃1 menuju ke 𝑃2) atau jumlah

barang yang lebih besar (dari 𝑄1 meningkat menjadi 𝑄2) dengan harga yang sama

(𝑃2).

3. Menganalisis Kestabilan Pasar Berdasarkan Harga Kesetimbangan

Kesetimbangan pasar adalah keadaan ketika jumlah permintaan sama dengan

jumlah penawaran, selain itu juga biaya yang dikeluarkan produsen untuk

memproduksi barang tersebut harus sama dengan besarnya pendapatan yang ia

terima dari hasil penjualan tersebut. Harga pasar adalah harga yang

menyeimbangkan jumlah permintaan dan penawaran. Kurva harga pasar ditandai

𝑆 𝑆′

𝑄1 𝑄2

𝑃1

𝑃2


93

dengan adanya perpotongan pada jumlah barang dan harga kesetimbangan. Pada

Gambar 4.3, terlihat bahwa pada awalnya harga berada diatas tingkat

kesetimbangan pasar, katakan 𝑃1, maka produsen akan berusaha memproduksi

dan menjual barang lebih daripada kesediaan konsumen untuk membeli.

Akibatnya akan terjadi surplus, di mana jumlah penawaran melebihi jumlah

permintaan. Sebaliknya, jika harga mula-mula ada dibawah 𝑃0, katakan 𝑃2, maka

konsumen akan membeli barang lebih banyak daripada jumlah barang yang

ditawarkan oleh produsen. Akibatnya terjadi kekurangan (shortage), yakni jumlah

permintaan melampaui jumlah penawaran.

Gambar 4.3 Kurva Kesetimbangan Pasar (Pindyck & Rubinfeld, (2007))

Karena harga kesetimbangan pasar diperoleh pada saat jumlah permintaan

dan jumlah penawaran sama, maka persamaan matematisnya dapat ditulis sebagai

berikut:

𝐷(𝑛 + 1) = 𝑆(𝑛 + 1)

−𝑚𝑑𝑝(𝑛 + 1) + 𝑏𝑑 = 𝑚𝑠𝑝(𝑛) + 𝑏𝑠

−𝑚𝑑𝑝(𝑛 + 1) = 𝑚𝑠𝑝(𝑛) + 𝑏𝑠 − 𝑏𝑑

𝑄0

𝑃1

𝑃0

𝑃2

Surplus

Kekurangan

𝑺

𝑫


94

𝑝(𝑛 + 1) =𝑚𝑠𝑝(𝑛) + 𝑏𝑠 − 𝑏𝑑

−𝑚𝑑

𝑝(𝑛 + 1) = −𝑚𝑠

𝑚𝑑𝑝(𝑛) +

𝑏𝑑 − 𝑏𝑠

𝑚𝑑

𝑝(𝑛 + 1) = 𝐴𝑝(𝑛) + 𝐵 = 𝑓(𝑝(𝑛)), (4.3)

dengan

𝐴 = −𝑚𝑠

𝑚𝑑, 𝐵 =

𝑏𝑑 − 𝑏𝑠

𝑚𝑑.

Persamaan ini adalah persamaan diferensi linear tingkat satu. Harga titik

kesetimbangan 𝑝∗ didefinisikan sebagai harga dari hasil perpotongan antara kurva

penawaran 𝑆(𝑛 + 1) dan kurva permintaan 𝐷(𝑛), serta 𝑝∗ =𝐵

1−𝐴 juga merupakan

titik tetap tunggal dari 𝑓(𝑝) pada persamaan (4.3).

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa 𝑝∗ =𝐵

1−𝐴 adalah titik tetap dari

persamaan (4.3). Menurut Definisi 2.5, untuk menemukan titik kesetimbangan

dari persamaan diferensi (4.3), kita harus menemukan titik 𝑥∗ sedemikian hingga

𝑓(𝑝∗) = 𝑝∗. Misalkan

𝐴𝑝∗ + 𝐵 = 𝑝∗ (4.4)

𝐴𝑝∗ + 𝐵 = 𝑝∗

𝐴𝑝∗ − 𝑝∗ = −𝐵

𝑝∗(𝐴 − 1) = −𝐵

𝑝∗ =−𝐵

𝐴 − 1=

𝐵

1 − 𝐴.

Jadi, terbukti bahwa 𝑝∗ =𝐵

1−𝐴 merupakan titik tetap dari persamaan (4.3).

Selanjutnya, kita akan mencari penyelesaian eksak dari persamaan diferensi

(4.3), jika diberikan 𝑝(0) = 𝑝0. Persamaan diferensi (4.3) memiliki bentuk yang

mirip dengan persamaan (2.10), sehingga kita bisa mendapatkan penyelesaian dari

persamaan (4.3) dengan menggunakan rumus pada persamaan (2.12) dengan 𝑎 ≠

1.


