BAB II

FUNGSI

2.2.7.3 Fungsi trigonometriA. Pengukuran sudut

Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas

y sisi ujung

x 0 sisi awal

Gambar 2.16

pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang terletak pada koordinat Kartesius (lihat Gambar 2.16). Biasanya verteks sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan cara diatas disebut sudut dalam posisi standar.

B. Sudut dalam satuan derajadSatuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari sumbu x positif dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka besarnya sudut yang diukur adalah 360o. Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran sudut-sudut 360o, 180o, 90o, -90o.

y y

360o 180o

x x 0 0

1

y y

90o

0 0 -90o

Gambar 2.17

Contoh 2.32Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350

Penyelesaian :

y y

360o

x -270o x 0 0 Gambar 2.18

C. Sudut dalam satuan radianPerhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan akan menghasilkan panjang busur tertentu pula (lihat Gambar 2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi yang memotong lingkaran adalah t/r radian.

y

r t x 0

2

(a)

y

2 r x

(b) Gambar 2.19

Selanjutnya perhatikan Gambar 2.19 b. Keliling lingkaran adalah 2r Berarti sudutnya (satu putaran) adalah 2 radian. Telah kita ketahui bahwa satu putaran sama dengan 360o. Jadi 2 radian = 360o. Selanjutnya didapat :

1 radian = = 57o 17’ 45’’ ( 2.37 )

t radian = ( 2.38 )

1o = radian ( 2.39 )

o = radian ( 2.40 )

Contoh 2.33 Ubah sudut 20o kedalam satuan radian !Penyelesaian :

20o = radian (lihat persamaan 2.40)

= radian.

Contoh 2.34 Ubah sudut /6 radian kedalam satuan derajad !Penyelesaian :

3

/6 = (lihat persamaan 2.38)

= 30o

Soal-soal1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian !

a. 30o b. 45o c. 60o d. 75o

2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad ! a. radian b. radian 45o c. radian d. radian

D. Fungsi trigonometri sudut lancipFungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 2.20 adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut dan adalah sudut-sudut lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 2.20 maka kita dapat menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 2.20, dalam hal ini sudut , maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi pembatas sudut . Begitu juga jika kita tinjau sudut maka a disebut juga sisi pembatas sudut .

c a

b Gambar 2.20

Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut : sin = ( 2.41a )

cos = ( 2.41b )

tan = ( 2.41c )

cot = ( 2.41d )

sec = ( 2.41e )

csc = ( 2.41f )

4

Dari persamaan 2.41a s/d 2.41b dapat dibuat hubungan sbb. : tan = ( 2.42a)

cot = ( 2.42b)

sec = ( 2.42c)

csc = ( 2.42d)

Masih tetap mengacu pada Gambar 2.20 dan teorema Pythagoras : c2 = a2 + b2 (bagi semua ruas dengan c2)

(subs. ke pers. 2.41a dan 2.41b)

Didapat :

sin2 + cos2 = 1 ( 2.43 )

Bagi persamaan 2.43 dengan cos2 didapat :

tan2 + 1 = sec2 ( 2.44 )

Jika persamaan 2.43 dibagi dengan sin2 didapat :

1 + cot2 = csc2 ( 2.45 )

Persamaan 2.42 s/d 2.53 disebut identitas trigonometri

Contoh 2.35Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika harga sin = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya !Penyelesaian : y

5 4

5

x 0 x = ?

Gambar 2.21

Dari trorema Pythagoras : 52 = x2 + x2 x = =3Didapat : cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = ¾ ; sec = 5/3 ; csc = 5/4

Soal-soal1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran

pertama, lengkapilah tabel berikut.

Sudut sin cos tan cot sec csc

2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran kedua, lengkapilah tabel berikut.

Sudut sin cos tan cot sec csc

E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30o, 45o dan 60o.Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o

dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.21. Misal terdapat sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta panjang sisi miring 1 satuan (Gambar 2.21a).

300 300 300

1

6

b

600 600 600

a a a (a) (b) Gambar 2.21

Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 2.21b). Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = ½. Untuk menghitung panjang sisi b kita gunakan teorema Pythagoras, yaitu : 12 = a2 + b2 b2 = 1 – a2 = b = =

Jadi :

Sudut sin cos tan cot sec csc

3002

600 2

Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai

450

1 b

450

a Gambar 2.22

sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku– siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama ( a = b ). Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa :

Sudut sin cos tan cot sec csc

450 1 1

Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut.

