Rasio

Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan

besaran dengan pembagian.

Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah

satu sisinya yang seletak memiliki panjang 20 cm dan 10 cm, kita dapat

membandingkan panjangnya dalam pengertian rasio, yaitu 20

10 atau 20 : 10.

Contoh:

Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika:

(a) Sudut pertama dan ketiga adalah sudut pelurus

(b) Sudut-sudut dari ketiga sudut dalam segitiga

Jawab:

Misal, sudut dijadikan 4x, 3x, dan 2x

a) 4x + 2x = 180, sehingga 6x = 180, dan didapat x = 30. Sehingga ukuran setiap

sudutnya berturut-turut adalah 120, 90, dan 60.

b) 4x + 3x + 2x = 180, sehingga 9x = 180, kemudian x = 20. Sehingga setiap

ukuran sudutnya adalah 80, 60, dan 40.

Perbandingan

Perbandingan adalah kesamaan yang menyatakan bahwa dua rasio sama.

Contoh:

Rasio 12 : 16 adalah sama dengan rasio 3 : 4, kita dapat menuliskan 12

16=

3

4, nah,

itu yang disebut perbandingan (proporsi), dapat juga kita tuliskan 12 : 16 = 3 : 4.

Prinsip-prinsip Proporsi

Prinsip 1:

Dalam sebuah proporsi, hasil kali dari mean sama dengan hasil kali dari ekstrem.

Maka, a : b = c : d, b 0 dan d 0, sehingga, ad = bc

Pembuktian:

Misal 12 : 16 = 3 : 4

12.4 = 16. 3

48 = 48 >>> terbukti

Prinsip 2:

Jika hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, maka

yang satu berasal dari pasangan suku tengah dan yang lainnya dari pasangan

ujung-ujungnya.

(misal, 3x : 5y, maka dapat berasal dari x : y = 5 : 3 atau y : x = 3 : 5 atau 3 : y = 5

: x atau 5 : x = 3 : y)

Metode atau cara mengubah suatu proporsi menjadi suatu proporsi baru

Prinsip 3: metode inversi (membalik), suatu proporsi dapat diubah menjadi

proporsi baru dengan membalik masing-masing rasio. (misal, jika 1

𝑥=

4

5, maka

𝑥

1=

5

4)

Prinsip 4: metode alternasi (mengganti silang), suatu proporsi dapat diubah

menjadi proporsi baru dengan cara mengganti bersilangan unsur tengahnya atau

unsur ujung-ujungnya.

(misal, jika 𝑥

3=

𝑦

2, maka

𝑥

𝑦=

3

2 atau

2

3=

𝑦

𝑥)

Prinsip 5: metode adisi (penambahan), suatu proporsi dapat diubah menjadi

proporsi baru dengan cara menambahkan suku masing-masing rasio pada suku

pertama dan suku ketiga. (misal, 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, kemudian

𝑎:𝑏

𝑏=

𝑐:𝑑

𝑑, jika

𝑥;2

2=

9

1,

kemudian 𝑥

2=

10

1)

Prinsip 6: metode substraksi (pengurangan), suatu proporsi dapat diubah menjadi

proporsi baru dengan cara mengurangi suku pertama dan suku ketiga dengan

masing-masing rasionya. (misal, jika, 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑,

𝑎;𝑏

𝑏=

𝑐;𝑑

𝑑 jika

𝑥:3

3=

9

1, kemudian

𝑥

3=

8

1)

Prinsip 7: jika sembarang tiga suku dari suatu proporsi sama dengan tiga suku

proporsi lainnya, maka suku sisanya juga sama.

(misal, jika 𝑥

𝑦=

3

2 dan

𝑥

5=

3

2, maka y = 5)

Prinsip 8: dalam suatu deretan rasio yang sama, rasio jumlah pembilangnya

terhadap jumlah penyebutnya yang bersesuaian sama dengan rasio salah satu

pembilang dan penyebutnya.

(misal, jika 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑=

𝑒

𝑓, maka =

𝑎:𝑐:𝑒

𝑏:𝑑:𝑓=

𝑐

𝑑. Jika

𝑥;𝑦

4=

𝑦;3

5=

3

2, maka

𝑥;𝑦:𝑦;3:3

4:5:2=

3

2

atau 𝑥

11=

3

2)

Contoh:

Ubahlah proporsi berikut menjadi proporsi yang baru!

(a)15

𝑥=

3

4

(b) 𝑥;6

6=

5

3

(c) 𝑥:8

8=

4

3

(d)5

2=

15

𝑥

Jawab:

Prinsip 3: 𝑥

15=

4

3

Prinsip 5: 𝑥

6=

8

3

Prinsip 6: 𝑥

8=

1

3

Prinsip 4: 𝑥

2=

15

5, maka

𝑥

2=

3

1

Mean dan Ekstrem

Mean dalam proporsi adalah suku-suku tengah, yaitu suku kedua dan ketiga

Sedangkan ekstrem dari sebuah proporsi adalah suku yang terletak di luar.