95

𝑝(𝑛) = 𝐴𝑛𝑝0 + 𝐵 (𝐴𝑛 − 1

𝐴 − 1)

= 𝐴𝑛𝑝0 + 𝐵 (1 − 𝐴𝑛

1 − 𝐴)

= 𝐴𝑛𝑝0 +𝐵

1 − 𝐴−

𝐵𝐴𝑛

1 − 𝐴

= 𝐴𝑛 (𝑝0 −𝐵

1 − 𝐴) +

𝐵

1 − 𝐴

Jadi, penyelesaian umum persamaan diferensi (4.3) adalah

𝑝(𝑛) = 𝐴𝑛 (𝑝0 −𝐵

1 − 𝐴) +

𝐵

1 − 𝐴. (4.5)

Selanjutnya, kita akan mengamati perilaku harga (𝑝(𝑛)) (4.5) di dekat harga

kesetimbangan 𝑝∗. Karena 𝐴 adalah rasio dari gradien antara kurva penawaran

dan kurva permintaan, maka rasio ini menentukan perilaku dari harga

kesetimbangan. Ada tiga kasus yang dapat dipertimbangkan:

(a) −1 < 𝐴 < 0 (𝑚𝑠 < 𝑚𝑑),

(b) 𝐴 = −1 (𝑚𝑠 = 𝑚𝑑),

(c) 𝐴 < −1 (𝑚𝑠 > 𝑚𝑑).

Tiga kasus tersebut tergambar secara grafik menggunakan diagram anak tangga.

(i) Dalam kasus (a), apabila kita mencari limit untuk 𝑛 → ∞ dari persamaan

(2.27), maka

lim𝑛→∞

𝑝(𝑛) = lim𝑛→∞

𝐴𝑛 (𝑝0 −𝐵

1 − 𝐴) +

𝐵

1 − 𝐴=

𝐵

1 − 𝐴= 𝑝∗.

Oleh karena itu pada kasus ini, harga kisaran akan bergerak ke satu titik yang

sama menuju harga kesetimbangan 𝑝∗. Interpretasi dalam ekonomi, harga

kesetimbangan 𝑝∗ dianggap stabil sebab dalam kasus ini kepekaan produsen

terhadap harga lebih kecil daripada kepekaan konsumen terhadap harga

(𝑚𝑠 < 𝑚𝑑), maka dalam hal ini jumlah permintaan akan melebihi jumlah


96

penawaran. Oleh karena itu, konsumen akan bersaing untuk mendapatkan

penawaran yang ada dan produsen merespon dengan menaikkan harga.

Apabila harga naik, maka dapat diartikan bahwa biaya yang dikeluarkan

produsen untuk memproduksi barang tersebut akan lebih rendah

dibandingkan dengan besarnya pendapatan yang ia diterima akibat penjualan

dari barang tersebut dan pada akhirnya produsen akan memperoleh

keuntungan dari hasil penjualannya. Akibatnya, pasar akan mencapai harga

kesetimbangannya, yaitu 𝑝∗ dan dalam kasus matematis, kita mengacu pada

stabil asimtotik (Gambar 4.4).

Gambar 4.4. Harga kesetimbangan 𝑝∗ dikatakan stabil asimtotik

(Elaydi, 2005)

(ii) Dalam kasus (b), apabila 𝐴 = −1, maka harga

𝑝(𝑛) = (−1)𝑛 (𝑝0 −𝐵

1 − (−1)) +

𝐵

1 − (−1)= (−1)𝑛 (𝑝0 −

𝐵

2) +

𝐵

2

hanya berkisar antara dua nilai. Jika 𝑛 adalah bilangan genap, maka

𝑝(𝑛) = (𝑝0 −𝐵

2) +

𝐵

2= 𝑝0

dan jika 𝑛 adalah bilangan ganjil, maka

𝑝(𝑛) = (−1) (𝑝0 −𝐵

2) +

𝐵

2= −𝑝0 + 𝐵.


97

Interpretasi dalam ekonomi, harga kesetimbangan 𝑝∗ dianggap stabil sebab

dalam kasus ini kepekaan produsen terhadap harga sama dengan kepekaan

konsumen terhadap harga (𝑚𝑠 = 𝑚𝑑). Dengan kata lain, jumlah permintaan

sama dengan jumlah penawaran, yang dalam hal ini dapat diartikan bahwa

biaya yang dikeluarkan produsen untuk memproduksi barang tersebut sama

dengan besarnya pendapatan yang ia diterima akibat penjualan dari barang

tersebut. Oleh karena itu, dalam kasus ini, harga kesetimbangan pasar akan

berosilasi diantara dua nilai, yaitu jika 𝑝(0) = 𝑝0, maka 𝑝(1) = −𝑝0 + 𝐵 dan

𝑝(2) = 𝑝0. Oleh karena itu, harga kesetimbangan 𝑝∗ dikatakan stabil

(Gambar 4.5).

