BAB 5

ATURAN DIFERENSIASI

A. Beberapa Fungsi Yang Konstan

Misalkan 𝑓 adalah fungsi terdiferensialkan dan 𝑘 adalah bilangan real, maka

𝑘𝑓 juga terdiferensialkan dengan turunannya yang diberikan oleh :

𝒅

𝒅𝒙(𝒌𝒇(𝒙)) = 𝒌

𝒅

𝒅𝒙(𝒇(𝒙)) = 𝒌𝒇′(𝒙)

Jadi, turunan dari waktu konstan fungsi terdiferensialkan adalah produk dari waktu

konstan turunan fungsi. Aturan ini memungkinkan Anda melakukan pemfaktoran

konstanta saat Anda menemukan turunannya.Aturan berlaku bahkan saat konstanta ada

dalam denominator seperti yang ditunjukkan di sini:

𝒅

𝒅𝒙(

𝒇(𝒙)

𝒌) =

𝒅

𝒅𝒙(

𝟏

𝒌𝒇(𝒙)) =

𝟏

𝒌

𝒅

𝒅𝒙(𝒇(𝒙)) =

𝟏

𝒌𝒇′(𝒙)

Jika𝑓(𝑥) = −5𝑥 2maka,𝑓 ′(𝑥) = −5𝑎

𝑑𝑥(𝑥 2) = −5(2)𝑥, = −10𝑥

Jika𝑦 = 6 (𝑥1

2 ) maka 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥6 (𝑥

1

2 ) = 6𝑑

𝑑𝑥(𝑥

1

2) = 6 (1

2) 𝑥 −

1

2 = 3𝑥 −1

2 ,

Jika 𝑦 =𝑑

𝑑𝑥(4𝑥−1)maka𝑦 ′ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥 −1) = 4

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 −1) = −4𝑥 −2

LATIHAN 5.1

Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk

menemukan turunan fungsi yang diberikan.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 6. 𝑓(𝑥) =𝑥2

2𝜋

2. 𝑔(𝑥) =𝑥100

25 7. 𝑓(𝑥) =

10

𝑥2

3. 𝑓(𝑥) = 20𝑥1

4 8. 𝑠(𝑡) = 100𝑡0.6

4. 𝑦 = −16√𝑥 9. ℎ(𝑠) = −25𝑠4

5

5. 𝑓(𝑡) =2𝑡

3 10. 𝑠(𝑡) =

1

4 √𝑠23

Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan :

11. 𝑓 ′(3)ketika𝑓(𝑥) = 2𝑥 2

12. 𝑔′(1)ketika 𝑔(1) =𝑥100

25

13. 𝑓 ′(81)ketika𝑓(𝑥) = 20𝑥1

4

14. 𝑑𝑦

𝑑𝑥 25 ketika 𝑦 = −16√𝑥

15. 𝑓 ′(200) ketika 𝑓(𝑡) =2𝑡

3

B. AturanUntukPenjumlahandanPerbedaan

Untuksemua𝑥 di mana fungsi 𝑓 dan 𝑔 dapat didiferensiasi, fungsi (𝑓 + 𝑔) dapat

didiferensiasi denganturunannya diberikan oleh:

𝒚

𝒅𝒙(𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)) = 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)

Demikian pula, untuk semua 𝑥 di mana fungsi 𝑓 dan 𝑔 dapat didiferensiasi, fungsi

(𝑓 − 𝑔) dapat terdiferensialkan dengan turunannya diberikanoleh:

𝒚

𝒅𝒙(𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)) = 𝒇′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)

Dengandemikian, turunan dari jumlah (atau perbedaan) dua fungsi terdiferensiasi

sama dengan jumlah (atau perbedaan) dari derivatif fungsi individu.

