MAKALAH KALKULUS IIINTEGRALO l e h :Nama : Mansur AmriatulNIM : 07 241 075Semester : VIII (Delapan)JURUSAN PENDIDIKAN FISIKAFAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPAIKIPMATARAMJULI 2011KATA PENGANTAR Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengansegalakekurangannya, dapatmenyusunmakalahiniyangdiharapkandapat membantupribadi penulis danmahasiswasecara umumnyadalammempelajari Kalkulus II tentang Integral. Makalahini dimaksudkanuntukmemberikanbekal kepadapribadi penulisdan mahasiswa JurusanPendidikanFisika,Fakultas PendidikanMatematika danIlmu PengetahuanAlamIKIPMataramyangsedangmengikuti perkuliahanKalkulusII. Kekurangan dan belum sempurnanya makalahini menjadi tuntutan penulis sehingga yang seharusnyateman-temanmenerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari makalah ini belum dapat terwujud seluruhnya. Terselesaikannya penulisan makalah ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesipenulisdi IKIPMataram, lebih-lebihteman-temankelaskuyangmenjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan makalah ini. Semoga materi yang telah dituangkan dalam makalah ini, akan sangat berguna bagi pribadi penulis dan mahasiswa FPMIPA IKIP Mataram umumnyam. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallahdiperbaiki dikemudian hari.

Mataram,18 Juli 2011PenulisMansur Amriatul Kalkulus II Integral2DAFTAR ISIHalaman Sampul............................................................................... iKata Pengantar.................................................................................. iiDaftar Isi........................................................................................... iiiBAB IPENDAHULUAN 1.1 Anti Turunan (Integral Tak-tentu) 11.2 Integral Tertentu ... 11.3 Sifat-Sifat Integral Tentu .......................................................... 21.4 Teorema Dasar Kalkulus .. 4BAB IITEKNIK INTEGRAL 2.1 Teknik Substitusi...................................................................... 62.2 Integral Fungsi Trigonometri.................................................... 72.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri.................................... 132.4 Integral Parsial ......................................................................... 152.5 Integral Fungsi Rasional .......................................................... 172.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri 19Bab III INTEGRAL TIDAK WAJAR 3.1Pengertian.................................................................................. 213.2Integral Tidak Wajar dengan Batas Diskontinu........................ 253.3Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga 28BAB IV RUMUS-RUMUS INTEGRAL DAFTAR PUSTAKA....................................................................... 41BAB IPENDAHULUAN1.5 Anti Turunan (Integral Tak-tentu)Kalkulus II Integral3Matematika mempunyai banyakpasanganoperasi balikan: penambahan dan pengurangan,perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritmadan penghitungan logaritma.Definisi :Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jikaF(x) = f(x) untuk semuaxdi I.Notasi : F(x) = f(x) dxIntegral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.Contoh :Integral tak tentu adalah operator liner, yaitu bersifat :a. b.1.6 Integral TertentuDefinisi :Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x)dikatakan terintegralkan (integrable) pada[a,b]jika nii iPx x f10) ( lim ada. Selanjutnyabadx x f ) (disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke b, dan didefinisikan badx x f ) ( =nii iPx x f10) ( lim.Kalkulus II Integral4badx x f ) ( menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b],jikabadx x f ) (bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.Definisi :a. aadx x f ) ( = 0b. badx x f ) ( =-abdx x f ) (,a > b1.7 Sifat-Sifat Integral Tentua. Sifat Penambahan Selang Teorema :Jikaf(x)terintegralkanpada suatu selang yang memuat tiga titik a, b danc, maka :dx x fca) ( =dx x fba) ( + dx x fcb) ( bagaimanapun urutana, b dan c.Contoh :1.dx x dx x dx x + 2121022022.dx x dx x dx x + 2323022023.dx x dx x dx x + 212102202b. Sifat SimetriJikaf(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = f(x) , maka:dx x faa) ( = 2 dx x fa0) (danJikaf(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = - f(x),makaKalkulus II Integral5dx x faa) ( =0.Contoh :1.

,`

.|

,`

.| 04cos 24cos dxxdxx 2 441.4cos 80

,`

.|dxx 2.dxx x+55254 = 0Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentuadalah:Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x) terintegralkan pada interval tersebut, maka:1. babadx x f k dx x kf ) ( ) (2.dx x g dx x f dx x g x fbababa + + ) ( ) ( )] ( ) ( [3., ) ( ) ( )] ( ) ( [ dx x g dx x f dx x g x fbababa 4.0 ) ( aadx x f5. abbadx x f dx x f ) ( ) (, jika b < a6.badx x f ) ( +bccadx x f dx x f ) ( ) (, c ) , ( b a 7., 0 ) ( aax fjika f(-x) = -f(x)Kalkulus II Integral68.aadx x f ) (= 2adx x f0) (, jika f(-x) = f(x)9. Jika F(u) =badx x f ) (, maka ) ( ) ( u f u Fdud10.badx x f ) (= (b-a)) (ox funtuk paling sedikit x = x o antara a dan b. 11. babadx x g dx x f ) ( ) (jika dan hanya jika f(x) g(x)untuk setiap x [a,b].12.) ( ) ( x f dt t f Dxax]]]