Gambar 4.5. Harga kesetimbangan 𝑝∗ dikatakan stabil (Elaydi, 2005)

(iii) Dalam kasus (c), apabila apabila kita mencari limit untuk 𝑛 → ∞ dari

persamaan (2.27), maka

lim𝑛→∞

𝑝(𝑛) = lim𝑛→∞

𝐴𝑛 (𝑝0 −𝐵

1 − 𝐴) +

𝐵

1 − 𝐴,

yakni nilai limitnya akan bernilai +∞ jika 𝑛 adalah bilangan genap dan akan

bernilai −∞ jika 𝑛 adalah bilangan ganjil. Jadi untuk kasus 𝐴 < −1, nilai

linitnya tidak ada, karena untuk 𝑛 yang semakin membesar ada kemungkinan

harga pasar akan monoton naik atau monoton turun. Interpretasi dalam

ekonomi, kepekaan produsen terhadap harga lebih besar daripada kepekaan


98

konsumen terhadap harga (𝑚𝑠 > 𝑚𝑑), maka dalam hal ini jumlah penawaran

akan melebihi jumlah permintaan. Oleh karena itu, jumlah barang yang

ditawarkan melebihi kapasitas dan produsen tidak sanggup untuk menjual

barangnya dengan harga tersebut. Untuk mengatasi hal ini, produsen akan

menurunkan harga. Apabila harga turun, maka dapat diartikan bahwa biaya

yang dikeluarkan produsen untuk memproduksi barang tersebut lebih tinggi

dibandingkan dengan besarnya pendapatan yang ia diterima akibat penjualan

dari barang tersebut dan pada akhirnya produsen tidak akan memperoleh

keuntungan dari hasil penjualannya. Akibatnya, pasar akan menjadi tidak

stabil. Jadi harga kisaran akan bergerak menjauhi harga kesetimbangan 𝑝∗.

Dengan kata lain, harga kesetimbangan 𝑝∗ tidak stabil (Gambar 4.6).

Gambar 4.6. Harga kesetimbangan 𝑝∗ dikatakan tidak stabil (Elaydi, 2005)

Jadi, berdasarkan kasus di atas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa

kestabilan pasar sangat dipengaruhi oleh kepekaan produsen dan konsumen

terhadap harga. Apabila konsumen lebih peka terhadap harga daripada produsen

(dalam hal ini merujuk pada jumlah permintaan lebih besar daripada jumlah

penawaran) atau bahkan kepekaan konsumen dan produsen terhadap harga sama

(dalam hal ini merujuk pada jumlah permintaan dan jumlah penawaran sama),


99

maka pasar akan stabil. Sebaliknya, apabila produsen lebih peka terhadap harga

daripada konsumen (dalam hal ini merujuk pada jumlah penawaran lebih besar

daripada jumlah permintaan), maka yang terjadi adalah pasar akan tidak stabil.

B. Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Satu Populasi

Model adalah sebuah persamaan atau sistem persamaan yang

merepresentasikan sebuah permasalahan di kehidupan nyata atau dengan kata lain

penyederhanan dari masalah nyata. Populasi adalah kumpulan individu yang

sejenis dan hidup di suatu daerah dengan waktu tertentu. Model pertumbuhan

populasi adalah model matematika yang menggambarkan pertumbuhan populasi.

Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi

dua, yaitu model pertumbuhan populasi dengan waktu kontinu dan model

pertumbuhan populasi dengan waktu diskret. Model pertumbuhan kontinu

meliputi model eksponensial dan model logistik. Sedangkan model pertumbuhan

diskret meliputi model linear homogen dan model logistik diskret.

1. Model Eksponensial

Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.

Model ini menjelaskan suatu populasi berada dalam lingkungan yang tidak

terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak dibatasi oleh lingkungan,

seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan. Model eksponensial

mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu berbanding

lurus dengan jumlah populasi yang ada.

Model populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali oleh Malthus.

Modelnya diberikan oleh masalah nilai awal:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎𝑦(𝑡), 𝑦(0) = 𝑦0, (4.6)

dengan 𝑎 adalah konstanta laju pertumbuhan yang besarnya adalah

𝑎 = laju kelahiran − laju kematian, dan 𝑦(𝑡) adalah banyaknya individu di dalam

populasi pada waktu 𝑡 (𝑡 ≥ 0).

Selanjutnya, kita akan mencari penyelesaian dari persamaan (4.6), dengan

menggunakan metode variabel terpisah diperoleh


100

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎𝑦(𝑡)

𝑑𝑦

𝑦(𝑡)= 𝑎 𝑑𝑡

∫𝑑𝑦

𝑦(𝑡)= ∫ 𝑎 𝑑𝑡

𝑙𝑛 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ

𝑦(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡+𝐶

𝑦(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡𝑒𝐶 .

Misalkan

𝐴 = 𝑒𝐶,

maka diperoleh

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒𝑎𝑡. (4.7)

Kemudian, kita substitusikan nilai awal

𝑦(0) = 𝑦0,

ke dalam persamaan (4.7), sehingga diperoleh

𝑦(0) = 𝐴𝑒𝑎0

𝑦0 = 𝐴.

Substitusikan persamaan 𝑦0 = 𝐴 ke dalam persamaan (4.7), sehingga diperoleh

𝑦(𝑡) = 𝑦0𝑒𝑎𝑡.

Hal ini menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi bertumbuh secara

eksponensial dan besarnya bergantung pada nilai awal 𝑦0, konstanta laju

pertumbuhan 𝑎, dan waktu 𝑡. Oleh karena itu, model Malthus disebut juga model

eksponensial.


101

Gambar 4.7. Grafik pertumbuhan eksponensial dengan 𝑎 = 0.5 dan 𝑦0 = 500

Berdasarkan Gambar 4.7, jelas bahwa untuk 𝑎 > 0 diperoleh

lim𝑡→∞

𝑦(𝑡) = ∞,

di mana jika hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka model

eksponensial ini tidak realistis, sebab untuk 𝑎 > 0 tidak mungkin suatu populasi

bertumbuh secara eksponensial tanpa batas.