Contohnya a : b = c : d, mean dari proporsi tersebut adalah b dan c, sedangkan

ekstremnya yaitu a dan d.

𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑐 ∶ 𝑑

Jika dua mean dalam sebuah proporsi sama, salah satu dari mean adalah mean

proporsional antara suku pertama dan keempat. Jadi, 9 : 3 = 3 : 1, 3 adalah mean

proporsional antara 9 dan 1.

Ekstrem

Mean

Contoh 1:

Carilah mean proporsional dari (a) 5 dan 20; (b) 1

2=

8

9

Jawab:

5 : x = x : 20, 𝑥2 = 100, jadi x = 10

1

2. 𝑥 = 𝑥.

8

9, sehingga 𝑥2 =

4

9, 𝑥 =

2

3

Contoh 2:

Temukan suku ke empat dari proporsi untuk (a) 2, 4, 6; (b) 4, 2, 6; (c) 1

2, 3, 4; (d) b,

d, c

Jawab:

(a) 2 : 4 = 6 : x

2x = 24

x = 12

(b) 4 : 2 = 6 : x

4x = 12

x = 3

(c) 1

2. 3 = 4 ∶ 𝑥, sehingga

1

2𝑥 = 12, dan x = 24

(d) 𝑏 ∶ 𝑑 = 𝑐 ∶ 𝑥 maka bx = cd, dan x = 𝑐𝑑

𝑏

Sifat-Sifat Perbandingan

Sifat 1

Jika a : b = c : d, maka ad = bc

Sifat 2

Jika ad = bc, maka a : b = c : d

Dari sifat 1 yaitu bahwa a : b = c : d maka ad = bc, bentuk a : b = c : d dapat

dinyatakan sebagai bentuk pecahan, yaitu 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, sehingga bentuk umumnya

seperti berikut ini.

Jika 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, maka ad = bc

Contoh:

Hitunglah nilai x berikut.

a. 2 : x = 8 : 20

b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5

c. 3/x = 6/24

Penyelesaian:

a. 2 : x = 8 : 20

Dengan menggunakan sifat:

a : b = c : d, maka

a × d = b × c, kita peroleh

2 × 20 = 8x

40 = 8x

40/8 = x

5 = x

b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5

Dengan menggunakan sifat a : b = c :

d,

maka a × d = b × c kita peroleh:

5(3x + 1) = 3(4x + 2)

15x + 5 = 12x + 6

15x – 12x = 6 – 5

3x = 1

x = 1/3

c. 3/x = 6/24

6x = 3 × 24

6x = 72

x = 72/6

x = 12

Segi Banyak Sebangun

Dua segibanyak (polygon) dikatakan sebangun jika ada korespondensi satu-satu

antar titik-titik sudut kedua segibanyak tersebut sedemikian hingga berlaku:

1. Sudut-sudut yang bersesuaian (berkorespondensi) sama besar, dan

2. Semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (berkorespondensi)

sebanding/senilai.

Kesebangunan dilambangkan dengan simbol “~”.

Contoh 1:

Dua obyek persegi-empat, yaitu persegi-empat ABCD dan PQRS, perhatikan

bahwa kedua obyek tersebut sebangun, sebab:

1. Sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama, yaitu masing-masing

bersudut 90

B A

C D

P Q

S R

6 6

8

8

4 3 3

4

2. Sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding, yaitu:

AB : PQ = 4 : 8 = 1 : 2

BC : QR = 3 : 6 = 1: 2

CD : RS = 4 : 8 = 1: 2

DA : SP = 3 : 6 = 1: 2

Karena memenuhi kedua syarat di atas, maka kedua obyek tersebut

sebangun.

Contoh 2:

Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah

sebangun, tentukan besar R dan S!

Penyelesaian :

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang

bersesuaian sama besar sehingga P = 125° dan Q = 80°

1. Amati layang-layang PQRS

Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar

sehingga R = P = 125°

2. Oleh karena sudut-sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka:

P + Q + R + S = 360°

125° + 80° + 125° + S = 360°

S = 360° – 330° = 30°

Segitiga sebangun

Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

dan semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding/senilai.

Teorema:

1. Dua segitiga sebangun jika dua sudut yang berkorespondensi ukurannya sama

(sudut-sudut)

2. Dua segitiga sebangun jika diketahui ukuran-ukuran sisi-sisi yang

berkorespondensi sebanding (sisi-sisi-sisi)

3. Dua segitiga sebangun jika diketahui dua pasang sisi yang berkorespondensi

sebanding dan pasangan sudut yang diapit kedua sisi yang berkorespondensi

tersebut kongruen (sisi-sudut-sisi)

Contoh 1:

Perhatikan gambar berikut, dua segitiga sebangun , yaitu ∆ ABC ~ ∆ PQR, carilah

panjang sisi BC pada segitiga ABC dan panjang sisi RP pada segitiga PQR!

Jawab:

Karena kedua segitiga sebangun, maka ketiga sisinya sebanding, yaitu:

𝐴𝐵

𝑃𝑄=

𝐵𝐶

𝑄𝑅=

𝐶𝐴

𝑅𝑃=

1

2

Atau

6

12=

𝐵𝐶

10=

4

𝑅𝑃=

1

2

Jadi panjang sisi BC = 5 dan panjang sisi RP = 8.