1.8 Teorema Dasar KalkulusTeoremadasar Kalkulus memberikankemudahanuntukmenghitungIntegral Tentu, berikut teorema tersebut :Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka badx x f ) ( =F(b) F(a)Selanjutnya ditulisF(b) F(a) = bax F )] ( [Contoh :Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka1 11 1+++ +rarbdx xr r barKalkulus II Integral7Jawab :Karena F(x) = 11++rxr suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurutteorema dasar Kalkulus 1 1) ( ) (1 1++ + +rarba F b F dx xr r barIntegral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :Misalf(x)dan g(x)terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka: a. badx x kf ) ( k badx x f ) (b. dx x g x fba)] ( ) ( [+= badx x f ) (+badx x g ) (Contoh :Hitungdx x x ) 6 4 (212Jawab :dx x dx x dx x x 212212126 4 ) 6 4 ( =4213212362 ]]]]

]]]]

x x=4 ,`

.|+

,`

.|313862124 =12BAB IITEKNIK INTEGRALKalkulus II Integral8Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunansuatufungsi. Hal ini bertujuan untukmemudahkan dalammenentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengansyarat-syarat yangditentukan. Teknik-teknikintegral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial,Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.2.1 Teknik Substitusi Istilahlainuntuktekniksubstitusi adalahpemisalan. Tekniksubstitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu; a. nxdx =11++nxn + C, asalkan n-1 ataub. [ ] dx x f x fn) ( ' ) ( = [ ]1) (1++nx fn+ C, asalkan n-1 Karena rumus di atas adalah pedoman umum.maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai denganbentukbakuintegralnyadapat dilakukandenganmengaplikasikanrumus dasar integral tidak tentu.Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi. Perhatikan beberapa contoh berikut:1.x 1 dxMisal u =x 1x u 12) 1 ( ) (2x d u d dx udu 2Substitusi bentuk terakhir ke x 1 dx, diperolehKalkulus II Integral9 du u u ) 2 (= -2du u2Dengan rumus dasar di dapat x 1 dx= -2du u2 = -2Cu+]]]

33= -C x + 3) 1 (322. + dx x11) 12 3 (MisalA= 3x + 12d(A)= d(3x+12)dA = 3 dx dx= 3dASehingga + dx x11) 12 3 (= 311 dAA = dA A1131 =CA+ )12(3112 = C A +12361 = Cx++36) 12 3 (122.2 Integral Fungsi TrigonometriSebelummembahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.Bentuk dasar tersebut adalah: 1. x sin dx=-cos x + C2. x cos dx=sin x + C 3. tanx dx=ln C x + sec = -ln C x + cosKalkulus II Integral104. cot x dx=- ln C x + csc=ln C x + sin5. x sec dx=ln C x x + +tan sec6. cscx dx=ln C x x + cot cscBerdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:a., sin xdxmdanxdxmcosdenganmbilanganganjil ataugenap positipJikambulat positipdanganjil, makamdiubahmenjadi (m-1) +1, ataum digenapkanterdekat. Selanjutnyasubstitusi denganmenggunakankesamaan identitas1 cos sin2 2 + x x atau sin x2= 1 - cos x2 atau cos x2= 1 - sinx2.Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan. Contoh:1. xdx3sinJawab:

xdx3sin= dx x+ 1 ) 1 3 (sin =x xsin sin2 dx = ) cos ( ) cos 1 (2x d x = + ) (cos cos ) cos ( 12x d x d= -cos x + C x +3cos312.dx x5cosJawab : dx x5cos=+ x1 ) 1 5 (cosdx = xdx xcos cos4= ) (sin ) sin 1 (2 2x d xKalkulus II Integral11= ) (sin ) sin sin 2 1 (4 2x d x x + = + ) (sin sin ) (sin sin 2 ) (sin 14 2x xd x xd x d= sin x - C x x + +5 3sin51sin32

b.xdx xn mcos sinJika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, makafaktorkansinxataucos xdenganmenggunakankesamaanidentintas 1 cos sin2 2 + x xdengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jikamdanngenapdigunakankesamaansetengahsudut sin x2= 22 cos 1 x dan cos22 cos 12xx+sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.Contoh 1. xdx x2 3cos sinJawab Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

xdx x2 3cos sin = dx x+ 2 1 ) 1 3 (cos sin

dx x x2 2cos sin sin= xdx x x sin cos ) cos 1 (2 2 = ) cos ( ) cos (cos4 2x d x x = ) cos ( cos ) cos ( cos4 2x xd x xd = C x x + + 5 3cos51cos31 =cosC x x + )31cos51(2 3 2.xdx x3 2cos sin Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