Gambar 4.8. Grafik pertumbuhan eksponensial untuk 𝑎 = −0.5 dan 𝑦0 = 500

Berdasarkan Gambar 4.8, untuk 𝑎 < 0 diperoleh

lim𝑡→∞

𝑦(𝑡) = 0,


102

di mana jika hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi akan terlihat cukup

logis, sebab suatu populasi akan mendekati kepunahan jika laju pertumbuhannya

negatif.

2. Model Logistik

Model logistik pertama kali diperkenalkan oleh Verhulst pada tahun 1838.

Model logistik juga disebut sebagai model Verhulst. Model logistik merupakan

salah satu modifikasi dari model eksponensial (model Malthus). Munculnya

model logistik ini dikarenakan model pertumbuhan eksponensial mengasumsikan

sumber daya yang tidak terbatas, yang mengakibatkan penyelesaian dari model

Malthus tidak realistik, yaitu naik dan turun secara eksponensial. Sebagai contoh,

untuk populasi manusia pada suatu negara, tidak mungkin dalam jangka waktu

yang lama, banyaknya populasi manusia mendekati tak hingga. Karena alam

memiliki keterbatasan ruang, makanan, ataupun daya dukung lainnya.

Kepadatan dan keterbatasan sumber daya dapat mempunyai dampak besar

pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan sumber daya

yang cukup untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan menurun. Jika

individu tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan diri mereka

sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan dalam angka

kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka kematian

tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi yang lebih

kecil.

Model logistik memasukkan batas untuk populasinya, sehingga jumlah

populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Laju

pertumbuhan populasi akan terbatas karena ketersediaan makanan, tempat tinggal,

dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan

model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu, jumlah

populasi akan mendekati titik kesetimbangan, pada titik ini jumlah kelahiran dan

kematian dianggap sama. Model logistik dapat dibuat ke dalam persamaan

matematis, yaitu


103

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑎𝑦(𝑡) − 𝑏𝑦2(𝑡) = 𝑦(𝑡)(𝑎 − 𝑏𝑦(𝑡)), 𝑦(0) = 𝑦0, (4.8)

dengan 𝑏 adalah konstanta dari pengaruh peningkatan kepadatan populasi (𝑏 > 0)

dan 𝑦(𝑡) adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu 𝑡 (𝑡 ≥ 0).

Selanjutnya, kita akan mencari titik kesetimbangan dari persamaan (4.8),

sehingga diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

𝑦∗(𝑎 − 𝑏𝑦∗) = 0

𝑦∗ = 0 ∨ 𝑎 − 𝑏𝑦∗ = 0

𝑏𝑦∗ = 𝑎

𝑦∗ =𝑎

𝑏

Jadi, populasi kesetimbangan dari persamaan (4.8) adalah 𝑦∗ = 0 dan 𝑦∗ =𝑎

𝑏.

Kemudian, kita akan mencari penyelesaian dari persamaan (4.8), sehingga

diperoleh

𝑦(𝑡) =

𝑎𝑏

1 + (𝑎 − 𝑏𝑦0

𝑏𝑦0) 𝑒−𝑎𝑡

, (4.9)

untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan (4.8) dapat dilihat pada

(Haberman, 1998, hal. 160).

Berdasarkan persamaan (4.9), apabila 𝑎 > 0 diperoleh

lim𝑡→∞

𝑎𝑏

1 + (𝑎 − 𝑏𝑦0

𝑏𝑦0) 𝑒−𝑎𝑡

=𝑎

𝑏.

Jadi, untuk 𝑡 yang semakin membesar, model logistik akan mencapai populasi

kesetimbangannya, yaitu 𝑎

𝑏 (Gambar 4.9). Dengan demikian, jika hasil ini

dikaitkan dengan jumlah suatu populasi akan terlihat bahwa model logistik lebih

realistik dibandingkan dengan model eksponensial (model Malthus), sebab dalam


104

jangka waktu yang lama suatu populasi akan mencapai batas maksimum, yakni

akan menuju populasi kesetimbangannya.

Gambar 4.9. Grafik model logistik dengan 𝑎 = 0.8, 𝑏 = 0.002, 𝑦0 = 500

3. Model Linear Homogen

Model linear homogen diperoleh dengan cara mengubah model eksponensial

dengan waktu kontinu menjadi model diferensi dengan waktu diskret

menggunakan metode Euler. Kita akan mengubah persamaan (4.6) ke dalam

bentuk persamaan diferensi, sehingga diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) + ℎ𝑔[𝑛, 𝑦(𝑛)]

= 𝑦(𝑛) + ℎ[𝑎𝑦(𝑛)]

= 𝑦(𝑛)(1 + ℎ𝑎)

𝑦(𝑛 + 1) = 𝜇𝑦(𝑛), 𝜇 = 1 + ℎ𝑎, 𝜇 > 0, (4.10)

dengan 𝑦(𝑛) adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu 𝑛 (diskret)

dan 𝜇 adalah konstanta laju pertumbuhan.