Jikaℎ(𝑥) = −5𝑥 2 + 𝑥,makaℎ′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(−5𝑥 2) +

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = −10𝑥 + 1

jika𝑦 = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 + 1,maka𝑦′ =𝑑

𝑑𝑥3𝑥 4 −

𝑑

𝑑𝑥2𝑥 3 +

𝑑

𝑑𝑥5𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥1

𝑑

𝑑𝑥(10𝑥 5 − 3𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥(10𝑥 5) −

𝑑

𝑑𝑥3𝑥 = 50𝑥 4 − 3

LATIHAN 5.2

Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk

menemukan turunan fungsi yang diberikan.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥7 + 20𝑥 10 4. 𝐶(𝑥) = 1000 + 200𝑥 − 40𝑥 2

2. ℎ(𝑥) = 30 − 5𝑥2 5. 𝑦 =−15

𝑥+ 25

3. 𝑔(𝑥) = 𝑥100 − 40𝑥 5 6. 𝑠(𝑡) = 16𝑡2 −2𝑡

3+ 10

7. 𝑔(𝑥) =𝑥100

25− 20√𝑥 9. 𝑞(𝑣) = 𝑣

2

5 + 7 − 15𝑣2

5

8. 𝑦 = 12𝑥 0.2 − 0.45𝑥 10. 𝑓(𝑥) =5

2𝑥2 +5

2𝑥−2 −5

2

Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan

11. ℎ′ 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 ℎ(𝑥) = 30 − 5𝑥 2

12. 𝐶′(300) 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝐶(𝑥) = 1000 + 200𝑥 − 40𝑥 2

13. 𝑠′(0)𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑠(𝑡) = 16𝑡2 −2𝑡

3+ 10

14. 𝑞′ 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑞(𝑣) = 𝑣2

5 + 7 − 15𝑣2

5

15. 𝑓 ′(6)𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑓(𝑥) =5

2𝑥2+

5

2𝑥 −2−

5

2

C. AturanProduk

Untuk semua 𝑥 dimana 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi terdiferensialkan, fungsi (𝑓𝑔) dapat

didiferensiasi dengan derivatife yang diberikanoleh :

𝒅

𝒅𝒙(𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)) = 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙)𝒇′(𝒙)

Dengandemikian, turunan dari produk dua fungsi terdiferensiasi sama dengan

fungsi pertama kali turunan dari fungsi kedua ditambah fungsi kedua kali turunannya

fungsi pertama :

Jikaℎ(𝑥) = (𝑥 2 + 4)(2𝑥 − 3),makaℎ′(𝑥)

= (𝑥 2 + 4)𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 − 3) + (2𝑥 − 3)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 2 + 4)

= (𝑥 2 + 4)(2) + (2𝑥 − 3)(2𝑥)

= 2𝑥 2 + 8 + 4𝑥 2 − 6𝑥 = −6𝑥 2 + 8

Jika 𝑦 = (2𝑥 3 + 1)(−𝑥 2 + 5𝑥 + 10),maka𝑦′

= (2𝑥 3 + 1)𝑑

𝑑𝑥(−𝑥2 + 5𝑥 + 10) + (−𝑥 2 + 5𝑥 + 10)

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 3 + 1)

= (2𝑥 3 + 1)(−2𝑥3 + 1) + (−𝑥 2 + 5𝑥 + 10)(6𝑥2)

= (−4𝑥 4 + 10𝑥 3 − 2𝑥 + 5) + (−6𝑥 4 + 30𝑥 3 + 60𝑥 2)

= −10𝑥 4 + 40𝑥 3 + 60𝑥 3 − 2𝑥 + 5

Perhatikan pada contoh berikut yang mengubah eksponen negative dan pecahan

membedakan lebih mudah :

𝑑

𝑑𝑥[(𝑥 2 − 5) (

𝑥

3+ 2√𝑥)] = (𝑥 2 − 5)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 2 + 2𝑥

1

2) + (3𝑥 2 + 2𝑥1

2)𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 5)

= (𝑥 2 − 5) (−3𝑥 −2 + 2𝑥−

1

2 ) + (3𝑥−1 + 2𝑥1

2) (2𝑥)

= (𝑥 2 − 5) (−3𝑥 −2 + 2𝑥 −1

2 ) + (3𝑥−1 + 2𝑥1

2) (2𝑥)

= −3𝑥 0 + 𝑥3

2 + 15𝑥−2 − 5𝑥 −1

2 + 6𝑥 0 + 4𝑥3

2

= 5𝑥1

22 + 15𝑥 −2 − 5𝑥 −1

2 + 3

Anda mungkin memilih untuk menulis jawaban tanpa eksponen negative atau

pecahan.

LATIHAN 5.3

Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk

menemukanTurunan fungsi yang diberikan.