xdx x3 2cos sin = xdx x x cos cos sin2 2= ) (sin ) sin 1 ( sin2 2x d x x = ) (sin sin ) (sin sin4 2x xd x xdKalkulus II Integral12= C x x + 5 3sin51sin31

c., tan xdxn dan dx xncotDalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 +x x2 2sec tan dan 1+cot x x2 2csc . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +x x2 2sec tan dan 1+cot x x2 2csc .Perhatikan contoh berikut:1. xdx3tanKarenapangkat nganjil makadiubahdalambentukperkalianyangsalah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 + x x2 2sec tan Sehingga diperoleh

xdx3tan= x2tantanx dx= ) 1 (sec2xtan x dx= x2sectan x dx - tan x dx = tan x sec x2dx ln x sec+ C =x tan d(tan x) ln x sec + C= C x x + sec ln tan2122. xdx4cotKarena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas1+cot x x2 2csc , sehinggadidapat xdx4cot= dx x2 2) (cot = dx x2 2) 1 (csc = dx x x ) 1 csc 2 (csc2 4+ = + dx x x x ) 1 csc 2 csc ) (csc2 2 2 = + + ` 1 csc 2 csc ) cot 1 (2 2 2dx x x x= + + dx x d x d x ) cot ( 2 ) cot ( ) cot 1 (2= C x x x x + + + cot 2 cot31) cot (3Kalkulus II Integral13= C x x x + + + cot cot313d.xdx xn msec tan, dan xdx xn mcsc cotBentukini mempunyai duakasusyaitungenapmsebarangdanmganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan x x2 2sec atau1 + cot x2= csc x2.Contoh 1.dx x x4 5sec tanKarena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan x x2 2sec , sehingga diperolehdx x x4 5sec tan = dx x x x2 2 5sec sec tan = dx x x x+2 2 5sec ) tan 1 ( tan =+ ) tan (tan7 5x xd(tgnx) = C x x + +8 6tan81tan612.dx x x4 4csc cotJawab : dx x x4 4csc cot= dx x x x) )(csc (csc cot2 2 4 = ) cot ( ) 1 (cot cot2 4x d x = ) cot ( ) cot (cot4 6x d x x =C x x + + 5 7cot51cot71Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas1 + tan x x2 2sec atau1 + cot x2= csc x2.Contoh: 1.xdx x3 3sec tan =xdx x x x sec sec tan tan2 2=) (sec sec tan2 2x d x = ) (sec sec ) 1 (sec2 2x d x x = ) (sec ) sec (sec24x d x xKalkulus II Integral14= C x x + 3 5sec31sec512.xdx x2 / 1 3sec tan= x2tantan x sec x2 / 3 sec x dx= x2(sec-1)sec x2 / 3 d(sec x) = x2 / 1(secsec )2 / 3xd(secx)=x x2 / 1 2 / 3sec 2 sec32+ + C e.nxdx mx cos sin, , sin sin nxdx mxnxdx mx cos cosIntegral bentukini jugaseringmuncul, untukmenyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:sin mx cos nx =] ) sin( ) [sin(21x n m x n m + +sin mx sin nx=] ) cos( ) [cos(21x n m x n m + cos mx cos nx =] ) cos( ) [cos(21x n m x n m + +Contoh :1.sin3x cos 4x dx= + + ] ) 4 3 sin( ) 4 3 [sin(21x xdx = x 7 sin21 + sin (-x) dx= x 7 cos141- cos21x + C2. x x 2 sin 3 sindx = + ] ) 2 3 cos( ) 2 3 [cos(21x xdx = 21(cos 5x cos x) dx =sin1015x + sin21x + C 3.cos y cos 4y dy= + y ) 4 1 [cos(21+cos(1-4)y] dy = + )] 3 cos( 5 [cos21y xdyKalkulus II Integral15 = C y y + 3 sin615 sin1012.3Teknik Substitusi Fungsi TrigonometriTekniksubstitusi fungsitrigonometri digunakanuntukmenyelesaikanintegral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:a.2 2x a , a > 0, a Real b.2 2a x + = 2 2x a +, a > 0, a Real c.2 2a x , a > 0, a Real atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya 2 2 2x b a = 22xba

,`

.|x b a2 2+ = 22xba+

,`

.|2 2 2b x a =22

,`

.|abx atau c bx ax + +2yangdapat diubahmenjadi bentuk kuadrat sempurna. Integrannya memuat2 2x a atau sejenisnya, Gunakan substitusi x = a sin t atau sin t = ax x = a sin t dx = a cos t dtdengan-2 2 t sehingga,