Jika diberikan populasi awal 𝑦(0) = 𝑦0, maka dengan iterasi sederhana kita

menemukan bahwa

𝑦(1) = 𝜇𝑦(0) = 𝜇𝑦0


105

𝑦(2) = 𝜇𝑦(1) = 𝜇𝜇𝑦0 = 𝜇2𝑦0

𝑦(3) = 𝜇𝑦(2) = 𝜇𝜇2𝑦0 = 𝜇3𝑦0

⋮

𝑦(𝑛) = 𝜇𝑛𝑦0 (4.11)

adalah penyelesaian dari persamaan (4.10). Jika 𝜇 > 1, maka 𝑦(𝑛) membesar

tanpa batas, dan lim𝑛→∞

𝑦(𝑛) = ∞ (Gambar 4.10). Jika 𝜇 = 1, maka 𝑦(𝑛) = 𝑦0

untuk setiap 𝑛 > 0, yang berarti bahwa ukuran populasi adalah konstan (Gambar

4.11). Tetapi jika 𝜇 < 1, maka lim𝑛→∞

𝑦(𝑛) = 0 (Gambar 4.12), yakni pada akhirnya

populasi menjadi punah.

Gambar 4.10. Grafik model linear homogen untuk 𝜇 > 1


106

Gambar 4.11. Grafik model linear homogen untuk 𝜇 = 1

Gambar 4.12. Grafik model linear homogen untuk 𝜇 < 1

4. Model Logistik Diskret

Model logistik diskret adalah model pertumbuhan populasi dengan waktu

diskret yang mempertimbangkan keterbatasan lingkungan, sehingga laju

pertumbuhan populasi bergantung pada kepadatan populasinya. Model logistik


107

diskret ini diperoleh dengan cara mengubah model logistik dengan waktu kontinu

menjadi model logistik diskret menggunakan metode Euler, sehingga diperoleh

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) + ℎ[𝑔(𝑛, 𝑥(𝑛))]

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) + ℎ[𝑎𝑦(𝑛) − 𝑏𝑦2(𝑛)]

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑦(𝑛) + ℎ𝑎𝑦(𝑛) − ℎ𝑏𝑦2(𝑛)

𝑦(𝑛 + 1) = 𝜇𝑦(𝑛) − ℎ𝑏𝑦2(𝑛), 𝜇 = 1 + ℎ𝑎, 𝜇, ℎ > 0 (4.12)

dengan 𝜇 adalah konstanta laju pertumbuhan, 𝑏 adalah konstanta dari pengaruh

peningkatan kepadatan populasi (𝑏 > 0), dan 𝑦(𝑛) adalah banyaknya individu di

dalam populasi pada waktu 𝑛 (diskret).

Jika pada persamaan (4.12), kita misalkan 𝑥(𝑛) =ℎ𝑏

𝜇𝑦(𝑛), maka kita akan

memperoleh

𝜇

ℎ𝑏𝑥(𝑛 + 1) = 𝜇 [

𝜇

ℎ𝑏𝑥(𝑛)] − ℎ𝑏 [

𝜇

ℎ𝑏𝑥(𝑛)]

2

=𝜇2

ℎ𝑏𝑥(𝑛) −

𝜇2

ℎ𝑏𝑥2(𝑛)

𝑥(𝑛 + 1) = 𝜇𝑥(𝑛) − 𝜇𝑥2(𝑛)

𝑥(𝑛 + 1) = 𝜇𝑥(𝑛)[1 − 𝑥(𝑛)] = 𝑓(𝑥(𝑛)). (4.13)

Persamaan (4.13) adalah persamaan diferensi nonlinear sederhana orde satu, biasa

disebut persamaan logistik (diskret). Untuk menemukan titik kesetimbangan dari

(4.13), kita misalkan

𝑓(𝑥∗) = 𝜇𝑥∗(1 − 𝑥∗) = 𝑥∗

−𝜇𝑥∗ + 𝜇(𝑥∗)2 + 𝑥∗ = 0

𝑥∗(𝜇𝑥∗ + 1 − 𝜇) = 0

𝑥∗ = 0 ∨ 𝜇𝑥∗ + 1 − 𝜇 = 0

𝜇𝑥∗ = 𝜇 − 1


108

𝑥∗ =𝜇 − 1

𝜇.

Jadi, kita memperoleh dua titik kesetimbangan dari persamaan (4.13), yaitu 𝑥∗ =

0 dan 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇.

Sekarang kita akan menyelidiki kestabilan dari titik kesetimbangan 𝑥∗.

𝑓(𝑥) = 𝜇𝑥 − 𝜇𝑥2

𝑓′(𝑥) = 𝜇 − 2𝜇𝑥 (4.14)

𝑓′′(𝑥) = −2𝜇 (4.15)

𝑓′′′(𝑥) = 0

Untuk 𝑥∗ = 0

Kemudian, substitusikan titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0 ke dalam persamaan (4.14),

sehingga diperoleh

𝑓′(𝑥∗) = 𝑓′(0) = 𝜇

Selanjutnya kita akan membagi menjadi 3 kasus untuk melihat kestabilan dari titik

kesetimbangan 𝑥∗ = 0.

Kasus I: 𝜇 = 1

𝑓′(0) = 1

Kemudian, substitusikan titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0 ke dalam persamaan (4.15),

sehingga diperoleh

𝑓′′(0) = −2𝜇 = −2 ≠ 0.

