kalkulus ii

Click here to load reader

Post on 14-Oct-2015

193 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • i

    KATA PENGANTAR

    Segala puji hanya milik Allah SWT, yang telah memberikan kenikmatan

    kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan buku ajar ini. Buku ajar

    ini digunakan oleh penulis sebagai bahan mengajar mata kuliah Kalkulus II. Materi

    yang terdapat pada buku ajar ini ditujukan bagi mahasiswa S1 Jurusan Teknik Elektro,

    Teknik Informatika, dan Teknik Industri yang sedang mengikuti kuliah kalkulus II pada

    Program Perkuliahan Dasar Umum di STT Telkom.

    Buku ajar ini terdiri dari lima bab, yaitu : Persamaan Diferensial Biasa, Fungsi

    Dua Peubah, Fungsi Vektor, Integral Lipat, serta Integral Garis dan Integral Permukaan.

    Semua materi tersebut merupakan bahan kuliah yang sesuai dengan kurikulum silabus

    yang berlaku di STT Telkom.

    Dalam kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang

    setulus-tulusnya kepada berbagai pihak atas segala bantuan dan dukungannya

    sehingga penulis dapat menyelesaikannya.

    Mudah-mudahan buku ajar kuliah ini dapat memberikan manfaat bagi para

    mahasiswa yang ingin mempelajari materi kuliah terkait. Akhirnya, penulis mohon

    maaf jika dalam tulisan ini masih banyak kekurangan, sumbangan ide dan kritik yang

    membangun untuk perbaikan buku ajar ini sangat penulis harapkan.

    Bandung, Juni 2001

    Penulis,

  • ii

    DAFTAR ISI

    KATA PENGANTAR . i

    DAFTAR ISI .. ii

    BAB I Persamaan Diferensial Biasa .. . 1

    1.1 Persamaan Diferensial Orde satu ... . 1

    1.2 Trayektori Ortogonal 3

    1.3 Persamaan Diferensial Orde Dua 5

    1.3.1 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen .... 5

    1.3.2 Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen . 6

    BAB II Fungsi Dua Peubah .. 10

    2.1 Bentuk Permukaan di Ruang ... 10

    2.2 Domain dan Kurva Ketinggian Fungsi Dua Peubah .. 13

    2.3 Turunan Parsial 15

    2.4 Vektor Gradien,Turunan Berarah dan Bidang Singgung . 17

    2.5 Bidang Singgung . 18

    2.6 Nilai Ekstrim . . 19

    BAB III Fungsi Vektor .. .. 22

    3.1 Daerah Definisi dan Grafik 22

    3.2 Limit, kekontinuan dan Turunan Parsial ... 24

    3.3 Kinematika Pertikel . 24

    3.4 Kelengkungan . 25

    BAB IV Integral Lipat . 28

    4.1 Integral Lipat Dua . 28

    4.1.1 Integral Lipat Dua pada Koordinat Kartesius .. 29

    4.1.2 Integral Lipat Dua pada Koordinat kutub (Polar) . 32

    4.2 Integral Lipat Tiga ... 34

    4.2.1 Integral Lipat Tiga dengan Koordinat Kartesius . 34

    4.2.2 Integral Lipat Tiga dengan Koordinat Tabung dan Bola .... 35

    BAB V Integral Garis dan Integral Permukaan ... 39

  • iii

    5.1 Integral Garis 39

    5.2 Integral Garis Bebas Lintasan .. 42

    5.3 Teorema Green ... 44

    5.4 Integral Permukaan .. 45

    5.5 Teorema Divergensi dan Sokes ... 47

    DAFTAR PUSTAKA .. .50

  • 1 KALKULUS II

    ADIWIJAYA SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

    BAB I

    PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

    Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa

    turunan dari peubah tak bebasnya. Jika persamaan diferensial tersebut mengandung peubah tak bebas yang hanya bergantung pada satu peubah bebasnya maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan persamaan diferensial parsial. Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut. Contoh Persamaan Diferensial Biasa :

    1. 0sin2 =+ xdxdy , persamaan diferensial orde satu dimana y sebagai peubah tak bebas dan x

    merupakan peubah bebas.

    2. 01dtdr2

    dtrd2

    2

    =++ , persamaan diferensial orde dua dimana r sebagai peubah tak bebas dan

    t merupakan peubah bebas. Notasi persamaan diferensial bisa dalam beberapa bentuk, antara lain notasi pada contoh kedua, selain diatas dapat pula ditulis sebagai berikut : r + 2r +1 = 0 atau rtt + 2rt + 1 = 0 Persamaan diferensial dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear. Definisi solusi suatu persamaan diferensial : Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x. Suatu fungsi f(x) disubstitusikan untuk y dalam persamaan diferensial, persamaan yang dihasilkan merupakan suatu kesamaan untuk setiap x dalam suatu selang, maka f(x) dinamakan solusi persamaan diferensial tersebut. Contoh :

    Diketahui persamaan diferensial y + 2 sinx = 0 f(x) = 2 cos x + C merupakan solusi persamaan diferensial diatas, dimana C adalah konstanta yang bergantung pada syarat awal persamaan diferensial tersebut.