7

Sudut sin cos tan cot sec csc

00 0 1 0 1

900 1 0 0 1

F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudutUntuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan Gambar 2.22 berikut.

y P

L sin A cos B L sin A

L Q S L cos A L sin A sin B L cos A sin B A B x 0 R T

Gambar 2.22

sin(A+B) = = sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA ( 2.46 )

cos(A+B) = =

cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB ( 2.47 )

tan(A+B) = =

tan(A+B) =

8

tan(A+B) = ( 2.48 )

Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut tumpul seperti 900 + atau sudut tumpul lainnya.

Contoh 2.36 Tentukan harga sin 1350.Penyelesaian :Sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900

= (1)( ) + ( )(0) =

G. Grafik fungsi trigonometri

y

1 - x - 0 -1

Gambar 2.23 Grafik fungsi sinus

y

1 - - 0 3 x

-1

Gambar 2.24 Grafik fungsi cosinus

9

y y

1 - - 0 3 x

-1

Gambar 2.24 Grafik fungsi cosinus

-3/2 - -/2 0 /2 3/2 x

Gambar 2.25 Grafik fungsi tangent

y

-3/2 - -/2 0 /2 3/2 x

Gambar 2.26 Grafik fungsi cotangent

y

10

1 -3/2 - -/2 0 /2 3/2 x

-1

Gambar 2.27 Grafik fungsi secant

y

2 -3/2 - -/2 0 /2 3/2 2 1 x

-1

Gambar 2.28Grafik fungsi cosecant

Soal-soal1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :

a. sin = 3/5 ; /2 < < b. cos = -4/5 ; < < 3/2c. tan = - ;3/2 < < 2 d. cot = 4/ ; < < 3/2e. sec = -6 ; /2 < < f . csc = 5/4 ; 0 < < /2

2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut :a. sin + ½ b. cos - 1/2 c. sin ( - /2) d. cos ( + /2)

H. Hukum sinusUntuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.

11

C

E a b

k h

A D B

c Gambar 2.29

Perhatikan segitiga BDC sin = h = a sin ( * )

Perhatikan segitiga ADC sin = h = b sin ( ** )

Dari (*) dan (**) didapat : a sin = b sin ( *** )

Perhatikan segitiga AEC sin = k = b sin ( # )

Perhatikan segitiga AEB sin = k = c sin ( ## )

Dari (#) dan (##) didapat : b sin = c sin ( ### )Dari (***) dan (###) didapat :

(2.49)

Persamaan 2.49 disebut hukum Sinus.

Soal-soalSoal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29.1. = 60o ; = 50o dan b = 102. = 70o ; = 45o dan c = 203. = 30o ; = 115o dan c = 84. = 35o ; = 125o dan c = 75. = 25o ; = 40o dan a = 5

I. Hukum CosinusUntuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.

C

E

12

a b

k h

A D B

c Gambar 2.30

Perhatikan segitiga ADC h = b sin Perhatikan segitiga BDC (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2

h2 = a2 – (c - b cos )2 b2 sin2 = a2 – c2 + 2bc cos - b2 cos2 b2 sin2 + b2 cos2 = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2 + cos2) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos

Sehingga : a2 = b2 + c2 - 2bc cos atau cos = (2.50)

Perhatikan segitiga BDC h = a sin Perhatikan segitiga ADC (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2

h2 = b2 – (c - a cos )2 a2 sin2 = b2 – c2 + 2ac cos - a2 cos2 a2 sin2 + a2 cos2 = b2 – c2 + 2ac cos a2 (sin2 + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos a2 = b2 – c2 + 2ac cos

Sehingga : b2 = a2 + c2 – 2ac cos atau cos = (2.51)

Perhatikan segitiga AEC k = b sin Perhatikan segitiga AEB (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2

k2 = c2 – (a - b cos )2 b2 sin2 = c2 – a2 + 2ab cos - b2 cos2 b2 sin2 + b2 cos2 = c2 – a2 + 2ab cos b2 (sin2 + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos b2 = c2 – a2 + 2ab cos

Sehingga : c2 = a2 + b2 - 2ab cos atau cos = (2.52)

Persamaan 2.50 s/d s.52 adalah hukum Cosinus.

Soal-soal1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut , dan jika

panjang sisinya adalah : i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8 iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4 ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9 v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7 vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7

13

2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui : i) = 45o ; b = 5 ; c = 4 iii) = 120o ; a = 6 ; c = 9 ii) = 60o ; b = 9 ; c = 10 iv) = 90o ; a = 8 ; c = 4

2.2.7.4 Fungsi trigonometri inversKita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x2 tidak mempunyai invers. Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x = 0, x = dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < . Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya.

Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai :

y = sin-1 x x = sin y , untuk -1 x 1 dan -/2 y /2.

ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai : y = cos-1 x x = cos y , untuk -1 x 1 dan 0 y .

iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai : y = tan-1 x x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2 y /2.

iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan sebagai : y = cot-1 x x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 y .

v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai : y = sec-1 x x = sec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y , kecuali y = /2.

vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai : y = cosec-1 x x = cosec y , untuk setiap harga x 1 dan0 y /2.

14

Sifat-sifat fungsi trigonometri inversi) arcsin(sinx) = x untuk -/2 x /2

sin(arcsinx) = x untuk 1 x 1ii) arccos(cosx) = x untuk 0 x

cos(arccosx) = x untuk -1 x 1iii) arctan(tanx) = x untuk -/2 x /2 tan(arctanx) = x untuk semua harga x

Contoh 2.37Tentukan harga y jika :a. y = sin-1( ) untuk -/2 y /2

b. y = sin-1(- ) untuk -/2 y /2Penyelesaian :a. y = sin-1( ) sin y = . Jadi y = /4

b. y = sin-1(- ) sin y = - . Jadi y = - /4

Soal-soalTentukan harga dari :

-1 0 1 1 x

y

-/2

/2-1 0 1

/2

y

x

Grafik sin-1x Grafik cos-1x Gambar 2.31

x

y

-/2

/2

Gambar 2.31

/4

-/4 -1 1/

-1/ 10

15

1. arcsin 1 7. arcsin (sin /3) 13. arcsin (cos /3) 2. arcsin (-1) 8. arcsin (sin /6) 14. arccos

(/4)3. arccos 0 9. arccos (cos ) 15. arctan (/2)4. arccos (-1) 10. arccos (cos 2/3 ) 16. arctan (cos 4)5. arctan 0 11. arctan (tan /3 ) 17. sin (arcsin 1/2)6. arctan 1 12. arctan (tan -5/6 ) 18. sin(arccos 1/2)

2.2.7.5 Fungsi hiperbolikA. Definisi

Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat dari definisi yang diberikan berikut ini.

sinh x = ( 2.53a )

cosh x = ( 2.53b )

tanh x = ( 2.53c )

coth x = ( 2.53d )

sech x = = ( 2.53e )

cosech x = = ( 2.53f )

B. Identitas hiperbolikDari persamaan 2.53a dan b didapat :

sinh2 x = =

cosh2 x = =

Sehingga : cosh2 x - sinh2 x = - cosh2 x - sinh2 x = 1 ( 2.54 )

Dengan membagi persamaan 2.54 dengan cosh2 x didapat : 1 - tanh2 x = sech2 x ( 2.55 )

16

Selanjutnya jika persamaan 2.54 dibagi dengan sinh2 x didapat : coth2x - 1 = cosech2 x ( 2.56 )

Persamaan 2.54 s/d 2.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti yang terdapat pada soal-soal.

Soal-soalBuktikan identitas hiperbolik berikut :

1. sinh x + cosh x = ex 13. tanh (x+y) =

2. cosh x - sinh x = e-x 14. tanh (x-y) =

3. sinh (-x) = - sinh x 15. sinh2 =

4. cosh (-x) = cosh x 16. cosh2 =

5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 17. tanh 2x =

6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x 18. tanh

7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x8. sinh (x-y) = sinh x cosh y - sinh y cosh x9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

10. cosh (x-y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y11. (sinh x + cosh x)n = sinh nx + cosh nx12. (sinh x - cosh x)n = sinh nx - cosh nx

2.2.7.6 Fungsi hiperbolik inversPada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.

Teorema-teorema sinh-1x = ln (x + ( 2.57 )

Bukti :

y = sinh-1x x = sinh y =

2x – ey + e-y = 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat: 2xey - e2y + 1 = 0 atau e2y - 2xey -1 = 0Dengan menggunakan persamaan kuadrat :

ey =

17

Berarti ey mempunyai dua harga yaitu dan . Perlu diperhatikan bahwa :- harga ey dan selalu positif untuk sembarang harga x- harga selalu lebih besar dari x untuk sembarang harga xDari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan bahwa : ey = . Sehingga : y = ln ( ) ( terbukti )

Gambar 2.32 Grafik sinh x dan arcsinh x

cosh-1x = ln (x + ( 2.58 )Bukti :

y = cosh-1x x = cosh y =

2x – ey - e-y = 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat: 2xey - e2y - 1 = 0 atau e2y - 2xey +1 = 0Dengan menggunakan persamaan kuadrat :

ey =

Berarti ey mempunyai dua harga yaitu dan . Perlu diperhatikan bahwa :- harga ey selalu positif untuk x 1- 0 untuk x 1- harga selalu lebih kecil dari x untuk x 1Dari tiga fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan bahwa : ey = atau ey = .