1. 𝑓 (𝑥) = (2𝑥 2 + 3)(2𝑥 − 3)

2. ℎ(𝑥) = (4𝑥 2 + 1)(−𝑥2 + 2𝑥 + 5)

3. 𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 5) (3

𝑥)

4. 𝑐(𝑥) = (50 + 20𝑥)(100 − 2𝑥)

5. 𝑦 = (−15

√𝑥+ 25) (√𝑥 + 5)

6. 𝑠(𝑡) = (4𝑡 −1

2) (5𝑡 +

3

4)

7. 𝑔(𝑥) = (2𝑥 3 + 2𝑥 2)(2 √𝑥)3

8. 𝑓(𝑥) =10

𝑥5 ∙𝑥3 +1

5

9. 𝑞(𝑣) = (𝑣2 + 7)(−5𝑣−2 + 2)

10. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 3 + 3)(3 − √𝑥 23)

Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan

11. 𝑓 ′(1,5)dari 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 + 3)(2𝑥 − 3)

12. 𝑔′(10)dari 𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 5) (3

𝑥)

13. 𝑐′(150) dari 𝑐(𝑥) = (50 + 20𝑥)(100 − 2𝑥)

14. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|𝑥 = 25

dari 𝑦 = (−15

√𝑥+ 25) (√𝑥 + 5)

15. 𝑓1(2) dari 𝑓(𝑥) =10

𝑥5 ∙𝑥3+1

5

D. Aturan Quotient

Untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan dan 𝑔(𝑥) ≠0,𝑓

𝑔

Fungsi terdiferensialkan dengan turunannya diberikan oleh 𝒅

𝒅𝒙(

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)) =

𝒈(𝒙)𝒇′(𝒙)−𝒇(𝒙)𝒈′ (𝒙)

(𝒈(𝒙))𝟐 , 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

Jadi, turunan dari hasil bagi dua fungsi terdiferensiasi sama dengan denominator

Fungsi kali turunan dari fungsi pembilang minus fungsi numerator kali turunan dari

fungsi penyebut semua dibagi dengan kuadrat fungsi penyebut, untuk semua bilangan

real 𝑥 yang fungsi penyebutnya tidak sama dengan nol.

ℎ(𝑥) =−5𝑥2+4

3𝑥 Jika maka :

ℎ′(𝑥) =(3𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(−5𝑥 2 + 4) − (−5𝑥 2 + 4)

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥)

(3𝑥 2)

= (3𝑥)(−10𝑥) −(−5𝑥2 +4)(3)

(3𝑥2 )=

−30𝑥2 +15𝑥2−1

9𝑥2

=−15𝑥 2 − 12

9𝑥 2= −

5𝑥2 + 4

3𝑥 2

Jika𝑦 =1

√𝑥 maka𝑦′

= (√𝑥 )

𝑑

𝑑𝑥(1)−(1)

𝑑

𝑑𝑥(√𝑥 )

(√𝑥)2 =(√𝑥 )(0)−(1)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥

12)

(√𝑥)2

=−(1)

1

2(𝑥

1

2 )

𝑥= −

1

2𝑥1

2

𝑑

𝑑𝑥(

8𝑥5

4

2𝑥4 + 6) =

(2𝑥4 + 6) 𝑑

𝑑𝑥(8𝑥

5

4 ) − (8𝑥5

4 )𝑑

𝑑𝑥(2𝑥4 + 6)

(2𝑥4 + 6)2=

(2𝑥4 + 6) (10𝑥1

4 ) − (8𝑥5

4 )(8𝑥3)

(2𝑥4 + 6)2

= (2𝑥

174 +60𝑥

14)−(64𝑥

174 )

4𝑥8 +24 𝑥4+36=

20𝑥174 +60𝑥

14−64𝑥

174

4𝑥8 +24𝑥4+36=

15𝑥14−11 𝑥

174

𝑥8 +6𝑥4 +9

LATIHAN 5.4

Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk

menemukan turunan fungsi yang diberikan.