2 2x a = 2 2) sin ( t a a= ) sin 1 (2 2t a =a cos tCatatan :Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dancsct. Hal ini dikarenakansangat mungkinhasil dari pengintegralanadalah fungsi-fungsi tersebut.Contoh:Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:Kalkulus II Integral16tx a2 2x a 1. 24 x dxJawab :Substitusi x = 2 sin t sin t = 2x

dx = 2 cos t dt 24 x =t t cos 2 sin 4 42 Sehingga : 24 x dx = tdt t cos 2 . cos 2=tdt t cos cos 4 =4 tdt2cos= 4+dtt2) 2 cos 1 ( =2dt+ 2 t 2 cosdt =2t + sin 2t + C =2t + 2 sin t cos t =2 arc sin242 22x x x +

,`

.|+ CAtau 4 tdt2cos=4 (2cos sin t t +C t +21) = 2 sint cost +2t + C= 2 ,`

.|2x242x +2 arc sin ,`

.|2x+ C =Cx x x+ ,`

.|2arcsin 22422. 24 x xdxJawab :24 x xdx = 2) 2 ( 4 xdxSubstitusi (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dtt x cos 2 ) 2 ( 42 , sehingga 2) 2 ( 4 xdx= ttdtcos 2cos 2Kalkulus II Integral17tx224 x 2 x24 x x 2t = dt= t + C= arc sin,`

.| 22 x + C 2.4Integral ParsialSecara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).Karenay=uv, makamenurut definisi differensial danturunanfungsi y=uv diperoleh :dy = d(uv) d(uv) = u dv+ v du Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh + vdu udv uv d ) ( vdu uv d udv ) ( vdu uv udvBentukterakhirini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan udv tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.Tentukan integral persial berikut ini 1) xdx xcosJawab :Bentuk xdx xcos diubah menjadi udv,Misal u = x, dv = 1 dx dv = cos x dx , v = x cosdx = sin xAkibatnya xdx xcos = x d(sin x). Dengan rumus integral parsial vdu uv udv, diperoleh x d(sin x)= x sin x - x sin d(x)= x sin x - x sin dxKalkulus II Integral18= x sin x + cos x + C Akhirnya diperoleh xdx xcos = x sin x + cos x + C2) +x x 1 dx Pilih u = x , du = dxdv =x + 1 , v = +x 1dx = 3132x + Sehingga +x x 1 dx = + ) 132(3x xd Berdasarkan rumus integral parsial vdu uv udv, diperoleh

+x x 1 dx= + ) 132(3x xd= 31 132+x - + ) ( 1323x d x = 31 132+x - +dx x3132 = 31 132+x- C x + +34) 1 (42

2.5Integral Fungsi Rasional.Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = ) () (x gx f, dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = a o + a1x + a2x2 + a 3 x3+ + a n x n, n = 1, 2, 3, , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk) () (x gx fyang pembilang dan penyebutnya polinom.Contoh : a. F(x)= 2 312+ x xx(Fungsi Rasional Sejati)b. F(x)= 4 4422+ x xx(Fungsi Rasional Tidak Sejati)c. F(x)= x xx x x51 233 5++ +(Fungsi Rasional Tidak Sejati)Kalkulus II Integral19Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebihdari derajat penyebut, sedangkan(2) dan(3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.Untuklangkahselanjutnyajikasuatufungsi rasional termasukjenistidaksejati, makafungsi tersebut dijadikanfungsi rasional sejati. Melalui prosespembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:F(x)= x xx x x51 233 5++ += x 32+ x xx5) 1 14 (3++F(x)= ) () (x gx f, g(x) 0.Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:a. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.b. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) =) () (x gx f sampai tidak dapat difaktorkan lagi.c. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b).(x-t) dstnya.- fungsi linear berulang, g(x)= (x-a) n = (x-a)(x-a)(x-a) (x-a)- fungsi liner dan kuadrat,g(x) = (x-a)(ax2+bx + c)- fungsi kuadrat berbeda, g(x) =(ax )(2c bx + + px2 + qx + c) - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax )2c bx + +ndan seterusnya. d. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya, Misal :) () (x gx f ...) ( ) (2 221 11++++ b ax Ab axA(Penyebut kombinasi liner berbeda) ...) ( ) ( ) ( ) () (3322 1++++++b axAb axAb axAx gx f(kombinasi lenear berulang)Kalkulus II Integral20 ...) () (2 2222 21 1211 1++ ++++ ++c x b x aB x Ac x b x aB x Ax gx f(kombinasi kuadrat berbeda)e. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2, A n danB1, B2, B n.Contoh :1.Tentukan dxx 122Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

122x dx= + dxx x ) 1 )( 1 (2= ++dxxBxA) 1 ( ) 1 (=dxx xx B x A+ + +) 1 )( 1 () 1 ( ) 1 ( =+ + +dxx xB A x B A) 1 )( 1 () ( ) (DiperolehA + B = 0 , A B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:122xdx= ++dxx x ) 1 (111= dxx 11 - +dxx 11= ln C x x + + 1 ln 1 = ln Cxx++112. +,11dxxx integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