1. Garis sejajar pada segitiga

Jika sebuah segitiga dilukis garis yang sejajar pada salah satu sisinya maka

terjadi dua segitiga yang sebangun.

2. Garis tinggi pada segitiga

Jika sebuah segitiga siku-siku dilukis garis tinggi pada sisi miringnya maka terjadi

tiga segitiga yang sebangun.

Contoh 2:

Dalam sebuah segitiga PQR, S adalah titik tengah dari 𝑅𝑄 dan T adalah titik

tengah dari 𝑃𝑄.

RP = 7x + 5, ST = 4x – 2, SR = 2x + 1, PQ = 9x + 1

Carilah panjang ST, RP, SR, RQ, PQ, dan TQ.

Jawab:

Solusi: ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga sejajar

dengan sisi yang ketiga dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi yang

ketiga. (teorema titik tengah)

4x – 2 = 1

2 (7x + 5)

2 (4x - 2) = 7x + 5

8x – 4 = 7x + 5

x = 9

𝑆𝑇 = 4 9 − 2 = 36 − 2 = 34

𝑅𝑃 = 7 9 + 5 = 63 + 5 = 68

𝑆𝑅 = 2 9 + 1 = 18 + 1 = 19

𝑅𝑄 = 2𝑆𝑅 = 2 19 = 38

𝑃𝑄 = 9 9 + 1 = 81 + 1 = 82

𝑇𝑄 =1

2𝑃𝑄 =

1

282 = 41

Bagian-Bagian Sebanding Segitiga

Teorema kesebandingan:

Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong kedua sisi

yang lain pada dua titik berbeda, maka garis itu membagi sisi-sisi terpotong itu

menjadi bagian-bagian yang panjangnya sebanding.

Bagian-Bagian Sebanding Segitiga Sebangun

Contoh 1:

Apakah pasangan segitiga dibawah ini sebangun? Mengapa demikian?

Jawab:

Akan diselidiki apakah sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga ABC dan segitiga

DEF sebanding. 𝐴𝐵

𝐷𝐸=

12

4= 3

𝐵𝐶

𝐸𝐹=

5

3 →

𝐴𝐶

𝐷𝐹=

13

5

Ternyata sisi-sisi yang bersesuaian tidak sebanding, jadi gambar tersebut

merupakan pasangan bangun datar yang tidak sebangun.

Contoh 2:

Di antara gambar-gambar berikut manakah yang sebangun?

Jawab:

Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang

diapitnya, gunakan syarat kesebangunan yaitu sisi-sudut-sisi.

Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar yaitu 50°.

Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut.

Untuk segitiga (a) dan (b) : 3

10= 0,3 𝑑𝑎𝑛

6

13= 0,46

Untuk segitiga (a) dan (c) : 3

5=

6

10= 0,6

Untuk segitiga (b) dan (c) : 10

5= 2 𝑑𝑎𝑛

13

10= 1,3

Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)

Keliling dan Luas Segitiga Sebangun

Teorema 1:

Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya

bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.

Teorema 2:

Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding

seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

Teorema 3:

Perbandingan luas dua segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat

dari perbandingan sepasang sisi seletak.

Teorema 4:

i. Perbandingan keliling dari dua segi banyak yang serupa adalah sama

dengan perbandingan panjang dari sisi yang sepasang.

ii. Perbandingan luas dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan

kuadrat perbandingan panjang dari yang sepasang.

Contoh:

Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF, sisi-sisi yang bersesuaian memiliki

rasio 3 : 2. Carilah luas dan keliling dari ∆ DEF (dalam cm)!

Jawab:

a. 𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹

𝐾 ∆𝐴𝐵𝐶=

3

2

𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹

𝐾 ∆𝐴𝐵𝐶=

𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹

32=

3

2

2𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹 = 96

𝐾 ∆𝐷𝐸𝐹 = 48 𝑐𝑚

Atau dengan cara mencari panjang masing-masing sisi yang belum diketahui dari

∆DEF menggunakan perbandingan.

𝐸𝐹

𝐵𝐶=

3

2

𝐸𝐹

12=

3

2

𝐸𝐹 =3.12

2

𝐸𝐹 = 18 𝑐𝑚

𝐷𝐹

𝐴𝐶=

3

2

𝐷𝐹

14=

3

2

𝐷𝐹 =14.3

2

𝐷𝐹 = 21 𝑐𝑚

𝑚

𝑚′ =3

2

𝑚

4=

3

2

𝑚 =4.3

2

𝑚 = 6 𝑐𝑚

K ∆DEF = DE + EF + DF

= 9 cm + 18 cm + 21 cm

= 48 cm

b. 𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐷𝐸𝐹 =1

2𝑎𝑡

=1

2. 21 𝑐𝑚. 6 𝑐𝑚

=126

2= 63 𝑐𝑚2

E:\GEOMETRI nw\geometri\SimilarRightTriangles.cdf

Gracias