1. 𝑓(𝑥) =5𝑥 +2

3𝑥 −1

2. ℎ(𝑥) =4−5𝑥2

8𝑥

3. 𝑔(𝑥) =5

√𝑥

4. 𝑓(𝑥) =3𝑥

12−1

2𝑥12+6

5. 𝑦 =−15

𝑥

6. 𝑠(𝑡) =2𝑡

12−3

4𝑡12+6

7. 𝑔(𝑥) =𝑥100

𝑥−5+10

8. 𝑦 =4−5𝑥3

8𝑥2 −7

9. 𝑞(𝑣) =𝑣3 +2

𝑣2 −1

𝑣3

10. 𝑓(𝑥) =−4𝑥2

4

𝑥2+8

Untukmasalah 11-15, temukanderivatifnumerik yang ditunjukkan

1. 𝑓 ′(25) dari 𝑓(𝑥) =5𝑥+2

3𝑥−1

2. ℎ′(0,2) dari ℎ(𝑥) =4−5𝑥2

8𝑥

3. 𝑔′(0,25) dari 𝑔(𝑥) =5

√𝑥

4. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|10

dari 𝑦 =−15

𝑥

5. 𝑔′(1) dari 𝑔(𝑥) =𝑥100

𝑥−5+10

E. ATURAN RANTAI

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢)dan 𝑢 = 𝑔 (𝑥) adalah fungsi terdiferensialkan 𝑢dan 𝑥, masing-

masing, maka komposisi dari 𝑓 dan 𝑔, yang didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑓 (𝑔 (𝑥)),dapat

dibedakan dengan turunannya yang diberikan oleh

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒅𝒚

𝒅𝒖∙𝒅𝒖

𝒅𝒙

Atau setara,

𝒅

𝒅𝒙[𝒇(𝒈(𝒙))] = 𝒇′(𝒈(𝒙))𝒈𝟏(𝒙)

Perhatikan bahwa 𝑦 = 𝑓 (𝑔 (𝑥)) adalah fungsi fungsi 𝑥; Artinya, argumen 𝑓 adalah

fungsinya dilambangkan dengan 𝑔 (𝑥), yang merupakan fungsi dari 𝑥. Jadi, untuk

menemukan, Anda harus membedakan 𝑓 terhadap 𝑔 (𝑥) terlebih dahulu, lalu kalikan

hasilnya dengan turunan 𝑔 (𝑥) berkenaan dengan 𝑥. Contoh berikut menggambarkan

aturan rantai.

Temukan 𝑦’ ketika 𝑦 = √3𝑥4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 + 1 dimana 𝑢 = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 + 1

Lalu

𝑦’ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑢(𝑢)

1

2 ∙𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 + 1) =

1

2𝑢

−1

2 ∙ (12𝑥 3 − 6𝑥 2 + 5)

1

2(3𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥 + 1)−

1

2 ∙ (12𝑥 3 − 6𝑥 2 + 5) =12𝑥 3 − 6𝑥 2 + 5

2√3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 + 1

Temukanf’ ketika𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 8)3 dimana g(x) = 𝑥 2 − 8

Lalu 𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑔(𝑥))]=

𝑑

𝑑𝑥[(𝑥 2 − 8)3 = 𝑓 ′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)]

= 3(𝑔(𝑥))2𝑔′(𝑥) = 3(𝑥 2 − 8)2 ∙ 2𝑥 = 6𝑥(𝑥 2 − 8)2

𝑑

𝑑𝑥(√𝑥 + 1)4 = 4(√𝑥 + 1)

3 𝑑

𝑑𝑥(√𝑥 + 1) = 4(√𝑥 + 1)

3(

1

2𝑥

−1

2 ) =2(√𝑥 + 1)

3

√𝑥

LATIHAN 5.5

Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk

menemukan turunan fungsi yang diberikan

1. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 10)3

2. 𝑔(𝑥) = 40(3𝑥 2 − 10)3

3. ℎ(𝑥) = 10(3𝑥 2 − 10)−3

4. ℎ(𝑥) = (√𝑥 + 3)2

5. 𝑓(𝑢) = (1

𝑢2 − 𝑢)3

6. 𝑦 =1

(𝑥2−8)3

7. 𝑦 = √2𝑥 3 + 5𝑥 + 1

8. 𝑠(𝑡) = (2𝑡3 + 5𝑡)1

3

9. 𝑓(𝑥) =10

(2𝑥−6)5

10. 𝑐(𝑡) =50

√15𝑡+120

Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan.