+ +dxxdxxx12111= + dxxdx12= x + ln (x-1)2 + C2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos xKalkulus II Integral21 FungsiF(x)= ) ( , 0 ) ( ,) () (x f x gx gx fdang(x)mememuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.Berikut ini diberikan beberapa contohfungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.1. F(x) = xxcossin 12. F(x) = xxsincos sin 2 1 + +3. F(x) = xxcos2 sin 5 + 4. F(x) = x sin 2 315. F(x) = x x cos sin 12 +Sehinggadalambentukpengingtegralanfungsi rasional yangpembilangdan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah: 1. + x xdxcos sin 12.+ xdxcos 23.+ + x xdxcos sin 14. xxsincos sin 2 1 + + dx5. x sin 2 31 dxSelesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tan zsehinggadx = dzz212+.Selanjutnya sin x dan coc Kalkulus II Integral22x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x =2 arc tan z maka:zx ,`

.|2tan Menurut rumus identitas fungsi trigonometri1 + tan ,`

.|22x = sec ,`

.|22x 1 + z ,`

.|2sec2 2x 22112coszx+

,`

.| Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin 1 cos2 2 + x x12cos2sin2 2

,`

.|+

,`

.|x x, sehingga didapat sin221112 zx+

,`

.|= 221 zz+ Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos x2sin2x

,`

.|+ ,`

.| 2sin2cos cos2 2x xx2221 11coszzzx++ = 2211zz+Dengan rumus jumlah sinus didapat:sin 2x = 2 sin x cos xsin x = 2 sin,`

.|2x cos,`

.|2x= 2 2 22111 z zz+ += 212zz+Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusiKalkulus II Integral23x = 2 arc tan z,sin x = 212zz+, cos x = 2211zz+ Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari :1. + + x xdxcos sin 1Jawab : + + x xdxcos sin 1 = +++++22221112112zzzzdzz =+++++++222 22211121112zzzzzzzdz = +zdz2 22 = +zdz1 = ln z + 1 + C = ln Cx+ +2tan 12. xdxcos 2 Jawab : xdxcos 2 = ++22211212zzzdz=++++22222111) 1 ( 212zzzzzdz=+23 12zdz=+ ,`

.|223132zdzKalkulus II Integral24=332 arc tan

,`

.|3 / 1z+ C=32 arc tan3 z + C = 32arc tan3 (tan x/2) + CBAB IIIINTEGRAL TAK WAJAR3.1 Pengertian Sebelummembahaskonseptentangintegral takwajar, marilahkitaingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.Teorema: Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka badx x f ) ( =[ ] ) ( ) ( ) ( a F b F x Fba Contoh : 1. 4242221) 1 ( ]]]

x x dx x= (4- .16) (2- 4)= -4 0 = -4 2.[ ]21211 ln1+ +xxdx = ln (1+2) ln (1+1) = ln 3 ln 2 3. 211 xdx, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran f(x) = x 11 tidak terdefinisi pada x = 1.Kalkulus II Integral254. 11 xdx, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) = x1tidak terdefinisi dix = 0 Dengandemikiantidaksemuaintegral fungsi dapat diselesaikandengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.Bentukbadx x f ) ( disebut Integral Tidak Wajar jika:a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehinggamengakibatkanf(x) tidakterdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulusbadx x f ) ( = F(b) F(a) tidak berlaku lagi.Contoh :1) 404 xdx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)2) 211 xdx, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]3) 40 32) 2 ( xdx, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)(2,4]b.Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga1) +024 x dx, integran f(x) memuat batas atas di x =2) 02dx ex, integran f(x) memuat batas bawah di x = - Kalkulus II Integral263) +24 1 xdx, integran f(x) memuat batas atas di x =dan batasa bawah di x = - Pada contoha (1,2,3)adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ). Integral takwajar selesaiannyadibedakanmenjadi Integral takwajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinua. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = bKarenaf(x) tidakkontinudi x=b, makasesuai dengansyarat dandefinsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -( +0 ), sehingga +badx x f0lim ) ( badx x f ) ( Karena batas atas x = b - ( x b ), maka ba b tdx x f lim ) ( tadx x f ) ( Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.1) +400404lim4 xdxxdx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga = ]]]

+4004 2 lim x = -2 +0lim[ ] ) 0 4 ( ) 4 ( 4 = -2 (4 lim0+)= -2(0-2) = 4Cara lain : ttxdxxdx04404lim4= [ ]ttx044 2 lim Kalkulus II Integral27 = [ ] 0 4 2 4 2 lim4 + tt = -2(0)+2(2) = 42)2224 xdx, f(x) = 241x Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2,sehingga:maka 2224 xdx22024 xdx = 22024 xdx = 2 ]]]