Menurut Teorema 3.2 (i), jika 𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ = 0 tidak stabil.


109

Kasus II: 0 < 𝜇 < 1

|𝑓′(𝑥∗)| = |𝑓′(0)| = 𝜇 < 1

Menurut Teorema 3.1 (i), jika |𝑓′(𝑥∗)| < 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0

stabil asimtotik.

Kasus II: 𝜇 > 1

|𝑓′(𝑥∗)| = |𝑓′(0)| = 𝜇 > 1

Menurut Teorema 3.1 (ii), jika |𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗ = 0

tidak stabil.

Untuk 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇

Kemudian, substitusikan titik kesetimbangan 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 ke dalam persamaan

(4.14), sehingga diperoleh

𝑓′(𝑥∗) = 𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇) = 𝜇 − 2𝜇𝑥 = 𝜇 − 2𝜇 + 2 = −𝜇 + 2.

Selanjutnya, kita akan membagi menjadi 3 kasus untuk melihat kestabilan dari

titik kesetimbangan 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇.

Kasus I: 𝜇 = 1

𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇) = 1.

Kemudian, substitusikan titik kesetimbangan 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 ke dalam persamaan

(4.15), sehingga diperoleh

𝑓′′ (𝜇 − 1

𝜇) = −2𝜇 = −2 ≠ 0.


110

Menurut Teorema 3.2 (i), jika 𝑓′(𝑥∗) = 1, 𝑓′′(𝑥∗) ≠ 0, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 tidak stabil.

Kasus II: 0 < 𝜇 < 1

|𝑓′(𝑥∗)| = |𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇)| = |𝜇 − 2𝜇 (

𝜇 − 1

𝜇)| = |−𝜇 + 2| > 1

Menurut Teorema 3.1 (ii), jika |𝑓′(𝑥∗)| > 1, maka titik kesetimbangan 𝑥∗ =𝜇−1

𝜇

tidak stabil.

Kasus III: 1 < 𝜇 < 3

|𝑓′(𝑥∗)| = |𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇)| = |𝜇 − 2𝜇 (

𝜇 − 1

𝜇)| = |−𝜇 + 2| < 1

Menurut Teorema 3.1 (i), jika |𝑓′(𝑥∗)| < 1, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 stabil asimtotik.

Kasus IV: 𝜇 > 3

|𝑓′(𝑥∗)| = |𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇)| = |𝜇 − 2𝜇 (

𝜇 − 1

𝜇)| = |−𝜇 + 2| > 1

Menurut Teorema 3.1 (i), jika |𝑓′(𝑥∗)| < 1, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 tidak stabil.

Kasus V: 𝜇 = 3

𝑓′(𝑥∗) = 𝑓′ (𝜇 − 1

𝜇) = 𝜇 − 2𝜇 (

𝜇 − 1

𝜇) = −𝜇 + 2 = −1

𝑆𝑓(𝑥∗) = −𝑓′′′(𝑥∗) −3

2(𝑓′′(𝑥∗))

2

= 0 −3

2(−2𝜇)2 = −6𝜇2 = −54 < 0


111

Menurut Teorema 3.3 (i), jika 𝑆𝑓(𝑥∗) < 0, maka titik kesetimbangan

𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 stabil asimtotik.

Jadi, berdasarkan beberapa kasus diatas dapat dikatakan bahwa kestabilan dari

model pertumbuhan untuk satu populasi dipengaruhi oleh laju pertumbuhan dari

populasi itu sendiri.

Lebih lanjut dapat dilihat bahwa kedua titik kesetimbangan, yaitu 𝑥∗ = 0 dan

𝑥∗ =𝜇−1

𝜇 berhubungan dengan titik kesetimbangan pada persamaan (4.8), yaitu

𝑦∗ = 0 dan 𝑦∗ =𝑎

𝑏, di mana semua penyelesaiannya konvergen menuju populasi

kesetimbangan 𝑦∗ =𝑎

𝑏 jika 1 < 𝜇 ≤ 3 (0 < ℎ𝑎 ≤ 2, 𝑎 > 0). Dengan kata lain,

dalam jangka waktu yang lama, baik untuk waktu kontinu maupun diskret,

populasi akan mencapai kestabilannya pada saat populasi tersebut mencapai batas

maksimum, yaitu menuju ke populasi kesetimbangannya. Namun apabila

0 < 𝜇 < 1 (−1 < ℎ𝑎 < 0, 𝑎 < 0), maka pertumbuhan populasi lama kelamaan

akan menurun dan mendekati kepunahan (menuju populasi kesetimbangannya,

yaitu 𝑦∗ = 0).


112

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Persamaan diferensi adalah persamaan yang menyatakan hubungan

fungsional antara satu variabel bebas dan satu variabel terikat, serta melibatkan

perbedaan nilai berturut-turut dari fungsi variabel diskret. Persamaan diferensi

biasanya digunakan untuk memodelkan dinamika dari fenomena tertentu yang

memuat waktu diskret. Bentuk umum dari persamaan diferensi tingkat satu adalah

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑓(𝑥(𝑛)).

Sebuah fungsi disebut penyelesaian dari suatu persamaan diferensi apabila

fungsi tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan diferensi dapat membuat

persamaan diferensi tersebut menjadi pernyataan yang benar di setiap titik.

