kalkulus_2

94584578.doc

KALKULUS 2 MODUL-8Bab 11. Integrasi Luas Bidang Datar b 1. f(x) dx adalah Luas bidang datar yang dibatasi a y oleh y = f(x), y = 0, x = a, dan x = b. y = f(x) b Luas = f(x) dx a a dx b sumbu x

d 2. f(y) dy adalah Luas bidang datar yang dibatasi c y d dy c sumbu x c x = f(y) d Luas = f(y) dy oleh x = f(y), x = 0, y = c, dan y = d.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

SUMARDI H.S KALKULUS II

94584578.doc

b 3. (y1 y2) dx adalah Luas bidang datar yang dibatasi a y y1 = f1(x) y2 = f2(x) sumbu x a dx b b Luas = (y1 y2) dx a oleh y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b.

d 4. (f1 f2) dy adalah Luas bidang datar yang dibatasi c y d dy c sumbu x c oleh x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d. x2 = f2(y) x1 = f1(y) d Luas = (x1 x2) dy



94584578.doc

5. Bentu lain dari 3). Bila y1 dan y2 berpotongan adalahLuas bidang datar yang dibatasi oleh y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b.

y

y1 = f1(x)

y2 = f2(x) c

Luas = b (y2y1)dx c

= (y1y2)dx + a a dx c dx b sumbu x

6. Bentu lain dari 4). Bila x1 dan x2 berpotongan adalahLuas bidang datar yang dibatasi oleh x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d.

y d dy e dy c

x2 = f2(y) e Luas = (x1x2)dy + c e d (x2x1)dy

x1 = f1(y) sumbu x



94584578.doc

Contoh-Contoh Soal-Jawab: 1). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola y = 4 x x2 ! Jawab: Parabola y = 4 x x2, berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0 4 x x2 = 0 x1 = 0, x2 = 4. Karena y=-2, maka parabola membuka ke bawah. y y=4xx2 40

40

Luas = f(x) dx = (4xx2) dx = (2x2- x3)|40

O

dx

4

x

= 2(16)- (64) = 32/3

2). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola x = 8 + 2 y - y2 , dari y = -1 sampai dengan y = 3 ! Jawab: Karena d2x/dy2 = x=-2, maka parabola membuka ke kiri. y 3 dy x -1 = 24 - ( - 20/3 ) = 92/3 3-1

3-1

Luas = f(y) dy = (8 + 2 y - y2) dy = (8y + y2 - y3)|3-1

= {8(3)+9-(27)}-{-8+1+1/3} =



94584578.doc

3). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y1 = 6 x x2 (P1) dan y2 = x2 2x (P2). Jawab: P1 : y = -2 (ymax), P2 : y = 2 (ymin). Perpotongan P1 dan P2 : 6 x x2 = x2 2x 2x2 8x = 0 x1 = 0, x2 = 4 y y=6xx2 42 0

40

Luas = (y1-y2) dx = (8xx ) dx y =x22x O dx 4 x = (4x2- x3)|40

= 4(16)- (64) = 64/3

4). Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola (P) x = 3 y2 dan garis g: x = y + 1. Jawab: Parabola P : d2x/dy2 = x = -2 (Jadi xmax). Perpotongan P dan g : 3 y2 = y + 1 y2 + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0 y1 = -2, y2 = 1 y 1 x2=y+1 x dy -2 = - {( - 7/6 ) ( 10/3)} = 27/6 x1 = 3 y2 1 -2 1 -2-2

Luas = (x1-x2)dy = - (y2+y-2) dy = - ( y3 + y2 2y) |1 =-{(1/3+ 1/22)-(.(-8)+2+4)}=



94584578.doc

Soal-Soal : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 7x + 6, sumbu x, x = 2 dan x = 6. (jwb.= 56/3) 2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 - 6x2 + 8x dan sumbu x. (jwb.= 8) 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y2 dan sumbu x. (jwb.= 32/3) 4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x dan garis y = 2x 4. (jwb.= 9) 5. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva (tertutup) y2 = x2 x4. (jwb.= 4/3)

6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh perpotongan dua lingkaran: L1: x2 + y2 = 4 dan L2: x2 + y2 = 4x. (jwb.=8/3 - 23) 7. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh: a). y = x2, y = 0, x = 2, x = 5 c). y =4x-x2, y = 0, x = 1, x = 3 e). x =3y2-9, x = 0, y = 0, y = 1 g). y =9-x2, y = x + 3 i). y =x2-4, y = 8 - 2x2 k). y =ex, y = e-x, x = 0, x = 2 b). y = x2, y = 0, x = 1, x = 3 d). x = 1 + y2, x = 10 f). x = y2+4y, x = 0 h). y = 2-x2, y=-x j). y = x4 - 4x2, y = 4x2 l). xy = 12, y=0, x=1, x = e2

Jawaban: a). 39, b). 20, c). 22/3, d). 36, e). 8, f). 32/3, g). 125/6, h). 9/2, i). 32, j). 5122/15, k). (e2 +1/e2 2), l). 24



94584578.doc

Bab 12. Integrasi Volume Benda Putaran Jika suatu bidang datar diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatu benda yang alas dan tutupnya akan berupa sebuah lingkaran.

Untuk menghitung volume benda tersebut akan didekati oleh jumlahan volume tabung-tabung kecil berupa lempengan-lempengan. Integrasi Volume Benda Putaran adalah jumlahan volume lempeng-lempeng kecil berupa tabung pendek, yang volumenya adalah luas alas kali tinggi ( r2 t ), r = jari-jari alas, t = tinggi. t V = r2 t

Misal suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, seperti di bawah ini. Maka volume (V) dari benda yang terjadi adalah

y=f(x) y V = y x a a x b x2

b

Contoh-Contoh Soal-Jawab : 1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x, sumbu x dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x satu kali.2

Jawab:

V = y2 dx



94584578.doc

y

y2=8x

0

2

= 8 x dx = 8 ( x2)|2 2 dx x0 0

= 8 ( . 4 ) = 16

2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x, sumbu x dan x = 2 diputar mengelilingi garis x = 2 satu kali. Jawab: y 4 dy 2 x-4

Perpotongan antara y2 = 8 x dan x = 2 diperoleh y2=16 y2=8x y1 = - 4, y2 = 44

V = (2-x)2 dy =4

= 2 (2-y2)2 dy -4 x=20 8

= .= 256 /15



94584578.doc

Soal-Soal (Buktikan): 1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu y. ( Jwb: 128 /5 ) 2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y = 4 x x2 dan x = 2 diputar mengelilingi garis y = 6. ( Jwb: 1408 /15 ) 3). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y = x2 - 3 x + 6 dan garis x + y = 3 diputar mengelilingi (a). garis x = 3, (b). garis y = 0. ( Jwb: (a). 256 /3, (b). 1792 /15 ) 4). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui: a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-x c). y=4x2, x=0, y=16; sb-y e). y2=x3, y=0, x=2; sb-x b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-x d). y=4x2, x=0, y=16; y=16 f). y=x3, x=2, y=0; x=2

(Jwb: a). 2500 , b). 256 /3, c). 32 , d). 4096 /15, e). 4 , f). 16/5) 5). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui: a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-y c). y=4x2, x=0, y=16; sb-x e). y=x2, y = 4x-x2; sb-x b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-y d). y=x3, x=0, y=8;x=2 f). y=x2, y = 4x-x2; y=6

(Jwb: a). 625 , b). 128 3, c). 2048 /5, d). 144 /5, e). 32 /3, f). 64/3)



kalkulus_2

Documents