+2002arcsinxLim= 2 ( ) 02 = b.f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = aKarenaf(x) tidakkontinudi x=a, makasesuai dengansyarat dandefinsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( +0), sehingga +badx x f0lim ) ( +badx x f) (Karenabatasbawahx=a+( xa ) makadapat dinyatakandalam bentuk lain:+baa tdx x f lim ) ( btdx x f ) ( Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.1)4333xdx+4333limttxdx = [ ]433 ) 2 ( 3 limttx +Kalkulus II Integral28 = [ ] 3 6 3 4 6 lim3 +tt = 6(1) 6(0) = 62) ++10100limxdxxdx,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh: [ ]101002 lim+ + xxdx = [ ] + +0 2 1 2 lim0= 2 0= 2c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = cKarena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c - ( +0 ), sehingga + bacabcdx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (= +0lim cadx x f ) ( + +bcx f Lim) (0Dapat juga dinyatakan dengan :ba b tdx x f lim ) ( tadx x f ) (+ +a tlim btdx x f ) ( Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.1) 4031 xdx, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh +10413 31 1 xdxdxxdx, berdasarkan contoh sebelumnya didapat: +++ +413010301lim1limxdxxdxKalkulus II Integral29 = 4132010320) 1 (23lim ) 1 (23lim+]]]

+]]]

+ +x x = 23) 1 0 ( ) 1 ) 1 ( lim2332320+]]]

+]]]

+ +32320) 1 ) 1 (( ) 1 4 ( lim = ) 9 1 (233+ 2) 8131, dx xf(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh dx x dx x +8031 0131= dx x dx x ++ ++8031001310lim lim= 803200132023lim23lim+]]]

+]]]

+ +x x =-623+ = 29 3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hinggaBentukintegral takwajar denganbatas takhinggajikasekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =. Selesaiannya cukupdenganmengganti batas atas dengan sebarang variable dimanavariabletersebutmendekatitak hingga.Dengandemikianintegraltak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk. tatadx x f dx x f ) ( lim ) (Perhatikan contoh berikut ini :1) +021 xdx = + ttx dx024limKalkulus II Integral30= ttx02arctan21lim]]]

= ]]]

0 arctan212arctan21limtt= ( . 2 - .0)= 42) 12xdx= tlim txdx12=ttx11lim]]]

=ttt111lim]]]

+ = 1b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - Selesaiannyacukupdenganmengganti batasbawahdengansebarangvariable dimanavariabletersebut mendekati (negative) takhingga. Dengandemikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian: atatdx x f dx x f ) ( lim ) (Perhatikan contoh berikut ini:1. 02xedx = 0221limtxte]]]

= ]]]

tte2211 .21lim = - 0 = 2. 02) 4 ( xdx= 0) 4 (1limttx ]]]

= ]]]

+ ) 0 4 (1) 4 (1limttKalkulus II Integral31 = 0 + 41 = c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = - Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan duaintegraltakwajardengan + aadx x f dx x f x x f ) ( ) ( ) (, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk: + aadx x f dx x f x x f ) ( ) ( ) ( = +taatt tdx x f dx x f ) ( lim ) ( limPerhatikan beberapa contoh dibawah ini: 1. +24 1 xdx= +++002 24 1 4 1 xdxxdx = [ ]04 limttx arctg + [ ]ttx arctg04 lim = 2

2. +12xxedx e = +021xxedx e + +021xxedx e = tlim+021txxedx e +`lim t+txxedx e021 = tlim(arc tgn e x)0t+ tlim(arc tgn e x)t0= + 4 2 04 = 2BAB IVRUMUS-RUMUS DASAR INTEGRALKalkulus II Integral32Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifatoperasi Aljabar fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.1. nudu =11++nun+ C, jika n-12. [ ][ ]Cnx udx x u x unn+++1) () ( ' ) (1, jika n-13. udu = ln u + C atau + C x f dxx fx f) ( ln) () ( '4.eu du= eu + C5. au du = uauln+ C6. u dv = uv - v du 7. sin du = - cos u + C8. cos u du = sin u + C 9. sec2 u du = tan u + C 10. csc2 u du = - cot u + C 11. sec u tan u du = sec u + C 12. csc u cot u du = - csc u + C13. tan u du = ln u sec + C14. cot u du= ln u sin + C15. sec u du= ln u u tan sec + + C 16. csc u du =ln u u c cot sec + C 17. 2 2u a du= arc sin au +C 18. 2 2u adu+ =a1 arc tan au + C19. 2 2u adu

a 21 ln a ua u+ + C20. 2 2a udu

a 21 ln a ua u+ + CKalkulus II Integral3321. +2 2a u du= ln (u + 2 2a u + ) + C22. 2 2a u du= ln (u + 2 2a u ) + C23. 2 2u a du = u 2 2a uCaua + arcsin212