11. 𝑓 ′(10) dimana 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 10)3

12. ℎ′(3) dimana ℎ(𝑥) = 10(3𝑥 2 − 10)−3

13. 𝑓 ′(144) dimana 𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 3)2

14. 𝑓 ′(2) dimana 𝑓(𝑢) = (1

𝑢2 − 𝑢)3

15. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

4dimana 𝑦 =

1

(𝑥2−8) 3

F. DIFERENSIASI IMPLISIT

Sejauh ini, Anda telah melihat bagaimana menemukan turunan dari sebuah fungsi

hanya jika fungsinya dinyatakan dalam apa

Disebut bentuk eksplisit . Fungsi dalam bentuk eksplisit didefinisikan oleh persamaan

tipe 𝑦 = 𝑓 (𝑥), di mana 𝑦 ada di satu sisi persamaan dan semua istilah yang

mengandung 𝑥 ada di sisi lain. Misalnya,

Fungsi 𝑓 yang didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 + 5 dinyatakan dalam bentuk

eksplisit. Untuk fungsi ini variable 𝑦 didefinisikan secara eksplisit sebagai fungsi dari

variable 𝑥. Disisi lain, untuk persamaan dimana variablel 𝑥 dan 𝑦 muncul pada sisi yang

sama dengan persamaan, fungsi dikatakan diekspresikan dalam bentuk implisit.

misalnya, persamaan 𝑥 2𝑦 = 1 Mendefinisikan fungsi 𝑦 = 1

𝑥2 Secara implicit dalam

hal 𝑥. Dalam kasus ini, bentuk implisit dari persamaan Dapat dipecahkan untuk 𝑦

sebagai fungsi dari 𝑥; Namun, untuk banyak bentuk implisit, sulit dan kadang tidak

mungkin bias diatasi untuk 𝑦 dalam hal 𝑥.Di bawaha sumsiitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥, turunan dari 𝑦

sehubungan dengan 𝑥, ada, Anda dapat menggunakan

Teknik diferensiasi implicit untuk menemukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥Ketika sebuah fungsi dinyatakan

dalam bentuk implisit-Terlepas dari apakah Anda dapat mengekspresikan fungsinya

dalam bentuk eksplisit. Gunakan langkah berikut:

1. Bedakan setiap istilah pada kedua sisi persamaan terhadap 𝑥.

2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Masalah Mengingat persamaan 𝑥2 + 2𝑦3 = 30, gunakan diferensiasi implicit untuk

menemukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Solusi Langkah 1: Bedakan setiap istilah pada kedua sisi persamaan sehubungan dengan

𝑥:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 2 + 2𝑦3) =

𝑑

𝑑𝑥(30)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 2) +

𝑑

𝑑𝑥(2𝑦3) =

𝑑

𝑑𝑥(30)

2𝑥 + 6𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Langkah 2: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk

6𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

6𝑦2

Perhatikan bahwa dalam contoh ini, 𝑑𝑦

𝑑𝑥 Dinyatakan dalam bentuk 𝑥 dan 𝑦.

Mengevaluasi 𝑎 derivatif, Anda perlu mengetahui keduanya 𝑥 dan 𝑦 pada titik tertentu

(𝑥, 𝑦). Anda bias menunjukkan derivatife numeric seperti 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

(𝑥,𝑌). Contoh berikut

mengilustrasikan situasi ini.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

6𝑦2

diberikan oleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥|(3,1)

=−2𝑥

6𝑦2 |(3,1)

= −1

LATIHAN 5.6

Untuk masalah 1-10, gunakan diferensiasi eksplisit untuk menemukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥

1. 𝑥2𝑦 = 1

2. 𝑥𝑦2 = 3𝑥 2𝑦 + 5𝑦

3. √𝑥 + √𝑦 + 25

4. 1

𝑥+

1

𝑦= 9

5. 𝑥2 + 𝑦2 = 16

Untuk masalah 6-10, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan.

6. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|(3,1)

= 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑥 2𝑦 = 1

7. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|(5,2)

= 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑥𝑦2 = 3𝑥 2𝑦 + 5𝑦

8. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|(4,9)

= 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 √𝑥 + √𝑦 + 25

9. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|(5,10)

= 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 1

𝑥+

1

𝑦= 9

10. 𝑑𝑦

𝑑𝑥|(2,1)

= 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑥2 + 𝑦2 = 16