18

Selanjutnya perhatikan bahwa :

= ( ) = =

= ( )-1

Jadi : ey = atau ey = ( )-1

y = ln ( ) atau y = - ln ( ). Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas) berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja, yaitu :

y = cosh-1 x= ln ( ) , y 0 dan x 1 (terbukti)

Gambar 2.33 Grafik cosh x dan arccosh x

tanh-1x = ln , x< 1 ( 2.59 )

Bukti :

y = tanh-1x x = tanh y =

xey + xe-y –ey +e-y = 0 kalikan dengan ey

xe2y + x – e2y + 1 = 0 (x-1)e2y + (x+1) = 0

19

e2y = ey = = untuk x< 1.

Karena ey selalu positif , maka ey = , x< 1

atau y = ln , x< 1 ( terbukti ).

coth-1x = ln , x>1 ( 2.60 )

Bukti :

y = coth-1x x = coth y =

xey - xe-y –ey -e-y = 0 kalikan dengan ey

xe2y - x – e2y - 1 = 0 (x-1)e2y - (x+1) = 0

e2y = ey = = untuk x>1.

Karena ey selalu positif, maka ey = , x>1

atau y = ln , x>1 ( terbukti ).

sech-1x = ln , 0 > x 1 ( 2.61 )

Bukti :y = sech-1x x = sech yx = cosh y = y = cosh-1

Jadi sech-1x = cosh-1 = ln ( +

sech-1x = ln ( ).

Karena sech-1x hanya mempunyai satu harga untuk srtiap satu harga x,

maka : sech-1x = ln ( ) , 0 < x (terbukti)

20

cosech-1x = ln , x>0 ( 2.62 )

Bukti :y = cosech-1x x = cosech yx = sinh y = y = sinh-1

Jadi cosech-1x = ln ( + = ln ( ), x > 0 ( terbukti )

2.2.7.7 Fungsi genap dan ganjilSuatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi :

f(x) = f(-x) 2.63

dan dikatakan ganjil jika memenuhi :

f(-x) = -f(x) 2.64

Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 2.63 dan 2.64 maka persamaan tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil.

Contoh 2.38Diketahui

i) f(x) = x3

ii) f(x) = x2 + 3iii) f(x) = x - 2 Tentukan apakah fungsi tersebut termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya ?Penyelesaian i) f(x) = x3

f(-x) =(-x)3 = -x3 =-f(x) Karena f(-x) = -f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil.

ii) f(x) = x2 + 3 f(-x) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(-x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap.

iii) f(x) = x - 2 f(-x) = -x - 2 = - (x+2) Karena f(x) f(-x) -f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil.

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :f(x) = g(x) . h(x) ( * )

atau

21

f(-x) = g(-x) . h(-x) ( ** )

Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil maka berlaku g(-x) = - g(x) dan h(-x) = - h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :

f(-x) = {-g(x)}.{- h(x)} f(-x) = g(x) . h(x) (***)

Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)

Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :f(x) = g(x) . h(x) ( * )

atau f(-x) = g(-x) . h(-x) ( ** )

Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x) = h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :

f(-x) = g(x) . h(x) (***)

Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)

Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :f(x) = g(x) . h(x) ( * )

atau f(-x) = g(-x) . h(-x) ( ** )

Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x) = -h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :f(-x) = g(x) .{-h(x)} = -{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x).

Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil

Soal-soal :Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah genap, ganjil atau tidak keduanya !

1. f(x) = 2. f(x) = 3. f(x) = x4 – 2x2 + 1

22

4. f(x) = x3 + x 5. f(x) = sinh x 6. f(x) = cosh x

7. f(x) = 8. f(x) = 9. f(x) = sin(cos x)

10. f(x) = cos x3

2.2.9 Fungsi PeriodikSuatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga :

f( x + p ) = f ( x ) ( 2.64 )

dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak memenuhi persamaan 2.64. Dengan mengacu pada persamaan 2.64 kita dapatkan bahwa :

f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x)f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . . ( 2.65 )

Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 2.34 dibawah ini.

Gambar 2.34Grafik fungsi priodik

Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka berlaku :

f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p) ( 2.66 )

23

p

Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga mempunyai periode p.

Contoh 2.39Tentukan periode dari f(x) = sin xPenyelesaian :sin (x+p) = sin xsin x cos p + cos x sin p = sin x didapat p = 2

24