24. 2 2a u udu = a1 arc sec au+C25. 2 2a udu = u 2 2a u2 2 2ln21a u u a + + C 26. +2 2a udu = u+ +2 2a u2 2 2ln21a u u a + + + C 27. sin2 u du = 21u 41sin 2u + C 28. cos2 u du =21u+ sin 2u + C 29. tan2 u du = -u + tan u + C30. cot2 u du = - u cot u + C31. sin3 u du =- 31( 2 + sin2 u ) cos u + C32. cos3 u du =31( 2 + cos2 u ) sin u + C33. tan3 u du =21 tgn2 u+ ln u cos + C34. cot3 u du =-21 cot2 u-ln u sin + C35. sec3 u du =21 sec u tan u + 21 ln u u tan sec + + C 36. csc3 u du =-21 csc u cot u + 21 ln u u c cot sec + C 37. sin au sin bu du = ) ( 2) sin(b au b a - ) ( 2) sin(b au b a++ + C, jika a2b2 38. cos au cos bu du = ) ( 2) sin(b au b a + ) ( 2) sin(b au b a+++ C, jika a2b2 39. sin au cos bu du = - ) ( 2) cos(b au b a - ) ( 2) cos(b au b a++ + C, jika a2b2 Kalkulus II Integral3440. sinnu du = -nu uncos sin1 + nn 1 sin n-2 u du41. cosn u du =nu unsin cos1 +nn 1 cos n-2 u du42. tann u du =11 n tan n-1 u - 2tannu du jika n143. cot n u du =-11 n cot n-1 u - 2cotngnu du jika n144. sec n u du =11 n sec n-2 u tgn u +12nnsec n-2 u du, jikan145. csc n u du= - 11 n csc n-2 u cot u +12nncsc n-2 u du, n146. sin n ucos m u du = - m nu um n++ 1 1cos sin + m nn+1sin n-2 u cos m u du, n -m 47. u sin u du = sin u u cos u + C48. u cos u du = cos u + u sin u + C49. un sin u du = -un cos u + n u n-1 cos u du50. un cos u du = un sin u + n u n-1 sin u du51. sin ud(sin u) = 21sin 2u + C52. cos ud(cos u) = 21cos2u + C53. tan ud(tan u) = 21tan 2u + C 54. cot u d(cot u) = cot2 u + C55.sec u d(sec u) = sec2 u + C56. csc u d(csc u) = csc2 u + C57. 2 2a u t du = 2u2 2a u t t 22a ln 2 2a u u t ++ C 58. ua u2 2+ du = 2 2a u +- a ln

,`

.| tuu u a2 2 + C59. 2 2a u dut = ln 2 2a u u t + + C Kalkulus II Integral3560. ua u2 2 du = 2 2a u - aarc sec au + C 61. u2 2 2u a t du = 8u(2a2tu2)2 2u a t- 84aln 2 2u a u t ++ C 62. 2 22a uutdu = 2u2 2u a t t22a ln 2 2u a u t ++ C 63. 2 2 2a u udut=t u aa u22 2t + C 64. 22 2ua u t du = - ua u2 2t -ln 2 2u a u t + + C65. 232 2) ( a udut = 2 2 2a u autt+ C66. 2 2u audu= - 2 2u a + C67.(2 2a u t )3/2du = 8u (2u2t5a2) 2 2a u t+ 834a ln 2 2a u u t + + C68. 2 2u a du = 2a2 2u a + ua2arc sin -1 au + C 69. 2 22u au du = -2a2 2u a + ua2arc sin -1 au + C70. uu a2 2 du = 2 2u a - a ln uu a a2 2 + + C71. u22 2u a du = 8u (2u2- a2) 2 2u a + 84a arc sin -1 au + C72. 2 2 2u a udu=- u au a22 2 + C 73. 22 2ua u du = - ua u2 2 - arc sin -1 au + C74. 2 2u a udu=- a1ln uu a a2 2 + + C75. u udu1 = ln xx + 1 11 1 + C76. +uu1du = 2 u- 2 arc tanu+ ClKalkulus II Integral3677. + ) 1 ( u udu= 2 ln (1+u )78. 232 2) ( u adu = 2 2 2u a au+ C 79. (2 2u a )3/2du = 8u (5a2- 2u2) 2 2u a + 834a arc sin -1 au + C80. ueu du = (u-1)eu + C81. un eu du = un eu n un-1 eudu 82. ln u du = u ln u u + C 83. un ln u du = 11++nun ln u - 21) 1 ( ++nun + C 84. eau sin bu du = 2 2b a eau+ (a sin bu b cos bu) + C 85. eau cosbu du = 2 2b a eau+ (a cos bu +b sin bu) + C 86. arc sin -1 u du =u arc sin -1 u + 21 u + C87. arc tan u du = u arc tan u - 21ln 21 u + + C 88. arc sec u du = u arc sin u ln 21 u u + ++ C89. u arc sin u du = (2u2 1) arc sin u + 4u 21 u +C90. u arc tan u du = (u2 + 1) arc tan u - 2u + C91. u arc sec u du =22uarc sec u 12 u+ C92. u arc sin u du = 11++nun arc sin u - 11+ n+211 uundu + C, jika n -193. un arc tan u du = 11++nun arc tan u - 11+ n++211 uundu + C, jika n -1 94. un arc sec u du = 11++nun arc sec u - 11+ n+121uundu + C, jika n -1 95. sinh u du = cosh u + C96. cosh u du = sinh u +C Kalkulus II Integral3797. tanh u du = ln (cosh u ) + C98. coth u du = ln u sinh + C 99. sech u du = arc tan u sinh + C100.csch u du = ln 2tanhu + C 101.sinh2u du = sinh u - 2u + C102.cosh 2u du = sinh u + 2u + C 103.tanh2u du = u - tanh u + C104.coth2 u du = u coth u + C105.sech2u du = tanh u + C106.csch2u du = -coth u + C107.sech u tgnh u du = - sech u + C 108.csch u coth u du = - csch u + C 109.u(au+b)-1 du = 2abauln b au ++ C 110.u(au + b)-2 du =]]]