Persamaan diferensi linear tingkat satu terbagi menjadi dua, yaitu

1. Persamaan diferensi linear tingkat satu homogen yang memiliki bentuk

umum, yaitu

𝑥(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛0) = 𝑥0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0,

dan penyelesaiannya diperoleh

𝑥(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑥0.

2. Persamaan diferensi linear tingkat satu nonhomogen yang memiliki bentuk

umum, yaitu

𝑦(𝑛 + 1) = 𝑎(𝑛)𝑦(𝑛) + 𝑔(𝑛), 𝑦(𝑛0) = 𝑦0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ≥ 0,

dan penyelesaiannya diperoleh


113

𝑦(𝑛) = (∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑛0

) 𝑦0 + ∑ ( ∏ 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=𝑟+1

) 𝑔(𝑟)

𝑛−1

𝑟=𝑛0

.

Untuk menentukan kestabilan persamaan diferensi tingkat satu, terlebih

dahulu kita perlu mencari titik kesetimbangan dari persamaan diferensi tersebut.

Untuk mencari titik kesetimbangan dari suatu persamaan diferensi tingkat satu,

kita perlu mencari suatu titik 𝑥∗ sedemikian sehingga

𝑓(𝑥∗) = 𝑥∗.

Kemudian, setelah diperoleh titik kesetimbangan 𝑥∗, selanjutnya kita akan

menganalisis kestabilan persamaan diferensi tingkat satu di dekat titik

kesetimbangan 𝑥∗. Kestabilan dari suatu persamaan diferensi tingkat satu dapat

dikatakan stabil, stabil asimtotik, ataupun tidak stabil.

Salah satu penggunaan persamaan diferensi tingkat satu adalah untuk

menyelesaikan secara numerik persamaan diferensial yang sulit diselesaikan.

Persamaan diferensi tingkat satu mencoba menyelesaikan persamaan diferensial

tersebut dengan menggunakan pendekatan numerik, yaitu dengan metode Euler

dan metode skema tak standar, dan mengubah variabel waktu pada persamaan

diferensial yang kontinu menjadi variabel waktu yang diskret.

Dalam tugas akhir ini juga dibahas mengenai penerapan kestabilan persamaan

diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi dan biologi. Penerapan kestabilan

persamaan diferensi tingkat satu dalam bidang ekonomi, yaitu mengenai analisis

kestabilan pasar, dan dalam bidang biologi, yaitu mengenai analisis kestabilan

model pertumbuhan satu populasi. Pada bidang ekonomi, kestabilan pasar sangat

dipengaruhi oleh kepekaan produsen dan konsumen terhadap harga. Pasar dapat

dikatakan stabil apabila konsumen lebih peka terhadap harga daripada produsen

(dalam hal ini merujuk pada jumlah permintaan lebih besar daripada jumlah

penawaran) atau bahkan kepekaan konsumen dan produsen terhadap harga sama

(dalam hal ini merujuk pada jumlah permintaan dan jumlah penawaran sama).

Sebaliknya, pasar dapat dikatakan tidak stabil apabila produsen lebih peka

terhadap harga daripada konsumen (dalam hal ini merujuk pada jumlah

penawaran lebih besar daripada jumlah permintaan).


114

Pada bidang biologi, kestabilan dari model pertumbuhan untuk satu populasi

dipengaruhi oleh laju pertumbuhan dari populasi itu sendiri. Apabila laju

pertumbuhan populasi lebih besar dari satu dan kurang dari sama dengan 3 (1 <

𝜇 ≤ 3), maka pertumbuhan populasi akan mencapai batas maksimum, yaitu

menuju populasi kesetimbangannya (𝑦∗ =𝑎

𝑏), sehingga dalam kasus ini

pertumbuhan populasi akan stabil. Namun apabila laju pertumbuhan populasi

kurang dari 1 (𝜇 < 1), maka pertumbuhan populasi lama kelamaan akan menurun

dan mendekati kepunahan, yaitu menuju populasi kesetimbangannya, yaitu 𝑦∗ =

0.

B. Saran

Berikut saran bagi pembaca yang ingin mengembangkan skripsi ini:

1. Persamaan diferensi yang dibahas tidak hanya untuk tingkat satu, bisa juga

tingkat dua, atau bahkan tingkat tinggi.

2. Pembahasan mengenai persamaan diferensi tidak hanya mengenai teori

kestabilan, bisa juga mengenai teori asimtotik, teori osilasi, atau bahkan

mengenai teori kontrol.

3. Penerapan persamaan diferensi yang dibahas tidak hanya di bidang ekonomi

dan biologi saja, bisa juga di bidang farmakokinetik atau psikologi.

4. Jika ingin membahas mengenai penerapan di bidang ekonomi yaitu analisis

kestabilan pasar, mungkin bisa menambahkan faktor-faktor yang berpengaruh

dalam penentuan harga pasar, seperti selera, ekspektasi, dan teknologi.

5. Untuk penerapan di bidang biologi, yaitu mengenai analisis kestabilan model

pertumbuhan satu populasi, juga dapat dikembangkan lebih lanjut menjadi

model pertumbuhan dua populasi (model mangsa-pemangsa), atau model

pertumbuhan tiga populasi.