    1.1 Persamaan Diferensial Orde Satu Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah:

    )()(

    ygxf

    dxdy

    =

    Beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, antara lain : a. Peubah Terpisah Bentuk umum :

    )()(

    ygxf

    dxdy

    = atau )()(

    xfyg

    dxdy

    =

    Cara penyelesaian dengan integral biasa dari kedua ruas di bawah ini :

  • 2 KALKULUS II

    ADIWIJAYA SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

    = dxxfdyyg )()( Contoh :

    Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial x

    ydxdy

    +=

    1

    Penyelesaian :

    )1()1ln(ln

    11

    xCyCxy

    xdx

    ydy

    xy

    dxdy

    +=

    ++=

    +=

    +=

    b. Faktor Integrasi

    Bentuk umum merupakan persamaan diferensial linear, yaitu : y + p(x) y = q(x)

    Solusi persamaan diferensial diatas adalah :

    Cdxxqxuxu

    y += )()()(1 dimana = dxxpexu )()( Bukti :

    Kalikan persamaan diferensial (*) dengan u(x) sehingga menjadi : u(x) y + u(x) p(x) y = u(x) q(x) u(x) y + u(x) y - [ u(x) y - u(x) p(x) y ] = u(x) q(x) Ambil u(x) y - u(x) p(x) y = 0 (**) Sehingga u(x) y + u(x) y = u(x) q(x) [ u(x) y ] = u(x) q(x) Cdxxqxu

    xuy += )()()(1

    Dari (**) kita mempunyai u(x) y - u(x) p(x) y = 0 Dengan metode peubah terpisah diperoleh : = dxxpexu )()(

    Contoh :

    Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial 21xx

    ydxdy

    =+

    Penyelesaian :

    p(x) = 1/x u(x) = xdxx

    = 1exp )ln(111 2 Cxx

    dxx

    xx

    y +== f(x, y) adalah fungsi homogen jika f(kx, ky) = kn f(x, y), untuk k skalar riil dan n merupakan orde dari fungsi tersebut.

    Beberapa persamaan diferensial orde satu tak linear yang dapat ditulis ),(T),(S

    yxyx

    dxdy

    = , dimana S,

    T merupakan fungsi homogen berderajat sama maka solusi persamaan diferensial dapat dicari dengan menggunakan metode substitusi sehingga menjadi bentuk persamaan diferensial

  • 3 KALKULUS II

    ADIWIJAYA SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

    dengan peubah terpisah. Misal, kita dapat mensubstitusi peubah tak bebas y dengan ux, yaitu : y = ux dimana u = u(x), sehingga y = ux + u. Contoh :

    Tentukan Solusi umum dari persamaan diferensial x

    yxdxdy +

    =

    Penyelesaian : Misal y = ux, dimana u = u(x)

    Oleh karena itu y = u x + u Dengan mensubstitusi pada persamaan diferensial di atas ke persamaan diferensial, di peroleh :

    xuxxuxu +=+'

    uuxu +=+ 1' Cxu

    xu +== ln1'

    Maka y = x lnx + cx 1.2 Trayektori Ortogonal

    Salah satu aplikasi dari persamaan diferensial orde satu adlaah menentukan trayektori ortogonal dari suatu fungsi persamaan. Trayektori ortogonal dari suatu keluarga kurva adalah keluarga kurva yang memotong tegak lurus keluarga kurva tersebut. Langkah-langkah menetikan trayektori ortogonal dari suatu keluarga kurva f(x,y)= C, sebagai berikut : Turunkan f(x,y) = C secara implisit terhadap x, Misal Df(x,y)

    Jika turunan pertama mengandung C (parameter) maka substitusikan C(x,y) dari persamaan awal.

    Trayektori Ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial berikut :

    ),(1

    yxDfdxdy

    = ,

    artinya solusi persamaan diferensial diatas merupakan trayektori ortogonal dari persamaan f(x,y)= C

    Contoh : Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva x2 + y2 = C Penyelesaian : Turunan implisit dari fungsi di atas adalah : 2x + 2y y = 0

    Sehingga Df(x,y) = yx

    Trayektori ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial :

    ),(1

    yxDfdxdy

    = xy

    dxdy

    =

    Trayektori ortogonalnya adalah y = Cx

  • 4 KALKULUS II

    ADIWIJAYA SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

    Latihan Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial orde satu berikut :

    1. 21 ydxdy

    +=

    2. 222 3

    xyxyx

    dxdy ++

    =

    3. xydxdy 62 =+

    4. 221cos

    yxy

    dxdy

    +=

    5. xexydxdyx 32 =

    6. 022

    =

    yx

    xy

    dxdy

    Tentukan solusi khusus dari persamaan diferensial orde satu berikut :

    7. 43 xydxdyx = ; y (1) = 4

    8. ( ) yedxdye xx ++1 ; y (0) = 1

    Tentukan trayektori ortogonal dari fungsi berikut : 9. xeCy 2= 10. Cyx = 22 11. 2xCy = 12. ( ) 222 Ccyx =+

  • 5 KALKULUS II

    ADIWIJAYA SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

    1.3 Persamaan Diferesial Orde Dua Bentuk umum persamaan diferensial orde dua :

    y + a y + b y = f(x) Jika f(x) = 0 maka p