++ +b aubb aualn12+ C111. u(au+b)n du =21) (a b aun++]]]

+++1 2 nbnb au+ C, jika n -1, -2112. nu adu) (2 2t= ]]]

t +t 1 2 2 1 2 2 2) () 1 2 () ( ) 1 ( 21n nu adunu aun a+ C, n 1113.ub au + du =C b au b aua+ + 232) )( 2 3 (152 114. unb au + du =

,`

.|+ ++b au u nb b au un an n 123) () 3 2 (2 + C115.b auudu+= b au b aua+ ) 2 (322 + C116.b audu un+= ) 1 2 (2+ n a( ) b au un+ -nb+dub auun 1Kalkulus II Integral38117.b au udu+=b1 ln b b aub b au+ + + + C118.b au udun+ =- ++ b au udub na nu n bb aun n 1 1) 2 2 () 3 2 () 1 ( + C, jika n 1119.22 u au = arcnau aua u2222+ sin a a u + C120.22 u audu =arc sin a a u + C121.un 22 u au = ++2) 2 (232 1nu au un2) 1 2 (++na n 2 12 u au un du122.22 u audu un =- 212 u aunun+ na n ) 1 2 (212 u au du un + C123.uu au22 =+ 22 u aua arc sina a u + C124.nuu au22 = +nau nu au) 2 3 () 2 (232 duuu aua nnn 122) 3 2 (3125.) 2 (2u au udun =+ 2 122) 1 2 (1) 2 1 (2u u udua nnu n au aunn126.( 22 u au )2=+1 22) 2 (1nu aunnadu 127. 4 2) 2 ( u audu= ( )+ 2322222) 2 () 2 (32) 2 (u audua nnu auna un du128.121tan ln1 cos sin uu udu + C129.uu udu21tan 1 lncos sin 1+ + ++ C130.+duuudu2sin 1sin= 241 ln 2 2 32tan2 2 32tan22+ + +uu+ CKalkulus II Integral39131. uudu ucos 1cos sin cos u + ln (1-cos u) + C132.sinudu = - u 2 cosu+ 2 sinu + C133. udusin 2 1 = 3 22tan3 22tanln33+ uu + C134.+ udusin 2= 312232+utgnarctgn+ C135.+ udusin 5 3 = 32tan12tan 3ln41++uu+ C136.+ udusin 3 5 = arctan21432tan 5 +u+ C 137.u uducos sin 1 + = ln 2tan 12tanuu++ C138. uducos 2 = )2tan 3 arctan(32 u + C139.Cuudu+++342tan 5arctan32sin 4 5140.Cuudu+

,`

.|+2tan33arctan33 2cos 2141.Cuudu+ )2tan 5 arctan(55 22 3142.Cuuu uudu+++coscos 1ln) cos 1 ( cossin22143. + + ++uuudu utan 1 lntan 1sec ) tan 2 (22 2Cu+31 tan 2arctan32144.2sin 1xdx 2(tanCx x+ + )2sec2145.++Cxxxdx3 sin 33 cos 13 cos 1Kalkulus II Integral40146. Cxxxdx+ +2 22 sinarctan828 2 sin2 cos2147.21tan 4 1sec22xxdxarc sin(2 tan x) + C148.+ +Cxxxdx34 sinarctan1214 sin 98 sin22149.+ axdxsec 1 = x + a1(cot ax-csc ax) + C150.Caxa dxaxax+ 2 2tan21tan secKalkulus II Integral41DAFTAR PUSTAKADale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva GraciaAchsanul Inam, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.Kalkulus II Integral42Kalkulus II Integral43