115

DAFTAR PUSTAKA

Aprilia, Zefni. (2017). Kestabilan Pertumbuhan Populasi Ikan Lele dengan Model

Pertumbuhan Logistik Verhulst. Universitas Lampung.

Christanti, H. (2016). Model Verhulst Deterministik dan Stokastik. Universitas

Sanata Dharma.

Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (Third Edition). New

York: Springer.

Goldberg, S. (1958). Introduction to Difference Equations. New York: John Wiley

& Sons, Inc.

Haberman, R. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population

Dynamics, and Traffic Flow. Philadelphia: SIAM.

Hutagalung, B. N. (2012). Pengantar Ekonomi Mikro. Jakarta: Salemba Empat.

Kelley, Walter G. & Peterson, Allan C. (2001). Difference Equations. San Diego:

Academic Press.

Mickens, Ronald E. (2015). Difference Equations (Third Edition). New York:

CRC Press.

Pindyck, R. S. & Rubinfeld, D. L. (2007). Mikroekonomi (Edisi Keenam Jilid 1).

Jakarta: PT Indeks.


116

LAMPIRAN

Lampiran 1 Program untuk penyelesaian eksak persamaan diferensial dan

penyelesaian numerik (metode Euler) persamaan diferensi (Gambar 3.5)

clear

close all

clc

%%Plot Euler dengan h=0.1

X=zeros(1,11);

X(1)=1;

h=0.1;

t=0:0.1:1;

for n=1:10

X(n+1)=X(n)+0.7*h*(((X(n)).^2)+1);

end

plot(t,X,'r*')


hold on

X=zeros(1,6);

X(1)=1;

h=0.2;

t=0:0.2:1;

for n=1:5

X(n+1)=X(n)+0.7*h*(((X(n)).^2)+1);

end

plot(t,X,'b*')

%%Plot Eksak PD

hold on

X(1)=1;


117

t=0:0.001:1;

X=tan((0.7*t)+pi/4);

plot(t,X,'k')

xlabel('t')

ylabel('x(t)')

legend('Euler h=0.1','Euler h=0.2','Eksak')

Lampiran 2 Program untuk penyelesaian eksak persamaan diferensial dan

penyelesaian numerik (metode Euler dan metode skema tak standar) persamaan

diferensi (Gambar 3.11)

clear

close all

clc


y=zeros(1,21);

y(1)=1;

h=0.2;

t=0:0.05:1;

for n=1:20

y(n+1)=y(n)*(1-h*y(n));

end

plot(t,y,'r*')

%%Plot Nonstandar dengan h=0.2

hold on

y=zeros(1,21);

y(1)=1;

h=0.2;

t=0:0.05:1;

for n=1:20


118

y(n+1)=y(n)./(1+h*y(n));

end

plot(t,y,'b*')

% Plot Eksak

hold on

t=0:0.01:1;

y=1./(t+1);

plot(t,y,'k')

xlabel('n')

ylabel('y(n)')

title('Grafik (n, y(n))')

legend('metode Euler','metode skema tak

standar','Eksak')

Lampiran 3 Program untuk model eksponensial untuk 𝑎 > 0 (Gambar 4.7)

clc

clear

close all

a=0.5;

y0=500;

t=0:0.1:5;

y=y0.*exp(a*t);

plot(t,y,'k')

title('Grafik Model Eksponensial')

xlabel('t (tahun)')

ylabel('y (besarnya populasi)')


119

Lampiran 4 Program untuk model eksponensial untuk 𝑎 < 0 (Gambar 4.8)

clc

clear

close all

a=-0.5;

y0=500;

t=0:0.1:5;

y=y0.*exp(a*t);

plot(t,y,'k')

title('Grafik Model Eksponensial')

xlabel('t (tahun)')


Lampiran 5 Program untuk model logistik (Gambar 4.9)

a=0.8;

b=0.002;

y1=500;

t=0:0.1:5;

y=(a/b)./(1+(((a-(b*y1))/(b*y1))*exp((-a)*t)));

plot(t,y,'k')

title('Grafik Model Logistik')

xlabel('t (waktu)')


Lampiran 6 Program untuk model linear homogen untuk 𝜇 > 1 (Gambar 4.10)

clear all

close all

y=zeros(1,11);

y(1)=50;

mu=1.1;


120

t=0:1:10;

for n=1:10

y(n+1)=(mu^n)*y(n);

end

plot(t,y,'r*')

title('Grafik Model Linear Homogen')

xlabel('n (waktu)')

ylabel('y(n) (besarnya populasi)')

Lampiran 7 Program untuk model linear homogen untuk 𝜇 = 1 (Gambar 4.11)

clear all

close all

y=zeros(1,11);

y(1)=50;

mu=1;

t=0:1:10;

for n=1:10

y(n+1)=(mu^n)*y(n);

end

plot(t,y,'r*')


xlabel('n (waktu)')


Lampiran 8 Program untuk model linear homogen untuk 𝜇 < 1 (Gambar 4.12)

clear all

close all

y=zeros(1,11);

y(1)=50;


121

mu=0.5;

t=0:1:10;

for n=1:10

y(n+1)=(mu^n)*y(n);

end

plot(t,y,'r*')


xlabel('n (waktu)')



kestabilan persamaan diferensi tingkat satu dan...

Documents